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画法几何—平面

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《画法几何》(杨辉、李小汝)教学课件 第五章~

《画法几何》(杨辉、李小汝)教学课件 第五章~

画法几何
（a）直观图
（b）投影图
图5-3 互相平行的两迹线表示平面
图5-4 △ABC给定一平面
6
画法几何
5.1.2 迹线表示法
根据两点决定一直线，因此，作出属于PV的任意两点和属于PH 的任意两点即可作出迹线。 从图5-5可以看出，取属于平面的任意两直线，如AB和BC，作出该两直线的水平迹点D和F， 则D和F必属于平面P与H面的交线PH ，所以连点D和F即为PH 。同理，作出该两直线的正面迹点E 和G，连点E和G即为 PV 。故求作平面的迹线归结为求作属于平面的任意两直线的迹点问题。 图5-6表示投影图上的作图过程。
【例5-1】 如图5-8所示，点E，F均在平面ABCD上，则由点E，F确定的 直线EF在平面ABCD上；直线MN上点M在平面ABCD上，且MN平行于四边形 ABCD的一边CD，故直线MN在平面ABCD上。
画法几何
图5-8 直线在平面上
11
5.3.1 平面上的直线
【例5-2】 如图5-9（a）所示，已知直线FG在△ABC上，求作直线FG的V面投影。
【例5-4】 如图5-11（a）所示△ABC的 两面投影，在△ABC平面上取一点M，使点M 比点B低6 mm，在点B之后7 mm，试求点M的 两面投影。
分析：已知点M比点B低6 mm，可作平面
上的水平线；已知点M在点B之后7 mm，可作 平面上的正平线，点M必在两直线的交点上。
（a）
（b）
（c）
图5-11 求点M的两面投影
特 为原形的类似形
原形的类似形
为原形的类似形
性 小结：① 在所有垂直的投影积聚成一条与投影轴倾斜的直线段
② 其他另两面投影为原形的类似形
10
平面上的直线和点

画法几何制图—平面的投影及相对位置

画法几何制图—平面的投影及相对位置
平面投影的实际应用
PRT SIX
建筑制图的投影应用
建筑平面图：表示建筑物的平面形状和尺寸
建筑立面图：表示建筑物的立面形状和尺寸
建筑剖面图：表示建筑物的剖面形状和尺寸
建筑详图：表示建筑物的细部构造和尺寸
工程制图的投影应用
建筑设计：绘制建筑平面图、立面图、剖面图等
机械设计：绘制机械零件图、装配图等
,
画法几何制图—平面的投影及相对位置
目录
Prt One
添加目录标题
Prt Two
平面投影的基本概念
Prt Three
平面投影的特性
Prt Four
平面间的相对位置关系
Prt Five
平面与投影面间的相对位置关系
Prt Six
平面投影的实际应用
添加章节标题
PRT ONE
平面投影的基本概念
PRT TWO
平面的表示方法
投影面：将物体投影到平面上形成平面图形
投影线：连接物体与投影面的直线
投影点：物体与投影面的交点
投影方向：投影线与投影面的夹角
投影面法线：垂直于投影面的直线
投影面坐标：表示平面图形在投影面上的位置和方向
投影面与平面的关系
投影关系：物体与投影面之间的相对位置关系
投影面：将物体投影到平面上形成投影面
特点：平面与投影面之间没有交点且平行于投影面
垂直关系
垂直关系：平面与投影面之间的一种相对位置关系
垂直关系特点：平面与投影面之间的夹角为90度
垂直关系应用：在工程制图中垂直关系常用于表示物体的高度、宽度和深度
垂直关系判断：通过测量平面与投影面之间的夹角判断是否满足垂直关系
倾斜关系
倾斜角度：平面与投影面之间的夹角

《画法几何》第2章 点、直线、平面的投影

《画法几何》第2章 点、直线、平面的投影

相交（或交 叉）成直角 的两直线， 只要其中有 一条直线平 行于某投影 面，则它们 在该投影面 上的投影仍 反映直角
水平线
Ｂ
b a
Ａ Ｃ
c
反之，两直线之一是某投影面平行线，且两直线在该投影面 上的同名投影互相垂直，则在空间两直线互相垂直
[例2-7]已知过点A作线AB平行于EF，问AB与CD是否相 交(习题P25-4)
Ⅰ∈AB Ⅱ∈CD
Ⅲ∈AB Ⅳ∈CD
3 4） （
1
b
判断重影点重 合投影的可见性 时，要在其他投 影中比较它们坐 标的大小。
直角投影定理
当两直线都平行于某投影面对，其夹角在该投影 面上的投影反映实形。
当两直线都不平行于某投影面时，其夹角在该投 影面上的投影一般不反映实形。
a b
a c b
c
b0
c
b
d
[例2-11]作一直线与AB和CD相交，并与它们垂直（即 求两直线的公垂线），并标明其真实距离
c´ b´
f´
a´
e´
d´ c (d) e
a
真ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ距离
f
b
点的投影
直线的投影
两直线的相对位置
平面的投影（自学）
平面的投影
平面的投影
平面的投影性质
P
A D C B
q p H d
根据一般位置直线的投影求其实长和倾角 （直角三角形法）
b´
m
V
a´
α
b´
B
C
X
a´
1、过A点作 AC//ab 2、过b点作 O bb ⊥ab,且 0 bb0=BC
A b
a
α

《画法几何》课件——5.直线与平面平行投影

《画法几何》课件——5.直线与平面平行投影

b′ f′
c
f
a
b
e
33
平面与平面垂直
直线与平面及两平面的相对关系
主讲人：
二面角
Q
β
B
A
l
P
α
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱。
• 这两个半平面叫做二面角的面.棱为AB,面分别为α,β 的二面角记作二面角α-AB-β。
• 有时为了方便,也可在α,β内(棱以外的半平面部分)分 别取点P,Q,将这个二面角记作二面角P-AB-Q。
PV
M
QV
Q
P
m′
QV
n′
PH
QH
N
m(n)
PH
QH
25
平面与平面相交
无积聚性时求交
由于相交的两元素均无积聚性，故不能直接利用积聚性进行求解。解决这类问题，通常可借 助设置特殊辅助平面进行求解。
基本作图
两一般位置平面相交
Q
C
A M KF
N
E B
M
B
KA
F
L
N
C
平面与平面相交
案例3 两一般位置平面相交。
c
e
20
平面与平面相交
直线与平面及两平面的相对关系
主讲人：
平面与平面相交
直线与平面、平面与平面相交
几何条件
两平面相交于一直线，交线是两平面的共有线。
1、利用积聚性求交
2、无积聚性时求交
平面与平面相交
利用积聚性求交
两相交元素中若有一个元素具有积聚性，则可利用其积聚性来求交点或交线。
M
B
P
KA
F

4.画法几何—平面

4.画法几何—平面

※ ○
b′ d′
1
a′ X
a
d
1
b
c′
O c
例题3 已知点E 在ABC 平面上，且点E 距离H 面15mm， 距离V 面10mm，试求点E 的投影。
h'
m'
e' n'
10 15
s'
X
O
h
s
e
例4 如图所示，已知正垂面△ABC、点D和E、直线DE的投影图， 检验点D、E和直线DE是否在△ABC平面上。
的与水平面的倾角为45°的
正垂面，过直线CD的铅垂
面，并分别说明各有几解。
［解］
①③过过点直A线的C正D平作面铅P垂（面用（有因积铅 聚垂性面的的水水平平迹迹线线P有H表积示聚）性。， ②所过以点过B直作线与C水D平的面铅成垂4面5T°倾的 角水的平正迹垂线面TH（必用与有C积D的聚水性平的 正投面影迹cd线相Q重V、合R，V表T示V可，不QH、 R画H可）不。画,有两解）。
例题5 如图a所示，已知△ABC和点D的两面投影，以及△ABC平 面上的直线EF的正面投影e′f′，检验点D是否在△ABC平面上， 并作出直线EF的水平投影ef。
［解］
① ③连 延长b和e′df，′，并分延别长与与a′b′、
ab′cc交′交得得1；2′、由31′引；投由影2′、 连 3′引线投，影与连a′c线′交，得分1别′，与 连 abb、′与bc1交′。得2、3，连2
P平面上的对H面的最大倾斜线
例题12 如图2.55a所示，已知△ABC，求作△ABC平面与H面 的倾角和与V面的倾角。
［解］ ③④①②B同作过E理与△BA作，HB△面求CA平的得B面C倾B平G上角与面的V上，水面对就平的H是线倾面所A角的D求最的的，大两△就倾面A是B斜投C△线影平AB。面CE与平H面面与的V倾面角的倾。角 。

5、画法几何及工程制图-第四章 直线与平面的图解法

5、画法几何及工程制图-第四章 直线与平面的图解法

（一）直线与一般位置平面平行
c’
b’
例1 判断直线AB是否 平行于ΔCDE平面。
g’
a’ e’
d’ f’ X e d
结论：直线 AB不平行于 ΔCDE平面。
O
f a
c
g
b
（一）直线与一般位置平面平行
例2：已知空间一点M及平面ABC，求作过点 M且平行于平面ABC的直线。
b n c m
●
有无数解
有多少解？ a X a
回到课本P.62一般位置的 直线与平面相交的解题思 路）。
’
m X m
●
7’
2
● ●
O
5 4
e
●
3
k
●
两一般位置平面相交，求 交线步骤： 1．用求直线与平面交点的 方法，作出两平面的两个共 有点K、E。
6(7)
l
1 n
2．连接两个共有点，画 出交线KE。 3．判断可见性。
方法二：求相交两平面 的共有点，除利用直线与 平面的交点外，还可利用 三面共点的原理来作出属 于两平面的共有点。
直线与平面相交（包含垂直） 平面与平面相交（包含垂直）
一、直线与平面平行
§4-1 平行
直线与平面平行的几何条件： 如果空间一直线与平面上的任何一条直线平行， 则这条直线必平行于该平面。
A
B
C F
D
根据上述几何条件可得有 关线、面平行的作图问题： 1.判断直线与平面是否平行； 2.作直线与已知平面平行； 3.作平面与已知直线平行。
b
●
O n m
c
（一）直线与一般位置平面平行
例3：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。
正平 线

第三章 平面画法几何及土木工程制图


动画
第三章 平面 23
§3-3 平面上的直线和点
例3-2 已知五边形ABCDE上A、D、E 三点的两投 影及另两点B、C 的正面投影，要求补全五边形的
水平投影。
第三章 平面 24
§3-3 平面上的直线和点
解：问题的实质是面
内作点。 A、D、E 确
定了五边形所在的平面，
B、C 是该面内的点，利
用面内辅助直线可求出 其水平投影。最后连成 五边形的水平投影。
平投影e，试过点E作直线KL，使其平行于AB和
CD。
(点击鼠标5次看作图过程）
解：先求出点
E的正面投影e’，
过e和e’按平行直 线的投影特性作
出kl和k’l’。
第三章 平面 27
§3-3 平面上的直线和点
二、平面上的投影面平行线
1.各种类型的平面内都存在三个投影面的平行线； 2.在一般斜平面和投影面垂直面上同一投影面的 平行线是同面迹线的平行线，彼此间互相平行； 3.投影面平行面上的任何直线都是投影面平行线。
直接反映出水平倾角。现在ABC
不是正垂面，但通过作辅助投影 可以使它在新投影面体系中成为 正垂面。
第三章 平面 34
§3-4 平面的辅助投影
在面内作水平线AB，建立V1投影面垂直于AB,则 V1能与H组成新的二投影面体系，这时ABC是新体 系中的正垂面，作出ABC在V1面上的投影，则可直 接获得水平倾角。
2.面内（上）的点
点在平面的一条直线上，则点属于该平面。
Ⅰ点在AB上，Ⅱ点在
AC上，所以它们都属
于ABC；
连接ⅠⅡ，则直线ⅠⅡ属 于ABC；
K点在ⅠⅡ直线上， 所以它属于ABC。
第三章 平面 20
§3-3 平面上的直线和点

画法几何制图-平面的投影及相对位置

分析：线线//，则线面//；过A点做直线AD//BC。
f’
f
可过A点任意作直线AF
例2：过M点作直线MN平行于平面ABC。
n
a
c
b
m
a
b
c
m
n
有无数解
分析:过M点作一条//平面内的任意直线的直线,即得.
正平线
c
●
b
a
m
a
b
c
m
n
唯一解
n
分析:在平面ABC内作一条正平线,MN//此正平线,即得.
例3：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。
2.另两个投影面上的投影有类似性。
γ
β
是什么位置的平面？
投影特征：一斜两类似
2） 投影面平行面的投影
V
W
H
水平面
投影特性： 1.abc//OX、 abc//OYW，分别积聚为直线; 2 .水平投影abc反映 ABC实形。
C
A
B
a
b
c
b
a
c
a
b
c
c
a
b
b
b
a
a
椭圆的画法
一节到此
椭圆的近似画法(四心法)：
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
1.CF=CE=OA-OC
O
2.作AF的中垂线,与两轴交得1.2两点，取对称点3.4。
3.分别以1.2.3.4点为圆心，1为半径作弧，拼成近似椭圆。
四、相互垂直的两直线的投影特性
⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。
⒈ 直线与平面平行

《画法几何》课件——4平面及其表示方法


单选题 2分 1、正垂面的正面投影积聚为直线。
B 正确 A 错误
提交
单选题 2分 2、如图所示，已知平面的水平投影和侧面投影，则平面为：
A 水平面 B 侧平面 C 正垂面 D 侧垂面
提交
投影面平行面
主讲人
平面的投影
平面对投影面的各种相对位置
平面倾角：是指平面与某一投影面所成的二面角，分别用
C
B
K A L
F N
两一般位置平面相交求交线的方法 示意图
• 求两平面的交线
c′
k
1
m
m
k
1
c
b′ PV n 2 l
QV e
a′
b2
e a l
两一般位置平面相交， 求交线步骤：
1．用求直线与平面交点 的方法，作出两平面的
两个共有点K、E。
2．连接两个共有点，
画出交线KE。
注意：交线为粗实线。
• 两平面相交，判别可见性
❖ 水平投影积聚成一条直线 abc
❖ V和Ｗ投影都是类似的三角形△abc, △abc ❖ 反映倾角、γ角的真实大小
侧垂面的投影特性
❖ 侧面投影积聚成一条直线abc ❖ V和H投影都是类似的三角形△abc, △abc ❖ 反映倾角α 、角的真实大小
α
❖ 平面在与其所垂直的投影面上的投影积聚成倾斜于投影轴的直 线,并反映该平面对其他两个投影面的倾角 ❖ 平面的其他两个投影都是面积小于原平面图形的类似形
●b
a● ●c
c
●
● b′ ●b
●c
直线及线外一点
两平行直线
两平行相交
平面图形
9
用迹线表示平面 V
X
Z

7.画法几何—平面、直线与立体相交

如图所示，棱线为侧垂线的正三棱柱被正垂面P截去左端，作
截交线和完成截断体的水平投影，并求作断面的真形。 ［解］
(b(a))作已图知过条程件和作图结果
例题1 如图所示，求作一般位置的平行四边形ABCD与正四棱 柱的截交线。
［解］
(a)已知条件
(b)作图过程和作图结果
例题2 如图所示，求作斜三棱柱
AA1BB1CC1的法断面(也就是垂直
②作贯穿点C、D的两 面投影。
③表明了直线AB的投 影及其可见性。
(c)(作a)图已过知程条和件结果
(b)解题分析
See U!
交 如图所示，求作铅垂面 P与斜椭圆柱的截交线。
［解］
①用较方便的作图方法作出 截交线上的一部分特殊点。
②用在柱面上作点的方法作 出截交线上的一些一般点。 ③连成截交线椭圆的正面投 影，并表明可见性。
(ab)已作知图条过件程和作图结果
例题11 如图所示，求
画法几何—平面、直线与立体相交
本节讲解提纲
平面与平面立体相交 直线与平面立体相交 平面与曲面立体相交 直线与曲面立体相交
平面与平面立体相交
如图所示：平面P称为截平面；棱线与截平面的交点称为截交点；截
平面与三棱柱表面的交线称为截交线；截交线围成的平面图形，称 为断面。
平面与平面立体相交
1.平面与棱柱相交
可见性。
(b)解题分析
［解］
①向两侧延长底面的正
面投影，作为OX轴。
②作贯穿点C、D的两
面投影。
③表明直线AB的投影
及其可见性。
(a)已知条件
(c)作图过程和结果
例题13 如图所示，求 作一般位置直线与圆锥 的贯穿点，并表明直线 AB的投影及其可见性。
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第三章平面§3―3 平面上的直线和点§3―4 平面上的特殊直线§3－5 直线与平面、两平面平行§3－6 直线与平面、两平面相交§3－7 直线与平面、两平面垂直§3－8 综合作图c c 'a ba 'b 'OX 一、平面上的直线特性一：若直线上的两点在平面上，则直线在平面上。

k 'k ABCKG h 'hc a ba 'b 'c 'X O 特性二：若直线上的一点在平面上且平行于平面上的一条直线，则直线在平面上。

ACBEF 一、平面上的直线fe e 'f '特性：若点在平面内的一条直线上，则该点在平面上。

二、平面上的点k 'kss 'a b a 'b 'c 'c OX AB C K S【例1】判断各点是否在平面上。

不在EABC 上S ABC 上不在I 平面P 上II 平面P 上在不在kP H 122'1'P 'X O c 'c a ba 'b 's s 'ee 'X Ok '【例2】已知直线EF 在平面ABC 上，求其V 面投影。

k 'ss 'e 'kf 'e fc a b a 'c 'b 'OXa 'b 'c 'd 'a b cO X 【例3】已知四边形ABCD 的V 面投影和ABC 的H 面投影，试求全其H 面投影。

da 'b 'c 'd 'acdO X 思考：下图该如何求点B一、平面上的投影面平行线c 'a b 'a 'cbP 特性:既在平面上又与投影面平行的直线。

211'2'P H §3―4 平面上的特殊直线已知正平线EF 在平面ABC 上，距V 面25cm ，求EF 的两面投影。

c a ba 'b 'ec 'fe 'f '25c m O X【例4】APCB(b)caDHP Hα1α二、平面上的最大斜度直线特性：平面上垂直于某投影面平行线的直线为平面对该投影面的最大斜度线。

平面内最大斜度线的主要作用是：直线与投影面的倾角把平面与投影面的倾角小结：平面上对H 面的最大斜度线应垂直于平面内的水平线，该直线对H 面的倾角等于此平面对H 面的夹角。

二、平面上的最大斜度直线a 'b 'c 'abcm 'm dd 'α求平面的α角：(1)在平面内作水平线AM ；(2)过B 点作AM 的垂线BD ；(3)求BD 的α角即为所求。

求平面的β角：(1)在平面内作正平线AD ；(2)过B 点作AD 的垂线BE ；(3)求BE 的β角即为所求。

二、平面上的最大斜度直线a 'b 'c 'abcdd 'ee 'β小结：平面上对V 面的最大斜度线应垂直于平面内的正平线，该直线对V 面的倾角等于此平面对V 面的夹角。

【例5】求作两平行线所决定的平面的β角。

a 'b 'c 'd 'ab cdXOβd 'a 'b 'c 'ab cO Xdd 'a 'b 'c 'abcOXd 1'1【例7】在由直线AB 和点C 所决定的平面上，过点A 作平面对H 面的最大斜度线，并求出平面的坡度角α。

ded 'e 'αabcc 'a 'b 'PCDMN一、直线与平面平行§3－5 直线与平面平行、两平面平行则AB //PMN //CD CD Pnmn'm'd'c'b'a'd b aXOc1. 规则：若一直线与平面上任一直线平行，则此直线与该平面互相平行。

反之成立。

⒉特殊情况：若直线与投影面的垂直面平行，则该平面的积聚投影与直线的同面投影平行。

一、直线与平面平行§3－5 直线与平面平行、两平面平行P Hcbac'b'a'n'nmm'XOPP H M Nmn H P HP Hmn则P MN①过M 点作直线MN 平行已知平面ABC 。

作图步骤：①在平面ABC 内任作一条水平线(AD )；②过M 点作直线MN //AD 。

c'b'a'ac bd'dXm'mnn'O②过M 点作水平线MN 平行已知平面ABC 。

【例1】①无数解②一个解【例2】已知直线MN 平行于平面ABC ，求mn 。

c'b'a'ac b d'd作图步骤：①在ABC 内任作一V 面投影(c'd')//m'n'；②由d'求出d ,连接cd ;③过m 作mn //cd 。

Xm'mnn'OCBADFE 二、平面与平面平行1.规则：若一平面上的两条相交直线对应平行于另一平面上的两条相交直线，则该两平面互相平行。

m'n'mng'e'f 'a'b'c'abc e fgXO§3－5 直线与平面平行、两平面平行np'【例3】过点M 作平面平行△ABC 。

c'b'a'cbam'mn 'pX O⒉特殊情况：若两平面同时垂直于某一投影面时，则它们的积聚投影（迹线）相互平行。

P HQ HXO二、平面与平面平行§3－5 直线与平面平行、两平面平行f 'e'd'b'a'f edcba c'OXPP HHQ HQ【例4】已知MN 、PQ 决定的平面与平面ABC 平行，试补全三角形ABC 的正面投影。

q 'p 'n 'm 'qpnma 'cba~2'1'b '~2c '1~XO~直线与平面相交——求交点平面与平面相交——求交线求解方法：1. 积聚投影法2. 辅助平面法判别可见性关键：求直线与平面交点p'p bab'a'P HO X一、直线与特殊位置平面相交——平面有积聚投影PPHA BabHKk kk'分析：利用平面的积聚性求交交点——线面的公共点交点——可见与不可见的分界点作图步骤：1、求交点（k 为P H 与ab 的交点，求k'）2、判别可见性（远离投影轴—-可见）【例1】求直线与平面的交点，并判别可见性。

OXa 'b 'c'm 'n 'k 'abcm nk212'(1')Q Vk bak 'b 'a 'qq '二、垂直线与一般平面相交——直线有积聚投影分析：利用直线的积聚投影及平面上取点的方法求解。

n 'k 'm 'c'b'a'k cbam (n) 11'XO3 4'34( )n '三、两特殊位置平面相交——两平面均有积聚投影m 'c'b'a'cbam (n)1'(2')12分析：利用两铅垂面的交线一定为铅垂线进行求解。

pp '四、一般位置平面与特殊位置平面相交——平面有积聚投影QAB Cab c HMNm nq立体示意图a'b'c'q'nabcq mm'n'XO21'(2')1五、直线与一般位置平面相交——无积聚投影作图步骤：1.过已知直线作一个辅助平面；2.求此辅助平面与已知平面的交线；3.确定此交线与已知直线的交点。

4.判别可见性。

RABCabcHa'b'c'na bcmm'n'GFgfMN KR Hgf R Hk'k1'2'f 'g'34k1(2)3'(4')六、两一般位置平面相交——无积聚投影全贯fedcba c'b'a'd'f 'e'Q HR Hn mn'm'1'(2')213(4)4'3'XOP VR Va'c' f 'm'n'b'd'e'g'acbdemn 1'2'3'4'1234R V56785'6'7'8'OXMfgP VN六、两一般位置平面相交——无积聚投影一、直线与平面垂直1. 几何条件：若空间一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则此直线垂直于该平面。

反之，若一条直线垂直于一个平面，则此直线垂直该平面上的一切直线。

BACDFELP关键：直线与平面垂直VXYZP V P HP WDC B A PdcST stP: AB:正平线, CD:水平线ST AB, ST CD, ST P平面的垂线，其H 投影平面上水平线的H 投影；其V 投影平面上正平线的V 投影；其W 投影平面上侧平线的W 投影。

2.投影特性：一、直线与平面垂直b2'1'c'b'a'2ca1m'm n'nXO求直线MN 与平面的垂足求直线MN 与平面的垂足求点到平面的距离bc'b'a'cam'mn'nXOP Vk'k 距离作图步骤：（1）过M 点作直线垂直于平面（2）求直线与平面的交点K （3）求MK 的实长即为实距1'2'12k【例1】求点A 到△BCD 的距离。

n 'm '1'2'b 'c 'd 'a 'bc damn21k 'P V e e '距离作图步骤：（1）过已知点作已知平面的垂线（2）求垂线与已知平面的交点（3）求已知点到交点的实长，即为实距【例2】过点M 作直线AB 的垂直面。

d 'dc 'cb 'ba 'am 'mXO12k 2'1'k 'P H实距求点到直线的距离。