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2020年云南省高考数学二模试卷（二）（有答案解析）2020年云南省高考数学二模试卷（二）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合S={-4，-3，6，7}，T={x|x2＞4x}，则S∩T=（）A. {6，7}B. {-3，6，7}C. {-4，6，7}D. {-4，-3，6，7}2.已知i为虚数单位，设z=1+，则复数z在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知P（3，4）是角α的终边上的点，则cos（π+α）=（）A. -B. -C.D.4.在等比数列{a n}中，若a4，a3，a5成等差数列，则数列{a n}的公比为（）A. 0或1或-2B. 1或2C. 1或-2D. -25.执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 66.如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.7.已知直线是圆C：的对称轴,过点作圆C的一条切线,切点为B,则A. 2B. 6C.D.8.已知点O（0，0），A（-1，3），B（2，-4），．若点P在y 轴上，则实数m的值为（）A. B. C. D.9.若A、B、C、D、E五位同学随机站成一排照相，则A站正中间且B与C相邻的概率为（）A. B. C. D.10.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的顶点都在球O的球面上，AB=AC=2，BC=2，若球O的表面积为72π，则这个直三棱柱的体积是（）A. 16B. 15C. 8D.11.若椭圆E：=1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1、F2，双曲线-=1的一条渐近线与椭圆E在第一象限交于点P，线段PF2的中点的纵坐标为0，则椭圆E 的离心率等于（）A. B. C. D.12.已知a=3，b=log2425，c=log2526，则a，b，c的大小关系是（）A. a＞b＞cB. a＞c＞bC. c＞b＞aD. b＞c＞a二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.（1+2x）7的展开式中第4项的系数是______ （用数字作答）14.若x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值是______．15.已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2a n-n，则使a n≤10n成立的n的最大值是______．16.已知平面向量=（sin x，1），，若函数f（x）=在[-m，m]上是单调递增函数，则f（2m）的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a sin B-=0．（1）求A；（2）若a=3，当△ABC的面积最大时，求b，c．18.在某市创建全国文明城市的过程中，创文专家组对该市的中小学进行了抽检，其中抽检的一个环节是对学校的教师和学生分别进行问卷测评．如表是被抽检到的5所学校A、B、C、D、E的教师和学生的测评成绩（单位：分）：学校A B C D E教师测评成绩x9092939496（1）建立y关于x的回归方程；（2）现从A、B、C、D、E这5所学校中随机选2所派代表参加座谈，用X表示选出的2所学校中学生的测评成绩大于90分的学校数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．附：，=--．19.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC，四边形BCC1B1是菱形，∠BB1C1=．（1）求证：BC⊥AB1；（2）若平面BCC1B1⊥平面ABC，∠ABC=，BC=4，求二面角B1-AC1-A1的正弦值．20.已知O是坐标原点，抛物线C：x2=y的焦点为F，过F且斜率为1的直线l交抛物线C于A、B两点，Q为抛物线C的准线上一点，且∠AQB=．（1）求Q点的坐标；（2）设与直线l垂直的直线与抛物线C交于M、N两点，过点M、N分别作抛物线C的切线l1、l2，设直线l1与l2交于点P，若OP⊥OQ，求△MON外接圆的标准方程．21.已知函数f（x）=e x-ax2．（1）证明：当x≥0时，e x＞x2；（2）若f（x）有极大值，求a的取值范围；（3）若f（x）在x0处取极大值，证明：1．22.在直角坐标系xOy中，点（）在曲线C：（φ为参数）上，对应参数为φ=．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的极坐标为（2，）．（1）直接写出点P的直角坐标和曲线C的极坐标方程；（2）设A，B是曲线C上的两个动点，且OA⊥OB，求|OA|2+|OB|2的最小值．23.已知函数f（x）=|x2-1|．（1）解关于x的不等式f（x）≥2；（2）设a＞0，若关于x的不等式f（x）+5≤ax的解集非空，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：T={x|x＜0，或x＞4}；∴S∩T={-4，-3，6，7}．故选：D．可求出集合T，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：D解析：解：∵z=1+=，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（2，-2），位于第四象限．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：B解析：解：∵已知P（3，4）是角α的终边上的点，则cos（π+α）=-cosα=-=-，故选：B．由题意利用诱导公式、任意角的三角函数的定义，求得要求式子的值．本题主要考查诱导公式、任意角的三角函数的定义，属于基础题．4.答案：C解析：解：等比数列{a n}的公比设为q，若a4，a3，a5成等差数列，则2a3=a4+a5，即2a1q2=a1q3+a1q4，即为q2+q-2=0，解得q=1或-2，故选：C．等比数列的公比设为q，由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q．本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项性质，以及方程思想和运算能力，属于基础题．5.答案：B解析：解：第一次，S=log23，n=2，S≥3，否，第二次，S=log23+log22=1+log23，n=3，S≥3，否，第三次，S=1+log23+log2=1+log25，n=4，S≥3，是，则输出n=4，故选：B．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．解析：【分析】本题考查几何体的表面积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．由几何体的三视图得：该几何体是三棱锥S-ABC，其中平面SAC⊥ABC，SA=AB=BC=SC=SB=2，AC=4，由此能求出该几何体的表面积．【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是三棱锥S-ABC，其中平面S AC⊥ABC，SA=AB=BC=SC=SB=2，AC=4，如图，∴SA⊥SC，AB⊥BC，∴该几何体的表面积为：S=2（S△SAC+S△SAB）=2×（）=8+4．故选：A．7.答案：B解析：【分析】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay-1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．【解答】解：∵圆C：x2+y2-4x-2y+1=0，即（x-2）2+（y-1）2=4，∴圆C表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+ay-1=0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a-1=0，∴a=-1，点A（-4，-1）．∵AC==2，CB=R=2，∴切线的长|AB|===6．故选B．8.答案：A解析：解：∵O（0，0），A（-1，3），B（2，-4），∴=（-1，3），=（3，-7），∵点P在y轴上，∴设=（0，y），∵，∴（0，y）=（-1，3）+m（3，-7）=（-1+3m，3-7m）∴-1+3m=0，∴m=．故选：A．利用坐标来表示平面向量的运算，因为点P在y轴上，所以它的横坐标为0，从而得到答案．本题考查了利用坐标来表示平面向量的运算，属于基础题．9.答案：B解析：解：A、B、C、D、E五位同学随机站成一排照相，基本事件总数n=A=120，A站正中间且B与C相邻包含的基本事件个数m==8，∴A站正中间且B与C相邻的概率为p==．故选：B．基本事件总数n=A=120，A站正中间且B与C相邻包含的基本事件个数m==8，由此能求出A站正中间且B与C相邻的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：A解析：解：如图：∵AB=AC=2，BC=2，∴∠BAC=90°，取BC，B1C1的中点E，F，则EF的中点O为直三棱柱的外接球的球心，由S球=4πR2=72π，得R=3，∴EF=2=2=8，又S△ABC=×AB×AC=×2×2=2，所以这个直三棱柱的体积V=EF×S△ABC=8×2=16．故选：A．先根据勾股定理判断出底面是等要直角三角形，再判断出EF的中点为直三棱柱的外接球的球心，根据球的面积得出球的半径，根据勾股定理得到直三棱柱的高，最后根据柱体体积公式可求得．本题考查了球的体积和表面积，属中档题．11.答案：C解析：解：由题可得点F2（0，-c），由线段PF2的中点的纵坐标为0，得点P的纵坐标为c，将点P的纵坐标c代入椭圆=1结合点P在第一象限，得点P的横坐标为，由双曲线-=1，得渐近线y=x在第一象限交于点P（，c），将点P（，c），代入y=x，得?15（a2-c2）-16ac=0，即15（1-e2）-16e=0，由0＜e＜1，得e=，故选：C．求出椭圆的焦点坐标，利用已知条件，求解交点坐标，转化求解椭圆的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．12.答案：D解析：解：∵0＜a=3＜30=1，b=log2425＞c=log2526＞log2525=1，∴a，b，c的大小关系是b＞c＞a．故选：D．利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.答案：280解析：解：（1+2x）7的展开式的通项为∴（1+2x）7的展开式中第4项的系数是?23=280，故答案为：280．（1+2x）7的展开式的通项为，从而可得结论．本题考查展开式的通项公式，考查学生的计算能力，属于基础题．14.答案：3解析：解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图易得，当x=2，y=-1时，目标函数z=2x+y的最大值为3故答案为：3．先满足约束条件的可行域，然后将各个角点的坐标代入目标函数的解析式，分析比较后，即可得到目标函数z=2x+y的最大值．15.答案：5解析：【分析】本题考查数列的通项公式的求法及应用，函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转化能力，属于基础题．首先求出数列的通项公式进一步利用函数的性质的应用求出结果．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2a n-n，①当n=1时，解得：a1=1．则当n≥2时，S n-1=2a n-1-n+1，②①-②得：a n=2a n-1+1，所以：a n+1=2（a n-1+1），即：（常数）所以：数列{a n+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列，故：，解得：．,解得,故答案为：5.16.答案：[1，2]解析：解：由平面向量=（sin x，1），，得f（x）==+cos x=2sin（2x+），令2k，解得k，k∈Z，又函数f（x）在[-m，m]上是单调递增函数，则0，则0，则＜4m≤，即1≤f（2m）≤2，故答案为：[1，2]．由三角恒等变换中的辅助角公式得：由平面向量=（sin x，1），，得f令2k，解得k，k∈Z，又函数f（x）在[-m，m]上是单调递增函数，则0，则0，则＜4m≤，即1≤f（2m）≤2，得解．本题考查了三角恒等变换中的辅助角公式及三角函数的值域问题，属中档题．17.答案：解：（1）∵a sin B-=0，∴2R sin A sin B-2R sin B cos A=0．化简得：sin A-cos A=0．∴tan A=．∵0＜A＜π，∴A=．（2）∵a=3，A=，∴9=b2+c2-2bc cos A=b2+c2-bc．∵b2+c2≥2bc，∴bc≤9．∴S=bc sin A=bc≤．∵当b=c时，bc=9，即b=c=3时，S=．∴S的最大值为，此时，b=c=3．解析：（1）由正弦定理进行化简可得sin A-cos A=0，求得A=；（2）由a=3，A=，结合余弦定理求得bc≤9，再由面积公式S=bc sin A=bc，求得答案即可．本题主要考查了用正余弦定理解三角形，合理熟练运用公式是解题的关键，属于基础题．18.答案：解：（1）依据题意计算得：==93，==90，=9+1+0+1+9=20，（x i-）（y i-）=（-3）×（-3）+（-1）×（-1）+0×（-1）+1×2+3×3=21，∴==，=-=90-=-．∴所求回归方程为=x-．（2）由题设得随机变量X的可能取值为0，1，2．由已知得P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==．PE（X）=0×+1×+2×=．解析：（1）求出回归系数，可得回归方程；（2）X的取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求X的分布列和数学期望．本题考查回归直线方程，考查求离散型随机变量的分布列和数学期望，正确计算是解题的关键．19.答案：证明：（1）取BC的中点O，连接AO，B1O，B1C．∵AB=AC，∴BC⊥AO．∵BCC1B1是菱形，∠BB1C1=，∴，B1B=BC．∴△B1BC是正三角形．∴BC⊥B1O．∵AO?平面AOB1，B1O?平面AOB1，B1O∩AO=O，∴BC⊥平面AOB1．∵AB1?平面AOB1，∴BC⊥AB1．解：（2）∵，AB=AC，∴△ABC是以BC为底的等腰直角三角形．∵BC=4，∴AO=BO=CO=2．∴B1O=BB1sin=2．∵平面BCC1B1⊥平面ABC，平面BCC1B1∩平面ABC=BC，B1O?平面AOB1，B1O⊥BC，∴B1O⊥平面ABC．∵AO?平面ABC，BO?平面ABC，∴B1O⊥AO，B1O⊥BO．再由（1）得AO，BO，B1O两两互相垂直．分别以射线OA，OB，OB1为x轴，y轴，z轴的非负半轴，建立空间直角坐标系O-xyz，可得A（2，0，0），B1（0，0，2），C（0，-2，0），C1（0，-4，2），∴=（2，0，-2），=（0，-4，0），设平面AB1C1的一个法向量为=（x，y，z），则．取z=1，得x=，∴=（）是平面AB1C1的一个法向量．同理可得平面AA1C1的一个法向量=（-，1）．∴二面角B1-AC1-A1的正弦值为．解析：（1）要证BC⊥AB1，需证BC⊥平面AOB1，即证BC⊥B1O，BC⊥AO．（2）以射线OA，OB，OB1为x轴，y轴，z轴的非负半轴，建立空间直角坐标系O-xyz，计算两个半平面的法向量，代入公式，即可得到结果．本题考查直线与平面之间垂直位置关系，空间向量、二面角的概念、考查以及空间想象能力和逻辑推理能力．考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：（1）由已知得直线l的方程为：y=x+，设Q（m，-），A（x A，y A），B（x B，y B）；由，得4x2-4x-1=0，且△=（-4）2+4×4＞0；∴x A+x B=1，x A x B=-；由∠AQB=，得?=0，又=（m-x A，--y A），=（m-x B，--y B），∴（m-x A）（m-x B）+（--y A）（--y B）=0，整理得2x A x B+（-m）（x A+x B）+m2+=0；∴2×（-）+（-m）×1+m2+=0，解得m=；∴Q点的坐标为（，-）；（2）设M（x1，），N（x2，），直线MN：y=-x+t，由已知得l1：y=2x1x-，l2：y=2x2x-，解，得；∴P（，x1x2）；由，得x2+x-t=0；由题意得△=1+4t＞0，即t＞-，∴，P（-，-t）；∵OP⊥OQ，∴?=-+=0，解得t=1；∴，∴?=x1x2+=0，∴OM⊥ON，∴MN为△MON外接圆的直径；又∵==，|MN|===，∴△MON外接圆的圆心为（-，），半径为；∴△MON外接圆的标准方程为+=．解析：（1）由题易知直线l的方程，设点Q的坐标，直线与抛物线方程联立，由根与系数的关系以及垂直关系，列方程求得点Q的坐标；（2）设出直线MN的方程，由已知表示直线l1，l2，联立方程求得点P的坐标，由垂直关系利用向量数量积为0，求得△MON的外接圆直径，从而求得外接圆的方程．本题考查了直线与圆锥曲线的综合知识，理解题意，分析转化是解题的关键，属于难题．直线与圆锥曲线的解题步骤为：（1）设出点和直线的方程（考虑斜率的存在）；（2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式），利用韦达定理；（3）转化，由题已知转化为数学公式；（4）计算，细心计算．21.答案：解：（1）证明：当a=1时，f（x）=e x-x2，f′（x）=e x-2x，令φ（x）=f′（x），则φ′（x）=e x-2．∴当0＜x＜ln2时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减；当x＞ln2时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增．∴当x≥0时，φ（x）min=φ（ln2）=2（1-ln2）＞0．∴当x≥0时，f′（x）＞0，f（x）在[0，+∞）上单调递增．∴当x≥0时，f（x）＞f（0）=1＞0，即e x＞x2；．（2）解：由题设得f′（x）=e x-2ax，由f（x）有极大值得f′（x）=0有解，且a＞0．令g（x）=f′（x），则g′（x）=e x-2a．由g′（x）=0得x=ln（2a）．∴当x＜ln（2a）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞ln（2a）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．∴g（x）min=g（ln2a）=2a（1-ln2a）．当g（x）min≥0，即0＜a≤时，g（x）≥0，即f′（x）≥0，此时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，无极值；当g（x）min＜0，即a时，g（0）=1＞0，g（ln2a）=2a（1-ln2a）＜0．由（1）知：g（2a）=e2a-（2a）2＞0，即2a＞2ln2a＞ln2a．∴存在x1∈（0，ln2a），x2∈（ln2a，2a），使g（x1）=g （x2）=0．∴x1是f（x）唯一的极大值点．综上所述，所求a的取值范围为（，+∞）．（3）证明：由（2）知：当a＞时，f（x）有唯一的极大值点x0=x1∈（0，ln2a），且g（1）=e-2a＜0，故x0∈（0，1），由（2）知：f（x0）＞f（0）=1．当a=时，f（x）=e x-x2．由（2）知：f（x）在（-∞，+∞）上单调递增．∴当x＜1时，f（x）＜f（1）=，即e x-x2＜．∴当a＞时，f（x0）=e-ax02＜e--x02＜-．综上所述，1＜f（x0）＜．解析：（1）当a=1时，f（x）=e x-x2，f′（x）=e x-2x，研究函数的单调性与最值即可证明不等式；（2）由题设得f′（x）=e x-2ax．由f（x）有极大值得f′（x）=0有解，且a＞0．利用极大值定义即可建立a的不等关系；（3）由（2）知：当a＞时，f（x）有唯一的极大值点x0=x1∈（0，ln2a），且g（1）=e-2a＜0，故x0∈（0，1），结合函数的单调性即可证明．本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性最值等基础知识，考查综合分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力．22.答案：解：（1）点P的直角坐标为（，1），曲线C的极坐标方程为ρ2=．（2）由（1）知曲线C：ρ2=．由A，B是曲线C上的两个动点，且OA⊥OB，不妨设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+），且|OA|2=ρ12=，|OB|2=ρ22==．∴|OA|2+|OB|2=ρ12+ρ22=+，=≥=．当sin22θ=1时，|OA|2+|OB|2的最小值为．|OA|2+|OB|2的最小值为．解析：（1）由极坐标公式可得P的直角坐标为（，1），将点（，）和φ=代入求得k=1，m=2，则曲线方程x2+=1，求得极坐标方程ρ2=；（2）设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+），易知|OA|2=，|OB|2=，所以|OA|2+|OB|2=，sin22θ=1时，|OA|2+|OB|2的最小值为．本题考查了参数方程与极坐标方程的综合知识，熟悉方程之间的转化以及极坐标方程的定义是解题的关键，属于中档题．23.答案：．解：（1）由f（x）≥2得|x2-1|≥2，即x2-1≥2或x2-1≤-2．解x2-1≥2得x或x．由x2-1≤-2得x2≤-1，不成立．∴x2-1≤-2无实数解．∴原不等式的解集为（-∞，-]∪[，+∞）．（2）∵f（x）+5≤ax的解集非空，即|x2-1|+5≤ax有解，当x≤0时，由a＞0得ax≤0，|x2-1|+5＞0，∴当x≤0时，|x2-1|+5≤ax无解．①当0＜x≤1时，不等式|x2-1|+5≤ax化为a=-x．∵函数h（x）=-x在（0，1]上为单调递减函数，∴当x∈（0，1]时，h（x）=-x的最小值为h（1）=5．∴．a≥5②当x≥1时，由|x2-1|+5≤ax得a≥=x+，而x+≥2=4（x=2时，等号成立）即x+的最小值为4．∴a≥4．综上所述，a的取值范围是[4，+∞）．解析：（1）由题，可得|x2-1|≥2，解得答案解集为（-∞，-]∪[，+∞）；（2）f（x）+5≤a的解集非空，即|x2-1|+5≤ax有解，分x≤0，0＜x≤1，x≥1三种情况讨论求解即可本题考查了不等式的选讲，绝对值不等式的解法以及不等式恒成立的问题，属于中档题。
云南省曲靖市陆良县联办中学2020年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（）参考答案：C略2. 由曲线，直线所围成的平面图形的面积为( )A.B．2－ln 3 C．4＋ln 3 D．4－ln 3参考答案：【知识点】定积分在求面积中的应用．B13D 解析：由xy=1，y=3可得交点坐标为（，3），由xy=1，y=x可得交点坐标为（1，1），由y=x，y=3可得交点坐标为（3，3），∴由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（3﹣）dx+（3﹣x）dx=（3x﹣lnx）+（3x﹣x2）=（3﹣1﹣ln3）+（9﹣﹣3+）=4﹣ln3，故选：D．【思路点拨】确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可得到结论．3. 已知函数的值域为R,则k的取值范围是（）A． O <k<l B． C． D．参考答案：C4. 已知a是实数，是纯虚数，则a等于（）．DB，因为结果是纯虚数，所以,故a=1.5. 将某师范大学4名大学四年级学生分成2人一组，安排到A城市的甲、乙两所中学进行教学实习，并推选甲校张老师、乙校李老师作为指导教师，则不同的实习安排方案共有（）A．24种B．12种C．6种D．10种参考答案：B【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：1、把4名大四学生分成2组，每2人一组，2、将分好的2组对应甲、乙两所中学，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：1、把4名大四学生分成2组，每2人一组，有C42C22=3种分组方法，2、将分好的2组对应甲、乙两所中学，有A22=2种情况，推选甲校张老师、乙校李老师作为指导教师，则不同的实习安排方案共有3×2A22=12种；故选：B．6. 在平行四边形ABCD中，若则( )A. B. C. D.参考答案：C【分析】由，,利用平面向量的数量积运算,先求得利用平行四边形的性质可得结果.【详解】如图所示,平行四边形中, ,，，,因为,所以,，所以，故选C.【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.7. 已知函数的定义域是值域是[0，1]，则满足条件的整数对共有（）A．2个 B．5个 C．6个 D．无数个参考答案：B8. 若，，，如果有，，则值为（）．0 1参考答案：B9. 已知等比数列{a n}满足log2a3+log2a10=1，且a5a6a8a9=16，则数列{a n}的公比为（）A．2 B．4 C．±2D．±4参考答案：A【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】等比数列{a n}满足log2a3+log2a10=1，可得a n＞0，a3a10=2．又a5a6a8a9=16， =16，可得a4a10．即可得出公比q．【解答】解：∵等比数列{a n}满足log2a3+log2a10=1，∴a n＞0，a3a10=2．又a5a6a8a9=16， =16，∴a4a10=4．则数列{a n}的公比==2．故选：A．【点评】本题考查了对数运算性质、等比数列的通项公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10. 若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数，如．若，则．参考答案：12. 在△ABC所在平面内一点P，满足，延长BP交AC于点D，若，则λ=．参考答案：【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】用特殊值法，不妨设△ABC是等腰直角三角形，腰长AB=AC=1，建立直角坐标系，利用坐标法和向量共线，求出点D的坐标，即可得出λ的值．【解答】解：根据题意，不妨设△ABC是等腰直角三角形，且腰长AB=AC=1，建立直角坐标系，如图所示，则A（0，0），B（1，0），C（0，1），∴=（1，0），=（0，1）；∴=+=（，），∴=﹣=（﹣，）；设点D（0，y），则=（﹣1，y），由、共线，得y=，∴=（0，），=（0，1），当时，λ=．故答案为：．13. 若实数满足，则的值域是 .参考答案：令，则，做出可行域，平移直线，由图象知当直线经过点是，最小，当经过点时，最大，所以，所以，即的值域是.14. 设向量的模分别为1,2，它们的夹角为，则向量与的夹角为_____．参考答案：【分析】分别求解出和，利用向量夹角的计算公式求解得到夹角余弦值，从而得到所求夹角.【详解】又向量与的夹角为：本题正确结果：15. 在扇形中，，弧的长为，则此扇形内切圆的面积为．参考答案：16. 若执行如下图所示的框图，输入x1＝1，x2＝2，x3＝4，x4＝8，则输出的数等于________．参考答案：17. 已知双曲线的右焦点为若以为圆心的圆与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为▲ .参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年云南省曲靖市陆良县高考数学二模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={1，3，5，7，9，11}，B={5，9}，则∁A B=（）A. {5，9}B. {1，3，7，11}C. {1，3，7，9，11}D. {1，3，5，7，9，11}2.已知复数z满足（2-i）Z=|3+4i|，则Z=（）A. -2-iB. 2-iC. -2+iD. 2+i3.已知命题p：∀x＞0，x3≤0，那么￢p是（）A. ∀x＞0，x3＞0B. ∀x＜0，x3＞0C.D.4.图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（）A. 6B. 10C. 7D. 165.已知α∈（，π），且sinα+cosα=-，则cos2α=（）A. B. C. D.6.设a=20.5，b=0.52，c=log20.5，则a，b，c的大小关系为（）A. c＞a＞bB. c＞b＞aC. a＞b＞cD. b＞a＞c7.设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（-x）=f（x），则（）A. f（x）在单调递减B. f（x）在（，）单调递减C. f（x）在（0，）单调递增D. f（x）在（，）单调递增8.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左右焦点为F1，F2，过左焦点F1作垂直于x轴的直线交双曲线的两条渐近线于M，N两点，若∠MF2N是直角，则双曲线的离心率是（）A. B. C. 3 D. 49.已知正方体的棱长为1，是棱的中点，点在正方体内部或正方体的表面上，且平面，则动点的轨迹所形成的区域面积是（）A. B. C. D.10.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.11.已知点A（3，0），过抛物线y2=8x上一点P的直线与直线x=-2垂直相交于点B，若|PB|=|PA|，则P的横坐标为（）A. B. 2 C. D. 112.已知关于x的方程e x-2x-k=0有2个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. （-∞，2-2ln2]B. （-∞，2-2ln2）C. [2-2ln2，+∞）D. （2-2ln2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知平面向量，，若，则实数m等于______．14.如图，点D是△ABC的边BC上一点，AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，那么∠ADB=______，AC=______15.若点M（x，y）（其中x，y∈Z）为平面区域内的一个动点，已知点A（3，4），O为坐标原点，则的最小值为______．16.已知函数在区间（-∞，a]上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n满足4a n-3S n=2，其中n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{a n}为等比数列；（Ⅱ）设b n=a n-4n，求数列{b n}的前n项和T n．18.某中学有初中学生1800人，高中学生1200人．为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）写出a的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（Ⅲ）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，AB=2，∠BAD=60°，M是PD的中点．（Ⅰ）求证：OM∥平面PAB；（Ⅱ）求证：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅲ）当三棱锥C-PBD的体积等于时，求PA的长．20.已知椭圆C的离心率为，点在椭圆C上．直线l过点（1，1），且与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点O为坐标原点，延长线段OM与椭圆C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求出此时直线l的方程，若不能，说明理由．21.已知函数f（x）=+x．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（0，1），求实数a的值；（Ⅱ）求证：当a＜0时，函数f（x）至多有一个极值点；22.在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ-）=a，且点A在直线l上（Ⅰ）求a的值和直线l的直角坐标方程及l的参数方程；（Ⅱ）已知曲线C的参数方程为，（α为参数），直线l与C交于M，N两点，求的值23.设函数f（x）=|x-a|+|2x-a|（a＜0）．（1）证明：f（x）+f（-）≥6；（2）若不等式f（x）＜的解集为非空集，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合A={1，3，5，7，9，11}，B={5，9}，由集合补集的定义则∁A B={1，3，7，11}；故选：B．利用补集的定义求解即可．本题考查集合的基本运算，基本知识的考查．2.答案：D解析：解：由（2-i）Z=|3+4i|=5，得Z=．故选：D．把已知等式变形再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：D解析：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，若命题p：∀x＞0，x3≤0，则￢p是：．故选：D．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4.答案：B解析：解：由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10．故选：B．模拟执行算法流程图可知其统计的是数学成绩大于等于90的人数，由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，从而得解．本题考查学生对茎叶图的认识，通过统计学知识考查程序流程图的认识，是一道综合题．5.答案：A解析：解：∵α∈（，π），且sinα+cosα=-，∴1+2sinαcosα=，2sinαcosα=-＜0，…（4分）∴sinα＞0，cosα＜0．cosα-sinα＜0．…（6分）又∵（cosα-sinα）2=1-2sinαcosα=，从而有：cosα-sinα=-，…（9分）∴cos2α=cos2α-sin2α=（cosα-sinα）（cosα+sinα）=（-）×（-）=．…（12分）故选：A．首先将所给式子平方求出2cosαsinα，进而结合α的范围得出cosα-sinα＜0，然后求出cosα-sinα，再利用二倍角的余弦公式求出结果．本题考查了二倍角的余弦，解题过程中要注意根据角的范围判断角的符号，属于中档题．6.答案：C解析：解：∵0＜0.52＜1，20.5＞1，log20.5＜0，∴a＞b＞c，故选：C．利用指数函数y=2x、y=0.5x及对数函数y=log2x的单调性，即可比较出三个数的大小．本题考查了指数函数和对数函数类型数的大小比较，充分理解指数函数和对数函数的单调性是解决问题的关键．7.答案：A解析：【分析】本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握．属于三角中的基本题型．利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与ω的关系确定出ω的值，根据函数的偶函数性质确定出φ的值，再对各个选项进行考查筛选．【解答】解：由于f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=，由于该函数的最小正周期为T=，得出ω=2，又根据f（-x）=f（x），得φ+=+kπ（k∈Z），以及|φ|＜，得出φ=．因此，f（x）=cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选A．8.答案：B解析：解：如图：∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F2，过其左焦点F1作x轴的垂线交双曲线渐近线于M，N两点，∴|MF1|=|NF1|=，|F1F2|=2c，∵∠MF2N是钝角，∴∠MAF2=45°，∴2c=，∴2ac=bc，4a2=c2-a2，解得e=，或e=-舍去故选：B．由已知条件，结合双曲线性质推导出|MF|=|NF|=，|F1F2|=a+c，∠MF2F1=45°，所以2c=，由此能求出双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意数形结合思想的合理运用．9.答案：C解析：【分析】本题考查动点F的轨迹所形成的区域面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．分别取棱CC1、BC、AB、AA1、A1D1的中点M、N、G、Q、P，推导出平面EMNGQP∥平面A1BC1，从而动点F的轨迹所形成的区域是平面EMNGQP，由此能求出动点F的轨迹所形成的区域面积．【解答】解：如图，分别取棱CC1、BC、AB、AA1、A1D1的中点M、N、G、Q、P，则PE∥A1C1∥GN，EM∥A1B∥GQ，PQ∥BC1∥MN，易得：平面EMNGQP∥平面A1BC1，∵点F在正方体内部或正方体的表面上，若EF∥平面A1BC1，∴动点F的轨迹所形成的区域是平面EMNGQP，∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，∴PE=EM=MN=NG=GQ=PQ=，PN=，∴E到PN的距离d==，∴动点F的轨迹所形成的区域面积：S=2S梯形PNME=2×=．故选C．10.答案：B解析：【分析】本题考查三视图求几何体外接球的表面积，由三视图正确复原几何体、确定外接球球心的位置是解题的关键，考查空间想象能力，为中档题．由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，并判断出位置关系，判断出几何体的外接球的球心位置，从而求出外接球的半径，代入求的表面积公式求解即可．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，如图：底面是一个直角三角形，AC⊥BC，D是AB的中点，PD⊥平面ABC，且AC=2、BC=2，PD=2，∴AB==4，AD=BD=CD=2，∴几何体的外接球的球心是D，则球的半径r=2，即几何体的外接球表面积S=4πr2=16π，故选：B．11.答案：A解析：解：由题意，可知F（2，0），∵过抛物线y2=8x上一点P的直线与直线x=-1垂直相交于点B，∴|PB|=|PF|∵|PB|=|PA|，∴|PF|=|PA|，∴P的横坐标为，故选：A．利用抛物线的定义，结合|PB|=|PA|，即可求出点P的横坐标．本题考查抛物线的定义与性质，考查学生的计算能力，比较基础．12.答案：D解析：解：令f（x）=e x-2x，则f′（x）=e x-2，可得f（x）在（-∞，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，当x→-∞时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→+∞，∴关于x的方程e x-2x-k=0有2个不相等的实数根，则k的取值范围是（2-2ln2，+∞）．故选：D．令f（x）=e x-2x，求得f（x）的值域，即可得k的取值范围．本题考查了函数与方程思想，属于中档题．13.答案：解析：解：∵∴∴-1+2m=0解得故答案为利用向量垂直的充要条件数量积为0；利用向量的数量积公式列出方程求出m的值．本题考查向量的数量积运算与向量垂直的充要条件，属容易题14.答案：解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．由已知及余弦定理可求cos∠ADB=-，结合范围∠ADB∈（0，π），即可求得∠ADB=，求得∠ADC，利用正弦定理即可得解AC的值．【解答】解：∵AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，∴由余弦定理可得：cos∠ADB===-，∵∠ADB∈（0，π），∴∠ADB=，∴∠ADC=π-∠ADB=，∴由正弦定理可得：AC===．故答案为，．15.答案：13解析：解：∵点A坐标为（3，4），点M坐标为（x，y）∴z==3x+4y，作出不等式组表示的平面区域，得到如图的区域，其中，可得A（3，1），将直线l：z=3x+4y进行平移，可得当l经过点A时，目标函数z达到最小值，z最小值=3×3+4×1=13．故答案为：13．作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部．根据题意z==3x+4y，将目标函数z=3x+4y对应的直线进行平移，由此可得本题的答案．本题给出二元一次不等式组，求目标函数的取值范围，着重考查了向量的数量积、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．16.答案：[-2，0]解析：解：二次函数在（-∞，0]上为单调递减函数；y=log3（x+2）在（-2，+∞）上为增函数，所以-2≤a≤0，故答案为[-2，0]．根据二次函数和对数函数的单调性进行求解．本题考查分段函数的单调性，属于基础题目．17.答案：解：（Ⅰ）证明：因为4a n-3S n=2，①所以当n=1时，4a1-3S1=2，解得a1=2；当n≥2时，4a n-1-3S n-1=2，②由①-②，得4a n-4a n-1-3（S n-S n-1）=0，所以a n=4a n-1，由a1=2，得a n≠0，故{a n}是首项为2，公比为4的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ），得a n=2×4n-1，所以b n=a n-4n=4n-1-4n，则{b n}的前n项和:T n=（40+41+…+4n-1）-4（1+2+3+…+n）=-4× =-2n2-2n-．解析：本题主要考查数列的通项公式的应用，等比数列的证明，a n与S n的关系，以及等比数列和等差数列的前n项和公式，属于中档题．（Ⅰ）根据数列的递推关系利用作差法即可证明数列{a n}成等比数列；（Ⅱ）求出数列{a n}的通项公式，即可求出{b n}的通项公式．再分组求和.18.答案：解：（Ⅰ）由频率分布直方图得（0.005+0.020+a+0.040）×10=1，∴a=0.03．…（3分）（Ⅱ）由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名．…（4分）∵初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为（0.02+0.005）×10=0.25，∴所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有0.25×1800=450人，…（6分）同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为（0.03+0.005）×10=0.35，学生人数约有0.35×1200=420人．∴该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450+420=870人．…（8分）（Ⅲ）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件A，…（9分）初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10=0.05，样本人数为0.05×60=3人．高中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10=0.05，样本人数为0.05×40=2人．…（10分）记这3名初中生为A1，A2，A3，这2名高中生为B1，B2，则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，所有可能结果有10种，即：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），而事件A的结果有7种，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），∴至少抽到1名高中生的概率P（A）=．…（13分）解析：（Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a的值．（Ⅱ）由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名，从而求出所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有450人，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有420人．由此能求出该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有多少人．（Ⅲ）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件A，利用列举法能求出至少抽到1名高中生的概率．本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19.答案：证明:(Ⅰ)在△PBD中，因为O,M分别是BD,PD的中点，所以OM∥PB，又OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，所以OM∥平面PAB．(Ⅱ)因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，又AC∩PA=A，AC,PA平面PAC，所以BD⊥平面PAC．又BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．解:(Ⅲ)因为底面ABCD是菱形，且AB=2，∠BAD=60°，所以S△BCD=．又V C-PBD=V P-BCD，三棱锥P-BCD的高为PA，所以，解得．解析：本题考查线面平行，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．(Ⅰ)由中位线定理可知OM∥PB，故而OM∥平面PAB；(Ⅱ)由菱形的性质得BD⊥AC，由PA⊥平面ABCD得BD⊥PA，故BD⊥平面PAC，于是平面PBD⊥平面PAC；(Ⅲ)根据V C-PBD=V P-BCD，计算出S△BCD代入体积公式得出棱锥的高PA．20.答案：解：（I）由题意得，解得a2=4，b2=1．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）四边形OAPB能为平行四边形，分2种情况讨论：（1）当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1满足题意；（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l：y=kx+m，显然k≠0，m≠0，A（x1，y1），B（x2，y2），M （x M，y M）．将y=kx+m代入．得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，．故，．四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即．则．由直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0），过点（1，1），得m=1-k．则，则（4k2+1）（8k-3）=0．则．满足△＞0．所以直线l的方程为时，四边形OAPB为平行四边形．综上所述：直线l的方程为或x=1．解析：（Ⅰ）根据题意，可得，解得a2与b2的值，代入椭圆的标准方程即可得答案；（Ⅱ）根据题意，分2种情况讨论，（1）当直线l与x轴垂直时，分析可得直线l的方程为x=1满足题意；（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l为y=kx+m，分析A、B、M的坐标，将y=kx+m代入．得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，由根与系数的关系可得M的坐标，进而由四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分可得P的坐标，代入椭圆的标准方程可得，进而分析可得，解可得k、m的值，即可得答案．本题考查椭圆与直线的位置关系与方程的综合运用，涉及直线与椭圆的位置关系时，需要考虑直线斜率不存在的情况．21.答案：解：（Ⅰ）∵f（x）=+x，∴f′（x）=，∴f′（1）=1，f（1）=ae+1，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（0，1），∴f′（1）=，∴a=．证明：（Ⅱ）a＜0时，x＜0，f′（x）＞0，函数在（-∞，0）上单调递增，无极值；x＞0，令g（x）=ae x（x-1）+x2，g′（x）=x（ae x+2）=0，x=ln（-）．①ln（-）≤0，a≤-2，g′（x）≤0，g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴g（x）在（0，+∞）上至多有一个零点，即f′（x）在（0，+∞）上至多有一个零点，∴f（x）在（0，+∞）上至多有一个极值点；②ln（-）＞0，-2＜a＜0，x∈（0，ln（-）），g′（x）＞0，g（x）在（0，ln（-））上单调递增，x∈（ln（-），+∞），g′（x）＜0，g（x）在（ln（-），+∞），上单调递减，∵g（ln（-））＞g（0）=-a＞0∴g（x）在（0，+∞）上至多有一个零点，即f′（x）在（0，+∞）上至多有一个零点，∴f（x）在（0，+∞）上至多有一个极值点；综上，当a＜0时，函数f（x）在定义域上至多有一个极值点．解析：（Ⅰ）求导数，求出切线的斜率，切点的坐标，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（0，1），求实数a的值．（Ⅱ）a＜0时，x＜0，f′（x）＞0，函数在（-∞，0）上单调递增，无极值；x＞0，令g（x）=ae x（x-1）+x2，g′（x）=x（ae x+2）=0，x=ln（-）．由此证明当a＜0时，函数f（x）至多有一个极值点．本题考查导数知识的综合运用，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题．22.答案：解：（Ⅰ）∵点A∈l，∴；由，得．于是l的直角坐标方程为l：x+y-2=0，l的参数方程为：；（Ⅱ）由C：，消去参数α，得（x-4）2+（y-3）2=25，将l的参数方程代入（x-4）2+（y-3）2=25，得，设该方程的两根为t1，t2，由直线l的参数t的几何意义及曲线C知，|AM|•|AN|=|t1|•|t2|=|t1t2|=12，∴，∴．解析：（Ⅰ）把点A的坐标代入直线l求得a值，代入直线l的极坐标方程，展开两角差的余弦，再由极坐标与直角坐标的互化公式得直线l的直角坐标方程，进一步化为参数方程；（Ⅱ）求出曲线C的直角坐标方程，把直线l的参数方程代入，化为关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时t的几何意义求解．本题考查解得曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．23.答案：解：（1）f（x）+f（-）=（|x-a|+|2x-a|）+（|--a|+|--a|）=（|x-a|+|--a|）+（|2x-a|+|--a|）≥|（x-a）-（--a）|+|（2x-a）-（--a）|=|x+|+|2x+|=|x|++|2x|+≥6（当且仅当x=±1时取等号）（2）函数f（x）=（x-a）+（2x-a）=，图象如图所示：当x=时，y min=-，依题意：-＜，解得：a＞-1，∴a的取值范围是（-1，0）．解析：（1）根据绝对值的性质证明即可；（2）求出f（x）的解析式，画出图象，求出a的范围即可．本题考查了绝对值不等式的性质，考查函数最值问题，是一道中档题．。
2020届云南省曲靖市陆良县高考数学二模试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.全集U={0,1，2，3，4}，集合A={3,4}，则集合∁u A=()A. {0,1}B. {0,1}C. {0,1，2}D. {0,1，2，3，4}2.复数z=i3在复平面内对应的点位于()1+iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.下列命题中真命题的个数是()①∀x∈R，x4>x2；②若“p∧q”是假命题，则p，q都是假命题；③命题“∀x∈R，x3−x2+1≤0”的否定是“∃x∈R，x3−x2+1>0”．A. 0B. 1C. 2D. 34.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为−25时，输出x的值为()A. −1B. 1C. 3D. 9,cosθ)与b=(−1,2cosθ)垂直，则cos2θ的值等于()5.设a=(12A. −√22B. 0C. −12D. −16. 设a =(14)−13，b =log 52，c =log 85，则( ) A. a <b <c B. b <c <a C. c <b <a D. c <a <b7. 下面有命题：①y =|sinx −12|的周期是π； ②y =sinx +sin|x|的值域是[0,2]； ③方程cosx =lgx 有三解； ④ω为正实数，y =2sinωx 在[−π3,2π3]上递增，那么ω的取值范围是(0,34]；⑤在y =3sin(2x +π4)中，若f(x 1)=f(x 2)=0，则x 1−x 2必为π的整数倍； ⑥若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P(cosB −sinA,sinB −cosA 在第二象限； ⑦在△ABC 中，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，则△ABC 钝角三角形．其中真命题个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 58. 已知F 是双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点，B 是虚轴的一个端点，若C 上存在点P 满足：PF 恰好过点B ，且PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率为( )A. 52B. 32C. √102 D. √529. 已知四棱锥，则四棱锥直角三角形最多可以有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. 某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的外接球体积为( )A. 2√23π B. 4√23π C. 8√23π D. 16√23π11. 已知抛物线C ：y 2=16x ，焦点为F ，直线l ：x =−1，点A ∈l ，线段AF 与抛物线C 的交点为B ，若|FA|=5|FB|，则|FA|= ( )A. 6√2B. 35C. 4√3D. 4012. 函数若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是( )A.B. C. D.二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 已知a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(x,2)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则b ⃗ = ______ ．14. 已知实数x ，y 满足{y ≤xx +2y ≤4y ≥−2，则s =(x +1)2+(y −1)2的最大值是______．15. 设全集U =R ，A ={x|2x(x−2)<1}，B ={x|y =ln(1−x)}，则图中阴影部分表示的集合为 ．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 下列四个命题，是否需要在“______”处加一个条件或结论才能构成真命题？如果需要，请填写出一个相应的条件；如果不需要，则在“______”上划上“/”： (1)平行平面α(2)(3) 在ABC 中,sinA >sinB ________________}⇔a >b;四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }满足：a 1=3，a 3=27(1)若数列{a n }是等差数列，求数列{a n }的通项a n ； (2)若数列{a n }是等比数列，求数列{a n }的前n 项和S n ．18.某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，按其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100)，[100,110)，…，[140,150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图中的信息，回答下列问题：(Ⅰ)补全频率分布直方图；(Ⅱ)估计本次考试的数学平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(Ⅲ)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，再从这6个样本中任取2人成绩，求至多有1人成绩在分数段[120,130)内的概率．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=4，AD=2，PA=2，PD=2√2，∠PAB=60°．(1)证明AD⊥平面PAB；(2)求异面直线PC与AD所成的角的大小；(3)求二面角P−BD−A的平面角的正切值．20.点M，N是抛物线E上的两动点，M到点(2,0)的距离比到直线x+3=0的距离少1，点O(M,N与O不重合)是坐标原点，OM⊥ON．(Ⅰ)求抛物线E的标准方程；(Ⅱ)在x轴上是否存在定点总在直线MN上，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=1nx−12ax2−2x．(1)若函数f(x)在x=2处取得极值，求实数a的值；(2)若函数f(x)在定义域内单调递增，求a的取值范围；(3)若a=−12时，关于x的方程f(x)=−12x+b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．22. (选修4−4：坐标系与参数方程)已知曲线C 的参数方程{x =√2cosθy =2sinθ(θ为参数)，直线l 的极坐标方程：ρsin(θ−π4)=1.直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求MN 的长．23. 已知f(x)=|x −a|−a ，a ∈R(1)当a =−2时，解不等式：f(x)<−12x +2；(2)若f(x)的图象与x 轴围成的图形的面积为9，求a 的值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵U={0,1，2，3，4}，A={3,4}，∴∁U A={0,1，2}．故选：C．进行补集的运算即可．考查列举法的定义，以及补集的运算．2.答案：C解析：试题分析：利用复数的运算法则和几何意义即可得出．复数z=i 31+i =−i(1−i)(1+i)(1−i)=−i+i22=−1−i2=−12−12i，其对应的点为(−12,−12)，位于第三象限．故选C．3.答案：B解析：本题考查命题的否定和复合命题的真假判定方法等基础知识，考查学生对基础知识的记忆和理解．①当x=0时不等式不成立；②根据复合命题真值表可知，“p∧q”是假命题，只需两个命题中至少有一个为假即可；③全称命题的否定是特称命题，既要对全称量词进行否定，又要否定结论，故正确．解：易知①当x=0时不等式不成立，对于全称命题只要有一个情况不满足，命题即假；②错，只需两个命题中至少有一个为假即可；③正确，全称命题的否定是特称命题，即只有一个命题是正确的．故选B．4.答案：C解析：试题分析：当输入时，，执行循环，；，执行循环，，退出循环，输出结果为，故选C ．考点：循环结构点评：本题考查循环结构的程序框图，弄清楚框图的算法功能是解题的关键，按照程序框图 顺序进行执行求解，属于基础题．5.答案：C解析：本题重点考查了平面向量的数量积的坐标运算，二倍角公式等知识，属于基础题，直接根据垂直，建立等式，结合二倍角的余弦公式进行求解； 解：垂直，，，，故选C ．6.答案：B解析：解：a =(14)−13=413>40=1，b =log 52<log 55=1，c =log 85<log 88=1，b c=log 52log 85=lg2lg5⋅lg8lg5=lg2lg5⋅3lg2lg5=3⋅(lg2lg5)2=3(log 52)2，log 52<log 5512=12，0<(log 52)2<14，0<3(log 52)2<34<1，即0<log 52log 85<1，∴log 52<log 85<1<(14)−13，∴b <c <a ．故选：B．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．7.答案：C解析：解：对于①，∵y=|sin(ωx−12|的周期是πω，故正确；对于②，当x≥0时，y=sinx+sin|x|=2sinx值域不是[0,2]，故错；对于③，∵lg2π<1，lg4π>1，方程cosx=lgx有三解，正确；对于④，ω为正实数，y=2sinωx在[−π3,2π3]上递增，由条件利用正弦函数的单调性可得ω⋅2π3≤π2≤，由此求得正数ω的范围是(0,34]，故正确；对于⑤，函数的周期T=π，函数值等于0的x之差的最小值为T2，所以x1−x2必是π2的整数倍．故错；对于⑥，若A、B是锐角△ABC的两个内角，π2>B>π2−A，则cosB−sinA<0，sinB−cosA>0，故正确；故选：C．①，∵y=|sin(ωx−12|的周期是πω，；②，当x≥0时，y=sinx+sin|x|=2sinx值域不是[0,2]，；③，∵lg2π<1，lg4π>1，方程cosx=lgx有三解，正确；④，ω为正实数，y=2sinωx在[−π3,2π3]上递增，由条件利用正弦函数的单调性可得ω⋅2π3≤π2≤，由此求得正数ω的范围是(0,34]，；⑤，函数的周期T=π，函数值等于0的x之差的最小值为T2，所以x1−x2必是π2的整数倍；⑥，若A、B是锐角△ABC的两个内角，π2>B>π2−A，则cosB−sinA<0，sinB−cosA>0，；本题考查了命题的真假，涉及到三角函数的知识，属于基础题．8.答案：C解析：本题考查平面向量知识的运用，考查双曲线的性质，属于中档题．设双曲线的焦距为2c ，根据双曲线的对称性，不妨取F(−c,0)，B(0,b)，令P(m,n)，根据向量的坐标运算，结合PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，确定P 的坐标，代入双曲线方程，化简可求双曲线的离心率． 解：设双曲线的焦距为2c ，根据双曲线的对称性，不妨取F(−c,0)，B(0,b)， 令P(m,n)，则PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−m,b −n)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−c,−b)， 由PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得m =2c ，n =3b ， ∴点P(2c,3b)， ∵点P 在双曲线上，∴(2c )2a 2−(3b)2b 2=1，即c 2a 2=52，∴e =√102， 故选：C ．9.答案：D解析：解：如图底面是矩形，一条侧棱垂直底面，那么它的四个侧面都是直角三角形． 故选D ．10.答案：C解析：解：由已知中的某四棱锥的三视图，可得： 该几何体的直观图如下图所示：其俯视图为等腰直角△PBC，高为AB=2，把该四棱锥可放入长为1，宽为1，高为2的长方体中，它的外接球直径为AP=2R=√22+22=2√2，∴R=√2，其外接球体积为4π3⋅(√2)3=8√2π3．故选：C．把该四棱锥可放入长方体中求出它的外接球直径，再计算外接球的体积．本题考查了几何体外接球的体积计算问题，是基础题．11.答案：B解析：本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力和分析解决问题的能力，属于基础题．设A(−1,a)，B(m,n)，且n2=16m，由|FA|=5|FB|，确定A，B的坐标，即可求得|FA|．解：由抛物线C：y2=16x，可得F(4,0)．设A(−1,a)，B(m,n)，且n2=16m，∵|FA|=5|FB|，∴−1−4=5(m−4)，∴m=3，∴n=±4√3．∵a=5n，∴a=±20√3，∴|FA|=√(4+1)2+(20√3)2=35．故选B．12.答案：B解析：试题分析：∵，∴，∴或， ∴由图像可知：的取值范围是．考点：1.一元二次方程；2.函数图像；3.图像的交点．13.答案：(−4,2)解析：解：∵已知a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(x,2)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴a ⃗ ⋅b⃗ =x +4=0，求得x =−4， 则b ⃗ =(−4,2)，故答案为：(−4,2)．由题意利用两个向量数量积公式、两个向量垂直的性质，求得x 的值，可得结论．本题主要考查两个向量数量积公式、两个向量垂直的性质，属于基础题．14.答案：90解析：解：作出不等式对应的平面区域(阴影部分)，∵s =(x +1)2+(y −1)2，∴s 的几何意义是区域内的动点(x,y)到定点P(−1,1)距离平方，由图象可知当动点位于C 时，PC 的距离最大．由{y =−2x +2y =4，解得{x =8y =−2， 即C(8,−2)．∴s =(x +1)2+(y −1)2=(8+1)2+(−2−1)2=81+9=90．故答案为：90．作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求出s 的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用s 的几何意义是解决本题的关键．15.答案：[1,2)解析：试题分析：根据题意求出分别求出集合A，B中x的取值范围，然后根据图示示意做题即可．由题意可知集合A中x必须满足x(x−2)<0即0<x<2，集合B中1−x必须大于0所以集合B中x必须满足x<1，图中阴影部分表示集合A中去掉A∩B，即关于集合A中A∩B的补集故答案为[1,2)．16.答案：l⊈αa⃗⋅b⃗ =0或a⃗与b⃗ 垂直/直角三角形解析：试题分析：(1)用线面平行的判定定理，平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，则这条直线平行于该平面，即可判断．(2)用向量的模的求法可得．(3)应用正弦定理可得asinA =bsinB，很容易判断．(4)把直线方程与抛物线方程联立，计算x1x2+y1y2即可．(1)∵线面平行的判定定理是，平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，则这条直线平行于该平面，∴需加条件l⊈α(2)∵只有在a⃗,b⃗ 垂直时，才有|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，∴需加条件a⃗⋅b⃗ =0或a⃗与b⃗ 垂直．(3)∵在△ABC中，由正弦定理可得asinA =bsinB，∴当sinA>sinB时，必有a>b，∴不用加条件，划上“/”即可．(4)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，过P点的直线方程为y=k(x−4)，代入抛物线方程，化简得，x1x2= 16.y1y2=−16，∴x1x2+y1y2=0，∴OA⊥AB，即△ABC为直角三角形∴需添直角三角形故答案为(1)l⊈α.(2)a⃗⋅b⃗ =0或a⃗与b⃗ 垂直．(3)/(,4)直角三角形．17.答案：解：(1)∵等差数列{a n}满足：a1=3，a3=27，∴3+2d=27，解得d=12，∴a n=12n−9．(2)∵等比数列{a n}满足：a1=3，a3=27，∴3q2=27，解得q=3∴S n=a1(1−q n)1−q =3(1−3n)1−3=3n+12−32．解析：(1)由已知条件利用等差数列通项公式得3+2d=27，求出公差d=12，由此能求出数列{a n}的通项a n．(2)由已知条件利用等比数列通项公式得3q2=27，求出q=3，由此能求出数列{a n}的前n项和S n．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．18.答案：解：(Ⅰ)分数在[120,130)内的频率1−(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1−0.7=0.3，因此补充的长方形的高为0.03，补全频率分布直方图为：(Ⅱ)估计平均分为x=95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05= 121(Ⅲ)由题意，[110,120)分数段的人数与[120,130)分数段的人数之比为1：2，用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，需在[110,120)分数段内抽取2人成绩，分别记为m，n，在[120,130)分数段内抽取4人成绩，分别记为a，b，c，d，设“从6个样本中任取2人成绩，至多有1人成绩在分数段[120,130)内”为事件A，则基本事件共有{(m,n)，(m,a)，(m,b)，(m,c)，(m,d)，(n,a)，(n,b)，(n,c)，(n,d)，(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)}，共15个．事件A包含的基本事件有{(m,n)，(m,a)，(m,b)，(m,c)，(m,d)，(n,a)，(n,b)，(n,c)，(n,d)}共9个．∴P(A)=915=35．解析：(Ⅰ)求出分数在[120,130)内的频率，补充的长方形的高，由此能补全频率分布直方图．(Ⅱ)利用频率分布直方图能估计平均分．(Ⅲ)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，需在[110,120)分数段内抽取2人成绩，分别记为m，n，在[120,130)分数段内抽取4人成绩，分别记为a，b，c，d，由此利用列举法能求出至多有1人成绩在分数段[120,130)内的概率．本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19.答案：(1)证明：在△PAD中，由题设PA=AD=2，PD=2√2，可得PA2+AD2=PD2，于是AD⊥PA，∵在矩形ABCD中，AD⊥AB，PA、AB是平面PAB内的相交直线，∴AD⊥平面PAB；(2)解：由题设，BC//AD，∴∠PCB(或其补角)是异面直线PC与AD所成的角．在△PAB中，由余弦定理得PB=√4+16−2⋅2⋅4⋅12=2√3由(1)知AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，∴AD⊥PB，因而BC⊥PB，于是△PBC是直角三角形，故tanPCB=√3．∴异面直线PC与AD所成的角的大小为60°；(3)解：过点P做PH⊥AB于H，过点H做HE⊥BD于E，连接PE∵AD⊥平面PAB，PH⊂平面PAB，∴AD⊥PH．又AD∩AB=A，因而PH⊥平面ABCD，故HE为PE在平面ABCD内的射影．∴BD⊥PE，从而∠PEH是二面角P−BD−A的平面角．由题设可得，PH =PA ⋅sin60°=√3，AH =PA ⋅cos60°=1，BH =AB −AH =3，BD =2√5，HE =AD BD ⋅BH =√5，于是在RT △PHE 中，tan∠PEH =√33√5=√153，∴二面角P −BD −A 的正切值大小为√153．解析：本题考查线面垂直的判定，以及二面角的证明，通过对四棱锥的考查，以及直角三角形的考查，得到要求的结果，属于中档题．(1)由勾股定理逆定理，结合题中的数据得到AD ⊥PA ，又AD ⊥AB ，PA 、AB 是平面PAB 内的相交直线，所以AD ⊥平面PAB ；(2)利用条件借助图形，利用异面直线所成角的定义找到共面的两条相交直线，然后结合解三角形有关知识解出即可；(3)通过把二面角转化为其平面角PEH ，然后在RT △PHE 中，求出其正切值即可．20.答案：解：(1)因为M 到点(2,0)的距离比到直线x +3=0的距离少1，故抛物线E 是以点(2,0)为焦点，以x =−2为准线的抛物线，∴抛物线E 的标准方程是：y 2=8x ．(2)设直线MN 的方程为x =my +n ，与x 轴的交点为(n,0)，与抛物线恒有两交点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，与抛物线方程联立，则{y 2=8x x =my +n， 可得y 2=8my +8n ，即y 2−8my −8n =0；由OM ⊥ON 得：x 1x 2+y 1y 2=0，而x 1x 2=y 128⋅y 228=(y 1y 2)264，y 1y 2=−8n ， ∴64n 264−8n =0解得n =8，n =0(舍去)，∴直线MN 的方程为x =my +8，过定点(8,0)，即在x 轴上存在定点满足条件，其坐标是(8,0)．解析：本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．(1)判断E 是以点(2,0)为焦点，以x =−2为准线的抛物线，求出抛物线方程即可．(2)设直线MN 的方程为x =my +n ，与x 轴的交点为(n,0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立直线与抛物线的方程组，通过韦达定理以及x 1x 2+y 1y 2=0，求出n ，然后判断直线MN 的方程为x =my +8，过定点(8,0)即可．21.答案：解：(1)f′(x)=1x −ax −2=−ax 2+2x−1x (x >0) ∵f(x)在x =2处取得极值，∴f′(2)=0，即a×22+2×2−12=0，解之得a =−34(经检验符合题意) (2)由题意，得f′(x)≥0在(0,+∞)内恒成立，即ax 2+2x −1≤0在(0,+∞)内恒成立，∵x 2>0，可得a ≤1−2x x 2在(0,+∞)内恒成立， ∴由1−2xx 2=(1x−1)2−1，当x =1时有最小值为−1，可得a ≤−1 因此满足条件的a 的取值范围为(−∞,−1](3)a =−12，f(x)=−12x +b 即14x 2−32x +lnx −b =0设g(x)=14x 2−32x +lnx −b ，(x >0)，可得g′(x)=(x−2)(x−1)2x列表可得∴[g(x)]极小值=g(2)=ln2−b −2；[g(x)]极大值=g(1)=−b −54∵方程g(x)=0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，且g(4)=2ln2−b −2∴{g(1)≥0g(2)<0g(4)≥0，解之得ln2−2<b ≤−54解析：(1)求出函数的导数f′(x)，根据题意解关于a 的等式f′(2)=0，即可得到实数a 的值；(2)由题意，不等式f′(x)≥0在(0,+∞)内恒成立，等价转化为a ≤1−2x x 2在(0,+∞)内恒成立，求出右边的最小值为−1，即可得到实数a 的取值范围；(3)原方程化简为14x 2−32x +lnx −b =0，设g(x)=14x 2−32x +lnx −b(x >0)，利用导数研究g(x)的单调性得到原方程在[1,4]上恰有两个不相等的实数根的等价命题，建立关于b 的不等式组并解之，即可得到实数b 的取值范围．本题给出含有对数的基本初等函数，讨论函数的极值与单调性，并依此探求关于x 的方程有解的问题．着重考查了导数在研究函数的单调性、求函数的极值与最值等方面的应用，考查了数形结合思想与逻辑推理能力，属于中档题．22.答案：解：直线l 的极坐标方程ρsin(θ−π4)=1，即x −y +√2=0， 曲线M 的参数方程{x =√2cosθy =2sinθ(其中θ为参数)，即x 22+y 24=1． 由{x −y +√2=0x 22+y 24=1可得3x 2+2√2x −2=0， ∴x 1=−√2，x 2=√23， ∴MN =√1+1⋅|x 1−x 2|=√2×|−√2−√23|=83．解析：把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，把曲线M 的参数方程化为普通方程，联立方程组，化为关于x 的一元二次方程，利用弦长公式求出MN 的值．23.答案：解：(1)当a =−2时，由f(x)<−12x +2，得|x +2|+2<−12x +2，即|x +2|<−12x ， 所以：即12x <x +2<−12x ，则{x <012x <x +2x +2<−12x ，得{x <0x >−4x <−43，解得：−4<x <−43， 所以原不等式的解集为：(−4,−43).(2)由f(x)图象与x 轴有公共点，则f(x)=0有两个根，即|x −a|=a ，有两个根，所以：a >0；两个根分别为：x 1=0，x 2=2a ，而f(x)的图象与x 轴围成的图形为等腰直角三角形，所以：S =12×2a ⋅a =9，解得：a =3．解析：(1)当a =−2时，利用绝对值不等式的解法进行求解即可．(2)根据绝对值的应用转化为f(x)=0有两个根，求出方程的根，利用三角形的面积公式建立方程进行求解即可．本题主要考查绝对值不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．考查学生的转化和运算能力．。
云南2020届高三第二次模拟考试数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.） 1. 已知集合{})2lg(x y x A -==，集合{}22B x x =-≤≤，则B A ⋂=（ ） A ．{}2-≥x x B ．{}22<<-x x C ．{}22<≤-x x D ．{}2<x x2. 若复数)(122R a iia ∈++是纯虚数，则i a 22+在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ⋅u u u v u u u v的值为（ ） A ．3- B ．2- C ．2 D ．3 4. 定义运算⎩⎨⎧>≤=⊗）（）（b a b b a a b a ，则函数xx f 21)(⊗=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5.在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A ．2550100,,777B ．252550,,1477C ．100200400,,777 D ．50100200,,7776. 若p 是q ⌝的充分不必要条件，则p ⌝是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7. 阅读右边程序框图，为使输出的数据为31， 则①处应填的数字为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68. 已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥-100x y x y x ，则32y x --的取值范围为（ ）A ．3[,4]2B ．(1]，2 C ．(,0][2)-∞⋃+∞，D ．(,1)[2)-∞⋃+∞， 9. 抛物线方程为x y 42=，一直线与抛物线交于B A 、两点，其弦AB 的中点坐标为（1,1），则直线的方程为（ ）A ．012=--y xB ．012=-+y xC ．012=+-y xD ．012=---y x 10. 已知变量x 与变量y 的取值如下表所示，且2.5 6.5m n <<<，则由该数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 11. 已知点)30(),03(，，B A -，若点P 在曲线21x y --=上运动，则PAB △面积的最小值为（ ）A ．6B ．3C ．22329- D ．22329+ 12. 函数)(x f y =是R 上的偶函数，)()2(x f x f =+,当10≤≤x 时，2)(x x f =,则函数x x f y 5log )(-=的零点个数为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．3第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.）13. 函数2log (5)1(0,1)a y x a a =-+>≠且恒过点______.14. 在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC ∆的顶点)06(，-A 和)06(，C ，若顶点B 在双曲线1112522=-y x 的左支上，则BCA sin sin sin -＝______. 15. 在直三棱柱111ABC ABC -内有一个与其各面都相切的球1O ，若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球1O 的表面积为______.16. 在数列}{n a 中，11=a ，n n a n a -=+21，则数列}{n a 的通项公式=n a ______.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.（本小题满分12分）从某高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm 和184 cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160，164)，第2组[164，168)，…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图． (1) 由频率分布直方图估计该校高三年级男生身高的中位数；(2) 在这50名男生身高不低于176 cm 的人中任意抽取2人，则恰有一人身高在[180，184]内的概率.18.（本小题满分12分）已知函数)(,212cos sin 23)(2R x x x x f ∈-+= (1) 当],0[π∈x 时，求函数的值域；(2) ABC △的角C B A ,,的对边分别为c b a ,,且 ,1)(,3==C f c 求AB 边上的高h 的最大值.19. （本小题满分12分）等腰梯形ABCD 中，ο60,,//=∠=ABC AD AB BC AD ,E 是BC 的中点．将ABE △沿AE 折起后，使二面角C AE B --成直二面角，设F 是CD 的中点，P 是棱BC 的中点．(1) 求证：BD AE ⊥；(2) 求证：平面⊥PEF 平面AECD ；(3) 判断DE 能否垂直于平面ABC ，并说明理由．20.（本小题满分12分）如图所示，设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，离心率N M e ,,22=是直线ca x l 2:=上的两个动点，且满足021=⋅N F M F . (1) 若5221==N F M F ，求b a ,的值；(2) 证明：当MN 取最小值时，N F M F 21+与21F F 共线．21. （本小题满分12分）设函数x x x x f ln 1)(--=，xe e x g )1()(2-+=. (1) 求函数)(x f 最大值； (2) 求证：)()(x g x f <恒成立.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】已知直线l 的参数方程：12x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：2sin ρθ=（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）已知点()1,3M ，直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求MA MB +的值.23.（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 已知函数b x a x x f -++=)(，（其中0,0>>b a ） （1）求函数)(x f 的最小值M ；（2）若M c >2，求证：ab c c a ab c c -+<<--22.数学（文科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）13.（4，1），（6,1） 14.6515. 4π 16. ⎩⎨⎧-)(1)(为偶数为奇数n n n n 三、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17.（本小题满分12分）6解：(1)由频率分布直方图，经过计算该校高三年级男生身高的中位数为168.25 (4分) (2)由频率分布直方图知，后2组频率为(0.02＋0.01)×4＝0.12，人数为0.12×50＝6，即这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人数为6.（8分）身高介于[176，180]的有4人,用1,2,3,4表示, 身高介于[180，184]的有2人,用a,b 表示,从中任取2人的基本事件有（1,2）（1,3）（1,4）（1,a ）（1,b ）（2,3）（2,4）（2,a ）（2,b ）（3,4）（3,a ）（3,b ）（4,a ）（4,b ）（a,b ）. 恰有一人身高在[180，184]内的基本事件有（1,a ）（1,b ）（2,a ）（2,b ）（3,a ）（3,b ）（4,a ）（4,b ）.所以,恰有一人身高在[180，184]内的概率为158（12分） 18.（本小题满分12分）解：(1)21cos 2121sin 23)(-++=x x x f =)6sin(π+x π≤≤x 0Θ ππ676≤≤∴x 1)6sin(21≤+≤-∴πx ∴函数的值域为]1,21[-∴(6分)(2) 1)6sin()(=+=πC C f26ππ=+∴C 3π=∴C2123cos 22-=-+=ab b a C Θ ab ab b a 2322≥-=+∴ 3≤∴ab≤==C ab h S sin 2132134323323=⨯⨯ 23≤∴h h ∴的最大值为23(12分)19.（本小题满分12分）(1)证明：设AE 中点为M ，∵在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ，∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点， ∴△ABE 与△ADE 都是等边三角形． ∴BM ⊥AE ，DM ⊥AE .∵BM ∩DM ＝M ，BM 、DM ⊂平面BDM ，∴AE ⊥平面BDM . ∵BD ⊂平面BDM ，∴AE ⊥BD .(4分)(2)证明：连结CM 交EF 于点N ，∵ME //=FC ， ∴四边形MECF 是平行四边形．∴N 是线段CM 的中点． ∵P 是BC 的中点，∴PN ∥BM .∵BM ⊥平面AECD ，∴PN ⊥平面AECD .又∵PN ⊂平面PEF ，∴平面PEF ⊥平面AECD .（8分） (3)DE 与平面ABC 不垂直．证明：假设DE ⊥平面ABC ，则DE ⊥AB ， ∵BM ⊥平面AECD .∴BM ⊥DE .∵AB ∩BM ＝B ，AB 、BM ⊂平面ABE ，∴DE ⊥平面ABE .∴DE ⊥AE ，这与∠AED ＝60°矛盾． ∴DE 与平面ABC 不垂直．（12分）20.（本小题满分12分）解：由e ＝22，得b ＝c ＝22a ，所以焦点F 1(－22a,0)，F 2(22a,0)，直线l 的方程为x ＝2a ，设M (2a ，y 1)，N (2a ，y 2)，(1)∵|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，∴12a 2＋y 22＝20，92a 2＋y 21＝20，消去y 1，y 2，得a 2＝4，故a ＝2，b ＝ 2.（6分）(2)|MN |2＝(y 1－y 2)2＝y 21＋y 22－2y 1y 2≥－2y 1y 2－2y 1y 2＝－4y 1y 2＝6a 2.当且仅当y 1＝－y 2＝62a 或y 2＝－y 1＝62a 时，|MN |取最小值6a ， 此时，F 1M →＋F 2N →＝(322a ，y 1)＋(22a ，y 2)＝(22a ，y 1＋y 2)＝(22a,0)＝2F 1F 2→，故F 1M →＋F 2M →与F 1F 2→共线.（12分）21.（本小题满分12分）解：(1)x x f ln 2)(--='令0ln 2=--x 解得2-=e x当),0(2-∈e x 时0)(>'x h ，),(2+∞∈-e x 时0)(<'x h .∴函数)(x h 在),0(2-e 上单调递增，在),(2+∞-e 上单调递减 ∴221)()(--+=≤e e f x f21)(-+∴e x f 的最大值为（6分）(2)而函数xe e x g )1()(2-+=在区间),0(+∞上单调递增∴)1()0()(2-+=>e g x g ∴)()1()0()(2x f e g x g ≥+=>-∴)()(x g x f <恒成立（12分） 22．（本小题满分10分）解：（1）消去参数t ，得直线l 的普通方程为21y x =+，将2sin ρθ=两边同乘以ρ得22sin ρρθ=，()2211x y +-=，∴圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=；（2）经检验点()1,3M 在直线l 上，12x t y t =⎧⎨=+⎩可转化为13x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①，将①式代入圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=得22121⎛⎫⎫+++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得240t ++=，设12,t t是方程240t ++=的两根，则12t t +=-124t t =， ∵1240t t =>，∴1t 与2t 同号，由t的几何意义得1212MA MB t t t t +=+=+=23.（本小题满分10分）解: (1)b a b a b x a x b x a x +=+=--+≥-++)()(b a M +=∴（5分）(2)证明：为要证c a c <<+只需证a c <-<即证a c -<也就是22()a c c ab -<-，即证22a ac ab -<-，即证2()ac a a b >+，∵0,2,0a c a b b >>+>，∴2a bc +>≥，故2c ab >即有20c ab ->， 又 由2c a b >+可得2()ac a a b >+成立，∴所求不等式c a c <<+成立．（10分）。
2020年云南省曲靖市陆良县高考数学二模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2≤4}，B={x|1≤x≤2}，则∁A B=()A. {x|x≤ −2}B. {−2,−1,0}C. D.=()2.若复数z=3+4i，则|z|zA. B. C. D.3.设命题p：“∀x2<1，x<1”，则￢p为()A. ∀x2≥1，x<1B. ∃x02<1，x0≥1C. ∀x2<1，x≥1D. ∃x02≥1，x0≥14.如图1是某学习小组学生在某次数学考试中成绩的茎叶图，1号到20号同学的成绩依次为a1，a2，a3，......，a20，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图，那么该框图的输出结果是( )A. 12B. 8C. 9D. 115.若α∈(0,π2)，且sinα=45，则cos2α等于()A. 725B. −725C. 1D. √756.三个数a=30.2，b=0.23，c=log0.23的大小关系为()A. c<a<bB. b<a<cC. a<b<cD. c<b<a7.设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2)的最小正周期为π，且过点(0,√2)，则下列正确的为()①f(x)在(0,π2)单调递减．②f(x)的一条对称轴为x=π2．③f(|x|)的周期为π2．④把函数f(x)的图像向左平移π6个长度单位得到函数g(x)的解析式为g(x)=√2cos(2x+π6)A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②④8.双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F2且垂直于x轴的弦为AB，∠AF1B=60°，则双曲线的离心率为()A. √2B. √2+1C. √3D. √3+19.已知正方体ABCD−A 1B1C1D1的棱长为2，点M,N分别是棱A1D1，CD的中点，点P在平面ABCD内，点Q在线段BN上，若PM=√5，则PQ长度的最小值为()A. √2−1B. √2C. 3√5−55D. 3√5510. 某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为( )A. 3πB. 2πC. πD. 4π11. 已知抛物线C:y 2=8x 的焦点为F ，点A(1,a)(a >0) 在C 上，|AF|=3.若直线AF 与C 交于另一点B ，则|AB|的值是( )A. 12B. 10C. 9D. 4.512. 若关于x 的方程x e x+e xx−e x +m =0有三个不相等的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1<0<x 2<x 3，其中m ∈R ，则(x 1e x 1−1)2(x2e x 2−1)(x3e x 3−1)的值为( )A. eB. 1−mC. 1+mD. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⇀=(1,−2)，b ⇀=(1,x)，若a ⇀⊥b ⇀，，则x 等于_____14. 在△ABC 中，D 在边BC 上，且BD =2，DC =1，∠B =30°，∠ADC =150°，AB 的长为______ ；△ABC 的面积______ ．15. 已知实数x ，y 满足{x −2y +1≥0x +y −1≥0x <2，则z =2x −y 的取值范围是______．16. 已知函数f(x)={(a +1)x −1,x ≥112ax 2−ax −1,x <1在(−∞,+∞)上单调递增，则a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在递增的等比数列{a n }中，a 2=6，且4(a 3−a 2)=a 4−6．(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n =a n +2n −1，求数列{b n }的前n 项和S n ．18.某校高三年有375名学生，其中男生150人，女生225人．为调查该校高三年学生每天课外阅读的平均时间(单位：小时)，采用分层抽样的方法从中随机抽取25人获得样本数据，该样本数据的频率分布直方图如图．(Ⅰ)应抽取男生多少人？并根据样本数据，估计该校高三年学生每天课外阅读的平均时间；(Ⅱ)在这25个样本中，从每天阅读平均时间不少于1.5小时的学生中任意抽取两人，求抽中的这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于2小时的概率．19.如图，已知四棱锥P−ABCD的底面是菱形，底面对角线交于O点，∠ABC=60∘，PA⊥面ABCD，E是PD的中点．(1)求证：OE//面PAB；(2)求证：面PBD⊥面PAC；(3)若PA=AB=2，求三棱锥C−ODE的体积．20.设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0,b)，点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为√510．(I)求E的离心率e；(II)设点C的坐标为(0,−b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为72，求E的方程．21.已知函数f(x)=(2−x)e x+ax．(Ⅰ)已知x=2是f(x)的一个极值点，求曲线f(x)在(0,f(0))处的切线方程；(Ⅱ)讨论关于x的方程f(x)=alnx只有一个实数根，求a的取值范围．22.已知曲线C的参数方程为{x=2cosθ,y=√3sinθ(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换{x′=12x,y′=√3得到曲线C′，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C′的极坐标方程；(2)若过点A(32,π)(极坐标)且倾斜角为π6的直线l与曲线C′交于M，N两点，弦MN的中点为P，求|AP||AM|⋅|AN|的值．23.已知函数f(x)=|x+a|+2|x−1|(a>0)．(1)求f(x)的最小值；(2)若不等式f(x)−5<0的解集为(m,n)，且n−m=43，求a的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题主要考查集合的基本运算，结合补集的定义是解决本题的关键．求出集合的等价条件，结合补集的定义进行求解即可．【解答】解：A={x|x2≤4}={x|−2≤x≤2}，则∁A B={x|−2≤x<1}，故选C．2.答案：A解析：【分析】本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查．直接求出复数的模，利用复数的代数形式的混合运算求复数为a+bi的形式即可．【解答】解：∵复数z=3+4i∴|z|=√32+42=5，∴|z|=5=5(3−4i)=3−4i=3−4i.故选A．3.答案：B解析：【分析】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：“∀x2<1，x<1”，则￢p为∃x02<1，x0≥1．故选：B．4.答案：B解析：【分析】本题考查茎叶图和程序框图的循环结构，根据茎叶图和程序框图知，该程序运行后输出成绩大于或等于100的人数，由此求出输出的n值即可．【解答】解：根据茎叶图知，这20名同学的成绩依次为a1，a2，…，a20，分析程序框图知，该程序运行后输出成绩大于或等于100的人数，由茎叶图，知成绩大于或等于100的人数为8，由此知输出的结果是8．故选B．5.答案：B解析：【分析】由条件直接利用二倍角公式求得cos2α=1−2sin2α的值．本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题．【解答】解：若α∈(0,π2)，且sinα=45，则cos2α=1−2sin2α=1−2×1625=−725，故选B．6.答案：D解析：解：三个数a=30.2>1，b=0.23∈(0,1)，c=log0.23<0，可得c<b<a．故选：D．求出三个数的范围，然后判断大小即可．本题考查对数值的大小范围，借助取值范围是解题的关键．7.答案：A【分析】本题考查辅助角公式、函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于中档题．利用辅助角公式可得f(x)=√2cos (ωx+φ+π4)，即可得ω=2，又且过点(0,√2)，代入可得φ=π4，进而求得f(x)=√2sin(2x+π2)=√2cos2x，从而余弦函数的性质逐项分析，即可得出答案．【解答】解：f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=√2sin(ωx+φ+π4)由，T=2πω，所以ω=2，f(0)=√2sin(φ+π4)=√2，|φ|≤π2，则φ=π4，所以f(x)=√2sin(2x+π2)=√2cos2x．①f(x)=√2cos2x的单调减区间满足2kπ≤2x≤π+2kπ，∴f(x)的单调减区间为[kπ,π2+kπ]，k∈Z，所以k=0时，f(x)在(0,π2)单调递减，所以①正确；②f(x)=√2cos2x对称轴满足2x=kπ，所以x=kπ2，当k=1时，f(x)的一条称轴为x=π2，所以②正确；③f(|x|)=√2cos|2x|=√2cos2x，所以f(|x|)的周期为π，所以③不正确；④f(x)的横坐标向左平移π6个单位长度，纵坐标不变得到g(x)的函数图像的解析式为ℎ(x)=√2cos2(x+π6)=√2cos(2x+π3)，所以④不正确．故选A．8.答案：C解析：解：由题意可知，双曲线的通径为：2b2a，因为过焦点F2且垂直于x轴的弦为AB，∠AF1B=60°，所以2c=√32×2b2a，所以2ca=√3(c2−a2)，所以√3e2−2e−√3=0，因为e>1，所以e=√3．故选：C．直接利用双曲线的通径与∠AF1B=60°，得到a，b，c的关系，求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的基本性质，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．9.答案：C解析：本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．取AD中点O，则MO⊥面ABCD，即MO⊥OP，由PM=√5，得到OP=1，从而点P在以O为圆心，1以半径的位于平面ABCD内的半圆上．可得O到BN的距离减去半径即为PQ长度的最小值．【解答】解：如图，取AD中点O，则MO⊥平面ABCD，即MO⊥OP，∵PM=√5，∴OP=√5−4=1，∴点P在以O为圆心，1以半径的位于平面ABCD内的半圆上．可得O到BN的距离减去半径即为PQ长度的最小值，作OH⊥BN于H，△BON的面积为：S△BON=2×2−12×2×1−12×2×1−12×1×1=32，∴S△BON=12×OH×BN=12×OH×√5=32，解得OH=3√55，∴PQ长度的最小值为：OH−OP=3√55−1=3√5−55．故选C．10.答案：A解析：解：根据三视图知几何体是：三棱锥P−ABC为棱长为1的正方体一部分，直观图如图所示：则三棱锥P−ABC的外接球是此正方体的外接球，设外接球的半径是R，由正方体的性质可得，2R=√3，解得R=√32，所以该棱锥的外接球的表面积S=4πR2=3π，故选A．根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为1的正方体一部分，并画出直观图，由正方体的性质求出外接球的半径，由球的表面积公式求出该棱锥的外接球的表面积．本题考查由三视图求几何体外接球的表面积，在三视图与直观图转化过程中，以一个正方体为载体是很好的方式，使得作图更直观，考查空间想象能力．解析： 【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查利用抛物线定义求过焦点的弦长问题，考查学生计算能力，由点A 在抛物线上得点A 坐标，又F(2,0)，设直线AF 方程并与抛物线方程联立，利用抛物线的定义即可得到弦长|AB|． 【解答】解：因为A(1,a)(a >0) 在C 上，所以a 2=8， 解得a =2√2或a =−2√2(舍去)， 又F(2,0)，所以AF 的斜率k =2√2−01−2=−2√2，故直线AF 的方程为y =−2√2(x −2)，由{y =−2√2(x −2)y 2=8x ，消去y ，得x 2−5x +4=0，解得x =1或4， 所以B 的横坐标为4，由抛物线的定义，得|BF|=4+2=6， 所以|AB|=|AF|+|BF|=9． 故选C ．12.答案：D解析： 【分析】本题考查了函数与方程的综合应用，难度中等．利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解． 【解答】解：令t =xe x −1，则方程x ex +e x x−e x +m =0化为t 2+(m +1)t +1=0有两个不等的实根t 1,t 2，所以t 1=x1e x 1−1,t 2=x2e x 2−1=x3e x 3−1，(x1e x 1−1)2(x2e x 2−1)(x3e x 3−1)=t 12t 22=1， 故选D ．13.答案：12解析：本题考查向量垂直的判断与证明，属于基础题． 利用两向量垂直，两向量数量积为0进行求解． 【解答】解：已知a ⇀=(1,−2)，b ⇀=(1,x)， 若a ⇀⊥b ⇀， 则1×1−2x =0， 解得x =12． 故答案为12．14.答案：2√33；√32解析：解：由题意D 在边BC 上，∠ADC =150°， ∴，∠ADB =30°，∠B =30°， ∴AB =AD ．余弦定理可得：cos30°=AB 2+BD 2−AD 22AB⋅BD，BD =2，可得：AB =AD =2√33DC =1，则BC =3△ABC 的面积S =12AB ⋅BC ⋅sinB =12×2√33×3×12=√32故答案为：2√33，√32由题意，∠ADC =150°，则，∠ADB =30°，∠B =30°，可得AB =AD.利用余弦定理可得AB 的长度．根据△ABC 的面积S =12AB ⋅BC ⋅sinB 可得答案．本题考查三角形的余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．15.答案：[0,5)解析： 【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于基础题． 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论． 【解答】解：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，做直线l ：2x −y =0，平移l 可知过C 时z 最小，过B 时z 最大， 联立{x −2y +1=0x +y −1=0得C(13,23)，同理B(2,−1)，即z 的取值范围是[0,5)． 故答案为：[0,5)．16.答案：[−23,0)解析： 【分析】本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于中档题．根据题意，由函数单调性的定义分析可得{a +1>0a <0a2−a −1≤(a +1)−1，解可得a 的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f(x)={(a +1)x −1,x ≥112ax 2−ax −1,x <1在(−∞,+∞)上单调递增，则有{a +1>0a <0a2−a −1≤(a +1)−1， 解可得：−23≤a <0， 即a 的取值范围为[−23,0)； 故答案为：[−23,0)．17.答案：解：(1)由题意得{a 1q =64a 1q (q −1)=a 1q 3−6,解得{a 1=2q =3，所以a n =2×3n−1．(2)b n =a n +2n −1=2×3n−1+2n −1，则S n=2(1−3n)1−3+n(1+2n−1)2=3n−1+n.2解析：本题考查求等比数列的通项公式，以及分组求和法的应用，属于中档题．(1)都用首项和公比表示即可解出，(2)利用分组求和即可．18.答案：解：(I)应抽取男生150×25375=10人，该校高三年学生每天课外阅读的平均时间为0.5×(0.40×0.25+0.80×0.75+0.32×1.25+0.24×1.75+0.16×2.25+0.08×2.75)=1.05，(Ⅱ)从每天阅读平均时间不少于1.5小时的学生有6人，其中读平均时间不少于2小时有3人，令这三人分别为A，B，C.另外三人为a，b，c，设抽中的这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于2小时为事件E，从中抽中的这两个人所有情况为(A,B)，(A,C)，(A,a)，(A,b)，(A,c)，(B,C)，(B,a)，(B,b)，(B,c)，(C,a)，(C,b)，(C,c)，(a,b)，(a,c)，(b,c)共15种，这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于2小时的情况为(A,a)，(A,b)，(A,c)，(B,a)，(B,b)，(B,c)，(C,a)，(C,b)，(C,c)共9种…(11分)∴抽中的这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于2小时的概率为P(E)=915=35．解析：本题考查概率与统计，涉及频率分布直方图，属基础题．(I)根据频率分布直方图可先求出应抽取男生人数，根据公式x1f1+x2f2+⋯+x n f n可求平均阅读时间；(Ⅱ)每天阅读平均时间不少于1.5小时的学生有6人，读平均时间不少于2小时有3人，列举出基本事件的个数，可求解概率．19.答案：(1)证明：在△PBD中，∵O、E分别是BD、PD的中点，∴OE//PB，又OE⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，∴OE//平面PAB；(2)证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD．又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD ⊥平面PAC ；(3)解：∵底面ABCD 是菱形，AB =2，∠ABC =60°， ∴菱形ABCD 的面积为S =2×2×√32=2√3，∵四棱锥P −ABCD 的高为PA =2， ∴V P−ABCD =13×2√3×2=4√33． ∴V C−ODE =V E−COD =12V P−COD =12×14×V P−ABCD =√36．解析：本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、菱形的性质、体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、化归与转化能力．(1)在△PBD 中，由O 、M 分别是BD 、PD 的中点，利用三角形中位线定理可得：OM//PB ，再利用线面平行的判定定理可得：OM//平面PAB ；(2)由PA ⊥平面ABCD ，可得PA ⊥BD ，由于底面ABCD 是菱形，可得AC ⊥BD.利用线面面面垂直的判定定理与性质定理即可证明；(3)由底面ABCD 是菱形，求出底面ABCD 的面积，四棱锥P—ABCD 的体积，然后根据底面积和高的关系转化得到三棱锥C −ODE 的体积．20.答案：解：(I)∵点M 在线段AB 上，满足|BM|=2|MA|，∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵A(a,0)，B(0,b)，∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23a,13b)． ∵k OM =√510，∴b 2a=√510，a =√5b.∴e =c a=√1−b 2a 2=2√55． (II)由(I)可得直线AB 的方程为：5b yb =1，N(√5b 2,−12b)．设点N 关于直线AB 的对称点为S(x 1,72)，线段NS 的中点T(√54b +x 12,−14b +74)，又AB 垂直平分线段NS ，∴{72+12b 1−√52b=√5√5b 4+12x√5b+−14b+74b =1，解得b =3，∴a =3√5． ∴椭圆E 的方程为：x 245+y 29=1．解析：(I)由于点M 在线段AB 上，满足|BM|=2|MA|，即BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ .利用k OM =√510，可得e =c a=√1−b 2a 2． (II)由(I)可得直线AB 的方程为：√5b yb =1，利用中点坐标公式可得N.设点N 关于直线AB 的对称点为S(x 1,72)，线段NS 的中点T ，又AB 垂直平分线段NS ，可得b ，解得即可．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ)函数的导数f′(x)=−e x +(2−x)e x +a =(1−x)e x +a ．∵x =2是f(x)的一个极值点， ∴f′(2)=0，得−e 2+a =0得a =e 2， ∵f(0)=2，f′(0)=1+e 2，∴线f(x)在(0,2)处的切线方程方程为y −2=(1+e 2)x ，即y =(1+e 2)x +2． (Ⅱ)∵f(x)=alnx 得(2−x)e x +ax =alnx ， 即(x −2)e x +alnx −ax =0， 则(x −2)e x =−a(lnx −x)，设g(x)=lnx −x ，x >0，则g′(x)=1x −1，(x >0)， 则g(x)在(0,1)上是增函数，则(1,+∞)上是减函数， 则g(x)<g(1)=−1<0， ∴a =ℎ(x)=(x−2)e x x−lnx，则ℎ′(x)=(x−1)e x (x+2x−lnx−1)(lnx−x)2，设m(x)=x +2x −lnx −1，则m′(x)=1−2x 2−1x =(x−2)(x+1)x 2，则m(x)在(0,2)上是减函数，在(2,+∞)上是增函数， ∴m(x)>m(2)=2−ln2>0，∴当0<x <1时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(0,1)上是减函数， 当x >1时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)在(1,+∞)上是增函数， ∵0<x <1时，ℎ(x)<0，ℎ(1)=−e ，ℎ(2)=0， ∴当a =−e 或a ≥0时，方程有1个实根，解析：(Ⅰ)求函数的导数，利用x =2是f(x)的一个极值点，得f′(2)=0建立方程求出a 的值，结合导数的几何意义进行求解即可． (Ⅱ)利用参数法分离法得到a =ℎ(x)=(x−2)e x x−lnx，构造函数求出函数的导数研究函数的单调性和最值，利用数形结合转化为图象交点个数进行求解即可．本题主要考查导数的综合应用，结合导数的几何意义以及利用参数分离法转化为两个函数交点个数问题是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．22.答案：解：(Ⅰ)C ：{x =2cosθy =√3sinθ⇒C ：x 24+y 23=1，(2分)将{x′=12x y′=√3y⇒{x =2x′y =√3y′，代入C 的普通方程可得x′2+y′2=1，(4分) 即C′：x 2+y 2=1，所以曲线C′的极坐标方程为 C′：ρ=1(5分) (Ⅱ)点A(32,π)直角坐标是A(−32,0)，将l 的参数方程{x =−32+tcosπ6y =tsinπ6代入x 2+y 2=1，可得4t 2−6√3t +5=0，(8分) ∴t 1+t 2=3√32，t 1⋅t 2=54， 所以|AP||AM|⋅|AN|=|t 1+t 22||t 1t 2|=3√35. (10分)解析：(I)曲线C 的参数方程为，利用平方关系即可化为普通方程．利用变换公式代入即可得出曲线C′的直角坐标方程，利用互化公式可得极坐标方程． (II)点A(32,π)直角坐标是A(−32,0)，将l 的参数方程{x =−2+tcos π6y =tsinπ6代入曲线C′的直角坐标方程可得4t 2−6√3t +5=0，利用根与系数的关系即可得出．本题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.答案：解：(1)f(x)=|x +a|+2|x −1|={−3x +2−a,x ≤−a,−x +a +2,−a <x <1,3x +a −2,x ≥1,所以f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，则f(x)min =f(1)=a +1． (2)由(1)结合题意可得{f(1)=a +1<5,3n +a −2=5,则{0<a <4,n =7−a 3, ①当f(−a)=2+2a ≥5时，−m +a +2=5，解得m =a −3，即{32≤a <4,7−a3−a +3=43,解得a =3．②当f(−a)=2+2a <5时，−3m +2−a =5，解得m =−3−a 3，即{0<a <32,7−a 3−−a−33=103≠43,故此时a无解． 综上，a =3．解析：本题主要考查求函数的最值，绝对值不等式的解集问题． (1)先去绝对值，得到函数的单调区间，进而可得f(x)的最小值；(2)由(1)结合题意可得{f(1)=a +1<53n +a −2=5,则{0<a <4n =7−a 3,①当f(−a)=2+2a ≥5时，解得a =3，②当f(−a)=2+2a<5时，a无解.所以a=3．。
2020届高三第二次模拟考试卷文 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足(12i)1i z +=-，则z =（ ）A ．2B ．105C ．103 D ．3252．已知集合{}3A x x =∈<Z ，{}12B x x x =<->或，则()A B =R I ð（ ） A ．{0,1,2}B ．{1,0,1}-C ．{0,3}D ．{1,0,1,2}-3．已知8log 7a =，3log 2b =，0.1πc =，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<4．长久以来，人们一直认为黄金分割比例是最美的，人们都不约而同的使用黄金分割，如果一个矩形的宽与长的比例是黄金比例512-（510.6182-≈称为黄金分割比例），这样的矩形称为黄金矩形，黄金矩形有一个特点：如果在黄金矩形中不停分割出正方形，那么余下的部分也依然是黄金矩形，已知下图中最小正方形的边长为1，则矩形ABCD 的长为（ ）（结果保留两位小数）A ．10.09B ．11.85C ．9.85D ．11.095．函数4()()cos (ππf x x x x x=--≤≤且0)x ≠的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．6．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法从中抽取56人做问卷调查，将840人按1，2，3，L ，840随机编号，若442号职工被抽到，则下列4名职工中未被抽到的是（ ）A ．487号职工B ．307号职工C ．607号职工D ．520号职工7．tan 645︒=（ ）A ．23-+B ．23--C ．23-D ．23+8．若向量a ，b 满足||3=a ，||26=b ，且满足(2)+⊥a b a ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．π3B ．2π3C ．π4D ．3π49．如图给出的是计算1111352019++++L 的值的一个程序框图，则图中空白框中应填入（ ）A ．123S S i =++ B ．121S S i =++ C ．11S S i =++ D ．121S S i =+- 10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆222(1)sin 130x y -+=︒相切，则该双曲线此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号的离心率等于（ ） A ．1sin 50︒B ．1cos50︒C ．2sin50︒D ．2cos50︒11．设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知2cos 0b a C -=，sin 3sin()A A C =+，则2bca =（ ） A ．74B ．149C ．23D ．6912．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点为1(3,0)F -，2(3,0)F ，过2F 作直线l 与双曲线C 的右支交于点A ，B 两点．若22||4||BF AF =，1||||AF AB =，则C 的方程是（ ）A ．22136x y-= B ．22154x y -= C ．22163x y -= D ．22145x y -=二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．曲线2(3)xy x x e =-在点(0,0)处的切线方程为 ． 14．已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，113a =，2366a a =，则5S = ． 15．函数π()sin()8cos 22xf x x =--的最小值为 ．16．如下图，在五面体ABCDEF 中，AB DC ∥，π2BAD ∠=，3CD AD ==，四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD ，5FC =，则直线AB 到平面EFCD 距离为 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）为了研究每周累计户外暴露时间是否足够（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级100名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：（1）用样本估计总体思想估计该中学一年级学生的近视率；（2）能否认为在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．18．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a =-，60S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求使不等式n n S a >成立的n 的最小值．19．（12分）在直四棱柱1111ABCD A B C D-中，已知1333DC DD AD AB====，AD DC⊥，AB DC∥，E为DC上一点，且1DE=．（1）求证：1D E∥平面1A BD；（2）求点D到平面1BED的距离．20．（12分）已知函数31()sin cos6f x x x x x=--，()f x'为()f x的导数．（1）证明：()f x'在区间π(0,)2上不存在零点；（2）若31()cos16f x kx x x x>---对π(0,)2x∈恒成立，求实数k的取值范围．21．（12分）已知O为坐标原点，椭圆2212yx+=的下焦点为F，过点F且斜率为k的直线与椭圆相交于A，B两点．（1）以AB为直径的圆与2x=（2）在y轴上是否存在定点P，使得PA PB⋅u u u r u u u r为定值，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为241m x m y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪⎩m 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是π2sin()16ρθ+=．（1）写出曲线C 的普通方程和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知a ，b ，c 为正数，且满足8abc =，证明： （1）(4)(4)(4)216a b c +++≥； （2）222()()()48a b b c c a +++++≥．2020届高三第二次模拟考试卷文科数学（一）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】∵(12i)1i z +=-，∴1i (1i)(12i)13i12i (12i)(12i)5z -----===++-， ∴191025255z =+=，故选B ． 2．【答案】D【解析】∵{}12B x x x =<->或，∴{12}B x x =-≤≤R ð，又∵{3}{2,1,0,1,2}A x x =∈<=--Z ，∴{1,0,1,2}A B =-R I ð，故选D ． 3．【答案】C【解析】∵80log 71a <=<，30log 21b <=<，0.1π1c =>，223log 7log 42a =>=，333log 8log 92b =<=，∴b a <，∴b a c <<． 4．【答案】D 【解析】如下图所示，由题意可知1MK =，设KN x =，则1MF MN x ==+，112GF GM MF x x =+=++=+， 则1232FC MN OC MN HC MN GF x x x =+=+=+=+++=+， ∴32253BF EF EG GF FC GF x x x ==+=+=+++=+， ∴533285BC BF FC x x x =+=+++=+，∵1GM =，KN x =，根据黄金矩形特点可知矩形GMNQ 为黄金矩形，则有15112x -=+，解得512x =，∴518585850.61811.092BC x =+=+⨯+⨯=≈． 5．【答案】A【解析】函数4()()cos (ππf x x x x x=--≤≤且0)x ≠为奇函数，排除B ，D 选项，当πx =时，44()(π)cos ππ0ππf x =-=->，排除C ． 6．【答案】D 【解析】由于组距为8401556=，因此选出的号码所成的数列是以15为公差的等差数列， 根据四个选项可知，487442153-=⨯，442307159-=⨯，6074421511-=⨯， 故选A ，B ，C 选项的职工都被抽到． 7．【答案】B【解析】tan 645tan(540105)tan105tan(6045)︒=︒+︒=︒=︒+︒tan60tan 4531231tan60tan 4513︒+︒+===---︒⋅︒-8．【答案】D【解析】∵(2)+⊥a b a ，∴(2)0+⋅=a b a ，即22||0+⋅=a a b ，22||⋅=-a b a ，设a 与b 夹角为θ，则有22||2cos ||||2326θ-===-⋅⨯a a b ，则夹角为3π4． 9．【答案】D【解析】根据选项D 运行程序得，第一次循环，011S =+=，2i =， 第二次循环，113S =+，3i =， 第三次循环，11135S =++，4i =， …，依次类推，第1010次循环，1111352019S =++++L ，1011i =， 退出循环，此时输出的S 是1111352019++++L 的值．10．【答案】B【解析】依题意，可知双曲线的一条渐近线为0bx ay -=，sin130sin 50=︒=︒，故222sin 50b c =︒，可得2222sin 50c a c -=︒，即2211sin 50e -=︒，化简得1cos50e =︒． 11．【答案】D 【解析】由题意得1cos 2b a C =， 又∵sin 3sin A B =，即3a b =，∴2cos 3C =， 由余弦定理得22243c a b ab =+-， 又∵3a b =，∴c =，∴22299bc a b ==． 12．【答案】B【解析】设2||AF m =，则2||4BF m =，根据双曲线定义可得1||2AF a m =+，1||24BF a m =+， ∵122||||||||AF AB AF BF ==+，又∵24a m m m +=+，得12m a =． ∴2||2a AF =，15||2AF a =，2||2BF a =，1||4BF a =．∴2222212125363641644cos cos 0262262a aa a AF F BF F a a +-+-∠+∠=+=⨯⨯⨯⨯，解得25a =．∵3c =，∴222954b c a =-=-=，故双曲线C 的方程为22154x y -=． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】0x y +=【解析】∵22(61)(3)(351)x x xy x e x x e x x e '=-+-=+-，∴结合导数的几何意义可知曲线在点(0,0)处的切线的斜率为1k =-， ∴切线方程为y x =-，即0x y +=． 14．【答案】313【解析】设数列{}n a 的公比为q ，∵2366a a =，则245116a q a q =，得162q a ==，∴551(12)313123S ⨯-==-．15．【答案】7-【解析】∵22()cos 8cos2cos 8cos 12(cos 2)92222x x x xf x x =-=--=--， 由三角函数有界性可知[]cos1,12x∈-， 故当cos12x=时，min ()297f x =-=-． 16．【解析】∵AB CD ∥，且DC ⊂平面EFCD ，AB ⊄面EFCD ，∴AB ∥面EFCD ，∴AB 到面EFCD 的距离等于点A 到面EFCD 的距离， 过点A 作AG FD ⊥于G ， ∵π2BAD ∠=，AB DC ∥，∴CD AD ⊥， 又∵FA ⊥平面ABCD ，FA CD ⊥， 又FA AD A =I ，∴CD ⊥面FAD ，而AG ⊂面FAD ，∴CD AG ⊥，CD FD D =I ， ∴AG ⊥面CFD ，∴AG 为直线AB 到平面EFCD 的距离， 在FCD Rt △中，4FD ==，∵FA ⊥面ABCD ，∴FA AD ⊥， 在AFD Rt △中，FA ==∴733744FA ADAGFD⋅⨯===，∴AB到平面EFCD距离为374．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）12；（2）能认为．【解析】（1）该中学一年学生的近视率为5011002P==．（2）22100(20153035)9.091 6.63555455050K⨯⨯-⨯=>⨯⨯⨯≈，所以能认为在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系．18．【答案】（1）27na n=-；（2）8．【解析】（1）设数列{}na公差为d，∵616150S a d=+=，∴152a d=-，又23a=-，即13a d=--，所以2d=，15a=-，故数列{}na的通项公式为52(1)27na n n=-+-=-．（2）由（1）可知26nS n n=-，则n nS a>，可得2627n n n->-，解得1n<或7n>，所以不等式n nS a>成立的n的最小值为8．19．【答案】（1）证明见解析；（2）310．【解析】（1）由题意可知，∵AB DC∥，且33AB DC==，∴AB DE∥，AB DE=，故四边形ABED为平行四边形，∴11BE AD A D∥∥，11BE AD A D==，∴四边形11A D EB为平行四边形，∴11D E A B∥，∵1D E⊄平面1A BD，1A B⊂平面1A BD，∴1D E∥平面1A BD．（2）过D作1DM D E⊥交1D E于M，∵1111ABCD A B C D-为直四棱柱，∴1DD⊥底面ABCD，∴1DD BE⊥，由（1）得BE AD∥，∵AD DC⊥，∴BE DC⊥，而1DC DD D=I，∴BE⊥平面11DCC D，DM⊂平面11DCC D，∴BE DM⊥，又∵1DM D E⊥，1BE D E E=I，∴DM⊥平面1BED，∴点D到平面1BED的距离即为DM长，∵1DE=，13DD=，∴110D E=31010DM==，∴点D到平面1BED的距离为31010．20．【答案】（1）证明见解析；（2）4(,]π-∞．【解析】（1）由题意得211()sin(sin)22f x x x x x x x'=-=-，令1()sin2g x x x=-，则1()cos2g x x'=-，当π(0,)3x∈时，()0g x'>，()g x单增；当ππ(,)32x∈时，()0g x'<，()g x单减，∵(0)0g=，π3π()0326g=->，ππ()1024g=->，故()g x在π(0,)2上恒大于0，故()0f x'>在π(0,)2上恒成立，故()f x'在区间π(0,)2上不存在零点．（2）由31()cos 16f x kx x x x >---，得sin 1x kx >-， ∵π(0,)2x ∈，故sin 1x k x+<， 令sin 1()x t x x +=，则2cos sin 1()x x x t x x --'=， 令()cos sin 1m x x x x =--，则()sin 0m x x x '=-<恒成立，()m x 在π(0,)2上单调递减，∴()(0)10m x m <=-<，∴()0t x '<在π(0,)2上恒成立，即()t x 在π(0,)2上单减，∴π4()()2πt x t >=，∴4πk ≤， ∴k 的取值范围是4(,]π-∞．21．【答案】（1）4；（2）存在定点P ，5(0,)4P -． 【解析】由题意可设直线l 的方程为1y kx =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由22121y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得22(2)210k x kx +--=， 则224480Δk k =++>恒成立，12222k x x k +=+，12212x x k -=+， 121224()22y y k x x k -+=+-=+，21212222(1)(1)2k y y kx kx k -=--=+． （1）221||2k AB k +==+， 线段AB 的中点的横坐标为22kk +， ∵以AB为直径的圆与x =22kk =+，解得k =此时12||22AB +==+，∴圆的半径为4． （2）设0(0,)P y ，212102012120120()()()PA PB x x y y y y x x y y y y y y ⋅=+--=+-++u u u r u u u r222220000022224(2)2411222222y y k y y k y k k k k -+++--=+++=++++， 由22000224112y y y -++=，得054y =-，716PA PB ⋅=-u u u r u u u r ， ∴y 轴上存在定点5(0,)4P -，使得PA PB ⋅u u u r u u u r 为定值．22．【答案】（1）221(43x y y +=≠10x +-=；（2）12． 【解析】（1）∵<≤且22()12x +=， ∴C的普通方程为221(43x y y +=≠，1:2cos )12l ρθθ+=sin cos 1θρθ+=， ∴l10x +-=．（2）由（1）可设C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则可设C上任意一点坐标为(2cos )θθ， 则C 上点到l距离为d ==当sin()1θϕ+=时，min 12d =， ∴曲线C 上的点到l距离的最小值为12． 23．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）∵0a >，0b >，0c >，∴422a a +=++≥=，422b b +=++≥=422c c +=++≥=故(4)(4)(4)216a b c +++≥=，当且仅当2a b c ===时取等号，∴(4)(4)(4)216a b c +++≥．（2）22223()()()3[()()()]a b b c c a a b b c c a +++++≥=+++2223333)3(8)36431648abc ≥⨯=⨯=⨯=⨯=，当且仅当a b c ==时取等号，∴222()()()48a b b c c a +++++≥．。
陆良县2020届高三毕业班第二次摸底考试文科数学试题卷（考试时间：120分钟；全卷满分：150分）一、选择题:（本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．）1．设全集R U =，集合}032|{},31|{<-=<<=x x B x x A ，则=⋂)(B C A U （ ） A. )23,1( B. )3,23[ C. ),1(+∞ D. )23,(-∞ 2．化简复数iiZ +-=121（ ） A.i 2321-- B. i 2321- C. i 2321+- D. i 2321+3．已知向量)1,4(=，),2(m =，且)//(+，则=m （ ） A. 2- B.21-C. 21D. 2 4．云南北辰中学五四青年节在辰星堂上演了一个数学性节目，演员将一只鸽子用长为2米的绳子固定在一个棱长为4米的铁笼上顶中心位置（鸽子的飞行半径为2米），然后再将一只昆虫放入笼中，求鸽子能捉到昆虫的概率（ ） A.12π B. 8π C. 6π D. 4π5．如图所示的程序框图，若输入的c b a ,,分别为1,2,3，则输出的c b a ,,分别为（ ） A.321 B.123C.312D.213 6．将)42cos()(π-=x x f 的图象向左平移8π个单位后得到)(x g 的图象，则)(x g 有（ ）A. 为奇函数，在)40(π，上单调递減B. 为偶函数，在)883(ππ，-上单调递增C. 周期为π，图象关于点)083(，π对称 D. 最大值为1，图象关于直线2π=x 对称 7．已知一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ） A.3248+B.3288+ C.3748+D. 3788+ 8．若2log 31=a ，31)21(=b ，3log 2=c ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A.c a b <<B. a c b <<C. c b a <<D.a b c <<9．若21tan =α，则=+αα2cos 2sin 2( ). A ．45-B ．45C ．512-D ．512 10．在等差数列}{n a 中，已知24,24321=++=a a a a ，则=++654a a a （ ） A. 38 B. 39 C. 41 D. 4211．已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点B A ,，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. 7 B. 4 C.332 D.3 12．已知函数)(x f 的定义为R ,e f =-)1(,若对任意实数x 都有e x f >')(,则不等式e ex xf 2)(+>的解集是( )A.)1,(--∞B.),1(+∞-C.)1,1(-D.),1(+∞二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分共20分。
云南省陆良县2020届高三数学上学期第二次适应性考试试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.若集合，，则A. B.C. D. 或2.已知a为实数，若复数为纯虚数，则A. B. C. D. 23.的值等于A. B. C. D.4.若，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.5.在半径为2的圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为A. B. C. D.6.宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的A. 5B. 4C. 3D. 27.的展开式中，含的项的系数是A. B. C. 25 D. 558.函数的图象大致为A. B.C. D.9.等差数列的首项为2，公差不等于0，且，则数列的前2019项和为A. B. C. D.10.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为6，那么该双曲线的离心率为A. 2B.C.D.11.已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球O的球面上，和所在的平面互相垂直，，，，则球O的体积为A.B.C.D.12.已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知x，y满足不等式组，则的最小值为______．14.曲线在处的切线的倾斜角为______．15.各项均为正数的等比数列的前n项和为，已知，，则______．16.已知点在圆C：和圆M：的公共弦上，则的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题）17.已知，，，设．求的解析式并求出它的周期T．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，求的面积．18.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，，，．证明：平面平面ACD；当C点为半圆的中点时，求二面角的余弦值．19.随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率作了调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如表：际收入比调整前增加了多少？某税务部门在小明所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选3人作为新纳税法知识宣讲员，用随机变量X表示抽到作为宣讲员的收入在元的人数，求X的分布列与数学期望．20.已知椭圆的离心率，一个长轴顶点在直线上，若直线l与椭圆交于P，Q两点，O为坐标原点，直线OP的斜率为，直线OQ的斜率为．求该椭圆的方程；若，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．21.已知函数．当时，求函数的单调区间；当时，证明：其中e为自然对数的底数．22.已知过点的直线l的参数方程是为参数，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；若直线l与曲线C交于A，B两点，试问是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a 的值；若不存在，说明理由．23.已知，，，函数．当时，求不等式的解集；若的最小值为3，求的值，并求的最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：，，．故选：A．可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键，属于基础题．根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．【解答】解：，复数是纯虚数，且，得且，即，故选：A．3.【答案】B【解析】解：，故选：B．由题意利用二倍角公式，求得要求式子的值．本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：，，，，b，c的大小关系为．故选：B．利用指数函数、对数函数的单调性能求出a，b，c的大小关系．本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5.【答案】D【解析】解：利用面积型几何概型公式可得，圆形铜片的面积，中间方孔的面积为，油滴正好落入孔中的概率为正方形的面积与圆的面积的比值，即油滴正好落入孔中的概率为．故选：D．利用题意将原问题转化为面积比值的问题，据此整理计算即可求得最终结果．本题考查几何概型及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：当时，，，满足进行循环的条件，当时，，满足进行循环的条件，当时，，满足进行循环的条件，当时，，不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选：B．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7.【答案】B【解析】解：二项式的展开式中，通项公式为，令，解得，此时为；令，解得，此时；所以展开式中含的项的系数是．故选：B．根据二项式展开式的通项公式求出展开式中的常数项和含项，再求结果即可．本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数图形的识别，关键掌握函数的奇偶性，和函数值，属于基础题．先判断函数奇函数，再求出即可判断．【解答】解：，则函数为奇函数，故排除AD，当时，，故排除B，故选：C．9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查等差数列的通项公式、以及裂项相消法求数列的和，熟记公式即可，属于常考题型．先设等差数列的公差为d，根据题中条件求出公差，得到再由裂项相消法即可求出结果．【解答】解：设等差数列的公差为d，由，，可得，所以，因此，所以，所以数列的前2019项和为：．故选：B．10.【答案】A【解析】解：由抛物线，可得，则，故其准线方程为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，．抛物线的准线被双曲线截得的线段长为6，，又，，，则双曲线的离心率为．故选：A．先求出双曲线的焦点坐标，再利用抛物线的准线被双曲线截得的线段长为6，可得，借助于，求出a，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线与抛物线的简单性质，考查计算能力是中档题．11.【答案】C【解析】解：，，，，，的外接圆的半径为，和所在平面相互垂直，球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h，则，，，球O体积为．故选：C．证明，可得的外接圆的半径为，利用和所在平面相互垂直，球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h，则，求出球的半径，即可求出球O的体积．本题考查球O的体积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．12.【答案】A【解析】【分析】本题考查根的存在性及根的个数判断，将函数有3个零点转化为与有三个交点是关键，考查等价转化思想与数形结合思想的综合运用，属于中档题．将函数有3个零点转化为与有三个交点，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：，函数有3个零点方程有3个根与有三个交点，由得：当时，函数取得极大值；，在同一坐标系中作出两函数的图象如下：由图可知，当时，与有三个交点，即函数有3个零点．故选A．13.【答案】2【解析】解：，的几何意义为动点到原点距离的平方．作出x，y满足不等式组对应的平面区域如图：由图可知：原点到直线的距离最小．由点到直线距离公式得，的最小值为．故答案为：2．由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内动点到原点距离的平方，结合点到直线的距离公式求解．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.【答案】【解析】解：的导数为，可得曲线在处的切线的斜率为，由，，可得，故答案为：．求得函数y的导数，可得切线的斜率，由直线的斜率公式，可得倾斜角．本题考查导数的几何意义，考查直线的斜率公式的运用，运算能力，属于基础题．15.【答案】150【解析】解：依题意，数列是各项均为正数的等比数列，所以，，，，，也成等比数列，因为，，所以，，，，所以．故答案为：150．数列是各项均为正数的等比数列，所以，，，，，也成等比数列，又因为，，所以，，，，故．本题考查了等比数列的性质，等比数列的前n项和，属于基础题．16.【答案】16【解析】解：根据题意，圆C：和圆M：，联立，变形可得：，即两圆公共弦所在直线的方程为，若点在圆C和圆M的公共弦上，则有，即，则，又由，，则，当且仅当时等号成立，故，即的最小值为16；故答案为：16．根据题意，联立两个圆的方程，变形可得两圆公共弦的方程，即可得，据此可得，结合基本不等式的性质分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题．17.【答案】解：由，，，则，即函数的周期，故，周期为．因为，所以，所以，又，所以，所以，又，，由余弦定理得：，所以，所以，即，故答案为：．【解析】平面向量数量积的运算得：，即函数的周期，由余弦定理及三角形面积公式得：因为，所以，又，，由余弦定理得：所以，即，得解．本题考查了平面向量数量积的运算、余弦定理及三角形面积公式，属中档题．18.【答案】证明：是圆O的直径，，平面ABC，平面ABC，，又，平面ACD，，，四边形DCBE是平行四边形，，平面ACD，又平面ADE，平面平面ADE．当C点为半圆的中点时，，以C为原点，以CA，CB，CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则0，，，0，，，，0，，，0，，设平面DAE的法向量为，平面ABE的法向量为，则，，即，，令得0，，令得1，．．二面角是钝二面角，二面角的余弦值为．【解析】由，得平面ACD，证明四边形DCBE是平行四边形得，故而平面ACD，于是平面平面ACD；建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．19.【答案】解：按调整起征点前应纳税为：；按调整起征点后应纳税为：；；所以小明实际收入增加了220元；由频数分布表可知抽取的7人中占4人，中占3人，X的取值可能值0，1，2，3；；；；；所以X的分布列为：【解析】分别计算小明调整前后的税收，实际收入比调整前增加的为税收减少的部分由频数分布表可知抽取的7人中占4人，中占3人，X的取值可能值0，1，2，3；列出分布列，利用期望定义公式计算即可．本题考查了税收的计算，离散型随机变量的期望的计算和定义，属于基础题．20.【答案】解：因为直线与x轴的交点坐标为，所以，则由得，所以，所以椭圆的方程为：；设，，当直线PQ的斜率存在时，设其方程为，联立，整理得，则，解得，则，，所以，又点O到直线的距离，所以，又因为，所以，所以，当直线PQ的斜率不存在时，，故的面积是定值1．【解析】根据条件可得，由离心率得c，进而求出b；分别算出PQ斜率存在与不存在时的面积．本题考查直线与椭圆的综合，涉及直线与椭圆形成的三角形面积表示，属于中档题．21.【答案】解：由题意可知，函数的定义域为，，当时，恒成立，故的单调递增区间为，当时，在区间，时， 0'/>，在区间时，，的单调递增区间为，，单调递减区间为，当时，在区间，时， 0'/>，在区间时，，的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，由，只需证，令，，，设，则，当时，，单调递减；当时， 0'/>，单调递增，当时，取得唯一的极小值，也是最小值，的最小值是成立，故成立．【解析】利用导数，对a分情况讨论，分别求出函数的单调区间；当时，由，只需证，令，，利用导数求出函数的最小值，再证出，故成立．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，是中档题．22.【答案】解：由为参数，消t得直线l的普通方程为．由，得，代入，，得曲线C的直角坐标方程为；由于曲线C的直角坐标方程为，则圆心，，圆心到直线l的距离，根据垂径定理可得，即，解得．实数．【解析】把直线参数方程中的参数t消去，可得直线的普通方程，由，得，结合，，可得曲线C的直角坐标方程；求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线l的距离，由垂径定理列式求得a值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．23.【答案】解：当时，不等式即，化为．当时，化为：，解得；当时，化为：，化为：，解得；当时，化为：，解得．综上可得：不等式的解集为：；由绝对值三角不等式得，由柯西不等式得，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为3．【解析】直接利用绝对值不等式的应用求出结果．利用关系式的变换和柯西不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法及应用，柯西不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．。
2020届云南省陆良县高三上学期第二次适应性考试数学（理）试题一、单选题1．若集合{|02}A x x =≤≤，2{|1}B x x =<，则A B ⋂=（ ） A ．{|01}x x ≤< B ．{|12}x x <≤ C ．{|02}x x <≤ D ．{0x x 或1}x <-【答案】A【解析】可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】 解：{|02}A x x =≤≤，{|11}B x x =-<<，{|01}A B x x ∴⋂=≤<．故选：A ． 【点睛】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．已知a 为实数，若复数()()12a i i +-为纯虚数，则a =（ ） A ．12-B ．2C ．12D ．2-【答案】D【解析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可． 【详解】()()12a i i +-＝()212a a i ++-，∵复数是纯虚数，∴20a +=且120a -≠得2a =-且a ≠12，即2a =-， 故选D ． 【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键，属于基础题．3．22sin 15cos 15sin15cos15︒︒︒︒++的值等于( )A ．2B ．54C ．32D ．14+【答案】B【解析】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，即可求解，得到答案． 【详解】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式， 可得22sin 15cos 15sin15co 1151sin 3012454s1︒︒︒︒︒==++=++，故选B ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式的应用，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．4．若31log 2a =，2log 3b =，312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B【解析】易知0a <，1b >，01c <<，∴b c a >>，故选B.5．在半径为2圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（ ） A ．4πB ．3πC ．2πD ．1π【答案】D【解析】根据面积比的几何概型，即可求解飞针能从正方形孔中穿过的概率，得到答案. 【详解】由题意，边长为2的正方形的孔的面积为1224S =⨯=， 又由半径为2的圆形纸板的面积为224S ππ=⨯=，根据面积比的几何概型，可得飞针能从正方形孔中穿过的概率为1414S P S ππ===， 故选D. 【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算，以及正方形的面积和圆的面积公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n =（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】解：当1n =时，152a =，4b =，满足进行循环的条件， 当2n =时，454a =，8b =满足进行循环的条件， 当3n =时，1358a =，16b =满足进行循环的条件，当4n =时，40516a =，32b =不满足进行循环的条件，故输出的n 值为4， 故选：B ． 【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7．()26112x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 的项的系数是（） A ．-40 B ．-25 C ．25 D ．55【答案】B【解析】写出二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的通项，然后观察含2x 的项有两种构成，一种是()212x+中的1与61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的二次项相乘得到，一种是()212x +中的22x 与61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的常数项相乘得到，将系数相加即可得出结果。
