华中师范大学数学分析期末考试试题2

数学分析期末考试试题一、叙述题:（每小题6分，共18分）1、 牛顿—莱不尼兹公式2、 ∑∞=1n n a收敛的cauchy 收敛原理3、 全微分二、计算题：（每小题8分，共32分）1、40202sin lim x dt t x x ⎰→2、求由曲线2x y =和2y x =围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。

3、求∑∞=+1)1(n nn n x 的收敛半径和收敛域，并求和4、已知z y x u = ，求yx u ∂∂∂2 三、（每小题10分，共30分）1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数 ∑∞=1!n n n n 2、讨论反常积分⎰+∞--01dx e x x p 的敛散性3、讨论函数列),(1)(22+∞-∞∈+=x n x x S n 的一致收敛性四、证明题（每小题10分，共20分）1、设)2,1(11,01 =->>+n n x x x n n n ，证明∑∞=1n n x 发散 2、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0)点连续且可偏导,但它在该点不可微.,参考答案一、1、设)(x f 在连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则成立)()()(a F b F dx x f ba -=⎰ 2、,0.0>∃>∀N ε使得N n m >>∀，成立ε<+++++m n n a a a 213、设2R D ⊂为开集，],[b a D y x y x f z ∈=),(),,(是定义在D 上的二元函数，),(000y x P 为D 中的一定点，若存在只与点有关而与y x ∆∆,无关的常数A 和B ，使得)(22y x o y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆则称函数f 在点),(000y x P 处是可微的,并称y B x A ∆+∆为在点),(000y x P 处的全微分二、1、分子和分母同时求导316sin 2lim sin lim 54060202==→→⎰x x x x dtt x x x （8分) 2、 、两曲线的交点为（0，0），（1，1)（2分） 所求的面积为：31)(102=-⎰dx x x （3分） 所求的体积为:103)(105ππ=-⎰dx x x （3分） 3、 解：设∑∞=+=1)1()(n nn n x x f ，1)1(1)2)(1(1lim =+++∞→n n n n n ,收敛半径为1，收敛域 [-1，1］（2分）),10(),1ln(11)1()(121'<<---=+=∑∞=-x x x x n x x f n n )10(),1ln(11)()(0'<<--+==⎰x x x x dt t f x f x (3分) x =0级数为0，x =1，级数为1，x =-1,级数为1—2ln2(3分）4、解： y u ∂∂=z x x z y ln （3分）=∂∂∂y x u 2zx x x x zyz y 1ln 1+-（5分） 三、1、解、有比较判别法，Cauchy,D’Alembert,Raabe 判别法等（应写出具体的内容4分）11)111(lim !)1()!1(lim -∞→+∞→=+-=++e n n n n n n n nn n （4分)由D’Alembert 判别法知级数收敛（1分） 2、解：⎰⎰⎰+∞----+∞--+=1110101dx e x dx e x dx e x x p x p x p （2分）,对⎰--101dx e x x p ，由于)0(111+→→---x e x x x p p 故p >0时⎰--101dx e x x p 收敛（4分）；⎰+∞--11dx e x x p ，由于)(012+∞→→--x e x x x p （4分)故对一切的p ⎰+∞--11dx e x x p 收敛,综上所述p >0,积分收敛3、解：221)(n x x S n +=收敛于x （4分）0)(sup lim ),(=-+∞-∞∈∞→x x S n x n 所以函数列一致收敛性（6分） 四、证明题（每小题10分,共20分）1、证明:11123221213423-=-->=-n n n x x x x x x x x n n n )2(,112>->n x n x n （6分） ∑∞=-211n n 发散，由比较判别法知级数发散（4分) 2、证明:||||022xy y x xy≤+≤（4分）22)0,0(),(lim y x xy y x +→=0所以函数在（0，0）点连续，（3分)又00lim 0=∆→∆x x ,)0,0(),0,0(y x f f 存在切等于0，(4分）但22)0,0(),(lim y x y x y x ∆+∆∆∆→∆∆不存在,故函数在（0，0）点不可微（3分）。

期末专题复习：华师大版九年级数学下册期末综合检测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.二次函数y＝－2(x－1)2＋3的图象的顶点坐标是（）A. （1，3）B. （－1，3）C. （1，－3）D. （－1，－3）2.把二次函数y=x2−2x−1配方成顶点式为( )A. y=(x−1)2B. y=(x−1)2−2C. y=(x+1)2+1D. y=(x+1)2−23.下列说法，正确的是( )A. 半径相等的两个圆大小相等B. 长度相等的两条弧是等弧C. 直径不一定是圆中最长的弦D. 圆上两点之间的部分叫做弦4.如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（）A. 68°B. 88°C. 90°D. 112°5.半径为5的⊙O，圆心在原点O，点P（－3，4）与⊙O的位置关系是（）.A. 在⊙O内B. 在⊙O上C. 在⊙O外D. 不能确定6.（2016•温州）如图是九（1）班45名同学每周课外阅读时间的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．由图可知，人数最多的一组是（）A. 2～4小时B. 4～6小时C. 6～8小时D. 8～10小时7.如图，AE、AD和BC分别切⊙O于点E、D、F，如果AD=20，则△ABC的周长为（）A. 20B. 30C. 40D. 508.如图，已知▱ABCD的对角线BD=4cm，将▱ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为（）A. 4π cmB. 3π cmC. 2π cmD. π cm9.如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为( )A. 70°B. 90°C. 110°D. 120°10.如图，点P为正方形ABCD的边CD上一点，BP的垂直平分线EF分别交BC、AD于E、F两点，GP⊥EP 交AD于点G，连接BG交EF于点H，下列结论：①BP=EF；②∠FHG=45°；③以BA为半径⊙B与GP相切；④若G为AD的中点，则DP=2CP．其中正确结论的序号是（）A. ①②③④B. 只有①②③C. 只有①②④D. 只有①③④二、填空题（共10题；共30分）11.如图，点A、B把⊙O分成2：7两条弧，则∠AOB=________．12.已知函数y=(m−1)x m2+1+5x+3是关于x的二次函数，则m的值为________．13.二次函数y=x2－2x－3与x轴交点交于A、B两点，交y轴于点C，则△OAC的面积为________.14.对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法：①最小值为2；②图象的顶点是(3，2)；③图象与x轴没有交点；④当x＜－1时，y随x的增大而增大．其中正确的是________．15.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心在x轴上，且经过点A（m，﹣3）和点B（﹣1，n），点C是第一象限圆上的任意一点，且∠ACB=45°，则⊙P的圆心的坐标是________．16.生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉100只雀鸟，给它们做上标记后放回山林；一段时间后，再从中随机捕捉500只，其中有标记的有5只．请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量约为________只．17.某二次函数的图象的顶点坐标（4，﹣1），且它的形状、开口方向与抛物线y=﹣x2相同，则这个二次函数的解析式为________．18.如图，在圆心角为135°的扇形OAB中，半径OA=2cm，点C，D为AB̂的三等分点，连接OC，OD，AC，CD，BD，则图中阴影部分的面积为________cm2．19.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AF=________．20.如图，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在边CD上点F处，连接AF.在AF上取点O，以点O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P.若AB=6，BC=3√3，给出下列结论:① F是CD的中点;②⊙O的半径是2; ③ AE=92CE;④ S阴影=√32.其中正确的是________.(填序号)三、解答题（共9题；共60分）21.如图⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10，BC=12，求⊙O的半径．22.某农户承包荒山种了44棵苹果树．现在进入第三年收获期．收获时，先随意摘了5棵树上的苹果，称得每棵树摘得的苹果重量如下（单位：千克）35 35 34 39 37（1）在这个问题中，总体指的是？个体指的是？样本是？样本容量是？（2）试根据样本平均数去估计总体情况，你认为该农户可收获苹果大约多少千克？23.已知二次函数y=ax2-4x+c的图象过点（-1，0）和点（2，-9）．（1）求该二次函数的解析式并写出其对称轴；（2）已知点P（2，-2），连结OP，在x轴上找一点M，使△OPM是等腰三角形，请直接写出点M 的坐标（不写求解过程）．24.如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过D作DE⊥OB于E，以DE为半径作⊙D，①判断⊙D与OA的位置关系，并证明你的结论。

课程编号：100171019 北京理工大学2021-2022学年第二学期2021级数学分析（II ）期终考试试题A 卷解答1.(23分)求下列函数的偏导数或全微分 (1)设cos xyz e=，求dz .(2)设(,)z z x y =由方程zx y z e ++=所确定的隐函数，求z x ∂∂和22zx∂∂.(3)设1()()z f xy yg x y x=++，其中f 和g 在R 上有连续的二阶导数，求z x ∂∂，z y ∂∂和2zy x∂∂∂ 解：(1)cos (cos )xy dz e d xy =cos (sin )()xy e xy d xy =−cos sin ()xy xye ydx xdy =−+.(2)方程关于x 求导，y 是常数，z 是x 的函数，1z x x z e z +=，11x zz e =−. 23(1)(1)z zx xx z ze z e z e e =−=−−−. 方法二. zzxx x x xx z e z z e z =+，221(1)z zx xx z ze z e z e e =−=−−−. (3)//211()()()z f xy f xy y yg x y x x x∂=−+⋅++∂ //21()()()yf xy f xy yg x y x x =−+++，//1()()()z f xy x g x y yg x y y x∂=⋅++++∂ //()()()f xy g x y yg x y =++++，2/////()()()zf xy yg x y yg x y y x∂=⋅++++∂∂ /////()()()yf xy g x y yg x y =++++.2.(15分)(1)求二重积分22Dy I dxdy x=⎰⎰，其中D 为由1,2,y y y x x ===所围的区域. (2)求三重积分I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰，其中Ω由0,0,0,21x y z x y z ===++=所围成.(3)求第一型曲面积分()MI x y z dS =++⎰⎰，其中M为上半球面：z =222x y R +≤(0)R >. 解：(1)2221221y y Dy y I dxdy dy dx x x==⎰⎰⎰⎰22111()yyy dy x =−⎰2223111()()y y dy y y dy y=−=−⎰⎰ 94=. 方法二. 22212221122212x x Dy y y I dxdy dx dy dx dy x xx ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(2)设D 为xy −平面上由0,0,21x y x y ==+=所围成区域.I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰120x yDdxdy xdz −−=⎰⎰⎰(12)Dx x y dxdy =−−⎰⎰[]11(1)20(1)2x dx x x xy dy −=−−⎰⎰12011(1)448x x dx =−=⎰. 方法二. 对任意的[0,1]x ∈，x D 为yz −平面上由0,0,21y z y z x ==+=−所围成区域.I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰1xD dx xdydz =⎰⎰⎰12011(1)448x x dx =−=⎰(3) x z =y z =，()MI x y z dS =++⎰⎰221(x y x y +≤=++⎰⎰221(x y x y +≤=++⎰⎰221x y Rdxdy +≤=⎰⎰3R π=.3.(8分)设(,)z z x y =在2R 有连续偏导数，并且322cos(2)3cos(2)dz axy x y dx x y b x y dy ⎡⎤⎡⎤=+++++⎣⎦⎣⎦其中,a b 是常数，求,a b 的值和(,)z z x y =的表达式. 解：由条件3cos(2)x z axy x y =++，223cos(2)y z x y b x y =++， 则232sin(2)xy z axy x y =−+，26sin(2)yx z xy b x y =−+. 因为xy z 和yx z 都连续，所以xy yx z z =, 232sin(2)axy x y −+26sin(2)xy b x y =−+, 取,02x y π==，解得2b =，进而得出2a =.再由32cos(2)x z xy x y =++，23(,)sin(2)()z x y x y x y y ϕ=+++， 22/32cos(2)()y z x y x y y ϕ=+++， 于是/()0y ϕ=，()y C ϕ=.故23(,)sin(2)z x y x y x y C =+++.4.(10分)求幂级数211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑的收敛域及和函数的表达式.解：记21(1)()(21)!n n n n u x x n −−=+. 对任意的0x ≠，21()0,()2(23)n n u x xn u x n n +=→→+∞+， 则211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑收敛. 即得211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑的收敛域为(,)−∞+∞. 记211(1)()(21)!n n n n S x x n +∞−=−=+∑，定义域为(,)−∞+∞.容易求得(0)0S =. 对任意的0x ≠，利用幂级数的性质，2/11(1)()()2(21)!nn n S x x n +∞=−=+∑/211(1)2(21)!n n n x n +∞=⎛⎫−= ⎪+⎝⎭∑/21111(1)2(21)!n n n x x n +∞+=⎛⎫−= ⎪+⎝⎭∑/11(sin )2x x x⎛⎫=− ⎪⎝⎭ 2cos sin 2x x xx−=.5.(10分)设()f x 是以2π为周期的函数，它在区间(,]ππ−上的表达式为00()20x f x x ππ−<≤⎧=⎨<≤⎩. (1)求()f x 的Fourier 级数；(2)求()f x 的Fourier 级数的和函数在区间[0,2]π上的表达式；(3)求11(1)21n n n −+∞=−−∑.解：(1)先计算()f x 的Fourier 系数， 01()a f x dx πππ−=⎰122dx ππ==⎰，1()cos n a f x nxdx πππ−=⎰12cos 0nxdx ππ==⎰，1,2,n =，1()sin n b f x nxdx πππ−=⎰ ()0122sin 1(1)n nxdx n πππ==−−⎰2421(21)n k n k k π=⎧⎪=⎨=−⎪−⎩，1,2,k =.()f x 的Fourier 级数为()01cos sin 2n n n a a nx b nx +∞=++∑ 14sin(21)121k k xk π+∞=−=+−∑. (2) 12(0,)4sin(21)10(,2)2110,,2k x k x x k x ππππππ+∞=∈⎧−⎪+=∈⎨−⎪=⎩∑. (3)令2x π=，1411sin (21)2212k k k ππ+∞=⎛⎫+−= ⎪−⎝⎭∑，解得11(1)214n n n π−+∞=−=−∑.6.(12分)(1)判别下列广义积分的收敛性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(a) 30411dx +∞−⎰ (b) 20sin x dx +∞⎰ (2)设()af x dx +∞⎰收敛，并且lim ()x f x L →+∞=.证明：0L =.解：(1)(a) 0,1x x ==为瑕点， 考虑30411dx +∞−⎰1122133330122444411111111dx dx dx dx +∞=+++−−−−⎰⎰⎰⎰.因为330004411lim lim111x x x →+→+==−−，3431141lim 111x x x →→−⋅==−，31342433441lim lim111x x xxx +→+∞→+∞⋅==−−，而其中1351244+=>，所以112213333012244441111,,,1111dx dx dx dx +∞−−−−⎰⎰⎰⎰都收敛，于是30411dx +∞−⎰收敛，又被积函数非负，故是绝对收敛.(b)0x =不是瑕点，20sin x dx +∞⎰与21sin x dx +∞⎰具有相同的收敛性，只讨论21sin x dx +∞⎰即可.令2t x =，则2111sin 2x dx +∞+∞=⎰⎰, 1+∞⎰条件收敛. 那么20sin x dx +∞⎰条件收敛.(2)假设0L ≠，不妨设0L >.由lim ()x f x L →+∞=，根据极限性质，存在0X >，使得当x X >时，()2Lf x >.则A X ∀>，()()()A X AaaXf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰()()2X aLf x dx A X >+−⎰， 由此推出lim()A aA f x dx →+∞=+∞⎰，与()af x dx +∞⎰收敛矛盾.假设不成立，即0L =.7.(12分)(1)证明：函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛，但在(0,)+∞不一致收敛.(2)证明：1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上连续且可导.证：(1)对任意的[,)x δ∈+∞和任意的正整数n ，0nx n ne ne δ−−<<， 而1,e n δδ−−=→<→+∞，说明1nn neδ+∞−=∑收敛，根据M 判别法，函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛.记()nx n u x ne −=，对任意的正整数n ，取1(0,)n x n=∈+∞， 1()0,n n u x ne n −=→+∞，则()nxn u x ne−=在(0,)+∞不一致收敛于0.故函数项级数1nx n ne +∞−=∑在(0,)+∞不一致收敛. (2) (0,)x ∀∈+∞，存在0δ>，使得(,)x δ∈+∞.因为()nxn u x ne−=在(0,)+∞连续(1,2,)n =，利用(1)，函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛，所以和函数1()nx n f x ne +∞−==∑在[,)δ+∞上连续，于是它在x 连续.由x 的任意性，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上连续.对任意的0δ>，/22()nx n n u x n e n e δ−−=−≤，[,),1,2,x n δ∀∈+∞=，而1,e n δδ−−=→<→+∞，说明21nn n eδ+∞−=∑收敛，根据M 判别法，函数项级数/1()n n u x +∞=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛.根据一致收敛的函数项级数的逐项可导性，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间[,)(0)δδ+∞>可导. 同理可得，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上可导.8.(10分)设1α>，10n n a a +<≤，0,1,2,n =.证明：111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛. 证：由条件，{}n a 单调递增，则要么{}n a 有上界要么{}n a 趋于+∞. (1)设{}n a 有上界. 则{}n a 收敛，记lim n n A a →+∞=，显然0A >.利用极限性质，存在0N ，当0n N >时， 2n Aa >. 则当01n N >+时，由条件1α>，那么1111120()()()22n n n n n n n n a a a a a a A A a a A ααα+−−−−−−≤<=−. 由于1001(),nk k n k a a a a A a n −=−=−→−→+∞∑，说明11()n n n a a +∞−=−∑收敛. 利用比较判别法，111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛.(2) 设{}n a 无上界，即lim n n a →+∞=+∞.利用极限性质，存在0N ，当0n N >时，1n a >. 则当01n N >+时，由条件1α>，那么11111110n n n n n n n n n na a a a a a a a a a α−−−−−−−≤≤=−. 由于 110011111(),nk k k n n a a a a a =−−=−→→+∞∑， 说明1111()n n n a a +∞=−−∑收敛. 利用比较判别法，111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛.。

一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. 0.1010010001……D. -3/42. 如果a > b，那么下列不等式中正确的是（）A. a - b > 0B. a + b > 0C. a - b < 0D. a + b < 03. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = x^2B. y = 2x + 1C. y = 3/xD. y = 2x - 34. 下列各图中，平行四边形是（）A.B.C.D.5. 已知三角形ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数是（）A. 75°B. 120°C. 135°D. 150°二、填空题（每题5分，共25分）6. 计算：(-2)×(-3)×(-4) = ________。

7. 已知a = -3，b = 4，则a^2 - b^2 = ________。

8. 分式3/4 - 1/2 等于 ________。

9. 若x + 2 = 5，则x = ________。

10. 已知等腰三角形ABC中，底边AB = 6cm，腰AC = 8cm，则高AD =________cm。

三、解答题（每题10分，共40分）11. 解方程：2x - 5 = 3x + 1。

12. 已知y = 2x - 1，求当x = 3时，y的值。

13. 已知矩形ABCD中，AB = 4cm，BC = 3cm，求对角线AC的长度。

14. 已知等腰三角形ABC中，底边AB = 6cm，腰AC = 8cm，求高AD的长度。

四、附加题（每题15分，共30分）15. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像开口向上，且顶点坐标为（h，k），求函数的解析式。

16. 已知三角形ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，∠C = 75°，求三角形ABC的面积。

第 4 题图21DCBA新华师大版八年级下学期期末调研数 学 试 卷注意事项:1. 答题前,考生务必将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上,并将考生条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2. 本试卷共4页,三个大题,满分120分,考试时间100分钟.3. 本试卷上不要答题,请按答题卡上注意事项的要求直接把答案写在答题卡上.答在试卷上的答案无效.一、选择题（每小题3分,共30分） 1. 若代数式4-x x有意义,则实数x 的取值范围是 【 】 （A ）0=x （B ）4=x （C ）0≠x （D ）4≠x 2. 在△ABC 中,它的底边是a ,底边上的高是h ,则三角形面积ah S 21=,当a 为定长时,在此式中 【 】（A ）h S ,是变量,a ,21是常量 （B ）a h S ,,是变量,21是常量 （C ）h S ,是变量,S ,21是常量 （D ）S 是变量,h a ,,21是常量3. 某车间月上旬生产零件的次品数如下（单位: 个）: 0 , 2 , 0 , 2 , 3 , 0 , 2 , 3 , 1 , 1 ,则在这10天中该车间生产零件的次品数的 【 】 （A ）众数是3 （B ）中位数是1. 5 （C ）平均数是2 （D ）以上都不正确4. 如图所示,若21∠=∠,BC AD =,则四边形ABCD 是 【 】 （A ）平行四边形 （B ）菱形 （C ）正方形（D ）以上说法都不对5. 甲、乙、丙、丁四个人进行测试,每人10次射击成绩的平均数均是9. 2环,方差分别为56.02=甲s ,62.02=乙s ,50.02=丙s ,45.02=丁s ,则成绩最稳定的是 【 】（A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）丁6. 在同一平面直角坐标系中,一次函数a ax y -=与反比例函数xay =（0≠a）的图象可能是【 】（A ） （B ） （C ） （D ）7. 在反比例函数xm y 21--=的图象上有三点()11,y x ,()22,y x ,()33,y x .若3210x x x >>>,则下列各式正确的是 【 】 （A ）213y y y >> （B ）123y y y >> （C ）321y y y >> （D ）231y y y >>8. 如图所示,在平行四边形ABCD 中,用直尺和圆规作BAD ∠的平分线AG 交BC 于点E ,若10,12==AB BF ,则AE 多长为 【 】 （A ）14 （B ）15 （C ）16 （D ）13第 8 题图GFE D CBAxy第 9 题图BAO 第 10 题图FEGD CBA9. 如图所示,直线b kx y +=经过点()m A ,1-和点()0,2-B ,直线x y 2=经过点A ,则不等式02<+<b kx x 的解集为 【 】 （A ）2-<x （B ）12-<<-x （C ）02<<-x （D ）01<<-x10. 如图所示,四边形ABED 与四边形AFCD 都是平行四边形,AF 和DE 相交成直角,3=AG cm,4=DG cm,四边形ABED 的面积是36 cm 2,则四边形ABCD 的周长为 【 】 （A ）49 cm （B ）43 cm （C ）41 cm （D ）46 cm二、填空题（每小题3分,共15分）11. 计算:()=-+⎪⎭⎫⎝⎛--02201821__________.12. 如图所示,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ,BC DE ⊥于点E ,12,16==BD AC ,则DE 的长为__________.第 12 题图EOCBA第 14 题图第 15 题图F EPCBA13. 若一次函数4+=kx y 的图象与两坐标轴围成的三角形面积为6,则k 的值为__________. 14. 如图所示,点A 在双曲线xky =上,x AB ⊥轴于点B ,且△AOB 的面积2=∆AOB S ,则=k __________.15. 如图,直角三角形ABC 中,3,4==BC AC ,P 为斜边AB 上一动点,且BC PF AC PE ⊥⊥,,则线段EF 长度的最小值是__________. 三、解答题（共75分）16.（8分）先化简,再求值:211212+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a a a ,其中2=a .普通话 20%服装演讲技巧40%主题30%17.（10分）解方程: （1）22125=---x x ; （2）481222-=-+-x x x .18.（9分）某校为选拔一名选手参加“美丽新乡,我为家乡做代言”主题演讲比赛,经研究,按图所示的项目和权数对选拔赛参赛选手进行考评（统计图不完整）.下表是李明、张华在选拔赛中的得分情况:结合以上信息,回答下列问题:（1）求服装项目的权数及普通话项目对应扇形的圆心角大小; （2）求李明在选拔赛中四个项目所得分数的众数和中位数;（3）根据你所学的知识,帮助学校在李明、张华两人中选择一人参加“美丽新乡,我为家乡做代言”主题演讲比赛,并说明理由.19.（9分）在□ABCD中,E、F分别为对角线BD上的两点,且DFBE . （1）试说明四边形AECF为平行四边形;（2）连接AC,当EF与AC满足__________时,四边形AECF是菱形; （3）连接AC,当EF与AC满足__________时,四边形AECF是矩形.FEDCBA20.（9分）如图①,一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内,现以一定的速度往水槽中注水,28s 时注满水槽.水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图②所示. （1）正方体的棱长为__________cm;（2）求线段AB对应的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;（3）如果将正方体铁块取出,又经过t（s）恰好将水槽注满,直接写出t的值.21.（10分）某商店准备购进甲、乙两种商品进行销售,若甲种商品的进价比乙种商品的进价每件少6元,且用900元购进甲种商品的数量与用1000元购进乙种商品的数量相同.（1）求甲、乙两种商品的进价每件分别是多少元?（2）若该商店购进甲种商品的数量是乙种商品的2倍少5件,两种商品的总件不超过85件,该商店甲种商品的销售价格定为每件60元,乙种商品的销售价格定为每件70元,待商品购进的甲、乙两种该商品全部售出后,请通过计算求出该商品获得的最大利润W.22.（10分）已知,在△ABC 中,︒=∠90BAC ,︒=∠45ABC ,点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B 、C 重合）,以AD 为边做正方形ADEF ,连接CF .（1）FED A（2）EFC B A（3）OFC DB A（1）如图1,当点D 在线段BC 上时,求证:BC CD CF =+;（2）如图2,当点D 在线段BC 的延长线上时,其他条件不变,求出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系;（3）如图3,当点D 在线段BC 的反向延长线上时,且点A 、F 分别在直线BC 的两侧,其他条件不变,直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系.23.（10分）如图所示,在平面直角坐标系中,已知矩形OABC的两个顶点A、B的坐标分别为()0,32-A、()2,32-B,︒∠30CAO.=（1）求对角线AC所在直线的函数表达式;（2）把矩形OABC以AC所在直线为对称轴翻折,点O落在平面上的点D处,求点D的坐标; （3）在平面内是否存在点P,使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.新华师大版八年级下学期期末调研数 学 试 卷 参 考 答 案一、选择题（每小题3分,共30分）二、填空题（每小题3分,共15分）11. 5 12.548 13. 34± 14. 4- 15. 512 三、解答题（共75分） 16.（8分）先化简,再求值:211212+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a a a ,其中2=a . 解:211212+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a a a()()11221-++⋅++-=a a a a a 11--=a ……………………………………………5分 当2=a 时 原式1121-=--=. ……………………………………………8分 17.（10分）解方程:（1）22125=---x x ; 解:22125=-+-x x226=-x 方程两边同时乘以()2-x 得:()226-=x解之得:5=x检验:把5=x 代入()2-x 得:0325≠=-∴5=x 是原分式方程的解; （2）()()228122-+=-+-x x x x方程两边同时乘以()()22-+x x 得:()()()82222=-+--x x x解之得:0=x检验:把0=x 代入()()22-+x x 得:()()042020≠-=-⨯+.∴0=x 是原分式方程的解.18.（9分）某校为选拔一名选手参加“美丽新乡,我为家乡做代言”主题演讲比赛,经研究,按图所示的项目和权数对选拔赛参赛选手进行考评（统计图不完整）.下表是李明、张华在选拔赛中的得分情况:普通话 20%服装演讲技巧40%主题30%结合以上信息,回答下列问题:（1）求服装项目的权数及普通话项目对应扇形的圆心角大小;（2）求李明在选拔赛中四个项目所得分数的众数和中位数;（3）根据你所学的知识,帮助学校在李明、张华两人中选择一人参加“美丽新乡,我为家乡做代言”主题演讲比赛,并说明理由.解:（1）服装项目的权数为:%10%40%30%201=---. ……………………………………………1分普通话项目对应扇形的圆心角为:︒=⨯︒72%20360; ……………………………………………2分（2）李明在选拔赛中四个项目所得分数的众数是85,中位数是: ()5.8228580=÷+; ……………………………………………6分（3）李明得分为:%4085%3080%2070%1085⨯+⨯+⨯+⨯5.80=……………………………………………7分张华得分为:%4080%3075%2075%1090⨯+⨯+⨯+⨯5.78=……………………………………………8分∵5.785.80>∴李明的演讲成绩好.∴选择李明参加“美丽新乡,我为家乡做代言”主题演讲比赛. ……………………………………………9分19.（9分）在□ABCD中,E、F分别为对角线BD上的两点,且DFBE=.（1）试说明四边形AECF为平行四边形; （2）连接AC,当EF与AC满足__________时,四边形AECF是菱形;（3）连接AC,当EF与AC满足__________时,四边形AECF是矩形.OFEDCBA（1）证明:连接AC,交BD于点O.∵四边形ABCD为平行四边形∴ODOBOCOA==,……………………………………………2分 ∵DF BE =∴DF OD BE OB -=- ∴OF OE =……………………………………………3分 ∵OF OE OC OA ==, ∴四边形AECF 为平行四边形;……………………………………………5分 （2）AC EF ⊥;……………………………………………7分 （3）AC EF =.……………………………………………9分 20.（9分）如图①,一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内,现以一定的速度往水槽中注水,28s 时注满水槽.水槽内水面的高度y （cm ）与注水时间x （s ）之间的函数图象如图②所示.（1）正方体的棱长为__________cm; （2）求线段AB 对应的函数解析式,并写出自变量x 的取值范围;（3）如果将正方体铁块取出,又经过t （s ）恰好将水槽注满,直接写出t 的值.解:（1）10;……………………………………………2分 （2）设线段AB 对应的函数解析式为b kx y +=.把()()20,28,10,12B A 分别代入b kx y +=得:⎩⎨⎧=+=+20281012b k b k 解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2585b k .∴线段AB 对应的函数解析式为:2585+=x y （12≤x ≤28）; ……………………………………………7分 （3）4 s.……………………………………………9分 21.（10分）某商店准备购进甲、乙两种商品进行销售,若甲种商品的进价比乙种商品的进价每件少6元,且用900元购进甲种商品的数量与用1000元购进乙种商品的数量相同.（1）求甲、乙两种商品的进价每件分别是多少元?（2）若该商店购进甲种商品的数量是乙种商品的2倍少5件,两种商品的总件不超过85件,该商店甲种商品的销售价格定为每件60元,乙种商品的销售价格定为每件70元,待商品购进的甲、乙两种该商品全部售出后,请通过计算求出该商品获得的最大利润W .解:（1）设甲种商品的进价为每件x 元,则有61000900+=x x……………………………………………3分 解之得:54=x……………………………………………4分 经检验,符合题意.……………………………………………5分60654=+（元）答:甲、乙两种商品的进价每件分别是54元、60元;（2）设购进乙种商品m 件,则购进甲种商品()52-m 件,则有m m +-52≤85解之得:m ≤30……………………………………………6分()()()m m W 6070525460-+--=3022-=m W……………………………………………8分 ∵022>∴W 随m 的增大而增大∴当30=m 时,W 取得最大值,最大值为630303022=-⨯（元）…………………………………………10分 答:该商店获得的最大利润为630元. 22.（10分）在△ABC 中,︒=∠90BAC ,︒=∠45ABC ,点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B 、C 重合）,以AD 为边做正方形ADEF ,连接CF . （1）如图1,当点D 在线段BC 上时,求证:BC CD CF =+;（2）如图2,当点D 在线段BC 的延长线上时,其他条件不变,求出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系;（3）如图3,当点D 在线段BC 的反向延长线上时,且点A 、F 分别在直线BC 的两侧,其他条件不变,直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系.（1）FED A（2）EFC BA（3）OFC DB A（4）（1）证明: ∵︒=∠90BAC ,︒=∠45ABC ∴AC AB =∵四边形ADEF 是正方形 ∴︒=∠=90,DAF AF AD ∵CAD BAD ∠-︒=∠90 CAD CAF ∠-︒=∠90 ∴CAF BAD ∠=∠ 在△ABD 和△ACF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AF AD CAF BAD AC AB ∴△ABD ≌△ACF （SAS ）……………………………………………3分 ∴CF BD = ∵BC CD BD =+ ∴BC CD CF =+;……………………………………………4分（5）（2）∵CAD BAD ∠+︒=∠90 CAD CAF ∠+︒=∠90 ∴CAF BAD ∠=∠ 在△ABD 和△ACF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AF AD CAF BAD ACAB ∴△ABD ≌△ACF （SAS ）……………………………………………7分 ∴CF BD = ∵BC CD BD =- ∴BC CD CF =-;……………………………………………8分（6）（3）BC CF CD =-.…………………………………………10分 23.（10分）如图所示,在平面直角坐标系中,已知矩形OABC 的两个顶点A 、B 的坐标分别为()0,32-A 、()2,32-B ,︒=∠30CAO . （1）求对角线AC 所在直线的函数表达式; （2）把矩形OABC 以AC 所在直线为对称轴翻折,点O 落在平面上的点D 处,求点D 的坐标;（3）在平面内是否存在点P ,使得以A 、O 、D 、P 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.解:（1）由题意可知:()2,0C .……………………………………………1分 设直线AC 的函数表达式为b kx y += 把()0,32-A ,()2,0C 分别代入b kx y +=得:⎪⎩⎪⎨⎧==+-232b b k 解之得:⎪⎩⎪⎨⎧==233b k .∴直线AC 的函数表达式为233+=x y ; ……………………………………………4分 （2）作y DE ⊥轴于点E ,如图所示.由折叠可知:2==CD CO .︒=︒-︒=∠=∠603090ACD ACO∴︒=︒-︒=∠60120180DCE ∴︒=∠30CDE ∴121==CD CE ∴3=+=CE OC OE 由勾股定理得:3122222=-=-=CE CD DE∴()3,3-D ;……………………………………………7分 （3）存在,点P 的坐标为()3,3或()3,3--或()3,33-.…………………………………………10分 提示:求解图如下所示.图 1如图1,四边形AODP 为平行四边形.32==AO PD ,33=+=DE PD PE3=+=CE OC OE∴()3,33-P ;图 2如图2,四边形AOPD 为平行四边形.3332=-=-=DE PD PE3=+=CE OC OE∴()3,3P ;如下页图3,四边形ADOP 为平行四边形.图 3由中点坐标公式得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+2222O AD P OA D P y y y y x x x x∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-02323223P P y x 解之得:⎪⎩⎪⎨⎧-=-=33P P y x∴()3,3--P .或者:易知△AOD 为等边三角形,得到四边形ADOP 为菱形 ∴点P 、D 关于x 轴对称 ∵()3,3-D ∴()3,3--P .。

第三章 函数极限一、填空题 1．若[]2)(1ln lim20=+→x x f x ，则=→20)(lim xx f x _________ 2．=--+-→x xe e x x x x x 340sin 21sin lim _______________ 3．设xx x x f ⎪⎭⎫⎝⎛+-=11)(，则=+∞→)1(lim x f x ____________4．已知⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=2,12,02,1)(x x x x x x f ，1)(+=x e x g ，[]=→)(lim 0x g f x ________5．()x x x x ln cos arctan lim -+∞→=_________________6．[]=→xx x tan )sin(sin sin lim0_____________ 7．________24tan lim =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→n n x π 8．________ln 1ln ln lim 2=⎪⎭⎫⎝⎛+→x x x x 9．)1ln(lim 2cos 0x x e e xx x x +-→=__________10．=⋅+-∞→x xx x x cos 1sin 21lim22_________ 11．=⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x tan 11lim 20_________12．310)(1lim e x x fx xx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++→，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→20)(1lim x x f x =_______ 13．()=+++→)1ln(cos 11cossin 3lim20x x x x x x ___________ 二、选择填空1．=-→ttt cos 1lim( )A.0B.1C.2D.不存在2．函数xx x f 1cos 1)(=，在0=x 点的任何邻域内都是( ) A.有界的 B.无界的 C.单增 D.单减 3．已知()25lim 2=++-+∞→c yx ax x ，则必有( )A.20,25-==b a B. 25==b a C.0,25=-=b a D.2,1==b a4．设nn n x n x f ⎪⎭⎫⎝⎛-+=+∞→2lim )1(，则=)(x f ( )A.1-x eB.2+x eC.1+x eD.xe-5．若22lim 222=--++→x x bax x x ，则必有( )A.8,2==b aB.5,2==b aC. 8,0-==b aD. 8,2-==b a6．0)(6sin lim30=+→x x xf x x ，则=+→20)(6lim xx f x ( ) A. 0 B.6 C.36 D.∞7．设对任意x 点有)()()(x g x p x ≤≤ϕ，且[]0)()(lim =-∞→x x g x ϕ，则=∞→)(lim x f x ( )A.存在且一定为0B.存在且一定不为0C.一定不存在D.不一定存在 8．当0→x 时，变量x x1sin 12是( ) A.无穷小 B.无穷大C.有界，但不是无穷小D.无界的，但不是无穷大9．=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→π21sin 1])1(1[lim n n n n( )A.πe B.π1e C.1 D.π2e10.=--→xx x xx x tan )(arctan 1lim 220( )A.0B.1C.21 D.21-11.x x x g dt t x f xsin )(,tan )(sin 02-==⎰,则当0→x 时，)(x f 是)(x g 的( )A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小D.等价无穷小三、计算题1.求下列极限：(1))x x cos x (sin 2lim 22x --π→； (2)1x x 21x lim 220x ---→；(3)1x x 21x lim 221x ---→； (4)3230x x 2x )x 31()1x (lim +-+-→； (5)1x 1x lim m n 1x --→，(n ，m 为自然数)；(6)2x 3x 21lim4x --+→;(7))0a (,xax a lim 20x >-+→；(8)xx cos x limx -∞→； (9)4x xsin x lim 2x -∞→ ；(10).)1x 5()5x 8()6x 3(lim 902070x --+∞→ 2．设,0a ,b x b x b x b a x a x a x a )x (f 0n1n 1n 1n 0m 1m 1m 1m 0≠++++++++=---- 0b 0≠，m ≤n ，试求).x (f lim x ∞→ 3．求下列极限(其中n 为自然数)： (1)20x x 11x xlim+→； (2)20x x11x x lim ++→； (3)1x nx x x lim n 21x --+++→ ；(4)x1x 1limnx -+→;(5)⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x 1lim 0x ; (6)[]x x 1lim x +∞→.4．求下列函数在0x =处的左右极限或极限。