下载文档原格式
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考模拟检测试卷数学理科第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合}012|{>-=x x A ，}1|{<=x x B ，则B A =A ．}1,21{B ．)1,1(-C ．]21,1[-D ．)1,21(2．复数ii i z )1)(1(-+=在复平面上所对应的点Z 位于A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限 3．设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，已知32=a ，116=a ，则=7SA ．13B ．35C ．49D ．63 4．执行右边的程序框图，则输出的S 值等于A ． 91817161+++B ． 9181716151++++C ． 10191817161++++D ． 1019181716151+++++5.正三角形ABC 中，D 是边BC 上的点，若3,1AB BD ==，则AB AD ⋅= A ．221B ．215C ．213D ．296A ． 3B ． 34C ． 1D ． 327．同时具有性质“①最小正周期是π，②图像关于3π=x 对称，③在]3,6[ππ-上左视图视图俯视图APB C O是增函数”的一个函数是A ．)62sin(π+=x y B ．)32cos(π+=x y C ． )62sin(π-=x y D ． )62cos(π-=x y8． 对于函数x e x f ax ln )(-=，（a 是实常数），下列结论正确的一个是A ． 1=a 时， )(x f 有极大值，且极大值点)1,21(0∈x B ． 2=a 时， )(x f 有极小值，且极小值点)41,0(0∈x C ． 21=a 时， )(x f 有极小值，且极小值点)2,1(0∈x D ． 0<a 时， )(x f 有极大值，且极大值点)0,(0-∞∈x 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题共6个小题，每小题5分，共30分． 9．设m 是常数，若点)5,0(F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m =．10．圆O 的半径为3，P 是圆O 外一点，5=PO ，PC 是圆O 的切线，C 是切点，则=PC ．11．甲从点O 出发先向东行走了km 3，又向北行走了km 1到达点P ，乙从点O出发向北偏西︒60方向行走了km 4到达点Q ，则Q P ,两点间的距离为． 12．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是．13． 若A 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤200x y y x 表示的平面区域，则A 的面积为；当a 的值从2-连续变化到1时，动直线a y x l =+:扫过的A 中的那部分区域的面积为．14． 已知条件:p ABC ∆不是等边三角形，给出下列条件：①ABC ∆的三个内角不全是︒60②ABC ∆的三个内角全不是︒60 ③ABC ∆至多有一个内角为︒60④ABC ∆至少有两个内角不为︒60则其中是p 的充要条件的是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15． （本小题满分13分）在三角形ABC 中，角CB A ,,所对的边分别为c b a ,,，且2=a ，4π=C ，53cos =B ． （Ⅰ）求A sin 的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积． 16．（本小题满分14分）在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且2==AD PA ，F E ，分别是棱PC AD ,的中点．（Ⅰ）求证：//EF 平面PAB ； （Ⅱ）求证：⊥EF 平面PBC ； （Ⅲ）求二面角D PC E --的大小． 17． （本小题满分13分）对甲、乙两名篮球运动员分别在100场比赛中的得分情况进行统计，做出甲的得分频率分布直方图如右，列出乙的得分统计表如下：（Ⅰ）估计甲在一场比赛中得分不低于20分的概率；（Ⅱ）判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定；（结论不要求证明） （Ⅲ）在乙所进行的100场比赛中，按表格中各分值区间的场数分布采用分层抽样法取出10场比赛，再从这10场比赛中随机选出2场作进一步分析，记这2场比赛中得分不低于30分的场数为ξ，求ξ的分布列． 18． （本小题满分13分）已知函数b ax x x f +-=3)(3，),(R b a ∈． （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）曲线)(x f y =在0=x 处的切线方程为023=-+a y ax ，且)(x f y =与x 轴有且只有一个公共点，求a 的取值范围． 19． （本小题满分14分）D已知直线022=+-y x 经过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线4:=x l（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求线段MN 的长度的最小值． 20． （本小题满分13分）对于项数为m 的有穷数列}{n a ，记21k k b =k k a a a ,,,21 中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的“控制数列”，如5,5,2,3,1的控制数列为5,5,3,3,1．（Ⅰ）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为5,5,4,3,2，写出所有的}{n a ；（Ⅱ）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C C b a k m k (1=++-为常数m k ,,2,1 =）， 求证：k k a b =；（Ⅲ）设100=m ，常数)1,21(∈a ，若n an a n n n ⋅--=+2)1(2)1(，}{n b 是}{n a 的控制数列，求)()()(1001002211a b a b a b -++-+- 的值．答案一、选择题：)0485('=⨯'D B C C B A C C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．16 10．4 11．72 12．3213．2 ；4714．①③④三、解答题：)0365('=⨯' 15． （本小题满分13分） 解：（Ⅰ） 53cos =B ，∴54sin =B ……………………1分∴)sin(sin C B A += (2)分C B C B sin cos cos sin += ……………………4分102722532254=⨯+⨯= ……………………6分（Ⅱ）A aB b sin sin = ……………………8分 1027254=∴b ， 728=∴b ……………………10分C ab S ABC sin 21=∴∆， ……………………11分78= ………………………………13分 16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：设G 是PB 的中点，连接GF AG ,∵F E ,分别是PC AD ,的中点， ∴BC GF 21//， BC AE 21//∴AE GF //，∴AEFG 是平行四边形，∴AG EF // (2)分∵⊄EF 平面PAB ⊂AG 平面PAB ， ∴//EF 平面PAB ………………3分（Ⅱ）∵ABPA =，∴PB AG ⊥， ………………4分∵ABCD PA ⊥， ∴BC PA ⊥， 又∵AB BC ⊥， ∴⊥BC 平面PAB ， ∴AG BC ⊥， ………………6分∵PB 与BC 相交， ∴⊥AG 平面PBC ，∴⊥EF 平面PBC ． ………………7分 （Ⅲ）以AP AD AB ,,分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系xyz A -， ………………8分∵2==AD PA ， ∴)0,1,0(E ，)0,2,2(C ，)2,0,0(P ，)1,1,1(F 设H 是PD 的中点，连接AH ∵⊥AG 平面PBC ， ∴同理可证⊥AH 平面PCD ，∴是平面PCD 的法向量，)1,1,0(=AH ………………9分)0,1,2(=，)2,1,0(-=设平面PEC 的法向量),,(z y x m = ，则0,0=⋅=⋅m∴02,02=+-=+z y y x 令2=y ，则1,1=-=z x∴)1,2,1(-=m………………12分∴23263||||,cos =⋅=>=<AH m m． ………………13分∴二面角D PC E --的大小为︒30 ………………14分 17． （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）72.0………………2分 （Ⅱ）甲更稳定，………………5分（Ⅲ）按照分层抽样法，在),10,0[),20,10[),30,20[),40,30[内抽出的比赛场数分别 为3,4,2,1， ………………6分ξ的取值为2,1,0，………………7分1574521)0(21027====C C P ξ， ………………9分1574521)1(2101317==⋅==C C C P ξ， ………………10分 151453)2(21023====C C P ξ ， ………………11分ξ的分布列为：………………13分18． （本小题满分13分）解：（Ⅰ）a x x f 33)(2-='， ………………1分（1）当0≤a 时，0)(≥'x f 恒成立，此时)(x f 在),(+∞-∞上是增函数，……2分（2）当0>a 时，令0)(='x f ，得a x ±=；令0)(>'x f ，得a x -<或a x > 令0)(<'x f ，得a x a <<-∴)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 上是增函数， 在],[a a -上是减函数． ………………5 分 （Ⅱ）∵a f 3)0(-='， b f =)0(，∴曲线)(x f y =在0=x 处的切线方程为ax b y 3-=-， 即03=-+b y ax ，∴a b 2=， ∴a ax x x f 23)(3+-= ………………7 分由（Ⅰ）知，（1）当0≤a 时，)(x f 在区间),(+∞-∞单调递增，所以题设成立………………8 分（2）当0>a 时，)(x f 在a x -=处达到极大值，在a x =处达到极小值，此时题设成立等价条件是0)(<-a f 或0)(>a f ， 即：02)(3)(3<+---a a a a 或02)(3)(3>+-a a a a即：023<++-a a a a a 或023>+-a a a a a ………………11 分 解得：10<<a ………………12 分由（1）（2）可知a的取值范围是)1,(-∞． ………………13分19． （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）．椭圆C的方程为1422=+y x ． ………………3分 （Ⅱ）直线AS 的斜率k 显然存在，且0>k ，故可设直线AS的方程为)2(+=x k y ， ………………4分从而)6,4(k M ………………5分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)2(22y x x k y 得041616)41(2222=-+++k x k x k ， ………………7分设),(11y x S ，则22141416)2(k k x +-=⨯-， 得2214182k k x +-=， ………………8分从而21414k ky +=，即)414,4182(222kkk k S ++-， ………………9分又)0,2(B ，故直线BS的方程为)2(41--=x ky ………………10分 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=4)2(41x x k y 得⎪⎩⎪⎨⎧-==k y x 214∴)21,4(kN -， ………………11分故kk MN 216||+=， ………………12分又∵0>k ， ∴322162216||=⨯≥+=kk k k MN ， ………………13分当且仅当k k 216=，即63=k 时等号成立， ∴63=k 时，线段MN 的长度取得最小值为32． (14)分20． （本小题满分13分）（1）数列}{n a 为：2， 3， 4， 5， 1；2， 3， 4， 5， 2；2， 3， 4， 5， 3；2， 3， 4， 5， 4；2， 3， 4， 5， 5． …………3分（2）因为},,,max{21k k a a a b =，},,,,max{1211++=k k k a a a a b ， 所以k k b b ≥+1． …………4分因为C b a k m k =++-1，C b a k m k =+-+1，所以011≥-=--+-+k m k m k k b b a a ，即k k a a ≥+1． …………6分因此，k k a b =． …………8分（3）对25,,2,1 =k ，)34()34(234-+-=-k k a a k ；)24()24(224-+-=-k k a a k ；)14()14(214---=-k k a a k ；)4()4(24k k a a k -=．比较大小，可得3424-->k k a a ．因为121<<a ，所以0)38)(1(2414<--=---k a a a k k ，即1424-->k k a a ； 0)14)(12(2244>--=--k a a a k k ，即244->k k a a ．又k k a a 414>+，从而3434--=k k a b ，2424--=k k a b ，2414--=k k a b ，k k a b 44=．因此)()()(1001002211a b a b a b -++-+-=)()()()()(9999141410107733a b a b a b a b a b k k -++-++-+-+--- =)()()()()(999814241097632a a a a a a a a a a k k -++-++-+-+---=∑=---2511424)(k k k a a =∑=--251)38()1(k k a =)1(2525a -． ………………13分。
高考数学一模试卷一二三总分题号得分一、选择题（本大题共4 小题，共20.0 分）1.若函数在区间（1，e）上存在零点，则常数a的取值范围为（）A. 0＜a＜1B. C. D.2.下列函数是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增的是（）A. B. f（x）=|x|-2cos xC. D. f（x）=10|lg x|3.已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a、b、c不可能满足的是（）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面4.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：，-π＜φ＜π，下列判断错误的是（）A. 当a＞0，b＞0 时，辅助角B. 当a＞0，b＜0 时，辅助角C. 当a＜0，b＞0 时，辅助角D. 当a＜0，b＜0 时，辅助角二、填空题（本大题共12 小题，共54.0 分）5.若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=______．6.已知，则λ=______．7.函数y=3x-1（x≤1）的反函数是______．8.2019 年女排世界杯共有12 支参赛球队，赛制采用12 支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有______场球赛．9.以抛物线y2=-6x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是______．10.在（1-x）5（1+x3）的展开式中，x3 的系数为______．（结果用数值表示）11.不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6 的解集是______．12.已知方程x2-kx+2=0（k∈R）的两个虚根为x、x，若|x-x|=2，则k=______．1 2 1 213.已知直线l过点（-1，0）且与直线2x-y=0 垂直，则圆x2+y2-4x+8y=0 与直线l相交所得的弦长为______．14.有一个空心钢球，质量为142g，测得外直径为5cm，则它的内直径是______cm（钢的密度为7.9g/cm3，精确到0.1cm）．15.已知{a}、{b}均是等差数列，c=a•b，若{c}前三项是7、9、9，则c=______．n n n n n n1016.已知a＞b＞0，那么，当代数式取最小值时，点P（a，b）的坐标为______．三、解答题（本大题共5 小题，共76.0 分）17.在直四棱柱ABCD-A B C D中，底面四边形ABCD是边长1 1 1 1为2 的菱形，∠BAD=60°，DD1=3，E是AB的中点．（1）求四棱锥C1-EBCD的体积；（2）求异面直线C1E和AD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18.已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若f（x）=a在区间上有两个解x、x，求a的取值范围及x+x的值．1 2 1 219.一家污水处理厂有A、B两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%．（1）A池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1 小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A、B两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定．（精确到1 小时）20.已知直线l：x=t（0＜t＜2）与椭圆象限，M是椭圆上一点．相交于A、B两点，其中A在第一（1）记F、F是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB过F，当M到F的距离与到直1 2 2 1线AB的距离相等时，求点M的横坐标；（2）若点M、A关于y轴对称，当△MAB的面积最大时，求直线MB的方程；（3）设直线MA和MB与x轴分别交于P、Q，证明：|OP|•|OQ|为定值．21.已知数列{a}满足a=1，a=e（e是自然对数的底数），且，令n 1 2b=ln a（n∈N*）．n n（1）证明：（2）证明：；是等比数列，且{b n}的通项公式是；（3）是否存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立？若存在，求t的取值范围，否则，说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：函数在区间（1，e）上为增函数，∵f（1）=ln1-1+a＜0，f（e）=ln e- +a＞0，可得＜a＜1故选：C．判断函数的单调性，利用零点判断定理求解即可．本题考查函数与方程的应用，函数的零点的判断，是基本知识的考查．2.【答案】A【解析】解：由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D错；A：f（-x）=log2（4-x+1）+x=log2+x=log （4x+1）-log 22x+x=log （4x+1）-x=f（x）；2 2 2f（x）=log2（4x+1）-x=log2号成立，故A正确；=log （2x+ ）≥log2=1，当且仅当2x= ，即x=0 时等2 2B：x＞0 时，f（x）=x-2cos x，令f′（x）=1-2sin x＞0，得x∈（0，2kπ+）∪（2kπ+，2kπ+2π）（k∈N*），故B不正确；C：x≠0时，x2+ ≥2，当且仅当x2= ，即x=±1时，等号成立，∴不满足在[0，+∞）上单调递增，故C不正确；故选：A．由偶函数的定义，及在[0，+∞）上单调即可求解；考查偶函数的定义，函数在特定区间上的单调性，属于低档题；3.【答案】B【解析】解：平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，所以直线a、b、c在三个平面内，不会是共面直线，所以：当直线两两平行时，a、b、c为共面直线．与已知条件整理出的结论不符．故选：B．直接利用直线和平面的位置关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：直线和平面之间的关系的应用，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题型．4.【答案】B【解析】解：因为cosφ=，sinφ=⇒tanφ=，对于A，因为a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限⇒0＜φ＜，因为＞0，φ=arctan＞0，故A选项正确；对于B，因为a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限⇒- ＜φ＜0；，故φ=π-arctan（- ）=π+arctan＞0，故B选项错误；对于C，因为a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限⇒⇒＜φ＜π；＜0，故φ═π-arctan（- ）=π+arctan＞0，故C选项正确；对于D，因为a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限⇒-π＜φ＜- ，＞0，故φ=arctan，又因为φ∈（-π，π]，故φ=arctan-π＜0，故D选项正确；故选：B．分别判断出a，b的值，对辅助角φ的影响．①a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限；②a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限；③a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限；④a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限．本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力；属于中档题．5.【答案】【解析】解：∵复数z满足z（1+i）=2i，∴（1-i）z（1+i）=2i（1-i），化为2z=2（i+1），∴z=1+i．∴|z|= ．故答案为：．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．6.【答案】3【解析】解：=（λ-4）+2λ=5，解之得λ=3，故答案为：3．由行列式的公式化简求解．本题考查行列式，属于基础题．7.【答案】y=1+log3x，x∈（0，1]【解析】解：y=3x-1（x≤1），y∈（0，1]，得x-1=log3y，x，y对换，得y=1+log3x，x∈（0，1]，故答案为：y=1+log3x，x∈（0，1]，利用反函数的求法，先反解x，再对换x，y，求出即可．本题考查了反函数的求法，属于基础题．8.【答案】66【解析】解：根据题意利用组合数得．故答案为：66．直接利用组合数的应用求出结果．本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9.【答案】（x+ ）2+y2=9【解析】解：抛物线y2=-6x的焦点坐标为：（- ，0）准线的方程为x= ，所以叫点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：故答案为：首先求出抛物线的交点坐标和准现方程，进一步求出圆的方程．．．本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】6【解析】解：（1-x）5•（1+x）3=（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3=（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6）∴展开式中x3 的系数为（-2）•（-3）=6．故答案为：6．把（1-x）5•（1+x）3 化为（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3，再化为（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6），由此求出展开式中x3 的系数．本题考查了二项式系数的性质与应用问题，解题时应根据多项式的运算法则合理地进行等价转化，是基础题目．11.【答案】（-4，+∞）【解析】解：不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6 转换为不等式|x2-x+2|＞x2-3x-6，由于函数y=x2-x+2 的图象在x轴上方，所以x2-x+2＞0 恒成立，所以x2-x+2＞x2-3x-6，整理得x＞-4，故不等式的解集为（-4，+∞）．故答案为（-4，+∞）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.【答案】±2【解析】解：∵方程程x2-kx+2=0 的两个虚根为x、x，1 2可设x=a+bi，x=a-bi（a，b∈R）．1 2∴x+x=2a=k，x x=a2+b2=2，1 2 1 2∵|x-x|=2，∴|2bi|=2，1 2联立解得：b=±1，a=±1．∴k=±2．故答案为：±2．由题意设x=a+bi，x=a-bi（a，b∈R），利用根与系数的关系结合|x-x|=2 求得a与b1 2 1 2的值，则k可求．本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：由题意可得，l的方程为x+2y+1=0，∵x2+y2-4x+8y=0 可化为（x-2）2+（y+4）2=20，圆心（2，-4），半径r=2 ，∴圆心（2，-4）到l的距离d= = ，∴AB=2 =2 =2 ．故答案为：2 ．先求出直线l的方程，再求出圆心C与半径r，计算圆心到直线l的距离d，由垂径定理求弦长|AB|．本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，是基础题．14.【答案】4.5【解析】解：设钢球的内半径为r，所以7.9××3.14×[- ]=142，解得r≈2.25．故内直径为4.5cm．故答案为：4.5．直接利用球的体积公式和物理中的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.【答案】-47【解析】解：设c=a•b=an2+bn+c，n n n则，解得∴c10=-1×102+5×10+3=-47，故答案为：-47．{a}、{b}均是等差数列，故{c}为二次函数，设c=an2+bn+c，根据前3 项，求出a，b n n n n，c的值，即可得到c10．本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】（2，）【解析】解：因为a＞b＞0：∴b（a-b）≤= ；所以≥a2+ ≥2=16．当且仅当，）．⇒时取等号，此时P（a，b）的坐标为：（2故答案为：（2 ，）．先根据基本不等式得到b（a-b）≤= ；再利用一次基本不等式即可求解．本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题型．17.【答案】解：（1）在直四棱柱ABCD-A B C D中，1 1 1 1∵底面四边形ABCD是边长为2 的菱形，∠BAD=60°，∴B到DC边的距离为，又E是AB的中点，∴BE=1，则．∵DD1=3，∴= ；（2）在直四棱柱ABCD-A B C D中，1 1 1 1∵AD∥B C，∴∠B C E即为异面直线C E和AD所成角，1 1 1 1 1连接B E，在△C B E中，B C=2，，1 1 1 1 1= ．∴cos∠B C E= ，1 1∴异面直线C1E和AD所成角的大小为arccos ．【解析】（1）求解三角形求出底面梯形BCDE的面积，再由棱锥体积公式求解；（2）在直四棱柱ABCD-A B C D中，由题意可得AD∥B C，则∠B C E即为异面直线1 1 1 1 1 1 1 1C1E和AD所成角，求解三角形得答案．本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18.【答案】解：（1）函数= == ．所以函数的最小正周期为，令（k∈Z），解得（k∈Z），所以函数的对称中心为（）（k∈Z）．（2）由于，所以，在区间上有两个解x、x，1 2所以函数时，函数的图象有两个交点，故a的范围为[0，）．由于函数的图象在区间 上关于 x = 对称，故．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正 弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数 a 的范围和 x +x 的值． 1 2本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（1）A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的 10%，剩余原来的 90%，设 A 池要用 t 小时才能把污物的量减少一半， 则 0.9x =0.5，可得 x = ≈7，则 A 池要用 7 小时才能把污物的量减少一半；（2）设 A 、B 两池同时工作，经过 x 小时后把两池水混合便符合环保规定， B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的 19%，剩余原来的 81%， 可得 =0.1，即 0.92x +0.9x -0.2=0， 可得 0.9x = 可得 x =， ≈17．则 A 、B 两池同时工作，经过 17 小时后把两池水混合便符合环保规定．【解析】（1）由题意可得 A 池每小时剩余原来的 90%，设 A 池要用 t 小时才能把污物 的量减少一半，则 0.9x =0.5，两边取对数，计算可得所求值； （2）设 A 、B 两池同时工作，经过 x 小时后把两池水混合便符合环保规定，B 池每小时 剩余原来的 81%，可得=0.1，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值．本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．20.【答案】解：（1）设 M （x ，y ），-2≤x ≤2，F 1（-过 F 2，），F 2（ ，0），直线 AB所以 t = 由题意得：=|x - |⇒y 2=-4 x ，联立椭圆方程： + =1⇒y 2=2- ，解得 x =-6+4 即 M 的横坐标是：-6+4 （2）设 A （t ，y ），B （t ，-y ），M （-t ，y ）， ，． 1 1 1则 S △MAB = 2t •|2y |=2t •|y |，而 A 在椭圆上，所以， + =1 1 1 ∴1≥2• ⇒ty 1≤ ，∴S △MAB ≤2 ，当且仅当 t = ，即 t = y 1 时取等号，∴t = ，这时 B （ ，-1），M （- ，1），所以直线 MB 方程：y =- x ；（3）设点A（t，y），B（t，-y），M（x，y），则直线MA：y= •（x-t）+y1，1 1 0 0所以P的坐标（同理直线MB：y= 所以|OP|•|OQ|=| 代入|OP|•|OQ|=|，0）（x-t）-y1，所以Q的坐标（|，又因为A，M在椭圆上，所以y2=2- t2，y2=2- x2，0）1 0 0 |=4，恒为定值．【解析】（1）由题意可得焦点F，F的坐标，进而可求出A的坐标，设M的坐标，1 2注意横坐标的范围[-2，2]，在椭圆上，又M到F1 的距离与到直线AB的距离相等，可求出M的横坐标；（2）M，A，B3 个点的位置关系，可设一个点坐标，写出其他两点的坐标，写出面积的表达式，根据均值不等式可求出横纵坐标的关系，又在椭圆上，进而求出具体的坐标，再求直线MB的方程；（3）设M，A的坐标，得出直线MA，MB的方程，进而求出两条直线与x轴的交点坐标，用M，A的坐标表示，而M，A又在椭圆上，进而求出结果．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难度题．21.【答案】（1）证明：由已知可得：a n＞1．∴ln a n+1+ln a n≥2，∴ln≥，∵，b=ln a（n∈N*）．n n∴ln a n+2≥，∴．（2）证明：设c n=b n+1-b n，∵，b=ln a（n∈N*）．∴= =n n= =- ．∴是等比数列，公比为- ．首项b-b=1．2 1∴b n+1-b n= ．∴b=b+（b-b）+（b-b）+……+（b-b）n 1 2 1 3 2 n n-1=0+1+ =+ +……+ = ．∴{b n}的通项公式是；（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．∴n=1 时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，∵= = =1- ．取得最小值，= ．当n=2 时，∴t≤．【解析】（1）由已知可得：a n＞1．利用基本不等式的性质可得：ln a n+1+ln a n≥2，可得ln ≥，代入化简即可得出．（2）设c n=b n+1-b n，由，b=ln a（n∈N*）．可得= =- ．即n n可证明是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．n=1 时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，利用单调性即可得出．本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等比数列的定义通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．高考数学三模试卷题号得分一 二 三 总分一、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）1. 关于三个不同平面 α，β，γ 与直线 l ，下列命题中的假命题是（ ）A. 若 α⊥β，则 α 内一定存在直线平行于 βB. 若 α 与 β 不垂直，则 α 内一定不存在直线垂直于 βC. 若 α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l ，则 l ⊥γD. 若 α⊥β，则 α 内所有直线垂直于 β2. 在一次化学测试中，高一某班 50 名学生成绩的平均分为 82 分，方差为 8.2，则下 列四个数中不可能是该班化学成绩的是（ ）A. 60B. 70C. 80D. 100 3. 已知双曲线 ： ，过点 作直线 ，使 与 有且仅有一个公共点，则满 足上述条件的直线 共有（）A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条4. 有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行 ，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（）种A. 48B. 72C. 78D. 84 二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分） 5. 若全集为实数集 R ，，则∁R M =______ 的准线方程为______． =0 的解为______ ． 的反函数 f -1（x ）=______ 6. 抛物线7. 关于 x 方程8. 函数 f （x ）=2sin x +1，9. 函数的图象相邻的两条对称轴之间的距离是______ ，则二项式（x -2a ）10 展开式的系数和是______10. 若 11. 某校要从 名男生和 名女生中选出 人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的 志愿者中,男、女都有的概率为______(结果用数值表示).12. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是______13.设实数x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则2a+3b的值为______14.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A、B两点，则线段AB的长是______15.定义在R上的偶函数f（x）对任意的x∈R有f（1+x）=f（1-x），且当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．若函数y=f（x）-log a x在（0，+∞）上有四个零点，则a的值为______ ．16.已知向量、满足三、解答题（本大题共5 小题，共60.0 分）17.如图，已知多面体ABC-A B C，A A，B B，C C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，，，则的取值范围是______1 1 1 1 1 1A A=4，C C=1，AB=BC=B B=2．1 1 1（1）证明：AB⊥平面A B C；1 1 1 1（2）求直线AC与平面ABB所成的角的正弦值．1 118. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sin A的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．19. 某单位有员工1000 名，平均每人每年创造利润10 万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后这x名员工他们平均每人创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000 名员工创造的年总利润，则最多调整多少名员工从事第三产业？（2）设x≤400，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求a的最大值．20. 如图，以椭圆=1（a＞1）的右焦点F为圆心，1-c为半径作圆F（其中c为2 2已知椭圆的半焦距），过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T．（1）若a= ，P为椭圆的右顶点，求切线长|PT|；（2）设圆F2 与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若|PT|≥（a-c）恒成立，且OA⊥OB．求：①c的取值范围；②直线l被圆F2 所截得弦长的最大值．21. 给定数列{a}，记该数列前i项a，a，…，a中的最大项为A，即A=max{a，an 1 2 i i i 1 2，…，a}；该数列后n-i项a，a，…，a中的最小项为B，即B=min{a，ai i+1 i+2 n i i i+1 i+2，…，a}；d=A-B（i=1，2，3，…，n-1）n i i i（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d，d，d；1 2 3（2）若S是数列{a}的前n项和，且对任意n∈N*，有，n n其中λ为实数，λ＞0 且．①设，证明数列{b n}是等比数列；②若数列{a}对应的d满足d＞d对任意的正整数i=1，2，3，…，n-2 恒成立，n i i+1 i求实数λ的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：对于A，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故A正确；对于B，假设α内存在直线a垂直于β，则α⊥β，与题设矛盾，故假设错误，故B正确；对于C，设α∩γ=c，β∩γ=d，在γ内任取一点P，作PM⊥c于点M，PN⊥d于点N则PM⊥α，PN⊥β，且PM、PN不可能共线．又l⊂α，l⊂β，∴PM⊥l，PN⊥l．又PM∩PN=P，PM⊂γ，PN⊂γ，∴l⊥γ．故C正确．对于D，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故D错误．故选：D．根据空间线面位置关系的判定和性质判断或距离说明．本题主要考查了直线与平面位置关系的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．2.【答案】A【解析】解：高一某班50 名学生成绩的平均分为82 分，方差为8.2，根据平均数、方差的意义，可知60 分不可能是该班化学成绩．故选A．根据平均数、方差的意义，可知结论．本题考查平均数、方差的意义，比较基础．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生数形结合和转化和化归的思想的运用，属于一般题.先确定双曲线的右顶点，进而根据图形可推断出当l垂直x轴时与C相切，与x轴不垂直且与C相切，与渐近线平行且与C较与1 点（两种情况）满足l与C有且只有一个公共点．【解答】解：根据双曲线方程可知a=1，①当直线l斜率不存在时，直线l方程为：x=1，满足与曲线C只有一个公共点；②当直线l斜率存在时，设直线l方程为：y-1=k(x-1),即：y=k(x-1)+1，联立,整理可得：，当,即k= 时，此时方程有且仅有一个实数根，∴直线l: 与曲线C有且仅有一个公共点，当时，,解得：∴直线l: ,与曲线C有且仅有一个公共点，综上所述：满足条件的直线l有4 条．故选：D.4.【答案】A【解析】解：将五个球排成一行共有种不同的排法，当两个红色球相邻共有当两个黄色球相邻共有种不同的排法，种不同的排法，当两个黄色球、两个红色球分别相邻共有种不同的排法，则将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有- - +=120-48-48+24=48（种），故选：A．由排列组合及简单的计数问题得：将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有- - + =48（种），得解．本题考查了排列组合及简单的计数问题，属中档题．5.【答案】【解析】解：∵∴；．故答案为：．可以求出集合M，然后进行补集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，对数函数的单调性及对数函数的定义域，以及补集的运算．6.【答案】y=1【解析】解：由，得x2=-4y，∴2p=4，即p=2，则抛物线的准线方程为y= =1．故答案为：y=1．化抛物线方程为标准式，求得p，则直线方程可求．本题考查抛物线的简单性质，是基础题．7.【答案】x= 或x= ，k∈Z【解析】解：由=0，得4sin x cosx-1=0，即sin2x= ．∴2x= 则x= 或x=或x=，，k∈Z．或x=故答案为：x= ，k∈Z．由已知可得sin2x= ．求出2x的值，则原方程的解可求．本题考查二阶矩阵的应用，考查了三角函数值的求法，是基础题．8.【答案】，x∈[1，3]【解析】解：由y=2sin x+1，得sin x=，∴x=把x与y互换，可得f-1（x）=故答案为：，x∈[1，3]．，∵，，x∈[1，3]．由已知利用反正弦求得x，把x与y互换得答案．本题考查三角函数的反函数的求法，注意原函数的定义域是关键，是基础题．9.【答案】【解析】解：=（sin x+cos x）cos x== ，所以f（x）的周期T= ，所以f（x）的图象相邻的两条对称轴之间的距离为，故答案为：．化简f（x），然后根据f（x）图象相邻的两条对称轴之间的距离为即可得到结果．本题考查了三角函数的图象与性质，属基础题．10.【答案】1024【解析】解：由，知a≠1，∴= == ，∴a= ，∴（x-2a）10=（x+1）10，∴其展开式系数之和为C100+C101+C102+…+C1010=210=1024，故答案为：1024．根据数列的极限求出a的值，然后代入二项式（x-2a）10 中求其展开式的系数和即可．本题考查了数列的极限和二项式展开式系数和的求法，属基础题．11.【答案】【解析】【分析】本题考查等可能事件的概率计算，在求选出的志愿者中，男、女生都有的情况数目时，可以先求出只有男生、女生的数目，进而由排除法求得．根据题意，首先计算从2 名男生和4 名女生中选出4 人数目，再分析选出的4 人中只有男生、女生的数目，由排除法可得男、女生都有的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，从2 名男生和4 名女生中选出4 人，有C64=15 种取法，其中全部为女生的有C44=1 种情况，没有全部为男生的情况，则选出的4 名志愿者中，男、女生都有的情况有15-1=14 种，则其概率为.故答案为.12.【答案】【解析】解：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），= ，其底面积：S= ×2×1+高h=3，故棱锥的体积V= = ，故答案为：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），代入锥体体积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，难度中档．13.【答案】1【解析】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=- x+，∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率- ＜0，作出不等式对应的平面区域如图：平移直线得y=- x+ ，由图象可知当直线y=- x+经过点B时，直线y=- x+ 的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（4，6），此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，即4a+6b=2，即2a+3b=1，故答案为：1．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，即可得到结论．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．14.【答案】【解析】解：由得x2+ =1，将代入到x2+ =1 并整理得：t2+4t=0，设A，B对应的参数为t，t，1 2则t=0，t=- ，1 2∴|t-t|=1 2故答案为：．联立直线的参数方程与曲线C的普通方程，利用参数的几何意义可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．15.【答案】【解析】【分析】由已知中f（x+1）=f（1-x），故可能函数是以2 为周期的周期函数，又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，结合当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．我们易得函数f（x）的图象，最后利用图象研究零点问题即可．本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，函数的周期性，考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化与数形结合的数学思想，属于中档题．【解答】解：由函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=f（1-x）成立，可得f（x+2）=f（-x）=f（x），∴函数f（x）是定义在R上的周期为2 的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．函数y=f（x）-log x在（0，+∞）上的零点个数等于函数y=f（x）和函数y=log x的图象a a在（0，+∞）上的交点个数，如图所示：当y=log x的图象过点A（4，-1）时，函数y=f（x）-log x在（0，+∞）上有四个零点，a a∴-1=log a4，∴a= ．故答案为：．16.【答案】【解析】解：向量、满足，，由题意可设，=（0，1）、=（x，y）；、满足则：+ =（x，1+y）；- =（-x，1-y）；，，且x2+y2=4；则= +转换成所求为点（x．y）到（0，-1）与点（0，1）的距离之和大小，且（x，y）可看成在x2+y2=4 表示的圆周上的点；由数形结合法知即：当（x，y）在（2，0）或（-2，0）时，则值最小为3+1=4；当（x，y）在（0，2）或（0，-2）时，则值最大为2 =2 ；则的取值范围是故答案为：．利用设向量、的坐标表示法，利用向量模长转换成函数求最值，利用数形结合法求转换后的最值即可．本题考查了向量模长应用的问题，采用数形结合法，分类讨论解题时应根据平面向量的线性运算法则进行化简．．17.【答案】（1）证明：由余弦定理得，所以，∵A A⊥平面ABC，B B⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，1 1∴AA∥BB，AB⊥BB，1 1 1∵AA=4，BB=2，AB=2，1 1∴A B= =2 ，1 1又AB1= =2 ，∴，∴AB⊥A B，1 1 1, ,即即AB⊥B C，1 1 1又A B∩B C=B，A B，B C平面A B C，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1∴AB⊥平面A B C．1 1 1 1（2）解：取AC中点O，过O作平面ABC的垂线OD，交A C于D，1 1∵AB=BC，∴OB⊥OC，以O为原点，以OB，OC，OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则A（0，- ，0），B（1，0，0），B（1，0，2），C（0，，1），1 1∴=（1，，0），=（0，0，2），=（0，2 ，1），设平面ABB1 的法向量为=（x，y，z），则，∴，令y=1 可得=（- ，1，0），∴cos = = = ．设直线AC与平面ABB所成的角为θ，则sinθ=|cos|= ．1 1∴直线AC与平面ABB所成的角的正弦值为．1 1【解析】本题主要考查了线面垂直的判定定理，线面角的计算与空间向量的应用，考查计算能力与空间想象能力，属于中档题．（1）利用勾股定理的逆定理证明AB⊥A B，AB⊥B C，从而可得AB⊥平面A B C；1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （2）以AC的中点为坐标原点建立空间坐标系，求出平面ABB1 的法向量，计算与的夹角即可得出线面角的正弦值．18.【答案】解：（1）由题意可得=cos[（A-B）+B]=cos A=∴sin A= = ；（2）由正弦定理可得∴sin B= = ，∵a＞b，∴A＞B，∴B= ，由余弦定理可得解得c=1，或c=-7（舍去），故向量方向上的投影为=cos（A-B）cos B-sin（A-B）sin B，，== ，在cos B=c cos B=1×= ．【解析】（1）由数量积的坐标表示和涉及函数的公式可得=cos A= ，由同角三角函数的基本关系可得sin A；（2）由正弦定理可得sin B=，由余弦定理可得c值，由投影的定义可得．，结合大边对大角可得B值本题考查平面向量的数量积和两角和与差的三角函数公式，属中档题．19.【答案】解：（1）由题意得：10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，即x2-500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500 名员工从事第三产业．（2）由题意得：10x（a- ）≤10（1000-x）（1+0.2x%），即ax≤+1000+x，因为x＞0，所以a≤在（0，400]恒成立，令f（x）= ，则f（x）= ≥2×2+1=5，当仅当时取等，此时x=500，但因为x≤400，且函数f（x）= 在（0，500）上单调递减，所以x=400 时，f（x）取最小值为f（400）= ，所以a最大值为．【解析】本题考查函数的实际应用，涉及不等式、函数基本性质等知识点，属于中档题．（1）根据题意列出不等式10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，求出解集即可；（2）根据题意可列10x（a- ）≤10（1000-x）（1+0.2x%），化成a≤在（0，400]恒成立，构造函数令f（x）= 20.【答案】解：（1）由a= ，得c= ，则当P为椭圆的右顶点时|PF2|=a-c= ，故此时的切线长|PT|=，利用对勾函数性质求出最值即可．；（2）①当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，而|PF| =a-c，2 min由|PT|≥（a-c）恒成立，得≥（a-c），解得≤c＜1；②由题意Q点的坐标为（1，0），则直线l的方程为y=k（x-1），代入，得（a2k2+1）x2-2a2k2x+a2k2-a2=0，设A（x，y），B（x，y），1 12 2则有可得，，= ，又OA⊥OB，则=0，得k=a．可得直线l的方程为ax-y-a=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离d= ，半径r=1-c，则直线l被圆F2 所截得弦长为L=2设1-c=t，则0＜t≤，= ，又= ，∴当t= 时，的最小值为，。
理科数学格致中学二〇一〇学年度第二学期高考模拟考试参考答案格致中学二〇一〇学年度第二学期高考模拟考试高三年级数学(理科)参考答案一、填空题：（本题共14小题，每小题4分，满分56分）1、,02、13、425、1609、12022、2154、2.56、32或347、238、810、314、mn011、1,212、4二、选择题：（每小题4分，满分16分）15、C16、Ｃ17、D18、B三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
每题解题过程写在该题的答题框内，否则不计分。
19、（本题满分12分）解：如图所示建立直角坐标系，-----------------------------------------------------------------2’设ABa，则ACAA12a,B(a,0,0),M(0,2a,a)设N(0,y,0),BM(a,2a,a),A1N(0,y,2a)，------------------------------6’则2ay2a0,ya，即N是AC的中点。
A1N4aa22225,a2,-------------------------------------------------------9’VA1ABN118ABANAA1--------12’323zA1C1MB某B1ANCy二〇一〇学年第二学期高三数学（理科）高考模拟考试参考答案第1页共4页20、（本题共2小题，其中第1小题7分，第2小题7分，满分14分）解：（1）f某3in某1co某2in某1-------------------3’6又f某的最小正周期为3，即：f某2in当某23某23，可得：231------------------------------------------------------4’6223时，某--------------------------------------------5’,,243623223即某时，f某有最小值为31--------------------7’当某363423C（2）fC2inAB22，，解得：----------9’CC1136226，2in2AcoAcoA---------------10’2225即2co2AinAinA，可得：1in2AinA----------------------------11’解此方程可得：inA12-------------------------------------------------------13’5又0inA1，inA12-----------------------------------------------14’21、（本题共2小题，其中第1小题8分，第2小题6分，满分14分）解：（1）f14924951,4，-----------------------------------------------2’f1某不在集合A中；-------------------------------------------------------------4’11又某0，01，1134--------------------------7’221f2某1,4且f2某13在0,上为减函数，2某某某1f2某13在集合A中-------------------------------------------------8’215123（2）当某0时，g某g某22-------------------------------12’42423又由已知g某g某2k对于任意某0总成立，k4某某即所求实数k的取值范围是,------------------------------------------------14’4二〇一〇学年第二学期高三数学（理科）高考模拟考试参考答案第2页共4页二〇一〇学年第二学期高三数学（理科）高考模拟考试参考答案第3页共4页23、（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题8分，第3小题8分，满分20分）解：（1）设动圆圆心为M某,y，半径为r，已知圆E圆心为0,1，------------1’由题意知MFr，ME22r，MEMF22，----------2’所以点M的轨迹C是以E、F为焦点，长轴长为22的椭圆，---------3’其方程为某22y221-----------------------------------------------------------------4’22（2）设P某,y，则PA某ay2某a22某2某22a某a22(某a)2a2-----------------------------------------6’22令f 某某a2a2，某1,1，22当a1，即a1时，f某在1,1上是减函数，此时f某ma某f1a1；-------------------------------------------------8’当1a1，即1a1时，f某在1,a上是增函数，在a,1上是减2函数，此时f某fa2a2；----------------------------------------10’ma某2当a1，即a1时，f某在1,1上是增函数，此时f某ma某f1a1-----------------------------------------------------12’1a2da2a21aa11a1。
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考模拟试卷数学卷理科 创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂王会创作单位： 明德智语学校选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．函数2lg )(-=x x f 的定义域为 （ ）A ．()0-，∞ B ．()2-，∞ C ．[)∞+，2 D ． ()∞+，2 【根据《10月普通高业水平考试》第1题改编】2．在ABC ∆中，“0AB BC ⋅>”是“ABC ∆是钝角三角形”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【根据《第一学期联谊学校期中考试高三数学（理科）试卷》（设计人：夏国良）第2题改编】3．若对任意()+∞∈,1x ，不等式0)1)(1(≥+-ax x 恒成立，则a 的取值范围为 （ ）A ．0>aB ．0≥a C. 1->a D.1-≥a【】4．已知函数)0(),cos()(πθθ<<+=x x f 在3π=x 时取得最小值，则)(x f 在[]π，0上的单调增区间是（ ）A ．[ππ，3]B ．[323ππ，]C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡320π，D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ，32 【根据《第一学期联谊学校期中考试高三数学（理科）试题卷》第8题改编】5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＞S 7＞S 5，则满足S n •S n+1＜0的正整数n 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13 【】6．已知二面角βα--l 的大小为o 60，b 和c 是两条异面直线，且b ⊥α,c ⊥β，则b 与c 所成的角为( )A ．300B ．600C ．900D ．1200 【】7．已知O 为△ABC 的外心，||=16，||=10，若=x +y ，且32x+25y=25，则∠B=( ) 【】A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π 8．已知实数a<b<c,设方程0111=-+-+-c x b x a x 的两个实根分别为)(,2121x x x x <，则下列关系中恒成立的是（ ）【】A ．c x b x a <<<<21B ．c x b a x <<<<21C ．c b x x a <<<<21D ．21x c b x a <<<<非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.._______，渐近线方程是_______的焦距是1222=-x y ．双曲线9 【根据高考理科卷第9题改编】10.设e 1，e 2为单位向量， 且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b＝2e 1，则e 1·e 2=，向量a 在b 方向上的投影为________．【根据《第一学期期中考试题卷（高三理科）》第11题改编】11．一个棱锥的三视图如图， 则该棱锥的各棱长之和等于______,棱锥的的体积等于______．【】12．已知函数)22)(2cos()2sin()(πϕπϕϕ<<-+++=x x x f 的图像经过点)22,(π， 则ϕ的值为．【】 13．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的边长为1，过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1的截面面积为S ， S 的取值范围是______．【】14．已知函数221)(m mx x x f -+-=，若)(x f 在]1,0[上单调递增，则实数m 的取值范围_______ ．【】15．已知kx x x f +=2)(，f (x )的值域为__________ （用含k 的字母表示）；记)]([)(x f f x F =，若)()(x f x F 与有相同的值域，则k 范围为__________；1)()(2-+=x x f x g 记，若)(x g 在(0,2)上有两个不同的零点x 1，x 2，则k 的取值范围是__________．【】三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证俯视图侧视图正视图11111明过程或演算步骤.16．（本题满分14分）在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足sin sin sin B A a c C a b-+=+ （Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若sin cos A C =C ．【】 17. （本题满分15分）如图ABCD 为梯形，CD AB //,︒=∠60C ，点E 在CD 上,221===DE EC AB ，BC BD ⊥．现将ADE ∆沿AE 折起，使得平面⊥DBC 平面ABCE 。
格致中学第一学期摸底测试 高三年级数学（理科）测试卷一、填空题：（本大题满分60分）本大题共有12小题，每小题5分。
1．已知复数z 满足i i +=-1)1(（i 是虚数单位），则=z ______________；2．已知集合{}1|≤=x x A ，{}a x x B >=|且φ=B A ，则实数a 的取值范围是______________； 3．不等式0231>+x xx 的解集为________________；4．一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积为_____________。
5．函数x x x f 2sin sin 2)(2+=的最大值为________________；6．要从5名男生，3名女生中选出3人作为学生代表参加社区活动，且女生人数不多于男生人数，那么不同的选法种数有__________种； 7．A 、B 是半径为R 的球面上的两点，A 、B 是球面距离是3Rπ，则过A 、B 两点的平面到球心的距离的最大值为____________。
8．已知点M 的坐标是（1,1），F 1是椭圆15922=+y x 的左焦点，P 是椭圆上的动点，则PM PF +1的取值范围是____________。
9．设)(,321)(*∈++++=N n n n f ，则=∞→22)]([)(limn f n f n ________________。
10．某校对文明班的评选设计了e d c b a ,,,,五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样ed c b a S 1++=来计算各班的综合得分，S 的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出a b e d c <<<<<0，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为_______________．（填入e d c b a ,,,,中的某个字母）。
上海市格致中学高考数学模拟试卷一、填空题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)1．若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (9)＝–2，那么f -1(2)＝ 。
2．已知22x -20×2x +64≤0，设函数y ＝log 22x -31og 2x +3的最大值为M ，最小值为 m ，则M +m = 。
3．已知tg x =71，tg y =31，且180o <x <270o ，0<y <90o ，则x +2y ＝ 。
4．已知点P 是双曲线9x 2-16y 2=144上一点，F 1、F 2是它的左右焦点，且|PF 1|＝8.5．则|PF 2|＝ 。
5．已知直线l 的极坐标方程为ρsin(θ–4π)＝22，则点(–2，47π)到该直线的距离为 。
6．若++=，且||=3，||＝5，||＝7，则与的夹角为 。
7．若f (a +b )＝f (a )f (b )，且f (1)=2，则)2003()2004()2()3()1()2(f f f f f f +++Λ的值为 。
8．一个钱箱里有一分、二分、五分硬币各二枚，从中任取两枚，取到币值共6分的概率为 。
9．等差数列{a n }和{b n }的前n 项的和分别为S n 和T n ，对一切自然数n 都有n n T S＝123-n n，则77b a = 。
10．(1+x )十(1+x )2+…+(1+x )n 展开式按x 的升幂排列，倒数第2项的系数为13，则第11项为 。
11．若不等式x 2–1o ax ＜0在(0,21)内恒成立，则实数a 的取值范围是 。
12．若函数f (x )＝sin kx (0＜k ＜2π)满足条件：对任意x ∈R ，存在非零常数T ，使得f (x +T )＝Tf (x )成立，则k ＝ 。
二、选择题13．f (x )是R 上的奇函数，方程f (x )＝0解集为M ，且M 中有有限个元素，则( ) (A )M 可能是Ф (B )M 中的元素的个数为偶数(C )M 中的元素的个数为奇数 (D )M 中元素个数可以是偶数，也可以是奇数 14．下列命题中①若直线l 和平面α、β满足条件l ⊄α且l ⊥α，α⊥β，则l ∥α;②在空间，两条直线没有公共点是这两条直线平行的充分不必要条件;③若一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角相等或互补；④底面为矩形，且有两个侧面是矩形的平行六面体是长方体。
2020年上海市高考数学模拟试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 若a >0，b >0，且a +b =4，则下列不等式中恒成立的是( )A. 1ab >12B. 1a +1b ≤1C. √ab ≥2D. 1a 2+b 2≤182. 直线y =2x +1的参数方程可以是( )A. {x =t 2y =2t 2+1B. {x =2t −1y =4t +1 C. {x =t −1y =2t −1D. {x =sinθy =2sinθ+13. 已知平面α//平面β，它们之间的距离为d ，直线a ⊂α，则在β内与直线a 相距为2d 的直线有( )A. 1条B. 2条C. 无数条D. 不存在4. 命题p ：存在a ∈R 且a ≠0，对于任意的x ∈R ，使得f(x +a)<f(x)+f(a)；命题q 1:f(x)单调递减且f(x)>0恒成立； 命题q 2:f(x)单调递增，存在x 0<0使得f(x 0)=0， 则下列说法正确的是( )A. 只有q 1是p 的充分条件B. 只有q 2是p 的充分条件C. q 1，q 2都是p 的充分条件D. q 1，q 2都不是p 的充分条件二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 已知集合A ={1,2,4},B ={2,3,4,5}，则A ∩B = ．6. 计算：n →∞lim3n−1n+2=______ 7. 若复数z 满足i ⋅z =1+2i(其中i 为虚数单位)，则z 的模为_____________． 8. 函数f(x)=x 2(x ≤−1)的反函数是f −1(x)= ______ ． 9. 已知实数x ，y 满足{y ≥4x,x +2y +6≥0,y ≤4,则z =x −y 的最大值为________． 10. 已知矩阵[a 31a]的逆矩阵是[a−3−1a]，则正实数a =______ ．11. 一组数据20，30，40，50，50，60，70，80的平均数、中位数、众数分别为a ，b ，c ，则a +c −2b的值为 ．12. 已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1+a 4+a 7=0，则S6a 5的值为______ 13. 有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是________(用数字作答)．14. 已知椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的右焦点F(c,0)关于直线y =bc x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是15. 已知函数f(x)=x |x −1|−a,x ∈R 有三个零点x 1、x 2、x 3，则实数a 的取值范围是 ；x 1+x 2+x 3的取值范围是 ．16. 在平面内，已知AB ⊥AC ，且DB =DC =2,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若1≤DP ≤2，则DA 的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. (1)在△ABC 中，AB =2，BC =32，∠ABC =120°，若△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是多少？(2)已知四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．若BD ，AC 所成的角为60°，且BD =AC =1.求EF 的长度．18. 已知函数f(x)=2√3sinωxcosωx −2sin 2ωx(其中ω>0)图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2．(1)求ω的值及f(x)的单调减区间；(2)若f(x 0)=15，x 0∈[−π12,π4]，求f(x 0+π6)的值．19.一般情况下，桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，会造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度小于40辆/千米时，车流速度为40千米/小时．研究表明：当40≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(Ⅰ)当0≤x≤200，求函数v(x)的表达式；(Ⅱ)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)=x⋅v(x)可以达到最大，并求出最大值．20.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右顶点分别为A，B，点P是双曲线C上不同于顶点的任意一点，若直线PA、PB的斜率之积为12．(Ⅰ)求双曲线C的离心率e；(Ⅱ)若过点P作斜率为k(k≠±ba)的直线l，使得l与双曲线C有且仅有一个公共点，F1，F2分别为双曲线的两个焦点，记直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，问是否存在实数λ使得1k1+1k2=λk．21.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a，(a n+1)⋅(a n+1+1)=6(S n+n)，n∈N∗．n∈N∗．(1)求数列{a n}通项公式；(2)若对于∀n∈N∗都有S n≤n(3n+1)成立求实数a取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题主要考查不等关系与不等式的性质，属于基础题． 利用特殊值法即可解答．解：取a =1，b =3，可验证A 、B 、C 均不正确． 2(a 2+b 2)⩾(a +b )2，当a =b =2时，等号成立， 即可得0<1a 2+b 2⩽18，则D 正确． 故选D ．2.答案：C解析：解：∵y =2x +1，∴y +1=2(x +1)，令x +1=t ，则y +1=2t ，可得{x =t −1y =2t −1(t 为参数)， 即为直线y =2x +1的参数方程． 故选C ．由已知y =2x =1，可化为点斜式方程：y +1=2(x +1)，令x +1=t ，则y +1=2t ，即可化为直线的参数方程．本题考查了把直线的普通方程化为参数方程，其关键是把直线的普通方程写成点斜式方程．3.答案：B解析：解：∵平面α//平面β，它们之间的距离为d ，∴若平面α内的直线和β内的直线b 为异面直线时，a ，b 直线的距离为d ，不满足条件， ∴a//b ，在直线a 上任取一点A ，作AO 在平面β的射影O ，过O 作OC ⊥b 于C ， 连结AC ，则AO =d ，AC =2d ，∴OC=√3d∴满足条件的直线共有2条．故选：B．根据平行直线的距离公式进行判断即可．本题主要考查空间直线距离的判断，要求熟练掌握面面平行的性质，比较基础．4.答案：C解析：本题考查命题的真假，及函数的单调性，关键是分析不等式之间关系，属于中档题．对于命题q1：当a>0时，结合f(x)单调递减，可推出f(x+a)<f(x)<f(x)+f(a)，命题q1是命题p的充分条件．对于命题q2：当a=x0<0时，f(a)=f(x0)=0，结合f(x)单调递增，推出f(x+a)< f(x)，进而f(x+a)<f(x)+f(a)，命题q2是命题p的充分条件．解：对于命题q1：当f(x)单调递减且f(x)>0恒成立时，当a>0时，此时x+a>x，又因为f(x)单调递减，所以f(x+a)<f(x)又因为f(x)>0恒成立时，所以f(x)<f(x)+f(a)，所以f(x+a)<f(x)+f(a)，所以命题q1⇒命题p，对于命题q2：当f(x)单调递增，存在x0<0使得f(x0)=0，当a=x0<0时，此时x+a<x，f(a)=f(x0)=0，又因为f(x)单调递增，所以f(x +a)<f(x)， 所以f(x +a)<f(x)+f(a)， 所以命题p 2⇒命题p ， 所以q 1，q 2都是p 的充分条件， 故选：C ．5.答案：{2,4}解析：此题考查交集及其运算，属于基础题． 根据交集的运算法则计算即可．解：已知集合A ={1,2,4},B ={2,3,4,5}，则A ∩B ={2,4}． 故答案是{2,4}．6.答案：3解析：解：n →∞lim3n−1n+2=3−01+0=3．故答案为：3．直接利用数列的极限的运算法则求解即可． 本题考查数列的极限的运算法则的应用，是基础题．7.答案：√5解析：本题考查复数的运算以及复数模的计算，属于基础题． 由已知求出z ，然后利用模的计算公式求解即可． 解： 因为i ⋅z =1+2i ， 所以z =1+2i i=−i(1+2i)−i·i=2−i ，所以|z|=√22+(−1)2=√5， 故答案为√5．8.答案：−√x ，x ≥1解析：解：∵函数f(x)=y =x 2(x ≤−1)， ∴x =−√y ，y ≥1，x ，y 互换，得反函数f −1(x)=−√x ，x ≥1． 故答案为：−√x ，x ≥1．先求出x =−√y ，y ≥1，x ，y 互换，得反函数f −1(x)．本题考查反函数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意反函数性质的合理运用．9.答案：2解析：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 解：由x ，y 满足约束条件{y ≥4x,x +2y +6≥0,y ≤4,作出可行域如图：由z =x −y 可得y =x −z ，平移直线y =x −z ，当直线经B 点时，在y 轴上截距最小，z 有最大值， 由{y =4x x +2y +6=0可得B(−23,−83)， 所以z =x −y 的最大值为−23+83=2， 故答案为2．10.答案：2解析：本题考查矩阵与逆矩阵的运算，是基础题．根据矩阵与其自身的逆矩阵的乘积为单位矩阵，然后运用矩阵乘积公式得到答案． 解：[a 31a ][a −3−1a ]=[1001]， 由矩阵乘积公式得，[a 2−300a 2−3]=[1001]， 所以a 2−3=1，a 2=4，a =±2． 又因为题目中说明了a 是正实数， 故答案为a =2．11.答案：0解析：根据所给数据，分别计算平均数、中位数、众数，即可得到结果．解：由题意，平均数为a =20+30+40+50+50+60+70+808=50，中位数b =50+502=50，众数c =50，所以a +c −2b =0． 故答案为0．12.答案：−3解析：本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查了学生的计算能力，属于基础题． 由a 1+a 4+a 7=0，可得3(a 1+3d )=0，即a 1=−3d ≠0，则S 6a 5=6a 1+6×52d a 1+4d=6×(−3)+15−3+4=−3．解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由a 1+a 4+a 7=0，得3(a 1+3d )=0。
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学模拟试卷文科创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）“x=1”是“x2﹣2x+1=0”的（）A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件2.（5分）已知集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B=（）A.{2}B.{1，2}C.{1，3}D.{1，2，3}3.（5分）函数f（x）=log2（x2+2x﹣3）的定义域是（）A.[﹣3，1]B.（﹣3，1）C.（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D.（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）4.（5分）重庆市各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A.19B.20C.21.5D.235.（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.6.（5分）若tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=（）A. B. C. D.7.（5分）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）A. B. C. D.8.（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A. B. C. D.9.（5分）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A.±B.±C.±1D.±10.（5分）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（）A.﹣3B.1C.D.3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11.（5分）复数（1+2i）i的实部为.12.（5分）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为.13.（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c=.14.（5分）设a，b＞0，a+b=5，则+的最大值为.15.（5分）在区间[0，5]上随机地选择一个数p，则方程x2+2px+3p﹣2=0有两个负根的概率为.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（12分）已知等差数列{a n}满足a3=2，前3项和S3=.（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{b n}满足b1=a1，b4=a15，求{b n}前n项和T n. 17.（13分）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：年份时间代号t12345567810储蓄存款y（千亿元）（Ⅰ）求y关于t 的回归方程=t+.（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区（t=6）的人民币储蓄存款.附：回归方程=t+中.18.（13分）已知函数f（x）=sin2x ﹣cos2x.（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值；（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象.当x ∈时，求g（x）的值域.19.（12分）已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=处取得极值.（Ⅰ）确定a的值；（Ⅱ）若g（x）=f（x）e x，讨论g（x）的单调性.20.（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F 在线段AB上，且EF∥BC.（Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE.（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长.21.（13分）如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，且过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.（Ⅰ）若|PF 1|=2+，|PF2|=2﹣，求椭圆的标准方程.（Ⅱ）若|PQ|=λ|PF1|，且≤λ＜，试确定椭圆离心率e的取值范围.参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）“x=1”是“x2﹣2x+1=0”的（）A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【分析】先求出方程x2﹣2x+1=0的解，再和x=1比较，从而得到答案.【解答】解：由x2﹣2x+1=0，解得：x=1，故“x=1”是“x2﹣2x+1=0”的充要条件，故选：A.【点评】本题考察了充分必要条件，考察一元二次方程问题，是一道基础题.2.（5分）已知集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B=（）A.{2}B.{1，2}C.{1，3}D.{1，2，3}【分析】直接利用集合的交集的求法求解即可.【解答】解：集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B={1，3}.故选：C.【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力.3.（5分）函数f（x）=log2（x2+2x﹣3）的定义域是（）A.[﹣3，1]B.（﹣3，1）C.（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D.（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）【分析】利用对数函数的真数大于0求得函数定义域.【解答】解：由题意得：x2+2x﹣3＞0，即（x﹣1）（x+3）＞0解得x＞1或x＜﹣3所以定义域为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）故选：D.【点评】本题主要考查函数的定义域的求法.属简单题型.高考常考题型.4.（5分）重庆市各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A.19B.20C.21.5D.23【分析】根据中位数的定义进行求解即可.【解答】解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为，故选：B.【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键.比较基础.5.（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【分析】利用三视图判断直观图的形状，结合三视图的数据，求解几何体的体积即可.【解答】解：由题意可知几何体的形状是放倒的圆柱，底面半径为1，高为2，左侧与一个底面半径为1，高为1的半圆锥组成的组合体，几何体的体积为：=.故选：B.【点评】本题考查三视图的作法，组合体的体积的求法，考查计算能力.6.（5分）若tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=（）A. B. C. D.【分析】由条件利用查两角差的正切公式，求得tanβ=tan[（α+β）﹣α]的值.【解答】解：∵tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=tan[（α+β）﹣α]===，故选：A.【点评】本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题. 7.（5分）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）A. B. C. D.【分析】由已知向量垂直得到数量积为0，于是得到非零向量的模与夹角的关系，求出夹角的余弦值.【解答】解：由已知非零向量满足||=4||，且⊥（），设两个非零向量的夹角为θ，所以•（）=0，即2=0，所以cosθ=，θ∈[0，π]，所以；故选：C.【点评】本题考查了向量垂直的性质运用以及利用向量的数量积求向量的夹角；熟练运用公式是关键.8.（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A. B. C. D.【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s的值，当k=8时不满足条件k＜8，退出循环，输出s的值为.【解答】解：模拟执行程序框图，可得s=0，k=0满足条件k＜8，k=2，s=满足条件k＜8，k=4，s=+满足条件k＜8，k=6，s=++满足条件k＜8，k=8，s=+++=不满足条件k＜8，退出循环，输出s的值为.故选：D.【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题.9.（5分）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A.±B.±C.±1D.±【分析】求得A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，﹣），利用A1B⊥A2C，可得，求出a=b，即可得出双曲线的渐近线的斜率.【解答】解：由题意，A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，﹣），∵A1B⊥A2C，∴，∴a=b，∴双曲线的渐近线的斜率为±1.故选：C.【点评】本题考查双曲线的性质，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础.10.（5分）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（）A.﹣3B.1C.D.3【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：若表示的平面区域为三角形，由，得，即A（2，0），则A（2，0）在直线x﹣y+2m=0的下方，即2+2m＞0，则m＞﹣1，则A（2，0），D（﹣2m，0），由，解得，即B（1﹣m，1+m），由，解得，即C（，）.则三角形ABC的面积S△ABC=S△ADB﹣S△ADC=|AD||y B﹣y C|=（2+2m）（1+m﹣）=（1+m）（1+m﹣）=，即（1+m）×=，即（1+m）2=4解得m=1或m=﹣3（舍），故选：B.【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11.（5分）复数（1+2i）i的实部为﹣2 .【分析】利用复数的运算法则化简为a+bi的形式，然后找出实部；注意i2=﹣1.【解答】解：（1+2i）i=i+2i2=﹣2+i，所以此复数的实部为﹣2；故答案为：﹣2.【点评】本题考查了复数的运算以及复数的认识；注意i2=﹣1.属于基础题.12.（5分）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为 x+2y﹣5=0 .【分析】由条件利用直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质求出切线的斜率，再利用点斜式求出该圆在点P处的切线的方程.【解答】解：由题意可得OP和切线垂直，故切线的斜率为﹣==﹣，故切线的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即 x+2y﹣5=0，故答案为：x+2y﹣5=0.【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题.13.（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c= 4 .【分析】由3sinA=2sinB即正弦定理可得3a=2b，由a=2，即可求得b，利用余弦定理结合已知即可得解.【解答】解：∵3sinA=2sinB，∴由正弦定理可得：3a=2b，∵a=2，∴可解得b=3，又∵cosC=﹣，∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+9﹣2×=16，∴解得：c=4.故答案为：4.【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.14.（5分）设a，b＞0，a+b=5，则+的最大值为 3.【分析】利用柯西不等式，即可求出的最大值.【解答】解：由题意，（）2≤（1+1）（a+1+b+3）=18，∴的最大值为3，故答案为：3.【点评】本题考查函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键.15.（5分）在区间[0，5]上随机地选择一个数p，则方程x2+2px+3p﹣2=0有两个负根的概率为.【分析】由一元二次方程根的分布可得p的不等式组，解不等式组，由长度之比可得所求概率.【解答】解：方程x2+2px+3p﹣2=0有两个负根等价于，解关于p的不等式组可得＜p≤1或p≥2，∴所求概率P==故答案为：【点评】本题考查几何概型，涉及一元二次方程根的分布，属基础题.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（12分）已知等差数列{a n}满足a3=2，前3项和S3=.（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{b n}满足b1=a1，b4=a15，求{b n}前n项和T n.【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则由已知条件列式求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；（Ⅱ）求出，再求出等比数列的公比，由等比数列的前n项和公式求得{b n}前n项和T n.【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则由已知条件得：，解得.代入等差数列的通项公式得：；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，.设{b n}的公比为q ，则，从而q=2，故{b n}的前n 项和.【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n项和，是中档题.17.（13分）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：年份时间代号t12345567810储蓄存款y（千亿元）（Ⅰ）求y关于t 的回归方程=t+.（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区（t=6）的人民币储蓄存款.附：回归方程=t+中.【分析】（Ⅰ）利用公式求出a，b，即可求y关于t的回归方程=t+.（Ⅱ）t=6，代入回归方程，即可预测该地区的人民币储蓄存款.【解答】解：（Ⅰ）由题意，=3，=7.2，=55﹣5×32=10，=120﹣5×3×7.2=12，∴=1.2，=7.2﹣1.2×3=3.6，∴y关于t的回归方程=1.2t+3.6.（Ⅱ）t=6时，=1.2×6+3.6=10.8（千亿元）.【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于中档题.18.（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x.（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值；（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象.当x∈时，求g（x）的值域.【分析】（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）﹣，从而可求最小周期和最小值；（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=sin（x ﹣）﹣，由x∈[，π]时，可得x﹣的范围，即可求得g（x）的值域.【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x﹣cos2x=sin2x﹣（1+cos2x）=sin（2x﹣）﹣，∴f（x）的最小周期T==π，最小值为：﹣1﹣=﹣.（Ⅱ）由条件可知：g（x）=sin（x﹣）﹣当x∈[，π]时，有x﹣∈[，]，从而sin（x﹣）的值域为[，1]，那么sin（x﹣）﹣的值域为：[，]，故g（x）在区间[，π]上的值域是[，].【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查.19.（12分）已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=处取得极值.（Ⅰ）确定a的值；（Ⅱ）若g（x）=f（x）e x，讨论g（x）的单调性.【分析】（Ⅰ）求导数，利用f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=处取得极值，可得f′（﹣）=0，即可确定a的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=（x3+x2）e x，利用导数的正负可得g （x）的单调性.【解答】解：（Ⅰ）对f（x）求导得f′（x）=3ax2+2x.∵f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=处取得极值，∴f′（﹣）=0，∴3a•+2•（﹣）=0，∴a=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=（x3+x2）e x，∴g′（x）=（x2+2x）e x+（x3+x2）e x=x（x+1）（x+4）e x，令g′（x）=0，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4，当x＜﹣4时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；当﹣4＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；综上知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）内为增函数.【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查分类讨论的思想方法，以及函数和方程的转化思想，属于中档题.20.（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F 在线段AB上，且EF∥BC.（Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE.（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长.【分析】（Ⅰ）由等腰三角形的性质可证PE⊥AC，可证PE⊥AB.又EF∥BC，可证AB⊥EF，从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，可证AB⊥平面PEF.（Ⅱ）设BC=x，可求AB，S△ABC，由EF∥BC可得△AFE∽△ABC，求得S△AFE=S△ABC，由AD=AE，可求S△AFD，从而求得四边形DFBC 的面积，由（Ⅰ）知PE为四棱锥P﹣DFBC的高，求得PE，由体积V P﹣DFBC=S DFBC•PE=7，即可解得线段BC的长.【解答】解：（Ⅰ）如图，由DE=EC，PD=PC知，E为等腰△PDC 中DC边的中点，故PE⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PE⊂平面PAC，PE⊥AC，所以PE⊥平面ABC，从而PE⊥AB.因为∠ABC=，EF∥BC，故AB⊥EF，从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，所以AB⊥平面PEF.（Ⅱ）设BC=x，则在直角△ABC中，AB==，从而S △ABC=AB•BC=x，由EF∥BC知，得△AFE∽△ABC，故=（）2=，即S△AFE=S△ABC，由AD=AE，S △AFD==S△ABC=S△ABC=x，从而四边形DFBC的面积为：S DFBC=S△ABC﹣S AFD=x﹣x=x.由（Ⅰ）知，PE⊥平面ABC，所以PE为四棱锥P﹣DFBC的高.在直角△PEC中，PE===2，故体积V P﹣DFBC=S DFBC•PE=x=7，故得x4﹣36x2+243=0，解得x2=9或x2=27，由于x＞0，可得x=3或x=3.所以：BC=3或BC=3.【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了转化思想，属于中档题.21.（13分）如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，且过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.（Ⅰ）若|PF 1|=2+，|PF2|=2﹣，求椭圆的标准方程.（Ⅱ）若|PQ|=λ|PF1|，且≤λ＜，试确定椭圆离心率e的取值范围.【分析】（I）由椭圆的定义可得：2a=|PF1|+|PF2|，解得 a.设椭圆的半焦距为c，由于PQ⊥PF1，利用勾股定理可得2c=|F1F2|=，解得 c.利用b2=a2﹣c2.即可得出椭圆的标准方程.（II）如图所示，由PQ⊥PF1，|PQ|=λ|PF1|，可得|QF 1|=，由椭圆的定义可得：|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a，解得|PF1|=.|PF2|=2a﹣|PF1|，由勾股定理可得：2c=|F 1F2|=，代入化简.令t=1+λ，则上式化为e2=，解出即可.【解答】解：（I）由椭圆的定义可得：2a=|PF 1|+|PF2|=（2+）+（2﹣）=4，解得a=2.设椭圆的半焦距为c，∵PQ⊥PF1，∴2c=|F 1F2|===2，∴c=.∴b2=a2﹣c2=1.∴椭圆的标准方程为.（II）如图所示，由PQ⊥PF1，|PQ|=λ|PF1|，∴|QF 1|==，由椭圆的定义可得：2a=|PF1|+|PF2|=|QF1|+|QF2|，∴|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a，∴|PF 1|=4a，解得|PF1|=.|PF2|=2a﹣|PF1|=，由勾股定理可得：2c=|F1F2|=，∴+=4c2，∴+=e2.令t=1+λ，则上式化为=，∵t=1+λ，且≤λ＜，∴t关于λ单调递增，∴3≤t＜4.∴，∴，解得.∴椭圆离心率的取值范围是.【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理、不等式的性质、“换元法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校。
2020届上海市上海中学高三下学期高考模拟（4月）数学试题一、单选题 1．若复数1i()2im z m +=∈+R 为纯虚数，则m =（ ） A ．2 B ．1C ．1-D ．2-【答案】D【解析】结合复数的四则运算及纯虚数的概念，可求出答案. 【详解】1i (1i)(2i)2i 2i 221i 2i (2i)(2i)555m m m m m m z ++--+++-====+++-. 复数z 为纯虚数,得20210m m +=⎧⎨-≠⎩解得2m =-.故选：D. 【点睛】本题考查复数的运算、纯虚数的概念，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属于基础题.. 2．“sin 0α=”是“cos 1α=”的（ ）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】判断两个命题：sin 0α=⇒cos 1α=和cos 1α=⇒sin 0α=的真假即可得． 【详解】由于22sin cos 1αα+=，且sin 0α=，得到cos 1α=±，故充分性不成立；当cos 1α=时，sin 0α=，故必要性成立.故选：B. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，解题方法是根据充分必要条件的定义．即判断两个命题p q ⇒和q p ⇒的真假．3．如图所示的程序框图中，输出的S 为 （ ）A ．99223-B ．100223-C ．101223-D ．102223- 【答案】C 【解析】【详解】执行循环得：123410002(1)22(1)22S =+-++-+++L1001012(1(2))221(2)3----==--,选C.4．如图，已知F 为抛物线22y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，3OA OB ⋅=u u u v u u u v（其中O 为坐标原点），则ABO V 与BFO V 面积之差的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．35D 10【答案】C【解析】设直线AB 的方程为(0)x my n n =+>，由22x my n y x=+⎧⎨=⎩消去x 整理得2220y my n --=， 显然2480m n ∆=+>，设112212(,),(,)(0,0)A x y B x y y y ><，则122y y n =-，∴2221212121224y y OA OB x x y y y y n n ⋅=+=+=-u u u v u u u v ，由题意得223n n -=，即2230n n --=， 解得3n =或1n =-（舍去）． ∴直线AB 与x 轴的交点为(3,0)C ∴122122*********()2222224ABO BFO S S OC y y OF y y y y y y ∆∆-=--=-+⨯=-1131522y y =+≥=当且仅当1131522y y =，即1y =故ABO V 与BFO V面积之差的最小值是C ． 点睛：（1）设直线方程时，当直线斜率是否存在不知道时，为了避免讨论，可将直线方程设为x my n =+的形式，其中当0m =时表示斜率不存在的情形．（2）解析几何中求最值时，可将所需求最值的量用某一参数表达出来，然后根据目标函数的形式借助函数的知识或基本不等式求得最值．若用基本不等式求最值，不要忘了等号成立的条件．二、填空题5．已知实数集合{}1,2,3,x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x =__________． 【答案】-3【解析】根据题意求元素的关系． 【详解】解：因为实数集合{}1,2,3,x 的最大元素等于该集合的所有元素之和， 所以123x x +++=（无解）或者1233x +++=， 解得：3x =-． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查集合元素的关系，属于基础题． 6．sin limn nn→∞=__________．【解析】根据分子的有界性，分母的极限性即可求解． 【详解】解：因为[]sin 1,1y x =∈-， 而x →+∞时，y x =→+∞， ∴sin lim0n nn→∞=．故答案为：0． 【点睛】本题考查极限的求解，属于基础题目．7．已知向量(),2a m =r ，()1,1b =r，若a b a b +=+r r r r ，则实数m =__________．【答案】2【解析】根据题意，求出向量a b →→+的坐标，进而可得向量a b →→+与a →、b →的模，分析m 的值，即可得答案． 【详解】解：根据题意，向量(),2a m →=，()1,1b →=， 则()1,3a b m →→+=+，则a b →→+=a →=b →=，若a b a b →→→→+=+ 解可得：2m =； 故答案为：2． 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算和模的计算，考查运算能力．8．101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为__________． 【答案】-120【解析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于4，求得r 的值，即可求得含4x 的项的系数．解：101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()1021101r rr r T C x -+=⋅-⋅，令1024r -=，求得3r =，故展开式中4x 的系数为310120C -=-.故答案为：-120． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数．9．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若m 为大于1的正整数，且2111m m m a a a -+-+=，2111m S -=，则m =__________．【答案】6【解析】本题先根据等差中项的性质有112m m m a a a -++=，代入题干表达式可得到关于m a 的方程，解出m a 的值，然后根据等差数列的求和公式转化计算21m S -，再次利用等差中项的性质，代入m a 的值，即可计算出m 的值． 【详解】解：依题意，112m m m a a a -++=，由2111m m m a a a -+-+=，可得 221m m a a -=，整理，得2210m m a a -+=，解得：1m a =．()()()121212121222m m m m a a m a S ---+-⋅==()2121m m a m =-⋅=-，∵2111m S -=，∴2111m -=， 解得：6m =． 故答案为：6 【点睛】本题考查等差中项的应用和等差数列的求和公式的应用，考查了转化与化归思想和数学10．若A 、B 、C 、D 、E 五位同学站成一排照相，则A 、B 两位同学不相邻的概率为__________． 【答案】35【解析】基本事件总数55120n A ==，A 、B 两位同学不相邻包含的基本事件个数323472m A A ==，由此能求出A 、B 两位同学不相邻的概率．【详解】解：A 、B 、C 、D 、E 五位同学站成一排照相，基本事件总数55120n A ==，A 、B 两位同学不相邻包含的基本事件个数323472m A A ==，∴A 、B 两位同学不相邻的概率为7231205m p n ===． 故答案为：35． 【点睛】本题考查概率的求法，运用了排列组合和利用捆绑法解决不相邻问题，考查运算求解能力．11．不等式22sin cos 0-≥x x 的解集为__________． 【答案】π3ππ,π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 【解析】利用二倍角的余弦函数公式化简可得cos20x ≤，进而根据余弦函数的图象和性质即可求解． 【详解】解：∵22sin cos cos 20x x x -=-≥， ∴cos20x ≤，可得π3π2π22π22k x k +≤≤+，k ∈Z ， 解得π3πππ44k x k +≤≤+，k ∈Z ， ∴不等式22sin cos 0-≥x x 的解集为π3ππ,π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，故答案为：π3ππ,π44k k⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k∈Z．【点睛】本题考查了二倍角的余弦函数公式，余弦函数的图象和性质的综合应用，考查了函数思想．12．对于任意满足不等式22x y m+≤的实数x、y，都能使得不等式组2224x yx y⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩成立，则m的最大值是__________．【答案】165【解析】根据题意，再结合半径最大的圆22x y m+=应与直线相切，求出半径的最大值，即可求出结论．【详解】解：由题意可知，不等式组2224x yx y⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩表示的可行域如图：以()0,0为圆心的圆在不等式组2224x yx y⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩半径最大的圆22x y m+=应与直线相切，圆心到240x y--=的距离为：()1200445512d--==+-，圆心到20x y+-=的距离为：2220022211d--==+，由于12d d<，∴符合题意的最大的圆为：22165x y+=，∴m 的最大值是：165． 故答案为：165． 【点睛】本题考查了简单线性规划，涉及直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力．13．半径为2的球面上有,,,A B C D 四点，且,,AB AC AD 两两垂直，则ABC ∆，ACD ∆与ADB ∆面积之和的最大值为______． 【答案】8【解析】AB ，AC ，AD 为球的内接长方体的一个角，故22216x y z ++=，计算三个三角形的面积之和，利用基本不等式求最大值． 【详解】如图所示，将四面体A BCD -置于一个长方体模型中，则该长方体外接球的半径为2．不妨设AC x =，AD y =，AB z =2222x y z ++=，即22216x y z ++=．记111222ABC ACD ADB S S S S yz xy zx =++=++△△△． 从而有()()()()222222240x y zS x y y z z x ++-=-+-+-≥，即432S ≤，从而8S ≤．当且仅当x y z ==，即该长方体为正方体时等号成立．从而最大值为8． 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值问题，考查了学生解决交汇性问题的能力．解答关键是利用构造法求球的直径．14．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则ABC V 的面积为______．【答案】15716【解析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos B 的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用二倍角公式可求sin C ，cos C 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解． 【详解】2b =Q ，3c =，2C B =，∴由正弦定理sin sin b c B C =，可得：23sin sin B C =，可得：233sin sin22sin cos B B B B ==，∴可得：3cos 4B =，可得：sin B ==，∴可得：sin sin22sin cos C B B B ===21cos cos22cos 18C B B ==-=，()13sin sin sin cos cos sin 84A B C B C B C ∴=+=+=+=，11sin 23221616S bc A ∴==⨯⨯⨯=．． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.15．已知x 、y 都是正数，则2232x xy y x y++++的最小值为__________．【答案】2【解析】利用换元法结合二次函数，基本不等式即可求解最小值. 【详解】解：令x y t +=，那么222232243x xy y x t t x y t+++-++=+22723734882t x t t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=≥+≥当且仅当3x y ==时取等号， 所以2232x xy y x y ++++的最小值为2．故答案为：2． 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查分析运算能力．16．设()()ln ,024,24x x f x f x x ⎧<<⎪=⎨-<<⎪⎩，方程()f x m =有四个不相等的实根()1,2,4i x i =，则22221234x x x x +++的取值范围为__________．【答案】()20,20.5【解析】不防令1234x x x x <<<，由题意()f x 的图象是关于2x =对称的，可得14234x x x x +=+=．助于ln x 的图象可以得到1x ，2x 之间的关系，最终将22221234x x x x +++表示成2x 的函数，再借助于换元法最终将问题转化为二次函数的最值问题． 【详解】解：∵24x <<时，()()4f x f x =-，∴()f x 在()2,4与()0,2上的图象关于2x =对称， 作出图象如下：不防令1234x x x x <<<，可得14234x x x x +=+=，12ln ln x x -=，∴121=x x ． ∴121x x =，4214x x =-，324x x =-，∴()22222221234222221144x x x x x x x x ⎛⎫+++=++-+- ⎪⎝⎭22222112828x xx x ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,2x ∈，令22152,2t x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭， 则原式化为：()22828h t t t =-+，52,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，其对称轴2t =，开口向上，故()h t 在52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递增， ∴()2020.5h t <<，∴22221234x x x x +++的取值范围是()20,20.5．故答案为：()20,20.5．【点睛】本题考查利用函数图象研究函数零点的问题，以及构造函数求值域的方法，体现了对数形结合、函数思想以及运算能力的考查．三、解答题17．如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD =23，∠BAD =90°． （Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)13；(Ⅲ)3．【解析】分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面ABC，则AD⊥BC．（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．由几何关系可知∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．计算可得1132MNcos DMNDM∠==．则异面直线BC与MD所成角的余弦值为13．（Ⅲ）连接CM．由题意可知CM⊥平面ABD．则∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．计算可得34CMsin CDMCD∠==．即直线CD与平面ABD所成角的正弦值为3．详解：（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．在Rt△DAM中，AM=1，故DM22=13AD AM+因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．在Rt△DAN中，AN=1，故DN22=13AD AN+在等腰三角形DMN中，MN=1，可得1132cosMNDMNDM∠==．所以，异面直线BC与MD13（Ⅲ）连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM3又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM⊂平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．在Rt △CAD 中，CD =22AC AD +=4．在Rt △CMD 中，3sin CM CDM CD ∠==． 所以，直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为34． 点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．18．王老师在做折纸游戏，现有一张边长为1的正三角形纸片ABC ，将点A 翻折后恰好落在边BC 上的点F 处，折痕为DE ，设BD x =，BF y =．（1）求x 、y 满足的关系式； （2）求x 的取值范围．【答案】（1）2210y xy x -+-=；（2）(0,423-【解析】（1）连接DF ，由翻折的特点可得DF 垂直平分AF ，则AD DF =，在BDF V 中，运用余弦定理可得x ，y 的关系式；（2）由（1）的关系式，解得x 关于y 的式子，换元后，运用基本不等式可得所求范围，注意等号成立的条件． 【详解】解：（1）如图连接DF ，由点A 翻折后恰好落在边BC 上的点F 处， 折痕为DE ，可得DE 垂直平分AF ，则AD DF =， 由等边三角形ABC 的边长为1，且BD x =， 可得1AD x =-，1DF x =-， 在BDF V 中，60B ∠=o ，由余弦定理可得：2222cos DF BD BF BD BF B =+-⋅⋅ 即()2221122x x y xy -=+-⋅， 化简可得：2210y xy x -+-=，即x 、y 满足的关系式为：2210y xy x -+-=；（2）由（1）可得2210y xy x -+-=，解得：212y x y -=-，设2y t -=，由01y <<，可得：21t -<<-， 则2y t =+，()2213334442423t x t t t tt t t +-⎛⎫==++=--+≤--⋅=- ⎪--⎝⎭，当且仅当t 3=-，即()230,1y =-∈，等号成立， 则x 的取值范围是：(0,423⎤-⎦．【点睛】本题考查平面几何的翻折问题，考查解三角形的余弦定理，以及变量的取值范围的求法，注意运用换元法和基本不等式，考查运算能力．19．已知{}n a 是等差数列，13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n a b -是等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设cos πn n c b n =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【答案】（1）3n a n =，132n n b n -=+（2）()()33121,2233121,23n n n n n S n n ⎧⎛⎫-+++ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪+-⎪⎩为奇数为偶数【解析】（1）由已知可求得等差数列的公差，得到数列{}n a 的通项公式，再由{}n n a b -是等比数列，求得公比2q =，从而求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）化简()1cos π32cos πn n n c b n n n -==+，分类讨论后利用数列的分组求和以确定数列{}n c 的前n 项和n S ． 【详解】解：（1）∵{}n a 是等差数列，13a =，412a =， ∴41341a a d -==-， ∴()3313n a n n =+-=， ∵{}n n a b -是等比数列，且11341a b -=-=-，4412208a b -=-=-， ∴2q =，∴112n n n a b --=-⋅，∴132n n b n -=+；（2）()1cos π32cos πn n n c b n n n -==+，①当n 为奇数时，()()()()()()2131629431232n n n S n n --=-+++-+++-+-+L ()()()136********n n n -=-+-++--+-+-+-L L ()11332123nn n -⎡⎤=⨯-+--⎣⎦()()3112123nn ⎡⎤=-++--⎣⎦()()3112123n n ⎡⎤=-+++⎢⎥⎣⎦，②当n 为偶数时，()()()()()()2131629431232n n n S n n --=-+++-++--+++L ()()()136********n n n -=-+-+--++-+-++L L ()132123nn ⎡⎤=⨯+--⎣⎦()312123n n =+-． 综上所述，()()33121,2233121,23n n n n n S n n ⎧⎛⎫-+++ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪+-⎪⎩为奇数为偶数． 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的应用，同时考查了数列的通项公式和前n 项和的求法及分类讨论的思想应用．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长是焦距的2倍，且过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）设(),P x y 为椭圆C 上的动点，F 为椭圆C 的右焦点，A 、B 分别为椭圆C 的左、右顶点，点P '满足()4,0PP x →'=-．①证明：PP PF→→'为定值；②设Q 是直线:4l x =上的动点，直线AQ 、BQ 分别另交椭圆C 于M 、N 两点，求MF NF +的最小值．【答案】（1）22143x y +=（2）①见解析②3【解析】（1）由题意可得2a c =又过一点，及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b ，进而求出椭圆的方程；（2）①由（1）可得右焦点F ，A ，B 的坐标，求出向量PP →'的模，及向量PF →的模可证得PP PF→→'为定值；②由题意方程可得4x =为右准线，设Q 的坐标，求出直线AQ ，BQ 的直线与椭圆联立求出M ，N 的横坐标，再由椭圆的性质到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率可得MF NF +用M ，N 的横坐标表示，由均值不等式可得其最小值. 【详解】解：（1）由题意可得2a c =，221914a b+=，222a b c =+， 解得：24a =，23b =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（2）由（1）可得()2,0A -，()2,0B ，()1,0F ， ①因为(),P x y 为椭圆C 上的动点，点P '满足()4,0PP x →'=-，所以22143x y +=；所以4PP x →'=-()()222211314x PF x y x →⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭()221112444422x x x x =-+=-=-， 所以：42142PP x x PF→→'-==⋅-，所以可证PP PF→→'为定值2．②由题意设()4,Q t ，所以426AQ t t k ==+， 所以直线AQ 的方程为：()26ty x =+，联立直线AQ 与椭圆的方程：()222634120t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+-=⎩ 整理可得：()22222744108txt t +++-，所以224108227M t x t --⋅=+，所以2225427M t x t -+=+，同理422BQ t tk ==-，所以直线BQ 的方程：()22t y x =-， ()222234120t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩整理可得：()2222344120t x t x t +-+-=， 所以2241223N t x t -=+，所以22263N t x t-=+， 因为4x =为右准线，所以由到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率12e =， 可得：()()()111448222M N M N MF NF x x x x +=-+-=-- 2222273442273M Nx x t t t t ⎛⎫+-+-=-=-+ ⎪++⎝⎭22484438130t t=-≥=++， 当且仅当481t =，即3t =±时取等号． 所以MF NF +的最小值为3． 【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，涉及椭圆的简单几何性质的应用和直线与椭圆的综合，以及向量的模的求法，考查解题运算能力．21．若函数()f x 对任意的x ∈R ，均有()()()112f x f x f x -++≥，则称函数()f x 具有性质P ．（1）判断下面两个函数是否具有性质P ，并说明理由．①()1xy aa =>；②3y x =．（2）若函数()f x 具有性质P ，且()()()*002,N f f n n n >∈==，求证：对任意{}1,2,3,,1i n ∈-L 有()0f i ≤；（3）在（2）的条件下，是否对任意[]0,x n ∈均有()0f i ≤．若成立给出证明，若不成立给出反例． 【答案】（1）①()1xy aa =>具有性质P ；②3y x =不具有性质P ，见解析；（2）见解析（3）不成立，见解析【解析】（1）①根据已知中函数的解析式，结合指数的运算性质，计算出()()()112f x f x f x -++-的表达式，进而根据基本不等式，判断其符号即可得到结论；②由3y x =，举出当1x =-时，不满足()()()112f x f x f x -++≥，即可得到结论；（2）由于本题是任意性的证明，从下面证明比较困难，故可以采用反证法进行证明，即假设()f i 为()()()1,2,,1f f f n -L 中第一个大于0的值，由此推理得到矛盾，进而假设不成立，原命题为真；（3）由（2）中的结论，我们可以举出反例，如()()2,,x x n x f x x x ⎧-=⎨⎩为有理数为无理数，证明对任意[]0,x n ∈均有()0f x ≤不成立． 【详解】证明：（1）①函数()()1xf x aa =>具有性质P ，()()()11111222x x x x f x f x f x a a a a a a -+⎛⎫-++-=+-=+- ⎪⎝⎭，因为1a >，120xa a a ⎛⎫+->⎪⎝⎭， 即()()()112f x f x f x -++≥， 此函数为具有性质P ；②函数()3f x x =不具有性质P ，例如，当1x =-时，()()()()11208f x f x f f -++=-+=-，()22f x =-，所以，()()()201f f f -+<-， 此函数不具有性质P ．（2）假设()f i 为()()()1,2,,1f f f n -L 中第一个大于0的值， 则()()10f i f i -->， 因为函数()f x 具有性质P ， 所以，对于任意*n ∈N ，均有()()()()11f n f n f n f n +-≥--，所以()()()()()()11210f n f n f n f n f i f i --≥---≥≥-->L ， 所以()()()()()()110f n f n f n f i f i f i =--+++-+>⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L ， 与()0f n =矛盾，所以，对任意的{}1,2,3,,1i n ∈-L 有()0f i ≤． （3）不成立．例如，()()2,,x x n x f x x x ⎧-=⎨⎩为有理数为无理数证明：当x 为有理数时，1x -，1x +均为有理数，()()()112f x f x f x -++-()()()2221121122x x x n x x x =-++---++-=，当x 为无理数时，1x -，1x +均为无理数，()()()()()2221121122f x f x f x x x x -++-=-++-=所以，函数()f x 对任意的x ∈R ， 均有()()()112f x f x f x -++≥， 即函数()f x 具有性质P ．而当[]()0,2x n n ∈>且当x 为无理数时，()0f x >． 所以，在（2）的条件下，“对任意[]0,x n ∈均有()0f x ≤”不成立．如()()()01x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为有理数为无理数，()()()01x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为整数为非整数，第 21 页 共 21 页 ()()()20x f x xx ⎧⎪=⎨⎪⎩为整数为非整数等． 【点睛】 本题考查了函数的新定义及其应用，涉及指数函数和幂函数的性质，反证法，其中在证明全称命题为假命题时，举出反例是最有效，快捷，准确的方法．。
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学试卷文科高考模拟卷创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共8小题,每小题5分,共40分.1.（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A.（﹣∞，2]B.[1，2]C.[﹣2，2]D.[﹣2，1]2.（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（）A.﹣7B.﹣4C.1D.23.（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为（）A.7B.6C.5D.44.（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A. B.1 C.2 D.6.（5分）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上的最小值是（）A.﹣1B.﹣C.D.07.（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（）≤2f（1），则a的取值范围是（）A. B.[1，2] C. D.（0，2]8.（5分）设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3.若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A.g（a）＜0＜f（b）B.f（b）＜0＜g（a）C.0＜g（a）＜f （b）D.f（b）＜g（a）＜0二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.（5分）i是虚数单位.复数（3+i）（1﹣2i）=.10.（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为，则正方体的棱长为.11.（5分）已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为.12.（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD 的中点.若，则AB的长为.13.（5分）如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为.14.（5分）设a+b=2，b＞0，则的最小值为.三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S≤4，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表：产品编号A1A2A3A4A5质量指标（x，y，z）（1，1，2）（2，1，1）（2，2，2）（1，1，1）（1，2，1）产品编号A6A7A8A9A10质量指标（x，y，z）（1，2，2）（2，1，1）（2，2，1）（1，1，1）（2，1，2）（Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，（i）用产品编号列出所有可能的结果；（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率.16.（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsin A=3csin B，a=3，cos B=.（1）求b的值；（2）求sin（2B﹣）的值.17.（13分）如图，三棱锥ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点（Ⅰ）证明EF∥平面A1CD；（Ⅱ）证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；（Ⅲ）求直线B1C1与平面A1CD所成角的正弦值.18.（13分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点.若=8，求k的值.19.（14分）已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列.（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明.20.（14分）设a∈[﹣2，0]，已知函数（Ⅰ）证明f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x1x2x3≠0，证明.参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共8小题,每小题5分,共40分.1.（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A.（﹣∞，2]B.[1，2]C.[﹣2，2]D.[﹣2，1]【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可.【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选：D.【点评】本题主要考查了绝对值不等式，以及交集及其运算，同时考查了运算求解的能力，属于基础题.2.（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（）A.﹣7B.﹣4C.1D.2【分析】先根据条件画出可行域，设z=y﹣2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最小，只需求出直线z=y ﹣2x，过可行域内的点B（5，3）时的最小值，从而得到z最小值即可.【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线y﹣2x=0经过点A（5，3）时，y﹣2x最小，最小值为：﹣7，则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7.故选：A.【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想.线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定.3.（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为（）A.7B.6C.5D.4【分析】利用循环结构可知道需要循环4次方可得到S←2，因此输出的n←4.【解答】解：由程序框图可知：S=2=0+（﹣1）1×1+（﹣1）2×2+（﹣1）3×3+（﹣1）4×4，因此当n=4时，S←2，满足判断框的条件，故跳出循环程序.故输出的n的值为4.故选：D.【点评】正确理解循环结构的功能是解题的关键.4.（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解.【解答】解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0，∴a＜b成立，由a＜b，则a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，故选：A.【点评】本题考查了不等式，充分必要条件的定义，属于容易题.5.（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A. B.1 C.2 D.【分析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1=0的斜率，然后求出a的值即可.【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax ﹣y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2.故选：C.【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，考查转化数学与计算能力.6.（5分）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上的最小值是（）A.﹣1B.﹣C.D.0【分析】由题意，可先求出2x取值范围，再由正弦函数的性质即可求出所求的最小值.【解答】解：由题意x∈，得2x∈[﹣，]，∴∈[，1]∴函数在区间的最小值为.故选：B.【点评】本题考查正函数的最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值.7.（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（）≤2f（1），则a的取值范围是（）A. B.[1，2] C. D.（0，2]【分析】由偶函数的性质将f（log 2a）+f（）≤2f （1）化为：f（log2a）≤f（1），再由f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范围.【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（）=f（﹣log 2a）=f（log2a），则f（log 2a）+f（）≤2f（1）为：f（log2a）≤f （1），因为函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|log2a|≤1，解得≤a≤2，则a的取值范围是[，2]，故选：A.【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于基础题.8.（5分）设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3.若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A.g（a）＜0＜f（b）B.f（b）＜0＜g（a）C.0＜g（a）＜f （b）D.f（b）＜g（a）＜0【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f （a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围即可.【解答】解：①由于y=e x及y=x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象，∵f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e ﹣1＞0，f（a）=0，∴0＜a＜1.同理g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=，g（b）=0，∴.∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0.∴g（a）＜0＜f（b）.故选：A.【点评】熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.（5分）i是虚数单位.复数（3+i）（1﹣2i）= 5﹣5i .【分析】利用复数的运算法则即可得出.【解答】解：（3+i）（1﹣2i）=3﹣6i+i﹣2i2=5﹣5i.故答案为5﹣5i.【点评】熟练掌握导数的运算法则是解题的关键.10.（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为，则正方体的棱长为.【分析】设出正方体棱长，利用正方体的体对角线就是外接球的直径，通过球的体积求出正方体的棱长.【解答】解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，设正方体的棱长为a，所以正方体的体对角线长为：a，正方体的外接球的半径为：，球的体积为：，解得a=.故答案为：.【点评】本题考查正方体与外接球的关系，注意到正方体的体对角线就是球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力.11.（5分）已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为.【分析】利用抛物线的标准方程y2=8x，可得，故其准线方程为x=﹣2.由题意可得双曲线的一个焦点为（﹣2，0），即可得到c=2.再利用双曲线的离心率的计算公式可得=2，得到a=1，再利用b2=c2﹣a2可得b2.进而得到双曲线的方程.【解答】解：由抛物线y2=8x，可得，故其准线方程为x=﹣2.由题意可得双曲线的一个焦点为（﹣2，0），∴c=2.又双曲线的离心率为2，∴=2，得到a=1，∴b2=c2﹣a2=3.∴双曲线的方程为.故答案为.【点评】熟练掌握双曲线抛物线的标准方程及其性质是解题的关键.12.（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD 的中点.若，则AB的长为.【分析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算即可得出.【解答】解：∵，.∴===+﹣==1，化为，∵，∴.故答案为.【点评】熟练掌握向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算是解题的关键.13.（5分）如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为.【分析】连结圆心O与A，说明OA⊥AE，利用切割线定理求出AE，通过余弦定理求出∠BAE的余弦值，然后求解BD即可.【解答】解：如图连结圆心O与A，因为过点A作圆的切线与CB 的延长线交于点E.所以OA⊥AE，因为AB=AD=5，BE=4，梯形ABCD中，AB∥DC，BC=5，由切割线定理可知：AE2=EB•EC，所以AE==6，在△ABE中，BE2=AE2+AB2﹣2AB•AEcosα，即16=25+36﹣60cosα，所以cosα=，AB=AD=5，所以BD=2×ABcosα=.故答案为：.【点评】本题考查切割线定理，余弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题的能力以及计算能力.14.（5分）设a+b=2，b＞0，则的最小值为.【分析】由题意得代入所求的式子，进行化简后，再对部分式子利用基本不等式求出范围，再由a的范围求出式子的最小值.【解答】解：∵a+b=2，∴，∴=，∵b＞0，|a|＞0，∴≥1（当且仅当b2=4a2时取等号），∴≥1，故当a＜0时，的最小值为.故答案为：.【点评】本题考查了基本不等式的应用，需要根据条件和所求式子的特点，进行变形凑出定值再进行求解，考查了转化和分类讨论的能力.三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S≤4，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表：产品编号A1A2A3A4A5质量指标（x，y，z）（1，1，2）（2，1，1）（2，2，2）（1，1，1）（1，2，1）产品编号A6A7A8A9A10质量指标（x，y，z）（1，2，2）（2，1，1）（2，2，1）（1，1，1）（2，1，2）（Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，（i）用产品编号列出所有可能的结果；（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率.【分析】（Ⅰ）用综合指标S=x+y+z计算出10件产品的综合指标并列表表示，则样本的一等品率可求；（Ⅱ）（i）直接用列举法列出在该样品的一等品中，随机抽取2件产品的所有等可能结果；（ii）列出在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4的所有情况，然后利用古典概型概率计算公式求解.【解答】解：（Ⅰ）计算10件产品的综合指标S，如下表：产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10 S4463454535其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9共6件，故样本的一等品率为.从而可估计该批产品的一等品率为0.6；（Ⅱ）（i）在该样本的一等品种，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}共15种.（ii）在该样本的一等品种，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7.则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种.所以p（B）=.【点评】本题考查了随机事件，考查了用样本的数字特征估计总体的数字特征，考查了古典概型及其概率计算公式，是基础题. 16.（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsin A=3csin B，a=3，cos B=.（1）求b的值；（2）求sin（2B﹣）的值.【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理推出bsinA=asinB，结合已知条件求出c，利用余弦定理直接求b的值；（Ⅱ）利用（Ⅰ）求出B的正弦函数值，然后利用二倍角公式求得正弦、余弦函数值，利用两角差的正弦函数直接求解的值.【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，有正弦定理，可得bsinA=asinB，又bsinA=3csinB，可得a=3c，又a=3，所以c=1.由余弦定理可知：b2=a2+c2﹣2accosB，，即b2=32+12﹣2×3×cosB，可得b=.（Ⅱ）由，可得sinB=，所以cos2B=2cos2B﹣1=﹣，sin2B=2sinBcosB=，所以===.【点评】本题考查余弦定理，正弦定理以及二倍角的正弦函数与余弦函数，两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力.17.（13分）如图，三棱锥ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点（Ⅰ）证明EF∥平面A1CD；（Ⅱ）证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；（Ⅲ）求直线B1C1与平面A1CD所成角的正弦值.【分析】（I）连接ED，要证明EF∥平面平面A1CD，只需证明EF ∥DA1即可；（II）欲证平面平面A1CD⊥平面A1ABB1，即证平面内一直线与另一平面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理证得CD⊥面A1ABB1，再根据面面垂直的判定定理得证；（III）先过B作BG⊥AD交A1D于G，利用（II）中结论得出BG ⊥面A1CD，从而∠BCG为所求的角，最后在直角△BGC中，求出sin∠BCG即可得出直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.【解答】证明：（I）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC∥A1C1，AC=A1C1，连接ED，可得DE∥AC，DE=AC，又F为棱A1C1的中点.∴A1F=DE，A1F∥DE，所以A1DEF是平行四边形，所以EF∥DA1，DA1⊂平面A1CD，EF⊄平面A1CD，∴EF∥平面A1CD（II）∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，又AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD，又AA1∩AB=A，∴CD⊥面A1ABB1，又CD⊂面A1CD，∴平面A1CD⊥平面A1ABB1；（III）过B作BG⊥A1D交A1D于G，∵平面A1CD⊥平面A1ABB1，且平面A1CD∩平面A1ABB1=A1D，BG⊥A1D，∴BG⊥面A1CD，则∠BCG为所求的角，设棱长为a，可得A1D=，由△A1AD∽△BGD，得BG=，在直角△BGC中，sin∠BCG==，∴直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，以及直线与平面平行的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题.18.（13分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点.若=8，求k的值.【分析】（Ⅰ）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于，再由离心率为，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程.（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，再由韦达定理进行求解.求得，利用=8，即可求得k的值.【解答】解：（Ⅰ）根据椭圆方程为.∵过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为，∴当x=﹣c时，，得y=±，∴=，∵离心率为，∴=，解得b=，c=1，a=.∴椭圆的方程为；（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，∴x 1+x2=﹣，x1x2=，又A（﹣，0），B（，0），∴=（x 1+，y1）•（﹣x2.﹣y2）+（x2+，y2）•（﹣x1.﹣y1），=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，=6+=8，解得k=.【点评】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等，考查方程思想.在椭圆中一定要熟练掌握a，b，c之间的关系、离心率、准线方程等基本性质.20.（14分）设a∈[﹣2，0]，已知函数（Ⅰ）证明f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x1x2x3≠0，证明.【分析】（Ⅰ）令，.分别求导即可得到其单调性；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f′（x）在区间（﹣∞，0）内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增.已知曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，可知x1，x2，x3互不相等，利用导数的几何意义可得.不妨x1＜0＜x2＜x3，根据以上等式可得，从而.设g（x）=3x2﹣（a+3）x+a，利用二次函数的单调性可得.由，解得，于是可得，通过换元设t=，已知a∈[﹣2，0]，可得，故，即可证明.【解答】解：（Ⅰ）令，.①，由于a∈[﹣2，0]，从而当﹣1＜x＜0时，，所以函数f1（x）在区间（﹣1，0）内单调递减，②=（3x﹣a）（x﹣1），由于a∈[﹣2，0]，所以0＜x＜1时，；当x＞1时，，即函数f 2（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增.综合①②及f1（0）=f2（0），可知：f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知：f′（x）在区间（﹣∞，0）内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增.因为曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，从而x1，x2，x3互不相等，且.不妨x 1＜0＜x2＜x3，由+a=.可得，解得，从而.设g（x）=3x2﹣（a+3）x+a，则.由，解得，所以，设t=，则，∵a∈[﹣2，0]，∴，故，故.【点评】本题主要考查了导数的运算与几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的思想、化归思想、函数思想，考查了分析问题和解决问题的能力.19.（14分）已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列.（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明.【分析】（Ⅰ）由题意得2S3=﹣2S2+4S4，变形为S4﹣S3=S2﹣S4，进而求出公比q的值，代入通项公式进行化简；（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出，代入再对n分类进行化简，判断出S n随n的变化情况，再分别求出最大值，再求出的最大值.【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，∵﹣2S2，S3，4S4等差数列，∴2S3=﹣2S2+4S4，即S4﹣S3=S2﹣S4，得2a4=﹣a3，∴q=，∵，∴=；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，S n==1﹣，∴，当n为奇数时，==，当n为偶数时，=，∴随着n的增大而减小，即，且，综上，有成立.【点评】本题考查了等差（等比）数列的概念、通项公式和前n 项和公式，以及数列的基本性质等，考查了分类讨论的思想、运算能力、分析问题和解决问题的能力.创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校。
上海市2020年〖人教版〗高考数学模拟试卷理科一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A.134石B.169石C.338石D.1365石2.（5分）i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A.iB.﹣iC.1D.﹣13.（5分）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A.212B.211C.210D.294.（5分）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（）A.P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B.P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）C.对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）D.对任意正数t，P （X≥t）≥P（Y≥t）5.（5分）设a1，a2，…，a n∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则（）A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6.（5分）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A.sgn[g（x）]=sgnxB.sgn[g（x）]=﹣sgnxC.sgn[g （x）]=sgn[f（x）]D.sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]7.（5分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y ≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（）A.P1＜P2＜P3B.P2＜P3＜P1C.P3＜P1＜P2D.P3＜P2＜P18.（5分）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b （a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A.对任意的a，b，e1＞e2B.当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C.对任意的a，b，e1＜e2D.当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e29.（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A.77B.49C.45D.3010.（5分）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A.3B.4C.5D.6二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11.（5分）已知向量⊥，||=3，则•=.12.（5分）函数f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln （x+1）|的零点个数为.13.（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m 后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=m.14.（5分）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2.（1）圆C的标准方程为；（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：①=；②﹣=2；③+=2.其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）选修4-1：几何证明选讲15.（5分）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则=.选修4-4：坐标系与参数方程16.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（ t为参数），l与C相交于A，B两点，则|AB|=.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（11分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ）05﹣50（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象.若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值.18.（12分）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100.（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n.19.（12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.（1）证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值. 20.（12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品.生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量.（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.21.（14分）一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB 内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.22.（14分）已知数列{a n}的各项均为正数，b n=n（1+）n a n（n∈N+），e为自然对数的底数.（1）求函数f（x）=1+x﹣e x的单调区间，并比较（1+）n与e 的大小；（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令c n=（a1a2…a n），数列{a n}，{c n}的前n项和分别记为S n，T n，证明：T n＜eS n.参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A.iB.﹣iC.1D.﹣1【分析】直接利用复数的单位的幂运算求解即可.【解答】解：i607=i604+3=i3=﹣i，它的共轭复数为：i.故选：A.【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查.2.（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A.134石B.169石C.338石D.1365石【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论.【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，故选：B.【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础.3.（5分）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A.212B.211C.210D.29【分析】直接利用二项式定理求出n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可.【解答】解：已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得，可得n=3+7=10.（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为：=29.故选：D.【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力.4.（5分）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（）A.P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B.P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）C.对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）D.对任意正数t，P （X≥t）≥P（Y≥t）【分析】直接利用正态分布曲线的特征，集合概率，直接判断即可.【解答】解：正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，所以μ1＜μ2，从图中容易得到P（X≤t）≥P（Y≤t）.故选：C.【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质.5.（5分）设a1，a2，…，a n∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则（）A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【分析】运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到.【解答】解：由a1，a2，…，a n∈R，n≥3.运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，若a1，a2，…，a n成等比数列，即有==…=，则（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，即由p推得q，但由q推不到p，比如a1=a2=a3=…=a n=0，则a1，a2，…，a n不成等比数列.故p是q的充分不必要条件.故选：A.【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查等比数列的定义，注意运用定义法和柯西不等式解题是关键.6.（5分）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A.sgn[g（x）]=sgnxB.sgn[g（x）]=﹣sgnxC.sgn[g （x）]=sgn[f（x）]D.sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]【分析】直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可.【解答】解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f （ax）（a＞1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[g（x）]=﹣sgnx.所以A不正确，B正确，sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[f（x）]=sgn（x+1）=；sgn[g（x）]=sgn（﹣x）=，﹣sgn[f（x）]=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；故选：B.【点评】本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题.7.（5分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y ≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（）A.P1＜P2＜P3B.P2＜P3＜P1C.P3＜P1＜P2D.P3＜P2＜P1【分析】作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算比较即可.【解答】解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：P1：D（0，），F（，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），则阴影部分的面积S1=1×1﹣=1﹣=，S2=1×1﹣2×=1﹣=，S3=1×+dx=+lnx|=﹣ln=+ln2，∴S2＜S3＜S1，即P2＜P3＜P1，故选：B.【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键.本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小.8.（5分）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b （a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A.对任意的a，b，e1＞e2B.当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C.对任意的a，b，e1＜e2D.当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2【分析】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论.【解答】解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=，∴=﹣=，∴当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2，故选：B.【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础.9.（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A.77B.49C.45D.30【分析】由题意可得，A={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}，根据定义可求【解答】解：解法一：∵A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}∵A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素；解法二：因为集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素，即图中圆中的整点，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，中有5×5=25个元素，即图中正方形ABCD中的整点，A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点（除去四个顶点），即7×7﹣4=45个.故选：C.【点评】本题以新定义为载体，主要考查了集合的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素.10.（5分）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A.3B.4C.5D.6【分析】由新定义可得t的范围，验证可得最大的正整数n为4.【解答】解：若[t]=1，则t∈[1，2），若[t2]=2，则t∈[，）（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），若[t3]=3，则t∈[，），若[t4]=4，则t∈[，），若[t5]=5，则t∈[，），其中≈1.732，≈1.587，≈1.495，≈1.431＜1.495，通过上述可以发现，当t=4时，可以找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）上，但当t=5时，无法找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）∩[，）上，∴正整数n的最大值4故选：B.【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题.二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11.（5分）已知向量⊥，||=3，则•= 9 .【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案.【解答】解：由⊥，得•=0，即•（）=0，∵||=3，∴.故答案为：9.【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题.12.（5分）函数f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln （x+1）|的零点个数为 2 .【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，求出函数的定义域，画出函数的图象，求出交点个数即可.【解答】解：函数f（x）的定义域为：{x|x＞﹣1}.f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|=2sinx﹣|ln（x+1）|=sin2x﹣|ln（x+1）|，分别画出函数y=sin2x，y=|ln（x+1）|的图象，由函数的图象可知，交点个数为2.所以函数的零点有2个.故答案为：2.【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用.13.（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m 后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= 100m.【分析】设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h.【解答】解：设此山高h（m），则BC=h，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600.根据正弦定理得=，解得h=100（m）故答案为：100.【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用.关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解. 14.（5分）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2.（1）圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2 ；（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：①=；②﹣=2；③+=2.其中正确结论的序号是①②③.（写出所有正确结论的序号）【分析】（1）取AB的中点E，通过圆C与x轴相切于点T，利用弦心距、半径与半弦长之间的关系，计算即可；（2）设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），计算出、、的值即可.【解答】解：（1）∵圆C与x轴相切于点T（1，0），∴圆心的横坐标x=1，取AB的中点E，∵|AB|=2，∴|BE|=1，则|BC|=，即圆的半径r=|BC|=，∴圆心C（1，），则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣）2=2.（2）∵圆心C（1，），∴E（0，），又∵|AB|=2，且E为AB中点，∴A（0，﹣1），B（0，+1），∵M、N在圆O：x2+y2=1上，∴可设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），∴|NA|=====，|NB|====，∴===，同理可得=，∴=，①成立，﹣=﹣（）=2，②正确.+=+（）=，③正确.故答案为：①②③.【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题.选修4-1：几何证明选讲15.（5分）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则=.【分析】利用切割线定理推出PA=2PB，利用相似三角形求出比值即可.【解答】解：由切割线定理可知：PA2=PB•PC，又BC=3PB，可得PA=2PB，在△PAB与△PAC中，∠P=∠P，∠PAB=∠PCA（同弧上的圆周角与弦切角相等），可得△PAB∽△PAC，∴==.故答案为：.【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力.选修4-4：坐标系与参数方程16.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（ t为参数），l与C相交于A，B两点，则|AB|=.【分析】化极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，联立直线方程和双曲线方程后求得交点坐标，由两点间的距离公式得答案.【解答】解：由ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，得y﹣3x=0，由C的参数方程为（ t为参数），两式平方作差得：x2﹣y2=﹣4.联立，得，即.∴A（），B（），∴|AB|=.故答案为：.【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（11分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ）05﹣50（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象.若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值.【分析】（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣.从而可补全数据，解得函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）.（2）由（Ⅰ）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得g （x）=5sin（2x+2θ﹣）.令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z.令=，解得θ=，k∈Z.由θ＞0可得解.【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣.数据补全如下表：ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ）050﹣50且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）.（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin （2x+2θ﹣）.因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z.令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z.由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z.由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值.【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查.18.（12分）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100.（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n.【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当d＞1时，由（1）知c n=，写出T n、T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可.【解答】解：（1）设a1=a，由题意可得，解得，或，当时，a n=2n﹣1，b n=2n﹣1；当时，a n=（2n+79），b n=9•；（2）当d＞1时，由（1）知a n=2n﹣1，b n=2n﹣1，∴c n==，∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，∴T n=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，∴T n=2+++++…+﹣（2n﹣1）•=3﹣，∴T n=6﹣.【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题.19.（12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.（1）证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值.【分析】解法1）（1）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF，即可判断DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，确定直角.（2）根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线.利用直线平面的垂直判断出DG⊥DF，DG⊥DB，根据平面角的定义得出∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可.解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，运用向量的数量积判断即可.2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量.根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案.【解答】解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD.而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE.又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC.而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE.又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF.由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.（2）如图1，在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线.由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG.又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG.而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD.所以DG⊥DF，DG⊥DB故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PD=DC=1，BC=λ，有BD=，在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPB=∠FDB=，则 tan=tan∠DPF===，解得.所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=.（解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设PD=DC=1，BC=λ，则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），=（λ1，﹣1），点E是PC的中点，所以E（0，，），=（0，，），于是=0，即PB⊥DE.又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF.因=（0，1，﹣1），=0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC.由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.（2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量.若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，则运用向量的数量积求解得出cos==，解得.所以所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=.【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题.20.（12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品.生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量.（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.【分析】（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，列出可行域，目标函数，通过当W=12时，当W=15时，当W=18时，分别求出目标函数的最大获利，然后得到Z的分布列.求出期望即可.（2）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可.【解答】（12分）解：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有，①如图1，目标函数为：z=1000x+1200y.当W=12时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A（0，0），B（2.4，4.8），C（6，0）.将z=1000x+1200y变形为，当x=2.4，y=4.8时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=2.4×1000+4.8×1200=8160.当W=15时，①表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（7.5，0）..将z=1000x+1200y变形为，当x=3，y=6时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=3×1000+6×1200=10200.当W=18时，①表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（6，4），D（9，0）.将z=1000x+1200y变形为：，当x=6，y=4时，直线l：y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=6×1000+4×1200=10800.故最大获利Z的分布列为：Z81601020010800P0.30.50.2因此，E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708（2）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率P1=P（Z＞10000）=0.5+0.2=0.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：.【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力.21.（14分）一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB 内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.【分析】（1）根据条件求出a，b即可求椭圆C的方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可.【解答】解：（1）设D（t，0），|t|≤2，N（x0，y0），M（x，y），由题意得=2，且||=||=1，∴（t﹣x，﹣y）=2（x0﹣t，y0），且，即，且t（t﹣2x0）=0，由于当点D不动时，点N也不动，∴t不恒等于0，于是t=2x0，故x0=，y0=﹣，代入x02+y02=1，得方程为.（2）①当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=﹣4，都有S△OPQ=，②直线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，（k），由消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4，①，由，可得P（，），同理得Q（，），原点O到直线PQ的距离d=和|PQ|=•|x P﹣x Q|，可得S△OPQ=|PQ|d=|m||x P﹣x Q|=|m|||=||②，将①代入②得S△OPQ=||=8||，当k2＞时，S△OPQ=8（）=8（1+）＞8，当0≤k2＜时，S△OPQ=8||=﹣8（）=8（﹣1+），∵0≤k2＜时，∴0＜1﹣4k2≤1，≥2，∴S△OPQ=8（﹣1+）≥8，当且仅当k=0时取等号，∴当k=0时，S△OPQ的最小值为8，综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8.【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键.综合性较强，运算量较大.22.（14分）已知数列{a n}的各项均为正数，b n=n（1+）n a n（n∈N+），e为自然对数的底数.（1）求函数f（x）=1+x﹣e x的单调区间，并比较（1+）n与e 的大小；（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令c n=（a1a2…a n），数列{a n}，{c n}的前n项和分别记为S n，T n，证明：T n＜eS n.【分析】（1）求出f（x）的定义域，利用导数求其最大值，得到1+x＜e x.取x=即可得到答案；（2）由b n=n（1+）n a n（n∈N+），变形求得，，，由此推测=（n+1）n.然后利用数学归纳法证明.（3）由c n的定义、=（n+1）n、算术﹣几何平均不等式、b n的定义及，利用放缩法证得T n＜eS n.【解答】（1）解：f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1﹣e x.当f′（x）＞0，即x＜0时，f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞0时，f（x）单调递减.故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）.当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，即1+x＜e x.令，得，即.①（2）解：；=；.由此推测：=（n+1）n.②下面用数学归纳法证明②.（1）当n=1时，左边=右边=2，②成立.（2）假设当n=k时，②成立，即.当n=k+1时，，由归纳假设可得=.∴当n=k+1时，②也成立.根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立.（3）证明：由c n的定义，②，算术﹣几何平均不等式，b n的定义及①得T n=c1+c2+…+c n=====＜ea1+ea2+…+ea n=eS n.即T n＜eS n.【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法证明数列不等式，是压轴题.创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校。
