高中数学必修4 平面向量的数量积 课件

平面向量的数量积
一.问题情景
如图:一个物体在力F 的作用下产生的位移 s，,那么力F 所做的功应当怎样计算？
F
θ s
二.学生活动
F

┓
s
F

O
S
B A
W | F || s |cos
W=|F||s|cos
三.建构数学 平面向量的数量积
两个非零向量a和b, 它们的夹角为，我们把数量 a b cos叫做a和b的数量积（或内积），记作a b
点D,E分别是边BC,AC的中点,求
1）AB AC 2
2）AB BC -2
B
3）AC BC
2
4）DE AC
-1
5）AD DE 3 2
A E
DC
对于任意实数a, b, c, , 有如下运算律：
（1）ab ba
(2)ab ab ab ab (3)a bc ac bc
其中a, b,
c为任意向量 ， R (a b ) c a (b

c)？
若a c bc,则a b?
练习：1. a b 2 ＿＿＿＿＿
2. a b a b ＿＿＿＿＿
例3 已知 a 6, b 4, a与b的夹角 600
则a b a b c os , b a b a c os
ab ba
平面向量的数量积的运算律：
(1)a b b a
(2) a b a b a b a b (3) a b c a c b c
求(1)a a b (2) a 2b a 3b
解: (1)
2
2
a ab a ab a ab
36 12 48
(2)
Hale Waihona Puke 22a 2b a 3b a a b 6b
2
2
a a b cos 6 b
36 6 4 cos 600 6 16 72
五.课堂小结
1.了解平面向量的数量积的物理意义 2.掌握平面向量的数量积的概念 3.掌握平面向量的数量积的运算律 4.理解数量积的运算是不同于实数运算 的一种新的运算，注意它们的区别； 5.会用数量积的运算解决一些基本问题
思考：对于实数 a,b而言，若ab 0,则 a 0或b 0
那么若a b 0,则a 0或b 0 ?
练习 判断下列说法是否正确
1)若a 0,则对任一向量b, 有a b 0
(√)
2)若a 0,则对任一非零向量b,有a b 0 (×)
3)若a 0, a b 0,则b 0
特别地：当 a b时
22
aa a a 或a
aa
2
a
注意!!:
平面向量的数量积
a b a b cos
1.两平面向量的数量积运算结果是数量，而不是向量.
2.在书写中a b中“”不能省略不写，也不能写成“”. 而对于两实数a,b的乘法运算可写成ab或a b或a b, 注意它们的区别.
思考：对于任意向量a, b, c和实数而言，有没有类似的运算律呢？
(1)a b b a
(2) a b a b a b a b (3) a b c a c b c
(1)a b b a
证明：设a, b夹角为，
即a b a b cos
我们规定：零向量与任一向量的数量积为0
即0 a 0 (0a 0)
向量的夹角
0 ,180 两个非零向量a,b,作OA a,OB b,
则AOB 叫做向量a和b的夹角。
0
0
B
b
b
注意:求两向量的夹角, 两向量必须共起点

a
a
O bB
解：（1）a b a b cos 2 3 cos1350 3 2 (2)当a b时，则 00或1800 若 00，a b a b 6 若 1800，a b a b 6
(3)当a b时，a b 0
例2 如图,边长为2的等边三角形ABC,
(×)
4)若a b 0,则a,b至少有一个为零向量 (×)
5)若a b a b ,则 a ∥b
(√)
6)若a b a b ,则 a ∥ b
(√)
四.数学运用 例1: 已知向量a与b的夹角为，a 2, b 3,
分别在下列条件下求a b
(1) 1350 (2)a ∥b 3a b
0
a 与b 同向
O
aA
a
ABb O
A
180
a 与 b 反向
B
b
O


a
90
A
a 与 b 垂直，
记作 a b
平面向量的数量积：a b a b cos
当a与b同向时， a b a b
当a与b反向时，a b a b
当a b时， a b 0