南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试 数学试题.

2015届高三模拟考试试卷(南京盐城)数 学(满分160分，考试时间120分钟)2014．5 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝(x i －x －)2，其中x －＝.一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 记函数f(x)＝3－x 的定义域为A ，函数g(x)＝lg(x －1)的定义域为B ，则A ∩B ＝____________．2. 已知复数z 满足(z ＋1)i ＝3＋5i ，其中i 为虚数单位，则|z|＝____________．3. 某算法的伪代码如图所示，若输出y 的值为3，则输入x 的值为____________．Read x If x ≤0 Then y ←x ＋2 Else y ←log 2x End If Print y(第3题)4. 上图是7位评委给某作品打出的分数的茎叶图，那么这组数据的方差是____________．5. 已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝____________ .(第5题)6. 在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4，5的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是__________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(3，－1)，OB →＝(0，2)．若OC →·AB →＝0，AC →＝λOB →，则实数λ的值为__________．8. 已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面． ① 若m α，m ⊥β，则α⊥β； ② 若m α，α∩β＝n ，α⊥β，则m ⊥n ； ③ 若m α，n β，α∥β，则m ∥n; ④ 若m ∥α，m β，α∩β＝n ，则m ∥n. 上述命题中为真命题的是________．(填序号)9. 如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为____________．(第9题)10. 记定义在R 上的函数y ＝f(x)的导函数为f′(x)．如果存在x 0∈[a ，b]，使得f(b)－f(a)＝f′(x 0)(b －a)成立，则称x 0为函数f(x)在区间[a ，b]上的“中值点”，那么函数f(x)＝x 3－3x 在区间[－2，2]上“中值点”的个数为______________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，点F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过F作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，延长FA 与另一条渐近线交于点B.若FB →＝2FA →，则双曲线的离心率为____________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－(6－2m)x －4my ＋5m 2－6m ＝0，直线l 经过点(1，0)．若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得的弦长为定值，则直线l 的方程为____________．13. 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n ＋p ，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －5.设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，a n ≤b n ，b n ，a n ＞b n ，若在数列{c n }中，c 8＞c n (n ∈N *，n ≠8)，则实数p 的取值范围是__________． 14. 设点P 是曲线y ＝x 2上的一个动点，曲线y ＝x 2在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线y ＝x 2的另一交点为Q ，则PQ 的最小值为____________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知α、β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－7210.(1) 求cos2α的值； (2) 求2α－β的值．如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1A ＝2AC ，D 、E 、F 分别为线段AC 、A 1A 、C 1B 的中点．(1) 求证：EF ∥平面ABC ； (2) 求证：C 1E ⊥平面BDE.17. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝12m(x －1)2－2x ＋3＋lnx ，m ∈R .(1) 当m ＝0时，求函数f(x)的单调增区间；(2) 当m ＞0时，若曲线y ＝f(x)在点P(1，1)处的切线l 与曲线y ＝f(x)有且只有一个公共点，求实数m 的值．将一张长8 cm、宽6 cm的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕(线段)将纸片分成两部分，面积分别为S1 cm2、S2 cm2，其中S1≤S2.记折痕长为l cm.(1) 若l＝4，求S1的最大值；(2) 若S1∶S2＝1∶2，求l的取值范围．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2m ＋y 28－m＝1.(1) 若椭圆C 的焦点在x 轴上，求实数m 的取值范围； (2) 若m ＝6，① P 是椭圆C 上的动点，M 点的坐标为(1，0)，求PM 的最小值及对应的点P 的坐标； ② 过椭圆C 的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB的垂直平分线l 交x 轴于点N ，求证ABFN是定值，并求出这个定值．记等差数列{a n }的前n 项和为S n .(1) 求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列；(2) 若a 1＝1，且对任意正整数n 、k(n ＞k)，都有S n ＋k ＋S n －k ＝2S n 成立，求数列{a n }的通项公式；(3) 记b n ＝aa n (a ＞0)，求证：b 1＋b 2＋…＋b n n ≤b 1＋b n2.2013届高三模拟考试试卷(七)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，PA 、PB 是圆O 的切线，切点分别为A 、B ，线段OP 交圆O 于点C.若PA ＝12，PC ＝6，求AB 的长．B. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1对应的变换将点A(1，1)变为A′(0，2)，将曲线C ：xy ＝1变为曲线C′.(1) 求实数a 、b 的值； (2) 求曲线C′的方程．C. (选修44：坐标系与参数方程)已知圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π6，直线l 过点M ，且与圆C 相切，求l 的极坐标方程．D. (选修45：不等式选讲) 解不等式x|x －4|－3＜0.【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在三棱锥PABC 中，已知PA ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，D 、E 分别为PB 、PC 的中点．(1) 若PA ＝2，求直线AE 与PB 所成角的余弦值； (2) 若平面ADE ⊥平面PBC ，求PA 的长．23.如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为13.刚开始时，棋子在上底面点A 处，若移了n 次后，棋子落在上底面顶点的概率记为p n .(1) 求p 1、p 2的值；(2) 求证：14p i －1＞n 2n ＋1.2013届高三模拟考试试卷(七)(南京、盐城)数学参考答案及评分标准1. (1，3]2. 53. 84.127 5. 23 6. 710 7. 2 8. ①④ 9. 56210. 2 11. 2 12. 2x ＋y －2＝0 13. (12，17) 14. 33215. 解：(1) 方法一： 因为tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.(2分)又sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin 2α＝45，cos 2＝15.(4分)所以cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－35.(6分)方法二：因为cos2α＝cos 2α－sin 2α(2分) ＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1，(4分) 又tan α＝2，所以cos2α＝1－2222＋1＝－35.(6分)(2) 方法一： 因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.又cos2α＝－35＜0，故2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin2α＝45.(8分)由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.(10分)所以sin (2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝45×⎝⎛⎭⎫－7210－⎝⎛⎭⎫－35×210＝－22.(12分)又2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以2α－β＝－π4.(14分)方法二：因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43.从而2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.(8分)由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，因为tan β＝－17，(10分)所以tan (2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝－43＋171＋⎝⎛⎭⎫－43×⎝⎛⎭⎫－17＝－1.(12分)又2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以2α－β＝－π4.(14分)16. 证明：(1) 如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG .因为F 为C 1B 的中点，所以FG 綊12C 1C.在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1A 綊C 1C ，且E 为A 1A 的中点，所以FG 綊EA. 所以四边形AEFG 是平行四边形． 所以EF ∥AG.(4分)因为EF 平面ABC ，AG 平面ABC ，所以EF ∥平面ABC.(6分)(2) 因为在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，BD 平面ABC ，所以A 1A ⊥BD.因为D 为AC 的中点，BA ＝BC ，所以BD ⊥AC.因为A 1A ∩AC ＝A ，A 1A 平面A 1ACC 1，AC平面A 1ACC 1，所以BD ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E平面A 1ACC 1，所以BD ⊥C 1E.(9分)根据题意，可得EB ＝C 1E ＝62AB ，C 1B ＝3AB ，所以EB 2＋C 1E 2＝C 1B 2.从而∠C 1EB ＝90°，即C 1E ⊥EB.(12分)因为BD ∩EB ＝B ，BD 平面BDE ，EB 平面BDE ， 所以C 1E ⊥平面BDE.(14分)17. 解：(1) 由题意知，f(x)＝－2x ＋3＋lnx ，所以f′(x)＝－2＋1x ＝－2x ＋1x(x ＞0)．(2分)由f′(x)＞0，得x ∈⎝⎛⎭⎫0，12. 所以函数f(x)的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，12.(4分) (2) 由f′(x)＝mx －m －2＋1x，得f′(1)＝－1，所以曲线y ＝f(x)在点P(1，1)处的切线l 的方程为y ＝－x ＋2.(6分) 由题意得，关于x 的方程f(x)＝－x ＋2有且只有一个解，即关于x 的方程12m(x －1)2－x ＋1＋lnx ＝0有且只有一个解．令g(x)＝12m(x －1)2－x ＋1＋lnx(x ＞0)．则g′(x)＝m(x －1)－1＋1x ＝mx 2－（m ＋1）x ＋1x ＝（x －1）（mx －1）x(x ＞0)．(8分)① 当0＜m ＜1时，由g′(x)＞0得0＜x ＜1或x ＞1m ，由g′(x)＜0得1＜x ＜1m ，所以函数g(x)在(0，1)上为增函数，在⎝⎛⎭⎫1，1m 上为减函数，在⎝⎛⎭⎫1m ，＋∞上为增函数． 又g(1)＝0，且当x →∞时，g(x)→∞，此时曲线y ＝g(x)与x 轴有两个交点． 故0＜m ＜1不合题意．(10分)② 当m ＝1时，g ′(x)≥0，g(x)在(0，＋∞)上为增函数，且g(1)＝0，故m ＝1符合题意．③ 当m ＞1时，由g′(x)＞0得0＜x ＜1m 或x ＞1，由g′(x)＜0得1m＜x ＜1，所以函数g(x)在⎝⎛⎭⎫0，1m 上为增函数，在⎝⎛⎭⎫1m ，1上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数． 又g(1)＝0，且当x →0时，g(x)→－∞，此时曲线y ＝g(x)与x 轴有两个交点． 故m ＞1不合题意．综上所述，实数m 的值为m ＝1.(14分)18. 解：如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD ，AB ＝8 cm ，AD ＝6 cm ，其中点A 在面积为S 1的部分内．折痕有下列三种情形：① 折痕的端点M ，N 分别在边AB ，AD 上； ② 折痕的端点M ，N 分别在边AB ，CD 上； ③ 折痕的端点M ，N 分别在边AD ，BC 上．(1) 在情形②、③中MN ≥6，故当l ＝4时，折痕必定是情形①. 设AM ＝x cm ，AN ＝y cm ，则x 2＋y 2＝16.(2分) 因为x 2＋y 2≥2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号，所以S 1＝12xy ≤4，当且仅当x ＝y ＝22时取等号．即S 1的最大值为4.(5分)(2) 由题意知，长方形的面积为S ＝6×8＝48.因为S 1∶S 2＝1∶2，S 1≤S 2，所以S 1＝16，S 2＝32.当折痕是情形①时，设AM ＝x cm ，AN ＝y cm ，则12xy ＝16，即y ＝32x.由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤32x ≤6，得163≤x ≤8.所以l ＝x 2＋y 2＝x 2＋322x 2，163≤x ≤8.(8分)设f(x)＝x 2＋322x2，x ＞0，则f ′(x)＝2x －2×322x 3＝2（x 2＋32）（x ＋42）（x －42）x 3，x ＞0.故x 163 ⎝⎛⎭⎫163，42 4 2 (42，8) 8 f ′(x) －0 ＋f(x)64496480所以f(x)的取值范围为[64，80]，从而l 的范围是[8，45]；(11分)当折痕是情形②时，设AM ＝x cm ，DN ＝y cm ，则12(x ＋y)×6＝16，即y ＝163－x.由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤163－x ≤8，得0≤x ≤163.所以l ＝62＋（x －y ）2＝62＋4⎝⎛⎭⎫x －832，0≤x ≤163.所以l 的范围为⎣⎡⎦⎤6，21453；(13分)当折痕是情形③时，设BN ＝x cm ，AM ＝y cm ，则12(x ＋y)×8＝16，即y ＝4－x.由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤6，0≤4－x ≤6，得0≤x ≤4. 所以l ＝82＋（x －y ）2＝82＋4（x －2）2，0≤x ≤4.所以l 的取值范围为[8，45]．综上，l 的取值范围为[6，45]．(16分)19. 解：(1) 由题意得，m ＞8－m ＞0，解得4＜m ＜8. 即实数m 的取值范围是(4，8)．(2分)(2) 因为m ＝6，所以椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1.① 设点P 坐标为(x ，y)，则x 26＋y22＝1.因为点M 的坐标为(1，0)，所以PM 2＝(x －1)2＋y 2＝x 2－2x ＋1＋2－x 23＝2x 23－2x ＋3＝23⎝⎛⎭⎫x －322＋32，x ∈[－6，6]．(4分) 所以当x ＝32时，PM 的最小值为62，此时对应的点P 坐标为⎝⎛⎭⎫32，±52.(6分)② 由a 2＝6，b 2＝2，得c 2＝4，即c ＝2，从而椭圆C 的右焦点F 的坐标为(2，0)，右准线方程为x ＝3，离心率e ＝63.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点H(x 0，y 0)，则 x 216＋y 212＝1，x 226＋y 222＝1， 所以x 21－x 226＋y 21－y 222＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 03y 0.(9分)令k ＝k AB ，则线段AB 的垂直平分线l 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，则x N ＝ky 0＋x 0＝23x 0.因为F(2，0)，所以FN ＝|x N －2|＝23|x 0－3|.(12分)因为AB ＝AF ＋BF ＝e(3－x 1)＋e(3－x 2)＝263|x 0－3|.故AB FN ＝263×32＝ 6. 即ABFN为定值 6.(16分) 20. 解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d ，从而S nn ＝a 1＋n －12 d.所以当n ≥2时，S n n －S n －1n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋n －12d －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋n －22d ＝d 2. 即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列．(2分)(2) 因为对任意正整数n ，k(n ＞k)，都有S n ＋1＋S n －k ＝2S n 成立，所以S n ＋1＋S n －1＝2S n ，即数列{S n }是等差数列．(4分)设数列{S n }的公差为d 1，则S n ＝S 1＋(n －1)d 1＝1＋(n －1)d 1， 所以S n ＝[1＋(n －1)d 1]2，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝[1＋(n －1)d 1]2－[1＋(n －2)d 1]2＝2d 21n －3d 21＋2d 1， 因为{a n }是等差数列，所以a 2－a 1＝a 3－a 2，即(4d 21－3d 21＋2d 1)－1＝(6d 21－3d 21＋2d 1)－(4d 21－3d 21＋2d 1)， 所以d 1＝1，即a n ＝2n －1.又当a n ＝2n －1时，S n ＝n 2，S n ＋k ＋S n －k ＝2S n 对任意正整数n ，k(n ＞k)都成立， 因此a n ＝2n －1.(7分)(3) 设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝aa n ，所以b nb n －1＝aa n －a n －1＝a d ，即数列{b n }是公比大于0，首项大于0的等比数列．(9分) 记公比为q(q ＞0)，以下证明：b 1＋b n ≥b p ＋b k ，其中p ，k 为正整数，且p ＋k ＝1＋n.因为(b 1＋b n )－(b p ＋b k )＝b 1＋b 1q n －1－b 1q p －1－b 1q k －1＝b 1(q p －1－1)(q k －1－1)． 当q ＞1时，因为y ＝q x 为增函数，p －1≥0，k －1≥0，所以q p －1－1≥0，q k －1－1≥0，所以b 1＋b n ≥b p ＋b k . 当q ＝1时，b 1＋b n ＝b p ＋b k .当0＜q ＜1时，因为y ＝q x 为减函数，p －1≥0，k －1≥0，所以q p －1－1≤0，q k －1－1≤0，所以b 1＋b n ≥b p ＋b k .综上，b 1＋b n ≥b p ＋b k ，其中p ，k 为正整数，且p ＋k ＝1＋n.(14分) 所以n(b 1＋b n )＝(b 1＋b n )＋(b 1＋b n )＋…＋(b 1＋b n ) ≥(b 1＋b n )＋(b 2＋b n －1)＋(b 3＋b n －2)＋…＋(b n ＋b 1) ＝(b 1＋b 2＋…＋b n )＋(b n ＋b n －1＋…＋b 1)， 即b 1＋b 2＋…＋b n n ≤b 1＋b n 2.(16分)2013届高三模拟考试试卷(七)(南京、盐城)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 选修41：几何证明选讲解：如图，延长PO 交圆O 于D ，连结AO 、BO.AB 交OP 于点E. 因为PA 与圆O 相切， 所以PA 2＝PC·PD.设圆O 的半径为R ，因为PA ＝12，PC ＝6， 所以122＝6(2R ＋6)，解得R ＝9.(4分)因为PA 、PB 与圆O 均相切，所以PA ＝PB.又OA ＝OB ，所以OP 是线段AB 的垂直平分线．(7分) 即AB ⊥OP ，且AB ＝2AE.在Rt △OAP 中，AE ＝OA·PA OP ＝365.所以AB ＝725.(10分)B. 选修42：矩阵与变换解：(1) 由题知，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，b ＋1＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(4分)(2) 设P′(x ，y)是曲线C′上任意一点，P ′由曲线C 上的点P(x 0，y 0)经矩阵M 所表示的变换得到，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝x ，x 0＋y 0＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ＋x 2，y 0＝y －x 2.(7分) 因为x 0y 0＝1，所以y ＋x 2·y －x 2＝1，即y 24－x 24＝1.即曲线C′的方程为y 24－x24＝1.(10分)C. 曲线44：坐标系与参数方程解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系， 则圆C 的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4， 点M 的直角坐标为(33，3)．(3分) 当直线l 的斜率不存在时，不合题意． 设直线l 的方程为y －3＝k(x －33)，由圆心C(3，1)到直线l 的距离等于半径2. 故|23k －2|k 2＋1＝2.(6分)解得k ＝0或k ＝ 3.所以所求的直线l 的直角坐标方程为y ＝3或3x －y －6＝0.(8分)所以所求直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝3或ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝3.(10分)D. 选修45：不等式选讲解：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，x 2－4x －3＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜4，－x 2＋4x －3＜0.(5分)解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，2－7＜x ＜2＋7，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜4，x ＜1或x ＞3.即4≤x ＜2＋7或3＜x ＜4或x ＜1.综上，原不等式的解集为{x|x ＜1或3＜x ＜2＋7}．(10分)22. 解：(1) 如图，取AC 的中点F ，连结BF ，则BF ⊥AC.以A 为坐标原点，过A 且与FB 平行的直线为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系．则A(0，0，0)，B(3，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)从而PB →＝(3，1，－2)，AE →＝(0，1，1)． 设直线AE 与PB 所成角为θ，则cos θ＝|PB →·AE →|PB →|×|AE →||＝14.即直线AE 与PB 所成角的余弦值为14.(4分)(2) 设PA 的长为a ，则P(0，0，a)，从而PB →＝(3，1，－a)，PC →＝(0，2，－a)． 设平面PBC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，则n 1·PB →＝0，n 1·PC →＝0，所以3x ＋y －az ＝0，2y －az ＝0.令z ＝2，则y ＝a ，x ＝33a.所以n 1＝⎝⎛⎭⎫33a ，a ，2是平面PBC 的一个法向量．因为D 、E 分别为PB 、PC 的中点，所以D ⎝⎛⎭⎫32，12，a2，E ⎝⎛⎭⎫0，1，a 2， 则AD →＝⎝⎛⎭⎫32，12，a 2，AE →＝⎝⎛⎭⎫0，1，a 2. 设平面ADE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z)，则n 2·AD →＝0，n 2·AE →＝0.所以32x ＋12y ＋a 2z ＝0，y ＋a2z ＝0.令z ＝2，则y ＝－a ，x ＝－33a. 所以n 2＝⎝⎛⎭⎫－33a ，－a ，2是平面ADE 的一个法向量．(8分) 因为平面ADE ⊥平面PBC ，所以n 1⊥n 2，即n 1·n 2＝⎝⎛⎭⎫33a ，a ，2·⎝⎛⎭⎫－33a ，－a ，2＝－13a 2－a 2＋4＝0，解得a ＝3，即PA 的长为 3.(10分)23. 解：(1) p 1＝23，p 2＝23×23＋13×⎝⎛⎭⎫1－23＝59.(2分) (2) 证明：因为移了n 次后棋子落在上底面顶点的概率为p n ，故落在下底面顶点的概率为1－p n .于是移了n ＋1次后棋子落在上底面顶点的概率为p n ＋1＝23p n ＋13(1－p n )＝13p n ＋13.(4分)从而p n ＋1－12＝13⎝⎛⎭⎫p n －12. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫p n －12是等比数列，其首项为16，公比为13.所以p n －12＝16×⎝⎛⎭⎫13n －1，即p n ＝12＋12×13n .(6分)用数学归纳法证明：① 当n ＝1时，左式＝14×23－1＝35，右式＝12，因为35＞12，所以不等式成立．当n ＝2时，左式＝14×23－1＋14×59－1＝7855，右式＝43，因为7855＞43，所以不等式成立．② 假设n ＝k(k ≥2)时，不等式成立，即14p i －1＞k 2k ＋1.则n ＝k ＋1时，左式＝14p i －1＋14p k ＋1－1＞k 2k ＋1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12×13k ＋1－1＝k 2k ＋1＋3k ＋13k ＋1＋2.要证k 2k ＋1＋3k ＋13k ＋1＋2≥（k ＋1）2k ＋2，只要证3k ＋13k ＋1＋2≥（k ＋1）2k ＋2－k 2k ＋1，只要证3k ＋13k ＋1＋2≥k 2＋3k ＋1k 2＋3k ＋2，只要证23k ＋1≤1k 2＋3k ＋1， 只要证3k ＋1≥2k 2＋6k ＋2. 因为k ≥2，所以3k ＋1＝3(1＋2)k ≥3(1＋2k ＋4C 2k )＝6k 2＋3＝2k 2＋6k ＋2＋2k(2k －3)＋1＞2k 2＋6k ＋2，所以k 2k ＋1＋3k ＋13k ＋1＋2≥（k ＋1）2k ＋2.即n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可知，不等式14p i －1＞n 2n ＋1对任意的n ∈N *都成立．(10分)。

2015年江苏高考数学模拟试卷（一）第Ⅰ卷 （必做题 分值160分）苏州市高中数学学科基地 苏州市高中数学命题研究与评价中心一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知全集{|0}U x x =∈>R ，集合{}2A x x =∈R ≥，则U A ð ▲ ． 2．如图所示，在复平面内，点A 对应的复数为z ，则z 2的模为 ▲ ． 3．抛物线22y x =-的焦点坐标是 ▲ ．4．已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l ax y -+=．则“3-=a ”是“1l ∥2l ”的 ▲ 条件． 5．当向量(1,1)==-a c ，(1,0)=b 时，执行如图所示的程序框图，输出的i 值为 ▲ ．6．为了解某年级女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十米跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示．由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的概率为 ▲ ．7．定义在R 上的偶函数()f x x a x b =-+-（其中a b 、为常数）的最小值为2，则22=a b + ▲ ．8．设不等式组2201010x y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥表示的平面区域为D ，()P x y ，是区域D 上任意一点，则2x y --的最小值是 ▲ ．9．已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 ▲ ． 10．已知)2,0(,1010)4cos(πθπθ∈=+，则sin(2)3πθ-= ▲ ． 11．已知22:1O x y +=e ，若直线2y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的O e 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是 ▲ ．12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线右支上的任意一点，若7 88 6 1 8 9 1 5 7 8A 1-2Oyx212||||PF PF 的最小值为8a ，则双曲线离心率的取值范围是 ▲ ．13．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数．若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 等于 ▲ ． 14．在等腰三角形ABC 中，AB AC =，D 在线段AC 上，AD kAC =（k 为常数，且10<<k ），lBD =为定长，则ABC ∆的面积最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）函数π()cos(π)(0)2f x x ϕϕ=+<<的部分图象如图所示． （1）写出ϕ及图中0x 的值；（2）求()f x 在区间11[,]23-上的最大值和最小值．16．（本小题满分14分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中， 11AA B B 为正方形，11BB C C 是菱形，平面11AA B B ⊥平面11BB C C ． （1）求证：//BC 平面11AB C ； （2）求证：1B C ⊥1AC ；（3）设点,,,E F H G 分别是111111,,,B C AA A B B C 的中点，试判断,,,E F H G 四点是否共面，并说明理由．CBC 1B 1A 1A如图，两座建筑物CD AB ,的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9cm 和15cm ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角︒=∠45CAD ． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点(P 点P 与点C B ,不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为,,βα=∠=∠DPC APB 问点P 在何处时，βα+最小？18．（本小题满分16分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>且过点P ．右焦点为F ，点N （2,0）． （1）求椭圆E 的方程；（2）设动弦AB 与x 轴垂直，求证：直线AF 与直线BN 的交点M 仍在椭圆E 上．ABDCPβ α已知函数e ()xf x x=．（1）若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为0ax y -=，求0x 的值； （2）当0x >时，求证：()f x x >；（3）设函数()()F x f x bx =-，其中b 为实常数，试讨论函数()F x 的零点个数，并证明你的结论．20．（本小题满分16分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，122n n a a p +=+（p 为常数，1,2,3,n =L ）． （1）若312S =，求n S ；（2）若数列{}n a 是等比数列，求实数p 的值． （3）是否存在实数p ，使得数列1{}na 满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的p 的值；若不存在，说明理由．第II 卷 （附加题 分值40分）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，P 是O e 外一点，PD 为切线，割线PEF 经过圆心O ，若12PF =，43PD =，求EFD ∠的度数．B ．选修4—2：矩阵与变换将曲线y ＝2sin4x 经矩阵M 变换后的曲线方程为y ＝sin x ，求变换矩阵M 的逆矩阵．C ．选修4—4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x (t 为参数，πα<<0)，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求AB 的最小值．D ．选修4—5：不等式选讲已知0a b >，且1a b +=，求证：212122a b +++≤．【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 、N 分别是CC 1、BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上，且满足111B A P A λ=（∈λR ）． （1）证明：PN ⊥AM ；（2）若平面PMN 与平面ABC 所成的角为45°，试确定点P 的位置．23．（本小题满分10分）已知数列{a n }满足：1*1122,1()n a n a a a a n -+=-=+∈N ． （1）若1a =-，求数列{a n }的通项公式；（2）若3a =，试证明：对*n ∀∈N ，a n 是4的倍数．2015年江苏高考数学模拟试卷（一）第Ⅰ卷 参考答案与解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{|02}x x ∈<<R 2．5 3． 1(,0)2- 4．充分不必要 5．2 6．0.625 7．28．3- 9．2π 10．410- 11． (,1][1,)-∞-+∞U 12．(]1,3 13．12 14．)1(222k l -． 解析：2．2225z i z z =-+==， 4．1230l l a a ⇒=-=∥或,7．由题意()f x x a x b =-+-为偶函数，故0a b +=，又()f x 的最小值为2，所以2a b -=，所以221a b ==10．4cos(2)sin 225πθθ+=-=-，3cos()0,cos245πθθ+>∴=Q，故sin(2)3πθ-12．设2PF x =，2448a x a a x++≥，所以2x a c a =-≥，所以13e <≤13．2222221232222212349141a a a d d d b b b d d q d q q q ++++==++++++，令214=1t q q ++，t 为正整数，所以214+1=0q q t +-，解得q =8t 时，12q =14．如图，以B 为原点，BD 为x 轴建立直角坐标系xBy ．设A (x ，y )，y >0．因AD =kAC =kAB ，故AD 2=k 2AB 2，于是(x -l )2+y 2=k 2(x 2+y 2)．所以，22222(1)21k x lx l y k --+-=-=2222222(1)()111l k l k x k k k ---+---≤2222(1)k l k -，于是，max21kly k =-，2max 2()2(1)ABD kl S k ∆=-，2max max 21()()2(1)ABC ABD l S S k k ∆∆==-． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）ϕ的值是π6．0x 的值是53． （2）由（1）可知：π()cos(π)3f x x =+．因为 11[,]23x ∈-，所以 ππππ362x -+≤≤． 所以 当ππ03x +=，即13x =-时，()f x 取得最大值1；当πππ62x +=，即13x =时，()f x 取得最小值0．16．证明：（1）在菱形11BB C C 中，BC ∥11B C ．因为 BC Ë平面11AB C ，11B C Ì平面11AB C ， 所以 //BC 平面11AB C ．（2）连接1BC ．在正方形11ABB A 中，1AB BB ^． 因为 平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B I 平面111BB C C BB =，AB Ì平面11ABB A ， 所以 AB ^平面11BB C C ．因为 1B C Ì平面11BB C C ， 所以 1AB B C ^． 在菱形11BB C C 中，11BC B C ^．因为 1BC Ì平面1ABC ，AB Ì平面1ABC ，1BC AB B I =，所以 1B C ^平面1ABC ． 因为 1AC Ì平面1ABC ， 所以 1B C ⊥1AC ． （3）,,,E F H G 四点不共面． 理由如下：因为 ,E G 分别是111,B C B C 的中点， 所以 GE ∥1CC ． 同理可证：GH ∥11C A ．因为 GE Ì平面EHG ，GH Ì平面EHG ，GE GH G I =，1CC Ì平面11AAC C ，11A C Ì平面11AAC C ，所以 平面EHG ∥平面11AAC C ． 因为 F ∈平面11AAC C ，所以 F ∉平面EHG ，即,,,E F H G 四点不共面．17．解：（1）作AE ⊥CD ，垂足为E ，则9CE =，6DE =，设BC x =，则tan tan tan tan()1tan tan CAE DAECAD CAE DAE CAE DAE ∠∠∠=∠∠=-∠⨯∠++961961x x x x==-⋅+， 化简得215540x x --=，解之得，18x =或3x =-（舍） 答：BC 的长度为18m ．（2）设BP t =，则18(018)CP t t =-<<，CBC 1B 1A 1AH GFECBC 1B 1A 1A2291516266(27)18tan()9151813518135118t t t t t t t t t tαβ-===-----⋅-++++++．设227()18135tf t t t =--++，222542723()(18135)t t f t t t -⨯'=-++，令()0f t '=，因为018t <<，得27t =，当27)t ∈时，()0f t '<，()f t 是减函数；当27,18)t ∈时，()0f t '>，()f t 是增函数，所以，当27t =时，()f t 取得最小值，即tan()αβ+取得最小值，因为2181350t t --<+恒成立，所以()0f t <，所以tan()0αβ<+，(,)2αβπ∈π+， 因为tan y x =在(,)2ππ上是增函数，所以当27t =时，αβ+取得最小值． 答：当BP为27)m 时，αβ+取得最小值． 18．（1）解：因为2e =，所以a =，b =c ， 即椭圆E 的方程可以设为222212x y b b+=．将点P 的坐标代入得：213144b =+=， 所以，椭圆E 的方程为2212x y +=． （2）证明：右焦点为F （1,0），设00(,)A x y ，由题意得00(,)B x y -．所以直线AF 的方程为：00(1)1y y x x =--， ① 直线BN 的方程为：00(2)2y y x x -=--， ② ①、 ②联立得，0000(1)(2)12y y x x x x --=---， 即003423x x x -=-，在代入②得，000034(1)123y x y x x -=---，即0023y y x =-．所以点M 的坐标为000034(,)2323x y x x ---．又因为2222220000200034(34)21()()2223232(23)M M x y x y x y x x x --++=+=--- ③将22012x y =-代入③得，2222202000222000(34)2(1)824182(23)2122(23)2(23)2(23)M M x x x x x x y x x x -+--+-+====---． 所以点M 在椭圆E 上．19．（1）解：2e e '()x xx f x x-=． 因为切线0ax y -=过原点(0,0)， 所以 00000200e e e x x x x x x x -=，解得：02x =． （2）证明：设2()e ()(0)xf xg x x x x ==>，则24e (2)'()x x x g x x -=． 令24e (2)'()0x x x g x x -==，解得2x =． x 在(0,)+∞上变化时，'(),()g x g x 的变化情况如下表所以 当2x =时，()g x 取得最小值2e4． 所以 当0x >时，2e ()14g x ?，即()f x x >．（3）解：()0F x =等价于()0f x bx -=，等价于20xe b x-=．注意0x ≠．令2()x e H x b x =-，所以3(2)()(0)x e x H x x x -'=≠． （I ）当0b ≤时， ()0H x >，所以()H x 无零点，即F(x)定义域内无零点．（II ）当0b >时，（i ）当0x <时，()0H x '>，()H x 单调递增；因为()H x 在(,0)-∞上单调递增，而11(H be b b -=-=⋅，又1>，所以(0H <．又因为1(n H nbe b b -=-=⋅，其中n N *∈，取13n b ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，1b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示1b的整数部分．所以1e <<，3n >，由此(0H >． 由零点存在定理知，()H x 在(,0)-∞上存在唯一零点． （ii ）当02x <<时，()0H x '<，()H x 单调递减； 当2x >时，()0H x '>，()H x 单调递增．所以当2x =时，()H x 有极小值也是最小值，2(2)4e H b =-． ①当2(2)04e H b =->，即204e b <<时，()H x 在(0,)+∞上不存在零点； ②当2(2)04e H b =-=，即24e b =时，()H x 在(0,)+∞上存在惟一零点2；………12分 ③当2(2)04e H b =-<，即24e b >时，由1>有(1)0H b b =-=->，而(2)0H <，所以()H x 在(0,2)上存在惟一零点；又因为23b >，223224(2)44b b e e b H b b b b -=-=． 令31()2th t e t =-，其中22t b =>，23()2t h t e t '=-，()3t h t e t ''=-，()3t h t e '''=-， 所以2()30h t e '''>->，因此()h t ''在(2,)+∞上单调递增，从而2()(2)60h t h e ''>=->， 所以()h t '在(2,)+∞上单调递增，因此2()(2)60h t h e ''>=->， 故()h t 在(2,)+∞上单调递增，所以2()(2)40h t h e >=->．由上得(2)0H b >，由零点存在定理知，()H x 在(2,2)b 上存在惟一零点，即在(2,)+∞上存在唯一零点．综上所述：当0b ≤时，函数F(x)的零点个数为0；当2e 04b <<时，函数F(x)的零点个数为1；当2e 4b =时，函数F(x)的零点个数为2；当2e 4b >时，函数F(x)的零点个数为3．20．解：（1）因为 11a =，122n n a a p +=+，所以 21222a a p p =+=+，322222a a p p =+=+． 因为 312S =，所以 22226324p p p ++++=+=，即6p =． 所以 13(1,2,3,)n n a a n +-==L ．所以 数列{}n a 是以1为首项，3为公差的等差数列．所以 2(1)31322n n n n nS n --=⨯+⨯=． （2）若数列{}n a 是等比数列，则2213a a a =．由（1）可得：2(1)1(1)2p p +=⨯+．解得：0p =． 当0p =时，由122n n a a p +=+得：11n n a a +===L ． 显然，数列{}n a 是以1为首项，1为公比的等比数列． 所以 0p =．（3）当0p =时，由（2）知：1(1,2,3,)n a n ==L ．所以11(1,2,3,)nn a ==L ，即数列1{}n a 就是一个无穷等差数列．所以 当0p =时，可以得到满足题意的等差数列． 当0p ≠时，因为 11a =，122n n a a p +=+，即12n n pa a +-=， 所以 数列{}n a 是以1为首项，2p为公差的等差数列． 所以 122n p p a n =+-． 下面用反证法证明：当0p ≠时，数列1{}na 中不能取出无限多项并按原来次序排列而成等差数列．假设存在00p ≠，从数列1{}na 中可以取得满足题意的无穷等差数列，不妨记为{}nb ． 设数列{}n b 的公差为d ．①当00p >时，0(1,2,3,)n a n >=L ． 所以 数列{}n b 是各项均为正数的递减数列． 所以 0d <．因为 1(1)(1,2,3,)n b b n d n =+-=L ， 所以 当11b n d >-时，111(1)(11)0n bb b n d b d d=+-<+--=，这与0n b >矛盾． ②当00p <时，令001022p pn +-<，解得：021n p >-．所以 当021n p >-时，0n a <恒成立． 所以 数列{}n b 必然是各项均为负数的递增数列． 所以 0d >．因为 1(1)(1,2,3,)n b b n d n =+-=L ， 所以 当11b n d >-时，111(1)(11)0n bb b n d b d d=+->+--=，这与0n b <矛盾． 综上所述，0p =是唯一满足条件的p 的值．第II 卷 参考答案与解析21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲 解：连结DO ，Q PD 为切线，PEF 为割线，∴2PD PE PF =⋅，又Q PD =12PF =，∴24PD PE PF==，∴8EF PF PE =-=，4EO =，Q PD 为切线，D 为切点，∴OD PD ⊥在Rt PDO V 中，4OD =，8PO PE EO =+=，∴30DPO ∠=o ，60DOP ∠=o ，Q OD OF =，∴1302EFD DOP ∠=∠=o ． B ．选修4—2：矩阵与变换解：由条件知点(x ，y)在矩阵M 作用下变换为点⎝⎛⎭⎫4x ，y 2，即M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4x y 2， 所以M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤40012，设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，于是有MM －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤40012 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝14b ＝0c 2＝0d 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝0c ＝0d ＝2，所以M 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14002． C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：（1）由θθρcos 4sin 2=，得θρθρcos 4)sin (2=所以曲线C 的直角坐标方程为x y 42=．（2）将直线l 的参数方程代入x y 42=，得04cos 4sin 22=--ααt t ．设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则=+21t t αα2sin cos 4，=21t t α2sin 4-， ∴=-+=-=21221214)(t t t t t t AB αααα2242sin 4sin 16sin cos 16=+，当2πα=时，AB 的最小值为4．D ．选修4—5：不等式选讲解：()()()22221212121118a b a b +++++++=≤，∴212122a b +++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）证明：如图，以AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A －xyz ．则P （λ，0,1），N （12，12，0），M （0,1，12），从而PN u u u r ＝（12－λ，12，－1），AM u u u u r ＝（0,1，12），PN AM ⋅u u u r u u u u r ＝（12－λ)×0＋12×1－1×12＝0，所以PN ⊥AM ；（2）平面ABC 的一个法向量为n ＝1AA u u u r＝（0,0,1）．设平面PMN 的一个法向量为m ＝（x ，y ，z ），由（1）得MP u u u r ＝（λ，－1，12）．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.021,021)21(,0,0z y x z y x MP m NP m λλ得 解得))1(2,12,3(,3.3)1(2,312λλλλ-+==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=m x x z x y 得令． ∵平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°，∴|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n |m |·|n ||＝|2(1－λ)|9＋(2λ＋1)2＋4(1－λ)2＝22，解得λ＝－12．故点P 在B 1A 1的延长线上，且|A 1P |＝12．23．解：（1）当1a =-时，1114,(1)1n a n a a -+=-=-+．令1n n b a =-，则115,(1)n b n b b +=-=-． 因15b =-为奇数，n b 也是奇数且只能为1-， 所以，5,1,1,2,n n b n -=⎧=⎨-≥⎩即4,1,0, 2.n n a n -=⎧=⎨≥⎩（2）当3a =时，1114,31n a n a a -+==+．下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数． 当1n =时，1441a ==⨯，命题成立；设当*()n k k =∈N 时，命题成立，则存在t ∈N *，使得4k a t =，1414(1)1313127(41)1k a t t k a ---+∴=+=+=⋅-+27(41)14(277)m m =⋅++=+，其中，4(1)14544434(1)4(1)4(1)44C 4(1)C 4C 4t t r r t r t t t t m --------=-⋅++-⋅+-⋅L L ，m ∴∈Z ，∴当1n k =+时，命题成立．∴由数学归纳法原理知命题对*n ∀∈N 成立．2015年江苏高考数学模拟试卷（二）第Ⅰ卷 （必做题 分值160分）苏州市高中数学学科基地 苏州市高中数学命题研究与评价中心一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．函数2()log (21)f x x =-的定义域为 ▲ ． 2．若复数iia ++2是实数（i 为虚数单位），则实数a 的值是 ▲ ． 3．在大小相同的4个小球中，2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是 ▲ ． 4．若()1cos 33πα-= ，则()sin 26πα-= ▲ ． 5．如图所示的流程图，若输入x 的值为 5.5-，则输出的结果c = ▲ ．6．已知实数x y ，满足约束条件 13230x x y x y ⎧⎪+⎨⎪--⎩≥≤≤ 若z ax y =+取得最小值时的最优解有无数个，则a = ▲ ．7．给出下列命题：其中，所有真命题的序号为 ▲ ．（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； （3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中正确的是 ▲ ．8．设斜率为22的直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于不同的两点P 、Q ，若点P 、Q 在x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．9．已知等比数列{}n a 各项都是正数，且42324,4a a a -==，则{}n a 前10项的和为 ▲ ．10．在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别是2222a b c a b c +=，，，，则角C 的取值范围是 ▲ ． 11．如图，函数()()2sin (0,)2f x x πωϕωϕπ=+>≤≤的部分图象，其中A B ，分别是图中的最高点和最低点，且5AB =，那么ωϕ+的值为 ▲ ． 12．若141m x x+-≥对任意的)1,0(∈x 恒成立，则m 的取值范围为 ▲ ． 13．若正实数a ，b ，c 满足2223108a ab b c +-=，且a>b ，若不等式5a +6b ≥kc 恒成立，则实数k 的最大值为 ▲ ．14．设三角形ABC 的内角A 、B 、C 所对边a 、b 、c 成等比数列，则sin cos tan sin cos tan A A CB B C++的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量a =sin θ)与b =(1，cos θ)互相平行，其中θ∈(0，2π)． （1）求sin θ和cos θ的值；（2）求f (x )=sin(2x ＋θ)的最小正周期和单调增区间．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，M 是AD 中点，N 是PC 中点， （1）求证：//MN 面PAB ；（2）若面PMC ⊥面PAD ，求证：CM AD ⊥．BDA O BM C DEF N xy如图，某小区有一矩形地块OABC ，其中2=OC ，3=OA （单位百米）．已知OEF 是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边EF 相切于点M 的直路l （宽度不计），交线段OC 于点D ，交线段OA 于点N ．现以点O 为坐标原点，线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边EF 满足函数()2202y x x =-+剟的图象．若点M 到y 轴距离记为t ． （1）当32=t 时，求直路l 所在的直线方程； （2）当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，并求出最大值．18．（本小题满分16分）已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 2e =﹒ （1）求椭圆E 的方程；（2）过点()1,0作斜率为k 的直线l 交点B 是点A 关于x 求出定点坐标﹒在数列{a n }中，1n a n=(n ∈N *)．从数列{a n }中选出k (k ≥3)项并按原顺序组成的新数列记为{b n }，并称{b n }为数列{a n }的k 项之列．例如数列11112358，，，为{a n }的一个4项子列． （1）试写出数列{a n }的一个3项子列，并使其为等差数列；（2）如果{b n }为数列{a n }的一个5项子列，且{b n }为等差数列，证明：{b n }的公差d 满足108d -<< ； （3）如果{c n }为数列{a n }的一个m (m ≥3)项子列，且{c n }为等比数列，证明：c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m ≤2－112m -．20．（本小题满分16分）已知函数xm x x x f --=ln )(． （1）若,2=m 求)(x f 的最值； （2）讨论)(x f 的单调性；（3）已知B A ,是)(x f 图像上的二个不同的极值点，设直线AB 的斜率为k ． 求证: 1->k第II 卷 （附加题 分值40分）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，BAC ∠的平分线AD 交⊙O 于D ，过点D 作DE AC ⊥交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F ．若35AC AB =，求FDAF的值．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21c b M 有特征值11-=λ及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦e ． （1）求矩阵M ；（2）求曲线148522=++y xy x 在M 的作用下的新曲线方程．C ．选修4—4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．D ．选修4—5：不等式选讲已知222+=x y ，且x y ≠，求()()2211++-x y x y 的最小值．ABCDEFO【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，已知三棱锥ABC O -的侧棱OC OB OA ,,两两垂直，且2,1===OC OB OA ，E 是OC 的中点． （1）求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值； （2）求二面角C BE A --的正弦值．23．（本小题满分10分）设整数3n ≥，集合{1,2,,},,P n A B =L 是P 的两个非空子集．记n a 为所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(,)A B 的个数． （1）求3a ； （2）求n a ．AECBO2015年江苏高考数学模拟试卷（二）第Ⅰ卷 参考答案与解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．1(,)2+∞ 2．2 3．564．79- 5．1 6．－12 7．()1、()3、()4 89．1023 10．(0,]3π11．76π 12．1m ≥ 13． 14．解析：1．只要解不等式210x ->3．任意取两个球的种数有6种，取出两个都是白色的有2种， 116P =-6．直线y ＝－ax ＋z 与可行域（三角形）下边界x －2y －3＝0重合时z 最小，a=－128．设点P 、Q 在x 轴上的射影分别为焦点F 1、F 2，|PF 1|=2c (其中c 为|OF 1|的长)，从而|PF 2，所以2a =|PF 1|＋|PF 2|=，得e ． 9．由条件得11,2a q ==，则101023S =10．2222221cos 2442a b c a b ab C ab ab ab +-+===≥，又因为(0,)C π∈，得C ∈(0,]3π11． 23,6,2T T πω===得3πω=，又当0x =时，(0)1f =，得56πϕ=12．由题意可知0>m ，)1)(11(11x x x mx x m x -+-+=-+1111x mx m m x x-=+++++-≥∴14m ++，∴1m ≥13．由已知，2(4)(32)a b a b c +-=，40,320a b a b +>->，562(4)(32)a b a b a b +=++-≥min 56()a bk c+=≤14．sin cos tan sin cos tan A A C B B C ++=sin cos cos sin sin cos cos sin A C A C B C B C ++=sin()sin()A C B C ++=sin()sin()B A ππ--=sin sin B A =ba设a 、b 、c 的公比为q ，则b =aq ，c =aq 2，又 a 、b 、c 能构成三角形的三边，所以有222a aq aq aq aq a a aq aq ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，解得15151551q q q q R⎧-+<<⎪⎪⎪+-⎪<->⎨⎪∈⎪⎪⎪⎩或，即5151q -+<<． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）因为向量a 与b 平行，则sin θ=3cos θ，tan θ=3，又θ∈(0，2π)， 所以θ=3π，所以sin θ=32，cos θ=12；（2）由f (x )=sin(2x ＋θ)=sin(2)3x π+，得最小正周期T π=，由22k ππ-≤23x π+≤22k ππ+，k Z ∈，解得512k ππ-≤x ≤12k ππ+，k Z ∈， 所以f (x )的单调增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈． 16．证明：（1）取PB 中点E ，连EA ，EN ，PBC ∆中，//EN BC 且12EN BC =， 又12AM AD =，//AD BC ，AD BC =得//EN =AM ，四边形ENMA 是平行四边形， 得//MN AE ，MN ⊄面PAB ，AE ⊂面PAB ，//MN ∴面PAB（2）过点A 作PM 的垂线，垂足为H ，Q 面PMC ⊥面PAD ，面PMC I 面PAD PM =，AH PM ⊥，AH ⊂面PADAH ∴⊥面PMC ，CM ⊂面PMC ，AH ∴⊥CMQ PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CM Q PA AH A =I ，PA 、AH ⊂面PAD ，CM ⊥面PAD ，AD ⊂Q 面PAD ，CM AD ∴⊥17．解：（1）由题意得()214,39M， 又因为2y x '=-，所以直线l 的斜率34-=k ，故直线l 的方程为()1442933y x -=--， 即92234+-=x y ． （2）由（1）易知)(2)2(:2t x t t y l --=--，即222++-=t tx y ．令0=y 得()122x t t=+，令0x =得22y t =+．由题意()2122,223t tt ⎧+⎪⎨⎪+⎩≤≤解得221t -≤≤． ()()2112222ODN S t t t ∆∴=⋅++()31444t t t=++．令()()31444g t t t t=++，则()()42222143443444t t g t t t t +-'=+-=()()2222324t t t +-=． 当6t =时，()60g '=；当()622,t ∈-时，()60g '<；∴所求面积的最大值为86918．解：（1）设椭圆E 的方程为22221x ya b +=，由已知得：2122a c c a⎧-=⎪⎨=⎪⎩21a c ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ 2221b a c ∴=-= ，∴椭圆E 的方程为2212x y += （2）设()11,A x y ，()11,B x y -，则11x ≠，直线AP :11(1)1y y x x =--，与椭圆方程2222x y +=联立， 得()1222111234340x x y x x x -++-=，得113423P x x x -=-，点P 在直线AP 上，则1123P y y x =-，直线BP 方程：1111()(2)y y y x x x +=---，化简得：11(2)(2)y y x x =---，则直线BP 过定点(2,0)19．解：（1）3项子列111,,236；(答案不唯一)（2）由题意，知1≥b 1>b 2>b 3>b 4>b 5>0，所以d =b 2－b 1<0．若b 1=1，若{b n }为{a n }的一个5项子列，得b 2≤12，所以d =b 2－b 1≤12－1=－12，又b 5=b 1＋4d ，b 5>0，所以4d =b 5－b 1=b 5－1>－1，即d >－14，与d ≤－12矛盾，所以b 1≠1． 所以b 1≤12，因为b 5=b 1＋4d ，b 5>0，所以4d =b 5－b 1≥b 5－12>－12，即d >－18， 所以108d -<<．（3）由题意，设{c n }的公比为q ，则：c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m =c 1(1＋q ＋q 2＋……＋q m －1)，因为{c n }为{a n }的一个m 项子项，所以q 为正有理数，且q <1，c 1=1a≤1(a ∈N *)， 设q =(,*KK L N L∈，且K ，L 互质，L ≥2)， 当K =1时，因为q =1L ≤12，所以c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m =c 1(1＋q ＋q 2＋……＋q m －1)≤ 1＋12＋21()2＋……＋11()2m -=2－112m -； 当K ≠1时，因为c m =c 1qm －1=111m m K a L--⨯是{a n }的项，且K 、L 互质，所以a =K m －1×M (M ∈N*) 所以c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m =c 1(1＋q ＋q 2＋……＋q m －1)=1232111111()m m m m M K K L K L L----++++L 因为L ≥2，M ∈N *，所以c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m ≤1＋12＋21()2＋……＋11()2m -=2－112m -； 综上，c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m ≤2－112m -．20．解：（1）当2=m 时， 222(2)(2)(1)()0x x x x f x x x-----+'===，∴2=x ∴)(x f 在()2,0上单调递增，在()+∞,2上单调递减 ∴32ln )2()(max -==f x f（2）2221()()1m x x m f x x x x---'=-+= )0(>x i: 104m ∆-≤时，即≤时()0f x '≤，∴)(x f 在()+∞,0上单调递减．ii: ()0f x '=时24111m x +-=，24112mx ++=① 当041<<-m 时， 210x x << ∴)(x f 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-2411,0m上单调递减，在1122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递增，在⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞++,2411m 上单调递减． ② 当0m ≥时， 210x x <<∴)(x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2411,0m 上单调递增，在⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞++,2411m 上单调递减． （3）设)(,(),(,(2211x f x B x f x A则21,x x 是方程02=--m x x 的二个根，且m x x -=⋅21，1021<<<x x∴212221112121)(ln ln )()(x x x m x x x m x x x x x f x f k ------=--=2121211ln ln x x m x x x x ⋅+---=2ln ln 2121---=x x x x令)10(ln )(<<-=x xx x g ，∴ 11()10xg x x x-'=-=>，∴)(x g 在()1,0上单调递增 Θ1021<<<x x ，∴ )()(21x g x g <即2211ln ln x x x x -<-∴2121ln ln x x x x -<-，∴ 1ln ln 2121>--x x x x∴ 1->k第II 卷 参考答案与解析21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲解：连接OD ，BC ，设BC 交OD 于点M ．因为OA=OD ，所以∠OAD=∠ODA ；又因为∠OAD=∠DAE ，所以∠ODA=∠DAE 所以OD//AE ；又 因为AC ⊥BC ，且DE ⊥AC ，所以BC//DE ． 所以四边形CMDE 为平行四边形，所以CE=MD 由35AC AB =，设AC=3x ，AB=5x ，则OM=32x ，又OD=52x ， 所以MD=52x -32x =x ，所以AE=AC+CE=4x ，因为OD//AE ，所以FD AF =48552AE x OD x ==．B ．选修4—2：矩阵与变换 解：（1）由已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡111121c b ，即12,11=--=-c b ， ∴3,2==c b ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2331M ； （2）设曲线上任一点),(y x P ，P 在M 作用下对应点),(11'y x P ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x 232111 即⎩⎨⎧+=+=y x y y x x 23211，解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=4321111y x y x y x ，代入148522=++y xy x 得22121=+y x ，即曲线148522=++y xy x 在M 的作用下的新曲线的方程是222=+y x ． C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －4，圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0． 圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －4＝0的距离为d ＝22＝2．又圆C 的半径r ＝2， 因此直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝22．D ．选修4—5：不等式选讲解：222x y +=Q ，()()224x y x y ∴++-= ，()()()2222114()()x y x y x y x y ⎛⎫++-+ ⎪+-⎝⎭Q≥，22111()()x y x y ∴++-≥， 当且仅当0x y ==，或0x ,y ==时2211()()x y x y ++-的最小值是1． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）以O 为原点，分别以OB ，OC ，OA 为x ，y ，z 轴，建立直角坐标系A (0，0，1)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，E (0，1，0)(2,1,0),(0,2,1)EB AC =-=-u u u r u u u r 2cos ,5EB AC ∴<>=-u u u r u u u r异面直线BE 与AC 所成角的余弦值为25． （2）(2,0,1),(0,1,1)AB AE =-=-u u u r u u u r，设平面ABE 的法向量为1(,,)x y z =n ，则由11,AB AE ⊥⊥n n u u u r u u u r ，得120(1,2,2)0x z y z -=⎧=⎨-=⎩n 取平面BEC 的法向量为2(0,0,1)=n122cos ,3∴<>=n n ， 二面角C BE A --． 23．解：（1）当n =3时，P ={1，2，3 }，其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}， 则所有满足题意的集合对(A ，B )为：({1}，{2})，({1}，{3})，({2}，{3})， ({1}，{2，3}），（{1，2}，{3})共5对，所以a 35=；（2）设A 中的最大数为k ，其中11k n -≤≤，整数n ≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k 1-可在A 中，故A 的个数为：0111111C C C 2k k k k k -----++⋅⋅⋅+=， B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，n 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：12C C C 21n k n kn k n k n k -----++⋅⋅⋅+=-， 从而集合对(A ，B )的个数为()1221k n k --⋅-=1122n k ---， 所以a n ()11111111222(1)2(2)2112n n n k n n k n n ------=-=-=-⋅-=-⋅+-∑．2015年江苏高考数学模拟试卷（三）第Ⅰ卷 （必做题 分值160分）苏州市高中数学学科基地 苏州市高中数学命题研究与评价中心一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，集合B ＝{x |x <a }，其中a Z ∈，若A I B={1,2}，则a ＝ ▲ ． 2．若复数(1+i )z =3-4i (i 为虚数单位)，则复数z 的模| z | = ▲ ．3．右图是七位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 ▲ ．4．右边是一个算法的伪代码，若输入x 的值为1，则输出的x 的值是 ▲ ．5．有三张大小形状都相同的卡片，它们的正反面分别写有1和2、3和4、5和6，现将它们随机放在桌面上，则三张卡片上显示的数字之和大于10的概率是 ▲ ．6．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若371517233a a a a ++-=，则17S = ▲ ．7．已知正四棱锥的底面边长是2，这个正四棱锥的侧面积为16，则该正四棱锥的体积为 ▲ .8．设()αβ∈0π，，，且5sin()13αβ+=, 1tan 22α=．则cos β的值为 ▲ ． 9．已知x ，y 满足约束条件1,3,23,x x y y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥则z ＝2x ＋y 的最小值为 ▲ ．10．若2x ∀<，不等式()2620x a x a +-+≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，A 为椭圆上一点，120AF AF ⋅=u u u r u u u u r ，2AF 与y轴交与点M ，若254F M MA =u u u u u r u u u r，则椭圆离心率的值为 ▲ ．12．已知二次函数232()(16)16f x ax a x a =+--（0a >）的图象与x 轴交于,A B 两点，则线段AB 长度的最小值 ▲ ．13．如图，在正△ABC 中，点G 为边BC 上的中点，线段AB ，AC 上的动点D ，E分别满足AD AB λ=u u u r u u u r ，(12)AE AC λ=-u u u r u u u r()λ∈R ，设DE 中点为F ，记()FG R BCλ=u u u r u u u r ，则()R λ的取值范围为 ▲ ． 14．设二次函数2()(21)2(0)f x ax b x a a =++--≠在区间[3,4]上至少有一个零点，则22a b +的最小值Read xIf x >3 then x ←x -3 Else x ←3-x EndIf Print x为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，且222a cb ac +=+． （1）若cosA ＝13，求sinC 的值；（2）若b ＝7，a ＝3c ，求三角形ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，底面ABCD 是菱形，45ABC ∠=︒， E 、F 分别是棱BC 、P A 上的点，EF //平面PCD ，PAE PAD ⊥平面平面． （1）求证：EF BC ⊥；（2）若AF FP λ=，求实数λ的值．如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中AB 长为2km ，C 、D 两点在半圆弧上，满足BC =CD ．设COB θ∠=．（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段AB 、BC 、CD 和DA 组成，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求l 的最大值．（2）若要在景区内种植鲜花，其中在AOD ∆和BOC ∆内种满鲜花，在扇形COD 内种一半面积的鲜花，则当θ为何值时，鲜花种植面积S 最大．18．（本小题满分16分）如图，设A 、B 分别为椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点，P 是椭圆E 上不同于A 、B 的一动点，点F 是椭圆E 的右焦点，直线l 是椭圆E 的右准线．若直线AP 与直线：x a =和l 分别相交于C 、Q 两点，FQ 与直线BC 交于M ． （1）求:BM MC 的值；（2）若椭圆E的离心率为2，直线PM 的方程为80x +-=，求椭圆E 的方程．已知数列{n a }、{n b }满足：1121141n n n n n b a a b b a +=+==-，，.（1）求1234,,,b b b b ；（2）证明：11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（3）设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立．20．（本小题满分16分）已知函数()f x 满足2(2)()f x f x +=，当(02)x ∈，x ∈(0，2)时，1()ln ()2f x x ax a =+<-，当42x ∈--（，）时，()f x 的最大值为 - 4．（1）求实数a 的值； （2）设b ≠0，函数31()3g x bx bx =-，12x ∈（，）．若对任意112x ∈（，），总存在212x ∈（，），使()()120f x g x -=，求实数b 的取值范围．第II 卷 （附加题 分值40分）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，P A 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B ，C 两点，P A ＝3，PB ＝1，求∠ABC 的大小．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2．求矩阵A 和A 的逆矩阵．C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l ：cos sin x t y t αα⎧⎨⎩＝＋m ＝（t 为参数）恒经过椭圆C ：⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 5y x （ϕ为参数）的右焦点F ． （1）求m 的值；（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求|F A|·|FB|的最大值与最小值．D ．选修4—5：不等式选讲已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝1，2a 2＋3b 2＋6c 2＋d 2＝25，求实数d 的取值范围．OCBPA【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1 D 1的所有棱长都为1，M 、N 分别为线段BD 和B 1C 上的两个动点．（1）求线段MN 长的最小值；（2）当线段MN 长最小时，求二面角B －MN －C 的大小．23．（本小题满分10分）设函数()213213x f x x ex x -=--()x ∈R ． （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）当()1,x ∈+∞时，用数学归纳法证明：*n ∀∈N ，1!nx x en ->．C 1AA2015年江苏高考数学模拟试卷（三）第Ⅰ卷 参考答案与解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．3 2．5223．1.04 4．2 5． 12 6． 10.2 7．3154 8．1665- 9．1 10． 2a ≥ 11．1012．12 13．17,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．1100 解析：2．由|(1+i )z | =|3-4i |和|(1+i )z | =|1+i ||z | 可知|z |＝522. 3．由题意知，只要求83，84，84，85，86的方差，得到2222221.40.40.40.6 1.6 1.045s ++++==.4．1<3，故x =3-1=2.5．1+3+5=9，1+3+6=10，1+4+5=10，1+4+6=11，2+3+5=10，2+3+6=11，2+4+5=11，2+4+6=12共8种其中和大于10的有4种，故概率为4182=. 6．由条件得953a =，故1791710.2S a ==9．作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由1,23,x y x =⎧⎨=-⎩得1,1,x y =⎧⎨=-⎩∴z min ＝2－1＝1.11．设(0,)M m ，(,)A x y ，因为254F M MA =u u u u u r u u u r ，所以5(,)(,)4c m x y m -=-，解得49,55x c y m =-=，又因为120AF AF ⋅=u u u r u u u u r ，所以999(,)(,)05555c m c m ---=，解得229c m =，因为点A 在椭圆22221x y a b+=上，所以2222168112525c m a b +=，即222216912525c c a b +=，又即42241650250c a c a -+=，从而421650250e e -+=，解得10e =. 12．因式分解可得2()()(16)f x x a ax =-+，于是,A B 两点的坐标分别是216(,0),(,0)a a-，于是线段AB 的长度等于216a a +．记216()F a a a=+，322162(8)'()2a F a a a a -=-=，于是()F a 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，从而()F a 的最小值就是216(2)2122F =+=． 13．()12FG EC DB =+u u u r u u u r u u u r ，不妨设三角形边长为1，则12(1)2FG AC AB λλ=+-u u u r u u u r u u u r 231λ+=，又由。

2015年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷一.填空题：本大题共20小题，每小题5分，计70分.1．（5分）（2015•盐城一模）设集合M={2，0，x}，集合N={0，1}，若N⊆M，则x= ．2．（5分）（2015•盐城一模）若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a= ．3．（5分）（2015•盐城一模）在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9，10，9，7，10，则该组数据的方差是．4．（5分）（2015•盐城一模）甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为．5．（5分）（2015•盐城一模）若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a= ．6．（5分）（2015•盐城一模）运行如图所示的程序后，输出的结果为．7．（5分）（2015•盐城一模）已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为．8．（5分）（2015•盐城一模）若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为．9．（5分）（2015•盐城一模）若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x0，0）成中心对称，，则x0= ．10．（5分）（2015•盐城一模）若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x+log2y=1，则的最小值为．11．（5分）（2015•盐城一模）设向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），则“∥”是“tanθ=”成立的条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．12．（5分）（2015•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，设直线y=﹣x+2与圆x2+y2=r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足=+则r= ．13．（5分）（2015•盐城一模）已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1，函数g （x）=x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是．14．（5分）（2015•盐城一模）已知数列{a n}满足a1=﹣1，a2＞a1，|a n+1﹣a n|=2n（n∈N*），若数列{a2n﹣1}单调递减，数列{a2n}单调递增，则数列{a n}的通项公式为a n= ．15．（5分）（2015•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=，且a=，c=1，求b．16．（15分）（2015•盐城一模）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．（1）求证：OE∥平面BCC1B1；（2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．17．（12分）（2015•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右准线方程为x=4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线l的斜率．18．（5分）（2015•盐城一模）某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0＜t≤25，单位：米）；曲线BC是抛物线y=﹣ax2+50（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．假定拟建体育馆的高OB=50米．（1）若要求CD=30米，AD=米，求t与a的值；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围；（3）若，求AD的最大值．（参考公式：若，则）19．（5分）（2015•盐城一模）设数列{a n}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S n，若a1a5=64，S5﹣S3=48．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对于正整数k，m，l（k＜m＜l），求证：“m=k+1且l=k+3”是“5a k，a m，a l这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{b n}满足：对任意的正整数n，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1=3•2n+1﹣4n﹣6，且集合中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围．20．（5分）（2015•盐城一模）已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）=+，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．A、（选修4-1：几何证明选讲）21．（5分）（2015•盐城一模）如图，已知点P为Rt△ABC的斜边AB的延长线上一点，且PC与Rt△ABC的外接圆相切，过点C作AB的垂线，垂足为D，若PA=18，PC=6，求线段CD的长．B、（选修4-2：矩阵与变换）22．（2015•盐城一模）求直线x﹣y﹣1=0在矩阵的变换下所得曲线的方程．23．（2015•盐城一模）在极坐标系中，求圆ρ=2cosθ的圆心到直线的距离．24．（8分）（2015•盐城一模）解不等式|x+1|+|x﹣2|＜4．25．（10分）（2015•盐城一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，动点P满足（λ＞0），当λ=时，AB1⊥BP．（1）求棱CC1的长；（2）若二面角B1﹣AB﹣P的大小为，求λ的值．26．（10分）（2015•盐城一模）设集合S={1，2，3，…，n}（n∈N*，n≥2），A，B是S的两个非空子集，且满足集合A中的最大数小于集合B中的最小数，记满足条件的集合对（A，B）的个数为P n．（1）求P2，P3的值；（2）求P n的表达式．2015年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题：本大题共20小题，每小题5分，计70分.1．（5分）（2015•盐城一模）设集合M={2，0，x}，集合N={0，1}，若N⊆M，则x=1．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：根据条件N⊆M，确定元素关系，进行求解即可，从而得到x的值．解答：解：∵集合M={2，0，x}，N={0，1}，∴若N⊆M，则集合N中元素均在集合M中，∴x=1．故答案为：1．点评：本题主要考查集合的包含关系的应用，利用N⊆M，确定元素关系．一般集合中问题，如果含有参数，求解之后要注意对集合进行验证．属于基础题．2．（5分）（2015•盐城一模）若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=﹣1．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．解答：解：复数==﹣ai+1，∵Z的实部与虚部相等，∴﹣a=1，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义，属于基础题．3．（5分）（2015•盐城一模）在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9，10，9，7，10，则该组数据的方差是．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据平均数与方差的公式进行计算即可．解答：解：数据9，10，9，7，10的平均数是=（9+10+9+7+10）=9，∴它的方差是s2=[（9﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2+（7﹣9）2+（10﹣9）2]=．4．（5分）（2015•盐城一模）甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为0.3．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：利用互斥事件概率加法公式及对立事件概率减法公式，结合已知计算求解．解答：解：∵“乙获胜”与“甲获胜”及“甲、乙下和棋”是互斥事件．且与“乙获胜”与“甲获胜与甲、乙下和棋的并事件”是互斥事件．∵甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，∴乙获胜的概率P=1﹣（0.2+0.5）=0.3．故答案为：0.3点评：正确理解互斥事件及其概率加法公式及对立事件概率减法公式，是解题的关键．5．（5分）（2015•盐城一模）若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a=．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据抛物线y2=4x的方程求出焦点坐标，得到双曲线的c值，进而根据双曲线的性质得到答案．解答：解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），故双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点坐标为（1，0），故c=1，由双曲线x2﹣y2=a2的标准方程为：，故2a2=1，又由a＞0，∴a=．故答案为：点评：本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．6．（5分）（2015•盐城一模）运行如图所示的程序后，输出的结果为42．考点：伪代码．专题：算法和程序框图．解答：解：模拟执行程序，有i=1，s=0，满足条件i＜8，i=4，s=8，满足条件i＜8，i=7，s=22，满足条件i＜8，i=10，s=42，不满足条件i＜8，退出循环，输出s的值为42．故答案为：42．点评：本题考查循环结构框图的应用，注意退出循环的条件，考查计算能力，属于基础题．7．（5分）（2015•盐城一模）已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为8．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，设z=x+y，利用z的几何意义，先求出z的最大值，即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+y，则y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入z=x+y得z=1+2=3．即z=x+y最大值为3，∴2x+y的最大值为23=8．故答案为：8．点评：本题主要考查线性规划的应用以及指数函数的运算，利用z的几何意义结合数形结合是解决本题的关键．8．（5分）（2015•盐城一模）若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中，圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，分析圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，∴圆锥的母线长l=2，故圆锥的高h==，故圆锥的体积V===，故答案为：．点评：本题考查的是圆锥的体积求解问题．在解答的过程当中充分体现了圆锥体积公式的应用以及转化思想的应用．值得同学们体会反思．9．（5分）（2015•盐城一模）若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x0，0）成中心对称，，则x0=．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用两角和的正弦公式化简f（x），然后由f（x0）=0求得[0，]内的x0的值．解答：解：∵函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，∴=π，∴ω=2∴f（x）=sin（2x+）．∵f（x）的图象关于点（x0，0）成中心对称，∴f（x0）=0，即sin（2x0+）=0，∴2x0+=kπ，∴x0=﹣，k∈Z，∵x0∈[0，]，∴x0=．故答案为：．点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查了正弦函数的对称中心的求法，属于基本知识的考查．10．（5分）（2015•盐城一模）若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x+log2y=1，则的最小值为4．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．∴log2xy=1=log22，∴xy=2，∴==（x﹣y）+≥2=4，但且仅当x=1+，y=﹣1时取等号，故的最小值为4，故答案为：4．点评：本题考查了对数的运算性质和基本不等式，属于中档题11．（5分）（2015•盐城一模）设向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），则“∥”是“tanθ=”成立的必要不充分条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据向量平行的坐标关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若∥，则sin2θ﹣cosθcosθ=0，即2sinθcosθ﹣cosθcosθ=0，即cosθ（2sinθ﹣cosθ）=0，则cosθ=0或tanθ=，故∥”是“tanθ=”成立必要不充分条件，故答案为：必要不充分．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键．12．（5分）（2015•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，设直线y=﹣x+2与圆x2+y2=r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足=+则r=．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：设，由=+两边同时平方可求cosθ，结合θ的范围及公式可求，结合三角函数及点到直线的距离公式可求圆心O到直线x+y﹣2=0的距离为d，进而可求r解答：解：由题意可得，=r设，θ∈[0，π]则==r2cosθ两边同时平方可得，=即×∴cosθ=∵，∴且cos∴=设圆心O到直线x+y﹣2=0的距离为d，则d=rcos=即∴r=故答案为：点评：本题主要考查了直线与圆心的位置关系，三角函数知识的灵活的应用是求解本题的关键．13．（5分）（2015•盐城一模）已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1，函数g （x）=x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是[﹣5，﹣2]．考点：指数函数综合题；特称命题．专题：函数的性质及应用．分析：求出函数f（x）的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论．解答：解：∵f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，∴f（0）=0，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1∈（0，3]，则当x∈[﹣2，2]时，f（x）∈[﹣3，3]，若对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则等价为g（x）max≥3且g（x）min≤﹣3，∵g（x）=x2﹣2x+m=（x﹣1）2+m﹣1，x∈[﹣2，2]，∴g（x）max=g（﹣2）=8+m，g（x）min=g（1）=m﹣1，则满足8+m≥3且m﹣1≤﹣3，解得m≥﹣5且m≤﹣2，故﹣5≤m≤﹣2，故答案为：[﹣5，﹣2]点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强．14．（5分）（2015•盐城一模）已知数列{a n}满足a1=﹣1，a2＞a1，|a n+1﹣a n|=2n（n∈N*），若数列{a2n﹣1}单调递减，数列{a2n}单调递增，则数列{a n}的通项公式为a n=．考点：数列的函数特性；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：方法一：先采用列举法得a1=﹣1，a2=1，a3=﹣3，a4=5，a5=﹣11，a4=21，…，然后从数字的变化上找规律，得，再利用“累加求和”即可得出．方法二：由，，可得，而{a2n﹣1}递减，a2n+1﹣a2n﹣1＜0，故；同理，由{a2n}递增，得；又a2＞a1，可得，即可得出．解答：解：方法一：先采用列举法得a1=﹣1，a2=1，a3=﹣3，a4=5，a5=﹣11，a6=21，…，然后从数字的变化上找规律，得，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=（﹣1）n•2n﹣1+（﹣1）n﹣1•2n﹣2+…﹣22+2﹣1==．方法二：∵，，∴，而{a2n﹣1}递减，∴a2n+1﹣a2n﹣1＜0，故；同理，由{a2n}递增，得；又a2＞a1，∴，以下同上．点评：本题考查了含绝对值数列的单调性，考查了猜想归纳方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．15．（5分）（2015•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（x1，y1），将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q（x2，y2）记f（α）=y1+y2（1）求函数f（α）的值域；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=，且a=，c=1，求b．考点：任意角的三角函数的定义；直线与圆的位置关系．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据三角函数的定义求出函数f（α）的表达式，即可求出处函数的值域；（2）根据条件求出C，根据余弦定理即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）由三角函数定义知，y1=sinα，y2=sin（α+）=cosα，f（α）=y1+y2=cosα+sinα=sin（α+），∵角α为锐角，∴＜α+＜，∴＜sin（α+）≤1，∴1＜sin（α+）≤，则f（α）的取值范围是（1，]；（Ⅱ）若f（C）=，且a=，c=1，则f（C）═sin（C+）=，即sin（C+）=1，则C=，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即1=2+b2﹣2×b，则b2﹣2b+1=0，即（b﹣1）2=0，解得b=1．点评：本题主要考查三角函数的定义以及余弦定理的应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．16．（15分）（2015•盐城一模）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．（1）求证：OE∥平面BCC1B1；（2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）：连接BC1，设BC1∩B1C=F，连接OF，可证四边形OEBF是平行四边形，又OE⊄面BCC1B1，BF⊂面BCC1B1，可证OE∥面BCC1B1．（2）先证明BC1⊥DC，再证BC1⊥面B1DC，而BC1∥OE，OE⊥面B1DC，又OE⊂面B1DE，从而可证面B1DC⊥面B1DE．解答：证明：（1）：连接BC1，设BC1∩B1C=F，连接OF，…2分因为O，F分别是B1D与B1C的中点，所以OF∥DC，且，又E为AB中点，所以EB∥DC，且d1=1，从而，即四边形OEBF是平行四边形，所以OE∥BF，…6分又OE⊄面BCC1B1，BF⊂面BCC1B1，所以OE∥面BCC1B1．…8分（2）因为DC⊥面BCC1B1，BC1⊂面BCC1B1，所以BC1⊥DC，…10分又BC1⊥B1C，且DC，B1C⊂面B1DC，DC∩B1C=C，所以BC1⊥面B1DC，…12分而BC1∥OE，所以OE⊥面B1DC，又OE⊂面B1DE，所以面B1DC⊥面B1DE．…14分解读：初稿是：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB的中点．（1）求证：BC1∥面B1DE；（2）求证：面B1DC⊥面B1DE讨论时，有老师提出第（1）小题偏难了，所以作了修改．点评：本题主要考察了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，属于基本知识的考查．17．（12分）（2015•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右准线方程为x=4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线l的斜率．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意知，直线l的方程为y=2（x﹣a），即2x﹣y﹣2a=0，利用点到直线的距离公式可得：右焦点F到直线l的距离为，化为a﹣c=1，又椭圆C的右准线为x=4，即，及其a2=c2+b2，解出即可．（2）方法一：由（1）知，F（1，0），直线BF的方程为，与椭圆方程联立可得P，即可得出k PA；方法二：由（1）知，F（1，0），直线BF的方程为，由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2），联立直线得出交点代入椭圆方程即可得出．方法三：由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2），与椭圆方程可得根与系数的关系，利用B，F，P三点共线k BP=k BF，解出即可．解答：解：（1）由题意知，直线l的方程为y=2（x﹣a），即2x﹣y﹣2a=0，∴右焦点F到直线l的距离为，∴a﹣c=1，又椭圆C的右准线为x=4，即，∴，将此代入上式解得a=2，c=1，∴b2=3，∴椭圆C的方程为．（2）方法一：由（1）知，F（1，0），∴直线BF的方程为，联立方程组，解得或（舍），即，∴直线l的斜率．方法二：由（1）知，F（1，0），∴直线BF的方程为，由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2），联立方程组，解得，代入椭圆解得：或，又由题意知，得k＞0或，∴．方法三：由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2），联立方程组，得（4k2+3）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，，∴，，当B，F，P三点共线时有，k BP=k BF，即，解得或，又由题意知，得k＞0或，∴．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、三点共线，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18．（5分）（2015•盐城一模）某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0＜t≤25，单位：米）；曲线BC是抛物线y=﹣ax2+50（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．假定拟建体育馆的高OB=50米．（1）若要求CD=30米，AD=米，求t与a的值；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围；（3）若，求AD的最大值．（参考公式：若，则）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）由CD=50﹣t=30，解得t=20．可得圆E：x2+（y﹣20）2=302，令y=0，得|AO|，即可得出|OD|=|AD|﹣|AO|，将点C代入y=﹣ax2+50（a＞0）中，解得a即可．（2）由于圆E的半径为50﹣t，可得CD=50﹣t，在y=﹣ax2+50中，令y=50﹣t，得，由题意知对t∈（0，25]恒成立，即恒成立，利用基本不等式的性质解出即可．（3）当时，，又圆E的方程为x2+（y﹣t）2=（50﹣t）2，令y=0，得，从而，方法一：利用导数研究其单调性极值即可；方法二：（三角换元）令，利用三角函数的单调性值域，解出即可；方法三：令，则题意相当于：已知x2+y2=25（x≥0，y≥0），求z=AD=5×（2x+y）的最大值．利用线性规划的有关知识解出即可．解答：解：（1）∵CD=50﹣t=30，解得t=20．此时圆E：x2+（y﹣20）2=302，令y=0，得，∴，将点代入y=﹣ax2+50（a＞0）中，解得．（2）∵圆E的半径为50﹣t，∴CD=50﹣t，在y=﹣ax2+50中，令y=50﹣t，得，则由题意知对t∈（0，25]恒成立，∴恒成立，而当，即t=25时，取最小值10，故，解得．（3）当时，，又圆E的方程为x2+（y﹣t）2=（50﹣t）2，令y=0，得，∴，从而，又∵，令f'（t）=0，得t=5，当t∈（0，5）时，f'（t）＞0，f（t）单调递增；当t∈（5，25）时，f'（t）＜0，f（t）单调递减，从而当t=5时，f（t）取最大值为25．答：当t=5米时，AD的最大值为25米．（3）方法二：（三角换元）令，则=，其中ϕ是锐角，且，从而当时，AD取得最大值为25米．方法三：令，则题意相当于：已知x2+y2=25（x≥0，y≥0），求z=AD=5×（2x+y）的最大值．根据线性规划知识，当直线y=﹣2x+z与圆弧x2+y2=25（x≥0，y≥0）相切时，z取得最大值为25米．点评：本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值、三角函数换元、线性规划的有关知识，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．（5分）（2015•盐城一模）设数列{a n}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S n，若a1a5=64，S5﹣S3=48．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对于正整数k，m，l（k＜m＜l），求证：“m=k+1且l=k+3”是“5a k，a m，a l这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{b n}满足：对任意的正整数n，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1=3•2n+1﹣4n﹣6，且集合中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围．考点：等差数列与等比数列的综合；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意和等比数列的性质先求出a3，由等比数列的通项公式、前n项和的定义求出公比q，代入等比数列的通项公式化简即可；（2）由充要条件的定义分别证明充分性、必要性，顺序分类讨论后分别利用等差数列的性质和a n进行证明；（3）由（1）化简a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1=3•2n+1﹣4n﹣6后，两边同乘以2再作差求出b n，注意验证n=1是否成立代入，利用作差判断数列{}的单调性，再求出符合条件的λ的范围．解答：解：（1）设等比数列{a n}的公比是q，∵数列{a n}是各项均为正数的等比数列，∴，解得a3=8，又∵S5﹣S3=48，∴，解得q=2，∴；…4分（2）（ⅰ）必要性：设5a k，a m，a l这三项经适当排序后能构成等差数列，①若2•5a k=a m+a l，则10•2k=2m+2l，∴10=2m﹣k+2l﹣k，∴5=2m﹣k﹣1+2l﹣k﹣1，∴，∴．…6分②若2a m=5a k+a l，则2•2m=5•2k+2l，∴2m+1﹣k﹣2l﹣k=5，左边为偶数，等式不成立，③若2a l=5a k+a m，同理也不成立，综合①②③，得m=k+1，l=k+3，所以必要性成立．…8分（ⅱ）充分性：设m=k+1，l=k+3，则5a k，a m，a l这三项为5a k，a k+1，a k+3，即5a k，2a k，8a k，调整顺序后易知2a k，5a k，8a k成等差数列，所以充分性也成立．综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立．…10分（3）因为，即，①∴当n≥2时，，②则②式两边同乘以2，得，③∴①﹣③，得2b n=4n﹣2，即b n=2n﹣1（n≥2），又当n=1时，，即b1=1，适合b n=2n﹣1（n≥2），∴b n=2n﹣1．…14分∴，∴，∴n=2时，，即；∴n≥3时，，此时单调递减，又，，，，∴．…16分点评：本题考查等差数列、等比数列的性质，作差法判断数列的单调性，考查分类讨论思想的运用，计算化简、变形能力与逻辑推理能力，属于难题．20．（5分）（2015•盐城一模）已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）=+，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论．（2）求出r（x）的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可．解答：解：（1）①h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣mx﹣n．则h（0）=1﹣n，函数的导数f′（x）=e x﹣m，则f′（0）=1﹣m，则函数在x=0处的切线方程为y﹣（1﹣n）=（1﹣m）x，∵切线过点（1，0），∴﹣（1﹣n）=1﹣m，即m+n=2．②当n=0时，h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣mx．若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，即e x﹣mx=0在（﹣1，+∞）上无解，若x=0，则方程无解，满足条件，若x≠0，则方程等价为m=，设g（x）=，则函数的导数g′（x）=，若﹣1＜x＜0，则g′（x）＜0，此时函数单调递减，则g（x）＜g（﹣1）=e﹣1，若x＞0，由g′（x）＞0得x＞1，由g′（x）＜0，得0＜x＜1，即当x=1时，函数取得极小值，同时也是最小值，此时g（x）≥g（1）=e，综上g（x）≥e或g（x）＜e﹣1，若方程m=无解，则e﹣1≤m＜e．（2）∵n=4m（m＞0），∴函数r（x）=+=+=+，则函数的导数r′（x）=﹣+=，设h（x）=16e x﹣（x+4）2，则h′（x）=16e x﹣2（x+4）=16e x﹣2x﹣8，[h′（x）]′=16e x﹣2，当x≥0时，[h′（x）]′=16e x﹣2＞0，则h′（x）为增函数，即h′（x）＞h′（0）=16﹣2=14＞0，即h（x）为增函数，∴h（x）≥h（0）=16﹣16=0，即r′（x）≥0，即函数r（x）在[0，+∞）上单调递增，故r（x）≥r（0）=，故当x≥0时，r（x）≥1成立．点评：本题主要考查导数的几何意义的应用，以及利用导数研究函数单调性，在判断函数的单调性的过程中，多次使用了导数来判断函数的单调性是解决本题的关键，难度较大．A、（选修4-1：几何证明选讲）21．（5分）（2015•盐城一模）如图，已知点P为Rt△ABC的斜边AB的延长线上一点，且PC与Rt△ABC的外接圆相切，过点C作AB的垂线，垂足为D，若PA=18，PC=6，求线段CD的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；几何证明．分析：由切割线定理解得PB=2，在Rt△POC中，由面积法得OC•PC=PO•CD，解得线段CD的长．解答：解：由切割线定理，得PC2=PA•PB，解得PB=2，所以AB=16，即Rt△ABC的外接圆半径r=8，…5分记Rt△ABC外接圆的圆心为O，连OC，则OC⊥PC，在Rt△POC中，由面积法得OC•PC=PO•CD，解得．…10分．点评：本题考查切割线定理，考查面积法的运用，比较基础．B、（选修4-2：矩阵与变换）22．（2015•盐城一模）求直线x﹣y﹣1=0在矩阵的变换下所得曲线的方程．考点：矩阵变换的性质．专题：矩阵和变换．分析：本题可以根据点P（x，y）与矩阵作用前点Q（x'，y'）坐标之间的关系，通过代入法，求出点Q（x'，y'）的坐标间关系式，得到所求曲线的方程．解答：解：设P（x，y）是所求曲线上的任一点，它在已知直线上的对应点为Q（x'，y'），∵=，∴，解得，代入x'﹣y'﹣1=0中，得：，化简可得所求曲线方程为．点评：本题考查了矩阵与向量的积的运算、代入法求曲线的方程，本题难度不大，属于基础题．三.C、（选修4-4：坐标系与参数方程）23．（2015•盐城一模）在极坐标系中，求圆ρ=2cosθ的圆心到直线的距离．考点：圆的参数方程；直线的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：将圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，利用化为直角坐标方程，可得圆心（1，0），把展开即可直角坐标方程，利用点到直线的距离公式即得出圆心到直线的距离．解答：解：将圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，普通方程为x2+y2﹣2x=0，圆心为（1，0），又，即，∴直线的普通方程为，故所求的圆心到直线的距离．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．24．（8分）（2015•盐城一模）解不等式|x+1|+|x﹣2|＜4．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：去绝对值，分当x＜﹣1时，当﹣1≤x≤2时，当x＞2时，三种情况，得到不等式解得它们，再求并集即可．解答：解：当x＜﹣1时，不等式化为﹣x﹣1+2﹣x＜4，解得；当﹣1≤x≤2时，不等式化为x+1+2﹣x＜4，解得﹣1≤x≤2；当x＞2时，不等式化为x+1+x﹣2＜4，解得；所以原不等式的解集为．点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．25．（10分）（2015•盐城一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，动点P满足（λ＞0），当λ=时，AB1⊥BP．（1）求棱CC1的长；（2）若二面角B1﹣AB﹣P的大小为，求λ的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；用空间向量求直线间的夹角、距离．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）以点A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出棱CC1的长．（2）求出平面PAB的一个法向量，和平面ABB1的一个法向量，由已知条件利用向量法能求出λ的值．解答：解：（1）以点A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设CC1=m，则B1（3，0，m），B（3，0，0），P（0，4，λm），所以，，，…2分当时，有解得，即棱CC1的长为．…4分（2）设平面PAB的一个法向量为=（x，y，z），则由，得，即，令z=1，则，所以平面PAB的一个法向量为，…6分又平面ABB1与y轴垂直，所以平面ABB1的一个法向量为，因二面角B1﹣AB﹣P的平面角的大小为，所以|cos＜＞|==||，结合λ＞0，解得．…10分．点评：本题考查线段长的求法，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，是中档题．26．（10分）（2015•盐城一模）设集合S={1，2，3，…，n}（n∈N*，n≥2），A，B是S的两个非空子集，且满足集合A中的最大数小于集合B中的最小数，记满足条件的集合对（A，B）的个数为P n．（1）求P2，P3的值；（2）求P n的表达式．考点：二项式定理的应用；子集与真子集．专题：综合题；二项式定理．分析：（1）当n=2时，即S={1，2}，由此能求出P2=1；当n=3时，即S={1，2，3}，分类讨论，可得P3=5．（2）设集合A中的最大元素为“k”，确定集合A、B的情况，可得集合对（A，B）共有2k﹣1（2n﹣k﹣1）=2n﹣1﹣2k﹣1对．由此能求出P n．解答：解：（1）当n=2时，即S={1，2}，此时A={1}，B={2}，所以P2=1，…2分当n=3时，即S={1，2，3}，若A={1}，则B={2}，或B={3}，或B={2，3}；若A={2}或A={1，2}，则B={3}；所以P3=5．…4分（2）当集合A中的最大元素为“k”时，集合A的其余元素可在1，2，…，k﹣1中任取若干个（包含不取），所以集合A共有种情况，…6分此时，集合B的元素只能在k+1，k+2，…，n中任取若干个（至少取1个），所以集合B共有种情况，所以，当集合A中的最大元素为“k”时，集合对（A，B）共有2k﹣1（2n﹣k﹣1）=2n﹣1﹣2k﹣1对， (8)分当k依次取1，2，3，…，n﹣1时，可分别得到集合对（A，B）的个数，求和可得．…12分点评：本题考查二项式定理的运用，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．。

南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试 数 学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．设集合A ＝{x |－2＜x ＜0}，B ＝{x |－1＜x ＜1}，则A ∪B ＝▲________． 2．若复数z ＝(1＋m i)(2－i)(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为▲． 3．将一骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为1的概率是▲．4．如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若 一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为▲________．5．执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为▲．k ←1 开始输出k结束S ＞16S ←1 YNS ←S ＋3k －1k ←k ＋1（第5题图）（第4题图）6．设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10等于▲ ．7．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6．若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A —A 1EF 的体积是▲________．8．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，且它的图象过点(－π12，－2)，则φ的值为▲________．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，则不等式f (x )≥－1的解集是▲________．10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别与抛物线交于A ，B 两点(A ，B 异于坐标原点O )．若直线AB 恰好过点F ，则双曲线的渐近线方程是▲________.11．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝4．若点D 在边BC 上，且BD →＝2DC →，AD ＝,3)，则AC 的长为▲________． 12．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为▲________． 13．已知函数f (x )＝ax 2＋x －b (a ，b 均为正数)，不等式f (x )＞0的解集记为P ，集合Q ＝{x |－2－t ＜x ＜－2＋t }．若对于任意正数t ，P ∩Q ≠∅，则1a －1b 的最大值是▲________．14．若存在两个正实数x 、y ，使得等式x ＋a (y －2e x )(ln y －ln x )＝0成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为▲________．（第7题图）ABCA 1B 1FC 1EANBPMC二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知α为锐角，cos (α＋π4)＝55．（1）求tan(α＋π4)的值；（2）求sin(2α＋π3)的值．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥P —ABC 中，平面P AB ⊥平面ABC ，P A ⊥PB ，M ，N 分别为AB ，P A 的中点． （1）求证：PB ∥平面MNC ；（2）若AC ＝BC ，求证：P A ⊥平面MNC .17．(本小题满分14分)如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为C ，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C 相切的小道AB ．问：A ，B 两点应选在何处可使得小道AB 最短？道路2BC（第16题图）18． (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，点C 在椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上．若点A (－a ，0)，B (0，a3)，且AB →＝32BC →．（1）求椭圆M 的离心率；（2）设椭圆M 的焦距为4，P ，Q 是椭圆M 上不同的两点，线段PQ 的垂直平分线为直线l ，且直线l 不与y 轴重合．①若点P (－3，0)，直线l 过点(0，－)，求直线l 的方程；②若直线l 过点(0，－1) ，且与x 轴的交点为D ，求D 点横坐标的取值范围．19．(本小题满分16分)对于函数f (x )，在给定区间[a ，b ]内任取n ＋1(n ≥2，n ∈N *)个数x 0，x 1，x 2，…，x n ，使得a ＝x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n －1＜x n ＝b ，记S ＝n -1∑i =0|f (x i ＋1)－f (x i )|．若存在与n 及x i (i ≤n ，i ∈N )均无关的正数A ，使得S ≤A 恒成立，则称f (x )在区间[a ，b ]上具有性质V ． （1）若函数f (x )＝－2x ＋1，给定区间为[－1，1]，求S 的值； （2）若函数f (x )＝xex ，给定区间为[0，2]，求S 的最大值；（3）对于给定的实数k ，求证：函数f (x )＝k ln x －12x 2在区间[1，e ]上具有性质V ．20．(本小题满分16分)（第17题图）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n 都有a n ＝(－1)n S n ＋p n (p 为常数，p ≠0)． （1）求p 的值；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）设集合A n ＝{a 2n －1，a 2n }，且b n ，c n ∈A n ，记数列{nb n }，{nc n }的前n 项和分别为P n ，Q n ． 若b 1≠c 1，求证：对任意n ∈N *，P n ≠Q n ．南京市、盐城市2021届高三年级第二次模拟考试数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ．以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，连接AE 交⊙O 于点F ．求证：BE ⋅CE ＝EF ⋅EA ．B ．选修4—2：矩阵与变换已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a b －2所对应的变换T 把点(2，3)变成点(3，4)．（1）求a ，b 的值．（2）若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2．A B CE FDOC ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρsin(π3－θ)=32，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝3sin t (t 为参数) ．（1）求直线l 的直角坐标方程与椭圆C 的普通方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．选修4—5：不等式选讲解不等式：|x －2|＋x |x ＋2|＞2【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；（2）设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E (ξ)．23．（本小题满分10分）设(1－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ∈N *，n ≥2．（1）设n ＝11，求|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|的值；（2）设b k ＝k ＋1n －k a k ＋1(k ∈N ，k ≤n －1)，S m ＝b 0＋b 1＋b 2＋…＋b m (m ∈N ，m ≤n －1)，求|S mC m n －1 |的值．数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{x |－2＜x ＜1} 2．－2 3．11364．9 5． 56． 19 7．88．－π129． [－4，2] 10．y ＝±2x 11．312． [2－,2)，2＋,2)]13．1214．a ＜0或a ≥1e二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：（1）因为α∈(0，π2），所以α＋π4∈(π4，3π4)，所以sin (α＋π4)＝1－cos 2(α＋π4)＝255， (3)分所以tan(α＋π4)＝sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2． (6)分ANBPMC（2）因为sin(2α＋π2)＝sin[2(α＋π4)]＝2 sin (α＋π4) cos (α＋π4)＝45， (9)分cos(2α＋π2)＝cos[2(α＋π4)]＝2 cos 2(α＋π4)－1＝－35， (12)分所以sin(2α＋π3)＝sin[(2α＋π2)－π6]＝sin(2α＋π2)cos π6－cos(2α＋π2)sin π6＝43＋310． (14)分16．(本小题满分14分)证：（1）因为M ，N 分别为AB ，P A 的中点，所以MN ∥PB ． …………………………………2分 因为MN ⊂平面MNC ，PB ⊄平面MNC ，所以PB ∥平面MNC . ……………………………………4分 （2）因为P A ⊥PB ，MN ∥PB ，所以P A ⊥MN . ……………6分因为AC ＝BC ，AM ＝BM ，所以CM ⊥AB . ……………8分 因为平面P AB ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ， 所以CM ⊥平面P AB ． …………………………………12分 因为P A ⊂平面P AB ，所以CM ⊥P A ．因为P A ⊥MN ，MN ⊂平面MNC ，CM ⊂平面MNC ，MN ∩CM ＝M ，所以P A ⊥平面MNC. ……………………………………………………………………14分 17．(本小题满分14分)解法一：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy ． 设A (a ，0)，B (0，b )(0＜a ＜1，0＜b ＜1)， 则直线AB 方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0．因为AB 与圆C 相切，所以|b ＋a －ab |b 2＋a 2＝1．……………4分化简得 ab －2(a ＋b )＋2＝0，即ab ＝2(a ＋b )－2．y道路2B C……………6分因此AB ＝ a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝ (a ＋b )2－4(a ＋b )＋4＝ (a ＋b －2)2．………………8分因为0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以0＜a ＋b ＜2， 于是AB ＝2－(a ＋b )． 又ab ＝2(a ＋b )－2≤(a +b 2)2，解得0＜a ＋b ≤4－22，或a ＋b ≥4＋22．因为0＜a ＋b ＜2，所以0＜a ＋b ≤4－22，………………………………………12分 所以AB ＝2－(a ＋b ) ≥2－(4－22)＝22－2， 当且仅当a ＝b ＝2-2时取等号，所以AB 最小值为22－2，此时a ＝b ＝2-2．答：当A ，B 两点离道路的交点都为2－2(百米)时，小道AB 最短．……………14分 解法二：如图，连接CE ，CA ，CD ，CB ，CF ． 设∠DCE ＝θ，θ∈(0，π2)，则∠DCF ＝π2－θ．在直角三角形CDA 中，AD ＝tan θ2．………………4分在直角三角形CDB 中，BD ＝tan(π4－θ2)，………6分所以AB ＝AD ＋BD ＝tan θ2＋tan(π4－θ2)＝tan θ2＋1－tanθ2 1＋tanθ2．………………………8分令t ＝tan θ2，0＜t ＜1，则AB ＝f (t )＝t ＋1－t 1＋t ＝＝t ＋1＋21＋t －2≥22－2，当且仅当t ＝2－1时取等号．………………………12分 所以AB 最小值为22－2，此时A ，B 两点离两条道路交点的距离是1－(2－1)＝2－2．道路2道路1F A BECD答：当A ，B 两点离道路的的交点都为2－2(百米)时，小道AB 最短．……………14分 18．(本小题满分16分)解：（1）设C (x 0，y 0)，则AB →＝(a ，a 3)，BC →＝(x 0，y 0－a 3)．因为AB →＝32BC →，所以(a ，a 3)＝32(x 0，y 0－a 3)＝(32x 0，32y 0－a 2)，得⎩⎨⎧x 0＝23a ，y 0＝59a ，………………………………………………………2分代入椭圆方程得a 2＝95b 2．因为a 2－b 2＝c 2，所以e ＝c a ＝23．………………………………………4分（2）①因为c ＝2，所以a 2＝9，b 2＝5，所以椭圆的方程为x 29＋y 25＝1， 设Q (x 0，y 0)，则x 029＋y 025＝1．……①………………………………………………6分因为点P (－3，0)，所以PQ 中点为(，)，因为直线l 过点(0，－)，直线l 不与y 轴重合，所以x 0≠3，所以＋,)·＝－1， ………………………………………………8分 化简得x 02＝9－y 02－y 0．……②将②代入①化简得y 02－y 0＝0，解得y 0＝0（舍），或y 0＝． 将y 0＝代入①得x 0＝±，所以Q 为(±，)， 所以PQ 斜率为1或，直线l 的斜率为－1或－，所以直线l 的方程为y ＝－x ＋或y ＝－x ＋．……………………………………………10分 ②设PQ ：y ＝kx +m ，则直线l 的方程为：y ＝－1kx －1，所以x D ＝－k ．将直线PQ 的方程代入椭圆的方程，消去y 得(5＋9k 2)x 2＋18kmx ＋9m 2－45＝0．…………①， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，中点为N ，x N ＝x 1＋x 22＝－9km 5+9k 2，代入直线PQ 的方程得y N ＝5m 5+9k 2，……………………………………12分 代入直线l 的方程得9k 2＝4m －5．……②又因为△＝(18km )2－4(5＋9k 2) (9m 2－45)＞0，化得m 2－9k 2－5＜0．………………………………………………14分 将②代入上式得m 2－4m ＜0，解得0＜m ＜4，所以－113＜k ＜113，且k ≠0，所以x D ＝－k ∈(－113，0)∪(0，113)． 综上所述，点D 横坐标的取值范围为(－113，0)∪(0，113)．………………………………16分 19．(本小题满分16分)（1）解：因为函数f (x )＝－2x ＋1在区间[－1，1]为减函数， 所以f (x i ＋1)＜f (x i )，所以|f (x i ＋1)－f (x i )|＝ f (x i )－f (x i ＋1)．S ＝n -1∑i =0|f (x i ＋1)－f (x i )|＝[ f (x 0)－f (x 1)]+[ f (x 1)－f (x 2)]+…+[ f (x n -1)－f (x n )]＝f (x 0)－f (x n )＝f (－1)－f (1)＝4．…………………………………………2分 (2) 解：由f ′(x )＝1－xe x＝0，得x ＝1． 当x ＜1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，1)为增函数； 当x ＞1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(1，＋∞)为减函数；所以f (x )在x ＝1时取极大值1e ．…………………………………………4分设x m ≤1＜x m ＋1，m ∈N ，m ≤n －1，则S ＝n -1∑i =0|f (x i ＋1)－f (x i )|＝|f (x 1)－f (0)|＋…＋|f (x m )－f (x m －1)|＋|f (x m ＋1)－f (x m )|＋|f (x m ＋2)－f (x m ＋1)|＋…＋|f (2)－f (x n －1)| ＝[f (x 1)－f (0)]＋…＋[f (x m )－f (x m －1)]＋|f (x m ＋1)－f (x m )|＋[f (x m ＋1)－f (x m ＋2)]＋…＋[f (x n －1)－f (2)] ＝[f (x m )－f (0)]＋|f (x m ＋1)－f (x m )|＋[f (x m ＋1)－f (2)]． …………………………………………6分 因为|f (x m ＋1)－f (x m )|≤[f (1)－f (x m )]＋[f (1)－f (x m ＋1)]，当x m ＝1时取等号， 所以S ≤f (x m )－f (0)＋f (1)－f (x m )＋f (1)－f (x m ＋1)＋f (x m ＋1)－f (2) ＝2 f (1)－f (0)－f (2)＝2(e －1)e 2.所以S 的最大值为2(e －1)e 2． …………………………………………8分（3）证明：f ′(x )＝kx －x ＝k －x 2x，x ∈[1，e]．①当k ≥e 2时，k －x 2≥0恒成立，即f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在[1，e]上为增函数，所以S ＝n -1∑i =0|f (x i ＋1)－f (x i )|＝[ f (x 1)－f (x 0)]+[ f (x 2)－f (x 1)]+…+[ f (x n )－f (x n -1)]＝f (x n )－f (x 0)＝f (e)－f (1)＝k +12－12e 2．因此，存在正数A ＝k +12－12e 2，都有S ≤A ，因此f (x )在[1，e]上具有性质V ． (10)分②当k ≤1时，k －x 2≤0恒成立，即f ′(x )≤0恒成立，所以f (x )在[1，e]上为减函数，所以S ＝n -1∑i =0|f (x i ＋1)－f (x i )|＝[ f (x 0)－f (x 1)]+[ f (x 1)－f (x 2)]+…+[ f (x n -1)－f (x n )]＝f (x 0)－f (x n )＝ f (1)－f (e)＝12e 2－k －12．因此，存在正数A ＝12e 2－k －12，都有S ≤A ，因此f (x )在[1，e]上具有性质V ． (12)分③当1＜k ＜e 2时，由f ′(x )＝0，得x ＝k ；当f ′(x )＞0，得1≤x ＜k ；当f ′(x )＜0，得k ＜x ≤e ，因此f (x )在[1，k )上为增函数，在(k ，e]上为减函数． 设x m ≤k ＜x m +1，m ∈N ，m ≤n －1则S ＝n －1∑i ＝1|f (x i ＋1)－f (x i )|＝|f (x 1)－f (x 0)|+…+|f (x m )－f (x m －1)|+ |f (x m +1)－f (x m )|+ |f (x m +2)－f (x m +1)|+…+|f (x n )－f (x n －1)| ＝f (x 1)－f (x 0)+…+f (x m )－f (x m －1) + |f (x m +1)－f (x m )|+ f (x m +1)－f (x m +2) +…+f (x n －1)－f (x n ) ＝f (x m )－f (x 0) + |f (x m +1)－f (x m )| + f (x m +1)－f (x n )≤f (x m )－f (x 0) + f (x m +1)－f (x n )+ f (k )－f (x m +1)+ f (k )－f (x m )＝2 f (k )－f (x 0)－f (x n )＝k ln k －k －[－12+k －12e 2]＝k ln k －2k ＋12+12e 2．因此，存在正数A ＝k ln k －2k ＋12+12e 2，都有S ≤A ，因此f (x )在[1，e]上具有性质V ．综上，对于给定的实数k ，函数f (x )＝k ln x －12x 2在区间[1，e]上具有性质V ．……………16分20．(本小题满分16分)解：（1）由a 1＝－S 1＋p ，得a 1＝p2．………………………………………………………2分由a 2＝S 2＋p 2，得a 1＝－p 2，所以p2＝－p 2．又p ≠0，所以p ＝－12．…………………………………………………………3分（2）由a n＝(－1)n S n＋(－12)n，得⎩⎨⎧a n＝(－1)n S n＋(－12)n， ……①a n ＋1＝－(－1)nS n ＋1＋(－12)n ＋1， ……②①＋②得a n ＋a n ＋1＝(－1)n (－a n ＋1)＋12×(－12)n ． …………………………………………5分当n 为奇数时，a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－12×(12)n ，所以a n ＝－(12)n ＋1． ………………………………………………………………7分当n 为偶数时，a n ＋a n ＋1＝－a n ＋1＋12×(12)n ，所以a n ＝－2a n ＋1＋12×(12)n ＝2×(12)n ＋2＋12×(12)n ＝(12)n ，所以a n ＝⎩⎨⎧－12n ＋1，n 为奇数， n ∈N *， 12n ， n 为偶数，n ∈N *．………………………………………………9分（3）A n ＝{－14n ，14n }，由于b 1≠c 1，则b 1与c 1一正一负，不妨设b 1＞0，则b 1＝14，c 1＝－14．则P n ＝b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n ≥14－(242＋343+…＋n4n )． (12)分设S ＝242＋343+…＋n 4n ，则14S ＝243＋…＋n －14n +n 4n ＋1，两式相减得34S ＝242＋143+…＋14n －n 4n ＋1＝116＋116×1－(14)n －11－14－n 4n ＋1＝748－112×14n －1－n 4n ＋1＜748．所以S ＜748×43＝736，所以P n ≥14－(242＋143+…＋14n )＞14－736＝118＞0．………………………14分因为Q n = c 1＋2 c 2＋3 c 3＋…＋n c n ≤－14＋S ＜－14＋736 ＝－118＜0，所以P n ≠Q n ．………………………………………………………………16分南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连接BD ．因为AB 为直径，所以BD ⊥AC ． 因为AB ＝BC ，所以AD ＝DC ．……………………4分 因为DE ⊥BC ，AB ⊥BC ，所以DE ∥AB ，…………6分 所以CE ＝EB ．………………………………………8分 因为AB 是直径，AB ⊥BC ，所以BC 是圆O 的切线，所以BE 2＝EF ⋅EA ，即BE ⋅CE ＝EF ⋅EA ．…………………………………………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 a b －2⎣⎡⎦⎤23＝⎣⎡⎦⎤34，得6＋3a ＝3，2b －6＝4，……………………………4分所以a ＝－1，b ＝5．…………………………………………………………………………………6分（2）由（1），得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－1 5 －2．由矩阵的逆矩阵公式得B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1 5 －3．……………………8分ABCE FDO所以B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －11 －5 4． ……………………………………………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：（1）由ρsin(π3－θ)=32 ，得ρ(32cos θ－12sin θ)=32，即32x －12y=32，化简得y=3x －3，所以直线l 的直角坐标方程是y=3x －3．………………………………2分由(x 2)2+(y 3)2=cos 2t +sin 2t =1，得椭圆C 的普通方程为x 24+y 23=1．……………………………4分 （2）联立直线方程与椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y=3x －3，x 24+y 23=1，消去y ，得x 24+(x －1)2=1，化简得5x 2－8x =0，解得x 1=0，x 2=85， ………………………………8分所以A (0，－3)，B (85，353)，则AB =(0－85)2+(－3－353)2=165． ………………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：当x ≤－2时，不等式化为(2－x )＋x (－x －2)＞2，解得－3＜x ≤－2；………………………………………………3分 当－2＜x ＜2时，不等式化为(2－x )＋x (x ＋2)＞2，解得－2＜x ＜－1或0＜x ＜2；…………………………………………………6分 当x ≥2时，不等式化为(x －2)＋x (x ＋2)＞2,解得x ≥2；………………………………………………………9分 所以原不等式的解集为{x |－3＜x ＜－1或x ＞0}． ……………………………………………………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况： 甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球． 所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率P ＝C 1323(13)2(12)3＋C 23(23)2(13)C 13(12)3＋C 33(23)3C 23(12)3＝1136．……………………………………………4分（2）ξ的取值为0，1，2，3，所以 ξ的概率分布列为ξ 0 1 2 3 P7241124524124 (8)分所以数学期望E (ξ)＝0×724＋1×1124＋2×524＋3×124＝1．…………………………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）因为a k ＝(－1)k C kn ，当n ＝11时，|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|＝C 611＋C 711＋C 811＋C 911＋C 1011＋C 1111＝12( C 011＋C 111＋…＋C 1011＋C 1111)＝210＝1024．………………………………………………3分（2）b k ＝k ＋1n －k a k ＋1＝(－1)k ＋1k ＋1n －kC k ＋1n ＝(－1)k ＋1 C kn ，……………………………………5分当1≤k ≤n －1时，b k ＝(－1)k ＋1 C k n ＝ (－1)k ＋1 (C k n －1＋C k －1n －1)＝(－1)k ＋1 C k －1n －1＋(－1)k ＋1 C k n －1＝(－1)k －1 C k －1n －1－(－1)kC k n －1． ……………………………………7分当m ＝0时，|S m C m n －1 |＝|b 0C 0n －1|＝1． ……………………………………8分当1≤m ≤n －1时，S m ＝－1＋k =1∑m[(－1)k －1 C k －1n －1－(－1)k C k n －1]＝－1＋1－(－1)m C m n －1＝－(－1)mC m n －1，所以|S mC m n －1|＝1．综上，|S mC m n －1|＝1． ……………………………………10分。

第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页【学科网学易大联考】2015年第二次全国大联考【江苏版】数学试卷考试时间：理150分钟，文120分钟；命题人：学科网大联考命题中心第Ⅰ卷 必做题部分一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上． 1．已知复数201532i iz -=(i 是虚数单位)，则复数z 所对应的点位于复平面的第 象限． 2．已知全集U =N ，集合{}10A x x =->，则=A C U ．3．若样本321,,a a a 的方差是2，则样本12322015,22015,22015a a a +++的方差是 ．4．已知双曲线22221y x a b-=的一个焦点与圆22100x y x +-=的圆，则该双曲线的准线方程为 ．5．已知实数[3,9]x ∈，执行如右图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为 ．6．若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，91336,104,S S =-=-，则5a 与7a 的等比中项为 ．7．定义在R 上的奇函数()f x ，对任意x R ∈都有 (2)()f x f x +=-，当(02)x ∈， 时，()4x f x =，则(2015)f = ．8. 一个三棱柱恰好可放入一个正四棱柱的容体中，底面如图所示，其中三棱柱的底面AEF是一个直角三角形，090,2,1,AEF AE EF ∠===∠三棱柱的高与正四棱柱的高均为1，则此正四棱柱的体积为 ．9．已知函数sin (0)y x ωω=>在区间[0,]2π上为增函数，且图象关于点π(3,0)对称，则ω的取值集合为 ．10．已知直线3y ax =+与圆22280x y x ++-=相交于,A B 两点，点00(,)P x y 在直线2y x =上，且PA PB =,则0x 的取值范围为 ．11. 已知函数20151()sin 201521xf x x =++在[]2015,2015-上的最大值分别为,M m ，则M m += ．12．在ABC ∆中，2AC BC ⋅=且两中线AD 与BE 互相垂直，则ABC ∆面积的最大值为 ． 13．设(,)P x y 为函数22y x =+(x >图象上一动点，记353712x y x y m x y +-+-=+--，则当m 最小时，点P 的坐标为 ．14．设椭圆和双曲线有公共焦点12F F ，，两曲线的一个公共点为P ，且123F PF π∠=，记12e e ，分别为椭圆和双曲线的离心率，则1211e e +的最大值为 ． 二、解答题：本大题共6小题，计90 分。

南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试语文试题2015.03一、语言文字运用（16分）1.在下面一段话的空缺处依次填入词语，最恰当的一组是〈3分〉会说话的人不止一种：言之有物，实为心声，一謦一欬，俱带感情，这是第一种：长江大河，源远美寻，牛溲马勃，悉成黄金，这是第二种：科学逻辑，字字推敲，，井井有条，这是第三种;嬉笑怒骂. ，庄谐杂出，四座皆春，这是第四种；默然端坐，，片言偶发，快如霜刀，这是第五种；期期艾艾，随蕴词锋，似讷实辩，，这是第六种。

A.无懈可击旁若无人以逸待劳以守为攻B.旁若无人无懈可击以逸待劳以守为攻C.旁若无人无懈可击以守为攻以逸待劳D.无懈可击旁若无人以守为攻以逸待劳2.下列各句中，没有病句的一项是〈3分）A.为引导广大市民自觉养成文明排队、有序乘车、遵守公共交通的习惯，现长期面向社会招募站台引导志愿者。

B.国际民航组织处提议设立一个信息共享平台，以便民航客机及时回避并了解在飞越交战地区时可能遇到的危险，C.在这部农村题材的小说中，温馨的乡村人际关系难见踪影，传统的乡村文化几乎毁坏殆尽，令人不禁感慨系之。

D. 消费者通过网络交易平台购买商品或者按受服务,其合法权益受到损害的，可以向销售者或者服务者要求赔偿。

3.下列对偶句中，不含对比的一项是（3分）A.少妇城南欲断肠，征人蓟北空回首。

B.荷尽巳无擎雨盖，菊残犹有傲霜枝。

C.人世几回伤往事，山形依旧枕寒流。

D.年年岁岁花相似，岁岁年年人不同。

4．下列理解，与漫画寓意符合的一项是（3分）A．赞美动物惊人的智慧。

B．调侃人类的自以为是。

C．启发人与动物平等相处。

D．讽刺机械刻板的科学研究。

5.羊年说羊，参照示例，以羊为对象，写一句生动形象的话。

（4分）蝴蝶:这封轻柔的短函对折着，正在寻找一个花儿投递。

羊：二、文言文阅读（18分）阅读下面的文言文，完成6～9题。

与韩荆州书李白白闻天下谈士相聚而言曰：“生不用封万户侯，但愿一识韩荆州。

江苏省南京市、盐城市、徐州市2015届高三第二次模拟考试地理注意事项:1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(综合题)两部分。

满分120分,考试用时100分钟。

2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:共60分。

(一)单项选择题:本大题共18小题,每小题2分,共36分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

北京时间2014年11月1日6时40分左右,“嫦娥五号”测试飞行器在内蒙古预定区域顺利着陆。

图1为“着陆时地球在公转轨道上的位置示意图(①~④为二分二至)”,图2是“该飞行器着陆时的地球光照示意图”。

读图,回答1~2题。

图1图21. 图1中,当地球公转位置()A. 由①到④时,公转速度先快后慢B. 由④到③时,南京昼长夜短C. 由③到②时,海口正午太阳高度角渐大D. 由②到①时,西风带总体南移2. 图2中B点的区时是()A. 11月1日0时20分B. 10月31日23时40分C. 11月1日12时20分D. 10月31日12时40分图3为“四种区域等值线示意图”。

读图,回答3~4题。

①山脉与等温线②寒流与等温线③锋与等压线④山脉与地球自转线速度等值线图33. 图3中属于南半球的区域是()A. ①②B. ②③C. ③④D. ①③4. 下列说法正确的是()A. ①地山脉位于北美东海岸B. ②处寒流仅分布在大陆西岸C. ③地雨区主要出现在M一侧D. ④地三条等值线数值相同图4珊瑚礁的生长发育主要受地质和海底地貌形态的影响,研究发现风向也会影响珊瑚礁的形态。

图4为“某海域珊瑚礁群的分布图”。

据此回答5~6题。

5. 下列有关影响珊瑚礁形成因素的判断,最合理的是()A. 珊瑚礁的走向大致与盛行风向接近B. 珊瑚礁沿低频风向方向向两端延伸C. 风浪可能扼制了珊瑚虫的生长繁殖D. 珊瑚礁走向主要受地壳水平运动影响6. 根据风向判断,该珊瑚礁群分布的海域最可能是()A. 红海B. 加勒比海C. 黄海D. 孟加拉湾图5为“某河流径流形成过程示意图”。

2015年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷一.填空题：本大题共20小题，每小题5分，计70分.1．（5分）设集合M＝{2，0，x}，集合N＝{0，1}，若N⊆M，则x＝．2．（5分）若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a ＝．3．（5分）在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9，10，9，7，10，则该组数据的方差是．4．（5分）甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为．5．（5分）若双曲线x2﹣y2＝a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则a＝．6．（5分）运行如图所示的程序后，输出的结果为．7．（5分）已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为．8．（5分）若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为．9．（5分）若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x0，0）成中心对称，，则x0＝．10．（5分）若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x+log2y＝1，则的最小值为．11．（5分）设向量＝（sin2θ，cosθ），＝（cosθ，1），则“∥”是“tanθ＝”成立的条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝﹣x+2与圆x2+y2＝r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足＝+则r＝．13．（5分）已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣1，函数g（x）＝x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）＝f（x1），则实数m的取值范围是．14．（5分）已知数列{a n}满足a1＝﹣1，a2＞a1，|a n+1﹣a n|＝2n（n∈N*），若数列{a2n﹣1}单调递减，数列{a2n}单调递增，则数列{a n}的通项公式为a n＝．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（x1，y1），将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q（x2，y2）记f（α）＝y1+y2（1）求函数f（α）的值域；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）＝，且a ＝，c＝1，求b．16．（15分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．（1）求证：OE∥平面BCC1B1；（2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右准线方程为x＝4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线l的斜率．18．（5分）某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0＜t ≤25，单位：米）；曲线BC是抛物线y＝﹣ax2+50（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．假定拟建体育馆的高OB＝50米．（1）若要求CD＝30米，AD＝米，求t与a的值；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围；（3）若，求AD的最大值．（参考公式：若，则）19．（5分）设数列{a n}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S n，若a1a5＝64，S5﹣S3＝48．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对于正整数k，m，l（k＜m＜l），求证：“m＝k+1且l＝k+3”是“5a k，a m，a l这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{b n}满足：对任意的正整数n，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1＝3•2n+1﹣4n﹣6，且集合中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围．20．（5分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝mx+n．（1）设h（x）＝f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x＝0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n＝0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）＝+，且n＝4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．A、（选修4-1：几何证明选讲）21．（5分）如图，已知点P为Rt△ABC的斜边AB的延长线上一点，且PC与Rt△ABC的外接圆相切，过点C作AB的垂线，垂足为D，若P A＝18，PC＝6，求线段CD的长．B、（选修4-2：矩阵与变换）22．求直线x﹣y﹣1＝0在矩阵的变换下所得曲线的方程．三.C、（选修4-4：坐标系与参数方程）23．在极坐标系中，求圆ρ＝2cosθ的圆心到直线2ρsin（θ+）＝1的距离．24．（8分）解不等式|x+1|+|x﹣2|＜4．25．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，动点P满足（λ＞0），当λ＝时，AB1⊥BP．（1）求棱CC1的长；（2）若二面角B1﹣AB﹣P的大小为，求λ的值．26．（10分）设集合S＝{1，2，3，…，n}（n∈N*，n≥2），A，B是S的两个非空子集，且满足集合A中的最大数小于集合B中的最小数，记满足条件的集合对（A，B）的个数为P n．（1）求P2，P3的值；（2）求P n的表达式．2015年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题：本大题共20小题，每小题5分，计70分.1．（5分）设集合M＝{2，0，x}，集合N＝{0，1}，若N⊆M，则x＝1．【解答】解：∵集合M＝{2，0，x}，N＝{0，1}，∴若N⊆M，则集合N中元素均在集合M中，∴x＝1．故答案为：1．2．（5分）若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a＝﹣1．【解答】解：复数＝＝﹣ai+1，∵Z的实部与虚部相等，∴﹣a＝1，解得a＝﹣1．故答案为：﹣1．3．（5分）在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9，10，9，7，10，则该组数据的方差是．【解答】解：数据9，10，9，7，10的平均数是＝（9+10+9+7+10）＝9，∴它的方差是s2＝[（9﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2+（7﹣9）2+（10﹣9）2]＝．故答案为：．4．（5分）甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为0.3．【解答】解：∵“乙获胜”与“甲获胜”及“甲、乙下和棋”是互斥事件．且与“乙获胜”与“甲获胜与甲、乙下和棋的并事件”是互斥事件．∵甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，∴乙获胜的概率P＝1﹣（0.2+0.5）＝0.3．故答案为：0.35．（5分）若双曲线x2﹣y2＝a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则a＝．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点坐标为（1，0），故双曲线x2﹣y2＝a2（a＞0）的右焦点坐标为（1，0），故c＝1，由双曲线x2﹣y2＝a2的标准方程为：，故2a2＝1，又由a＞0，∴a＝．故答案为：6．（5分）运行如图所示的程序后，输出的结果为42．【解答】解：模拟执行程序，有i＝1，s＝0，满足条件i＜8，i＝4，s＝8，满足条件i＜8，i＝7，s＝22，满足条件i＜8，i＝10，s＝42，不满足条件i＜8，退出循环，输出s的值为42．故答案为：42．7．（5分）已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为8．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z＝x+y，则y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入z＝x+y得z＝1+2＝3．即z＝x+y最大值为3，∴2x+y的最大值为23＝8．故答案为：8．8．（5分）若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为．【解答】解：∵圆锥的底面半径r＝1，侧面积是底面积的2倍，∴圆锥的母线长l＝2，故圆锥的高h＝＝，故圆锥的体积V＝＝＝，故答案为：．9．（5分）若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x0，0）成中心对称，，则x0＝．【解答】解：∵函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，∴＝π，∴ω＝2∴f（x）＝sin（2x+）．∵f（x）的图象关于点（x0，0）成中心对称，∴f（x0）＝0，即sin（2x0+）＝0，∴2x0+＝kπ，∴x0＝﹣，k∈Z，∵x0∈[0，]，∴x0＝．故答案为：．10．（5分）若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x+log2y＝1，则的最小值为4．【解答】解：∵log2x+log2y＝1，∴log2xy＝1＝log22，∴xy＝2，∴＝＝（x﹣y）+≥2＝4，但且仅当x＝1+，y＝﹣1时取等号，故的最小值为4，故答案为：4．11．（5分）设向量＝（sin2θ，cosθ），＝（cosθ，1），则“∥”是“tanθ＝”成立的必要不充分条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．【解答】解：若∥，则sin2θ﹣cosθcosθ＝0，即2sinθcosθ﹣cosθcosθ＝0，即cosθ（2sinθ﹣cosθ）＝0，则cosθ＝0或tanθ＝，故∥”是“tanθ＝”成立必要不充分条件，故答案为：必要不充分．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝﹣x+2与圆x2+y2＝r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足＝+则r＝．【解答】解：由题意可得，＝r设，θ∈[0，π]则＝＝r2cosθ∵＝+两边同时平方可得，＝即×∴cosθ＝∵，∴且cos∴＝设圆心O到直线x+y﹣2＝0的距离为d，则d＝r cos＝即∴r＝故答案为：．13．（5分）已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣1，函数g（x）＝x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）＝f（x1），则实数m的取值范围是[﹣5，﹣2]．【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，∴f（0）＝0，当x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣1∈（0，3]，则当x∈[﹣2，2]时，f（x）∈[﹣3，3]，若对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）＝f（x1），则等价为g（x）max≥3且g（x）min≤﹣3，∵g（x）＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2+m﹣1，x∈[﹣2，2]，∴g（x）max＝g（﹣2）＝8+m，g（x）min＝g（1）＝m﹣1，则满足8+m≥3且m﹣1≤﹣3，解得m≥﹣5且m≤﹣2，故﹣5≤m≤﹣2，故答案为：[﹣5，﹣2]14．（5分）已知数列{a n}满足a1＝﹣1，a2＞a1，|a n+1﹣a n|＝2n（n∈N*），若数列{a2n﹣1}单调递减，数列{a2n}单调递增，则数列{a n}的通项公式为a n＝．【解答】解：方法一：先采用列举法得a1＝﹣1，a2＝1，a3＝﹣3，a4＝5，a5＝﹣11，a6＝21，…，然后从数字的变化上找规律，得，∴a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝（﹣1）n•2n﹣1+（﹣1）n﹣1•2n﹣2+…﹣22+2﹣1＝＝．方法二：∵，，∴，而{a2n﹣1}递减，∴a2n+1﹣a2n﹣1＜0，故；同理，由{a2n}递增，得；又a2＞a1，∴，以下同上．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（x1，y1），将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q（x2，y2）记f（α）＝y1+y2（1）求函数f（α）的值域；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）＝，且a ＝，c＝1，求b．【解答】解：（Ⅰ）由三角函数定义知，y1＝sinα，y2＝sin（α+）＝cosα，f（α）＝y1+y2＝cosα+sinα＝sin（α+），∵角α为锐角，∴＜α+＜，∴＜sin（α+）≤1，∴1＜sin（α+）≤，则f（α）的取值范围是（1，]；（Ⅱ）若f（C）＝，且a＝，c＝1，则f（C）═sin（C+）＝，即sin（C+）＝1，则C＝，由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2ab cos C，即1＝2+b2﹣2×b，则b2﹣2b+1＝0，即（b﹣1）2＝0，解得b＝1．16．（15分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．（1）求证：OE∥平面BCC1B1；（2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．【解答】证明：（1）：连接BC1，设BC1∩B1C＝F，连接OF，…2分因为O，F分别是B1D与B1C的中点，所以OF∥DC，且，又E为AB中点，所以EB∥DC，且d1＝1，从而，即四边形OEBF是平行四边形，所以OE∥BF，…6分又OE⊄面BCC1B1，BF⊂面BCC1B1，所以OE∥面BCC1B1．…8分（2）因为DC⊥面BCC1B1，BC1⊂面BCC1B1，所以BC1⊥DC，…10分又BC1⊥B1C，且DC，B1C⊂面B1DC，DC∩B1C＝C，所以BC1⊥面B1DC，…12分而BC1∥OE，所以OE⊥面B1DC，又OE⊂面B1DE，所以面B1DC⊥面B1DE．…14分17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右准线方程为x＝4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线l的斜率．【解答】解：（1）由题意知，直线l的方程为y＝2（x﹣a），即2x﹣y﹣2a＝0，∴右焦点F到直线l的距离为，∴a﹣c＝1，又椭圆C的右准线为x＝4，即，∴，将此代入上式解得a＝2，c＝1，∴b2＝3，∴椭圆C的方程为．（2）方法一：由（1）知，F（1，0），∴直线BF的方程为，联立方程组，解得或（舍），即，∴直线l的斜率．方法二：由（1）知，F（1，0），∴直线BF的方程为，由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），联立方程组，解得，代入椭圆解得：或，又由题意知，＜0得k＞0或，∴．方法三：由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），联立方程组，得（4k2+3）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0，，∴，，当B，F，P三点共线时有，k BP＝k BF，即，解得或，又由题意知，＜0得k＞0或，∴．18．（5分）某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0＜t ≤25，单位：米）；曲线BC是抛物线y＝﹣ax2+50（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．假定拟建体育馆的高OB＝50米．（1）若要求CD＝30米，AD＝米，求t与a的值；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围；（3）若，求AD的最大值．（参考公式：若，则）【解答】解：（1）∵CD＝50﹣t＝30，解得t＝20．此时圆E：x2+（y﹣20）2＝302，令y＝0，得，∴，将点代入y＝﹣ax2+50（a＞0）中，解得．（2）∵圆E的半径为50﹣t，∴CD＝50﹣t，在y＝﹣ax2+50中，令y＝50﹣t，得，则由题意知对t∈（0，25]恒成立，∴恒成立，而当，即t＝25时，取最小值10，故，解得．（3）当时，，又圆E的方程为x2+（y﹣t）2＝（50﹣t）2，令y＝0，得，∴，从而，又∵f′（t）＝5＝，令f'（t）＝0，得t＝5，当t∈（0，5）时，f'（t）＞0，f（t）单调递增；当t∈（5，25）时，f'（t）＜0，f（t）单调递减，从而当t＝5时，f（t）取最大值为25．答：当t＝5米时，AD的最大值为25米．（3）方法二：（三角换元）令，则＝，其中ϕ是锐角，且，从而当时，AD取得最大值为25米．方法三：令，则题意相当于：已知x2+y2＝25（x≥0，y≥0），求z＝AD＝5×（2x+y）的最大值．根据线性规划知识，当直线y＝﹣2x+与圆弧x2+y2＝25（x≥0，y≥0）相切时，z取得最大值为25米．19．（5分）设数列{a n}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S n，若a1a5＝64，S5﹣S3＝48．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对于正整数k，m，l（k＜m＜l），求证：“m＝k+1且l＝k+3”是“5a k，a m，a l这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{b n}满足：对任意的正整数n，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1＝3•2n+1﹣4n﹣6，且集合中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比是q，∵数列{a n}是各项均为正数的等比数列，∴，解得a3＝8，又∵S5﹣S3＝48，∴，解得q＝2，∴；…4分（2）（ⅰ）必要性：设5a k，a m，a l这三项经适当排序后能构成等差数列，①若2•5a k＝a m+a l，则10•2k＝2m+2l，∴10＝2m﹣k+2l﹣k，∴5＝2m﹣k﹣1+2l﹣k﹣1，∴，∴．…6分②若2a m＝5a k+a l，则2•2m＝5•2k+2l，∴2m+1﹣k﹣2l﹣k＝5，左边为偶数，等式不成立，③若2a l＝5a k+a m，同理也不成立，综合①②③，得m＝k+1，l＝k+3，所以必要性成立．…8分（ⅱ）充分性：设m＝k+1，l＝k+3，则5a k，a m，a l这三项为5a k，a k+1，a k+3，即5a k，2a k，8a k，调整顺序后易知2a k，5a k，8a k成等差数列，所以充分性也成立．综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立．…10分（3）因为，即，①∴当n≥2时，，②则②式两边同乘以2，得，③∴①﹣③，得2b n＝4n﹣2，即b n＝2n﹣1（n≥2），又当n＝1时，，即b1＝1，适合b n＝2n﹣1（n≥2），∴b n＝2n﹣1．…14分∴，∴，∴n＝2时，，即；∴n≥3时，，此时单调递减，又，，，，∴．…16分20．（5分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝mx+n．（1）设h（x）＝f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x＝0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n＝0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）＝+，且n＝4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．【解答】解：（1）①h（x）＝f（x）﹣g（x）＝e x﹣mx﹣n．则h（0）＝1﹣n，函数的导数h′（x）＝e x﹣m，则h′（0）＝1﹣m，则函数在x＝0处的切线方程为y﹣（1﹣n）＝（1﹣m）x，∵切线过点（1，0），∴﹣（1﹣n）＝1﹣m，即m+n＝2．②当n＝0时，h（x）＝f（x）﹣g（x）＝e x﹣mx．若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，即e x﹣mx＝0在（﹣1，+∞）上无解，若x＝0，则方程无解，满足条件，若x≠0，则方程等价为m＝，设g（x）＝，则函数的导数g′（x）＝，若﹣1＜x＜0，则g′（x）＜0，此时函数单调递减，则g（x）＜g（﹣1）＝﹣e ﹣1，若x＞0，由g′（x）＞0得x＞1，由g′（x）＜0，得0＜x＜1，即当x＝1时，函数取得极小值，同时也是最小值，此时g（x）≥g（1）＝e，综上g（x）≥e或g（x）＜﹣e﹣1，若方程m＝无解，则﹣e﹣1≤m＜e．（2）∵n＝4m（m＞0），∴函数r（x）＝+＝+＝+，则函数的导数r′（x）＝﹣+＝，设h（x）＝16e x﹣（x+4）2，则h′（x）＝16e x﹣2（x+4）＝16e x﹣2x﹣8，[h′（x）]′＝16e x﹣2，当x≥0时，[h′（x）]′＝16e x﹣2＞0，则h′（x）为增函数，即h′（x）＞h′（0）＝16﹣8＝8＞0，即h（x）为增函数，∴h（x）≥h（0）＝16﹣16＝0，即r′（x）≥0，即函数r（x）在[0，+∞）上单调递增，故r（x）≥r（0）＝，故当x≥0时，r（x）≥1成立．A、（选修4-1：几何证明选讲）21．（5分）如图，已知点P为Rt△ABC的斜边AB的延长线上一点，且PC与Rt△ABC的外接圆相切，过点C作AB的垂线，垂足为D，若P A＝18，PC＝6，求线段CD的长．【解答】解：由切割线定理，得PC2＝P A•PB，解得PB＝2，所以AB＝16，即Rt△ABC的外接圆半径r＝8，…5分记Rt△ABC外接圆的圆心为O，连OC，则OC⊥PC，在Rt△POC中，由面积法得OC•PC＝PO•CD，解得．…10分．B、（选修4-2：矩阵与变换）22．求直线x﹣y﹣1＝0在矩阵的变换下所得曲线的方程．【解答】解：设P（x，y）是所求曲线上的任一点，它在已知直线上的对应点为Q（x'，y'），∵＝，∴，解得，代入x'﹣y'﹣1＝0中，得：，化简可得所求曲线方程为．三.C、（选修4-4：坐标系与参数方程）23．在极坐标系中，求圆ρ＝2cosθ的圆心到直线2ρsin（θ+）＝1的距离．【解答】解：将圆ρ＝2cosθ化为ρ2＝2ρcosθ，普通方程为x2+y2﹣2x＝0，圆心为（1，0），又，即，∴直线的普通方程为，故所求的圆心到直线的距离．24．（8分）解不等式|x+1|+|x﹣2|＜4．【解答】解：当x＜﹣1时，不等式化为﹣x﹣1+2﹣x＜4，解得；当﹣1≤x≤2时，不等式化为x+1+2﹣x＜4，解得﹣1≤x≤2；当x＞2时，不等式化为x+1+x﹣2＜4，解得；所以原不等式的解集为．25．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，动点P满足（λ＞0），当λ＝时，AB1⊥BP．（1）求棱CC1的长；（2）若二面角B1﹣AB﹣P的大小为，求λ的值．【解答】解：（1）以点A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设CC1＝m，则B1（3，0，m），B（3，0，0），P（0，4，λm），所以，，，…2分当时，有解得，即棱CC1的长为．…4分（2）设平面P AB的一个法向量为＝（x，y，z），则由，得，即，令z＝1，则，所以平面P AB的一个法向量为，…6分又平面ABB1与y轴垂直，所以平面ABB1的一个法向量为，因二面角B1﹣AB﹣P的平面角的大小为，所以|cos＜＞|＝＝||，结合λ＞0，解得．…10分．26．（10分）设集合S＝{1，2，3，…，n}（n∈N*，n≥2），A，B是S的两个非空子集，且满足集合A中的最大数小于集合B中的最小数，记满足条件的集合对（A，B）的个数为P n．（1）求P2，P3的值；（2）求P n的表达式．【解答】解：（1）当n＝2时，即S＝{1，2}，此时A＝{1}，B＝{2}，所以P2＝1，…2分当n＝3时，即S＝{1，2，3}，若A＝{1}，则B＝{2}，或B＝{3}，或B＝{2，3}；若A＝{2}或A＝{1，2}，则B＝{3}；所以P3＝5．…4分（2）当集合A中的最大元素为“k”时，集合A的其余元素可在1，2，…，k ﹣1中任取若干个（包含不取），所以集合A共有种情况，…6分此时，集合B的元素只能在k+1，k+2，…，n中任取若干个（至少取1个），所以集合B共有种情况，所以，当集合A中的最大元素为“k”时，集合对（A，B）共有2k﹣1（2n﹣k﹣1）＝2n﹣1﹣2k﹣1对，…8分当k依次取1，2，3，…，n﹣1时，可分别得到集合对（A，B）的个数，求和可得．…12分。