八年级数学上册 滚动小专题三 与等腰三角形有关的计算与证明课件 (新版)湘教版

BDC
2.3 等腰三角形
1.等腰三角形的顶角一定是锐角. X 2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以. X 3.钝角三角形不可能是等腰三角形. X 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. √ 5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. X 6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. √
练习
2.3 等腰三角形
1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角的度数分别是（ B ）
A．30°，60°
B．45°，45°
C．45°，90°
D．20°，70°
2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若
∠1=70°，则∠BAC的大小为（ A ） A．40° B．30° C．70° D．50°
第1课时 等腰（边）三角形的性质
学习目标
2.3 等腰三角形
1.理解并掌握等腰三角形、等边三角形的性质； （重点） 2.能运用等腰（边）三角形的性质进行有关的证明 和计算.（重点、难点）
2.3 等腰三角形
我们前面已经学习了 三角形的一些性质，
那么等腰三角形除了具有一般 三角形的性质外，还具有哪些 特殊的性质呢？
2.3 等腰三角形
总结归纳
由此得到等腰三角形的性质定理：
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分 线所在的直线.
等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重 合(简称为“三线合一”).
等腰三角形的两底角相等(“等边对等角”).
2.3 等腰三角形
1.等腰三角形的顶角一定是锐角. （X） 2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以.（X） 3.钝角三角形不可能是等腰三角形.（X） 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. （√） 5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. （X） 6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. （√）

1、 证明命题“如果一个角的两边分别平行于另一个角 的两边，且方向相同，那么这两个角相等”是真命题。
已知：如图，AB∥DE,BC∥DF
A E
求证：∠1=∠3 证明：因为 AB∥DE
1 B
2C
D3
F
所以 ∠1=∠2
因为 BC∥DF
所以 ∠2=∠3
所以 ∠1=∠3
小结：证明几何命题的表述格式。 ①按题意画出图形； ②分清命题的条件和结论，结合图形， 在“已知”中 写出条件，在“求证”中写出结论； ③在“证明”中写出推理过程。
2、已知：如图有 a、b、c 三条直线，且 a//c,b//c. 求证：a//b
证明：∵a//c
a
1
∴∠1=∠3（两直线平行,同位角相等） b
2
∵b//c
c
3
∴∠3=∠2（两直线平行,同位角相等）
∴∠1=∠2（等量代换）
∴a//c命题证明的步骤和 格式。 3、思考、探索：假命题的判断如何说理、证明。 4、反证法证题的步骤： （1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从假设出发，经过推理，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正 确.
2.2.3 命题与证 明
1、了解证明的含义和证明的表达格式； 2、理解证明的必要性； 3、会按规定格式证明简单命题。
通过预习教材 P55～P57 的内容，完成下面各题。
1、证明与图形有关的命题时，一般地步骤有：
第一步 根据命题,画出图形
.
第二步__根_据__条_件__,结__合__图_形__,写__出_已__知__、_求__证_.
教科书P59 习题2.2 A组 第6、7题
用反证法证明：
在ABC 中，若 A＞B＞C , 证明： A＞60

(2) ∵在△ABC中， AB=AC AD是中线， ∴ AD⊥ BC ，∴∠ BAD = ∠___C_AD (三线合一)
(3) ∵在△ABC中， AB=AC AD⊥BC， ∴∠__B_A__D=∠__C_A__D_，____B_=D__C_D___ (三线合一)
等边三角形有什么特殊的性质？
1、等边三角形是轴对称图形， 它有三条对称轴
∵AB=AC,BD=CD ∴AD ⊥ BC（三线合一）
（2）这时BC处于水平位置， 为什么？ ∵AD ⊥ BC
又A点在铅锤线上 而铅锤线与水平线垂直 ∴ BC处于水平位置
1、练一练（基础训练）
（1）已知等腰三形的一个顶角为36° ，则它的两个底角
分别为
72° 、72° 。
（2）已知等腰三角形的一个角为110°，则这个三角形的
图中有些你熟悉的图形吗？
图中有些你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点?
埃及金字塔
斜拉桥梁
体育观看台架
北京五塔寺
西安半坡博物馆
八年级数学上册
解：∵ △ ABC是等边三角形
思考：（1）剪出的等腰△ABC是轴对称图形，它有几条对 称轴？对应点和对应线段分别有哪些？填入下表
① ∵AB＝AC，∠1＝∠2（已知）
DF = EF（三线合一） ∴ BF-DF=CF-EF
B
即BD=CE
解题技巧：
在等腰三角形中，
做顶角平分线或作底边上高
或作底边上中线是一种常用的辅助线.
DF E C
如右图的三角形测平架中，AB＝AC, 在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂， 调整架身，使点A恰好在铅锤线上。
（1）AD与BC是否垂直？ 试说明理由？在△ ABC中
1、练一练（基础训练）

探索等腰三角形的判定定理
等腰三角形的判定方法： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对 的边也相等（简称“等角对等边”）．
由此并且结合三角形内角和定理，还可以得 到等边三角形的判定定理：
三个角都是60°的三角形是等边三角形.
巩固等腰三角形的判定定理
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于 三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
变式1 若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？
证明：∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠A =∠ABC =∠ACB =60°． A
∵ DE∥BC，
∴ ∠ABC =∠ADE，
∠ACB =∠AED.
B
C
∴ ∠A =∠ADE =∠AED.
∴ △ADE 是等边三角形. D
E
动脑思考，变式训练
别交AB，AC 于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形.
证明： ∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠A =∠B =∠C =60°．
A
∵ DE∥BC，
∴ ∠B =∠ADE，∠C =∠AED．
∴ ∠A=∠ADE =∠AED．
D
E
∴ △ADE 是等边三角形． B
C
追问 本题还有其他证法吗？
动脑思考，变式训练
解：阴影部分为等腰三角形； 理由：由折叠可知，∠EBD=∠CBD， ∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC. ∴∠CBD=∠EDB. ∴∠EBD=∠EDB. ∴△EBD是等腰三角形.
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例2、如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点， ∠B = 30°，求 ∠1 和 ∠ADC的度数。
解：
A
∵ AB = AC
12
∴ ∠B = ∠C =30°
∵ D是BC边上的中点
∴AD⊥BC， ∠1= ∠2 B
D
C
∴ ∠ADC = ∠ADB= 90°
∵ ∠ 1 =180° - ∠ADB - ∠B = 60°
∟
∴ Rt△ADA=BADD≌（R公t△共A边C）D（H.L.）B
D
C
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等） 思考1：还有其他的证明方法吗？
思考2：你有办法证明等腰三角形的“三线合一”吗？
问题2、结论（3）、（4）、（5）用一句话可以归纳 为什么？
等腰三角形的底边上的高、中线及顶角的平分线
互相重合，简称“三线合一” A (1)“等腰三角形”是三线合一的 大前提
B D C (2)要注意是哪三线?
思考2：你有办法证明等腰三角形的“三线合一”吗？
等腰三角形的性质
1、等腰三角形的两个底角相等 （简称“等边对等角”） 2、等腰三角形的 底边上的高、底边上的中线和顶角的平分线 互相重合（简称“三线合一”）
一般的三角 形有这种性
质吗？
要注意是指顶角 的平分线、底边 上的高、底边上 的中线这三线重
问题1、结论（2）用文字如何表述？
等腰三角形的两个底角相等（简写“等边对等角”）
如何证明：等腰三角形的两个底角相等（简写“等边对等角”）
已知：如图△ABC中AB=AC
求证：∠B=∠C
证明：过A作AD⊥BC于D

∠ADB=∠ADC.
12
沿AD所在直线折叠， 由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，
所以射线DB与射线DC重合，
射线AB与射线AC重合.
D
从而点B与点C重合，于是AB=AC.
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角
所对的边也相等
结论：等腰三角形的判定定理
有两个角相等的三角形是等腰三角形.A (简称“等角对等边”)
3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。
4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。
5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月下午5时14分21.11.817:14November 8, 2021
7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观 察是思考和识记之母。”2021年11月8日星期一5时14分54秒17:14:548 November 2021
证明： ∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∵EF ∥BC,
E
∴ ∠2=∠5，∠3=∠6,
∴ ∠1=∠5，∠4=∠6,
B
∴EO=CO,FO=CO, ∴EO=FO.
A
5 O 6F
2 1 43
CD
1. 已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和
练习
∠ACB的平分线相交于点O.
求证：△OBC为等腰三角形.
例2 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E 分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE.
求证：△ADE是等边三角形.
证明 ∵△ABC是等边三角形，

7如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、
AB于D，E两点，并连接BD，DE.若∠A＝30°，AB＝AC，则
∠BDE的度Байду номын сангаас是 (
A.45°
B.52.5°
C.67.5°
D.75°
C )
分层作业
8如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝
102°，则∠ADC＝
52 度.
称轴过哪个顶点，哪条边？
是.对称轴过两条腰相交的顶点，过底边.
预习导学
2.通过上述的“操作”，试视察右图，AD为折痕(即对称轴)，
思考:
(1)底角∠B与底角∠C能完全重合吗？说明了什么？
能，两底角相等.
(2)BD与CD能完全重合吗？说明AD是△ABC的什
么特殊线段？
能，是底边上的中线.
预习导学
(3)∠CAD与∠BAD能完全重合吗？说明了AD是△ABC的什
36°，则∠1的度数为
A.36°
B.60°
C.72°
D.108°
( C
)
5等腰三角形中有一个角是50°，那么其他两个角的度数是
50°，80°或65°，65° .
分层作业
6腰长与底边长不相等的等腰三角形中，三角形的中线、角平分
线和高共有(重合的算一条)
A.9条
B.3条
C.7条
D.3条或7条
(
C
)
分层作业
等腰三角形底边中线、 顶角平分线
、 底
，三线合一，在证明或计算中，一定要记得使用，
因为不需要再添辅助线，这条线本身就具有多重“身份”.
合作探究
·方法点拨·
等腰三角形性质定理的常用运用方法:由两边相等推导出两角