用放缩法证明数列中的不等式(共 32张PPT)

利用放缩法证明数列型不等式处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。

放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。

对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的娃带来一盏明灯。

一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。

裂项放缩法主要有两种类型：（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。

例1设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =。

设2nn nT S =，1,2,3,n =，证明：132ni i T =<∑。

证明：易得12(21)(21),3n nn S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++==-----， 112231113113111111()()221212212121212121nn i i i n n i i T ++===-=-+-++---------∑∑=113113()221212n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1112121n n +---，然后再求和，即可达到目标。

（2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。

例 2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ，2n n n T S S =-； （I ）求证：1n n T T +>； （II ）求证：当2n ≥时，2n S 71112n +≥。

For personal use only in study and research; not for commercialuse几种常见的放缩法证明不等式的方法一、 放缩后转化为等比数列。

例1. {}n b 满足：2111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+（1） 用数学归纳法证明：n b n ≥（2） 1231111...3333n n T b b b b =++++++++，求证：12n T < 解：(1)略(2)13()2(3)n n n n b b b n b ++=-++ 又 n b n ≥132(3)n n b b +∴+≥+ ， *n N ∈迭乘得：11132(3)2n n n b b -++≥+≥ *111,32n n n N b +∴≤∈+ 234111111111...2222222n n n T ++∴≤++++=-< 点评：把握“3n b +”这一特征对“21(2)3n n n b b n b +=--+”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。

这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！二、放缩后裂项迭加例2．数列{}n a ，11(1)n n a n +=-，其前n 项和为n s求证：2n s <解：2111111...234212n s n n =-+-++-- 令12(21)n b n n =-，{}n b 的前n 项和为n T当2n ≥时，1111()2(22)41n b n n n n≤=--- 2111111111111()()...()2123043445641n n s T n n ∴=≤+++-+-++--71104n =-< 点评:本题是放缩后迭加。

放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。

值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。

放缩法证明不等式放缩法是一种非常常用的证明不等式的方法，它通过逐步削弱不等式的一侧，使得最后的不等式很容易得到证明。

本文将通过一些例子来说明放缩法的使用。

例1：证明Cauchy不等式Cauchy不等式的表述为：对于任意的实数a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn，有：(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2) >=(a1b1+a2b2+...+anbn)^2证明方法如下：首先，我们注意到不等式的左边是一个平方形式，而右边是一个乘积形式。

我们可以利用这个观察来放缩不等式。

由平均值不等式，我们有：(a1^2+a2^2+...+an^2)/n >=(a1+a2+...+an)^2/n^2同样，(b1^2+b2^2+...+bn^2)/n >= (b1+b2+...+bn)^2/n^2将这两个不等式相乘，得到：(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2) >=[(a1+a2+...+an)(b1+b2+...+bn)/n]^2注意到右边的中括号内的部分就是(a1b1+a2b2+...+anbn)/n，我们可以进一步放缩为：[(a1+a2+...+an)(b1+b2+...+bn)/n]^2 >= (a1b1+a2b2+...+anbn)^2因此，我们得到了Cauchy不等式的证明。

例2：证明AM-GM不等式AM-GM不等式的表述为：对于非负实数a1,a2,...,an，有：(a1+a2+...+an)/n >=(a1a2...an)^(1/n)证明方法如下：我们首先注意到不等式的左边是一个平均值形式，而右边是一个几何平均值的形式。

我们可以利用这个观察来放缩不等式。

由平均值不等式，我们有：(a1+a2+...+an)/n >= √(a1a2...an)对于任意的i，我们可以用a1a2...an的值来替换ai，则不等式仍然成立：(a1+a2+...+an)/n >= √(a1a2...an)因此，我们得到了AM-GM不等式的证明。

数列不等式是高考的一个考点，这类问题是把数列知识与不等式的内容整合在一起，形成了证明不等式，求不等式中的参数范围，求数列中的最大项，最小项，比较数列中的项的大小关系，研究数列的单调性等不同解题方向的问题，而数列的条件的给出是多种多样的，可以是已知的等差数列，等比数列，也可以是一个递推公式，或者是一个函数解析式。

数列不等式的证明和解决，要调动证明不等式的各种手段，如比较法，放缩法，函数法，反证法，均值不等式法，数学归纳法，分析法等等，因此，这类题目从已知条件给出的信息，求解目标需求的信息中，可寻求的解题过程所用的方法是相当丰富的，并且对于考查逻辑推理，演绎证明，运算求解，归纳抽象等理性思维能力以及数学联结能力都是很好的素材。

放缩法放缩法是要证明数列不等式的一种常见方法，如当证明A<B 成立不容易，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小，以达到证明不等式的方法。

放缩法证明不等式的理论依据主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较。

常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用均值不等式进行放缩。

常用数列不等式证明中的裂项形式:（1）(1111n n =-+n(n+1)1111()1k n k =-+n(n+k); (2) 211111()1211k k k <=---+2k (3)211111111(1)(1)1k k k k k k k k k-=<<=-++-- (4)1111(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦; (5)()()111!!1!n n n n =-++(6)212212(1)11n n n n n n n n n +-=<<=--+++-11(1)2n n n >+)(7)012310112...2(1)2121n n n n nn n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C n n --=++++++≥+++=+⇒-≥+已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和满足1>n S ，且*),2)(1(6N n a a S n n n ∈++= （1）求{n a }的通项公式；（2）设数列{n b }满足1)12(=-n b n a ，并记n T 为{n b }的前n 项和，求证：*2),3(log 13N n a T n n ∈+>+（Ⅰ）解：由)2)(1(611111++==a a S a ，解得a 1＝1或a 1＝2，由假设a 1＝S 1＞1，因此a 1＝2。

放缩法证明数列不等式典例精讲1.已知数列a n 的前n 项和为S n ，若4S n =2n -1 a n +1+1，且a 1=1(1)求证：数列a n 是等差数列，并求出a n 的通项公式(2)设b n =1a n S n ，数列b n 的前n 项和为T n ，求证：T n <32解：(1)4S n =2n -1 a n +1+1∴4S n -1=2n -3 a n +1n ≥2∴4a n =2n -1 a n +1-2n -3 a n n ≥2即2n +1 a n =2n -1 a n +1⇒a n +1a n =2n +12n -1∴a n a n -1=2n -12n -3,a n -1a n -2=2n -32n -5,⋯,a 3a 2=53∴a n a n -1⋅a n -1a n -2⋅⋯⋅a 3a 2=2n -12n -3⋅2n -32n -5⋅⋯⋅53即a n a 2=2n -13n ≥2 ∴a n =2n -13a 2，由4S n =2n -1 a n +1+1令n =1可得：4S 1=a 2+1⇒a 2=3∴a n =2n -1n ≥2 ，验证a 1=1符合上式∴a n =2n -1S n =n 2(2)由(1)得：b n =12n -1 n 2=1n 2n -1 b 1=1可知当n ≥2时，b n =1n 2n -1 <1n 2n -2 =12n n -1=121n -1-1n ∴T n =b 1+b 2+⋯+b n <b 1+121-12 +12-13+⋯+1n -1-1n=1+121-1n <32不等式得证2.设数列a n 满足：a 1=1,a n +1=3a n ,n ∈N ∗，设S n 为数列b n 的前n 项和，已知b 1≠0，2b n-b 1=S 1⋅S n ,n ∈N ∗(1)求数列a n ,b n 的通项公式(2)求证：对任意的n ∈N ∗且n ≥2，有1a 2-b 2+1a 3-b 3+⋯+1a n -b n<32解：(1)∵a n +1=3a n ∴a n 为公比是3的等比数列∴a n =a 1⋅3n -1=3n -1在b n 中，令n =1，2b 1-b 1=S 1⋅S 1⇒b 1=1∴2b n -1=S n 2b n -1-1=S n -1∴2b n -2b n -1=b n n ≥2 ⇒b n =2b n -1∴b n 是公比为2的等比数列∴b n =b 1⋅2n -1=2n -1(2)证明：1a n -b n =13n -1-2n -1<13n -21a 2-b 2+1a 3-b 3+⋯+1a n -b n<1+13+⋯+13n -2=1⋅1-13n -11-13=321-13n -1<323.已知正项数列a n 的前n 项和为S n ，且a n +1a n=2S n ,n ∈N ∗(1)求证：数列S 2n 是等差数列(2)记数列b n =2S 3n ,T n =1b 1+1b 2+⋯+1b n ，证明：1-1n +1<T n ≤32-1n解：(1)a n +1a n =2S n ⇒S n -S n -1+1S n -S n -1=2S n n ≥2∴1S n -S n -1=S n +S n -1∴S 2n -S 2n -1=1∴S 2n 为等差数列(2)思路：先利用(1)可求出S n 的公式进而求出b n =2n n ，则1b n =12n n，考虑进行放缩求和，结合不等号的方向向裂项相消的形式进行放缩。