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式.成立
2假设 nkk当 1时 ,不等,即 式 |s有 成 ik n| 立 k|sin |.
当nk1时,
|s k i 1 n | |sk i c n o c k s o s|i s n 22
|sk in c o | |s ck o ss i|n
|sk i|n |co | |c sk o ||s si|n
(ab)(ab)2
a ,b 0 , a b 0 又 a b (a b )2 0
故 ( a b ) a ( b ) 2 0 即 ( a 3 b 3 ) ( a 2 b a 2 ) b 0
a3b3a2ba2b
例2 如果a用 k白 g 糖制 bk出 糖 g 溶,则 液其浓度 a, 为 b
abc 故 a 2b 2 b 2c 2 c 2a 2 abc
abc
三、反证法与放缩法
(1)反证法
先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条 件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到 和命题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实 等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成 立,这种方法称为反证法.对于那些直接证明比较困难 的命题常常用反证法证明.
1 x 与 1 y 中至少有一个小于
2
y
x
例 2已 a ,b ,c 知 为,a 实 b c 数 0 a, b b c c a 0, a b 0 求 c , :a 证 0 b ,0 c ,0.
证 明: 假 设a,b,c不 全 是 正,数 即 其 中 至 少 有 一 个正不数是, 不妨先设 a 0,下面分a 0和a 0两种情况讨. 论 (1)如果a 0,则abc 0,与abc 0矛盾,a 0不可能. (2)如果a 0,那么由abc 0可得bc 0,又abc 0, bc a 0,于是abbcca a(bc)bc 0, 这和已知 abbcca 0相矛盾.a 0也不可能 . 综上所述 a 0,同理可证 b 0,c 0,所以原命题成. 立
24
当nk1时,
1xk1 1x1xk 1x1kx1xk xk2x 1k1x.
所 式成立
你能说出证明中每的 一理 步由中?吗
25
a
b
ab
.
1ab 1ab 1a 1b
21
四、数学归纳法
例 2 证明不 |sinn 等 |n|式 sin|nN.
分析这是一个涉及n正 的整 三数 角函数, 问题 又与绝对值,在 有证 关明递推关 ,应系注时意利 用三角函数的性对质值及不绝等 . 式
证1 明 当 n 1 时 ,上式 |s i左 |n 右 ,边 不 边 等
由 于 a,b,c不 全 相 ,所等 以 上 述 三 个少式有子一中个 取 等,把 号它 们 相 加 得
a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc
例 2已 a 1 ,a 知 2 , ,a n R ,且 a 1 a 2 a n 1 求 (1 证 a 1 )1 ( a 2 ) (1 a n ) 2 n
例 3已a,b 知 ,c,d R ,求 证
1 a b c d 2 abd bca cdb dac
证明 : a , b , c , d 0 ,
a
a a
abcd abd ab
b
b b
abcd bca ab
c
c c
abcd cd b cd
d
d d
abcd d ac cd
把以上四个不等式得相加
证明: a1 R ,1 a1 2 a1 , 同理1 a2 2 a2 , ,1 an 2 an a1,a2, ,an R ,由不等式的性,质得 (1 a1)(1 a2) (1 an) 2n a1a2 an 2n. ai 1时,1 ai 2 ai 取等号, 所以原式在a1 a2 an 1时取等号.
(2)放缩法
证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或 缩小,可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确 或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形,从而达 到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.
通常放大或缩小的方法是不唯一的,因而放缩法具有 较在原灵活性;另外,用放缩法证明不等式,关键是放、 缩适当,否则就不能达到目的,因此放缩法是技巧性较 强的一种证法.
例1 已知x, y0,且x y2,
试证1x,1 y中至少有一个2.小于 yx
证明
: 假设
1
x
1 ,
y
都不小于
2,
yx
即 1 x 2,且 1 y 2,
y
x
x , y 0 , 1 x 2 y , 1 y 2 x ,
2 x y 2(x y) x y 2,
这与已知条件 x y 2 矛盾 .
abcd a b c d abcd abd bca cbd dac
abcd. 即 ab cd
1 a b c d 2 abd bca cba dac
例 4已 a ,b 是 知,求 实a 证 数 bab. 1 a b1 a1 b
证 明 :0 ab a b
ab
1
1
1
1
ab
1ab 1ab 1ab 1ab
下面给出证明
bm b
amam(ba) bm b b(bm)
baba0,又 a,b,m都 是,正 数
m(ba)0,b(bm)0
m (b a ) 0即 a m a 0 a m a b (b m ) b mb b mb
(2)作商比较法
例 3已a知 ,b是 正 ,求数 a证 abbabba, 当且a仅 b时 当 ,等号. 成立
(2)分析法
从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至 所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公 理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立, 这种证明方法叫做分析法.这是一种执果索因的思考和 证明方法.
用分析法证明不等式的逻辑关系
BB1 B2 Bn A 结 (步步寻求不等已 式 论 成立的充分) 条知 件
用分析法证“若A则B”这个命题的模式是: 为了证明命题B为真, 只需证明命题B1为真,从而有…… 只需证明命题B2为真,从而有……
…… 只需证明命题A为真. 而已知A为真,故B必真.
例 3求2 证 736
证明 : 2 7和 3 6都是正数 , 所以要证 2 7 3 6 , 只需证 ( 2 7 )2 ( 3 6 )2 , 展开得 9 2 14 9 2 18 , 只需证 14 18 , 只需证 14 18 , 14 18 成立 , 所以 2 7 3 6成立 .
证:明 a ab ab ba baabbbaa bab
根 据 要 证 的 不点 等 (交式 换 a,的 b的特 位,不 置等 式)不
不 妨a设 b0,则a1,ab0,aab 1
b
b
当且仅 a当 b时,等号成 . 立
aabbabba,当且a 仅 b时 ,等 当号. 成立
二、综合法与分析法
(1)综合法
在不等式的证明中,我们经常从已知条件和不等式的性 质、基本不等式等出发,通过逻辑推理,推导出所要证明 的结论.这种从已知条件出发,利用定义、公理、定理、 性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种 证明方法叫做综合法.又叫顺推证法或由因导果法.
用综合法证明不等式的逻辑关系
AB1B2BnB (已 知 )(逐 步 推 演 不 等 必式 要成 条 )(结 立 件 论 ) 的
若在上述溶液m 中k白 再 g 糖 添 ,此加 时溶液的浓
增加a到 m,将这个事实抽问 象题 为 ,并数 给学 出.证 bm
解:可以把上述事如 实下 抽不 象等 成式 : 问
已知 a,b,m都是正 ,并数 ab且,则ama bm b
解:可以把上述事如 实下 抽不 象等 成式 : 问
已知 a,b,m都是正 ,并数 ab且,则ama
那 么 1有 xn1n.x
分析贝努利不等式个 中字 涉,x母 及 表两 示大 于1且不等 0的于任意,实 n是数大1的 于自然 , 数 我们用数学归对 纳n进 法行 只归 能 . 纳
证明 1当 n2时 ,由x于 0得 1x212xx212x,不等式 . 成立
2假设 n当 kk2时不等,式 即成 有立 1xk 1kx.
例 1已a,知 b,c0,且 不,全 相 等
求a(证 b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc
证 : b 2 明 c 2 2 b ,a c 0 , a ( b 2 c 2 ) 2 ab c 2 a 2 2 a ,b c 0 , b ( c 2 a 2 ) 2 abc a 2 b 2 2 a ,c b 0 , c ( a 2 b 2 ) 2 abc
例 4已 a ,b ,知 c 0 ,求 a 2 b 证 2 b 2 c 2 c 2 a 2 ab a b c
分析:要证的不等式可化为 a2b2 b2c2 c2a2 abc(a bc) 观察上式 ,左边各项是两个字平母方的之积 , 右边各项涉及三个,字 可母 以考虑用 x2(y2 z2) 2x2yz
|sikn ||sin|
k|sin ||sin |
k1|sin |.
所以n当k1时不等式.成立
由 12可,知 不等式对一 n均 切成 正 . 立 整
你能说出证明中每的 一理 步由中?吗
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例 3 证明贝 B努 ern利 不 ou等 ll:i 式
如x果 是 实 ,且 数 x1,x0,n为 大 1的 于自,然 数
一、比较法 (1)作差比较法
例 1已 a , b 都 知 ,是 且 a b ,求 实 a 3 b 证 3 数 a 2 b a 2
证 : ( a 3 b 3 明 ) ( a 2 b a 2 ) b ( a 3 a 2 b ) ( a 2 b b 3 )
a 2 ( a b ) b 2 ( a b ) ( a 2 b 2 )a (b )
