数列不等式的放缩法教案资料

基于构造函数的放缩法证数列型不等式问题的教学设计教学内容分析证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其内在的函数规律进行恰当地放缩. 一、 学生学习情况分析任教的学生在年段属中上程度，学生学习兴趣较高，已经掌握了基本的数列求解问题的技巧，对于构造函数这方法，知道大致思路，但是不明确如何有效合理的构造能帮助解题，计算能力不是太过硬. 二、设计思想建构主义学习理论认为，建构就是认知结构的组建，其过程一般是引导学生从身边的、生活中的实际问题出发，发现问题，思考如何解决问题，进而联系所学的旧知识，首先明确问题的实质，然后总结出新知识的有关概念和规律，形成知识点，把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线形成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识体。

也就是以学生为主体，强调学生对知识的主动探索、主动发现以及学生对所学知识意义的主动建构。

基于以上理论，本节课遵循引导发现，循序渐进的思路，采用问题探究式教学，运用多媒体，投影仪辅助，倡导“自主、合作、探究”的学习方式。

具体流程如下：创设情景（课前准备、引入实例）→授新设疑→质疑问难、论争辩难（进一步加深理解→突破难点）→沟通发展（反馈练习→归纳小结）→布置作业 四、教学目标理解构造函数的功能，通过模仿、操作、探索，学习构造函数达到放缩的目的，以此来解决问题，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力；能运用构造函数的放缩法解决数列型不等式问题，增强学生的创新能力和应用数学的意识. 五、教学重点与难点重点：理解构造函数的目的，厘清构造函数与问题所需放缩的方向，最终完成合理构造 难点：如何构造出符合题情的函数，如何放缩 六、教学过程设计第一部分——问题引入求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n nn∈+-<++++Λ.【师生互动】：师生一起观察本例，试图确定本题所考查的知识点(数列、不等式、函数等)，所考查的数学思想方法（化归与转化的思想、函数的思想、特殊与一般的思想等），所考查的具体解题方法（放缩法等）；还有引导学生能不能把问题简化，或者换一种方式方法来表达，我以为理解题目不应只局限于“未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？”，而应体现在学生是否能用自己的语言复述题目，或者能用一幅图、一条线段图、一些符号来表示对题意的理解。

数列与不等式的放缩法放缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。

在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。

但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。

因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。

要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。

掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。

数列与不等式的综合问题常常出现在高考的后三题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩例1．（本小题满分14分）（2013广东文数）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列．(1)证明：2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式；(3) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<． 【解析】（1）当1n =时，22122145,45a a a a =-=+，20n a a >∴=（2）当2n ≥时，()214411n n S a n -=---，22114444n n n n n a S S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+ ∴当2n ≥时，{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a ∴=⋅，()()2222824a a a +=⋅+，解得23a =, 由（1）可知，212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-=∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （3）()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦点拔：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过变形后求和， 则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{}n a 满足条件()n f a a n n =-+1）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．练习1、（本小题满分14分）（2014汕头金山中学）已知数列{}n a 中，111,21nn n a a a a +==+)n N *∈（．（1）求证：数列}1{na 为等差数列； （2）设211n n b a =+ ，数列}{2+n n b b 的前n 项和n T ，求证：43<n T ．解：（1）由121n n n a a a +=+得：1112n n a a +-=且111a =， …………2分k$s#5u 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列， …………3分（2）由（1）得：1112(1)21,21n n n n a a n =+-=-=-得：； ------------5分 由211n nb a =+得：212112,n n n n b b n =-+=∴= ， ------------7分从而：)211(21)2(12+-=+=+n n n n b b n n ------------9分 则 24231++++=n n n b b b b b b T=)]211()4121()311[(21+-++-+-n n --------12分=)2111211(21+-+-+n n 31113()42124n n =-+<++ ------14分练习2、正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B解：（1）由已知平方去根号得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列， 由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n （2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ，所以=-+-+--+111111(1)23352121n B n n =-<+11122(21)2n （减项放缩法） 练习3、已知函数2()(1),()4(1)f x x g x x =-=-，数列{}n a 满足12a =，且1()()()0n n n n a a g a f a +-+=．（1）试探究数列{1}n a -是否是等比数列？（2）试证明11nii an =≥+∑.解：（1）由1()()()0n n n n a a g a f a +-+=得214()(1)(1)0n n n n a a a a +--+-=，即1(1)(441)0n n n n a a a a +--+-=∴10n a -=或14410n n n a a a +-+-= ∵12a =，∴10n a -=不合舍去. 由14410n n n a a a +-+-=得1431n n a a +=+，13144n n a a -=+，（2n ≥） ∴1113111344114n n n n a a a a ---+--==--， ∴数列{1}n a -是首项为111a -=，公比为34的等比数列.（2）证明：由（1）知数列{1}n a -是首项为111a -=，公比为34的等比数列 ∴131()4n n a --=，∴13()14n n a -=+，∴2113331()()444nn i i a n -==+++++∑＝3[1()]344[1()]3414n n n n -+=-+-∵对n N ∀∈*有33()44n ≤，∴3311()1444n -≥-=∴34[1()]14nn n -+≥+，即11n i i a n =≥+∑二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1)求证：2214n n na a S ++<；(2)<⋅⋅⋅+<解：（1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条件n n n S a a 22=+有21112n n n a a S ++++=，上述两式相减，注意到nn n S S a -=++11得0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-=所以， n n a n =-⨯+=)1(11，(1)2n n n S += 所以42)1(212)1(21222++=++•<+=n n n a a n n n n S （基本不等式222a b ab +≤放缩法） 法二：44)1(412222)1(2122222++=++=++<+=+=n n n a a n n n n n n n n S （添项放大） （2）因为1)1(+<+<n n n n ，（不等式性质放缩法）所以212)1(2+<+<n n n n ，n S +(2n n ⨯=+212322++++<n2122312-=+=+n S n n ；(放缩后成等差数列)n S+2n>+++==放缩后成等差数列) 综上, <⋅⋅⋅2．放缩后成等比数列，再求和例3． (本小题满分14分)（2012广东高考理）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1*1221()n n n S a n N ++=-+∈，且123,5,a a a +成等差数列。

用放缩法证明数列中的不等式放缩法证明数列不等式是数列中的难点内容，在近几年的高考数列试题中都有考查.放缩法灵活多变，技巧性要求较高，所谓“放大一点点就太大，缩小一点点又太小”，这就让同学们找不到头绪，摸不着规律，总觉得高不可攀！高考命题专家说：“放缩是一种能力.”如何把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩法的精髓和关键所在！其实，任何事物都有其内在规律，放缩法也是“有法可依”的，本节课我们一起来研究数列问题中一些常见的放缩类型及方法，破解其思维过程，揭开其神秘的面纱，领略和感受放缩法的无限魅力。

一. 放缩目标模型——可求和1(n ii a k k =<∑为常数）形（一）如2311111()2222n n *++++<∈N 求证：例1231232()2222n n n *++++<∈N 求证：变式12311111()21212121n n *++++<∈++++N 求证：变式2231232()2122232n n n n *++++<∈++++N 求证：变式3201319)11111()133557(21)(21)2n n n *++++<∈⨯⨯⨯-+N (广东文第(3)问求证：例222211112()23n n *++++<∈N 求证：变式12221117(201319(3))1()234n n *++++<∈N 广东理第：问求证变式222211151()233n n *++++<∈N 求证：变式3*22211151()35(21)4n n ++++<∈-N 求证：nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 111)1(111)1(11111211212)12)(12(4144441111121)1)(1(1111222222--=-<⋅=<+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-+=-<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-+=-<)3()111(2)1(21212)1(1)(1)11(12n 21210≥+-⋅=+<-∴+=+>-⋅⋅⋅+++=-+=-n n n n n n n C C C C C n n n n n n n )1(212n 22112)1(2--=-+<=<++=-+n n n n n n n n n )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n 常见的裂项放缩技巧：1111231(2009200)0S =++++珠海二求模理第(2)的整.问例数部分322331(2011113()3232322193(3))22n n n *++++<∈----N 求广东理第：问证例423111117()3214323232n n *++++<∈----N 求证：例4变式(1)(2)1223(1)()22n n n n n n n *++<⋅+⋅+++<∈N 例求证：5二. 放缩目标模型——可求积 135211()24(2060922121(2))n n n n *-⨯⨯⨯⨯<∈+N 求证东理：例广第问6（变式练习2）(1998全国理25第(2)问)*3111(11)(1)(1)(1)31()4732n n n ++++>+∈-N 求证：我们可以这样总结本节课学到的放缩方法：。

数列第8讲 不等式放缩金版P 108 典例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝na n ＋2a n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 的前n 项和为T n ，求证：T n <4.解题思路 (1)先根据2S n ＝na n ＋2a n －1和a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，推出数列{a n }的递推公式，再求a n .(2)根据⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 的通项公式的结构形式，联系裂项求和法进行适当放缩，再求和，证明T n <4. 规范解答 (1)解法一：当n ＝1时，2S 1＝a 1＋2a 1－1，所以a 1＝1.当n ≥2时，2S n ＝na n ＋2a n －1，①2S n －1＝(n －1)a n －1＋2a n －1－1.②①－②，得2a n ＝na n －(n －1)a n －1＋2a n －2a n －1，所以na n ＝(n ＋1)a n －1.所以a n n ＋1＝a n －1n . 所以a n n ＋1＝a n －1n ＝…＝a 11＋1＝12，即a n ＝n ＋12. 当n ＝1时，a 1＝1也满足此式．故数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋12.解法二：当n ＝1时，2S 1＝a 1＋2a 1－1，所以a 1＝1.当n ≥2时，2S n ＝na n ＋2a n －1，①2S n －1＝(n －1)a n －1＋2a n －1－1.②①－②，得2a n ＝na n －(n －1)a n －1＋2a n －2a n －1，所以na n ＝(n ＋1)a n －1.所以a n a n －1＝n ＋1n . 所以a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a n a n －1＝1×32×43×…×n ＋1n ＝n ＋12. 当n ＝1时，a 1＝1也满足此式．故数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋12.(2)证明：由(1)得a n ＝n ＋12，所以1a 2n ＝4(n ＋1)2<4n (n ＋1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以T n ＝422＋432＋442＋…＋4(n ＋1)2<41×2＋42×3＋43×4＋…＋4n (n ＋1)＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1<4. 黄皮（首选卷）P 67 17．对于实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，已知正数数列{a n }满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ，n ∈N *，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是( ) A ．数列{S 2n }是等差数列B ．S n ＝nC ．a n ＝n －n －1D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1S 1＋1S 2＋…＋1S 121＝20 答案 ABCD解析 由题意可知S n ＞0，当n ＞1时，S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(S n －S n －1)＋1S n －S n －1，化简，得S 2n －S 2n －1＝1，当n ＝1时，S 21＝a 21＝1，所以数列{S 2n }是首项和公差都为1的等差数列，A 正确；因为S 2n ＝n ，所以S n ＝n ，n ＝1也符合该式，故S n ＝n ，B 正确；当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n －n －1，n ＝1也符合该式，故a n ＝n －n －1，C 正确；因为当n ＞1时，2(n ＋1－n )＝2n ＋1＋n ＜22S n ＜2n ＋n －1＝2(n －n －1)， 记S ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S 121， 一方面S ＞2[122－121＋…＋2－1]＝2(122－1)＞20， 另一方面S ＜1＋2[(121－120)＋…＋(2－1)]＝1＋2(121－1)＝21. 所以20＜S ＜21.即[S ]＝20，D 正确．故选ABCD ．例3.已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，且n n n a a S 242+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧31n a 前n 项和为n T ，求证.325<n T 【解析】（1）na n 2=))1(1)1(1(161)1)(1(81)1(8181223+--=-+=-<n n n n n n n n n n ）（325)1(1)1(1.....32121116181<+--++⨯-⨯+<）（原n n n n 例4.数列{}n a 中，11=a ，.131+=+n n a a （1）证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 是等比数列；（2）求证：2311121<+++n a a a .【解析】：（Ⅰ）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，所以112312n n a a ++=+，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，首项为11322a +=，公比为3，所以12n a +=1332n -⋅，解得n a =312n -. （Ⅱ）由（Ⅰ）知：n a =312n -，所以1231n n a =-， 因为当1n ≥时，13123n n --≥⋅，所以1113123n n -≤-⋅，于是11a +21a +1n a 111133n -≤+++=31(1)23n -32<，所以11a +21a +1n a 32<. （或者放为1311321-<-=n n n a ）。

第六章 不等式第二节 不等式放缩技巧十法证明不等式，其基本方法参阅<数学是怎样学好的>(下册)有关章节.这里以数列型不等式的证明为例说明证明不等式的一个关键问题: 不等式的放缩技巧。

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下十种：一 利用重要不等式放缩1. 均值不等式法例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n Λ求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a kΛ=+=2121)1(+=++<+<k k k k k k Θ， )21(11∑∑==+<<∴nk n nk k S k ，即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2ba ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里na a n a a a a a a nnnnn n22111111++≤++≤≤++ΛΛΛΛ其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。

例2 已知函数bxa x f 211)(⋅+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f Λ [简析] 411()11(0)141422x x x xf x x ==->-≠++• 1(1)()(1)22f f n ⇒++>-⨯L 211(1)(1)2222n +-++-⨯⨯L 1111111(1).42222n n n n -+=-+++=+-L例3 求证),1(221321N n n n C C C C n n nnnn∈>⋅>++++-Λ.简析 不等式左边123nn n n n C C C C ++++L =12222112-++++=-n nΛn n n 122221-⋅⋅⋅⋅⋅>Λ=212-⋅n n ，故原结论成立.【例4】已知222121n a a a +++=L ，222121n x x x +++=L ，求证：n n x a x a x a +++Λ2211≤1.【解析】使用均值不等式即可：因为22(,)2x y xy x y R +≤∈，所以有22222211221122222n n n n a x a x a x a x a x a x ++++++≤+++L L 222222121211 1.2222n n a a a x x x ++++++=+=+=L L 其实，上述证明完全可以改述成求n n x a x a x a +++Λ2211的最大值。

放缩法证明数列不等式 奇巧积累: （1）)2(111)1(11)1(11112≥--=-<<+=+-k kk k k k k k k k (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (3))1(21)1(2--<<-+n n nn n ，n n n -+<+221(4))2(1)1(1≥--<+n n n n n (5) n a a n a a a a a a nnn n n n22111111++≤++≤≤++例题1. 裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。

例1. 已知n ∈N*，求n 2n131211＜…++++。

证明：因为122121nn nn n n n =++-=--＜（），则11213+++…＜（）（）…（）＜++-+-++--=-1122123221212nn n n n，证毕。

2. 利用重要不等式放缩 .均值不等式利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。

例7 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k =+=2121)1(+=++<+<k k k k k k ，)21(11∑∑==+<<∴nk n n k k S k ，即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2ba ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里n a a n a a a a a a nnn n n n22111111++≤++≤≤++ 其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。