数学分析 期末考试试卷

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中央财经大学2014—2015学年

数学分析期末模拟考试试卷(A 卷)

姓名: 学号: 学院专业: 联系方式:

一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分)

1、设 82lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→x

x a x a x , 则 =a 。 2、设函数)

2(1)(--=x x e x f x ,则函数的第一类间断点是 ,第二类间断点 是 。

3、设)1ln(2

x x y ++=,则=dy 。

4、设)(x f 是连续函数,且dt t f x x f )(2)(10⎰+=,则=)(x f 。

5、xdx arctan 1

0⎰= 。

二、单项选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分)

1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞

→n n n y x ,则下列断言正确的是( )。 (A )若n x 发散,则n y 必发散。 (B )若n x 无界,则n y 必无界。

(C )若n x 有界,则n y 必为无穷小。 (D )若

n x 1为无穷小,则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(,则)0(f '为( )。

(A ) 1。 (B )不存在。 (C ) 0。 (D ) -1。

3、若),()

()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(,-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ,则

)(x f 在),0(+∞内有( )。

(A )0)(,0)(<''>'x f x f 。 (B )0)(,0)(>''>'x f x f 。

(C )0)(,0)(<''<'x f x f 。 (D )0)(,0)(>''<'x f x f 。

4、设)(x f 是连续函数,且⎰-=dt t f x F x

e x )()(,则)(x F '等于( )

。 (A )())(x f e f e x x ----。 (B )())(x f e f e x x +---。

(C ) ())(x f e f e x x --- 。 (D )())(x f e f e x x +--。

5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3

π=x 处取得极值,则( )。 (A ))3(,1πf a =是极小值。 (B ))3

(,1π

f a =是极大值。 (C ))3(,2πf a =是极小值。 (D ))3

(,2π

f a =是极大值。 三、计算题(本题共7个小题,每小题6分,满分42分)

1、求 )

1ln(sin 1tan 1lim

30x x x x ++-+→

2、设4lim 221=-++→x

x b ax x x ,求 b a 、。

3、设)(x y y =由参数方程 ⎩⎨⎧+=+=t

t y t x arctan )1ln(2 所确定,求 22dx y d dx dy 、。

4、设)(x f 在0=x 处的导数连续,求dx

x df x )

(sin lim 20+→

5、求不定积分 dx x x

x ⎰3cos sin 。

6、求定积分dx x ⎰cos 4

7、设⎩⎨⎧≥<=-00

sin )(22x xe x x x f x ,

求 ⎰-dx x f )2(31 。

四、证明下列不等式(本题10分)

1、)2,0(,sin 2π

π∈<

2、2sin 120ππ<<⎰dx x x 。

五、(本题10分)

设 0

00)()(=≠⎪⎩

⎪⎨⎧-=-x x x e x g x f x ,其中)(x g 具有二阶连续导数,且1)0(,1)0(-='=g g 。 (1)求)(x f '; (2)讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性。

六、(本题8分)

设函数)(x f 在[]b a ,上可导,证明:存在)(b a ,∈ξ,使得 [])()()()(22

2ξξf a b a f b f '-=-。 (8分)