平面向量的数量积及平面向量的应用
一、目标认知
学习目标：
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；
3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；
5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；
6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
重点：
数量积的运算，以及运用数量积求模与夹角.
难点：
用向量的方法解决几何、物理等问题.
二、知识要点梳理
知识点一：平面向量的数量积
1.平面向量数量积(内积)的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有.并规定与任何向量的数量积为0.
2.一向量在另一向量方向上的投影：叫做向量在方向上的投影.
要点诠释：
1.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定.
(2)两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的
数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”
代替.
(3)在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出
.因为其中有可能为0.
2.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0°时投影为；当=180°时投影为.
知识点二：向量数量积的性质
设与为两个非零向量，是与同向的单位向量.
1.
2.
3.当与同向时，；当与反向时，. 特别的或
4.
5.
知识点三：向量数量积的运算律
1.交换律：
2.数乘结合律：
3.分配律：
要点诠释：
1.已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bc a=c.但是；
2.在实数中，有(a×b)c=a(b×c)，但是
显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.
知识点四：向量数量积的坐标表示
1.已知两个非零向量
，，
2.设，则或
3.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么
(平面内两点间的距离公式).
三、规律方法指导
1.向量在几何中的应用：
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件
(2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件
(3)求夹角问题，利用
(4)求线段的长度，可以利用或
2.向量在物理中的应用：
(1)向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用；
(2)向量在速度分解与合成中的作用.
经典例题透析
类型一：数量积的运算
1．已知下列命题：
①；②；
③；④
其中正确命题序号是___________.
思路点拨：掌握平面向量数量积的含义，平面数量积的运算律不同于实数的运算律.
解析：②、④ .
2．已知； (2) ；(3) 的夹角为30°，分别求.
解析：(1)当时，
或.
(2)当时，.
(3)当的夹角为30°时，.
举一反三：
【变式1】已知，求.
解析：
总结升华：熟练应用平面向量数量积的定义式求值，注意两个向量夹角的确定及分类完整.
类型二：模的问题
3．已知向量满足，且的夹角为60°，求.
解析：，且的夹角为60°
；
总结升华：要根据实际问题选取恰当的公式
举一反三：
【变式1】已知的夹角为，，，则等于( )
A 5 B. 4 C. 3 D. 1
解析：，，解得，故选B.
总结升华：涉及向量模的问题一般利用，注意两边平方是常用的方法.
类型三：夹角问题
4．①已知，求向量与向量的夹角.
②已知，夹角为，则___________.
解析：①，
故夹角为60°.
②题意得.
总结升华：求两个向量的夹角，需求得，及，或得出它们的关系，在求解过程中要注意夹角的范围，同时要正确理解公式.
5．已知是非零向量，若与垂直，与垂直，试求的夹角.
解析：由条件知且
∴①
②
由①-②得，代入①
∴
∴
即所求向量的夹角为.
举一反三：
【变式1】已知
是两个非零向量，同时满足，求的夹角.
解析：法一：将两边平方得
，则
，故的夹角为30°.
法二：数形结合
总结升华：注意两个向量夹角共起点，灵活应用两个向量夹角的两种求法.
【变式2】求等腰直角三角形两直角边上的中线所成的钝角.
解析：设为等腰三角形，，AD、BE为两直角边
BC、AC的中线，以两直角边BC、AC所在的直线分别为，轴，建
立直角坐标系，如图所示，并设，，则，.
∴，，∴
，又，，设AD与BE所成的钝角为角，则为与的夹角.
∴，故所求的角为.
类型四：综合应用问题
6．已知向量.
(1) 若； (2)求的最大值 .
解析：(1)若，则.
