因式分解习题导学案

4.1 因式分解 导学案【学习导言】了解因式分解的概念和意义;了解因式分解与整式乘法的关系——互逆变形课前学习：尝试体验（对话课本，记下问题，尝试练习）【对话课本】阅读教材98页到99页【记下重点与问题】1. 什么是整式的乘法___________________________________.2. 看书本98页然后填写下表3.因式分解的概念:把一个多项式化成_____________的______的形式,叫做________.[记下问题]【尝试练习】1.请你写出整式相乘的两个例子(其中至少一个是多项)_______________________________________;____________________________________由此你能得到相应的两个多项式的因式分解吗?_______________________________________;____________________________________2.下列代数变形中,哪些是因式分解?哪些不是?写出为什么. 2(1)2()22m m n m mn -=- 211(2)(2)22ab ab ab b -=-x x x x-+=-+(4)31(3)1-+=-2(3)41(21)x x x422课内学习：合作体验（检评预习，审视问题，独立练习，纠错反审）【检评预习】同桌交换学案，检查评价批语：【审视问题】审视下面的学习要点，思考提出的问题【尝试例题】：例：检验下列因式分解是否正确22x x x(2)21(21)(21)-=+-(1)()x y xy xy x y-=-22++=++x x x x(3)32(1)(2)解：（1）（2）（3）想一想：检验因式分解是否正确的方法是【练习】检验下列因式分解是否正确(1)m2+nm=m(m+n) (2)a2－b2=(a+b)(a-b)(3)x2-x-2=(x+2)(x-1) (4)5x2y-10xy=5xy(x-2y)【独立练习】A组1.把左右两边相等的代数式连接起来：2a2-2a (2-a)(2+a)a2+6a+9 2a(a-1)4-a2 (a+2)23a2+12a 3a(a+4)2.把下列各式分解因式：(1)am+bm (2)a2-9 (3)a2+2ab+b23.计算下例各题,并说明你的理由(1)242+24 (2)872+87×13 (3)1012-992解：解：解：B组4.若x2+kx+1/4因式分解的结果为(x+1/2)2,则k=____________.5.关于x的二次三项式x2+px+q能分解成(x-1)(x+6)，求p+3q-2的值6.（1）已知x-y=2，x2-y2=12,求x+y的值（2）已知m+n=9,mn=14,求m2-mn+n2的值课后学习：反审体验（审查错误原因，检查练习，完成作业）【反思审查】再仔细审查学案，用红笔作出示意.【作业练习】作业本学案。

第21 章一元二次方程（5）——因式分解法一、复习回顾：1、解下列方程x²−7=0x²−2x−3=03x2−2√3x+2=02、因式分解的常见方法有那些?二、新知探究：从小学的知识我们知道：如果a·b=0；那么根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度为10x-4.9x²,根据上述规律，要求物体经过多少秒落回地面? 即高度为0m时，可列方程：10x−4.9x²=0由上可知，解一元二次时也可以不通过开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0 的形式，再得到两个一元一次方程，从而实现降次。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

三、典例分析：例1、解下列方程(1)2x²+3x=0 (2) x(x--2)+x-2=0 (3)5x2−2x−14=x2−2x+34注意：用因式分解法必须保证方程右边；一般当方程比较繁杂时，我们可以先将方程四、巩固练习：解下列方程(1)x²+x=0(2)x2−2√3x=0 (3) 3x(2x+1)=4x+2(4)3x²−6x=−3(5)4x²−121=0(6)x²+x−2=0五、拓展提升：例2、解方程((x−4)²=(5−2x)²(多种方法解)六、知识小结：1、解一元二次方程有哪些方法?2、如何尝试用因式分解法解一元二次方程? (因式分解法的选择)中午作业：1、解方程(1)x²+9x=0(2)x²+9=6x(3)(2+x)²−9=0(4)3x(x−2)=2(2−x) (5)(x−2)(x+3)=−6(6)(x−1)2=(2x−3)2(7)x²−x−6=0(8)x²−5x+6=02、若一个多边形共有20条对角线，求这是个几边形?。

因式分解复习导学案自主学习夯实基础1．因式分解把一个多项式化成几个____积的形式，叫做因式分解，因式分解与____是互逆运算．2．基本方法(1)提取公因式法：ma＋mb－mc＝____．(2)公式法：运用平方差公式：________运用完全平方公式：________3．因式分解的一般步骤(1)如果多项式的各项有公因式，那么必须先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；(3)分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这样才算分解彻底；(4)注意因式分解中的范围，如x4－4＝(x2＋2)(x2－2)，在实数范围内分解因式，x4－4＝(x2＋2)(x＋2)(x－2)，题目不作说明的，表明是在有理数范围内因式分解．变形技巧当n为奇数时，(a－b)n＝－(b－a)n；当n为偶数时，(a－b)n＝(b－a)n.提取公因式法分解因式【例1】阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：(1)am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a ＋b)＝(a＋b)(m＋n)；(2)x2－y2－2y－1＝x2－(y2＋2y＋1)＝x2－(y＋1)2＝(x＋y＋1)(x －y－1)．试用上述方法分解因式：a2＋2ab＋ac＋bc＋b2＝__________．1．(1)多项式ax2－4a与多项式x2－4x＋4的公因式是___．(2)把多项式(m＋1)(m－1)＋(m－1)提取公因式(m－1)后，余下的部分是( )A．m＋1B．2m C．2D．m＋2(3)分解因式：(x＋y)2－3(x＋y)．解：运用公式法分解因式【例2】(1)①(2015)3x2y－27y＝____；②(2014)将多项式m2n－2mn＋n因式分解的结果是__．(2)分解因式：①(2014·黄冈)(2a＋1)2－a2＝___；②(2014·淄博)8(a2＋1)－16a＝____．2．分解因式：(1)9x2－1；(2)25(x＋y)2－9(x－y)2；(3)(2014)a－6ab＋9ab2；(4)(2014)mx2－my2.综合运用多种方法分解因式【例3】 给出三个多项式：12x 2＋x －1，12x 2＋3x ＋1，12x 2－x ，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果分解因式．解：3．(1)(2014·武汉)分解因式：a 3－a ＝；(2)(2014·)分解因式：x 3－5x 2＋6x ＝________；(3)分解因式：(x ＋2)(x ＋4)＋x 2－4；解(4)在实数范围内分解因式：m 4－9.解因式分解的应用【例4】(2014·河北)计算：852－152＝( )A ．70B ．700C ．4900D ．70004．(1)(2014·徐州)若ab ＝2，a －b ＝－1，则代数式a 2b －ab 2的值等于___．(2)(2014·北京)已知x －y ＝3，求代数式(x ＋1)2－2x ＋y(y －2x)的值．解：达标测试分解因式：(1)20m3n－15m2n2＋5m2n；(2)4x2－16y2；(3)m(a－b)＋n(b－a)；(4)－3x2＋18x－27.课外拓展。

九年级数学上册《21.2.3 因式分解法》导学案1、回顾初二所学的因式分解，能熟练地分析出用哪种方法来解方程2、知道用因式分解法解一元二次方程的依据是“A·B=0”，相当于“A=0或B=0”。

重点：运用因式分解法解特殊的一元二次方程难点：灵活运用因式分解法把一元二次方程转化为两个一次因式的积为0的形式。

1、因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为，再把左边通过化为两个一次因式的的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．2、因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的；③令每个因式分别为零，得到两个；④解这两个一元一次方程，它们的就都是原方程的解。

1、（2020·安徽省合肥市五十中学新校初二月考）方程x2﹣x＝0的解为（）A．x1＝x2＝1B．x1＝x2＝0C．x1＝0，x2＝1D．x1＝1，x2＝﹣12、（2021•天津模拟）一元二次方程(2)2x x x-=-的解是()A．1x=B．11x=，22x=C ．1x =，2x =D ．11x =-，22x =3、（2021·铜官区期末）已知等腰三角形的腰长是方程2712=0x x -+的一个根，其底边长为6，则底边上的高为___________4、已知关于x 的一元二次方程(m ＋1)x 2＋4x ＋m 2＋m ＝0的一个根为0，则m 的值是_________．5、选用适当的方法解下列方程： （1）2410x x -+=；（2）22(3)(3)(3)x x x -=+-.6、已知x=2是关于x 的方程()2440x m x m -++=的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长， （1）求m 的值； （2）求△ABC 的周长．1、方程23x x =的解是 （ ）A ．3x =B ．3x =-C ．0x =D ．3x =或0x =2、（2021·襄阳模拟）菱形ABCD 的一条对角线长为6cm ，边AB 的长是方程27120x x -+=的一个根，则菱形ABCD 的周长等于（ ）A.10cmB.12cmC.16cmD.12cm 或16cm3、三角形两边长分别是4和2，第三边长是22940x x -+=的一个根，则三角形的周长是________。

分解因式【学习目标】1、经历从分解因数到分解因式的类比过程.2、了解分解因式的意义，以及它与整式乘法的相互关系．3、感受分解因式在解决相关问题中的作用．【重点】理解分解因式的意义，准确的辨析整式乘法与分解因式这两个变形。

【难点】对分解因式与整式乘法关系的理解。

【学习过程】一、复习引入1、单项式与多项式相乘，就是用 去乘 的 ，再把所得的积相加。

如：()13252-+ab b a ab =2、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 去乘另一个多项式的 ，再把所得的积相加。

如：()()b x a x ++=3、整式乘法的平方差公式：()()b a b a -+=4、整式乘法的完全平方公式：()2b a += ，()2b a -= 二、新知探究1、做一做（1）计算下列各式：①(m ＋4)(m －4)＝____ ______；②(y －3)2＝________ __； ③3x (x －1)＝______ ____；④m (a ＋b ＋c )＝______ ____； ⑤a (a ＋1)(a －1)＝___ _______． （2）根据上面的算式填空：①m 2－16＝( )( )； ②y 2－6y ＋9＝( )2；③3x 2－3x ＝( )( )； ④ma ＋mb ＋mc ＝( )( )；⑤a 3－a ＝( )( )（ ）．※（1）中由整式乘积的形式得到多项式的运算是 。

（2）中由多项式得到整式乘积形式的变形是 。

分解因式：把一个 化成几个 的 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。

2、例题【例1】判断下列运算从左到右是整式乘法，还是分解因式?（1）（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2 （2）x 3－2x 2＝x 2（x －2） 【例2】 下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？（1）4a (a ＋2b )＝4a 2＋8ab ；（2）6ax －3ax 2＝3ax (2－x )； （3）a 2－4＝(a ＋2)(a －2)； （4）x 2－3x ＋2＝x (x －3)＋2．⑸ 36ab a b a 1232•= ⑹ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x a b x a bx ※分解因式注意：1、分解因式结果要以 的 的形式。

《21．2.3 因式分解法》教案【教学目标】1．认识用因式分解法解方程的依据．2．会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程．【教学过程】一、情境导入我们知道ab＝0，那么a＝0或b＝0，类似的解方程(x＋1)(x－1)＝0时，可转化为两个一元一次方程x＋1＝0或x－1＝0来解，你能求出(x＋3)(x－5)＝0的解吗？二、合作探究探究点一：用因式分解法解一元二次方程【类型一】利用提公因式法分解因式解一元二次方程用因式分解法解下列方程：(1)x2＋5x＝0；(2)(x－5)(x－6)＝x－5.解析：变形后方程右边是零，左边是能分解的二次三项式，可用因式分解法．解：(1)原方程转化为x(x＋5)＝0，∴x＝0或x＋5＝0，∴原方程的解为x1＝0，x2＝－5；(2)原方程转化为(x－5)(x－6)－(x－5)＝0，∴(x－5)[(x－6)－1]＝0，∴(x－5)(x－7)＝0，∴x－5＝0或x－7＝0，∴原方程的解为x1＝5，x2＝7.【类型二】利用公式法分解因式解一元二次方程用因式分解法解下列方程：(1)x2－6x＝－9；(2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0.解：(1)原方程可变形为：x2－6x＋9＝0，则(x－3)2＝0，∴x－3＝0，因此原方程的解为：x1＝x2＝3.(2)[2(x －3)]2－[5(x －2)]2＝0，[2(x －3)＋5(x －2)][2(x －3)－5(x －2)]＝0，(7x －16)(－3x ＋4)＝0，∴7x －16＝0或－3x ＋4＝0，∴原方程的解为x 1＝167，x 2＝43. 方法总结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．探究点二：用因式分解法解决问题若a 、b 、c 为△ABC 的三边，且a 、b 、c 满足a 2－ac －ab ＋bc ＝0，试判断△ABC 的形状．解析：先分解因式，确定a ，b ，c 的关系，再判断三角形的形状． 解：∵a 2－ac －ab ＋bc ＝0，∴(a －b )(a －c )＝0，∴a －b ＝0或a －c ＝0，∴a ＝c 或a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形．三、板书设计【教学反思】利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，提高用分解因式法解方程的能力．在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法.《21.2.3 因式分解法》教案【教学内容】用因式分解法解一元二次方程．【教学目标】掌握用因式分解法解一元二次方程．通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．【重难点关键】1．重点：用因式分解法解一元二次方程．2．•难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．【教学过程】一、复习引入（学生活动）解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上（14）2，同时减去（14）2．（2）直接用公式求解．二、探索新知（学生活动）请同学们口答下面各题．（老师提问）（1）上面两个方程中有没有常数项？（2）等式左边的各项有没有共同因式？（学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-12．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例1．解方程（1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4分析：（1）移项提取公因式x；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，•另一边为0的形式解：（1）移项，得：4x2-11x=0因式分解，得：x（4x-11）=0于是，得：x=0或4x-11=0x 1=0，x2=114（2）移项，得（x-2）2-2x+4=0 （x-2）2-2（x-2）=0因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0 整理，得：（x-2）（x-4）=0于是，得x-2=0或x-4=0x 1=2，x2=4例2．已知9a2-4b2=0，求代数式22a b a bb a ab+--的值．分析：要求22a b a bb a ab+--的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．解：原式=22222 a b a b bab a ---=-∵9a2-4b2=0∴（3a+2b）（3a-2b）=0 3a+2b=0或3a-2b=0，a=-23b或a=23b当a=-23b时，原式=-223bb=3当a=23b时，原式=-3．三、巩固练习教材P45练习1、2．四、应用拓展例3．我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，•我们可以对上面的三题分解因式．解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）∴（x-4）（x+1）=0∴x-4=0或x+1=0∴x1=4，x2=-1（2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）∴（x-6）（x-1）=0∴x-6=0或x-1=0∴x1=6，x2=1（3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）∴（x+5）（x-1）=0∴x+5=0或x-1=0∴x1=-5，x2=1上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．五、归纳小结本节课要掌握：（1）用因式分解法，即用提取公因式法、•十字相乘法等解一元二次方程及其应用．（2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：联系①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次．②公式法是由配方法推导而得到．③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．区别：①配方法要先配方，再开方求根．②公式法直接利用公式求根．③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，•再分别使各一次因式等于0．六、布置作业教材P46复习巩固5 综合运用8、10 拓广探索11．第六课时作业设计一、选择题1．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=25，x2=35C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2D．x2=x 两边同除以x，得x=12．下列命题①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（）．A．-12B．-1 C．12D．1二、填空题1．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．2．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．3．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．三、综合提高题1．用因式分解法解下列方程．（1）3y2-6y=0 （2）25y2-16=0（3）x2-12x-28=0 （4）x2-12x+35=02．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．3．今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）答案:一、1．B 2．A 3．D二、1．x（x-5），（x-3）（2x-5）2．x1=12，x2=13．（x+12）（x+8），x1=-12，x2=-8三、1．（1）3y（y-2）=0，y1=0，y=2（2）（5y）2-42=0 （5y+4）（5y-4）=0，y1=-45，y2=45（3）•（x-14）（x+2）=0 x1=14，x2=-2（4）（x-7）（x-5）=0 x1=7，x2=52．x+y=0或x+y-1=0，即x+y=0或x+y=13．设宽为x，则长为35-2x，依题意，得x（35-2x）=1502x2-35x+150=0（2x-15）（x-10）=0，x 1=7.5，x2=10，当宽x1=7.5时，长为35-2x=20，当宽x=10时，长为15，因a≥20m，两根都满足条件．《21.2.3 因式分解法》导学案【学习目标】：1．会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程。

4.1因式分解导学案班级姓名学习目标：1、了解因式分解的概念和意义。

2、了解因式分解与整式乘法的关系——互逆变形。

3、体验矛盾的对立统一规律。

学习重点：因式分解的概念。

学习难点：认识因式分解与整式乘法的关系，并能意识到可以运用整式乘法的一系列法则来解决因式分解的各种问题。

一．课前预学导入新课：请回忆一下：3×3×5=45是什么运算，那45=3×3×5．又是什么运算？相应的：x (x - y) = x2-xy是什么运算，x2-xy = x (x - y)呢？二、课中导学1.请观察下面两种代数式变形的例子，它们之间有什么关系？a(a+1)=a2+a a2+a=a(a+1)(a+b)(a-b)=a2-b2a2-b2=(a+b)(a-b)(a+1)2=a2+2a+1 a2+2a+1=(a+1)2像这样，把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，有时，也把这一过程叫分解因式。

因式分解与整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是互逆关系。

做一做判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解。

（1）(x+5)(x-5) = x2- 25（2）x2 + 2x -3 = (x+3)(x-1)（3）2(a-b) = 2a-2b（4）2x2-8y2 =2(x-2y) (x+2y)（5）2m(m-n) = 2m2- 2mn（6）4x2- 4x + 1 = (2x-1)2辨一辨判断下列各式是不是因式分解：（1）x2 + x = x (x+1)（2）(y +1) (y-1) = y2-1（3）4x3-4x = 4x (x2-1)（4）5a - a2 = a (5-a)（5）x2- xy2 = x (x-y)2（6）-x2 - 2x -1 = - (x+1)22.因式分解和整式的乘法有互逆关系，因此可以用整式的乘法运算，来检验因式分解例1检验下列因式分解是否正确:(1) x²y-xy=xy (x-y)(2) 2x²-1=(2x+1)(2x-1)(3) x²+3x+2=(x+1)(x+2)因式分解要注意以下几点：1、分解的对象必须是多项式。

14.3 因式分解1．因式分解(1)定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．(2)因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法是相反方向的变形．如：(a＋b)(a－b)a2－b2.即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式(整式乘法)是“积化和”，而因式分解则是“和化积”，故可以用整式乘法来检验因式分解的正确性．谈重点因式分解的理解(1)因式分解专指多项式的恒等变形，等式的左边必须是多项式，右边每个因式必须是整式．(2)因式分解的结果必须要以积的形式表示，否则不是因式分解．(3)因式分解中每个括号内如有同类项要合并，因式分解的结果要求必须将每个因式分解彻底．【例1】下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是()．A．a(x＋y)＝ax＋ayB．y2－4y＋4＝y(y－4)＋4C．10a2－5a＝5a(2a－1)D．y2－16＋y＝(y＋4)(y－4)＋y2．公因式(1)定义多项式的各项中都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．(2)确定多项式的公因式的方法确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑，确定公因式时：一看系数，二看字母，三看指数．解技巧确定公因式的方法确定公因式的方法：(1)对于系数(只考虑正数)，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数．(2)对于字母，需考虑两条，一是取各项相同的字母；二是各相同字母的指数取次数最低次，即取相同字母的最低次幂．最后还要根据情况确定符号．【例2】把多项式6a3b2－3a2b2－12a2b3分解因式时，应提取的公因式是()．A．3a2b B．3ab2C．3a3b3D．3a2b23．提公因式法(1)定义一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．(2)提公因式的步骤①确定应提取的公因式；②用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；③把多项式写成这两个因式的积的形式．警误区提公因式要彻底(1)所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不能还有公因式；(2)如果多项式的首项系数是负数，应先提出“－”号．可按下列口诀分解因式：各项有“公”先提“公”，首项有“负”先提“负”，某项提出莫漏“1”，括号里面分到“底”．【例3】用提公因式法分解因式：(1)12x2y－18xy2－24x3y3；(2)5x2－15x＋5；(3)－27a2b＋9ab2－18ab；(4)2x(a－2b)－3y(2b－a)－4z(a－2b)．4．用平方差公式分解因式(1)因式分解的平方差公式两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即a2－b2＝(a＋b)(a－b)．这个公式就是把整式乘法的平方差公式等号左右两边颠倒过来．(2)平方差公式的特点左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；右边是两个数(或整式)的和与这两个数(或整式)的差的积．凡是符合平方差公式左边特点的多项式都可以用这个公式分解因式．【例4】把下列多项式分解因式：(1)4x2－9；(2)16m2－9n2；(3)a3b－ab；(4)(x＋p)2－(x＋q)2.5．用完全平方公式分解因式(1)因式分解的完全平方公式两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.这个公式就是把整式乘法的完全平方公式等号左右两边颠倒过来．(2)完全平方公式的特点左边是一个三项式，其中两项同号且均为一个整式的平方(平方项)，另一项是平方项幂的底数的2倍(乘积项)，符号可正也可负，右边是两个整式的和(或差)的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号．【例5】把下列多项式分解因式：(1)x2＋14x＋49；(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9；(3)3ax2＋6axy＋3ay2；(4)－x2－4y2＋4xy.6．因式分解的一般步骤根据多项式的特点灵活选择分解因式的方法，其一般步骤可概括为：一提、二套、三查．一提：如果多项式的各项有公因式，首先考虑提取公因式；二套：提公因式后或没有公因式可提，就要考虑运用公式法，即平方差公式或完全平方公式；三查：因式分解一定要分解到不能分解为止，要检查每个因式是否还可以继续分解．7．运用公式法分解因式易出现的错误在分解因式时，多项式的项数若是两项，且含有平方项，则考虑用平方差公式进行分解因式．若多项式是三项式，则考虑用完全平方公式．在应用公式法分解因式时常出现的错误是：对公式的结构特征掌握不熟，理解不透彻，易出现符号、项数上的错误，二次项、一次项系数搞错，把两个公式混淆等．8 关于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).事实上：x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q).∴x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).利用这个公式，可以把二次三项式因式分解，当p=q时，这个式子化成x2+2px+p2或x2+2qx+q2，是完全平方式，可以运用公式分解因式.例如：把x2+3x+2分解因式.(分析)因为二次三项式x2+3x+2的二次项系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，这是一个x2+(p+q)x+pq型式子.解：x2+3x+2=(x+1)(x+2)例3 把下列各式分解因式.(1)x2+7x+10；(2)x2-2x-8；(3)y2-7y+10；(4)x2+7x-18.【例6】 把下列各式分解因式：(1)18x 2y －50y 3；(2)ax 3y ＋axy 3－2ax 2y 2.【例7】 下列各式能用完全平方公式分解因式的是( )．①4x 2－4xy －y 2；②x 2＋25x ＋125；③－1－a －a 24；④m 2n 2＋4－4mn ；⑤a 2－2ab ＋4b 2；⑥x 2－8x ＋9.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 练习：（1）6a-a 2-9；2）-8ab-16a 2-b 2；（3）2a 2-a 3-a ；（4）4x 2+20（x-x 2）+25（1-x ）2 自我评价 知识巩固1.若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m 的值等于( )A.3B.-5C.7.D.7或-12.若(2x)n -81=(4x 2+9)(2x+3)(2x-3)，则n 的值是( )A.2B.4C.6D.83.把(a +b)-4(a 2-b 2)+4(a -b)2分解因式的结果是( )A.(3a -b)2B.(3b+a )2C.(3b-a )2D.(3a +b)24.把(5x-2y)2+(2x+5y)2分解因式为( )A.2(5x-2y)2B.-2(5x-2y)2C.29(x 2+y 2)D.以上都不对5.若多项式x 2+pxy+qy 2=(x-3y)(x+3y)，则p,q 的值依次为( )A.-12,-9B.-6,9C.-9,-9D.0,-96.分解因式：4x 2-9y 2= .7.利用因式分解计算：2224825210000 = . 8.若x=3.2，y=6.8，则x 2+2xy+y 2= .9.把多项式4-4(a -b)+(a -b)2分解因式的结果是 .10.计算：12-22+32-42+52-62+72-82+92-102= .11.分解因式.(1)(x+y)2-9y 2；(2)a 2-b 2+a +b ；(3)10b(x-y)2-5a (y-x)2；(4)(a b+b)2-(a +1)2；(5)(a 2-x 2)2-4a x(x-a )2；(6)(x+y+z)2-(x-y+z)2.12.已知x-y=1,xy=2，求x 3y-2x 2y 2+xy 3的值.13.已知x-y=2，x 2-y 2=6，求x 与y 的值.14.利用因式分解计算19992+1999-20002.15.解方程(65x+63)2-(65x-63)2=260.16.已知a ,b,c 是△ABC 的三边，且满足关系式a 2+c 2=2a b+2bc-2b 2，试说明△ABC 是等边三角形.17.当a ，b 为何值时，多项式a 2+b 2-4a+6b+18有最小值？并求出这个最小值.18利用因式分解计算下列各题.(1)7.6×199.9+4.3×199.9-1.9×199.9；(2)20022-4006×2002+20032；(3)5652×11-4352×11；(4)(543)2-(241)2.例10 计算200420032004200365654343212122222222+-+++-++-++- .2.已知多项式x 3+kx+6有一个因式x+3，当k 为何值时，能分解成三个一次因式的积？并将它分解.3.如果x+y=0，试求x 3+x 2y+xy 2+y 3的值.4.试说明无论m ，n 为任何有理数，多项式4m 2+12m+25+9n 2-24n 的值为非负数.11.分解因式.(1)(a -2b)2-16a 2； (2)x 3-x 2-4x+4.12.若3x 3-x=1，则9x 4+12x 3-3x 2-7x+2004的值等于多少？。

一元二次方程因式分解法因式分解法导学案一、新课导入1.导入课题：情景：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖起上抛，那么经过x s后物体离地面的高度（单位：m）为：10x-4.9x2.问题1：你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？问题2：设物体经过x s落回地面，请说说你列出的方程.问题3：你能用配方法或公式法解这个方程吗？是否还有更简单的方法呢？（板书课题）2.学习目标会用因式分解法解一元二次方程．3.学习重、难点：重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：熟练运用.二、分层学习第一层次学习1.自学指导（1）自学内容：课本P12——P13页的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：可先解答②，再解答①.（4）自学参考提纲：①解方程10x-4.9x2=0.分解因式：左边提公因式，得___________=0，降次：把方程化为两个一次方程，得___________或___________，求解：解这两个一次方程，得x1= , x2= .②将一个多项式进行因式分解，通常有哪几种方法？用因式分解法解一元二次方程的依据是：如果ab=0，则__________或___________.③请小结因式分解法解一元二次方程的步骤：④解下列方程：(2)(3)0x x-⋅-=；24110x x-=.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：是否理解用因式分解法解一元二次方程的依据，用因式分解法解方程的步骤有哪些？②差异指导：根据学情进行个别或分类指导.（2）生助生：小组内互相交流、研讨.4. 强化：第一步，把方程变形为的形式；第二步，把方程变形为的形式；第三步，把方程降次为两个一次方程( )=0或( )=0的形式；第四步，解两个一次方程求出方程的根.②点两名学生板演第④题，并点评.第二层次学习1.自学指导（1）自学内容：课本P14例3.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：先独立作业，然后小组订正.（4）自学参考提纲：①方程x(x-2)+x-2=0左边可用____________法进行因式分解，分解为______________.②方程（2）左右两边都有含未知数的项，因式分解的方式不明确，因此，可先将其化为一般形式_____________________，再用____________法对左边进行因式分解.③说说运用因式分解法解一元二次方程要注意哪些问题.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：了解学生对运用因式分解法解一元二次方程的方法是否掌握了.②差异指导：指导学生观察题目特点，选用适当的方法分解因式.（2）生助生：同桌之间互相改错、分析错因.4.强化：（1）点6名学生板演，并点评.（2）运用因式分解法解一元二次方程要注意的问题.三、评价1.学生学习的自我评价：我知道哪些因式分解的方法？会运用因式分解法解一元二次方程吗？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生的学习态度、积极性、学习效果和存在的问题等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.。

专题复习：因式分解姓名：班级：学号：一．知识点回顾定义：把一个多项式化成了的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：①提公因式法：pa+pb+pc= ；①公式法：a2b2= ；a2+2ab+b2=(a b)2；a22ab+b2=(a b)2。

①分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=①十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=二、题型梳理【题型一：因式分解计算题】例1.分解因式：（x2﹣y2）+（x+y）＝．【变式11】（1）x3y﹣16xy；（2）﹣3a2+6ab﹣3b2（3）（y2﹣1）2﹣6（y2﹣1）+9；（4）2a（x﹣y）﹣6b（y﹣x）；【题型二：利用因式分解求值】例2.（1）若x2﹣（m+1）x+9是一个完全平方式，则m的值为.（2）将(2x)n−81因式分解后得(4x2+9)(2x+3)(2x−3)，那么n等于.)(x+b)，求a、b的值．【变式21】把多项式x3+ax分解因式得x(x−12【变式22】（1）把多项式x2﹣6x+m分解因式得（x+3）（x﹣n），则m+n的值是．（2）已知三次四项式2x3−5x2−6x+k分解因式后有一个因式是x−3，试求k的值及另一个因式．【题型二：因式分解在有理数简算中的应用】例3.利用因式分解计算：(1)(−2)101+(−2)100；(2)2022+982+202×196．【变式31】计算：2020×512－2020×492的结果是．【变式32】利用因式分解计算：（1）1002−992+982−972+⋯+42−32+22−12（2）1+24(52+1)(54+1)(58+1)⋅…⋅(532+1)【题型三：利用因式分解确定三角形的形状】例4.已知a、b、c为①ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则①ABC为三角形．【变式41】若①ABC三边a、b、c满足a2−ab−ac+bc=0，则①ABC是三角形．【变式42】已知：a，b，c是三角形的三边，且满足(a+b+c)2=3(a2+b2+c2)．求证：这个三角形是等边三角形．三、能力提升1.先阅读下面的内容，再解决下列问题：例题：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．解：①m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，①(m2＋2mn＋n2)＋(n2－6n＋9)＝0.①(m＋n)2＋(n－3)2＝0.①m＋n＝0，n－3＝0.①m＝－3，n＝3.（1）若x2＋2y2－2xy＋6y＋9＝0，求x2的值；（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2＋b2－6a－4b＋13＋|3－c|＝0，请问△ABC是怎样形状的三角形？四、课堂总结1.因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。