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§3–4傅里叶变换的性质设f(t) ←→F(jω)，f1(t) ←→F1(jω)，f2(t) ←→F2(jω)；α、α1、α2为实数，则有如下性质：一、线性：α1 f1(t) + α2 f2(t)←→α1F1(jω) + α2 F2(jω)二、对称性：F(jt)←→2πf(-ω)证明：将上式中的t换为ω，将原有的ω换为t，或：，即：F(jt)←→2π f(-ω)P.67例3-3：已知，再令==> ←→2πG(-ω)三、尺度变换：(α≠0的实数)可见信号持续时间与占有频带成反比(此性质易由积分变量代换证得)。
推论(折叠性)：f(-t) ←→F(-jω)四、时移性：(此性质易由傅氏变换的定义证得)推论(同时具有尺度变换与时移)：P.69-70例3-4请大家浏览。
五、频移性：(此性质易由傅氏变换的定义证得) π.70例3-5请大家浏览。
频移性的重要应用——调制定理：欧拉公式?例如门信号的调制：显然，当ω0足够大时，就可使原频谱密度函数被向左、右复制时几乎不失真。
六、时域卷积：f1(t)* f2(t) ←→F1(jω)F2(jω)证明：时域卷积的重要应用——求零状态响应的频域法：时域：yf(t) = f(t)* h(t) ==> 频域：Y f(jω) = F(jω)H(jω)七、频域卷积：f1(t). f2(t) ←→1/2π[F1(jω)*F2(jω)]八、时域微分性：df(t)/dt←→ jωF(jω) (其证明请自学P.72-73有关内容)推论:条件：例如：d(t) ←→1 ==>δ'(t) ←→jω九、时域积分性：证：故信号t轴上、下面积相等时F(0)=0，否则微分性与积分性是不可逆的。
十、频域微分性：例如：十一、频域积分性：f(0)=0时频域微分性与频域积分性才是可逆的。
十二、帕塞瓦尔定理：若f(t)为实函数，则能量表3-2傅里叶变换的基本性质下面再举几个例子说明性质的综合运用。
傅里叶变换性质证明1. 线性变换 F {fc f c 2211+}=c 1F {f1}+c 2F {f2} (1.1)证明： F {fc f c 2211+}=[]dx x x efc fc iwx-∞∞⎰+-2211)()( =dx x dx x efc efc iwxiwx⎰⎰∞∞---∞∞-+)()(2211=c 1F {f1}+c 2F {f2}2. 尺度变换性质如果f(x)的傅里叶变换存在且为F(w),则f(ax)的傅里叶变换为⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1。
(也可记为 f(ax)↔⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1） 证明：因为 F {()ax f }=()dx ax f e iwx-+∞∞-⎰则，令du adx u a x ax u 1,1,===当a>0时， F {()u f }=()du u f ae ua wi -+∞∞-⎰1即，F {()ax f }=⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1 （或记为f(ax)↔⎪⎭⎫⎝⎛a w F a 1）当a<0时，a a -= 则，u adx u a x x a ax u 1,1,-=-=-== F {()u f }=()()du u f adu u f a ee u awi ua wi -+∞∞---∞∞+⎰⎰=11-综上所述，F {()ax f }=⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1 (亦或可记为 f(ax)↔⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1）物理意义：（1）0<a<1时域扩展，频带压缩； （2）a>1时域压缩，频域扩展； （3）a=-1，f(t)→f(-t);F(w)→F(-w)。
举个例子，1 -1≤t ≤1 f(t)=0 其他而函数f(t)的傅里叶变换F(w)为()()dt dt dt dt t f w F eeeeiwtiwtiwtiwt⎰⎰⎰⎰+∞----∞---+∞∞-∙++∙==111100()()ww w w sin 20sin 20∙=+∙+= f(t)图像为附属matlab代码：x=-10:0.01:10y=1.*(x>=-1&x<=1)+0.*(x<-1)+0.*(x>1)plot(x,y,'r','linewidth',2)axis([-10 10 0 2.1]) %在x取值[-10,10]内作图，在值域[0,1]内以0.2分度取值grid onF(w)的图像：附属代码：x=-10:0.01:10y=2.*sin(x)./xplot(x,y,'r','linewidth',2)grid on（1）当0<a<1时，我们任意取a=0.5，则1 -2≤t≤2f(0.5t)=0 其他同理，()() www F2sin=。
傅里叶变更的本量真量便是旗号的时域运算闭系正在傅里叶变更域中的体现，也是供解旗号傅里叶变更的基原脚法.之阳早格格创做傅里叶变更具备唯一性.傅氏变更的本量掀穿了旗号的时域本性战频域本性之间的决定的内正在通联.计划傅里叶变更的本量，脚法正在于：1. 相识本性的内正在通联2. 用本量供3. 相识正在通疑系统范围中的真用那些本量正在真量战形式上具备某种程度的对于称性. 1．本量2．意思例3-7-1例3-7-2例3-7-3§3.7.2 线性1．本量2．道明那个本量虽然简朴，但是本量上是应用最多的.例3-7-4§3.7.3 奇奇真真性奇奇真真性本量上正在§3.4的“傅里叶变更的特殊形式”中已经介绍过. 1.道明：由定义不妨得到，则道明：设f(t)是真函数（为真函数或者复函数情况相似，略）隐然§3.7.4 尺度变更本量1. 本量：2. 道明：概括上述二种情况3．意思(1) 0<a<1 时域扩展，频戴压缩.脉冲持绝时间减少a倍，旗号变更减慢，旗号正在频域的频戴压缩a倍.果此下频分量缩小，幅度降下a倍.(2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍.持绝时间短，变越发快.旗号正在频域下频分量减少，频戴展宽，各分量的幅度下落a 倍.此例道明：旗号的持绝时间与旗号占有频戴成反比，奇尔为加速旗号的传播，要将旗号持绝时间压缩，则要以展启频戴为代价.§3.7.5 时移本性本量幅度频谱无变更，只做用相位频谱，例3-7-8供下图所示函数的傅里叶变更.解：由对于称闭系供，又果为得幅频、相频本性分别如下图所示.幅度频谱无变更，只做用相位频谱§3.7.6 时移+尺度变更1. 本量：2. 道明：(仿的道明历程)当时，设，则例3-7-9要发一：先标度变更，再时延要发二：先时延再标度变更二种要发截止相共.§3.7.7 频移本性1．本量2．道明3．道明4．应用通疑中调造与解调，频分复用§3.7.8 频移本性1．本量2．道明3．道明4．应用通疑中调造与解调，频分复用§3.7.9 时域微分本量1．本量2. 道明即3. 特地注意如果f(t)中有决定的曲流分量，应先与出曲流分量单独供傅里变更，余下部分再用微分本量.§3.7.10 频域微分本量本量：则或者例3-7-6解：例3-7-7解：……1. 本量2. 道明其中：（1）变上限积分用戴时移的单位阶跃的无限积分表示，成为（2）接换积分程序，即先供时移的单位阶跃的旗号的傅里叶变更（3）（5）.例题——时域积分本量1. 供单位阶跃函数的傅里叶变更.解：则2. 供门函数积分的频谱函数.解：。
傅里叶变换的性质这里主要介绍二维离散傅里叶变换（DFT ，discrete FT ）中的几个常用性质（可分离线、周期性和共轭对称性、平移性、旋转性质、卷积与相关定理）：可分离性二维离散傅立叶变换DFT 可分离性的基本思想是二维DFT 可分离为两次一维DFT 。
因此可以用通过计算两次一维的FFT 来得到二维快速傅立叶变换FFT 算法 。
根据快速傅里叶变换的计算要求，需要图像的行列数均满足2的n 次，如果不满足，在计算FFT 之前先要对图像补零以满足2的n 次。
一个M 行N 列的二维图像f(x,y)，先按行对列变量y 做一次长度为N 的一维离散傅里叶变换，再将计算结果按列向对变量x 做一次长度为M 傅里叶变换就可以得到该图像的傅里叶变换结果，如下式所示：()()()()∑∑-=-=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=10102exp 2exp ,1,M x N y M ux j N vy j y x f MN v u F ππ 将上式分解开来就是如下两部分，首先得到F(x,v)再由F(x,v)得到F(u,v)：∑-=-=-=101...10]/2exp[),(1),(N y N v N vy j y x f N v x F ，，，π∑-=-=-=101,...,1,0,]/2exp[),(1),(N x M v u M ux j v x F M v u F πu=0,1,2,…M-1；v=0,1,2,...N-1计算过程如下图所示：每一行有N 个点，对每一行的一维N 点序列进行离散傅里叶变换得到F(x,u)，再对得到F(x,u)按列向对每一列做M 点的离散傅里叶变换，就可以得到二维图像f(x,y)的离散傅里叶变换F(u,v)同样，做傅里叶逆变换时，先对列向做一维傅里叶逆变换，再对行做一维逆傅里叶变换，如下式所示：()()()()∑∑-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10102exp 2exp ,,M u N v M ux j N vy j v u F y x f ππ x=0,1,2,…M-1；y=0,1,2,...N-1周期性和共轭对称性由傅里叶变换的基本性质可以知道，离散信号的频谱具有周期性。
傅里叶变换知识点总结本文将从傅里叶级数、傅里叶变换和离散傅里叶变换三个方面来介绍傅里叶变换的知识点，并且着重介绍它们的原理、性质和应用。
一、傅里叶级数1. 傅里叶级数的定义傅里叶级数是一种将周期函数表示为正弦和余弦函数的线性组合的方法。
它可以将任意周期为T的函数f(x)分解为如下形式的级数：f(x)=a0/2+Σ(an*cos(2πnfx / T) + bn*sin(2πnfx / T))其中an和bn是傅里叶系数，f为频率。
2. 傅里叶级数的性质（1）奇偶性：偶函数的傅里叶级数只包含余弦项，奇函数的傅里叶级数只包含正弦项。
（2）傅里叶系数：通过欧拉公式和傅里叶系数的计算公式可以得到an和bn。
（3）傅里叶级数的收敛性: 傅里叶级数在满足柯西收敛条件的情况下可以收敛到原函数。
二、傅里叶变换1. 傅里叶变换的定义傅里叶变换是将信号从时间域转换到频率域的一种数学工具。
对于非周期函数f(t)，它的傅里叶变换F(ω)定义如下：F(ω)=∫f(t)e^(-jwt)dt其中ω为频率，j为虚数单位。
2. 傅里叶变换的性质（1）线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即对于任意常数a和b，有F(at+bs)=aF(t)+bF(s)。
（2）时移性质和频移性质：时域的时移对应频域的频移，频域的频移对应时域的时移。
（3）卷积定理：傅里叶变换后的两个函数的乘积等于它们的傅里叶变换之卷积。
3. 傅里叶逆变换傅里叶逆变换是将频域的信号反变换回时域的一种操作，其定义如下：f(t)=∫F(ω)e^(jwt)dω / 2π其中F(ω)为频域信号，f(t)为时域信号。
三、离散傅里叶变换1. 离散傅里叶变换的定义对于离散序列x[n]，其离散傅里叶变换X[k]的定义如下：X[k]=Σx[n]e^(-j2πnk / N)其中N为序列长度。
2. 快速傅里叶变换（FFT）FFT是一种高效计算离散傅里叶变换的算法，它能够在O(NlogN)的时间复杂度内完成计算，广泛应用于数字信号处理和通信系统中。
