(新高考)高考数学二轮复习专项小测4“12选择+4填空”理

题型增分特训选填题专项小测第一部分“12选择＋4填空”专项小测(一) 45分钟满分：80分时间：分．在每小题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2) B＝(＋x －2＜0}，则A∩|01．已知集合A＝{x＜x＜2}，B＝{x|x1} ＜－2＜＜x＜2} xB．{x|xA．{|12}＜－2C．{x|0＜x＜1}＜xD．{x|2，1}＜x＜＝{x|－2，B＝{x|x＋x－2＜0}2}A解析：∵＝{x|0＜x＜C.x{A∴∩B＝x|0＜＜1}，故选C答案：) |＝(2ii)＋．若复数2z满足(1z)(1＋＝1＋，i是虚数单位，则|z12 B.A. 223D.C.2＋2i，z)(1＋i)＝1解析：因为(1＋i1＋i－i?3＋1＋2i?1＋2i??1＝z|－1＝，所以|所以z＝－1＝－1＝22?－i＋i??11＋i?1112????22＋＝，故选A.????222????答案：A0.92019，则(0.9，c＝) ，3．已知a＝log2019b＝20190.9A．a＜c＜b B．a ＜b＜cD．b＜c＜a＜．Cb＜ac0.90＝1,0<c>2019＝＝＝2019<log因为解析：a＝log10，b20190.90.920190＝1，所以a<c<b0.9<0.9，故选A.答案：A年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价2019．如图是4．格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，给出下列4个结论：①深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高；②深圳和厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降；③平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州；④平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海．其中正确结论的个数是()A．1 B．2D．3．4C解析：变化幅度看折线图，越接近零轴者变化幅度越小，位于零轴下方者表明价格下跌；平均价格看条形图，条形图越高平均价格越高，所以结论①②③都正确，结论④错误，故选C.答案：C4cos2x5．函数y＝的部分图象大致是()2π＋x?x－24cos?x4cos2，)(x)＝f(x＝，所以f(－x解析：由题意，因为f22πx?－?x＋＋πx4cos2；轴对称，排除选项D)＝是偶函数，其图象关于y所以函数f(x2π＋x4cos24，＜0，则yx＝1，则y＝y又因为当x＝0时，＝，排除选项A；令π1＋πC.故选C答案：542的值为a的系数为－)56的展开式中x，则实数－6．若(1ax ＋x)(2 ．．－2 BA4．C．3D54422项为＋x，故展开式中＋x])x＝[(1－ax)解法一：解析：(1－ax33352122332＝－aa－12，所以－－12a)x4－(ax－)x＋CC－ax)(x)＝(4aCC(24432.＝56，解得a5；A的系数不可能为负数，2＝－，则x所以排除选项解法二：若a54825－(的系数为C(1－x)x，则＋，则中，若选项Ba＝2(1－axx×)＝85B.，符合题意，故选＝－1)56B答案：a，则)b2－a(3⊥)b＋a(，且2＝|b|，1＝|a|满足b，a．已知向量7．)b的夹角为(与23 B.ππA.34ππD.C. 4322ba·，则3a3＋a·b－2b＋＝0(解析：由题意，得a＋b)·(3a－2b)＝21ba·b，所以a与＝1，则cos〈a，b〉＝＝＝－4＝0，∴a·b2|b|a|·|21×πD.，故选的夹角为4D答案：A.已知3b，C所对的边分别为asin，b，c中，8．在△ABC内角A，B)＝(cosB＝2b－c，则A－aππB.A. 462ππD.C.33Asin及正弦定理可得，3sinBB·＝2b－ca解析：由3bsinA－cos－BsinAcosB)＝2sinB－＋cosB＝2sinB－sinC＝2sinB－sin(Asin－AsinB≠0，B.因为所以3sinA所以3sinBsinA＝2sinB－cosAsinBcosAsin，ππ??A＋＋cosA＝2，即sin＝1，又A∈(0，π)，所以A＝. ??63??答案：C9．已知等差数列{a}的前n项和为S，a＝4，S＝15，则数列5nn41??的前2 019项和为() ??a·a??1nn＋2 0182 018B. A.2 0202 0192 0172 019D. C. 2 0192 020解析：设等差数列{a}的公差为d，∵a＝4，S＝15，∴a＋3d＝145n5×414,5a＋d ＝15，联立解得a＝d＝1，∴a＝1＋n－1＝n，∴＝n112aa nn1＋1111111??…－＋的前，则数列2019项和S＝1－＋＝－??aa32n21?n＋?n＋1n??1nn＋2019111C.＝，故选＋－＝1－2020202020202019C答案：22yxB，0)的焦点分别为F，F，点A＋10．已知椭圆＝1(a＞b ＞2221ba)23，则椭圆方程为(|于F，AB|＝4，|FF|＝在椭圆上，AB⊥FF21122222yxx21 ＝1 B.＋A.＋y＝2332222yxxy1＝D.＋C.＋＝19962222yx在，，F，点AB椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点分别为F解析：2221ba2b2，＝4＝3，|FF|＝23，可得c，椭圆上，AB⊥FF于F|AB|＝4，22112a22yx222C.，故选＝1＝3，b，则所求椭圆方程为＝6＋c＝a－b，解得a69C 答案：π??＋x)，则下列说法中错误的是((x)＝4cosxcos11．已知f??3??的最小正周期为π(x)A．函数fππ??，－)在上单调递减B．函数f(x?? 126??π??＋x2图象上各点的横坐标cos(x)的图象可以由函数y＝C．函数f??3??倍得到不变，纵坐标伸长为原来的27π??1，图象的一个对称中心x)是函数f(D.??12??ππ????22x＋x＋＋2cos1，＝2cosx－3sin2x解析：f(x)＝4coscosx＝????33????πππ2ππ????－，0，，因为t2x＋正确；当T＝＝π，Ax∈∈时，所以????212632????ππππ????－，0，上为减函数，故f(x)1t＝为增函数，y在x＝2＋2cos＋在????21263????ππ??，－＝上为减函数，B正确；函数f(x)的图象可以由函数在y??126??π??＋2x倍再向上图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的cos2??3??ππx1时，Z，当k＝，平移1个单位得到，C 错误；令2x＋＝kπ＋k∈237π7π??1，C.正确，故选x)＝，故图象的一个对称中心，D为f(??1212??C 答案：πACBAC＝，ABC12．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面，且∠3)BCAB，PA＝1，＝3，则该三棱锥的外接球的体积等于(2＝ππ331313 A. B.26π53513πD.C. 26BC＝，r则2解析：如图，设△ABC 外接圆的圆心为O，半径为r1πsin33.＝23，＝r上，ABC垂直的直线HO由题意知球心O在过O且与平面11.－d＝＝d，则OH11令HO＝PA＝，OO11222＋r，①RtR，则在△OOB 中有R＝d设球半径为1222 r(1＝－d)，②中有在Rt△OHPR＋1 ＝，由①②两式得d211313??222＝，R3)(＋＝R所以＝，??224??．4413??33Rπ×＝＝所以该三棱锥的外接球的体积为V＝×π?? 332??π1313A.，故选6A答案：分．5分，共20二、填空题：本题共4小题，每小题x处的切线方程为(0))(0，fb∈R)x)＝ae在点＋b(a，13．已知函数f(________. ＝－bx＋1，则ay＝2xx(0))f(0，(x)e′(x)＝a在点，因为函数x解析：由f()＝aef＋b，得f ba＋?＝1＝f?0??，12，b＝－解得＝2x＋1，所以a＝处的切线方程是y?a＝0?＝2f′???3.b＝得a－3答案：，＝164，aS.若a－a＝{14．已知a}是等比数列，前n项和为4nn23 ________．则S的值为3得意，由题，公比为qa设等比数列{a}的首项为解析：1n2，＝4aq－aq－aa＝??1231 2，2，q＝解得a＝?13，16aa ＝q＝??1433?2?1－a?1－q?2114.＝＝所以S＝32－－q1114答案：两人争夺冠军，若比赛采用“五局三B．在一场对抗赛中，A，152在第一A每局获胜的概率均为，且各局比赛相互独立，则胜制”，A 3 ．局失利的情况下，经过五局比赛最终获得冠军的概率是________2A胜A获胜，第2,3,4局失利为事实，经过解析：第1局A5局2218??12.＝×5胜局，B1局，局比赛最终获得冠军的概率是×C×??332733??8 答案：27两B，A交于C与中心在原点的双曲线0＝y3－x．已知直线16．→→FBA·是C的右焦点，若F点，＝0，则C的离心率为________．F、3y所以直线与双曲线的交点A＝0解析：因为直线x经过原点，－→→FBA·的中点，由FOB＝0，得B关于原点对称，所以OA＝，即O是AB3，，所以∠BOF＝＝c，直线x30°－3y＝0的斜率为，FA⊥FBOF＝OB313c3c??代入双曲线＝c，将点B·cos30°sin30°＝c，y ＝c·x则＝c，??BB2222??c3c????22????2222c3c????2244222ca－8，得＝－1＝－，即1因为c＝ab＋4，得a3＋c2222b4aa4b22222222因为＝a－3c0.20a整理得0caa即0＝，(2－c)(2－3)＝，2－c＝或＞1，所以e＝e2.答案：2。

小题提速练(五) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x 2＋4x －12＜0}，B ＝{x |x ＞log 139}，则A ∩B ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2 B ．(－2,3) C ．(－2,2)D ．(－6，－2)C [因为A ＝{x |－6＜x ＜2}，B ＝{x |x ＞－2}，所以A ∩B ＝{x |－2＜x ＜2}．] 2．若复数z ＝1＋1i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 的模为( )A ．0B ．1 C.2D ．2C [由z ＝1＋1i ＝1－i ，得|z |＝|1＋i|＝ 2.]3．某气象站天气预报的准确率为80%，则5次预报中至少有4次准确的概率约为( )A ．0.2B ．0.41C ．0.74D ．0.67C [P ＝C 45(0.8)4×0.2＋C 550.85≈0.74.]4．已知双曲线C 1：x 23－16y 2p2＝1(p ＞0)的左焦点在抛物线C 2：y 2＝2px 的准线上，则双曲线C 1的离心率为( )【导学号：07804214】A.43 B ． 3 C.233D ．4C [双曲线C 1的左焦点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－3＋p 216，0，抛物线C 2的准线方程为x ＝－p2.根据题意有－3＋p 216＝－p2， ∴p ＝4(舍去负值)， ∴双曲线中a ＝3，c ＝2，∴e ＝c a ＝233.]5．如图12为某几何体的三视图，则其体积为( )图12A ．π＋43B ．π3＋4C.23π＋43D ．23π＋4 A [由三视图知，该几何体是由一个半圆柱与一个四棱锥组合而成的简单组合体，因此其体积V ＝V 四棱锥＋12V 圆柱＝13×(2×2)×1＋12π×12×2＝43＋π.故选A.]6．函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )D [易知函数y ＝x 2ln|x ||x |是偶函数，可排除B ，当x ＞0时，y ＝x ln x ，y ′＝ln x ＋1，令y ′＞0，得x ＞e －1，所以当x ＞0时，函数在(e －1，＋∞)上单调递增，结合图象可知D 正确，故选D.]7．如果点P (x ，y )在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0x ＋y －2≤0，内，则x 2＋(y ＋1)2的最大值和最小值分别是( )【导学号：07804215】A ．3，35B ．9，95C ．9,2D ．3， 2B [先作出点P (x ，y )所在的平面区域如图中阴影部分所示．x 2＋(y ＋1)2表示动点P 到定点Q (0，－1)的距离的平方，点Q 到直线x －2y ＋1＝0的距离的平方为95，由图可知，x 2＋(y ＋1)2的最小值为95.当点P 为点(0,2)时，离Q 最远，则x 2＋(y ＋1)2的最大值为9. 因此x 2＋(y ＋1)2的最大值为9，最小值为95.]8．执行如图13的程序框图，如果输入的a ＝－1，则输出的S ＝( )图13A ．2B ．3C ．4D ．5B [当K ＝1时，S ＝0＋(－1)×1＝－1，a ＝1，执行K ＝K ＋1后，K ＝2； 当K ＝2时，S ＝－1＋1×2＝1，a ＝－1，执行K ＝K ＋1后，K ＝3； 当K ＝3时，S ＝1＋(－1)×3＝－2，a ＝1，执行K ＝K ＋1后，K ＝4； 当K ＝4时，S ＝－2＋1×4＝2，a ＝－1，执行K ＝K ＋1后，K ＝5； 当K ＝5时，S ＝2＋(－1)×5＝－3，a ＝1，执行K ＝K ＋1后，K ＝6；当K ＝6时，S ＝－3＋1×6＝3，a ＝－1，执行K ＝K ＋1后，K ＝7＞6，输出S ＝3.结束循环． 故选B.]9．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 为棱A 1B 1的中点，则异面直线AM 与B 1C 所成的角的余弦值为( )A.105B ．55C.45 D ．35A [取C 1D 1的中点N ，连接DN ，DA 1，A 1N ，MN .因为M ，N 分别是A 1B 1，C 1D 1的中点，所以MN ∥AD ，且MN ＝AD ，因此四边形ADNM 为平行四边形，所以AM ∥DN .同理，B 1C ∥A 1D ，所以∠A 1DN 或其补角为异面直线AM 与B 1C 所成的角． 设正方体的棱长为a ，则A 1D ＝2a ，A 1N ＝DN ＝52a ， 在△A 1DN 中，由余弦定理得cos∠A 1DN ＝105，故异面直线AM 与B 1C 所成角的余弦值为105.] 10．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象．下列关于函数g (x )的说法正确的是( ) A ．函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是增函数B ．函数g (x )的图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是[－2,1]D [f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)，因为它的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，所以最小正周期T ＝π，则ω＝2，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x .易知A ，B ，C 错，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，43π，则g (x )的值域是[－2,1]，故选D.]11．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意的实数x ，都有2f (x )＋xf ′(x )＜2恒成立，则使x 2f (x )－f (1)＜x 2－1成立的实数x 的取值范围为( )A ．{x |x ≠±1}B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－1,0)∪(0,1)B [x 2f (x )－f (1)＜x 2－1可化为x 2f (x )－x 2＜f (1)－1，令F (x )＝x 2f (x )－x 2， 则F (x )为偶函数．因为F ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )－2x ＝x [2f (x )＋xf ′(x )－2]， 且对任意的实数x ，都有2f (x )＋xf ′(x )＜2恒成立，所以当x ＜0时，F ′(x )＞0，F (x )为增函数，当x ＞0时，F ′(x )＜0，F (x )为减函数． 不等式x 2f (x )－f (1)＜x 2－1化为F (x )＜F (1)， 所以|x |＞1，解得x ＜－1或x ＞1.]12．如图14所示，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )图14A.3π2 B ．3πC.2π3D ．2πA [如图，取BD 的中点为E ，BC 的中点为O ，连接AE ，OD ，EO ，AO .因为AB ＝AD ，所以AE ⊥BD .由于平面ABD ⊥平面BCD ， 所以AE ⊥平面BCD .因为AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2， 所以AE ＝22，EO ＝12. 所以OA ＝32. 在Rt△BDC 中，OB ＝OC ＝OD ＝12BC ＝32，所以四面体ABCD 的外接球的球心为O ，半径为32. 所以该球的体积V ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝32π.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知等边三角形ABC 的边长为3，D 是BC 边上一点，若BD ＝1，则AC →·AD →的值是________．[解析]AC →·AD →＝AC →·(AB →＋BD →)＝AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝AC →·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AB →＋13AC →－AB →＝AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC →＋23AB →＝13×32＋23×3×3×12＝6. [答案] 614．将⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x－4展开后，常数项是________．[解析]⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4－4x x ＝x －6x 3，它的通项T r ＋1＝C r6－r ·x6－rx3＝(－2)r·C r6·x3－r，令3－r ＝0，得r ＝3，所以常数项是C 36(－2)3＝－160. [答案] －16015．规定：“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗xx的最小值为_______. 【导学号：07804216】[解析] 由题意得1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以k ＝1.故k 的值为1.又f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x ≥1＋2＝3，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号，故函数f (x )的最小值为3. [答案] 1 316．已知S n 是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n －1的前n 项和，若不等式|λ＋1|＜S n ＋n 2n －1对一切n ∈N *恒成立，则λ的取值范围是________．[解析]S n ＝1＋2×12＋3×122＋…＋(n －1)·12n －2＋n ·12n －1，12S n ＝1×12＋2×122＋…＋(n －1)·12n －1＋n ·12n ，两式相减，得12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n ·12n ＝2－n ＋22n ，所以S n ＝4－n ＋22n －1.由不等式|λ＋1|＜S n ＋n 2n －1＝4－22n －1对一切n ∈N *恒成立，得|λ＋1|＜2，解得－3＜λ＜1. [答案] －3＜λ＜1。

专项小测(九) “12选择＋4填空”时间：45分钟 满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |－x 2＋4x ≥0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |181＜3x ＜27，C ＝{x |x ＝2n ，n ∈N }，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{2,4}B ．{0,2}C ．{0,2,4}D ．{x |x ＝2n ，n ∈N }解析：集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{x |－4＜x ＜3}，故A ∪B ＝{x |－4＜x ≤4}，集合C 表示非负的偶数集，故(A ∪B )∩C ＝{0,2,4}，故选C.答案：C2．若原命题为：“若z 1，z 2为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为( )A ．真，真，真B ．真，真，假C ．假，假，真D ．假，假，假解析：共轭复数的模一定相等，模相等的复数不一定共轭，所以原命题为真，逆命题为假．又逆命题与否命题等价，原命题与逆否命题等价，故选C.答案：C3．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1” B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0” D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题解析：对于选项A ，原命题的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，故A 不正确；对于选项B ，当x ＝－1时，x 2－5x －6＝0成立；反之，当x 2－5x －6＝0时，x ＝－1或x ＝6，故“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，故B 不正确；对于选项C ，命题的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，故C 不正确；对于选项D ，原命题为真命题，所以其逆否命题为真命题，故D正确，选D.答案：D4．等差数列{a n }中，a 4＋a 10＋a 16＝30，则a 18－2a 14的值为( ) A ．20B ．－20C ．10D ．－10解析：a 4＋a 10＋a 16＝3a 10＝30，解得a 10＝10，而a 18－2a 14＝a 18－a 14－a 14＝4d －a 14＝－(a 14－4d )＝－a 10＝－10，故选D. 答案：D 5．函数f (x )＝cos x x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3π2，0∪⎝⎛⎦⎥⎤0，3π2的图象大致是( )解析：由f (－x )＝－f (x )可得函数f (x )＝cos xx －sin x为奇函数，图象关于原点对称，可排除选项A 、B ；又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )＞0，可排除选项D ，故选C.答案：C6．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到的．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为( )图一图二图三A ．nB ．n 2C ．n －1D ．n ＋1解析：最大的正方形面积为1，当n ＝1时，由勾股定理知正方形面积的和为2，依次类推，可得所有正方形面积的和为n ＋1，故选D.答案：D7．若将函数f ()x ＝3sin ()2x ＋φ(0＜φ＜π)图象上的每一个点都向左平移π3个单位，得到y ＝g ()x 的图象，若函数y ＝g ()x 是奇函数，则函数y ＝g ()x 的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4()k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4()k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－2π3，k π－π6()k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12()k ∈Z 解析：由题意得g ()x ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ， ∵函数y ＝g ()x 是奇函数， ∴2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝－2π3＋k π，k ∈Z ， 又0＜φ＜π，∴φ＝π3.∴g ()x ＝3sin(2x ＋π)＝－3sin2x . 由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z . ∴函数y ＝g ()x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π，k ∈Z ，故选B.答案：B8．如图，在△ABC 中，N 为线段AC 上靠近A 的三等分点，点P 在BN 上且AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋211AB →＋211BC →，则实数m 的值为( )A ．1 B.12 C.911D.511解析：设BP →＝λBN →＝λ()AN →－AB →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC →－AB → ＝－λAB →＋λ3AC →()0≤λ≤1，∴AP →＝AB →＋BP →＝()1－λAB →＋λ3AC →.又AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋211AB →＋211BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋211AB →＋211()AC →－AB →＝mAB →＋211AC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ3＝211，m ＝1－λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝611m ＝511.∴m ＝511，故选D.答案：D9．刍薨(chúhōnɡ)，中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广．刍，草也．薨，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”，如图，为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它(无底面，不考虑厚度)需要的茅草面积至少为()A ．24B ．32 5C ．64D ．32 6解析：茅草面积即为几何体的侧面积，由题意可知该几何体的侧面为两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形．其中，等腰梯形的上底长为4，下底长为8，高为42＋22＝25；等腰三角形的底边长为4，高为42＋22＝25，故侧面积为S ＝2×4＋82×25＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×25＝32 5. 即需要的茅草面积至少为325，故选B. 答案：B10．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ，|OP |＝|OF |，其中O 为原点，则双曲线C 的离心率为( )A ．5 B. 5 C.53D.54解析：如图，设F (－c,0)，代入4x －3y ＋20＝0，得c ＝5. 则F (－5,0)，右焦点F ′(5,0)．点O 到直线4x －3y ＋20＝0的距离|OA |＝205＝4.由|OP |＝|OF |知点A 为线段FP 的中点，又点O 为线段FF ′的中点， 所以OA 为△FPF ′的中位线， 从而△FPF ′为直角三角形， |PF ′|＝8，|FF ′|＝10，得|PF |＝6，|PF ′|－|PF |＝2a ＝8－6＝2， 得a ＝1，离心率e ＝c a＝5，故选A. 答案：A11．数列{a n }满足a 1＝65，a n ＝a n ＋1－1a n －1(n ∈N *)，若对n ∈N *，都有k ＞1a 1＋1a 2＋…＋1a n成立，则最小的整数k 是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：由a n ＝a n ＋1－1a n －1可得a n (a n －1)＝a n ＋1－1，所以1a n ＋1－1＝1a n (a n －1)＝1a n －1－1a n， 即1a n －1－1a n ＋1－1＝1a n(亦可得a n ＞1)．1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝⎝⎛⎭⎪⎫1a 1－1－1a 2－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1－1a 3－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1－1a n ＋1－1＝1a 1－1－1a n ＋1－1.1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝5－1a n ＋1－1＜5，故最小的整数k ＝5，故选C. 答案：C12．若关于x 的方程a (ln x ＋x )－12x 2＝0有唯一的实数解，则正数a ＝( )A.12B.13 C.14D.19解析：方法一：验证法．当a ＝12，可以发现函数y ＝x 2－x 与函数y ＝ln x 在x ＝1处切线是相同的，故选A.方法二：由a (ln x ＋x )－12x 2＝0得ln x x ＋1＝12a x ，设函数f (x )＝ln x x ＋1和g (x )＝12a x ，由题意知，当且仅当函数g (x )图象与函数f (x )图象相切时满足题意，不妨设切点为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧12a ＝y 0x 0，y 0＝ln xx＋1，12a ＝1－ln x 0x 2，可解得a ＝12，故选A.答案：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ＝(2sin α，cos α)，b ＝(1，－1)，且a ⊥b ，则(a －b )2＝________. 解析：a ⊥b ⇔a ·b ＝2sin α－cos α＝0⇔tan α＝12，(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝a 2＋b 2＝4sin 2α＋cos 2α＋2＝4tan 2α＋11＋tan 2α＋2＝185. 答案：18514．已知△ABC 的面积为S ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若S ＝4cos C ，a ＝2，b ＝32，则c ＝________.解析：S ＝4cos C ，a ＝2，b ＝32， 可得S ＝12ab sin C ＝3sin C ＝4cos C ，所以得tan C ＝43，cos C ＝35，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝645，c ＝855. 答案：85515．已知函数f (x )是偶函数，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且x ＞0时，f (x )＝x －1ex，则曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程为______________________．解析：∵f ′(x )＝2－x e x ，∴f ′(1)＝1e，∵f (1)＝0，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝1e(x －1)，又f (x )是偶函数，∴曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程与曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程关于y 轴对称，为y ＝－1e(x ＋1)．答案：y ＝－1e(x ＋1)16．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ＝1，点E 是线段CD 上异于点C ，D 的动点，EF ⊥AD 于点F ，将△DEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，并使PF ⊥AF ，则五棱锥P －ABCEF 的体积的取值范围为________．解析：∵PF ⊥EF ，PF ⊥AF ，EF ∩AF ＝F ， ∴PF ⊥平面ABCEF ，设DF ＝x (0＜x ＜1)，则EF ＝x ，FA ＝2－x ，∴S 五边形ABCEF ＝S 梯形ABCD －S △DEF ＝12×(1＋2)×1－12x 2＝12(3－x 2)，∴五棱锥P －ABCEF 的体积V (x )＝13×12(3－x 2)·x ＝16(3x －x 3)，V ′(x )＝12(1－x 2)＝0，解得x ＝1或x ＝－1(舍去)，当0＜x ＜1时，V ′(x )＞0，V (x )单调递增， 故V (0)＜V (x )＜V (1)，即V (x )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13。

专项小测(三) “12选择＋4填空”时间：45分钟 满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≥0}，则∁R A ＝( ) A ．(1,2) B ．[1,2]C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：由题意，得∁R A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}＝{x |1＜x ＜2}，故选A. 答案：A2．已知i 为虚数单位，复数z (2＋i)＝3＋2i ，则下列结论正确的是( ) A ．z 的共轭复数为85－15iB ．z 的虚部为－15C ．z 在复平面内对应的点在第二象限D ．|z |＝95解析：因为复数z (2＋i)＝3＋2i ，所以z ＝3＋2i 2＋i ＝(3＋2i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝8＋i5，由此可得z＝8＋i 5，选项A 错误；因为z ＝8－i 5，所以z 的虚部为－15，选项B 正确；z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，－15，在第四象限，选项C 错误；|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫852＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝6525＝655，选项D 错误，故选B.答案：B3．已知向量AB →＝(1,2)，AC →＝(－3,1)，则AB →·BC →＝( ) A ．6 B ．－6 C ．－1D ．1解析：∵AB →＝(1,2)，AC →＝(－3,1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－1)，∴AB →·BC →＝1×(－4)＋2×(－1)＝－6，故选B.答案：B4．下列函数既是奇函数，又在[－1,1]上单调递增的是( )A ．f (x )＝|sin x |B ．f (x )＝ln e －xe ＋xC ．f (x )＝12(e x －e －x)D ．f (x )＝ln(x 2＋1－x )解析：对于选项A ，f (－x )＝|sin(－x )|＝|sin x |＝f (x )，f (x )为偶函数，排除 A.对于选项B ，f (－x )＝lne ＋x e －x ＝－ln e －x e ＋x ＝－f (x )，f (x )为奇函数，且f (x )＝ln e －xe ＋x＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2e e ＋x ，易知其在[－1,1]上为减函数，排除B.对于选项C ，f (－x )＝12(e －x －e x )＝－12(e x －e －x )＝－f (x )，f (x )为奇函数．又y ＝e x 与y ＝－e －x在[－1,1]上均为增函数，所以f (x )＝12(e x －e －x )在[－1,1]上为增函数，满足条件．对于选项D ，f (－x )＋f (x )＝ln(x 2＋1＋x )＋ln(x 2＋1－x )＝ln1＝0，即f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数．又f (0)＝0，f (1)＝ln(2－1)＜0＝f (0)，不满足f (x )在[－1,1]上为增函数，排除D.综上可知，选C.答案：C5．已知(x ＋1)6(ax －1)2的展开式中，x 3系数为56，则实数a 的值为( ) A ．6或－1 B ．－1或4 C ．6或5D ．4或5解析：因为(x ＋1)6(ax －1)2＝(x ＋1)6(a 2x 2－2ax ＋1)，所以(x ＋1)6(ax －1)2的展开式中x 3系数是C 36－2a ·C 46＋C 56a 2＝6a 2－30a ＋20，∴6a 2－30a ＋20＝56，解得a ＝6或－1，故选A.答案：A6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均与圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0相切，则双曲线C 的离心率为( )A.32B.23C.62D.94解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，即±bx －ay ＝0，圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0化为标准方程是x 2＋(y －3)2＝4，若渐近线与此圆相切，则3aa 2＋b2＝3ac ＝2，则e ＝c a ＝32，故选A. 答案：A7．如图，圆柱的底面半径为1，平面ABCD 为圆柱的轴截面，从A 点开始，沿着圆柱的侧面拉一条绳子到C 点，若绳子的最短长度为3π，则该圆柱的侧面积为( )A ．42π2B ．22π2C ．52π2D ．4π2解析：沿AD 将圆柱的侧面展开，绳子的最短长度即侧面展开图中A ，C 两点间的距离，连接AC ，所以AC ＝3π，展开后AB 的长度为π.设圆柱的高为h ，则AC 2＝AB 2＋h 2，即9π2＝π2＋h 2，得h ＝22π，所以圆柱的侧面积为2×π×1×22π＝42π2，故选A.答案：A8．《中国好歌曲》的五位评委给一位歌手给出的评分分别是：x 1＝18，x 2＝19，x 3＝20，x 4＝21，x 5＝22，现将这五个数据依次输入如图程序框进行计算，则输出的S 值及其统计意义分别是( )A ．S ＝2，即5个数据的方差为2B ．S ＝2，即5个数据的标准差为2C ．S ＝10，即5个数据的方差为10D ．S ＝10，即5个数据的标准差为10解析：由程序框图知：算法的功能是求S ＝(x 1－20)2＋(x 2－20)2＋…＋(x i －20)2的值，∵跳出循环的i 值为5，∴输出S ＝15×[(18－20)2＋(19－20)2＋(20－20)2＋(21－20)2＋(22－20)2]＝15×(4＋1＋0＋1＋4)＝2，故选A.答案：A9．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p ，使得p ＋2是素数，素数对(p ，p ＋2)称孪生素数．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是( )A.115B.215C.245D.445解析：不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，根据素数对(p ，p ＋2)称为孪生素数，则由不超过30的素数组成的孪生素数为(3,5)，(5,7)，(11,13)，(17,19)，共有4组，能够组成孪生素数的概率为P ＝4C 210＝445，故选D. 答案：D10．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为π，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位后得到y ＝g (x )的图象，则下列命题中不正确的是( ) A ．函数y ＝g (x )图象的两条相邻对称轴之间距离为π2B ．函数y ＝g (x )图象关于x ＝11π12对称C ．函数y ＝g (x )图象关于⎝⎛⎭⎪⎫7π24，0对称D ．函数y ＝g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，5π12内为减函数 解析：由题可知，函数f (x )的最小正周期为π，其中ω>0，所以ω＝2ππ＝2，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π4个单位后得到g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，对于A 项，函数g (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，相邻两条对称轴之间的距离为T 2＝π2，故A 项正确．对于选项B ，令2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，可得函数g (x )的对称轴为x ＝k π2－π12(k ∈Z )，当k ＝2，x ＝11π12，故B 项正确．对于C 项，令2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，可得函数g (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫π6＋k π2，0(k ∈Z )，此时7π24不满足π6＋k π2，故C 项错误．对于选项D 项，由k π≤2x ＋π6≤(k ＋1)π(k ∈Z )，解得k π2－π12≤x ≤5π12＋k π2(k ∈Z )，当k ≥0时，函数g (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12，故D 项正确．故选C.答案：C11．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2AD ，E 是DD 1的中点，BF ＝C 1K ＝14AB ，设过点E ，F ，K 的平面与平面ABCD 的交线为l ，则直线l 与直线A 1D 1所成角的正切值为()A ．1B ．2C ．3D ．4解析：延长KE ，交CD 延长线于点M ，延长KF ，交CB 延长线于点N ，连结MN ，则MN 是过点E 、F 、K 的平面与平面ABCD 的交线l ，∵A 1D 1∥CN ，∴∠MNC 是直线l 与直线A 1D 1所成角(或所成角的补角)，设AB ＝AA 1＝2AD ＝2，∵E 是DD 1的中点，BF ＝C 1K ＝14AB ，∴DE ＝1，BF ＝C 1K＝14AB ＝12，∵CK ＝32，∴MD MC ＝DE CK ，NB NC ＝BF CK ，即MD MD ＋2＝132，NBNB ＋1＝1232， 解得MD ＝4，NB ＝12，∴MC ＝4＋2＝6，CN ＝32，∴tan ∠MNC ＝MC NC ＝632＝4，∴直线l 与直线A 1D 1所成角的正切值为4，故选D. 答案：D12．对任意m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 2，都存在x 1，x 2(x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2)，使得ax 1－＝ax 2－＝m ln m －m ，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是( )A ．(e 2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(1，e 2)D ．(0,1)解析：由题意可知，对任意m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 2关于x 的方程ax －e x＝m ln m －m 总有两个不相等的实数根．令f (m )＝m ln m －m ，m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 2，则f ′(m )＝ln m ＋1－1＝ln m ，当m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时，f ′(m )＜0，当m ∈(1，e 2]时，f ′(m )＞0，所以f (m )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1上单调递减，在(1，e 2]上单调递增，所以f (m )min ＝f (1)＝－1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e ln 1e －1e ＝－2e ，f (e 2)＝e 2ln e 2－e 2＝e 2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＞－1，所以f (m )的值域为[－1，e 2]，则所求问题转化为ax －e x ＝k (k ∈[－1，e 2])至少有两个实数根，即e x＝ax －k (k ∈[－1，e 2])至少有两个实数根．考查临界情况：当k ＝e 2时，直线y ＝ax －e 2与指数函数y ＝e x相切．由y ＝e x得y ′＝e x ，设切点为(x 0，)，则切线斜率，y 的切线方程为y －＝(x －x 0)，切线过点(0，－e 2)，得－e 2－＝(0－x 0)，即e 2＋＝x 0，显然方程e 2＋＝x 0的根为x 0＝2，此时切线的斜率k ＝e 2，如图．由图可知，当切线的斜率a ＞e 2时，方程k ＝ax －e 2有两个不相等的实数根，所以a ＞e 2，故选A.答案：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，则cos2α＋cos α＝________.解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，得cos α＝13，所以cos2α＋cos α＝2cos 2α－1＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＋13＝－49.答案：－4914．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2－5，x ＜3，－log 2(x ＋1)，x ≥3，若f (m )＝－6，则f (m －61)＝________.解析：∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2－5，x ＜3，－log 2(x ＋1)，x ≥3，f (m )＝－6，∴当m ＜3时，f (m )＝3m －2－5＝－6，无解；当m ≥3时，f (m )＝－log 2(m ＋1)＝－6， 解得m ＝63， ∴f (m －61)＝f (2)＝32－2－5＝－4.答案：－415．已知两圆x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R ，且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________．解析：由题意得两圆相外切，两圆的标准方程分别为(x ＋2a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －b )2＝1，圆心分别为(－2a,0)，(0，b )，半径分别为2和1，∴4a 2＋b 2＝3，∴4a 2＋b 2＝9，∴1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2×4a 2＋b 29＝59＋b 29a 2＋4a 29b 2≥59＋49＝1，当且仅当b 29a 2＝4a 29b2时，等号成立，∴1a 2＋1b2的最小值为1.答案：116．如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，点M 与F 关于坐标原点O 对称，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，使得AB ⊥BM ，又A 点在x 轴上的投影为C ，则|AF |＋|AC |－|BF |－|BC |＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，对于一般的抛物线方程y 2＝2px 和过焦点的直线方程x＝my ＋p2，联立直线方程与抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，则y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝p 24，则x 1x 2＝1，又AB ⊥BM ，得B 在以MF 为直径的圆上，故x 22＋y 22＝1，而y 22＝4x 2 ，得1－x 22＝y 22＝4x 2，又|AF |－|BF |＝1＋x 1－(1＋x 2)＝x 1－x 2＝1x 2－x 2＝1－x 22x 2＝4x 2x 2＝4.由1－x 22＝4x 2，可得x 2＝5－2(负值舍去)，则x 1＝1x 2＝5＋2，从而可得A (5＋2,25＋2)，B (5－2，－25－2)，注意到C (5＋2,0)，可得|AC |2－|BC |2＝4(5＋2)－[42＋4(5－2)]＝0，则|AC |－|BC |＝0，故|AF |＋|AC |－|BF |－|BC |＝4.答案：4。

小题提速练(八) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在复平面内，复数3i1－i对应的点在( )【导学号：07804222】A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [3i1－i＝＋－＋＝－3＋3i 2，故其对应的点在第二象限，选B.]2．已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)A [因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.]3．某小区有1 000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N (300,102)，则用电量在320度以上的户数约为( ) (参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.27%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.45%，P (μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝99.73%) A ．17 B ．23 C ．34D ．46B [P (ξ＞320)＝12×[1－P (280＜ξ＜320)]＝12×(1－95.45%)≈0.023， 0．023×1 000＝23，∴用电量在320度以上的户数约为23.故选B.]4．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π3个单位长度，所得图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6B ．y ＝－cos 2xC ．y ＝cos 2xD ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6A [依题意得，y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6.故选A.]5．已知向量a ＝(1，cos α)，b ＝(sin α，1)，且0＜α＜π，若a ⊥b ，则α＝( )A.2π3 B ．3π4C.π4D ．π6B [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， ∴sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－1.又α∈(0，π)， ∴α＝3π4.故选B.]6．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) A. 3 B ． 2 C ．2D ．3A [设双曲线C 的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1中得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－1＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2，∴e ＝3，选A.]7．已知(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的值为( )A ．－20B ．0C ．19D ．20D [令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝1，令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝0.又由(2x －1)10的展开式的通项可得a 1＝－20， 所以a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10＝20.]8．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1B [S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝45°或135°.若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝5，∴AC ＝ 5.故选B.] 9．某几何体的三视图如图20所示(网格线中每个小正方形的边长为1)，则该几何体的表面积为( )图20A ．48B ．54C ．64D ．60D [根据三视图还原直观图，如图所示，则该几何体的表面积S ＝6×3＋12×6×4＋2×12×3×5＋12×6×5＝60，故选D.]10．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0x －2y －2≤02x －y ＋2≥0，若2x ＋y ＋k ≥0恒成立，则直线2x ＋y ＋k ＝0被圆(x －1)2＋(y －2)2＝25截得的弦长的最大值为( )【导学号：07804223】A ．10B ．2 5C ．4 5D ．3 5B [作出约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示，不等式2x ＋y ＋k ≥0恒成立等价于k ≥(－2x －y )max ，设z ＝－2x －y ，则由图可知，当直线y ＝－2x －z 经过点A (－2，－2)时，z 取得最大值，即z max ＝－2×(－2)－(－2)＝6，所以k ≥6.因为圆心(1,2)到直线2x ＋y ＋k ＝0的距离d ＝|2＋2＋k |22＋12＝|4＋k |5，记题中圆的半径为r ，则r ＝5，所以直线被圆截得的弦长L ＝2r 2－d 2＝2－k ＋2＋1255，所以当k ＝6时，L 取得最大值，最大值为25，故选B.]11．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且AF →＝3FB →，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，AA 1⊥l 于点A 1，若四边形AA 1CF 的面积为123，则准线l 的方程为( )A ．x ＝－ 2B ．x ＝－2 2C ．x ＝－2D ．x ＝－1A [由题意，知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线l 的方程为x ＝－p 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1，－y 1，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2.由AF →＝3FB →，得p 2－x 1＝3⎝⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，即x 2＝13(2p －x 1) ①.由题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，代入抛物线方程，消去y ，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p 24＝0，所以x 1x 2＝p 24 ②.联立①②，得x 1＝32p 或x 1＝p2(舍去)，所以|y 1|＝3p .因为S 四边形AA 1CF ＝|y 1|⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋p2＋p 2＝123，将x 1，|y 1|的值代入，解得p ＝22，所以准线l 的方程为x ＝－2，故选A.] 12．已知函数f (x )＝ax ＋eln x 与g (x )＝x 2x －eln x的图象有三个不同的公共点，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ＜－e B ．a ＞1C ．a ＞eD ．a ＜－3或a ＞1B [由ax ＋eln x ＝x 2x －eln x (x ＞0)，得a ＋eln x x ＝11－eln x x.令h (x )＝eln xx，且t＝h (x )，则a ＋t ＝11－t，即t 2＋(a －1)t －a ＋1＝0 (*)．由h ′(x )＝－ln xx 2＝0，得x ＝e ，函数h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，且x →＋∞时，h (x )→0，h (x )的大致图象如图所示．由题意知方程(*)有一根t 1必在(0,1)内，另一根t 2＝1或t 2＝0或t 2∈(－∞，0)．当t 2＝1时，方程(*)无意义，当t 2＝0时，a ＝1，t 1＝0不满足题意，所以t 2∈(－∞，0)，令m (t )＝t 2＋(a －1)t －a ＋1，由二次函数的图象，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＝02＋a －－a ＋1＜0m＝12＋a －－a ＋1＞0，解得a ＞1，故选B.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．运行如图21所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为________．图21[解析] 依次运行程序框图中的语句可得n ＝2，x ＝2t ，a ＝1；n ＝4，x ＝4t ，a ＝3；n ＝6，x ＝8t ，a ＝3.此时结束循环，输出的a x＝38t， 由38t≥3，得8t ≥1，t ≥18.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞ 14．从一架钢琴挑出的10个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为________(用数字作答)．[解析] 依题意共有8类不同的和声，当有k (k ＝3,4,5,6,7,8,9,10)个键同时按下时，有C k10种不同的和声，则和声总数为C 310＋C 410＋C 510＋…＋C 1010＝210－C 010－C 110－C 210＝1 024－1－10－45＝968. [答案] 96815．已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP →＝(λ－1)·OA →(λ∈R )(O 是坐标原点)，且OA →·OP →＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．[解析] 因为AP →＝(λ－1)OA →，所以OP →＝λOA →，即O ，A ，P 三点共线，因为OA →·OP →＝72，所以OA →·OP →＝λ|OA →|2＝72，设A (x ，y )，OA 与x 轴正方向的夹角为θ，线段OP 在x 轴上的投影长度为|OP →||cos θ|＝|λ||x |＝72|x ||OA →|2＝72|x |x 2＋y 2＝721625|x |＋9|x |≤72216×925＝15，当且仅当|x |＝154时取等号．故线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为15. [答案] 1516．已知三棱锥D ­ABC 的体积为2，△ABC 是等腰直角三角形，其斜边AC ＝2，且三棱锥D ­ABC的外接球的球心O 恰好是AD 的中点，则球O 的体积为________.【导学号：07804224】[解析] 设球O 的半径为R ，球心O 到平面ABC 的距离为d ，则由O 是AD 的中点得，点D 到平面ABC 的距离等于2d ，所以V D ­ABC ＝2V O ­ABC ＝23×12×2×2×d ＝2，解得d ＝3，记AC 的中点为O ′，则OO ′⊥平面ABC .在Rt△OO ′A 中，OA 2＝OO ′2＋O ′A 2，即R 2＝d 2＋12＝10，所以球O 的体积V ＝43πR 3＝43π×1010＝40103π. [答案]40103π。

小题提速练(四) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27，x ∈N *}，B ＝{x |log 2x ＞1}，则A ∩B ＝( )A ．{1,2,3}B ．(2,3]C ．{3}D ．[2,3]C [∵3≤3x≤27，即31≤3x≤33，∴1≤x ≤3，又x ∈N *，∴A ＝{1,2,3}，∵log 2x ＞1，即log 2x ＞log 22，∴x ＞2，∴B ＝{x |x ＞2}，∴A ∩B ＝{3}，选C.] 2．已知复数z ＝15i 3＋4i，则z 的虚部为( )【导学号：07804211】A ．－95iB ．95iC ．－95D ．95D [z ＝15i 3＋4i ＝15i 3－4i 3＋4i 3－4i ＝1525(4＋3i)＝125＋95i ，故选D.]3．设D 是△ABC 所在平面内一点，AB →＝2DC →，则()A.BD →＝AC →－32AB →B ．BD →＝32AC →－AB →C.BD →＝12AC →－AB →D ．BD →＝AC →－12AB →A [BD →＝BC →＋CD →＝BC →－DC →＝AC →－AB →－12AB →＝AC →－32AB →，选A.]4．(2017·湖南三模)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )＞1.75，则p 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C [根据题意，学生发球次数为1即一次发球成功的概率为p ，即P (X ＝1)＝p ，发球次数为2即二次发球成功的概率P (X ＝2)＝p (1－p )， 发球次数为3的概率P (X ＝3)＝(1－p )2， 则E (X )＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3，依题意有E (X )＞1.75，则p 2－3p ＋3＞1.75， 解得，p ＞52或p ＜12，结合p 的实际意义，可得0＜p ＜12，即p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，故选C.]5．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，若MF 1→·NF 1→＞0，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(2，2＋1) B ．(1，2＋1) C ．(1，3)D ．(3，＋∞)B [设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，依题意可得c 2a 2－y 2b 2＝1，得到y ＝±b 2a ，不妨设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，则MF 1→·NF 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫－2c ，－b 2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c ，b 2a ＝4c 2－b 4a 2＞0，得到4a 2c 2－(c 2－a 2)2＞0，即a 4＋c 4－6a 2c 2＜0，故e 4－6e 2＋1＜0，解得3－22＜e 2＜3＋22，又e ＞1，故1＜e 2＜3＋22，得1＜e ＜1＋2，故选B.]6．函数y ＝f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图9所示，关于函数y ＝f (x )(x ∈R )，有下列命题：图9①y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π6对称；②y ＝f (x )的图象可由y ＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到；③y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称； ④y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12上单调递增．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [依题意可得T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，故T ＝2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x＋φ)，由f (x )＝2sin(2x ＋φ)的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，2可得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×512π＋φ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋φ＝1，又－π2＜φ＜π2，故φ＝－π3，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝0，所以①不对；y ＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到y ＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，②正确；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝0，所以③正确；由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，取k ＝0，得－π12≤x ≤5π12，即y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12上单调递增，④正确，故选C.] 7．某几何体的三视图如图10所示，则该几何体的体积为( )【导学号：07804212】图10A.17π6B ．17π3C ．5πD ．13π6A [由三视图可知，该几何体是半个圆锥，一个圆柱，一个半球的组合体， 其体积为16π＋2π＋23π＝176π.选A.]8．执行如图11所示的程序框图，输出的结果为( )图11A ．－1B ．1 C.12D ．2C [n ＝12，i ＝1进入循环，n ＝1－2＝－1，i ＝2；n ＝1－(－1)＝2，i ＝3；n ＝1－12＝12，i＝4，…，所以n 对应的数字呈现周期性的特点，周期为3，因为2 017＝3×672＋1，所以当i ＝2 017时，n ＝12，故选C.]9．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0ax －y ＋3≥0y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－6，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．－12D ．12C [作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，当a ＞0时，易知z ＝y －x 无最小值，故a ＜0，目标函数所在直线过可行域内点A 时，z 有最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0ax －y ＋3＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a ，0，z min ＝0＋3a＝－6，解得a ＝－12，故选C.]10．(数学文化题)今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，问：几何日相逢？( ) A ．12日 B ．16日 C ．8日D ．9日D [由题易知良马每日所行里数构成一等差数列，其通项公式为a n ＝103＋13(n －1)＝13n ＋90，驽马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为b n ＝97－12(n －1)＝－12n ＋1952，二马相逢时所走路程之和为2×1 125＝2 250，所以n a 1＋a n2＋n b 1＋b n2＝2 250，即n＋13n ＋2＋n ⎝⎛⎭⎪⎫97－12n ＋19522＝2 250，化简得n 2＋31n －360＝0，解得n ＝9或n ＝－40(舍去)，故选D.]11．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2与直线y ＝3的交点的横坐标构成以π为公差的等差数列，且x ＝π6是f (x )图象的一条对称轴，则下列区间中是函数f (x )的单调递减区间的是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π3D [由题意得A ＝3，T ＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝3或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－3，∴2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝π6＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，故当k ＝－1时，f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π3，故选D.]12．已知直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝1，∠BAC ＝60°，AA 1＝2，则该三棱柱的外接球的体积为( )A.40π3 B ．4030π27C.32030π27D ．20πB [设△A 1B 1C 1的外心为O 1，△ABC 的外心为O 2，连接O 1O 2，O 2B ，OB ，如图所示．由题意可得外接球的球心O 为O 1O 2的中点．在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC cos∠BAC ＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7， 所以BC ＝7.由正弦定理可得△ABC 外接圆的直径2r ＝2O 2B ＝BC sin 60°＝273，所以r ＝73＝213. 而球心O 到截面ABC 的距离d ＝OO 2＝12AA 1＝1，设直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的外接球半径为R ，由球的截面性质可得R 2＝d 2＋r 2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2132＝103，故R ＝303，所以该三棱柱的外接球的体积为V ＝4π3R 3＝4030π27.故选B.] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2＋mx (m ∈R )，若函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线与函数g (x )的图象相切，则m 的值为________．[解析] 易知f (1)＝0，f ′(x )＝1x，从而得到f ′(1)＝1，函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1.法一：(应用导数的几何意义求解)设直线y ＝x －1与g (x )＝x 2＋mx (m ∈R )的图象相切于点P (x 0，y 0)，从而可得g ′(x 0)＝1，g (x 0)＝x 0－1.又g ′(x )＝2x ＋m ，因此有⎩⎪⎨⎪⎧gx 0＝2x 0＋m ＝1x 20＋mx 0＝x 0－1，得x 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1m ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1m ＝3.法二：(应用直线与二次函数的相切求解)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1y ＝x 2＋mx ，得x 2＋(m －1)x ＋1＝0，所以Δ＝(m －1)2－4＝0，解得m ＝－1或m ＝3. [答案] －1或314．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有________种.【导学号：07804213】[解析] 3所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有C 13C 26C 12C 24＝540种． [答案] 54015．已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点．直线PQ 过原点O 且与直线MN 平行，直线PQ 与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2|MN |＝________.[解析] 法一：由题意知，直线MN 的斜率不为0，设直线MN ：x ＝my －1，则直线PQ ：x ＝my .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2－2my －1＝0⇒y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2. ∴|MN |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝22·m 2＋1m 2＋2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2－2＝0⇒y 3＋y 4＝0，y 3y 4＝－2m 2＋2. ∴|PQ |＝1＋m 2|y 3－y 4|＝22m 2＋1m 2＋2.故|PQ |2|MN |＝2 2. 法二：取特殊位置，当直线MN 垂直于x 轴时，易得|MN |＝2b 2a ＝2，|PQ |＝2b ＝2，则|PQ |2|MN |＝2 2. [答案] 2 216．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a ＞1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是________． [解析] 设x ∈[0,2]，则－x ∈[－2,0]，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2x－1，∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝2x－1.∵对任意x ∈R ，都有f (x )＝f (x ＋4)， ∴当x ∈[2,4]时，(x －4)∈[－2,0]，∴f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1； 当x ∈[4,6]时，(x －4)∈[0,2]， ∴f (x )＝f (x －4)＝2x －4－1.∵在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a ＞1)恰有3个不同的实数根， ∴函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log a (x ＋2)的图象在区间(－2,6]内恰有3个不同的交点，作出两个函数的图象如图所示，易知⎩⎪⎨⎪⎧log a ＋＞3log a＋＜3，解得223＜a ＜2，即34＜a ＜2，因此所求a 的取值范围是(34，2)．[答案] (34，2)。

专项小测(四) “12选择＋4填空”时间：45分钟 满分：80分一、选择题：本题共12小题.每小题5分.共60分．在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{x |(x －1)(x －2)≤0}.N ＝{x |x >0}.则( ) A ．N ⊆M B ．M ⊆N C ．M ∩N ＝∅ D ．M ∪N ＝R解析：由题意.得M ＝{x |(x －1)(x －2)≤0}＝{x |1≤x ≤2}.则M ⊆N .故选B.答案：B2．命题“∀x ∈R .e x ≥x ＋1”的否定是( )解析：命题“∀x ∈R .e x ≥x ＋1”的否定是∃x 0∈R .<x 0＋1.故选D.答案：D3．设复数z 满足(1＋2i)z ＝1－3i.则z 在复平面内对应的点所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：解法一：设复数z ＝a ＋b i(a .b ∈R ).则(1＋2i)z ＝(1＋2i)(a ＋b i)＝a －2b ＋(2a ＋b )i ＝1－3i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＝1，2a ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.则复数z 在复平面内对应的点所在的象限是第三象限.故选C.答案：B9．函数f(x)＝x2－1e|x|的图象大致为( )解析：因为y＝x2－1与y＝e|x|都是偶函数.所以f(x)＝x2－1e|x|为偶函数.排除A.B.又由x→＋∞时.f(x)→0.x→－∞时.f(x)→0.排除D.故选C.答案：C10．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c .且满足3a tan A ＝b cos C ＋c cos B .则A ＝( )A.π6B.5π6C.π3D.2π3解析：∵3a tan A ＝b cos C ＋c cos B .∴由正弦定理得3sin A tan A ＝sin B cos C ＋cos B sin C . ∴3sin A tan A ＝sin(B ＋C )＝sin A . ∵0＜A ＜π.∴tan A ＝33.∴A ＝π6.故选A. 答案：A11．我国古代《九章算术》里记载了一个求“羡除”体积的例子．羡除.隧道也.其所穿地.上平下邪．小明仿制羡除裁剪出如图所示的纸片.在等腰梯形ABCD 中.AB ＝10.BC ＝CD ＝DA ＝8.在等腰梯形ABEF 中.EF ＝6.AF ＝BE ＝6.将等腰梯形ABCD 沿AB 折起.使DF ＝CE ＝26.则五面体ABCDFE 中异面直线AC 与DE 所成角的余弦值为( )A ．0 B.24C ．－24D.22解析：如图.过点C 作AB 的垂线.H 为垂足.易知BH ＝1.CH ＝37.AC ＝12.。

小题提速练(二) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{x ∈N |x 2－1≤0}，则(∁N B )∩A ＝( )A ．{2}B ．{0,2}C ．{－1,0,2}D ．{－1,0,1}A [因为B ＝{x ∈N |x 2－1≤0}＝{x ∈N |－1≤x ≤1}＝{0,1}，∁N B ＝{x ∈N |x ≠0且x ≠1}，又A ＝{－1,0,1,2}，所以(∁N B )∩A ＝{2}， 故选A.]2．已知复数z 满足z (1－i)＝2＋4i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为( )【导学号：07804205】A ．10B ．10C ．－10D ．±10 B [由z (1－i)＝2＋4i ，得z ＝2＋4i 1－i ＝＋＋2＝－1＋3i ，所以|z |＝|－1＋3i|＝－2＋32＝10.故选B.]3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2k,3)，且a ⊥(2a ＋b )，则实数k 的值为( )A ．－8B ．－2C ．1.5D ．7A [法一：(先坐标运算再数量积求解)因为2a ＋b ＝(2,4)＋(2k,3)＝(2＋2k,7)，又a ⊥(2a ＋b )，a ＝(1,2)，所以2＋2k ＋14＝0，解得k ＝－8.法二：(先数量积运算再坐标运算)因为a ⊥(2a ＋b )，所以a ·(2a ＋b )＝2a 2＋a·b ＝10＋2k ＋6＝0，所以k ＝－8.故选A.]4．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为30°，则其离心率的值为( )A ．2B ．2 2 C.233D ．322C [依题意可得双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，b a ＝tan 30°＝33，故b 2a 2＝13，离心率为e ＝ca＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝43＝233，选C.] 5．从1至9共9个自然数中任取七个不同的数，则这七个数的平均数是5的概率为( )A.23 B ．13 C.19D ．18C [1至9共9个自然数中任取七个不同的数的取法共有C 79＝9×82＝36种，因为1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6，所以从(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)中任选三组，则有C 34＝4，故这七个数的平均数是5的概率为436＝19，选C.]6．某几何体的三视图如图4所示，则该几何体的体积为( )图4A ．24 3B ．8 3 C.833D ．1033B [如图，该几何体是一个放倒的四棱锥S ­ABCD ，底面是直角梯形，面积为(2＋4)×4÷2＝12，四棱锥的高为23，所以该四棱锥的体积为13×12×23＝8 3.故选B.]7．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，a ＝(cos α)cos α，b ＝(sin α)cos α，c ＝(cos α)sin α，则( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜bD [因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，故22＜sin α＜1,0＜cos α＜22，故cos α＜sin α，a ＝(cos α)cos α＞c ＝(cos α)sin α，即a ＞c ；又a ＝(cos α)cos α＜b ＝(sin α)cos α，故c ＜a ＜b ，选D.]8．如图5所示的程序框图的算法思想源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n”表示m除以n的余数)，若输入的m，n分别为495,135，则输出的m＝( )图5A．0 B．5 C．45 D．90C[该程序框图是求495与135的最大公约数，由495＝135×3＋90,135＝90×1＋45,90＝45×2，所以495与135的最大公约数是45，所以输出的m＝45，故选C.] 9．10．已知等比数列{a n}的公比q＞1，其前n项和为S n，若S4＝2S2＋1，则S6的最小值为( ) A．9 B．3－2 3C ．3＋2 3D ．3＋ 6C [因为等比数列{a n }的公比q ＞1，S 4＝2S 2＋1，所以a 1－q41－q＝2·a 1－q 21－q＋1，即a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－q 41－q－－q 21－q＝1，a 1＝1－q －－q 22，所以S 6＝1－q－－q22·1－q61－q＝1－q6－－q22＝q 4＋q 2＋1－－q2＝q 2－2＋q 2－＋3q 2－1＝q 2－1＋3q 2－1＋3.因为q ＞1，所以q 2－1＞0，所以q 2－1＋3q 2－1＋3≥23＋3，当且仅当q 2－1＝3q 2－1，即q 2＝1＋3时取等号，故S 6的最小值为23＋3.故选C.]11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≤0，x ln x ，x ＞0，g (x )＝kx －1，若方程f (x )－g (x )＝0在x ∈(－2，e)时有3个实根，则k 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋1e ∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1e ，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 D.⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋1e ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 D [由题意得f (0)＝0，g (0)＝－1，则x ＝0不是方程f (x )－g (x )＝0的实数根， 又f (x )－g (x )＝0，所以f (x )－kx ＋1＝0，即k ＝f x ＋1x(x ≠0)． 令h (x )＝fx ＋1x ，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ＋4，x ＜0，ln x ＋1x，x ＞0，故方程f (x )－g (x )＝0在x ∈(－2，e)时有3个实数根，即直线y ＝k 与h (x )的图象在x ∈(－2，e)上有3个交点．函数h (x )在(－2，e)上的图象如图7所示，可得k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1e ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.故选D.]12．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为x 轴正半轴上的两个动点，P (异于原点O )为y 轴上的一个定点，若以AB 为直径的圆与圆x 2＋(y －2)2＝1相外切，且∠APB 的大小恒为定值，则线段OP 的长为( )A. 3B. 6 C ．3 D ．6A [设以AB (点B 在点A 的右侧)为直径的圆的圆心为(a,0)，半径为r (0＜r ＜a )，OP ＝b (b ＞0，且b 为常数)， 因为tan∠OPA ＝a －rb ，tan∠OPB ＝a ＋rb， 所以tan∠APB ＝tan(∠OPB －∠OPA )＝a ＋r b －a －rb 1＋a ＋r b ·a －r b＝2rbb 2＋a 2－r 2.因为以AB 为直径的圆与圆x 2＋(y －2)2＝1相外切，所以a 2＋4＝r ＋1， 即a 2＝(r ＋1)2－4，可得a 2－r 2＝2r －3，所以tan∠APB ＝2rb b 2＋a 2－r 2＝2rbb 2－3＋2r＝2b b 2－3r＋2(r 为变量，b 为常数)，又tan∠APB 的大小恒为定值，所以b 2－3＝0，即b ＝3，故选A.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知f (x )＝x 2，则曲线y ＝f (x )过点P (－1,0)的切线方程是________．[解析] 由题意，得f ′(x )＝2x ，点P 不在曲线上， 设直线与曲线相切于点(x 0，y 0)， 则所求切线方程的斜率k ＝2x 0， 所以切线方程为y －0＝2x 0(x ＋1)， 由(x 0，y 0)在曲线y ＝f (x )上， 得y 0＝x 20，将(x 0，x 20)代入切线方程得x 20＝2x 0(x 0＋1)， 解得x 0＝0或x 0＝－2，所以所求切线方程为y ＝0或y ＝－4(x ＋1)， 即y ＝0或4x ＋y ＋4＝0. [答案] y ＝0或4x ＋y ＋4＝014．已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝2，BC ＝23，则球O 的表面积为________.【导学号：07804207】[解析] 法一：(直接法)由题意知，S ，A ，B ，C 是如图所示三棱锥S ­ABC 的顶点，且SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AC ＝22＋32＝4，SC ＝22＋42＝2 5.如图9所示，取AC 的中点E ，SC 的中点F ，连接EF ，EB ，BF ，FA ，则FS ＝FC ＝FA ＝12SC ＝5，BE ＝12AC＝2，FB ＝BE 2＋EF 2＝22＋12＝5，故FS ＝FC ＝FA ＝FB ，即点F 就是三棱锥的外接球的球心，且其半径为5，故球的表面积S ＝4π·(5)2＝20π.法二：(还原几何体法)由题意可知，S ，A ，B ，C 为如图所示长方体的四个顶点，连接SC ，且SA ＝AB ＝2，BC ＝23，则2R ＝SC＝SA 2＋AB 2＋BC 2＝25(设球O 的半径为R )，即R ＝5，故球O 的表面积S ＝4πR 2＝20π. [答案] 20π15．已知点P (x ，y )的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ＞x ，y ＜2x ＋1，则x ＋yx 2＋y 2的取值范围为________． [解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ＞x ，y ＜2x ＋1表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中B (－1，－1)，C (0,1)．设A (1,1)，向量OA →，OP →的夹角为θ， ∵OA →·OP →＝x ＋y ，|OP →|＝x 2＋y 2，∴cos θ＝OA →·OP→|OA →||OP →|＝x ＋y 2×x 2＋y 2＝22×x ＋yx 2＋y 2， 由图可知∠AOC ≤θ＜∠AOB ， 即45°≤θ＜180°， ∴－1＜cos θ≤22， 即－1＜22×x ＋y x 2＋y 2≤22， ∴－2＜x ＋yx 2＋y 2≤1. [答案] (－2，1]16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n，…，n －1n，…，若S k ＝14，则a k ＝________. [解析] 因为1n ＋2n ＋…＋n －1n ＝1＋2＋…＋n －1n ＝n 2－12，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋nn ＋1＝1＋2＋…＋n n ＋1＝n 2，所以数列12，13＋23，14＋24＋34，…，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1是首项为12，公差为12的等差数列，所以该数列的前n 项和T n ＝12＋1＋32＋…＋n 2＝n 2＋n 4.令T n ＝n 2＋n 4＝14， 解得n ＝7， 所以a k ＝78.[答案] 78。

教课资料范本2020版新高考复习理科数学专项小测：12“12选择＋4填空”含分析编辑： __________________时间： __________________专项小测 (十二 )“12选择＋4填空”时间： 45 分钟满分：80分一、选择题：此题共12 小题 .每题 5 分.共 60 分．在每题给出的四个选项中 .只有一项为哪一项切合题目要求的．1．已知会合 A＝ {( x.y)|y＝x＋1.x∈R}. 会合 B＝{( x.y)|y＝x2.x∈R}.则会合 A∩B的子集个数为 ()A．1B．2C．3D．4分析：由题意得 .直线 y＝x＋1 与抛物线 y＝x2有 2 个交点 .因此A∩B 的子集有 4 个.应选 D.答案： D2．设复数 z知足 z(1－i) ＝2(此中 i为虚数单位 ).则以下说法正确的是()A．|z|＝2B．复数 z的虚部是 iC.z ＝－1＋iD．复数 z在复平面内所对应的点在第一象限2分析：因为 z(1－i) ＝2.因此 z＝1－i＝错误!＝1＋i.因此 |z|＝错误!＝ 2.因此 A 错误； z＝1＋ i 的虚部为 1.因此 B 错误； z＝1＋i 的共轭复数为 z ＝1－i.因此C错误；z＝1＋i在复平面内所对应的点为(1,1).在第一象限 .因此 D 正确 .应选 D.答案： D3．某校进行了一次创新作文大赛.共有 100名同学参赛 .经过评判 .这100名参赛者的得分都在 [40,90]之间 .其得分的频次散布直方图如图.则以下结论错误的选项是 ()A．得分在 [40,60)之间的共有 40人B．从这 100名参赛者中随机选用 1人.其得分在 [60,80)的概率为 0.5 C．这 100名参赛者得分的中位数为65D．预计得分的众数为 55分析：由频次散布直方图可知10a＋0.35＋0.3＋0.2＋0.1＝1.得 a＝0.005.因此得分在 [40,60)之间的人数为 (0.05＋0.35)×100＝40.A 正确；得分在 [60,80)之间的人数为 (0.3＋0.2)×100＝50 人.则从这 100 名50参赛者中随机选 1 人.其得分在 [60,80)的概率为100＝0.5.B 正确；由频101率散布直方图可知 .这 100 名参赛者得分的中位数为60＋3＝633.C 错误；频次散布直方图中最高矩形中点的横坐标为 55.则预计得分的众数为 55.D 正确 .应选 C.答案： C4．已知等差数列 { a n} 的公差为 d.且a8＋a9＋a10＝24.则a1d的最大值为 ()11A.2B.4C．2D．4分析：由 a 8＋a 9＋a 10＝24.得 3a 9＝24.a 9＝8.则 a 1＋8d ＝8.a 1＝8－1＝ －＝ － ＝ 1 1 1－ 2＋d)＝ 8 － d －2＋ ＝－ 8 d －8d.a d (88d)d 8(1 d)d 8( d24212.应选 C.2＋2.因此当 d ＝ 时.a 1d 获得最大值2答案： C5．已知 α∈(0.π).且tan α＝2.则cos2α＋cos α＝( )2 5－3 B.5－3A.55C. 5＋3D.2 5＋3551分析： ∵α∈(0.π).tan α＝ 2.∴α在第一象限 .cos α＝ .cos2α＋cos α 5＝2cos 2α－ ＋ α＝ × 1 2－1＋ 1 ＝－ 3 ＋ 1 ＝ 5－3 . 应选B.1 cos2 5 5 5 5 5答案： B1 1 1中.AB ＝BC ＝1.异面直线 AC 1与 BB 1 6 ．在长方体 － 1 ABCD ABCD所成的角为 30°.则AA 1＝( )A.3 B ．3 C.5D. 6分析：如图 .连结 A 1C 1.由长方体的性质知 .4/13BB 1∥ AA 1.则∠ A 1AC 1 即异面直线 AC 1 与 BB 1 所成的角 .因此∠ A 1AC 1＝30°.在 Rt △A 1B 1C 1 中.A 1C 1＝ A1B2＋B1C2＝ 2.A1C1在 Rt △A 1AC 1 中.tan ∠A 1AC 1＝ A1A .即 A 1 ＝A1C1 ＝ 2 ＝ 6.应选 D.Atan ∠A1AC1 33答案： D7 ．已知等比数列n 的前 项和为 n 若 3＝7.S 6＝63.则数列 { na n}{ a }nS . S的前 n 项和为 ()A ．－ 3＋(n ＋1)×2nB ．3＋(n ＋1)×2nC ．1＋(n ＋1)×2nD ．1＋(n －1)×2n分析：解法一：设 { a n的公比为易知≠ 因此由题设得 错误 !}q.q 1.两式相除得 1＋q 3＝9.解得 q ＝2.从而可得 a 1＝1.因此 a n ＝a 1q n － 1＝2n －1.因此 na n ＝n ×2n －1设数列n的前n 项和为n 则n ＝1×20＋2×21＋.{na } T . T3×22＋ ＋n ×2n －1,2T n ＝1×21＋2×22＋3×23＋ ＋n ×2n .两式作差得－ T n ＝1＋2＋22－1－2n －1×2＋ ＋2n 1－n ×2n＝1－2－n ×2n＝－ 1＋(1－ n )×2n .故 T n ＝1＋(n －1)×2n .应选 D.解法二：设 { a n } 的公比为 q.易知 q ≠ 1.因此由题设得 错误 ! 两式相除得 1＋q 3＝9.解得 q ＝2.从而可得 a 1＝1.因此 a n ＝a 1qn －1＝2n －1.因此na n ＝n ×2n －1.取 n ＝1.查验知选项 B 、C 错误；取 n ＝2.查验知选项 A错误．应选 D.答案： D8．已知程序框图如下图 .则该程序框图的功能是 ( )1 1 11A．求 1＋3＋5＋7＋＋21的值1111 B．求 1＋3＋5＋7＋＋19的值1111 C．求 1－3＋5－7＋－19的值1111 D．求 1－3＋5－7＋＋21的值分析：模拟履行程序可得：S＝1.a＝－ 1.n＝3；1S＝1－3.a＝1.n＝5；1 1S＝1－3＋5.a＝－ 1.n＝7；1 1 1S＝1－3＋5－7.a＝1.n＝9；1111S＝1－3＋5－7＋9.a＝－ 1.n＝11；111116/131111S＝1－3＋5－7＋－15.a＝1.n＝17；1111S＝1－3＋5－7＋＋17.a＝－ 1.n＝19；1111S＝1－3＋5－7＋－19.a＝1.n＝21.因为 21＞19.因此结束循环 .1 1 11输出 S＝1－3＋5－7＋－19.应选 C.答案： C→9．在△ ABC中.点 P知足 BP＝→.过点 P的直线与 AB.AC所在直线分别交于点2PC→＞＞则＋的最小值为＝nAC() (m0.n 0).m2nA．3B．4810C.3D. 3→→分析：因为 BP＝2PC.→→→→因此 AP－AB＝2(AC－AP).→1→2→因此 AP＝AB＋ AC33.→→ →→又因为 AM＝mAB＝nAC.AN.→ 1 →2→因此 AP＝AM＋AN3m3n.因为 M.P.N 三点共线 .因此12＋＝1.3m3n→＝→→M.N.若AM mAB.AN因此 m＋2n＝ (m＋2n)12142 n m52n m ＋＝＋＋＋n≥＋×2·n 3m 3n333 m33m54＝3＋3＝3.7/13n m＝，m n当且仅当即 m＝n＝1 时等号建立 .1 2＋＝1，3m 3n因此 m＋2n 的最小值为 3.应选 A.答案： A2π10．若函数 f(x)＝4sin 3 －ωx3π3πsinωx＋cos(2 π－2ωx)在－2，2是增函数 .则正数ω的最大值是()11A.8B.611C.4D.331分析： f(x)＝4 2 cosωx＋2sin ωx sinωx＋cos2ωx＝ 3sin2ωx＋2sin2ωx＋cos2ωx＝3sin2ωx＋1－cos2ωx＋cos2ωx＝ 3sin2ωx＋1.因3π3π3π3πTπ为 f(x)在－2，2是增函数 .且ω＞0.因此－－2≤ ＝ω.即222 110＜ω≤6.因此正数ω的最大值为6.应选 B.答案： B11．甲与其四位同事各有一辆私人车 .车牌尾数分别是 9,0,2,1,5.为恪守当地某月 5日至 9日5天的限行规定 (奇多日车牌尾数为奇数的车通行.偶多日车牌尾数为偶数的车通行 ).五人商讨拼车出行 .每日任选一辆切合规定的车 .但甲的车最多只好用一天 .则不一样的用车方案种数为 ()A．64B．80C．96D．1208/13分析： 5 日至 9 日.分别为 5,6,7,8,9.有 3 天奇多日 .2 天偶多日 .第一步.安排偶多日出行 .每日都有 2 种选择 .共有 22＝ 4(种)；第二步 .安排奇多日出行 .分两类 .第一类 .选 1 天安排甲的车 .此外 2 天安排其余车 .有3×2×2＝12(种).第二类 .不安排甲的车 .每日都有 2 种选择 .共有 23＝8(种).合计 12＋8＝20(种)．依据分步乘法计数原理 .不一样的用车方案种数为 4×20＝80.应选 B.答案： Bx2y212．已知 F1.F2分别为椭圆＋b2a2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点 .点 P是椭圆上位于第一象限内的点.延伸 PF2交椭圆于点 Q.若PF1⊥PQ.且|PF1＝则椭圆的离心率为||PQ|.() A．2－ 2 B.3－ 2C. 2－1D.6－ 3分析：由题意知△ F1为等腰直角三角形．PQ设|PF1|＝|PQ|＝ m.|QF1|＝n.则 2m2＝n2.n＝ 2m.又|PF2|＝2a－m.|QF2|＝2a－n＝2a－2m.则(2a－m)＋(2a－2m)＝ m.得 m＝2(2－2)a.|PF2|＝2a－2(2－2)a＝2( 2－1)a.9/13在 Rt△F1PF2中.可得 |PF1|2＋|PF2|2＝ |F1F2|2.即[2(2－ 2)a]2＋[2( 2－1)a]2＝4c2.化简得 (9－62)a2＝c2.c2因此 e2＝a2＝9－6 2＝( 6－3)2.e＝6－ 3.应选 D.答案： D二、填空题：此题共 4 小题 .每题 5 分 .共 20 分．113．在 x2－x6的睁开式中 .常数项为 ________． (用为数字作答 )分析： x2－16睁开式的通项为Tr＋1＝Cr6x12－2r(－1)r x－r＝(－1)r Cr6 xx12－3r .令 12－3r＝0.得 r＝4.故常数项为 (－1)4C46＝15.答案： 1514．已知圆 C：(x－1)2＋(y－a)2＝16.若直线 ax＋ y－2＝0与圆 C 订交于 A.B两点 .且CA⊥CB.则实数 a的值为 ________．分析：圆心 C 的坐标为 C(1.a).半径 R＝ 4.∵CA⊥CB.∴弦长 |AB|＝42＋42＝4 2.圆心 C 到直线 ax＋y－2|2a －2＝0 的距离为 d＝a2＋1.10/13|2a －2|4( a2－2a＋1)∴弦长 |AB|＝2 42－＋2＝216－a2＋1.a214( a2－2a＋1)∴216－＝4 2.a2＋1化简得 a2＋2a＋1＝0.解得 a＝－ 1.答案：－115．如图 1.在矩形 ABCD中.AB＝2.BC＝1.E是DC的中点 .如图2.将△DAE沿AE翻折起 .使翻折后平面 DAE⊥平面 ABCE.则异面直线 AE 和 D B所成角的余弦值为 ________．分析：取 AE 的中点为 O.连结 DO.BO.延伸EC 到F 使EC＝CF.连结BF.DF.OF.则BF∥AE.因此∠DBF 为异面直线AE 和DB 所成角或它的补角．因为 DA＝ DE＝1.因此 DO⊥AE.2且|AO|＝|DO|＝2 .在△ ABO 中.依据余弦定理得 cos∠OAB＝cos45°＝|AO|2 ＋|AB|2 －|BO|222|AO| ·|AB|＝2 .1026因此 |BO|＝2 .同理可得|OF|＝2.11/13又因为平面 DAE⊥平面 ABCE.平面 DAE∩平面 ABCE＝AE.DO?平面 DAE.因此 DO⊥平面 ABCE.因为 BO? 平面 ABCE.因此 DO⊥BO.1 5因此 |BD|2＝|BO|2＋|DO|2＝2＋2＝3.即|BD|＝ 3.同理可得 |DF|＝ 7.又因为 BF＝AE＝ 2.因此在△ DBF 中.|DB|2 ＋|BF|2 －|DF|23＋2－76 cos∠DBF＝2|DB| ·|BF|＝2×3×2＝－6.π因为两异面直线的夹角的取值范围为0，2 .6因此异面直线 AE 和 DB 所成角的余弦值为6 .6答案：616．已知函数 f(x)＝4sin 2x＋π691π.若函数 F(x)＝f(x)－3的全部零点挨次记为x1.x2.x3. .x n.x10≤x≤6＜x2＜x3＜＜ x n.则x1＋2x2＋2x3＋＋ 2x n－1＋x n＝________.ππ分析：令 2x＋6＝2＋kπ(k∈Z).πkπ得 x＝6＋2 (k∈ Z).πkπ即 f(x)图象的对称轴方程为 x＝6＋2 (k∈Z).91π因为 f(x)的最小正周期为T＝π.0≤x≤6.91π因此 f(x)在 0，6上有30条对称轴.12/13π2π7πx1 x2 2×6 .x2 x3 2×3 .x3 x4 2×6 . .x n－1 x n 44π.x1 2x2 2x32x n－1 x n2×3π 44π2×ππππ2×63×30 445 . 274426363445π13/13。

小题提速练(三) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设命题p ：∀x ＞0，log 2x ＜2x ＋3，则﹁p 为( )A ．∀x ＞0，log 2x ≥2x ＋3B ．∃x ＞0，log 2x ≥2x ＋3C ．∃x ＞0，log 2x ＜2x ＋3D ．∀x ＜0，log 2x ≥2x ＋3B [由全称命题的否定为特称命题，知﹁p 为∃x ＞0，log 2x ≥2x ＋3，故选B.] 2．已知集合A ＝{0,1}，B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈A }，则集合B 的子集个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8 D [∵x ∈A ，y ∈A ，A ＝{0,1}， ∴x ＝0或x ＝1，y ＝0或y ＝1， ∴z ＝x ＋y ＝0或1或2， ∴B ＝{0,1,2}，∴集合B 的子集个数为23＝8.故选D.]3．已知复数m ＝4－x i ，n ＝3＋2i ，若n m∈R ，则实数x 的值为( )【导学号：07804208】A ．－6B ．6 C.83D ．－83D [因为n m ＝3＋2i4－x i ＝＋＋x －x＋x＝12－2x ＋＋3x16＋x2∈R ，所以8＋3x ＝0，解得x ＝－83，故选D.]4．已知双曲线x 2a －3＋y 22－a＝1，焦点在y 轴上．若焦距为4，则a 等于( )A.32B ．5 C ．7 D.12D [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0a －3＜0，解得a ＜2，所以22＝2－a ＋3－a ，解得a ＝12，故选D.]5．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2θ＝－79，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ的值等于( )A.13 B ．±13C ．－19D ．19B [因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－2π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－2π3＋π＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝－79， 即cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝79， 所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π62＝19，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝±13，故选B.] 6．如图6是某个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )图6A ．2＋π2B ．2＋π3C ．4＋π3D ．4＋π2A [由三视图知该几何体是一个三棱柱与一个半圆柱的组合体，其中三棱柱的底面是腰长为2的等腰直角三角形，高为2，半圆柱的底面半径为1，高为1，所以该几何体的体积为12×2×2×2＋12×π×12×1＝2＋π2，故选A.]7．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图7所示，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，f (π)＝－1，则φ的值为( )图7A ．－π6B ．－5π6C ．－π3D ．－2π3B [设函数f (x )的最小正周期为T ，由题意得，T 2＝π－π2＝π2，所以T ＝π，故ω＝2ππ＝2，故f (x )＝2sin(2x ＋φ)，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，故π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )．所以φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )或φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )．因为|φ|＜π，故φ＝－5π6或φ＝－π6.结合函数f (x )的单调性可知，φ＝－5π6，φ＝－π6(舍去)．]8．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”现用程序框图描述，如图8所示，则输出结果n ＝( )【导学号：07804209】图8A ．5B ．4C ．3D ．2B [第一次循环，得S ＝0＋1＋1＝2＜10，不满足条件，继续循环；第二次循环，得n ＝2，a ＝12，A ＝2，S ＝2＋12＋2＝92＜10，不满足条件，继续循环；第三次循环，得n ＝3，a ＝14，A ＝4，S ＝92＋14＋4＝354＜10，不满足条件，继续循环；第四次循环，得n ＝4，a ＝18，A ＝8，S ＝354＋18＋8＝1358＞10，结束循环，输出n ＝4，故选B.]9．若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且ab ＋ac ＋bc ＋25＝6－a 2，则2a ＋b ＋c 的最小值为( )A.5－1 B ．5＋1 C ．25＋2D ．25－2D [由题意，得a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝6－25，所以24－85＝4(a 2＋ab ＋ac ＋bc )≤4a 2＋4ab ＋b 2＋c 2＋4ac ＋2bc ＝(2a ＋b ＋c )2，当且仅当b ＝c 时等号成立，所以2a ＋b ＋c ≥25－2，所以2a ＋b ＋c 的最小值为25－2，故选D.]10．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝a 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN的面积是( ) A.55 B ．655C.855D ．455C [设椭圆的右焦点为E ，由椭圆的定义知△FMN 的周长为L ＝|MN |＋|MF |＋|NF |＝|MN |＋(25－|ME |)＋(25－|NE |)．因为|ME |＋|NE |≥|MN |，所以|MN |－|ME |－|NE |≤0，当直线MN 过点E 时取等号，所以L ＝45＋|MN |－|ME |－|NE |≤45，即直线x ＝a 过椭圆的右焦点E 时，△FMN 的周长最大，此时S △FMN ＝12×|MN |×|EF |＝12×2×45×2＝855，故选C.]11．四面体A ­BCD 中，AB ＝CD ＝10，AC ＝BD ＝234，AD ＝BC ＝241，则四面体A ­BCD 外接球的表面积为( ) A ．50π B ．100π C ．200πD ．300πC [由题意，可将四面体补成一个长方体，此长方体的三对相对的侧面矩形的对角线长分别为10，234，241，易知此长方体的外接球就是四面体的外接球，长方体的体对角线就是长方体外接球的直径．设长方体同一顶点发出的三条棱的长度分别为x ，y ，z ，球的半径为R ，则⎩⎨⎧x 2＋y 2＝102y 2＋z 2＝342z 2＋x 2＝412，三式相加，得2(x 2＋y 2＋z 2)＝400，即x 2＋y 2＋z 2＝200，所以(2R )2＝x 2＋y 2＋z 2＝200，即R 2＝50，所以四面体外接球的表面积为4πR 2＝4π×50＝200π，故选C.]12．设函数f (x )满足2x 2f (x )＋x 3f ′(x )＝e x，f (2)＝e28.则x ∈[2，＋∞)时，f (x )的最小值为( )A.e 22 B ．3e 22C.e 24D ．e 28D [由已知，得2xf (x )＋x 2f ′(x )＝e xx ，即[x 2f (x )]′＝e xx，因此令F (x )＝x 2f (x )，则F ′(x )＝ex x ，F (2)＝4f (2)＝e 22.又由已知得f ′(x )＝e x －2x 2f x x 3＝e x－2F xx 3，此时再令φ(x )＝e x－2F (x )，则φ′(x )＝e x－2F ′(x )＝e x－2·e xx＝e xx －x，所以当0＜x ＜2时，φ′(x )＜0，当x ＞2时，φ′(x )＞0，所以φ(x )min ＝φ(2)＝e 2－2F (2)＝0，所以当x ∈[2，＋∞)时，f ′(x )≥0，函数f (x )在[2，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (2)＝e28，故选D.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________.[解析] cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22()cos α＋sin α＝22cos 2α，即cos α＋sin α＝4cos 2α， (cos α＋sin α)2＝16cos 22α. 1＋sin 2α＝16(1－sin 22α)， 解得sin 2α＝1516或sin 2α＝－1，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2α∈()0，π，∴sin 2α＝－1不合题意，舍去． [答案]151614．已知(1＋ax 2)n(a ，n ∈N *)的展开式中第3项与第4项的二项式系数最大，且含x 4的项的系数为40，则a 的值为________.【导学号：07804210】[解析] 由二项式系数的性质可得n ＝5，T r ＋1＝C r 515－r(ax 2)r ＝C r 5a r x 2r，由2r ＝4，得r ＝2，由C 25a 2＝40，得a 2＝4，又a ∈N *，所以a ＝2. [答案] 215．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤10，－2x ＋y ＋k ≥0，若目标函数z ＝3x ＋y 的最小值为8，则其最大值为________．[解析] 如图所示，作出可行域(阴影部分)，易知目标函数z ＝3x ＋y 在A (2,4－k )处取得最小值，所以6＋4－k ＝8，即k ＝2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，－2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6，则C 点坐标为(4,6)，目标函数z ＝3x ＋y 在C 点处取得最大值z max ＝3×4＋6＝18. [答案] 1816．在△ABC 中，∠A ＝π3，O 为平面内一点，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，M 为劣弧BC ︵上一动点，且OM →＝pOB →＋qOC →，则p ＋q 的取值范围为________．[解析] 因为|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，所以O 为△ABC 外接圆的圆心，且∠BOC ＝2π3.以O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设圆的半径为1，则B (1,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设M (cos θ，sin θ)⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤2π3，则OB →＝(1,0)，OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，由OM →＝pOB →＋qOC →， 得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝p －q2sin θ＝32q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝cos θ＋13sin θq ＝23sin θ，所以p ＋q ＝cos θ＋3sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6，由0≤θ≤2π3，知π6≤θ＋π6≤5π6，所以当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，p ＋q 取得最大值2；当θ＋π6＝π6或θ＋π6＝5π6，即θ＝0或θ＝2π3时，p ＋q 取得最小值1.故p ＋q 的取值范围是[1,2]． [答案] [1,2]。