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画法几何--平面

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《画法几何》(杨辉、李小汝)教学课件 第五章~

《画法几何》(杨辉、李小汝)教学课件 第五章~

画法几何
（a）直观图
（b）投影图
图5-3 互相平行的两迹线表示平面
图5-4 △ABC给定一平面
6
画法几何
5.1.2 迹线表示法
根据两点决定一直线，因此，作出属于PV的任意两点和属于PH 的任意两点即可作出迹线。 从图5-5可以看出，取属于平面的任意两直线，如AB和BC，作出该两直线的水平迹点D和F， 则D和F必属于平面P与H面的交线PH ，所以连点D和F即为PH 。同理，作出该两直线的正面迹点E 和G，连点E和G即为 PV 。故求作平面的迹线归结为求作属于平面的任意两直线的迹点问题。 图5-6表示投影图上的作图过程。
【例5-1】 如图5-8所示，点E，F均在平面ABCD上，则由点E，F确定的 直线EF在平面ABCD上；直线MN上点M在平面ABCD上，且MN平行于四边形 ABCD的一边CD，故直线MN在平面ABCD上。
画法几何
图5-8 直线在平面上
11
5.3.1 平面上的直线
【例5-2】 如图5-9（a）所示，已知直线FG在△ABC上，求作直线FG的V面投影。
【例5-4】 如图5-11（a）所示△ABC的 两面投影，在△ABC平面上取一点M，使点M 比点B低6 mm，在点B之后7 mm，试求点M的 两面投影。
分析：已知点M比点B低6 mm，可作平面
上的水平线；已知点M在点B之后7 mm，可作 平面上的正平线，点M必在两直线的交点上。
（a）
（b）
（c）
图5-11 求点M的两面投影
特 为原形的类似形
原形的类似形
为原形的类似形
性 小结：① 在所有垂直的投影积聚成一条与投影轴倾斜的直线段
② 其他另两面投影为原形的类似形
10
平面上的直线和点

画法几何课件第四章平面的投影及投影变换应用

画法几何课件第四章平面的投影及投影变换应用

§4-3 平面内的直线和点
一、直线在平面内的几何条件 二、平面内的一般位置直线
三、平面内的投影面平行线
四、平面内对投影面的最大斜度线 五、平面内的点
§4-1 平面的表示法
一、直线在平面内的几何条件
通过一平面上的两个点；
通过平面上一点同时又平行该平面上另一直线。
M N
平行
§4-1 平面的表示法
Z
V
Z
X
O
PW
YW
P
X o
PW
Y
PH
YH
PH
§4-1 平面的表示法
二、投影面平行面
3.侧平面 投影特点： W 投影反映实形；
H 投影和 V 投影积聚为直线； 积聚投影垂直于OX 轴。
V
Z
实形
Z
X
o Y
X
O
YW
YH
§4-1 平面的表示法
二、投影面平R RV
X
Z
RV
O
X
o
a‟ c‟
迹线表示平面
a‟ 30° x o
b‟ x
d‟
30°
RV
o
d b a c
§4-1 平面的表示法
RH
a
一、投影面垂直面
例2 包含AB（ab，a‟b‟ ）作铅垂面。
b‟
a‟
X
c‟ b c O
a
§4-1 平面的表示法
一、投影面垂直面
例3 完成侧垂面的水平投影。
1„ 2„ Z 1“ 2“ 3„ 6„ 1 2 4 3
投影分析：
侧垂面 注意：
4„
X 5„
4“ 3“
5“ 6“ YW
V、H 投影的

画法几何及机械制图6版课件4-4 平面图形的实形

画法几何及机械制图6版课件4-4 平面图形的实形

Bc
a
d
b
o
x
V H
b’
a
c
d
解题完毕
b
平面图形的实形
一、将一般位置平面变为投影面平行面 第四章
例2：求△ABC 平面的实形。
分析：
b1
求实形即将平面变换
b’
a1d1
b’2
为投影面平行面。 需两次换面。
d’
c1
a’
c’
c’2
a’2
x
V H
作图要点：
1.在△ABC 内取投影面平行线，
∥
∧
∥
c
如正平线，如AD ；
c’
c
平面图形的实形
一、一般位置平面变为投影面垂直面 第四章
▪ 例1：换面法求△ABC 平面对V 面的倾角β。
作图分析：
作图要点：1.在△ABC 内取正平线，如AD ；
2.作X1⊥a’d’ ；求新投影。新投影与X1夹角即β。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
V
c’ c
d’ a’
β
a1d1
a’
c’
c1 a1d1
d’
β b1
x
bA’
D
V
实形
X
X1
铅垂面
O
平面图形的实形
第四章 平面图形的实形
第四章 平面图形的实形
一、一般位置平面变为投影面垂直面 第四章
▪ 例1：换面法求△ABC 平面对V 面的倾角β。
作图分析：一平面垂直另一平面内的一直线，则两平面垂直。
V
c’ c
d’ a’
x
bA’
D
Bc
a
d
b
β

画法几何制图—平面的投影及相对位置

画法几何制图—平面的投影及相对位置
平面投影的实际应用
PRT SIX
建筑制图的投影应用
建筑平面图：表示建筑物的平面形状和尺寸
建筑立面图：表示建筑物的立面形状和尺寸
建筑剖面图：表示建筑物的剖面形状和尺寸
建筑详图：表示建筑物的细部构造和尺寸
工程制图的投影应用
建筑设计：绘制建筑平面图、立面图、剖面图等
机械设计：绘制机械零件图、装配图等
,
画法几何制图—平面的投影及相对位置
目录
Prt One
添加目录标题
Prt Two
平面投影的基本概念
Prt Three
平面投影的特性
Prt Four
平面间的相对位置关系
Prt Five
平面与投影面间的相对位置关系
Prt Six
平面投影的实际应用
添加章节标题
PRT ONE
平面投影的基本概念
PRT TWO
平面的表示方法
投影面：将物体投影到平面上形成平面图形
投影线：连接物体与投影面的直线
投影点：物体与投影面的交点
投影方向：投影线与投影面的夹角
投影面法线：垂直于投影面的直线
投影面坐标：表示平面图形在投影面上的位置和方向
投影面与平面的关系
投影关系：物体与投影面之间的相对位置关系
投影面：将物体投影到平面上形成投影面
特点：平面与投影面之间没有交点且平行于投影面
垂直关系
垂直关系：平面与投影面之间的一种相对位置关系
垂直关系特点：平面与投影面之间的夹角为90度
垂直关系应用：在工程制图中垂直关系常用于表示物体的高度、宽度和深度
垂直关系判断：通过测量平面与投影面之间的夹角判断是否满足垂直关系
倾斜关系
倾斜角度：平面与投影面之间的夹角

《画法几何》第2章 点、直线、平面的投影

《画法几何》第2章 点、直线、平面的投影

相交（或交 叉）成直角 的两直线， 只要其中有 一条直线平 行于某投影 面，则它们 在该投影面 上的投影仍 反映直角
水平线
Ｂ
b a
Ａ Ｃ
c
反之，两直线之一是某投影面平行线，且两直线在该投影面 上的同名投影互相垂直，则在空间两直线互相垂直
[例2-7]已知过点A作线AB平行于EF，问AB与CD是否相 交(习题P25-4)
Ⅰ∈AB Ⅱ∈CD
Ⅲ∈AB Ⅳ∈CD
3 4） （
1
b
判断重影点重 合投影的可见性 时，要在其他投 影中比较它们坐 标的大小。
直角投影定理
当两直线都平行于某投影面对，其夹角在该投影 面上的投影反映实形。
当两直线都不平行于某投影面时，其夹角在该投 影面上的投影一般不反映实形。
a b
a c b
c
b0
c
b
d
[例2-11]作一直线与AB和CD相交，并与它们垂直（即 求两直线的公垂线），并标明其真实距离
c´ b´
f´
a´
e´
d´ c (d) e
a
真ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ距离
f
b
点的投影
直线的投影
两直线的相对位置
平面的投影（自学）
平面的投影
平面的投影
平面的投影性质
P
A D C B
q p H d
根据一般位置直线的投影求其实长和倾角 （直角三角形法）
b´
m
V
a´
α
b´
B
C
X
a´
1、过A点作 AC//ab 2、过b点作 O bb ⊥ab,且 0 bb0=BC
A b
a
α

第七章~《画法几何》

第七章~《画法几何》

由锥顶S过M做辅助线SH，因点M在SH上，则点M的投影必在直线SH的同面投影上。因此，下面为求作棱锥表面上点的另一种
作图方法。
作图步骤（方法二）：
① 如图7-8所示，在俯视图中连接sm交直线ab于点h。
② 点H在底面ABC的线段AB上，ABC为水平面，根据
“长对正”得到h′，连接s′h′。
③ m′在直线s′h′上，根据“长对正”得到m′。 ④ 根据点的投影规律，由点m′和点m求出点M的侧面投 影m″，如图7-8（c）所示。
（a）
（b）
图7-4 作棱柱表面上点的投影
8
画法几何
7.1.2 棱锥及其表面上点的投影
1．棱锥的投影
棱锥由一个多边形底面和若干个侧棱面组成，相邻两侧面的交线称为棱 线，各侧棱线均过锥顶，常见的棱锥有三棱锥、四棱锥、五棱锥等。当底面为 正多边形，锥顶在底面多边形高线上时，形成的棱锥称为正棱锥。
棱锥的作图方法：一般先画底面的三面投影（先画底面多边形的投影）， 再画锥顶的三面投影，最后连接锥顶与底面各顶点，即为棱锥的三视图投影。 按图7-5位置放置棱锥，其底面平行于水平投影面（H面），水平投影反映实 形，其他两个投影积聚成直线，再画锥顶的三面投影，连接各侧棱线的同面投 影，即为棱锥的投影。
【例7-2】 已知三棱锥表面上点M和点N的正面投影，试求作其水平投影和侧面投影。
作图步骤（方法一）： ① 如图7-7（a）所示，由于点M的正面投影不可见，因此该点在后棱 面SAC上。由于此棱面是侧垂面，其侧面投影具有积聚性，因此点M的侧面 投影m''一定积聚在直线s''a''上，根据点的投影规律求出点m''。最后由点m'和 点m''求出M点的水平投影m。 ② 由于点N的正面投影可见，因此该点在右侧棱面SBC上。首先通过点 n'作辅助线n'1'平行于b'c'并交s'c'于点1' ；然后求出Ⅰ点的水平投影1；接着 过点1作平行于bc的直线；最后根据点的投影规律求出点N的水平投影n。根 据点的投影规律，由点n'和点n求出点N的侧面投影n''，如图7-7（b）所示。

第三章 平面画法几何及土木工程制图


动画
第三章 平面 23
§3-3 平面上的直线和点
例3-2 已知五边形ABCDE上A、D、E 三点的两投 影及另两点B、C 的正面投影，要求补全五边形的
水平投影。
第三章 平面 24
§3-3 平面上的直线和点
解：问题的实质是面
内作点。 A、D、E 确
定了五边形所在的平面，
B、C 是该面内的点，利
用面内辅助直线可求出 其水平投影。最后连成 五边形的水平投影。
平投影e，试过点E作直线KL，使其平行于AB和
CD。
(点击鼠标5次看作图过程）
解：先求出点
E的正面投影e’，
过e和e’按平行直 线的投影特性作
出kl和k’l’。
第三章 平面 27
§3-3 平面上的直线和点
二、平面上的投影面平行线
1.各种类型的平面内都存在三个投影面的平行线； 2.在一般斜平面和投影面垂直面上同一投影面的 平行线是同面迹线的平行线，彼此间互相平行； 3.投影面平行面上的任何直线都是投影面平行线。
直接反映出水平倾角。现在ABC
不是正垂面，但通过作辅助投影 可以使它在新投影面体系中成为 正垂面。
第三章 平面 34
§3-4 平面的辅助投影
在面内作水平线AB，建立V1投影面垂直于AB,则 V1能与H组成新的二投影面体系，这时ABC是新体 系中的正垂面，作出ABC在V1面上的投影，则可直 接获得水平倾角。
2.面内（上）的点
点在平面的一条直线上，则点属于该平面。
Ⅰ点在AB上，Ⅱ点在
AC上，所以它们都属
于ABC；
连接ⅠⅡ，则直线ⅠⅡ属 于ABC；
K点在ⅠⅡ直线上， 所以它属于ABC。
第三章 平面 20
§3-3 平面上的直线和点

画法几何及工程制图 直线与平面的图解法


’
●
c’
n' O n
●
2c
1、含已知直线作特殊位置辅助平面 （垂直面）；
2、求辅助平面与已知平面的交线；
3、求交线与已知直线的交点，该交 点即为所求；
4、判别可见性。
（1）以铅垂面为辅助平面求线面交点。
3‘（4’）
2’
K’
步骤： 1．过EF作铅垂平面P。
2．求P平面与ΔABC的 交线ⅠⅡ。
3．求交线ⅠⅡ与EF
b
cd Xa
c
a
d
b
平行
bd
a X
c
ac
e
bd e
平行
ef
O f e f h
O fh
（一）两一般位置平面平行 例6：试判断两平面是否平行。
n
r
m
X
n m
r
结论：两平面平行
s
O
s
例7 判断平面（AB//CD)和（EF//GH)是否平行
a’
c’ m’ e’ d’
g’
n ’ h’
b’
X
f’
bd
f
a
e cm
1’
的交点K。
X
PH
O
41
k
3
2
（2）以正垂面为辅助平面求线面交点
QV
步骤：
1
1．过EF作正
’
垂平面Q。
k
’
2
’
2．求Q平面与 ΔABC的交线 ⅠⅡ。
3．求交线
X
O ⅠⅡ与EF的交
2
点K。
k 1
（二）两一般位置平面相交
方法一：线面交点法
PV n
2’

画法几何及工程制图第2章平面

§2.6 平面的投影 §2.7 平面上的点和直线 §2.8 直线、平面与平面的相对位置
20§24/27/1.88 直线、平面与平面间的相对位置-相交－重影性法-例子
[例1]求正垂线AB与平面△CDE的交点K。
e m
1 k
a b
d
c
2
X
be
km
c
1(2)
a
d
特殊位置直线与一般位置平面
20§24/27/1.88 直线、平面与平面间的相对位置-相交－重影性法-例子 [例2]求直线AB与铅垂面EFGH的交点K。
平面上的投影面平行线即要符合投影面平行线的投影 特性, 同时还要符合直线在平面上的投影特性。
b
e
a
d
c
X
a
e
dc
倾角多大？
b
AD为△ABC平面上的水平线 CE为△ABC平面上的正平线
20§24/27/1.78 平面上的点和直线-平面上的特殊直线－平面上的最大斜度线
Z
平面P内有多少条投影面
平行线？ 垂直线？ 一般
a"
c'
A a"
c'
c"
X C
c"
X
YV
c
ba
c
ba
Y
YH
投影特性:
(1) abc 、 a b c 重影为一条线，具有积聚
性
(2) 正平面投影 a b c 反映 ABC实形
20§24/27/1.68 平面的投影-各类平面的投影特性－投影面平行面－侧平面
Z c'
B
b"
b'
a'A
a"

画法几何制图-平面的投影及相对位置

分析：线线//，则线面//；过A点做直线AD//BC。
f’
f
可过A点任意作直线AF
例2：过M点作直线MN平行于平面ABC。
n
a
c
b
m
a
b
c
m
n
有无数解
分析:过M点作一条//平面内的任意直线的直线,即得.
正平线
c
●
b
a
m
a
b
c
m
n
唯一解
n
分析:在平面ABC内作一条正平线,MN//此正平线,即得.
例3：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。
2.另两个投影面上的投影有类似性。
γ
β
是什么位置的平面？
投影特征：一斜两类似
2） 投影面平行面的投影
V
W
H
水平面
投影特性： 1.abc//OX、 abc//OYW，分别积聚为直线; 2 .水平投影abc反映 ABC实形。
C
A
B
a
b
c
b
a
c
a
b
c
c
a
b
b
b
a
a
椭圆的画法
一节到此
椭圆的近似画法(四心法)：
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
1.CF=CE=OA-OC
O
2.作AF的中垂线,与两轴交得1.2两点，取对称点3.4。
3.分别以1.2.3.4点为圆心，1为半径作弧，拼成近似椭圆。
四、相互垂直的两直线的投影特性
⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。
⒈ 直线与平面平行
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• 投影特性：
•
1、abc 、a’’b’’c’’积聚为一条线，具有积聚性。
•
2 、正平面投影a’b’c’ 反映 ABC实形 。
上一级
3 、 侧平面
z
V c’
B
b’’
b’
b’
W a’
x a’ A

a’’
c’
aC
X
b
c’’
a
Hc
yb
Z b’’ a’’
o
• 投影特性：
c
y
•
1、abc 、a’b’c’积聚为一条线，具有积聚性。
4.3
§4.3.1 平面的表示法 §4.3.2 各种位置平面的投影特性 §4.3.3 属于平面的点和直线
4.3.1 平面的表示法
一、用几何元素表示平面 二、平面的迹线表示法
返回
一、用几何元素表示平面
b’
a’ c’
a c
b
b’
b’
a’
a’
c’
c’
a
a
c
c
b
b
a’ d’
b’ c’
b
c
ad
b’ a’
c’ a
正垂面
投影面垂直面 侧垂面
铅垂面
特殊位置平面
正平面
投影面平行面 侧平面
水平面
与三个投影面都倾斜 一般位置平面
一、一般位置平面
b’
z
a’
B
b’’
b’ z b’’
a’
a’’
xA
a’’ x
c’ o
b
C c’’
b
c’’ y
a
cy
c
a
y
• 投影特性:
• 1 、 abc 、 a’b’c’ 、 a’’b’’c’’均为 ABC的类似形。
•
2 、 侧平面投影a’’b’’c’’ 反映 ABC实形
cy’’
上一级
§4.3.3 属于平面的点和直线
一、属于一般位置平面的点和直线 二、属于特殊位置平面的点和直线 三、属于平面的投影面平行线
返回
一、属于一般位置平面的点和直线
（一）、取属于平面的点 （二）、取属于平面的直线 （三）、例题
例题1
例题2
上一级
二、属于特殊位置平面的点和直线
（一）、取属于垂直面的点和直线 （二）、 过一般位置直线总可作投影面的垂直面 （三）、过特殊位置直线作平面
上一级
（一）、取属于垂直面的点和直线
例题1 在P上取点A，B b’
a’
例题2 在R上取直线EF e’ f’RV
X
OX
PH
a
b
e
O f
上一级
（二）、过一般位置直线总可作投影面的垂直面
例题3
上一级
（一）、取属于平面的点
b’ e’
B
E
D
C
A
d’ a’
x
a d
e b
c’
o
c
取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线
上一级
（二）、取属于平面的直线
b’ f’
e’
B
F
d’
E
a’
x
D
C a
A
d
c’
o
c
f e
b
取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经 过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。
c’’
α a’’ y
•
3 、 a’’b’’c’’与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真
•
实大小
上一级
V S
x
侧垂面的迹线表示法
z
SH W
x
z
β SW
o
αY
y
H
y
上一级
三、投影的平行面
1、水平面 2 、正平面 3 、 侧平面
返回
1、水平面
z
V
z
a’ b’ c’ b’’ a’’ c’’
a’
b’ B
c’
•
3 、 abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小
上一级
铅垂面迹线表示法
z
V
z
PW x
o
x
o
PH
PH y
H
y
y
上一级
z
V
Qvb’
a’ A
x c’
o
CQ
H
2、 正垂面 z
b’
b’’
c’
c’’
α
W a’
a’’
Bx
o
y
c
a
y
b
y
• 投影特性：1、a’b’c’积聚为一条线
•
2 、 abc、 a’’b’’c’’为 ABC的类似形
b’’ a’’
W
A
c’’
x
o
y
x
C
b
b
a H
a
cy
• 投影特性：
cy
•
1、 a’b’c’、 a’’b’’c’’积聚为一条线，具有积聚性。
•
2 、 水平投影abc反映 ABC实形
上一级
V
b’ z
a’
2 、正平面
b’ Y
b’’
c’
B
b’W’
x
A a’’
c’
C
c’’
X
a’
a’’
o c’’ z
cb
H
ay
c b ay
上一级
例题1 已知 ABC给定一平面，试判断点D是否
属于该平面。
b’
e’ d’ a’
x
a e d b
c’
o
c
上一级
例题2
已知点D在 ABC上，试求点D的水平投影 。
b’
e’ d’ a’
x
a ed
c’
o
c
b
上一级
例题3
已知点E在 ABC上，试求点E的正面投影 。
b’
e’
d’
a’
x
a
c’
o
c
d
e
b
c b
上一级
二、平面的迹线表示法
V
Pv
Pv
P
PH H
V
Qv
PH Qv
Q
H QH
QH
上一级
4.2 各种位置平面的投影特性
一、一般位置平面 二、投影的垂直面 三、投影的平行面
返回
§4.3.2 平面在三投影面体系中的投影特性
平面对于三投影面的位置可分为三类：
垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面
平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面
• 2 、 不反映 、、 的真实角度 。
返回
二、投影的垂直面 1、 铅垂面 2、 正垂面 3 、侧垂面
上一级
V
z
1、 铅垂面 z
c’
c’’
B
a’
PW x
a’’ b’
o
by’’
xA
o
a
a b
C
H PH c y
c
b
y
• 投影特性：1、 abc积聚为一条线
•
2 、 a’b’c’、 a’’b’’c’’为ABC的类似形
V a’ A
a H
b’ BP
b PH
V
a’ SV
A
b’
B S
a
H
b
过一般位置直线AB 作H面的垂直面P
过一般位置直线AB作 V面的垂直面S
上一级
过一般位置直线作投影面的垂直面 (几何元素表示法)
1 作铅垂面
2 作正垂面
e’
e’(n’)
f’
f’
m’ X
OX n
f
O f
e(m)
e
上一级
过一般位置直线作投影面的垂直面
f
（a ） 给题
（ b） 作正平面
（c） 作正垂面
（d） 作一般位置平面
上返一回级
三、属于平面的投影面平行线 （一）、属于平面的投影面平行线 （二）、例题
例题1
例题2
上一级
V Pv
PH H
P
上一级
例题1:
已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线
•
3 、 a’b’与OX、 OZ的夹角反映α、角的真实大小
上一级
正垂面的迹线表示法
z
V Qv
W
z
γ
QV
x
o
xα
o
y
Q
y
H
y
上一级
3 、侧垂面
z
V
b’ z b’’
S
SH
B
b’’
c’ β
x
A
W xa’
o
c’’
C a’’
b
c
y
H
a
• 投影特性：1、 a’’b’’c’’积聚为一条线
y
•
2 、 a’b’c’、 a’b’c’为 ABC的类似形
(迹线表示法)
SV
z QW
b’’ b’
a’
x
o
b
a’’
y
a
PH y
上一级
（三）、过特殊位置直线作平面
过正垂线作平面 (迹线表示法)
m’（n’）
m’（n’） PV
m’（n’）
m’（n’）
SV
QV
RV
n
n
n
n
m
m
m
m
上返一回级
过正平线作平面