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数列第8讲 不等式放缩金版P 108 典例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝na n ＋2a n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 的前n 项和为T n ，求证：T n <4.解题思路 (1)先根据2S n ＝na n ＋2a n －1和a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，推出数列{a n }的递推公式，再求a n .(2)根据⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 的通项公式的结构形式，联系裂项求和法进行适当放缩，再求和，证明T n <4. 规范解答 (1)解法一：当n ＝1时，2S 1＝a 1＋2a 1－1，所以a 1＝1.当n ≥2时，2S n ＝na n ＋2a n －1，①2S n －1＝(n －1)a n －1＋2a n －1－1.②①－②，得2a n ＝na n －(n －1)a n －1＋2a n －2a n －1，所以na n ＝(n ＋1)a n －1.所以a n n ＋1＝a n －1n . 所以a n n ＋1＝a n －1n ＝…＝a 11＋1＝12，即a n ＝n ＋12. 当n ＝1时，a 1＝1也满足此式．故数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋12.解法二：当n ＝1时，2S 1＝a 1＋2a 1－1，所以a 1＝1.当n ≥2时，2S n ＝na n ＋2a n －1，①2S n －1＝(n －1)a n －1＋2a n －1－1.②①－②，得2a n ＝na n －(n －1)a n －1＋2a n －2a n －1，所以na n ＝(n ＋1)a n －1.所以a n a n －1＝n ＋1n . 所以a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a n a n －1＝1×32×43×…×n ＋1n ＝n ＋12. 当n ＝1时，a 1＝1也满足此式．故数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋12.(2)证明：由(1)得a n ＝n ＋12，所以1a 2n ＝4(n ＋1)2<4n (n ＋1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以T n ＝422＋432＋442＋…＋4(n ＋1)2<41×2＋42×3＋43×4＋…＋4n (n ＋1)＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1<4. 黄皮（首选卷）P 67 17．对于实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，已知正数数列{a n }满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ，n ∈N *，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是( ) A ．数列{S 2n }是等差数列B ．S n ＝nC ．a n ＝n －n －1D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1S 1＋1S 2＋…＋1S 121＝20 答案 ABCD解析 由题意可知S n ＞0，当n ＞1时，S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(S n －S n －1)＋1S n －S n －1，化简，得S 2n －S 2n －1＝1，当n ＝1时，S 21＝a 21＝1，所以数列{S 2n }是首项和公差都为1的等差数列，A 正确；因为S 2n ＝n ，所以S n ＝n ，n ＝1也符合该式，故S n ＝n ，B 正确；当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n －n －1，n ＝1也符合该式，故a n ＝n －n －1，C 正确；因为当n ＞1时，2(n ＋1－n )＝2n ＋1＋n ＜22S n ＜2n ＋n －1＝2(n －n －1)， 记S ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S 121， 一方面S ＞2[122－121＋…＋2－1]＝2(122－1)＞20， 另一方面S ＜1＋2[(121－120)＋…＋(2－1)]＝1＋2(121－1)＝21. 所以20＜S ＜21.即[S ]＝20，D 正确．故选ABCD ．例3.已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，且n n n a a S 242+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧31n a 前n 项和为n T ，求证.325<n T 【解析】（1）na n 2=))1(1)1(1(161)1)(1(81)1(8181223+--=-+=-<n n n n n n n n n n ）（325)1(1)1(1.....32121116181<+--++⨯-⨯+<）（原n n n n 例4.数列{}n a 中，11=a ，.131+=+n n a a （1）证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 是等比数列；（2）求证：2311121<+++n a a a .【解析】：（Ⅰ）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，所以112312n n a a ++=+，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，首项为11322a +=，公比为3，所以12n a +=1332n -⋅，解得n a =312n -. （Ⅱ）由（Ⅰ）知：n a =312n -，所以1231n n a =-， 因为当1n ≥时，13123n n --≥⋅，所以1113123n n -≤-⋅，于是11a +21a +1n a 111133n -≤+++=31(1)23n -32<，所以11a +21a +1n a 32<. （或者放为1311321-<-=n n n a ）。
数列不等式中的放缩法数列不等式的证明是高中数学一个难点,期中最常见的方法是放缩法,这种方法的思维跳跃性大,不好控制,笔者在多年的教学实践中总结下列几种常见的放缩法.一．裂项放缩例1，已知an=1n2,sn=a1+a2+ …+an 求证sn1)∴sn=a1+a2+ …+an 1),∴sn=a1+a2+ …+anb1所以我们要从第2项开始放大:即要使12=b21-q 取q=12 则b2=14 当n=1时b1=1当n>1时bn=12n+1满足an bn所以sn=a1+a2+a3……+aAT/JINeXTrwZDSX3Y/qtUw==n构造无穷递缩等比数列的方法证明数列不等式是通用方法,其中b1和q的取法是多样的,但是要注意始终保证an bn条件下确定是从第几项开始放大，当然有时候存在前面几项放得太大,也需要确定从第几项开始放大更恰当的问题.例5,已知,an=13n-2n,sn=a1+a2+a3……+an.求证sn0)，则有an a1qn-1，若sn为数列{an}的前n项和，则有sn a1(1-qn)1-q .已知正数数列{an}满足an+1an q(q>0)，则有an a1qn-1，若为数列{an}的前n项和，则有sn a1(1-qn)1-q例7, 已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,0）（n∈N*），其中xn为正实数.（Ⅰ）用xn表示xn+1；（Ⅱ）若x1=4，记an=lgxn+2xn-2 ，证明数列{an}成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式；（Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn0.∴bn+1bn=32n-1-132n-1=132n-1+1 1时，bn 4a1+an+4a2+an-1+…+4an+a1=4na1+an所以1a1+1a2+…+1an2na1+an其计算过程是对数列{1an进行倒序相加，再应用均值不等式（调和平均数小于或等于算数平均数）就能得到相应的不等式.例8.设数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*,都有an>0,且满足(a1+a2+…+an)2=a31+a32+…+.an(1)求数列{an}的通项公式;(2)当09n-14n+3.解(1):当n=1时,a1=s1=a31,所以a1=1.当n=2时,s2=a31+a32,即a1+a2=a31+a32,所以a2=2.由题知,a31+a32+…+a3n=(a1+a2+…+an)2,①a31+a32+…+a3n+a3n-1=(a1+a2+…+an+an+1)2,②由②-①得a3n+1=(a1+a2+…+an+an+1)2-(a1+a2+…+an)2,因为a n+1>0,所以a2n+1=2(a1+a2+…+an)+an+1,③a2n=2(a1+a2+…+an-1)+an(n≥2),④由③-④得a2n+1-a2n=an+an+1,所以an+1-an=1.因为a2-a1=1,所以当n≥1时都有an+1-an=1,所以{an}是以1为首项,以1为公差的等差数列,故an=n.(2)证明:因为bn=(1-λ)(n+12,cn=λ(n+1),所以1bncn=4λ(1-λ)(2n+1)(2n+2)≥16(2n+1)(2n+2)=162n+1-162n+2,所以Tn≥16[(13-14)+(15-16)+…+(12n+1-12n+2)]=16[13+14+15+…+12n+1+12n+2-2(14 +16+…+12n+2)]=16(1n+2+1n+3+…+12n+2-12).设tn=1n+2+1n+3+…+12n+2,倒序相加得2tn=(1n+2+12n+2)+(1n+3+12n+1)+…+(12n+2+1n+2)>43n+4+43n+4+…+43n+4所以tn>2(n+1)3n+4, 从而Tn>16[2(n+1)3n+4-12]=8n3n+4.因为8n3n+4-9n-14n+3=(5n-4)(n-1)(3n+4)(4n+3)≥0,所以Tn>9n-14n+3.<32</n+1-n.。
放缩法证明数列不等式一、基础知识：在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。
本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若,a b b c >>，则a c >（此性质为放缩法的基础，即若要证明a c >，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b ，使得a b >，从而将问题转化为只需证明b c >即可 ）（2）若,a b c d >>，则a c b d +>+，此性质可推广到多项求和：若()()()121,2,,n a f a f a f n >>>L ，则:()()()1212n a a a f f f n +++>+++L L （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：① 等差数列求和公式：12nn a a S n +=×，n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数）② 等比数列求和公式：()()1111n n a q S q q -=¹-，n n a k q =×（关于n 的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差´等比”的形式④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。
数列不等式放缩常见的放缩方法有：增加（减少）某些项，增大（减少）分子（分母），增大（减小）被开方数，增大（减小）底数（指数）。
利用不等式的性质或重要不等式，函数的性质。
一． 对于“和式”数列不等式，放缩的最主要目的是通过放缩，把原数列变为可求和数列1. 先求和后放缩例1.等差数列{}n a 中，113221=+a a ，42623-+=a a a ，其前n 项和为nS（1） 求数列{}n a 的通项公式 （2） 设数列{}n b 满足111-=+n n S b ，其前n 项和为nT 。
求证：)(43*N n T n ∈<变式1.设函数21()1+f x px qx=+（其中220p q +≠），且存在无穷数列{}n a ，使得函数在其定义域内还可以表示为212()1n n f x a x a x a x =+++++ . （1）求2a （用,p q 表示）；（2）当1,1p q =-=-时，令12n n n n ab a a ++=，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：32n S <；2.先放缩后求和类型一：通过放缩把原数列变为可以用“裂项法”求和的新数列 例1．求证：2131211222<++++nL变式1.35131211222<++++n L例2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2)12(1+=n a n 。
求证：41<n S变式1.已知数列{n a }中，n S 为其前n 项和，且12a a ≠，当n N +∈时，恒有n n S pna =（p 为常数）． (Ⅰ)求常数p 的值；(Ⅱ)当22a =时，求数列{n a }的通项公式； （Ⅲ）设14(2)n n n b a a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：74n T <．例3.已知数列{n a }中，31=a ，)(12*1N n a a n n ∈-=+ (1)设)(1*N n a b n n ∈-=.求数列{}n b 的通项n b 和前n 项和nS(2)设12+∙=n n nn a a c .记数列{}n c 的前n 项和为n T .求证:31<n T变式1: 已知数列{n a }的首项21=a ,前n 项和为n S ,且122,,+-n n a S a 成等差数列. (1)求数列{n a }的通项公式(2)记)1)(1(1--=+n n nn a a a b .求数列{}n b 的前n 项和n T ，并证明132<≤n T类型二:放缩为等比数列例1.已知数列{n a }满足11=a ，131+=+n n a a（1）证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 是等比数列，并求数列{n a }的通项公式（2）证明：2311121<+++n a a a L变式1.证明：5412112112112132<++++++++n L （从第三项起放缩为：n n21121<+）变式2.证明：34131213513313132<--++-+-+-n n L 提示：从第二项起放缩为：n nnn 321312<--得左边3433234)33265(21)323634(211132<+-=+-+=++++<++n n n n n n L二．利用均值不等式 例1：证明：2)2()1(3221+<+++∙+∙n n n n L变式 1.设)1(3221+++∙+∙=n n S n L 。
