傅里叶变换的性质

傅氏变换的性质
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这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏 积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
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1.线性性质
设F1(w)=F [f1(t)], F2(w)=F [f2(t)], a,b是常数, 则 F [af1(t)+bf2(t)]=aF1(w)+bF2(w) (1.13)
n
n
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4. 积分性质
如果当t 时, g ( t )
t -
f ( t )d t 0
t 1 则 F f ( t )d t F [ f ( t )]. (1.19) - jw
d t 证 因为 f ( t )d t f ( t ), d t - t jwF f ( t )d t F [ f ( t )] -
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若F [f(t)]=F(w), F [g(t)]=G(w)
线性 : af (t ) bg (t ) 位移 : f (t - t 0 ) f (t )e jw 0t 导数 : f (t ) 积分 :
t -
性质小结:

aF (w ) bG (w )
F (w ) e - jwt0 F (w - w 0 ) jwF (w ) 1 F (w ) jw 2f ( -w ) 1 w F |a| a F ( -w )
f1 (t ) f 2 (t )

1 F1 (w ) F2 (w ) 2
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例2 若f(t)=cosw0t u(t), 求F [f(t)]
1 u (t ) (w ) jw e f (t ) u (t ) 2 1 1 F (w ) (w - w 0 ) 2 j(w - w 0 ) e 1 (w w 0 ) j(w w 0 ) jw 2 [ (w - w 0 ) (w w 0 )] 2 2 w0 - w
F (w )
(w - 2) - (w 2) 2j

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卷积定理
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卷积的概念
若已知函数f1(t), f2(t), 则积分


-
f1 ( ) f 2 (t - ) d
• 称为函数f1(t)与f2(t)的卷积, 记为f1(t)*f2(t)
f1 (t ) f 2 (t )

-
f1 ( ) f 2 (t - ) d
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在积分


-
f1 ( ) f 2 (t - ) d
中, 令ut-, 则t-u, du-d, 则
f1 (t ) f 2 (t ) f 2 (t ) f1 (t )
即卷积满足交换律.
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卷积满足结合律
[f1(t)*f2(t)]*f3(t)=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]
jwt0
F [ f (t )]
(1.15)
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3.微分性质
如果f(t)在(-, +)上连续或只有有限个可去 间断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则 F [f '(t)]=jwF [f(t)]. (1.17) • 推论 • F [f(n)(t)]=(jw)nF [f(t)].
(1.18)
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jw 0t
- jw 0t
例3 若F(w)=F [f(t)], 证明 t F (w ) F f (t ) d t F (0) (w ) jw -
证 : f (t ) d t f ( )u (t - ) d f (t ) u (t )
e b
w2 4b
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• 由位移性质可知：
f (t - t0 ） F (w )e f (t )e 由 1 2（w）可得 e
jw 0 t jw 0 t - jwt 0
F (w - w0 )
2 (w - w0 )
由 (t ) 1 可得
（t - t0 ) e
- jwt 0
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练习1
f (t ) u (t ) e sin 2t，求ｆ的傅里叶变换。 解：令g (t ) u (t ) e
-t -t
1 G (w ) 1 jw
j 2t - j 2t
e -e 则f (t ) g (t ) sin 2t g (t ) 2j 1 1 j 2t - j 2t g (t ) e - g (t ) e 2j 2j
证


-
f (t ) g (t ) d t dt - G(w ) e d w - jwt dt - G(w ) e d w
jwt

-
百度文库-
1 f (t ) 2 1 f (t ) 2
1 2 1 2


-
f (t ) e - jwt d t G (w ) d w - F (w )G (w ) d w
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-
能量积分 若F(w)=F [f(t)], 则有
1 f ( t ) d t - 2
2


-
F (w ) dw (1.21)


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练习3: 求f(t)=cos t sin t的傅里叶变换。
1 jt - jt jt - jt cos t sin t e e e -e 4j 1 j 2t - j 2t e -e 4j





1 2 (w ), e e
- j 2t
j 2t
2 (w - 2)
2 (w 2)
2
• 这一等式又称为帕塞瓦尔(Parserval)等式
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实际上, 只要记住下面四个傅里叶变换, 则所 有的傅里叶变换都无须从公式直接推导而从 傅里叶变换的性质就可导出.
(t )
u (t ) u (t )e e
- bt 2 - bt

1 1 (w ) jw 1 b jw
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卷积满足分配率
f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)
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0 t 0 0 f 2 (t ) -t 例1 若 f1 (t ) 1 t 0 e
求f1(t)*f2(t) f1()
t0 t0
1 O
1 O f2(t-) t
2 2
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练习2：
求F(w)=[(w+w0)+(w-w0)]的傅里叶逆变 换。
解： (t ) 1 e e
- jw0t jw0 t
1 2 (w ) 2 (w w0 ) 2 (w - w0 )

1 - jw0t jw0 t f (t ) e e cos w0t 2
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1 1 1 F (w ) 2 j 1 j(w - 2) 1 j(w 2) j 1 j(w 2) - 1 - j(w - 2) - 2 (1 jw - 2 j)(1 jw j 2) 2 2 2 2 (1 jw ) 4 5 - w 2 jw 2(5 - w - j 2w ) 5 - w - j 2w 2 2 2 2 2 4 (5 - w ) 4w 25 - 6w w
f (t ) d t
对称 : F (t ) 相似 : f ( at ) ( a 0) 翻转 : f ( -t )
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乘积定理 若F(w)=F [f(t)], G(w)=F [g(t)], 则


-
1 f (t ) g (t ) d t 2


-
F (w )G (w ) d w (1.20)
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同样, 我们还能得到象函数的导数公式, 设 F [f(t)]=F(w), 则
d F (w ) F [- j tf (t )]. dw 一般地, 有 dn n n F (w ) (- j) F [t f (t )] n dw
d n j F (w ) F [t f ( t )] n dw
- - t t
1 u (t ) (w ), f (t ) F (w ) jw 1 u (t ) f (t ) F (w ) (w ) jw 1 F (w ) F (0) (w ) jw
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由卷积的定义有
f1 (t ) f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t - ) d
-

1 e
0 -t
t
- ( t - )
d e
-t
e d

0
t
e (e - 1) 1 - e
t
-t
1 O
1-e-t t
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【卷积定理】假定f1(t), f2(t)都满足傅氏积分 定理中的条件, 如 f1(t) F1(w) f2(t) F2(w) 则 f1(t) * f2(t) F1(w)F2(w) 以及
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若F [ f (t )] F (w ), 则还成立 对称性质 : F [ F (t )] 2 f ( -w ), F [ F ( -t )] 2 f (w ) 相似性质 : 1 w F [ f (at )] F (a 0) |a| a 翻转性质 : F [ f (-t )] F (-w )
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1 1 j 2t - j 2t f (t ) g (t ) e g (t ) e 2j 2j 则g (t ) e g (t ) e
j 2t
- j 2t
1 j(w - 2) 1 G (w 2) 1 j(w 2)
G (w - 2)
1
1 1 1 F (w ) 2j 1 j( w 2 ) 1 j( w 2 )
这个性质的作用是很显然的, 它表明了函数线 性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换的线 性组合. 它的证明只需根据定义就可推出.
同样, 傅氏逆变换亦具有类似的线性性质, 即 F -1[aF1(w)+bF2(w)]=af1(t)+b f2(t) (1.14)
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2. 位移性质
F [ f (t t0 )] e