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电磁场数学方法第一章 场论1 方向导数定义：方向导数是在一个点M 处沿方向l 的函数()u M 当0ul∂>∂时，函数u 沿l r 方向增加。
当0ul∂<∂时，函数u 沿l r 方向减少。
定理1. 函数(,,)u u x y z =在点0000(,,)M x y z 处可微；cos α，cos βcos γ为l 方向的方向余弦，则函数u 在点0M 处沿l 且由如下公式给出：cos cos cos u u u ul x y zαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂ 其中,,u u ux y z∂∂∂∂∂∂是在点0M 处的偏导数。
2 梯度方向导数解决了函数()u M 在给定点处沿某个方向的变化率问题。
梯度则解决了函数()u M 在给定点处沿哪个方向的变化率最大的问题。
考察方向导数公式：cos cos cos ||cos(,)u u u uG l G G l l x y zαβγ∂∂∂∂=++=⋅=∂∂∂∂r r r r r 式中u u u G i j k x y z∂∂∂=++∂∂∂r r r r ，cos cos cos l i j k αβγ=++r r r r。
梯度的定义：若在数量场()u M 中的一点M 处，存在这样一个矢量G r，其方向为函数()u M 在M 点处变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值，则称矢量G ϖ为函数()u M 在点M 处的梯度，记作grad u ，即：()u u u grad u G i j k x y z∂∂∂==++∂∂∂rr r r3 矢量场的通量及散度 通量通量的定义：设有矢量场()A M r ，沿有向曲面S 某一侧的曲面积分n ssA ds A dsΦ==⋅⎰⎰⎰⎰r r称为该矢量穿过曲面S 的通量。
散度的定义：lim lim s M M A dsdivA V v∆∆Ω->∆Ω->⋅∆Φ==∆∆⎰⎰r r r Ò。
“电磁场与电磁波“复习提纲根本定义、根本公式、根本概念、根本计算一、场的概念〔§1-1〕 1. 场的定义2. 标量场与矢量场：等值面、矢量线 二、矢量分析1. 矢量点积与叉积的定义：〔第一次习题〕2. 三种常用正交坐标系3.标量的梯度〔§1-3〕 a) 等值面：例1-1 b) 方向导数：例1-2c) 梯度定义与计算：例1-3 4. 矢量场的通量与散度〔§1-4〕a) 矢量线的定义：例1-4b) 矢量场的通量：()()S e r F S r F n SSd d⋅=⋅=⎰⎰ψc) 矢量场的散度定义与计算：例1-5d) 散度定理〔高斯定理〕：⎰⎰⋅=⋅∇SVS F V Fd d5. 矢量场的环量与旋度〔§1-5〕a) 矢量场的环流〔环量〕：⎰⋅=ll F d Γb) 矢量场的旋度定义与计算：例1-6 c) 旋度定理〔斯托克斯定理〕：()⎰⎰⋅=⋅⨯∇CSl F S Fd d6. 无源场与无散场a) 旋度的散度()0≡⨯∇⋅∇A ，散度处处为0的矢量场为无源场，有A F⨯∇=b) 梯度的旋度()0≡∇⨯∇ϕ，旋度处处为0的矢量场为无旋场，有u F -∇=；c) 矢量场的分类 7. 拉普拉斯算子8. 亥姆霍兹定理：概念与意义 根本概念：1. 矢量场的散度和旋度用于描述矢量场的不同性质a) 矢量场的旋度是矢量，矢量场的散度是标量；b) 旋度描述矢量场中场量与涡旋源的关系，散度描述矢量场中场量与通量源的关系； c) 无源场与无旋场的条件；d) 旋度描述场分量在与其垂直方向上的变化规律；散度描述场分量沿各自方向上的变化规律 2. 亥姆霍兹定理概括了矢量场的根本性质a) 矢量场由其散度、旋度和边界条件唯一确定；b) 由于矢量的散度和旋度分别对应矢量场的一种源，故分析矢量场总可以从研究其散度和旋度着手； c) 散度方程和旋度方程是矢量场的微分形式，故可以从矢量场沿闭合面的通量和沿闭合路径的环流着手，得到根本方程的积分形式。
电磁场复习纲要《电磁场理论》知识点第⼀章⽮量分析⼀、基本概念、规律⽮量微分算⼦在不同坐标系中的表达，标量场的梯度、⽮量场的散度和旋度在不同坐标系中的计算公式，常⽤的⽮量恒等式（见附录⼀1.和2.)、⽮量积分定理（⾼斯散度定理、斯托克斯旋度定理及亥姆霍兹定理）。
⼆、基本技能练习1、已知位置⽮量z y x e z e y ex r ++=，r 是它的模。
在直⾓坐标系中证明（1）r r r =? （2）3=??r （3）?×0=r （4）?×(0)=?r （5）03=??r r2、已知⽮量z y e xy e x eA z y x 2++=，求出其散度和旋度。
3、在直⾓坐标系证明0A =4、已知⽮量y x e e A ?2?+= ，z x e e B ?3?-=，分别求出⽮量A 和B 的⼤⼩及B A ?5、证明位置⽮量x y z r e x e y e z =++ 的散度，并由此说明⽮量场的散度与坐标的选择⽆关。
6、⽮量函数z y x e x e y ex A 2++-=，试求（1）A（2）若在xy 平⾯上有⼀边长为2的正⽅形，且正⽅形的中⼼在坐标原点，试求该⽮量A穿过此正⽅形的通量。
第⼆章静电场⼀、基本常数真空中介电常数0ε⼆、基本概念、规律静电场、库仑定律、电场强度、电位及其微分⽅程、电荷密度、电偶极⼦模型、⾼斯定理、环路定理、极化强度⽮量、电位移⽮量、场⽅程（真空中和电介质中）、介质性能⽅程，边界条件，场能及场能密度。
三、基本技能练习1、设⾮均匀介质中的⾃由电荷密度为ρ，试证明其中的束缚电荷密度为)(00εεερεεερ-??---=D b 。
2、证明极化介质中，极化电荷体密度b ρ与⾃由电荷体密度ρ的关系为：ρεεερ0--=b 。
3、⼀半径为a 内部均匀分布着体密度为0ρ的电荷的球体。
求任意点的电场强度及电位。
4、设0=z 为两种媒质的分界⾯，0>z 为空⽓，其介电常数为01εε=，0媒质2。
电磁场期末复习知识点第一章1、熟悉三种坐标系。
基本题型：1）圆柱坐标系中单位矢量 ， 。
2）对于矢量A ，若 ，则=+∙y x a y x a x )(2 ，=⨯x z a y a x 2 。
3） 习题1.2 1.32、直角坐标系中散度、旋度、方向导数、梯度的计算公式及求解。
基本题型：习题1.9 1.15 1.16 1.23 1.25第二章1、真空中和介质中的场方程。
2、介质极化的过程3、高斯定理的应用（求解对称性问题）基本题型：1）球面对称问题：计算空间任一点的电场强度、电通密度、极化强度、极化电荷等（例如：空心介质球、导体球）2）圆柱对称问题：同轴线单位长度的电容、电感、漏电的计算。
4、电场的边界条件I 要能判断出不同分界面的满足的边界条件是什么，准确写出来。
5、电动势和接地电阻的基本概念，减小接地电阻的方法。
5、课件上的例题、课堂练习。
第三章1、镜像法的概念、依据，四种情况下镜像电荷的大小和位置（要描述清楚）；电荷运动时，其镜像电荷如何运动。
2、分离变量法：给定区域满足的方程、满足的边界条件（用数学表达式表示出来）第四章1、真空中、磁介质中磁场的基本方程（安排环路定理的应用，圆柱对称，参看教材和课件例题）2、磁化过程的描述=⋅ϕρρa z a =⨯ϕρa a z z y y x x A a A a A a ++=3、边界条件第五章1、麦克斯韦方程组及其物理含义（一定要记清楚）（含瞬时值和向量相量形式）2、时变电磁场的边界条件（两种特殊情况的边界面边界条件）3、坡印廷矢量的计算（含瞬时值和向量形式，平均坡印廷矢量）4、时谐电磁场瞬时值和向量形式的转换。
基本题型：1、“变化的电场可以产生磁场，变化的磁场可以产生电场”具体指麦克斯韦方程组的哪一个？2、例题5- 2 ；例题5-3 例题5-4 例题5-53、课后习题：5.6 5.7 5.8 5.9第六章1、无耗媒质中均匀平面波的特征。
2、相速、波长、传播常数、波阻抗等计算公式及相互关系（真空中的值）3、导电媒质中均匀平面波特征。
完整版电磁场理论复习总结1.1 标量场和⽮量场1.2 三种常⽤的正交坐标系1.3标量场的梯度哈密顿算符：(⼀e —e —e z)x y z2.梯度的垄本运算公式1) VC-0 (C^S)2) V(Cu)⼆CVw3) V((/ ⼟巧⼆可肿⼟V7附4) V(/a T) = Z/V V +T V;/5) VF(u) = F r(u)Vu6) V(-) = -l(rV?/-i/Vv)v vFF cF7) ^7(^ v) = —Vw + — Vvdu dv式中：U育常報；级⽢为半标变最遢載;3”梯度的重要性质16CJ55 「「⼩V x V/z = 0产⽣场的场源所在的空闾位国点称为源点上记为am或7 场所在的疇间⾫置点称为场贞「记为(x,y\2｝或⼫源点到场点的距S?j?=|r-r| 从源点指向场点的⽮量为^ = r-F例3求鸥叫哙呻?刃畑％&R⾐⽰对仗」4运算R表⽰对运算.R^r-r1^J(x-A?)r+(y-/>:BR 、BR 、BR—MY臥叫帝M还W(R) = ARWR = ^-\R(lii dii fir ?S A dS A. A y A zdivA lim ——V 0 V x y zdivA A x A y A z Ax y zA e x( A z A y) e y( A x A z) e z(⼊sy z z x x y1) V Y C=02) Vx(i = A3) V x(H ±B) —V XJ1±V>.54) V x (u = uV y /< + V u KX B)=2J-V XJ4-J4-V X5l f ***** 4；jd' V x Vy - 0! 7)V (VxJ)-O：W屜囲焉唉屋?熾常数，址为标量函数「du电磁总复习第⼀章⽮量分析l ?Eit ⼗dit ?duIt= 0 r ——+ 0 L ——+&——标量场⼼的梯度. ex cy czV u =—yir rotAc'R ex R_y-y r漁—R 忑RVR = -RR'⽮童场的雄度1.4⽮量场的通量与散度三. 散度的运算公式])V C-02)V(Arl) = )tV^4) V (u A) =wV .4 + 4 Vw 沐为常数」为标量函数)- (IA5) V J(rt) - V// —du四、⾼斯定理(散度定理)L v知⼀丄％物理詳5G穿过⼀封闭曲⾓的总谓呈等于⽮虽散度的休秘分1.5⽮量场的环流与旋度-------------------- V VV v ?c A dl rotA nlim --S 0Sr r re x e y e zir irot A Ax y zA x A y A z4-症度计算相关公式:标葷场的梯度的旌度恒为零1G:2D3*酶点录场点df Rmax三、斯托克斯定理物理含义；—个⿂量场旋度的⾯税分導于演⽮量沿此由⾯周界的曲线眦四、⽮量场擬度的重要性质⼙（Vxj^O任意⽮量场I?度的散度等于議⽮量场有两种不同性质的源：（1）散度源（标量）（2）旋度源（⽮量）。
选择、填空、名词解释、1.电场强度定义：单位正电荷所受的电场力。
单位伏/米。
2.电场强度的方向与正电荷受力方向相同3.真空中的介电常数为8.85*10-12F/m4.电场强度的闭合线积分为0说明场中的点之间的电位差与积分路径无关。
5.理论证明，在不同电介质交界面上，电场强度切向分量连续6.静电场的泊松方程：7.半径为R的孤立导体球的电容为：8.普通平板电容器的电容量：9.C1、C2并联，总电容量：C1+C210.击穿场强（电介质强度）：材料能够承受的最大场强度11.静电场的辅助方程：12.一般形式的高斯通量定理的积分形式：微分形式：13.P与E的同向关系随外电场改变而变化的电介质为各向同性电介质14.线性各向同性电介质15.恒定电场是指电场不随时间变化16.导电媒质中电荷运动形成的电流称为传导电流17.运流电流：不导电空间电荷运动形成的电流18.T体电流密度J等于体电荷密度乘以速度19.体电流密度就是垂直于电荷运动方向单位面积上通过的电流。
20.面电流密度就是垂直于电荷运动方向单位宽度上通过的电流。
21.线电流单位：安培22.均匀导电媒质是指导电率不随空间位置变化23.均匀导电媒质：导电媒质中的电导率处处相等的导电媒质。
24.各向异性的导电媒质：媒质的电导率随电场强度的方向改变而变化25.在恒定电场中，电流密度闭合面积分为26.在恒定电场中，已知电流密度J，求穿过面积S的电流计算公式：27.在恒定电场中，电流连续性方程的微分形式：28.在恒定电场中，不经过电源的电场强度闭合线积分等于029.电源外的恒定电场中，电场强度的旋度恒为030.电流从良导体进入不良导体，J的切向分量变小。
31.在导电媒质与理想介质的分界面处，电流密度的法向分量连续。
32.接地电阻的主要部分：土壤电阻33.深埋全球接地体，半径越大，接地电阻越小34.跨步电压：节点体附近地面，人两脚之间的电位差。
35.磁感应强度B的单位：特斯拉T36.洛伦兹力：磁场对运动电荷的作用力。
电磁场数学方法复习---孙正忠一、复变函数复习重点(一)复数的表示1）模 2）幅角 3）三角表示 4）指数表示 （二）复初等函数（掌握最基本的这几个，尤其是多值性）指数函数：()cos sin z x e e y i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()z ze e'=。
注：ze是以2i π为周期的周期函数。
（注意与实函数不同）对数函数： ln (arg 2)Lnz z i z k π=++(0,1,2)k =±±L （多值函数）；主值：ln ln arg z z i z =+。
（单值函数）Lnz 的每一个主值分支ln z 在除去原点及负实轴的z 平面内处处解析，且()1lnz z'=；乘幂与幂函数：(0)bbLnaa ea =≠；(0)b bLnzz e z =≠三角函数：sin cos sin ,cos ,t ,22cos sin iz iz iz iz e e e e z zz z gz ctgz i z z---+==== sin ,cos z z 在z 平面内解析，且()()sin cos ,cos sin z z z z ''==-（三）解析函数的概念1）点解析： ()f z 在0z 及其0z 的邻域内可导，称()f z 在0z 点解析； 2）区域解析： ()f z 在区域内每一点解析，称()f z 在区域内解析； 3）若()f z 在0z 点不解析，称0z 为()f z 的奇点；（四）函数可导与解析的充要条件（一定要分清什么是解析，什么是可导） 1．函数可导的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在z x iy =+可导⇔(),u x y 和(),v x y 在(),x y 可微，且在(),x y 处满足C D -条件：,u vu v x yy x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 此时， 有()u v f z i x x∂∂'=+∂∂。
2．函数解析的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在区域内解析⇔(),u x y 和(),v x y 在(),x y 在D 内可微，且满足C D -条件：,u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂； 此时()u vf z i x x∂∂'=+∂∂。
（五）关于复变函数积分的重要定理与结论（记住公式，并学会如何运用） 1．柯西—古萨基本定理：设()f z 在单连域B 内解析，c 为B 内任一闭曲线，则()0cf z dz =⎰Ñ2. 柯西积分公式：设()f z 在区域D 内解析，c 为D 内任一正向简单闭曲线，c 的内部完全属于D ，0z 为c 内任意一点，则()()002c f z dz if z z z π=-⎰Ñ3．高阶导数公式：解析函数()f z 的导数仍为解析函数，它的n 阶导数为()()()0102(1,2)()!n n c f z i dz f z n z z n π+==-⎰L Ñ4．重要结论：12,010,0()n ci n dz n z a π+=⎧=⎨≠-⎩⎰Ñ。
（c 是包含a 的任意正向简单闭曲线） （六)已知解析函数()f z 的实部或虚部，求解析函数()f z u iv =+的方法。
（掌握此类型） 1）偏微分法：若已知实部(),u u x y =，利用C R -条件，得,v vx y∂∂∂∂； 对v u y x ∂∂=∂∂两边积分，得()u v dy g x x∂=+∂⎰ （*） 再对（*）式两边对x 求偏导，得()v u dy g x x x x ∂∂∂⎛⎫'=+ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰ （**） 由C R -条件，u v y x ∂∂=-∂∂，得()u u dy g x y x x ∂∂∂⎛⎫'=-+ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰，可求出 ()g x ； 代入（*）式，可求得虚部()uv dy g x x ∂=+∂⎰ 。
2）线积分法：若已知实部(),u u x y =，利用C R -条件可得v v u u dv dx dy dx dy x y y x ∂∂∂∂=+=-+∂∂∂∂，故虚部为()()00,,x y x y u uv dx dy c y x∂∂=-++∂∂⎰；由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中()00,x y 与(),x y 是解析区域中的两点。
3）不定积分法：若已知实部(),u u x y =，根据解析函数的导数公式和C R -条件得知，()u v u uf z i i x y x y∂∂∂∂'=+=-∂∂∂∂ 将此式右端表示成z 的函数()U z ，由于()f z '仍为解析函数，()()f z U z dz c =+⎰（七）幂级数的敛散性1．幂级数的概念：表达式()nnn c z z ∞=-∑或nn n c z∞=∑为幂级数。
2．收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。
● 比值法 如果1lim 0n n nc c λ+→∞=≠，则收敛半径1R λ=；● 根值法0n λ=≠，则收敛半径1R λ=；● 如果0λ=，则R =∞；说明在整个复平面上处处收敛； 如果λ=∞，则0R =；说明仅在0z z =或0z =点收敛； （八）幂函数的泰勒展开1. 泰勒展开：设函数()f z 在圆域0z z R -<内解析，则在此圆域内()f z 可以展开成幂级数 ()()()()000!n nn f z f z z z n ∞==-∑；并且此展开式是唯一的。
2．常用函数在00z =的泰勒展开式（牢记以下展开公式，并注意收敛域）1）23011!2!3!!nzn n z z z e z z n n ∞===++++++∑L L z <∞2）20111n n n z z z z z ∞===+++++-∑L L 1z < 3）352121(1)(1)sin (21)!3!5!(21)!n n n n n z z z z z z n n ∞++=--==-+-++++∑L L z <∞ 4）24220(1)(1)cos 1(2)!2!4!(2)!n n n nn z z z z z n n ∞=--==-+-++∑L L z <∞ （九）幂函数的洛朗展开 1. 洛朗级数的概念：()0nn n c z z ∞=-∞-∑，含正幂项和负幂项。
2．洛朗展开定理：设函数()f z 在圆环域102R z z R <-<内处处解析，c 为圆环域内绕0z 的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有()()0nn n f z c z z ∞=-∞=-∑，且展开式唯一。
（十）孤立奇点的判别方法 1．可去奇点：()00lim z z f z c →=常数；2．极点：()0lim z z f z →=∞3．本性奇点：()0lim z z f z →不存在且不为∞。
（十一）留数的概念1．留数的定义：设0z 为()f z 的孤立奇点，()f z 在0z 的去心邻域00z z δ<-<内解析，c 为该域内包含0z 的任一正向简单闭曲线，则称积分()12c f z dz iπ⎰Ñ为()f z 在0z 的留数（或残数），记作 ()0Re [,]s f z z =()12c f z dz i π⎰Ñ2．留数的计算方法若0z 是()f z 的孤立奇点，则()0Re [,]s f z z =1c -，其中1c -为()f z 在0z 的去心邻域内洛朗展开式中10()z z --的系数。
1）可去奇点处的留数：若0z 是()f z 的可去奇点，则()0Re [,]s f z z =0 2）m 级极点处的留数若0z 是()f z 的m 级极点，则()0Re [,]s f z z =()01011lim [()](1)!m m m z z d z z f z m dz--→-- 特别地，若0z 是()f z 的一级极点，则 ()0Re [,]s f z z =()00lim()z z z z f z →-3.留数基本定理设()f z 在区域D 内除有限个孤立奇点12,,n z z z L 外处处解析，c 为D 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则()()12Re [,]ncn f z dz i s f z z π∞==∑⎰Ñ（重点掌握应用留数定理计算实变函数定积分的书上那三种类型，并能够计算）小结：注意重点掌握多值函数，解析函数定义，柯西定理，柯西公式，以及洛朗级数展开，留数定理计算定积分。
（红色标注容易出大题）温馨提醒：复变函数其实更重要的是理解那些概念和公式，学会认真思考各定理及公式的内在含义及关系，掌握什么样的题该用什么样的方法，灵活运用，看懂课本，其实这一部分并不是很难，有信心就好！二、数学物理方程复习重点（只列重要知识点）前言：数学物理方程这一部分，确实头痛，个人感觉需要比较强的数学功底，自己学的也不是很好，总体感觉还是需要花功夫才能学好。
如果考前突击的话，就要抓住重点，学会取舍，分析出题人心理，最重要的还是牢牢掌握各类形式的方程典型例题解法，最好能动手算一遍，加深印象，到时候能做到依葫芦画瓢，把题做出来就行。
以下总结以知识点罗列为主，具体可参见杨显清老师数学物理方程总结的那个课件。
（1）数学模型与定解条件记住波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程的形式，区分三种边界条件。
掌握直角坐标系的那4个本征值和本征函数的问题。
（牢记）（2）分离变量法（大题）学会用分离变量法解方程，结合书中相应分离变数法的例题分析掌握，并学会处理各类非齐次条件（一般不会太难处理）。
（3）贝塞尔函数（大题）贝塞尔方程的级数解。
贝塞尔函数的递推公式，正交关系。
函数展成贝塞尔函数的级数。
虚宗量的贝塞尔函数。
以及应用贝塞尔函数解方程（重点）。
（4）勒让德函数（大题）勒让德方程和勒让德多项式。
勒让德多项式的微分表示。
正交关系（掌握证明方法）。
勒让德多项式的递推公式。
函数展成勒让德多项式的级数。
连带勒让德函数。
以及应用勒让德函数解方程（重点）。
（5）边值问题（参考例题掌握）长方体上的拉普拉斯问题和热传导问题。
圆柱体上的拉普拉斯问题和热传导问题。
球体上的拉普拉斯问题和热传导问题。
（6）格林函数，达朗贝尔公式（理解，一般不会考大题）小结：做数学物理方程这类题，最重要的还是克服自己心里的畏惧感，相信自己可以学会，并且可以学好。
解数学物理方程，其实最基本的也就那么几种方法，本征函数展开法，特解法，冲量法等。
其中最重要的是本征函数展开法，特解法最好掌握下，冲量法就可以不掌握，同时要清楚认识各种方法适用于哪些问题，最好能记住那些常用的通解。
