2017年上海市复旦附中高考数学模拟试卷(5月份)(解析版)

2017-2018学年上海市复旦附中高二（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共16.0分） 1. 在(√2x +√33)2018的展开式中，系数为有理数的系数为( )A. 336项B. 337项C. 338项D. 1009项 【答案】A【解析】解：根据题意，(√2x +√33)2018的展开式的通项为T r+1=C 2018r (√2x)2018−r (√33)r =C 2018r ×22018−r 2⋅3r3×x 2018−r ；其系数为C 2018r C 2018r ×22018−r 2⋅3r3，若系数为有理数，必有r =6n ，(n =1、2……、336) 共有336项， 故选：A ．根据题意，求出(√2x +√33)2018的展开式的通项，即可得项的系数，进而分析可得若系数为有理数，必有r =6n ，(n =1、2、……、336)，即可得答案．本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题．2. 如图，某几何体的三视图是三个边长为1的正方形，及每个正方形中的一条对角线，则该几何体的表面积是( ) A. 4+√2B. 9+√32C. 3+√32D. 3+√2【答案】B【解析】解：几何体的直观图如图：所以几何体的表面积为：3+3×12×1×1+√34×(√2)2=9+√32．故选：B ．画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的表面积即可． 本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．3. 定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，若m =4，则不同的“规范01数列”共有( ) A. 18个 B. 16个 C. 14个 D. 12个 【答案】C【解析】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m 项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m =4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1.共14个． 故选：C ． 由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m 项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m =4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．4. 已知椭圆方程为x 24+y225=1，将此椭圆绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V 1，满足{y ≥−50≤x ≤2y ≤52x的平面区城绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V 2，则( )A. V 2=V 1B. V 2=32V 1C. V 2=54V 1D. V 2，V 1无明确大小关系【答案】C【解析】解：在同一平面直角坐标系中画出椭圆与旋转体如图，椭圆绕y 轴旋转一周所得的旋转体为椭球，其体积为V 1=43π×2×2×5=80π3；满足{y ≥−50≤x ≤2y ≤52x的平面区城阴影部分绕y 轴旋转一周所得的旋转体是圆柱挖去一个圆锥，其体积V 2=π×22×10−13×π×22×5=100π3．∴V 2=54V 1．故选：C ．由题意画出图形，分别求出椭圆绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V 1与满足{y ≥−50≤x ≤2y ≤52x 的平面区城绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V 2，则答案可求．本题主要考查旋转体的体积的大小比较，考察学生的计算能力，是中档题．二、填空题（本大题共11小题，共44.0分）5. 已知a ，b ∈{0,1，2，3}，则不同的复数z =a +bi 的个数是______． 【答案】16【解析】解：当a=b时，复数z=a+bi的个数是4个；当a≠b时，由排列数公式可知，组成不同的复数z=a+bi的个数是A42=12个.∴不同的复数z=a+bi的个数是16个．故答案为：16．分a=b和a≠b结合排列数公式求解．本题考查排列及排列数公式，是基础题．6.一个竖直平面内的多边形，用斜二测画法得到的水平放置的直观图是一个边长为√2的正方形，该正方形有一组对边是水平的，则原多边形的面积是______．【答案】4√2【解析】解：该多边形的直观图是一个边长为√2的正方形，正方形的面积为S正方形=(√2)2=2，∴原多边形的面积是2×2√2=4√2．故答案为：4√2．根据斜二测画法中原平面图形与直观图的面积比是2√2：1，计算即可．本题考查了斜二测画法中原平面图形与直观图的面积比应用问题，是基础题．7.已知(1−2x)2018=a0+a1x+a2x2+⋯+a 2018x2018则|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|a2018|=______．【答案】32018【解析】解：根据题意，(1−2x)2018中，其展开式的通项为T r+1=C2018r(−2x)r，又由(1−2x)2018=a0+a1x+a2x2+⋯+a 2018x2018，则a1、a3、……a2017为负值，则在(1−2x)2018中，令x=−1可得：32018=a0−a1+a2−a3+⋯…+a2017−a2018，又由a1、a3、……a2017为负值，则|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|a2018|=a0−a1+a2−a3+⋯…+a2017−a2018=32018，故答案为：32018．根据题意，由二项式定理分析可得(1−2x)2018的展开式的通项，分析可得a1、a3、……a2017为负值，在(1−2x)2018中，令x=−1可得：32018=a0−a1+a2−a3+⋯…+a2017−a2018，分析可得答案．本题考查二项式定理的应用，注意二项式定理的形式，属于基础题．8.已知球的体积是V，则此球的内接正方体的体积为______．【答案】2√3V3π【解析】解：设球的半径为R，球内接正方体的棱长为a，则球的体积是V=43πR3，∴R=33V4π；又球的内接正方体的体对角线是球的直径，即3a2=4R2，∴a=√43R；∴正方体的体积为V正方体=(√43R)3=3√3×3V4π=2√3V3π．故答案为：2√3V3π．设球的半径为R，球内接正方体的棱长为a，根据题意知球内接正方体的体对角线是球的直径，得出a与R的关系，再计算正方体的体积．本题考查了球与其内接正方体的关系应用问题，是基础题．9.点A(1,2，1)，B(3,3，2)，C(λ+1,4，3)，若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角，则λ的取值范围为______．【答案】(−2,4)∪(4,+∞)【解析】解：AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1，1)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,2，2)，∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角，∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2λ+2+2>0，且不能同向共线．解得λ>−2，λ≠4．则λ的取值范围为(−2,4)∪(4,+∞)．故答案为：(−2,4)∪(4,+∞)．AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角，可得AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ >0，且不能同向共线.解出即可得出．本题考查了向量夹角公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.若一个圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是______．【答案】1+2π2π【解析】解：可以设该侧面的正方形边长为A，则S侧面积=A2全面积S=A2+2π(A2π)2则圆柱的全面积与侧面积的比S全面积S侧面积=(1+2π2π)A2A2=1+2π2π故答案：1+2π2π由圆柱的侧面展开图是正方形，我们易得圆柱的高与底面周长相等，设侧面的正方形边长为A后，易分别计算出侧面积和全面积，代入计算后，易得结果．本题考查的是圆柱的表面积与侧面积，利用已知分别求出全面积和侧面积是解答本题的关键，另外全面积=侧面积+底面积×2，中易解为全面积=侧面积+底面积．11.正四面体ABCD的棱长为2，则所有与A，B，C，D距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为______．【答案】√3+3【解析】解：设E、F、G分别为AB、AC、AD的中点，连结EF、FG、GE，则△EFG是三棱锥A−BCD的中截面，可得平面EFG//平面BCD，点A到平面EFG的距离等于平面EFG与平面BCD之间的距离，∴A、B、C、D到平面EFG的距离相等，即平面EFG是到四面体ABCD四个顶点距离相等的一个平面；正四面体ABCD中，象△EFG这样的三角形截面共有4个．∵正四面体ABCD的棱长为2，可得EF=FG=GE=1，∴△EFG是边长为1的正三角形，可得S△EFG=12EF⋅FG⋅sin60∘=√34；取CD、BC的中点H、I，连结GH、HI、IE，∵EI、GH分别是△ABC、△ADC的中位线，∴EI−//12AC，GH−//12AC，得EI−//GH，∴四边形EGHI为平行四边形；又∵AC =BD 且AC ⊥BD ，EI−//12AC ，HI−//12BD ，∴EI =HI 且EI ⊥HI ，∴四边形EGHI 为正方形，其边长为12AB =1，由此可得正方形EGHI 的面积S EGHI =1；∵BC 的中点I 在平面EGHI 内，∴B 、C 两点到平面EGHI 的距离相等；同理可得D 、C 两点到平面EGHI 的距离相等，且A 、B 两点到平面EGHI 的距离相等； ∴A 、B 、C 、D 到平面EGHI 的距离相等，∴平面EGHI 是到四面体ABCD 四个顶点距离相等的一个平面，且正四面体ABCD 中，象四边形EGHI 这样的正方形截面共有3个， 因此，所有满足条件的正四面体的截面面积之和等于4S △EFG +3S EGHI =4×√34+3×1=√3+3．故答案为：√3+3．根据题意知到正四面体ABCD 四个顶点距离相等的截面分为两类：一类是由同一顶点出发的三条棱的中点构成的三角形截面，这样的截面有4个；另一类是与一组相对的棱平行，且经过其它棱的中点的四边形截面，这样的截面有3个； 作出示意图，求出所有满足条件的截面面积之和即可．本题考查了正四面体的性质、点到平面距离的定义、三角形面积与四边形形面积的求法等知识，是难题．12. 从集合{1,2，…，30}中取出五个不同的数组成单调递增的等差数列，则所有符合条件的不同的数列个数是______． 【答案】98【解析】解：根据题意，设满足条件的一个等差数列首项为a 1，公差为d ，必有d ∈N ∗． 则a 5=a 1+4d ，则d =a 5−a 14≤30−14=294，则d 的可能取值为1，2，3， (7)对于给定的d ，a 1=a 5−4d ≤30−4d ，当a 1分别取1，2，3，…，30−4d 时，可得递增等差数列30−4d 个(如：d =1时，a 1≤26，当a 1分别取1，2，3，…，26时，可得递增等差数列26个：1，2，3，4，5；2，3，…，6；…；26，27，…，30，其它同理)． 当d 取1，2，3，…，7时，可得符合要求的等差数列的个数为：12×(2+26)×7=98个；故答案为：98．根据题意，设满足条件的一个等差数列首项为a 1，公差为d ，d ∈N ∗.确定d 的可能取值为1，2，3，…，7，进而分析可得答案．本题考查合情推理的应用，涉及等差数列的性质，关键是确定d 的取值范围，属于偏难题．13. 在正三棱锥P −ABC 中，PA =2，AB =1，记二面角P −AB −C ，A −PC −B 的平面角依次为α，β，则3sin 2α−2cosβ=______． 【答案】2【解析】解：如图所示，作PO ⊥平面ABC ，连接CO 延长交AB 于点D ，连接PD ． 则D 为AB 的中点，CD ⊥AB ，∴AB ⊥PD ． ∴二面角P −AB −C 的平面角为∠PDO =α． ∵PD =√22−(12)2=√152，CD =√32，OD =13CD =√36， ∴OP =√PD 2−OD 2=√333． ∴sinα=OP PD =23√115．作AE ⊥PC ，垂足为E 点，连接BE ， ∵△PAC≌△PBC ， ∴BE ⊥PC ．∴∠AEB 为A −PC −B 的平面角β， ∵cos∠PCA =12+22−222×1×2=14．∴AE =AC ⋅sin∠PCA =1×√1−(14)2=√154． 在△AEB 中，cosβ=AE 2+BE 2−AB 22×AE×BE =715．∴3sin 2α−2cosβ=3×(23√115)2−2×715=2．故答案为：2．如图所示，作PO ⊥平面ABC ，连接CO 延长交AB 于点D ，连接PD.可得D 为AB 的中点，CD ⊥AB ，AB ⊥PD.于是二面角P −AB −C 的平面角为∠PDO =α.作AE ⊥PC ，垂足为E 点，连接BE ，根据△PAC≌△PBC ，可得BE ⊥PC.可得∠AEB 为A −PC −B 的平面角β，利用余弦定理等即可得出．本题考查了正三棱锥的性质、正三角形的性质、余弦定理勾股定理、二面角、三角形全等，考查了推理能力与计算能力，属于难题．14. 如图，顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，母线PA =4，O 是底面圆心，B 是底面圆内一点，且AB ⊥OB ，C 为PA 的中点，OD ⊥PB ，垂足为D ，当三棱锥O −PCD 的体积最大时，OB =______． 【答案】2√63【解析】解：AB ⊥OB ，可得PB ⊥AB ，即AB ⊥面POB ，所以面PAB ⊥面POB ． OD ⊥PB ，则OD ⊥面PAB ，OD ⊥DC ，OD ⊥PC ，又，PC ⊥OC ，所以PC ⊥面OCD.即PC 是三棱锥P −OCD 的高.PC =OC =2． 而△OCD 的面积在OD =DC =√2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)． 当OD =√2时，由PO =2√2，知∠OPB =30∘，OB =POtan30∘=2√63．故答案为：2√63． 画出图形，说明PC 是三棱锥P −OCH 的高，△OCH 的面积在OD =DC =√2时取得最大值，求出OB 即可．本题考查圆锥的结构特征，棱锥的体积等知识，考查空间想象能力，是中档题．15. 已数列{a n }，令b k 为a 1，a 2，…，a k 中的最大值(k =1,2，…，n)，则称数列{b n }为“控制数列”，数列{b n }中不同数的个数称为“控制数列”{b n }的“阶数”.例如：{a n }为1，3，5，4，2，则“控制数列”{b n }为1，3，5，5，5，其“阶数”为3，若数列{a n }由1，2，3，4，5，6构成，则能构成“控制数列”{b n }的“阶数”为2的所有数列{a n }的首项和是______．【答案】1044【解析】解：依题意得，首项为1的数列有1，6，a，b，c，d，故有A44=24种，首项为2的数列有2，1，6，b，c，d，或2，6，a，b，c，d，故有A44+A33=30种，首项为3的数列有3，6，a，b，c，d，或3，1，6，b，c，d，或3，2，6，b，c，d或3，1，6，c，d或，3，2，1，6，c，d，故有A44+2A33+2A22=40种，首项为4的数列有24+18+12+6=60种，即4，6，a，b，c，d，有A44=24种，4，1，6，b，c，d，或4，2，6，b，c，d，或4，3，6，b，c，d，有3A33=18种，4，a，b，6，c，d，(其中a，b∈{1,2，3})，则有A32A22=12种，4，a，b，c，6，d，(其中a，b，c∈{1,2，3})，则有6种，首项为5的数列有24×5=120种，即5，6，a，b，c，d，有A44=24种，5，1，6，b，c，d，或5，2，6，b，c，d，或5，3，6，b，c，d，或5，4，6，b，c，d有4A33=24种，5，a，b，6，c，d，(其中a，b∈{1,2，3，4})，则有A42A22=24种，5，a，b，c，6，d，(其中a，b，c∈{1,2，3，4})，则有24种，5，a，b，c，d，6，(其中a，b，c，d∈{1,2，3，4})，则有24种，综上，所有首项的和为24×1+30×2+40×3+60×4+120×5=1044．故答案为：1044由新定义，分别利用排列组合，求出首项为1，2，3，4，5的所有数列，再求出和即可．本题考查了排列组合问题，考查了新定义问题，考查了运算能力和转化能力，属于难题三、解答题（本大题共6小题，共60.0分）16.已知(ax −√x2)9的展开式中，x3的系数为94，则常数a的值为______．【答案】4【解析】解：(ax −√x2)9的展开式中，通项公式为Tr+1=C9r⋅(√2)−r⋅(−1)r⋅a9−r⋅x3r2−9，令3r2−9=3，求得r=8，故x3的系数为C98⋅116a=94，∴a=4，故答案为：4．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0=3，求得r的值，即可求得展开式中x3的系数，再由x3的系数为94，求得a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．17.已知空间向量a⃗与b⃗ 的夹角为arccos√66，且|a⃗|=√2，|b⃗ |=√3，令m⃗⃗⃗ =a⃗−b⃗ ，n⃗=a⃗+2b⃗ ．(1)求a⃗，b⃗ 为邻边的平行四边形的面积S；(2)求m⃗⃗⃗ ,n⃗的夹角θ．【答案】解：(1)根据条件，cos<a⃗,b⃗ >=√66；∴sin<a⃗,b⃗ >=√306；∴S=|a⃗||b⃗ |sin<a⃗,b⃗ >=√2×√3×√306=√5；(2)m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=(a⃗−b⃗ )⋅(a⃗+2b⃗ )=a⃗2+a⃗⋅b⃗ −2b⃗ 2=2+√2×√3×√66−2×3=−3；|m⃗⃗⃗ |=√(a⃗−b⃗ )2=√a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=√2−2+3=√3，|n⃗|=√(a⃗+2b⃗ )2=√2+4+12=3√2；∴cos<m⃗⃗⃗ ,n⃗>=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗|m⃗⃗⃗ ||n⃗⃗ |=√3×3√2=−√66；∴m⃗⃗⃗ ,n⃗的夹角θ=arccos(−√66)．【解析】(1)根据向量a⃗,b⃗ 的夹角为arccos√66即可求出sin<a⃗,b⃗ >=√306，从而根据S=|a⃗||b⃗ |sin<a⃗,b⃗ >即可求出面积S；(2)根据条件即可求出m⃗⃗⃗ ⋅n⃗，|m⃗⃗⃗ |和|n⃗|的值，根据向量夹角的余弦公式，即可求出cos<m⃗⃗⃗ ,n⃗>，进而得出θ．考查向量夹角的概念，sin2α=1−cos2α，三角形的面积公式，向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式．18.有3名女生和5名男生，按照下列条件排队，求各有多少种不同的排队方法？(1)3名女生排在一起；(2)3名女生次序一定，但不一定相邻；(3)3名女生不站在排头和排尾，也互不相邻；(4)每两名女生之间至少有两名男生；(5)3名女生中，A，B要相邻，A，C不相邻．【答案】解：(1)根据题意，分2步分析：①，3名女生看成一个整体，考虑其顺序有A33=6种情况，②，将这个整体与5名男生全排列，有A66=720种情况，则3名女生排在一起的排法有6×720=4320种；(2)根据题意，将8人排成一排，有A88种排法，由于3名女生次序一定，则有A88A33=6720种排法；(3)根据题意，分2步分析：①，将5名男生全排列，有A55=120种情况，②，除去两端，有4个空位可选，在其中任选3个，安排3名女生，有A43=24种情况，则3名女生不站在排头和排尾，也互不相邻的排法有120×24=2880种；(4)根据题意，将3名女生排成一排，有A33=6种情况，分2种情况讨论：①，两名女生之间有3名男生，另两名女生之间有2名男生，将5名男生分成3、2的两组，分别安排在3名女生之间，有6×C52×A22×A33×A22=1440种排法；②，任意2名女生之间都有2名男生，将5名男生分成2、2、1的三组，2个2人组安排在三名女生之间，1人安排在两端，有6×C52C32C11A22×A22×A22×A22×A21=1440种排法；则每两名女生之间至少有两名男生的排法有1440+1440=2880种；(5)根据题意，分2种情况分析：①，A、B、C三人相邻，则B在中间，A、C在两边，三人有A22=2种排法，将3人看成一个整体，与5名男生全排列，有A66=720种情况，则此时有2×720=1440种排法；②，A、B、C三人不全相邻，先将5名男生全排列，有A55=720种情况，将A、B看成一个整体，和C一起安排在5名男生形成的6个空位中，有720×A62×A22=4320种，则3名女生中，A，B要相邻，A，C不相邻的排法有1440+4320=5760种排法．【解析】(1)根据题意，用捆绑法分2步分析：①，3名女生看成一个整体，②，将这个整体与5名男生全排列，由分步计数原理计算可得答案；(2)根据题意，先计算8人排成一排的排法，由倍分法分析可得答案；(3)根据题意，分2步分析：①，将5名男生全排列，②，将3名女生安排在5名男生形成的空位中，由分步计数原理计算可得答案；(4)根据题意，分2种情况讨论：①，两名女生之间有3名男生，另两名女生之间有2名男生，②，任意2名女生之间都有2名男生，分别求出每种情况下的排法数目，由加法原理计算可得答案；(5)根据题意，分2种情况讨论：①，A 、B 、C 三人相邻，则B 在中间，A 、C 在两边，②，A 、B 、C 三人不全相邻，分别求出每种情况下的排法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，注意常见问题的处理方法，属于中档题．19. 在正四棱锥P −BCD 中，正方形ABCD 的边长为3√2，高OP =6，E 是侧棱PD 上的点且PE =13PD ，F是侧棱PA 上的点且PF =12PA ，G 是△PBC 的重心.如图建立空间直角坐标系． (1)求平面EFG 的一个法向量n ⃗ ；(2)求直线AG 与平面EFG 所成角θ的大小； (3)求点A 到平面EFG 的距离d ．【答案】解：(1)∵在正四棱锥P −BCD 中，正方形ABCD 的边长为3√2，高OP =6，E 是侧棱PD 上的点且PE =13PD ，F 是侧棱PA 上的点且PF =12PA ，G 是△PBC 的重心.如图建立空间直角坐标系．∴D(0,−6,0)，P(0,0，6)，E(0,−2,4)，A(6,0，0)，F(3,0，3)，B(0,6，0)，C(−6,0，0)，G(−2,2，2)， EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2，−1)，EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,4，−2)，设平面EFG 的一个法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ =3x +2y −z =0n ⃗ ⋅EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +4y −2z =0，取y =1，得：平面EFG 的一个法向量n ⃗ =(0,1，2)． (2)AG⃗⃗⃗⃗⃗ =(−8,2，2)， 则sinθ=|cos <AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√5⋅√72=√1010， ∴直线AG 与平面EFG 所成角θ=arcsin √1010．(3)EA⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,2，−4)， ∴点A 到平面EFG 的距离d =|EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√5=6√55． 【解析】(1)建立空间直角坐标系，求出EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2，−1)，EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,4，−2)，设平面EFG 的一个法向量n ⃗ =(x,y ，z)，由{n ⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ =3x +2y −z =0n⃗ ⋅EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +4y −2z =0，能求出平面EFG 的一个法向量n⃗ ． (2)求出AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−8,2，2)，由sinθ=|cos <AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|，能求出直线AG 与平面EFG 所成角θ． (3)求出EA⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,2，−4)，由点A 到平面EFG 的距离d =|EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |，能求出结果．本题考查平面的法向量、线面角、点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20. 如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ADE 是等腰直角三角形且∠ADE =π2，EF ⊥平面ADE 且EF =1． (1)求异面直线AE 和DF 所成角的大小； (2)求二面角B −DF −C 的平面角的大小．【答案】解：∵平面ADE ⊥平面ABCD ，且∠ADE =π2，∴DE ⊥平面ABCD ，由四边形ABCD 是边长为2的正方形，∴DA ，DC ，DE 两两互相垂直，以D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，又EF ⊥平面ADE 且EF =1，∴D(0,0，0)，A(2,0，0)，E(0,0，2)，C(0,2，0)，B(2,2，0)，F(0,1，2)， (1)AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1,2)， 则cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF⃗⃗⃗⃗⃗ >=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF⃗⃗⃗⃗⃗ |AE⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2×3=2√23， ∴异面直线AE 和DF 所成角的大小为arccos2√23； (2)DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)，设平面BDF 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 由{n ⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y =0n ⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =y +2z =0，取z =1，得n⃗ =(2,−2,1)， 又平面DFC 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(1,0,0)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=23×1=23． 由图可知，二面角B −DF −C 为锐角， ∴二面角B −DF −C 的平面角的大小为arccos 23．【解析】由已知可得DA ，DC ，DE 两两互相垂直，以D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．(1)求出AE⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，利用数量积求夹角求解异面直线AE 和DF 所成角的大小； (2)分别求出平面BDF 与平面DFC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B −DF −C 的平面角的大小．本题考查空间角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．21. 设点F 1，F 2分别是椭园C ：x 22t 2+y 2t 2=1(t >0)的左、右焦点，且椭圆C 上的点到F 2的距离的最小值为2√2−2，点M ，N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且向量F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 平行．(1)求椭圆C 的方程； (2)当F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0时，求△F 1NF 2的面积；(3)当|F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−|F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√23时，求直线F 2N 的方程． 【答案】解：(1)点F 1、F 2分别是椭圆C ：x 22t +y 2t =1(t >0)的左、右焦点， ∴a =√2t ，c =t ，∵椭圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为2√2−2， ∴a −c =√2t −t =2√2−2， 解得t =2， ∴椭圆的方程为x 28+y 24=1；(2)由(1)可得F 1(−2,0)，F 2(2,0)， 点N 是椭圆C 上位于x 轴上方的点， 可设N(2√2cosθ,2sinθ)， ∴F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√2cosθ+2,2sinθ)，F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√2cosθ−2,2sinθ)， ∵F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴(2√2cosθ+2)(2√2cosθ−2)+4sin 2θ=0， 解得cosθ=0，sinθ=1， ∴N(0,2)，∴△F 1NF 2的面积S =12|F 1F 2|⋅y N =12×4×2=4； (3)∵向量F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 平行，∴λF 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵|F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−|F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√23， ∴(|λ|−1)|F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√23，即|λ|>1，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，∴λ(x 1+2)=x 2−2，y 2=λy 1，∴x 2=λx 1+2(λ+1)∵x 228+y 224=1，∴x 22+2y 22=8， ∴[λx 1+2(λ+1)]2+2λ2y 12=12λ2+8λ+4+4λ(λ+1)x 1=8， ∴4λ(λ+1)x 1=(1−3λ)(λ+1)，∴x 1=1−3λλ=1λ−3，∴y 12=4−(1−3λ)22λ2，则|F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(x 1+2)2+y 12=(1λ−3+2)2+4−(1−3λ)22λ2=(λ+1)22λ2， ∴|F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2λ， ∴(λ−1)√2λ=4√23， ∴3λ2−8λ−3=0，解得λ=3，或λ=−13(舍去)．∴x 1=1λ−3=−83，y 12=4−(−8)22×9=49，∴y 1=23，则M(−83,23)，∴k F 1M =23−0−83−(−2)=−1，∵向量F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 平行，∴F 2N 所在直线当斜率为−1， ∴直线F 2N 的方程为y −0=−(x −2)，即为x +y −2=0．【解析】(1)根据椭圆的简单性质可得a −c =√2t −t =2√2−2，求解t ，即可得到椭圆C 的方程；(2)可设N(2√2cosθ,2sinθ)，根据向量的数量积求出点N 的坐标，由三角形面积公式可得△F 1NF 2的面积；(3)向量F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 平行，不妨设λF 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，根据坐标之间的关系，求得M 的坐标，再根据向量的模，即可求出λ的值，根据斜率公式求出直线F 1M 的斜率，根据直线平行和点斜式即可求出直线F 2N 的方程．题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量的运算和及其斜率计算公式等知识与基本方法，属于难题．。

2016—2017学年上海市复旦大学附中浦东分校高三（上）第二次月考数学试卷一。

填空题1．函数f（x）=的定义域为．2．已知复数z满足z+i=1﹣iz（i是虚数单位），则z= ．3．以抛物线y2=4x的焦点F为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为．4．已知二元一次方程组的增广矩阵是（），若该方程组无解,则实数m的值为．5．已知定义域为R的函数y=f（x）的图象关于点（﹣1,0）对称，y=g(x）是y=f（x)的反函数,若x1+x2=0,则g（x1）+g（x2）= ．6．已知x,y∈R+，且4x+y=1，则的最小值是．7．若二项式（x+）n展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是．8．等比数列｛a n｝前n项和，n∈N＊,则= ．9．把一个大金属球表面涂漆，共需油漆2.4公斤．若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小金属球，不计损耗,将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆公斤．10．已知函数f（x）=，记a n=f（n）（n∈N＊）,若{a n}是递减数列，则实数t的取值范围是．11．已知f（x）=asin2x+bcos2x（a，b为常数），若对于任意x∈R 都有f（x）≥f（),则方程f(x）=0在区间［0，π]内的解为．12．对于具有相同定义域D的函数f(x)和g（x），若存在函数h(x）=kx+b（k,b为常数）,对任给的正数m，存在相应的x0∈D,使得当x ∈D且x＞x0时,总有，则称直线l：y=kx+b为曲线y=f （x)和y=g（x）的“分渐近线”．给出定义域均为D={x|x＞1｝的四组函数如下:①f(x)=x2,g(x）=;②f（x）10﹣x+2，g(x）=;③f（x)=，g（x）=；④f（x）=，g（x）=2(x﹣1﹣e﹣x）其中,曲线y=f（x）和y=g(x）存在“分渐近线”的是．二。

选择题13．设全集U=R，已知A={x｜＞0}，B=｛x||x﹣1|＜2},则(∁A)∩B=（）UA．（﹣，﹣1）B．(﹣1，﹣2］ C．（2，3］D．[2,3）14．已知a、b为实数，命题甲：ab＞b2，命题乙：，则甲是乙的( ）条件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充要D．非充分非必要15．下列命题中，正确的个数是(1）直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行;(2）a,b为异面直线，则过a且与b平行的平面有且仅有一个；(3）直四棱柱是直平行六面体（4）两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥( ）A．0 B．1 C．2 D．316．已知符号函数sgnx=,f(x)是R上的增函数，g（x）=f(x）﹣f（ax)（a＞1），则（）A．sgn［g（x)］=sgnx B．sgn［g(x）］=﹣sgnx C．sgn[g（x）］=sgn[f （x）］D．sgn［g(x）]=﹣sgn［f（x)]17．已知f（x）=Asin(wx+θ),(w＞0）,若两个不等的实数x1,x2∈，且｜x1﹣x2｜min=π,则f(x）的最小正周期是( ）A．3πB．2πC．π D．18．已知O是正三角形△ABC内部的一点，+2+3=，则△OAC的面积与△OAB的面积之比是（）A．B． C．2 D．1三.解答题19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AA1=BC=AB=2，AB ⊥BC．（1）求四棱锥A1﹣BCC1B1的体积；（2）求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．20．已知△ABC的三个内角分别为A,B，C，且．(Ⅰ)求A的度数；（Ⅱ）若BC=7，AC=5，求△ABC的面积S．21．平面直角坐标系中，点A（﹣2，0）、B（2，0），平面内任意一点P满足：直线PA的斜率k1，直线PB的斜率k2，k1k2=﹣，点P的轨迹为曲线C1．双曲线C2以曲线C1的上下两顶点M，N为顶点，Q是双曲线C2上不同于顶点的任意一点，直线QM的斜率k3，直线QN的斜率k4．(1）求曲线C1的方程；(2）如果k1k2+k3k4≥0，求双曲线C2的焦距的取值范围．22．设各项均为正数的数列{a n｝的前n项和为S n，且满足：a1=1,4S n=（a n+1）2（n∈N*）．(1）求数列｛a n}的通项公式；（2）设b n=+（∈N＊)，试求（b1+b2+…+b n﹣2n）的值；（3）是否存在大于2的正整数m、k，使得a m+a m+1+a m+2+…+a m+k=300?若存在，求出所有符合条件的m、k；若不存在，请说明理由．23．已知函数f(x)=log2（x+a）．（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜,当a=1时，求x的取值范围；(2）若定义在R上奇函数g（x)满足g(x+2）=﹣g（x)，且当0≤x≤1时，g（x)=f（x），求g（x)在[﹣3，﹣1］上的反函数h(x）; (3）对于(2）中的g（x），若关于x的不等式g(）≥1﹣log23在R上恒成立，求实数t的取值范围．2016—2017学年上海市复旦大学附中浦东分校高三（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一。

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！2017年上海中学高考数学模拟试卷（4）一．选择题1．已知函数f（x）=a x+a﹣x，且f（1）=3，则f（0）+f（1）+f（2）的值是（）A．14 B．13 C．12 D．112．设f（x）=x3+log2（x+），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km．现要在曲线PQ上一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（）A．（2﹣2）a万元B．5a万元C．（2+1）a万元D．（2+3）a万元4．设等比数列{a n}的前n项和为S n，则x=S2n+S22n，y=S n（S2n+S3n）的大小关系是（）A．x≥y B．x=y C．x≤y D．不确定二．填空题5．已知y=|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度b﹣a的最小值为．6．已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，且在[﹣1，3]内，关于x 的方程f（x）=kx+k+1（k≠﹣1）有四个根，则k取值范围是．7．已知函数f（x）=Acos2（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，f（x）的图象在y 轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+fx，过P（2n，0）任作直线l交抛物线于A n，B n两点，则数列的前n项和公式是．12．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长都相等，M是BB1的中点，则BC1与平面AC1M所成角的大小是．13．设抛物线y=ax2（a＞0）与直线y=kx+b有两个公共点，其横坐标是x1，x2，而x3是直线与x轴交点的横坐标，则x1，x2，x3的关系是．14．满足|z﹣z0|+|z+2i|=4的复数z在复平面上对应的点Z的轨迹是线段，则复数z0在复平面上对应的点的轨迹是．15．在△ABC中，三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（﹣1，2），C（1，0），点P（x，y）在△ABC内部运动，若点P满足，则S△PAC：S△ABC= ．16．有一种“数独”推理游戏，游戏规则如下：①在9×9的九宫格子中，分成9个3×3的小九宫格，用1到9这9个数字填满整个格子；②每一行与每一列都有1到9的数字，每个小九宫格里也有1到9的数字，并且一个数字在每行、每列及每个每个小九宫格里只能出现一次，既不能重复也不能少．那么A处应填入的数字为；B处应填入的数字为．49 A 3 5 72 63 54 2 8 6 91 76 9 3 5 42 8 9 B 51 2 8 7 64三．解答题17．已知函数f（x）=a+msin2x+ncos2x的图象经过点A（0，1），B（，1），且当x∈时，f（x）取得最大值2﹣1．（1）求f（x）的解析式；（2）是否存在向量，使得将f（x）的图象按向量平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出最小的；若不存在，说明理由．18．在五棱锥P﹣ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．G 为PE的中点．（1）求AG与平面PDE所成角的大小（2）求点C到平面PDE的距离．19．（1）如图，设点P，Q是线段AB的三等分点，若，，试用，表示，，并判断与的关系；（2）受（1）的启示，如果点A1，A2，A3，…，A n﹣1是AB的n（n≥3）等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．20．设数列{a n}，{b n}满足a1=b1=6，a2=b2=4，a3=b3=3，且数列{a n+1﹣a n}（n∈N+）是等差数列，数列{b n﹣2}（n∈N+）是等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）是否存在k∈N+，使，若存在，求出k，若不存在，说明理由．21．在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，．过点M作MM1⊥y轴于M1，过N作NN1⊥x轴于点N1，．记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）．（1）求曲线C的方程；（2）问是否存在直线l，使得|BP|=|BQ|；若存在，求出直线l方程，若不存在，说明理由．22．已知函数f（x）=ax2+2bx+4c（a，b，c∈R，a≠0）．（1）若函数f（x）的图象与直线y=±x均无公共点，求证：4b2﹣16ac＜﹣1；（2）若时，对于给定的负数a，有一个最大的正数M（a），使x∈[0，M（a）]时，都有|f（x）|≤5，求a为何值时M（a）最大？并求M（a）的最大值；（3）若a＞0，且a+b=1，又|x|≤2时，恒有|f（x）|≤2，求f（x）的解析式．2017年上海中学高考数学模拟试卷（4）参考答案与试题解析一．选择题1．已知函数f（x）=a x+a﹣x，且f（1）=3，则f（0）+f（1）+f（2）的值是（）A．14 B．13 C．12 D．11【考点】45：有理数指数幂的运算性质．【分析】考查题设条件，首先可得出a+=3，又f（2）=a2+a﹣2=﹣2，及f（0）=1+1=2，故f（0）+f（1）+f（2）的值易得【解答】解：由题意，函数f（x）=a x+a﹣x，且f（1）=3，可得a+=3，又f（2）=a2+a﹣2=﹣2=7，f（0）=1+1=2所以f（0）+f（1）+f（2）=2+3+7=12故选C2．设f（x）=x3+log2（x+），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断；3F：函数单调性的性质；3I：奇函数．【分析】由f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x），知f（x）是奇函数．所以f（x）在R上是增函数，a+b≥0可得af（a）+f（b）≥0成立；若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a+b≥0成立a+b＞=0是f（a）+f（b）＞=0的充要条件．【解答】解：f（x）=x3+log2（x+），f（x）的定义域为R∵f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x）．∴f（x）是奇函数∵f（x）在（0，+∞）上是增函数∴f（x）在R上是增函数a+b≥0可得a≥﹣b∴f（a）≥f（﹣b）=﹣f（b）∴f（a）+f（b）≥0成立若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a≥﹣b∴a+b≥0成立∴a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的充要条件．3．如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km．现要在曲线PQ上一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（）A．（2﹣2）a万元B．5a万元C．（2+1）a万元D．（2+3）a万元【考点】KD：双曲线的应用．【分析】依题意知曲线PQ是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支，此双曲线的离心率为2，以直线AB为x轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为，点C的坐标为（3，）．求出修建这条公路的总费用W，根据双曲线的定义有，根据a+b当且仅当a=b时取等号的方法求出W的最小值即可．【解答】解：依题意知PMQ曲线是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支（以B为焦点），此双曲线的离心率为2，以直线AB为轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为 x2﹣=1，点C的坐标为（3，）．则修建这条公路的总费用ω=a[|MB|+2|MC|]=2a[|MB|+|MC|]，设点M、C在右准线上射影分别为点M1、C1，根据双曲线的定义有|MM1|=|MB|，所以=2a[|MM1|+|MC|]≥2a|C C1|=2a×（3﹣）=5a．当且仅当点M在线段C C1上时取等号，故ω的最小值是5a．故选B．4．设等比数列{a n}的前n项和为S n，则x=S2n+S22n，y=S n（S2n+S3n）的大小关系是（）A．x≥y B．x=y C．x≤y D．不确定【考点】8K：数列与不等式的综合．【分析】考虑特殊数列1，﹣1，1，﹣1，1，﹣1…，分情况讨论，等比数列{a n}的前n项和为S n，x=S2n+S22n，y=S n（S2n+S3n），要比较x，y的大小，可先将x，y的表达式进行整理，根据等比数列的性质将两个数用相同的量表示出来，再比较它们的大小【解答】解：对于等比数列1，﹣1，1，﹣1，1，﹣1…，S2k=0，S4k﹣S2k=0，S6k﹣S4k=0…，令n=2k，此时有x=y=0，对于S n，S2n﹣S n，S3n ﹣S2n ，…各项不为零时则由于等比数列{a n}的前n项和为S n，∴S n，S2n﹣S n，S3n ﹣S2n ，是一个公比为q n的等比数列，∴S2n﹣S n=S n×q n，S3n ﹣S2n=S n×q2n∴S2n =S n ×（1+q n），S3n =S n ×（1+q n+q2n）∴x=S2n+S22n=S2n ×[1+（1+q n）2]=S2n ×（2+2q n+q2n）y=S n（S2n+S3n）=S n[S n ×（1+q n）+S n ×（1+q n+q2n）]=S2n ×（2+2q n+q2n）由上知，x=y故选B二．填空题5．已知y=|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度b﹣a的最小值为．【考点】4K：对数函数的定义域；4L：对数函数的值域与最值．【分析】由y=|log2x|，知x=2y或x=2﹣y．由0≤y≤2，知1≤x≤4，或．由此能求出区间[a，b]的长度b﹣a的最小值．【解答】解：∵y=|log2x|，∴x=2y或x=2﹣y．∵0≤y≤2，∴1≤x≤4，或．即{a=1，b=4}或{a=，b=1}．于是[b﹣a]min=．故答案为：．6．已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，且在[﹣1，3]内，关于x 的方程f（x）=kx+k+1（k≠﹣1）有四个根，则k取值范围是（﹣，0）．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】把方程f（x）=kx+k+1的根转化为函数f（x）的图象和y=kx+k+1的图象的交点在同一坐标系内画出图象由图可得结论．【解答】解：因为关于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R且k≠﹣1）有4个不同的根，就是函数f（x）的图象与y=kx+k+1的图象有4个不同的交点，f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，所以可以得到函数f（x）的图象，又因为y=kx+k+1=k（x+1）+1过定点（﹣1，1），在同一坐标系内画出它们的图象如图，由图得y=kx+k+1=k（x+1）+1在直线AB和y=1中间时符合要求，而K AB=﹣，所以k的取值范围是：﹣＜k＜0故答案为：．7．已知函数f（x）=Acos2（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，f（x）的图象在y 轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f的部分图象确定其解析式；GI：三角函数的化简求值．【分析】先将原函数用降幂公式转化为：f（x）=cos（2ωx+2ϕ）++1，求出函数的A，T，ω，通过f（x）的图象在y轴上的截距为2，求出φ，得到函数的表达式，然后求出所求的值．【解答】解：将原函数f（x）=Acos2（ωx+ϕ）+1转化为：f（x）=cos（2ωx+2ϕ）++1 相邻两对称轴间的距离为2可知周期为：4，则2ω==，ω=由最大值为3，可知A=2又∵图象经过点（0，2），∴cos2ϕ=0∴2φ=kπ+∴f（x）=cos（x+）+2=2﹣sin（x）∵f（1）=2+1，f（2）=0+2，f（3）=﹣1+2，f（4）=0+2…f（1）+f（2）+f（3）+…+f如图，在杨辉三角中，斜线l上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n项和为S n，则S19等于283 ．【考点】8E：数列的求和．【分析】由图中锯齿形数列排列，发现规律：奇数项的第n项可以表示成正整数的前n项和的形式，偶数项构成以3为首项，公差是1的等差数列．由此再结合等差数列的通项与求和公式，即可得到S19的值．【解答】解：根据图中锯齿形数列的排列，发现a1=1，a3=3=1+2，a5=6=1+2+3，...，a19=1+2+3+ (10)而a2=3，a4=4，a6=5，…，a18=11，∴前19项的和S19=[1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+…+10）]+（3+4+5+…+11）=283．故选C故答案为：283．9．在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若a、b、c成等差数列，sinB=且△ABC的面积为，求b．【考点】84：等差数列的通项公式；HR：余弦定理．【分析】由三角形面积公式和a、b、c成等差数列，联解得出a2+c2=4b2﹣．由角B为锐角可得cosB==，由余弦定理b2=a2+c2﹣2ac•cosB的式子，代入数据算出b2=4，从而得到b=2．【解答】解：∵由a、b、c成等差数列，得a+c=2b∴平方得a2+c2=4b2﹣2ac﹣﹣﹣﹣﹣﹣①…又∵S△ABC=且sinB=，∴S△ABC=ac•sinB=ac×=ac=故ac=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②…由①②联解，可得a2+c2=4b2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③…又∵sinB=，且a、b、c成等差数列∴cosB===．…由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣④…由③④联解，可得b2=4，所以b=2．…10．若对终边不在坐标轴上的任意角x，不等式sinx+cosx≤m≤tan2x+cot2x恒成立，则实数m的取值范围是．【考点】HW：三角函数的最值．【分析】根据sinx+cosx=≤以及tan2x+cot2x≥2，不等式sinx+cosx≤m ≤tan2x+cot2x恒成立，从而求出实数m的取值范围．【解答】解：由于sinx+cosx=≤，tan2x+cot2x≥2 tanx•cotx=2，不等式sinx+cosx≤m≤tan2x+cot2x恒成立，故≤m≤2，故答案为：．11．对正整数n，设抛物线y2=2（2n+1）x，过P（2n，0）任作直线l交抛物线于A n，B n两点，则数列的前n项和公式是﹣n（n+1）．【考点】8E：数列的求和；KH：直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】设A n（x n1，y n1），B（x n2，y n2），直线方程为x=ty+2n，代入抛物线方程得y2﹣2（2n+1）ty﹣4n（2n+1）=0，求出的表达式，然后利用韦达定理代入得=﹣4n2﹣4n，故可得，据此可得数列的前n项和．【解答】解：设直线方程为x=ty+2n，代入抛物线方程得y2﹣2（2n+1）ty﹣4n（2n+1）=0，设A n（x n1，y n1），B（x n2，y n2），则，用韦达定理代入得，故，故数列的前n项和﹣n（n+1），故答案为﹣n（n+1）．12．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长都相等，M是BB1的中点，则BC1与平面AC1M所成角的大小是．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】要求BC1与平面AC1M所成角，首先求利用等体积点B到平面AMC1的距离，进而利用正弦函数可求BC1与平面AC1M所成角【解答】解：由题意，设棱长为2a，则∵，∴=∵S△AMB=a2设点B到平面AMC1的距离为h，根据得∴设BC1与平面AC1M所成角为α，则∴故答案为13．设抛物线y=ax2（a＞0）与直线y=kx+b有两个公共点，其横坐标是x1，x2，而x3是直线与x轴交点的横坐标，则x1，x2，x3的关系是x1x2=（x1+x2）x3．【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系．【分析】将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系，求出两根积与两根和的表达式；然后将欲证等式的左边通分，转化为两根积与两根和的形式，将以上两表达式代入得到等式左边的值；再根据直线解析式求出与x的交点横坐标，结论得证．【解答】解：由题意，联立抛物线y=ax2（a＞0）与直线y=kx+b得ax2﹣kx﹣b=0，∴，，∴，∴x1x2=x1x3+x2x3，即x1x2=（x1+x2）x3故答案为：x1x2=（x1+x2）x3．14．满足|z﹣z0|+|z+2i|=4的复数z在复平面上对应的点Z的轨迹是线段，则复数z0在复平面上对应的点的轨迹是以（0，﹣2）为圆心以 4 为半径的圆．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据关系式和点Z的轨迹是线段判断出，z0和﹣2i对应的点是对应线段上端点，再由（0，﹣2）是定点，线段是定长得出所求的轨迹是圆．【解答】解：∵|z﹣z0|+|z+2i|=4，且点Z的轨迹是线段，∴z0和﹣2i对应的点必然是Z的轨迹：线段上面2个端点，且线段的长为4，∴Z点轨迹：线段，它是通过一个端点（0，﹣2）的任意线段，并且长度为4，∴z0点轨迹其实是圆心为（0，﹣2），半径为4的圆，故答案为：以（0，﹣2）为圆心以 4 为半径的圆．15．在△ABC中，三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（﹣1，2），C（1，0），点P（x，y）在△ABC内部运动，若点P满足，则S△PAC：S△ABC= 1：3 ．【考点】98：向量的加法及其几何意义．【分析】延长PB到B'，使PB'=2PB，延长PC到C'，使PC=3PC'，根据可知P是△AB'C'的重心，然后设S△PAB'=S△PAC'=S△PB'C'=k，然后将三个三角形的面积用k表示，即可求出所求．【解答】解：如图：延长PB到B'，使PB'=2PB，延长PC到C'，使PC=3PC'则，P是△AB'C'的重心，则S△PAB'=S△PAC'=S△PB'C'=kS1=S△PAB'=k，S3=S△PAC'=kS2=PB×PC×sin∠BPC=S△PB'C'=k故S1：S2：S3=：： =3：1：2∴S△PAC：S△ABC=1：3故答案为：1：316．有一种“数独”推理游戏，游戏规则如下：①在9×9的九宫格子中，分成9个3×3的小九宫格，用1到9这9个数字填满整个格子；②每一行与每一列都有1到9的数字，每个小九宫格里也有1到9的数字，并且一个数字在每行、每列及每个每个小九宫格里只能出现一次，既不能重复也不能少．那么A处应填入的数字为 1 ；B处应填入的数字为1或3 ．49 A 3 5 72 63 54 2 8 6 91 76 9 3 5 42 8 9 B 51 2 8 7 64【考点】F1：归纳推理；8B：数列的应用．【分析】本题是一个简单的合情推理问题，根据“数独”的游戏规则，①在9×9的九宫格子中，分成9个3×3的小九宫格，用1，2，3…，9这9个数字填满整个格子，且每个格子只能填一个数；②每一行与每一列以及每个小九宫格里分别都有1，2，3，…9的所有数字．由A所处的行、列及小九宫格中已填数据，不难得到答案．【解答】解：与A同行的数据有：9、3、5、7与A同列的数据有：4、2、6、8与A处在同一九宫格中的数据有：2、4、9所以A处应填入的数字为1，与B同行的数据有：2、8、9、5与B同列的数据有：5、7、4、6与B处在同一九宫格中的数据有：4、5、6、7B处应填入的数字为 1或3故答案为：1 1或3三．解答题17．已知函数f（x）=a+msin2x+ncos2x的图象经过点A（0，1），B（，1），且当x∈时，f（x）取得最大值2﹣1．（1）求f（x）的解析式；（2）是否存在向量，使得将f（x）的图象按向量平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出最小的；若不存在，说明理由．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）由题意求得m、n、a间的关系，再根据当x∈时，f（x）取得最大值2﹣1，求得a的值，可得函数的解析式．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求得最小的．【解答】解：（1）∵函数f（x）=a+msin2x+ncos2x的图象经过点A（0，1），B（，1），∴a+0+n=1，且a+m+0=1，求得m=n=1﹣a，故有f（x）=a+（1﹣a）sin2x+（1﹣a）cos2x=a+（1﹣a）sin（2x+）．①若1﹣a＞0，∵当x∈时，2x+∈[，]，故当2x+=时，f（x）取得最大值为a+（1﹣a）．又f（x）的最大值2﹣1，可得a+（1﹣a）=2﹣1，求得a=﹣1，∴f（x）=﹣1+2sin（2x+）．②若1﹣a＜0，∵当x∈时，2x+∈[，]，故当2x+=或时，f（x）取得最大值为a+（1﹣a）•．又f（x）的最大值2﹣1，可得a+（1﹣a）•=2﹣1，求得a无解．③若1﹣a=0，f（x）=1，不满足条件．综上可得，a=﹣1，f（x）=﹣1+2sin（2x+）．（2）把f（x）的图象向右平移个单位，可得y=﹣1+2sin（2x﹣+）=﹣1+2sin2x的图象；再把所的图象向上平移1个单位，可得奇函数y=2sin2x的图象，此时，平移的距离最小．故若将f（x）的图象按向量平移后可以得到一个奇函数的图象，则存在=（，1），且满足||最小．18．在五棱锥P﹣ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．G 为PE的中点．（1）求AG与平面PDE所成角的大小（2）求点C到平面PDE的距离．【考点】MK：点、线、面间的距离计算；MI：直线与平面所成的角．【分析】（1）通过证明PA垂直平面ABCDE上的两条相交直线即可，在三角形PAB中运用勾股定理，可证明PA垂直于AB，在三角形PAE中，同样用勾股定理，可证明PA垂直AE，这样就可证明PA⊥平面ABCDE．通过证明AG垂直于平面PDE中的两条相交直线，在三角形中PA=AE=2a，可知AG垂直PE，再通过ED⊥平面PAE，利用线面垂直的性质，可得AG垂直于DE，则AG⊥平面PDE可证．（2）欲求点C到平面PDE的距离，只需过C点向平面PDE作垂线，但是垂足位置不容易找到，所以可以转化为其它点到平面的距离．证明CF∥DE，则点C到平面PDE的距离等于F 到平面PDE的距离，就可求F到平面PDE的距离．再由（3）中结论知FG⊥平面PDE，所以FG的长即F点到平面PDE的距离，放入△PAE中求出即可．【解答】解：（1）解：（1）证明∵PA=AB=2a，PB=2a，∴PA2+AB2=PB2，∴∠PAB=90°，即PA⊥AB．同理PA⊥AE．∵AB∩AE=A，∴PA⊥平面ABCDE．又∵∠AED=90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE，所以DE⊥AG．∵PA=AE，G为PE中点，所以AG⊥PE，∴AG⊥平面PDE；∴AG与平面PDE所成角的大小为90°；（2）解：∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°，BC=DE=a，AB=AE=2a，取AE中点F，连CF，∵AF∥=BC，∴四边形ABCF为平行四边形．∴CF∥AB，而AB∥DE，∴CF∥DE，而DE⊂平面PDE，CF⊄平面PDE，∴CF∥平面PDE．∴点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥DE．又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．∴平面PAE⊥平面PDE．∴过F作FG⊥PE于G，则 FG⊥平面PDE．∴FG的长即F点到平面PDE的距离．在△PAE中，PA=AE=2a，F为AE中点，FG⊥PE，∴FG=a．∴点C到平面PDE的距离为a．19．（1）如图，设点P，Q是线段AB的三等分点，若，，试用，表示，，并判断与的关系；（2）受（1）的启示，如果点A1，A2，A3，…，A n﹣1是AB的n（n≥3）等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．【考点】96：平行向量与共线向量．【分析】（1）由三角形法则及向量共线的数乘表示，分别用向量、表示出，相加即得用向量、表示的表达式，进而判断与的关系；（2）受（1）的启示，如果点A1，A2，A3，…，A n﹣1是AB的n（n≥3）等分点，归纳得出猜想，再数学归纳法证明结论．【解答】解：（1）如图：点P、Q是线段AB的三等分点=，则，同理，所以即：，（2）设A1，A2．，…，A n﹣1是AB的n等分点，则；证：A1，A2，，A n﹣1是线段n≥2的等分点，先证明：（1≤k≤n﹣1，n、k∈N*）．由，，因为和是相反向量，则，所以．记，相加得∴．20．设数列{a n}，{b n}满足a1=b1=6，a2=b2=4，a3=b3=3，且数列{a n+1﹣a n}（n∈N+）是等差数列，数列{b n﹣2}（n∈N+）是等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）是否存在k∈N+，使，若存在，求出k，若不存在，说明理由．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合；84：等差数列的通项公式；88：等比数列的通项公式．【分析】（1）先求出等差数列的公差，再利用a n+1﹣a n=（a2﹣a1）+（n﹣1）×1=n﹣3，表示出a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a1）+…+（a n﹣a n﹣1）即可求出数列{a n}的通项公式；同样先求出等比数列的公比，再利用即可求{b n}的通项公式；（2）先求出f（k）=a k﹣b k的表达式，并找到其单调区间的分界点，求出其函数值的范围即可得出结论．【解答】解：（1）由已知a2﹣a1=﹣2，a3﹣a2=﹣1得公差d=﹣1﹣（﹣2）=1所以a n+1﹣a n=（a2﹣a1）+（n﹣1）×1=n﹣3故a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=6+（﹣2）+（﹣1）+0+…+（n﹣4）==由已知b1﹣2=4，b2﹣2=2所以公比所以．故（2）设f（k）=a k﹣b k==所以当k≥4时，f（k）是增函数．又，所以当k≥4时，而f（1）=f（2）=f（3）=0，所以不存在k，使．21．在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，．过点M作MM1⊥y轴于M1，过N作NN1⊥x轴于点N1，．记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）．（1）求曲线C的方程；（2）问是否存在直线l，使得|BP|=|BQ|；若存在，求出直线l方程，若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）设点T的坐标为（x，y），点M的坐标为（x'，y'），可知点M1的坐标，由可得点N的坐标和N1的坐标，进而表示出和，代入，求得x和x'的关系，y和y'的关系，再代入||中求得x和y的关系，即可得到曲线C的方程；（2）当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C无交点；当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为y=k（x﹣5），联立直线方程与椭圆方程，消去y化为关于x的一元二次方程，根据判别式大于0求得k的范围，设交点P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为R（x0，y0），利用根与系数的关系得x1+x2，求得R的坐标，根据|BP|=|BQ|可得BR⊥l，再由k•k BR=﹣1，整理得20k2=20k2﹣4，此结论不成立，可判断不存在直线l，使得|BP|=|BQ|．【解答】解：（1）设点T的坐标为（x，y），点M的坐标为（x'，y'），则M1的坐标为（0，y'），由=（x′，y′），得点N的坐标为（x′，y′），N1的坐标为（x′，0），∴=（x′，0），=（0，y′）．由，得（x，y）=（x′，0）+（0，y′），∴，得x′=x，y′=．由||=，得（x′）2+（y′）2=5，∴，即．故所求曲线C的方程为；（2）点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C无交点；当直线l斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为y=k（x﹣5）．联立，得（5k2+4）x2﹣50k2x+125k2﹣20=0．依题意△=20（16﹣80k2）＞0，得﹣＜k＜．当﹣＜k＜时，设交点P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为R（x0，y0），则，．∴y0=k（x0﹣5）=k（）=．由|BP|=|BQ|，得BR⊥l，则k•k BR=﹣1，∴，即20k2=20k2﹣4，此式显然不成立，∴不存在直线l，使得|BP|=|BQ|．22．已知函数f（x）=ax2+2bx+4c（a，b，c∈R，a≠0）．（1）若函数f（x）的图象与直线y=±x均无公共点，求证：4b2﹣16ac＜﹣1；（2）若时，对于给定的负数a，有一个最大的正数M（a），使x∈[0，M（a）]时，都有|f（x）|≤5，求a为何值时M（a）最大？并求M（a）的最大值；（3）若a＞0，且a+b=1，又|x|≤2时，恒有|f（x）|≤2，求f（x）的解析式．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】（1）由于函数f（x）的图象与直线y=±x均无公共点，所以ax2+2bx+4c=±x无解，从而△＜0，故可证；（2）把b与c的值代入f（x）中，配方得到顶点式，由a小于0，得到函数有最大值，表示出这个最大值，当最大值大于5时，求出此时a的范围，又最大值小于﹣，M（a）是方程ax2+8x+3=5的较小根，利用求根公式求出M（a）即可判断出M（a）小于；当最大值小于等于5时，求出此时a的范围，最大值大于﹣，M（a）是方程ax2+8x+3=﹣5的较大根，根据求根公式求出M（a）即可判断M（a）小于等于，又大于，即可得到M （a）的最大值；（3）求出f（x）的导函数，由a大于0，求出函数有最大值让其等于2，得到a与b的关系式，由﹣2≤f（0）=4a=4a+4b+4c﹣4（a+b）=f（2）﹣4≤2﹣4=﹣2，得c的值，又因为|f（x）|≤2，所以f（x）≥﹣2=f（0），即可得到x=0时，函数取得最小值，表示出对称轴让其等于0，即可求得b的值，进而求出a的值，把a，b和c的值代入即可确定出f（x）的解析式【解答】解：（1）证明：∵函数f（x）的图象与直线y=±x均无公共点，∴ax2+2bx+4c=±x无解∴△＜0∴4b2﹣16ac＜﹣1；（2）把b=4，c=代入得：f（x）=ax2+8x+3=a +3﹣，∵a＜0，所以f（x）max=3﹣①当3﹣＞5，即﹣8＜a＜0时，M（a）满足：﹣8＜a＜0且0＜M（a）＜﹣，所以M（a）是方程ax2+8x+3=5的较小根，则M（a）==＜=；②当3﹣≤5即a≤﹣8时，此时M（a）≥﹣，所以M（a）是ax2+8x+3=﹣5的较大根，则M（a）==≤=，当且仅当a=﹣8时取等号，由于＞，因此当且仅当a=﹣8时，M（a）取最大值；（3）求得f′（x）=2ax+2b，∵a＞0，∴f（x）max=2a+2b=2，即a+b=1，则﹣2≤f（0）=4a=4a+4b+4c﹣4（a+b）=f（2）﹣4≤2﹣4=﹣2，∴4c=﹣2，解得c=﹣，又∵|f（x）|≤2，所以f（x）≥﹣2=f（0）∴f（x）在x=0处取得最小值，且0∈（﹣2，2），∴﹣=0，解得b=0，从而a=1，∴f（x）=x2﹣2．。

绝密★启用前上海市复旦附中2017-2018学年高二下学期期末数学试卷一、单选题1．在的展开式中，系数为有理数的系数为A．336项B．337项C．338项D．1009项【答案】A【解析】【分析】根据题意，求出的展开式的通项，即可得项的系数，进而分析可知若系数为有理数，必有，、2、、，即可得出答案．【详解】根据题意，的展开式的通项为；其系数为，若系数为有理数，必有，、、共有336项，故选：A．【点睛】本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题．2．如图，某几何体的三视图是三个边长为1的正方形，及每个正方形中的一条对角线，则该几何体的表面积是A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的表面积即可．【详解】几何体的直观图如图：所以几何体的表面积为：．故选：B．【点睛】本题考查了根据三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键，属于中档题.3．定义“规范01数列”{an}如下：{ an }共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有()A．18个B．16个C．14个D．12个【答案】C【解析】由题意知：当m＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0，4项为1，且必有a1＝0，a8＝1.不考虑限制条件“对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有(种)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数少于1的个数的情况有：①若a2＝a3＝1，则有(种)；②若a2＝1，a3＝0，则a4＝1，a5＝1，只有1种；③若a2＝0，则a3＝a4＝a5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14个．故选C.4．已知椭圆方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为，满足的平面区城绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为，则A．B．C．D．，无明确大小关系【答案】C【解析】【分析】根据题意画出图形，分别求出椭圆绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为与满足的平面区城绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为，则答案可求．【详解】在同一平面直角坐标系中画出椭圆与旋转体如图，椭圆绕y轴旋转一周所得的旋转体为椭球，其体积为；满足的平面区城阴影部分绕y轴旋转一周所得的旋转体是圆柱挖去一个圆锥，其体积．．故选：C．【点睛】本题主要考查了旋转体的体积及学生的计算能力，属于中档题．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题5．已知a，1，2，，则不同的复数的个数是______．【答案】16【解析】【分析】分和两种情况讨论，结合排列数公式求解．【详解】当时，复数的个数是4个；当时，由排列数公式可知，组成不同的复数的个数是个不同的复数的个数是16个．故答案为：16．【点睛】本题主要考查了排列及排列数公式，涉及分类讨论思想，属于中档题．6．一个竖直平面内的多边形，用斜二测画法得到的水平放置的直观图是一个边长为的正方形，该正方形有一组对边是水平的，则原多边形的面积是______．【答案】【解析】【分析】根据斜二测画法可知，原图形中的高在直观图中变为原来的，直观图中的高变为原高的，原来的平面图形与直观图的面积比是：1，计算即可．【详解】该多边形的直观图是一个边长为的正方形，正方形的面积为，原多边形的面积是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了斜二测画法，原图形与直观图面积的关系，属于中档题．7．已知则______．【答案】【解析】【分析】根据题意，由二项式定理可得的展开式的通项，分析可知、、为负值，在中，令可得：，即可求解．【详解】根据题意，中，其展开式的通项为，又由，则、、为负值，则在中，令可得：，又由、、为负值，则，故答案为：．【点睛】本题考查了二项式定理的应用，赋值法求项的系数和，属于中档题．8．已知球的体积是V，则此球的内接正方体的体积为______．【答案】【解析】【分析】设球的半径为R，球内接正方体的棱长为a，根据题意知球内接正方体的体对角线是球的直径，得出a与R的关系，再计算正方体的体积．【详解】设球的半径为R，球内接正方体的棱长为a，则球的体积是，；又球的内接正方体的体对角线是球的直径，即，；正方体的体积为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了球与其内接正方体的关系，属于容易题题．9．点2，，3，，4，，若的夹角为锐角，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】根据的夹角为锐角，可得，且不能同向共线解出即可得出．【详解】1，，2，，的夹角为锐角，，且不能同向共线．解得，．则的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了向量夹角公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是__________．【答案】2π1 2π【解析】设底面圆的半径为r，圆柱高为h，则2πr h =， 侧面积21S h =，全面积222212π12πS h r h ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， ∴212π12πS S +=． 11．正四面体ABCD 的棱长为2，则所有与A ，B ，C ，D 距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为______． 【答案】【解析】 【分析】根据题意知，到正四面体ABCD 四个顶点距离相等的截面分为两类：一类是由同一顶点出发的三条棱的中点构成的三角形截面，这样的截面有4个；另一类是与一组相对的棱平行，且经过其它棱的中点的四边形截面，这样的截面有3个；求出所有满足条件的截面面积之和即可． 【详解】设E 、F 、G 分别为AB 、AC 、AD 的中点，连结EF 、FG 、GE ， 则是三棱锥的中截面，可得平面平面BCD ，点A 到平面EFG 的距离等于平面EFG 与平面BCD 之间的距离，、B 、C 、D 到平面EFG 的距离相等，即平面EFG 是到四面体ABCD 四个顶点距离相等的一个平面； 正四面体ABCD 中，象这样的三角形截面共有4个．正四面体ABCD 的棱长为2，可得，是边长为1的正三角形，可得；取CD、BC的中点H、I，连结GH、HI、IE，、GH分别是、的中位线，，，得，四边形EGHI为平行四边形；又且，，，且，四边形EGHI为正方形，其边长为，由此可得正方形EGHI的面积；的中点I在平面EGHI内，、C两点到平面EGHI的距离相等；同理可得D、C两点到平面EGHI的距离相等，且A、B两点到平面EGHI的距离相等；、B、C、D到平面EGHI的距离相等，平面EGHI是到四面体ABCD四个顶点距离相等的一个平面，且正四面体ABCD中，象四边形EGHI这样的正方形截面共有3个，因此，所有满足条件的正四面体的截面面积之和等于．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正四面体的性质、点到平面距离的定义、三角形面积与四边形形面积的求法等知识，属于难题．12．从集合2，，中取出五个不同的数组成单调递增的等差数列，则所有符合条件的不同的数列个数是______．【答案】98【解析】【分析】根据题意，设满足条件的一个等差数列首项为，公差为d，确定d的可能取值为1，2，3，，7，进而分析可得答案．【详解】根据题意，设满足条件的一个等差数列首项为，公差为d，必有．则，则，则d的可能取值为1，2，3，，7．对于给定的d，，当分别取1，2，3，，时，可得递增等差数列个如：时，，当分别取1，2，3，，26时，可得递增等差数列26个：1，2，3，4，5；2，3，，6；；26，27，，30，其它同理．当d取1，2，3，，7时，可得符合要求的等差数列的个数为：个；故答案为：98．【点睛】本题主要考查了合情推理，涉及等差数列的性质，关键是确定d的取值范围，属于难题.13．在正三棱锥中，，，记二面角，的平面角依次为，，则______．【答案】2【解析】【分析】如图所示，作平面ABC，连接CO延长交AB于点D，连接可得D为AB的中点，，于是二面角的平面角为作，垂足为E点，连接BE，根据≌，可得可得为的平面角，利用余弦定理等即可得出．【详解】如图所示，作平面ABC，连接CO延长交AB于点D，连接PD．则D为AB的中点，，．二面角的平面角为．，，，．．作，垂足为E点，连接BE，≌，．为的平面角，．．在中，．．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了正三棱锥的性质、正三角形的性质、余弦定理、勾股定理、二面角、三角形全等，属于难题．14．如图，顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，母线，O是底面圆心，B是底面圆内一点，且，C为PA的中点，，垂足为D，当三棱锥的体积最大时，______．【答案】【解析】【分析】根据图形，说明PC是三棱锥的高，的面积在时取得最大值，求出OB即可．【详解】，可得，即面POB，所以面面POB．，则面PAB，，，又，，所以面即PC是三棱锥的高．而的面积在时取得最大值斜边的直角三角形．当时，由，知，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了圆锥的结构特征，棱锥的体积等知识，考查空间想象能力，属于中档题．15．已数列，令为，，，中的最大值2，，，则称数列为“控制数列”，数列中不同数的个数称为“控制数列”的“阶数”例如：为1，3，5，4，2，则“控制数列”为1，3，5，5，5，其“阶数”为3，若数列由1，2，3，4，5，6构成，则能构成“控制数列”的“阶数”为2的所有数列的首项和是______．【答案】1044【解析】【分析】根据新定义，分别利用排列、组合，求出首项为1，2，3，4，5的所有数列，再求出和即可．【详解】依题意得，首项为1的数列有1，6，a，b，c，d，故有种，首项为2的数列有2，1，6，b，c，d，或2，6，a，b，c，d，故有种，首项为3的数列有3，6，a，b，c，d，或3，1，6，b，c，d，或3，2，6，b，c，d或3，1，6，c，d或，3，2，1，6，c，d，故有种，首项为4的数列有种，即4，6，a，b，c，d，有种，4，1，6，b，c，d，或4，2，6，b，c，d，或4，3，6，b，c，d，有种，4，a，b，6，c，d，其中a，2，，则有种，4，a，b，c，6，d，其中a，b，2，，则有6种，首项为5的数列有种，即5，6，a，b，c，d，有种，5，1，6，b，c，d，或5，2，6，b，c，d，或5，3，6，b，c，d，或5，4，6，b，c，d 有种，5，a，b，6，c，d，其中a，2，3，，则有种，5，a，b，c，6，d，其中a，b，2，3，，则有24种，5，a，b，c，d，6，其中a，b，c，2，3，，则有24种，综上，所有首项的和为．故答案为：1044【点睛】本题主要考查了排列组合，考查了新定义问题，属于难题16．已知的展开式中，的系数为，则常数的值为．【答案】【解析】，所以由得，从而点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.三、解答题17．已知空间向量与的夹角为，且，，令，．求，为邻边的平行四边形的面积S；求的夹角．【答案】（1）（2）的夹角．【解析】【分析】根据向量的夹角为即可求出，从而根据即可求出面积S根据条件即可求出，和的值，根据向量夹角的余弦公式，即可求出，进而得出．【详解】根据条件，；；；；，；；的夹角．【点睛】本题主要考查了向量夹角，三角形的面积公式，向量数量积的运算，向量的模，属于中档题．18．有3名女生和5名男生，按照下列条件排队，求各有多少种不同的排队方法？名女生排在一起；名女生次序一定，但不一定相邻；名女生不站在排头和排尾，也互不相邻；每两名女生之间至少有两名男生；名女生中，A，B要相邻，A，C不相邻．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）【解析】【分析】根据题意，用捆绑法分2步分析：，3名女生看成一个整体，，将这个整体与5名男生全排列，由分步计数原理计算可得答案；根据题意，先计算8人排成一排的排法，由倍分法分析可得答案；根据题意，分2步分析：，将5名男生全排列，，将3名女生安排在5名男生形成的空位中，由分步计数原理计算可得答案；根据题意，分2种情况讨论：，两名女生之间有3名男生，另两名女生之间有2名男生，，任意2名女生之间都有2名男生，分别求出每种情况下的排法数目，由加法原理计算可得答案；根据题意，分2种情况讨论：，A、B、C三人相邻，则B在中间，A、C在两边，，A、B、C三人不全相邻，分别求出每种情况下的排法数目，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2步分析：，3名女生看成一个整体，考虑其顺序有种情况，，将这个整体与5名男生全排列，有种情况，则3名女生排在一起的排法有种；根据题意，将8人排成一排，有种排法，由于3名女生次序一定，则有种排法；根据题意，分2步分析：，将5名男生全排列，有种情况，，除去两端，有4个空位可选，在其中任选3个，安排3名女生，有种情况，则3名女生不站在排头和排尾，也互不相邻的排法有种；根据题意，将3名女生排成一排，有种情况，分2种情况讨论：，两名女生之间有3名男生，另两名女生之间有2名男生，将5名男生分成3、2的两组，分别安排在3名女生之间，有种排法；，任意2名女生之间都有2名男生，将5名男生分成2、2、1的三组，2个2人组安排在三名女生之间，1人安排在两端，有种排法；则每两名女生之间至少有两名男生的排法有种；根据题意，分2种情况分析：，A、B、C三人相邻，则B在中间，A、C在两边，三人有种排法，将3人看成一个整体，与5名男生全排列，有种情况，则此时有种排法；，A、B、C三人不全相邻，先将5名男生全排列，有种情况，将A、B看成一个整体，和C一起安排在5名男生形成的6个空位中，有种，则3名女生中，A，B要相邻，A，C不相邻的排法有种排法．【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，涉及分类、分步计数原理，属于中档题．19．在正四棱锥中，正方形ABCD的边长为，高，E是侧棱PD上的点且，F是侧棱PA上的点且，G是的重心如图建立空间直角坐标系．求平面EFG的一个法向量；求直线AG与平面EFG所成角的大小；求点A到平面EFG的距离d．【答案】（1）1，．（2）直线AG与平面EFG所成角．（3）【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出2，，4，，设平面EFG的一个法向量y，，由，能求出平面EFG的一个法向量．求出2，，由，能求出直线AG与平面EFG所成角．求出2，，由点A到平面EFG的距离，能求出结果．【详解】在正四棱锥中，正方形ABCD的边长为，高，E是侧棱PD上的点且，F是侧棱PA上的点且，G是的重心如图建立空间直角坐标系．，0，，，0，，0，，6，，0，，2，，2，，4，，设平面EFG的一个法向量y，，则，取，得：平面EFG的一个法向量1，．2，，则，直线AG与平面EFG所成角．2，，点A到平面EFG的距离．【点睛】本题主要考查了平面的法向量、线面角、点到平面的距离的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系及数形结合思想，属于中档题．20．如图，在多面体ABCDEF中，平面平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，是等腰直角三角形且，平面ADE且．求异面直线AE和DF所成角的大小；求二面角的平面角的大小．【答案】（1）异面直线AE和DF所成角的大小为（2）二面角的平面角的大小为．【解析】【分析】由已知可得DA，DC，DE两两互相垂直，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．求出的坐标，利用数量积求夹角求解异面直线AE和DF所成角的大小；分别求出平面BDF与平面DFC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的平面角的大小．【详解】平面平面ABCD，且，平面ABCD，由四边形ABCD是边长为2的正方形，，DC，DE两两互相垂直，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，又平面ADE且，0，，0，，0，，2，，2，，1，，，，则，异面直线AE和DF所成角的大小为；，，设平面BDF的一个法向量为，由，取，得，又平面DFC的一个法向量为，．由图可知，二面角为锐角，二面角的平面角的大小为．【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，二面角，属于中档题．21．设点，分别是椭园C：的左、右焦点，且椭圆C上的点到的距离的最小值为，点M，N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量与向量平行．求椭圆C的方程；当时，求的面积；当时，求直线的方程．【答案】（1）（2）4（3）．【解析】【分析】根据椭圆的简单性质可得，求解t，即可得到椭圆C的方程；可设，根据向量的数量积求出点N的坐标，由三角形面积公式可得的面积；向量与向量平行，不妨设，设，，根据坐标之间的关系，求得M的坐标，再根据向量的模，即可求出的值，根据斜率公式求出直线的斜率，根据直线平行和点斜式即可求出直线的方程．【详解】点、分别是椭圆C：的左、右焦点，，，椭圆C上的点到点的距离的最小值为，，解得，椭圆的方程为；由可得，，点N是椭圆C上位于x轴上方的点，可设，，，，，解得，，，的面积；向量与向量平行，，，，即，设，，，，，，，，，，则，，，，解得，或舍去．，，，则，，向量与向量平行，所在直线当斜率为，直线的方程为，即为．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质，向量的运算，直线斜率，属于难题．。

上海市复旦大学附属中学2017届高三上学期第一次月考数学试题1. 不等式的解为________【答案】【解析】∵，∴或，∴不等式的解为.2. 已知集合，，则________ 【答案】【解析】∵　，，∴　.3. 已知奇函数，当时，，则时，________【答案】【解析】令，则，∴，又是奇函数，所以，故填.4. 函数，的值域为________【答案】...............5. 若，则的最小值为________【答案】【解析】由得：，所以，当且仅当时，取等号，故填.6. 若是关于的一元二次方程的一个虚根，且，则实数的值为________【答案】【解析】设是方程的一个根，则是方程的另一个根，所以，又，所以，故填.7. 设集合，，若，则最大值是________ 【答案】【解析】由得：，则x=1时，时，，当时，当时，.故答案为.8. 若二项式展开式中含有常数项，则的最小取值是________【答案】【解析】展开式的通项为，令，解得，所以时，取时有最小值，故填.9. 已知方程有两个虚根，则的取值范围是________ 【答案】【解析】因为为方程两个根，所以，，方程有虚根，所以，故，故填.10. 从集合中任取两个数，要使取到的一个数大于，另一个数小于（其中）的概率是，则________【答案】【解析】从集合中任取两个数的基本事件有种，取到的一个数大于k，另一个数小于k，比k的小的数有（k-1）个．比k的大的数有（10-k）个，故有，所以取到的一个数大于k，另一个数小于k（其中k∈{5，6，7，8，9}）的概率是，解得k=7，故答案为：711. 已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是________【答案】【解析】因为是的充分非必要条件，所以是的真子集，故且等号不同时成立，解得或.故填或12. 已知关于的不等式组有唯一实数解，则实数的取值是________ 【答案】【解析】若，不等式组可化为不满足条件，若，则若不等式组，时，满足条件，解得：若，则若不等式组，时，满足条件，解得：，故填.点睛：本题主要考查二次不等式组有唯一解的问题，属于中档题.解决此类问题只需要将问题转化为研究二次函数的最大值与最小值问题即可，不等式有唯一解最大值，不等式有唯一解最小值. 13. 不等式有多种解法，其中有一种方法如下：在同一直角坐标系中作出和的图像，然后进行求解，请类比求解以下问题：设，若对任意，都有，则________【答案】【解析】类比图象法解不等式，在同一坐标系中，画出和的图象，。

2017年上海市高考数学模拟试卷一、填空题（本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分）1．计算：=．2．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）=．3．已知复数（i为虚数单位），则|z|=．4．函数，若存在锐角θ满足f（θ）=2，则θ=．5．已知球的半径为R，若球面上两点A，B的球面距离为，则这两点A，B 间的距离为．6．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n=．7．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α=．8．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2 sinB，则A角大小为．10．设f（x）=lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n=（）n，n∈N*，则=．+112．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为．二、选择题（本大题满分20分）13．已知集合A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（）A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}∈A14．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且15．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．C．D．16．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11 B．12 C．15 D．16三、解答题（本大题满分76分）17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．18．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．19．某租车公司给出的财务报表如下：1014年（1﹣121015年（1﹣121016年（1﹣11月）月）月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）20．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n=f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d=﹣1，f（x）=e x，T n=b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．2017年上海市高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分）1．计算：=﹣2．【考点】二阶矩阵．【分析】利用二阶行列式对角线法则直接求解．【解答】解：=4×1﹣3×2=﹣2．故答案为：﹣2．2．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）=16．【考点】反函数．【分析】先求出x=y2，y≥0，互换x，y，得f﹣1（x）=x2，x≥0，由此能求出f﹣1（4）．【解答】解：∵函数f（x）=y=的反函数是f﹣1（x），∴x=y2，y≥0，互换x，y，得f﹣1（x）=x2，x≥0，∴f﹣1（4）=42=16．故答案为：16．3．已知复数（i为虚数单位），则|z|=2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：复数（i为虚数单位），则|z|==2．故答案为：2、4．函数，若存在锐角θ满足f（θ）=2，则θ=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】运用两角和的正弦公式和特殊角的正弦函数值，计算即可得到所求值．【解答】解：函数=2（sinx+cosx）=2sin（x+），由若存在锐角θ满足f（θ）=2，即有2sin（θ+）=2，解得θ=﹣=．故答案为：．5．已知球的半径为R，若球面上两点A，B的球面距离为，则这两点A，B 间的距离为R．【考点】球面距离及相关计算．【分析】两点A、B间的球面距离为，可得∠AOB=，即可求出两点A，B 间的距离．【解答】解：两点A、B间的球面距离为，∴∠AOB=．∴两点A，B间的距离为R，故答案为：R．6．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n=8．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n=256，解得n．【解答】解：由题意可得：2n=256，解得n=8．故答案为：8．7．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α=2k2﹣1．【考点】二倍角的正弦．【分析】利用两角差的余弦函数公式化简已知等式，进而两边平方利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：∵，∴（cosα+sinα）=k，可得：cosα+sinα=k，∴两边平方可得：cos2α+sin2α+2cosαsinα=2k2，可得：1+sin2α=2k2，∴sin2α=2k2﹣1．故答案为：sin2α=2k2﹣1．8．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为[﹣2，1] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），可得y2=1﹣，=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，则x2∈[0，4]，的取值范围为[﹣2，1]．【解答】解：如下图所示，在直角坐标系中作出椭圆：由椭圆，a=2，b=1，c=，则焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），由，可得y2=1﹣；=（﹣﹣x，﹣y），﹣=（﹣x，﹣y）；=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，由题意可知：x∈[﹣2，2]，则x2∈[0，4]，∴的取值范围为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2 sinB，则A角大小为．【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【分析】先利用正弦定理化简sinC=2sinB，得到c与b的关系式，代入中得到a2与b2的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．【解答】解：由sinC=2sinB得：c=2b，所以=•2b2，即a2=7b2，则cosA===，又A∈（0，π），所以A=．故答案为：10．设f（x）=lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由题意，f（x）=lgx在（0，+∞）上单调递增，利用f（﹣a）﹣f（a）＞0，可得﹣a＞a＞0，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意，f（x）=lgx在（0，+∞）上单调递增，∵f（1﹣a）﹣f（a）＞0，∴1﹣a＞a＞0，∴a∈，故答案为11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n=（）n，n∈N*，则=﹣．+1【考点】极限及其运算．【分析】由已知推导出S2n=（1﹣），S2n﹣1=1+，从而a2n=S2n =﹣[1+（1﹣）]，由此能求出．﹣S2n﹣1【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，，n∈N*，∴（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）===（1﹣）=（1﹣），∴S2n=（1﹣），a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2n+a2n﹣1）﹣2=1+=1+=1+，=1+，∴S2n﹣1∴a2n=S2n﹣S2n﹣1=﹣[1+（1﹣）]，∴=﹣[1+（1﹣）]==﹣．故答案为：．12．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为90．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，利用相似比，可得结论．【解答】解：取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，∵△ABC的面积为360，∴△PAB的面积=△ADE的面积==90．故答案为90．二、选择题（本大题满分20分）13．已知集合A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（）A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}∈A【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可得结论．【解答】解：根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可知B 正确．故选B．14．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：A．当x=1，y=0时，满足|x|≥1时，但|x|+|y|=1＞1不成立，不满足条件．B．当x=1，y=0时，满足|x+y|≥1时，但|x|+|y|=1＞1不成立，不满足条件．C．当y≤﹣2时，|y|≥2，则|x|+|y|＞1成立，即充分性成立，满足条件．D．当且，则|x|+|y|≥1，等取等号时，不等式不成立，即充分性不成立，不满足条件．故选：C．15．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．C．D．【考点】曲线与方程．【分析】由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y﹣1=0（x2+y2≥1），即可得出结论．【解答】解：由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y﹣1=0（x2+y2≥1），故选C．16．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11 B．12 C．15 D．16【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，且2，4不同时出现，同时出现有4个，即可得出结论．【解答】解：由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，有15个，且2，4不同时出现，同时出现有4个，故满足题意的M有11个，故选：A．三、解答题（本大题满分76分）17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 【分析】（1）设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ，则OA ⊥平面BCD ．由经能求出S 圆锥侧．（2）该几何体的体积V=（S △BCD +S 半圆）•AO ，由此能求出结果． 【解答】解：（1）设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ， ∵A 是圆锥的顶点，BD 是圆锥底面的直径， ∴OA ⊥平面BCD ．∵BD=2，BC=1，AC 与底面所成角的大小为，过点A 作截面ABC ，ACD ，∴在Rt △AOC 中，OC=1，，AC=2，AO=，∴S 圆锥侧=πrl==2π．（2）该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体， ∵AO=，∠BCD=90°，∴CD=，该几何体的体积V=（S △BCD +S 半圆）•AO ==．18．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），即可求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求出P的坐标，利用夹角公式，即可求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．【解答】解：（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），∴双曲线方程为x2﹣y2=2；（2），显然∠F1PF2的角平分线所在直线斜率k存在，且k＞0，，，于是．∴为所求．19．某租车公司给出的财务报表如下：1014年（1﹣12月）1015年（1﹣12月）1016年（1﹣11月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据空驶率的计算公式为，带入计算即可；（2）根据T2016的值，求出k的值，从而求出2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程．【解答】解：（1），，∴2014、2015年，该公司空驶率分别为41.14%和38.00%．（2），T2016=38%﹣20%=18%．由，∴2016年前11个月的平均每单油费为12.98元，平均每单里程为15.71km．20．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n=f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d=﹣1，f（x）=e x，T n=b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a4，a7，a8成等比数列，可得=a4•a8，可得（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化简解出即可得出．．（2）依题意，a n=15+2（n﹣1）=2n+13，b n=|2n﹣8|，对n分类讨论，利用等差数列的求和公式即可得出．（3）依题意，a n=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，利用指数运算性质、等差数列的求和公式及其二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵a4，a7，a8成等比数列，∴=a4•a8，∴（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化为：d2+2d=0，∵d≠0，∴d=﹣2．（2）依题意，a n=15+2（n﹣1）=2n+13，b n=|2n﹣8|，∴，∴．（3）依题意，a n=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，，∴当n=15或16时，T n最大．21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据“位差奇函数”的定义．考查h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m ﹣2m=2m（2x﹣1）即可，（2）依题意，是奇函数，求出φ；（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．假设h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需．【解答】解：（1）对于f（x）=2x+1，f（x+m）﹣f（m）=2（x+m）+1﹣（2m+1）=2x，∴对任意实数m，f（x+m）﹣f（m）是奇函数，即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；对于g（x）=2x，记h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m﹣2m=2m（2x﹣1），由h（x）+h（﹣x）=2m（2x﹣1）+2m（2﹣x﹣1）=0，当且仅当x=0等式成立，∴对任意实数m，g（x+m）﹣g（m）都不是奇函数，则g（x）不是“位差奇函数”；（2）依题意，是奇函数，∴（k∈Z）．（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．依题意，h（x）对任意都不是奇函数，若h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需，且c∈R．2017年2月1日。

2017-2018学年上海市复旦附中高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．当时，方程所表示的曲线是（）A．焦点在轴的椭圆B．焦点在轴的双曲线C．焦点在轴的椭圆D．焦点在轴的双曲线【答案】D【解析】【分析】先化简方程得，即得曲线是焦点在轴的双曲线.【详解】化简得，因为ab＜0,所以＞0，所以曲线是焦点在轴的双曲线.故答案为：D【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 2．已知的方程，点是圆内一点，以为中心点的弦所在的直线为，直线的方程为，则（）A．，且与圆相离B．，且与圆相交C．与重合，且与圆相离D．，且与圆相交【答案】A【解析】【分析】利用直线m是以P为中点的弦所在的直线可求得其斜率，进而根据直线n的方程可判断出两直线平行；表示出点到直线n的距离，根据点P在圆内判断出a，b和r的关系，进而判断出圆心到直线n的距离大于半径，判断出二者的关系是相离．【详解】直线m是以P为中点的弦所在的直线∴直线m⊥PO，∴m的斜率为﹣，∵直线n的斜率为﹣，∴n∥m圆心到直线n的距离为∵P在圆内，∴a2+b2＜r2，∴＞r，∴直线n与圆相离.故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查直线的位置关系，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)判断直线与圆的位置关系常用的方法，(几何法)：比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系：①②③3．椭圆上有个不同的点，椭圆右焦点，数列是公差大于的等差数列，则的最大值为（）A．2017 B．2018 C．4036 D．4037【答案】C【解析】【分析】由已知求出c，可得椭圆上点到点F距离的最大最小值，由等差数列的通项公式求得公差，再由公差大于求得n的最大值．【详解】由已知椭圆方程可得：a2=16，b2=15，则c=1．∴|P1F|=a﹣c=3，当n最大时，|P n F|=a+c=5．设公差为d，则5=3+（n﹣1）d，∴d=，由，可得n＜4037，∴n的最大值为4036．故答案为：C【点睛】（1）本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查等差数列的通项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题解题的关键是分析得到当n最大时，|P n F|=a+c=5．4．如图，过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若，则的大小为（）A．15°B．30°C．45°D．不确定【答案】B【解析】【分析】画出图形，利用抛物线的简单几何性质转化求解即可．【详解】取AB中点C，连结MC，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，以AB为直径的圆与准线l的公共点为M，根据抛物线性质，∴MC平行于x轴，且MF⊥AB，∵∠AMF=60°，∴∠CAM=∠CMA=30°，∴∠CMF=∠MFO=30°，故答案为：B【点睛】（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查平面几何知识，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是证明MC平行于x轴，且MF⊥AB.二、填空题5．准线方程为的抛物线标准方程为_______【答案】【解析】【分析】根据准线方程得到抛物线的开口方向和p的值，即得抛物线的标准方程.【详解】，所以抛物线的开口向上，设抛物线方程为，所以抛物线的标准方程为.故答案为：【点睛】(1)本题主要考查抛物线的标准方程的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)求抛物线的标准方程，一般利用待定系数法，先定位，后定量. 6．已知圆和点，则过点的圆的切线方程为______【答案】【解析】【分析】先由题得到点A在圆上，再设出切线方程为利用直线和圆相切得到k的值，即得过点A的圆的切线方程.【详解】因为，所以点在圆上，设切线方程为即kx-y-k+2=0,因为直线和圆相切，所以，所以切线方程为，所以切线方程为，故答案为：【点睛】（1）本题主要考查圆的切线方程的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)点到直线的距离.7．若椭圆的弦被点（4，2）平分，则此弦在直线的斜率为_______【答案】【解析】【分析】利用点差法求直线的斜率.【详解】设弦的端点为则，所以所以所以.故答案为：【点睛】（1）本题主要考查点差法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 如果已知中涉及圆锥曲线的弦的中点，一般利用点差法，可以减少运算，提高解题效率.使用点差法，一般先“设点代点”，再作差，最后化简，最后可以得到中点的坐标和直线的斜率的关系.8．参数方程（为参数，且）化为普通方程是_____【答案】【解析】【分析】由题得，再把两式相加即得参数方程的普通方程.【详解】由题得，两式相加得.所以普通方程为.故答案为:【点睛】(1)本题主要考查参数方程化普通方程，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 参数方程消参常用的方法有三种.①加减消参：直接把两个方程相加减即可消去参数.②代入消参：通过其中的一个方程求出参数的值，再代入另外一个方程化简.③恒等式消参：通过方程计算出，再利用三角恒等式消去参数.9．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为______【答案】4【解析】【分析】由题得，解之即得a的值.【详解】由题得，所以a=4,故答案为：4【点睛】（1）本题主要考查椭圆和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)椭圆中，双曲线中10．设和为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积是_______【答案】【解析】【分析】先求出双曲线的a,b,c,再利用求出，即得三角形的面积.【详解】由题得.由题得所以.故答案为：【点睛】(1)本题主要考查双曲线的几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形的面积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答圆锥曲线问题时，看到焦点和焦半径要联想到曲线的定义提高解题效率.11．已知抛物线的焦点和，点为抛物线上的动点，则取到最小值时点的坐标为________【答案】【解析】【分析】设点P在准线上的射影为D，由抛物线的定义把问题转化为求|PA|+|PD|的最小值，同时可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得．【详解】过点P作PB垂直于准线，过A作AH垂直于准线，PA+PF=PA+PB≤AH，此时最小，点P与点A的坐标为相同，所以点P为.故答案为：【点睛】(1)本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2) 解答圆锥曲线问题时，看到焦点和焦半径要联想到曲线的定义提高解题效率.12．双曲线的左右焦点分别为、，为右支上一点，且，则双曲线渐近线的夹角为_______【答案】，或【解析】【分析】利用双曲线的定义，求出，通过焦点三角形面积公式求出b，然后求出双曲线的渐近线方程，即可得到双曲线渐近线的夹角．【详解】根据题意，，由焦点三角形面积公式,渐近线为，夹角为，或.故答案为：，或【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，注意焦点三角形面积公式的应用．13．已知定点和定圆，动圆和圆外切，且经过点，求圆心的轨迹方程_______【答案】双曲线的左支【解析】【分析】画出图形，利用双曲线的定义转化求解即可．【详解】结合图象可得，|MQ|﹣|MP|=4，可得a=2，c=4，则b=，M的轨迹为双曲线的左支．故答案为：双曲线的左支．【点睛】(1)本题主要考查点的轨迹方程,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求轨迹方程的四种主要方法:①待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程.②代入法：如果点的运动是由于点的运动引起的，可以先用点的坐标表示点的坐标，然后代入点满足的方程，即得动点的轨迹方程.③直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程.④参数法：动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参.14．（题文）设直线与抛物线相交于、两点，与圆相切于点，且为线段的中点，若这样的直线恰有4条，则的取值范围是_______【答案】（2，4）【解析】设直线的方程为，，把直线的方程代入抛物线方程，整理可得：则，，则线段的中点由题意可得直线与直线垂直，且当时，有即，整理得把代入到可得，即由于圆心到直线的距离等于半径即，此时满足题意且不垂直于轴的直线有两条当时，这样的直线恰有条，即，综上所述，若这样的直线恰有条，则的取值范围是点睛：本题主要考查的知识点是直线与抛物线，圆的位置关系，考查了学生分析解决问题的能力，属于中档题。

2017年上海中学高考数学模拟试卷（1）一、填空题1．定义在R上的奇函数f（x）以2为周期，则f（1）=．2．如果复数（b∈R）的实部和虚部互为相反数，则b等于．3．若（1+2x）n展开式中含x3项的系数等于含x项系数的8倍，则正整数n=．4．（文）若，则目标函数z=2x+y的最小值为．5．已知a＜0，则关于x的不等式的解集为．6．点P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限内时，P点的纵坐标为．7．数列{a n}满足：a n=，它的前n项和记为S n，则S n=．8．某市为加强城市圈的建设，计划对周边如图所示的A、B、C、D、E、F、G、H八个中小城市进行综合规划治理，第一期工程拟从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市A被选中的概率为．9．若方程仅有一个实数根，则k的取值范围是．10．在△ABC中，已知|AB|=2，，则△ABC面积的最大值为．11．如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合，则需要个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．12．若函数y=a x（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=的图象分别交于点A、B，若|AB|=，则a约等于（精确到0.1）．13．老师告诉学生小明说，“若O为△ABC所在平面上的任意一点，且有等式，则P点的轨迹必过△ABC的垂心”，小明进一步思考何时P点的轨迹会通过△ABC的外心，得到的条件等式应为=．（用O，A，B，C四个点所构成的向量和角A，B，C的三角函数以及λ表示）二．选择题14．若函数y=cos2x与函数y=sin（x+φ）在区间上的单调性相同，则φ的一个值是（）A．B．C．D．15．△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长为（）A．4sin（B+）+3 B．4sin（B+）+3 C．6sin（B+）+3 D．6sin （B+）+316．若点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y=1上，则点P（c，），Q（，b）和l 的关系是（）A．P和Q都在l上B．P和Q都不在l上C．P在l上，Q不在l上D．P不在l上，Q在l上17．数列{a n}满足：a1=，a2=，且a1a2+a2a3+…+a n a n+1=na1a n+1对任何的正整数n都成立，则的值为（）A．5032 B．5044 C．5048 D．5050三．解答题18．已知函数的最小正周期为π，且当x=时，函数有最小值．（1）求f（x）的解析式；（2）作出f（x）在[0，π]范围内的大致图象．19．设虚数z满足|2z+15|=|+10|．（1）计算|z|的值；（2）是否存在实数a，使∈R？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．20．如图所示，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为，且侧面ABB1A1垂直于底面．（1）判断B1C与C1A是否垂直，并证明你的结论；（2）求四棱锥B﹣ACC1A1的体积．21．在新的劳动合同法出台后，某公司实行了年薪制工资结构改革．该公司从2008年起，每人的工资由三个项目构成，并按下表规定实施：如果该公司今年有5位职工，计划从明年起每年新招5名职工．（1）若今年算第一年，将第n年该公司付给职工工资总额y（万元）表示成年限n的函数；（2）若公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费的总和总不会超过基础工资总额的p%，求p的最小值．22．已知函数f（x）=（|x|﹣b）2+c，函数g（x）=x+m．（1）当b=2，m=﹣4时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数c的取值范围；（2）当c=﹣3，m=﹣2时，方程f（x）=g（x）有四个不同的解，求实数b的取值范围．23．若给定椭圆C：ax2+by2=1（a＞0，b＞0，a≠b）和点N（x0，y0），则称直线l：ax0x+by0y=1为椭圆C的“伴随直线”．（1）若N（x0，y0）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；（2）命题：“若点N（x0，y0）在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；（3）若N（x0，y0）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点（异于A、B），设，，问λ1+λ2是否为定值？说明理由．2017年上海中学高考数学模拟试卷（1）参考答案与试题解析一、填空题1．定义在R上的奇函数f（x）以2为周期，则f（1）=0．【考点】3Q：函数的周期性；3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据f（x）是奇函数可得f（﹣x）=﹣f（x），又根据f（x）是以2为周期的周期函数得f（x+2）=f（x），取x=﹣1可求出f（1）的值．【解答】解：∵f（x）是以2为周期的周期函数，∴f（1）=f（﹣1），又函数f（x）是奇函数，∴﹣f（1）=f（﹣1）=f（1），∴f（1）=f（﹣1）=0故答案为：02．如果复数（b∈R）的实部和虚部互为相反数，则b等于0．【考点】A2：复数的基本概念；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成复数的代数标准形式，根据实部和虚部互为相反数，得到实部和虚部和为0，得到结果．【解答】解：∵===，∵实部和虚部互为相反数，∴，∴，∴b=0，故答案为：03．若（1+2x）n展开式中含x3项的系数等于含x项系数的8倍，则正整数n=5．【考点】DC：二项式定理的应用．=C n r（2x）r=2r C n r x r分别令r=3，r=1可得含x3，x项的系【分析】由题意可得T r+1数，从而可求=C n r（2x）r=2r C n r x r【解答】解：由题意可得二项展开式的通项，T r+1令r=3可得含x3项的系数为：8C n3，令r=1可得含x项的系数为2C n1∴8C n3=8×2C n1∴n=5故答案为：54．（文）若，则目标函数z=2x+y的最小值为4．【考点】7C：简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+y，过可行域内的点A（1，2）时的最小值，从而得到z最小值即可．【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，A（1，2），（4，2），C（1，5），则目标函数z=2x+y的最小值为4．故答案为：4．5．已知a＜0，则关于x的不等式的解集为（2a，﹣a）∪（﹣a，﹣4a）．【考点】R2：绝对值不等式．【分析】把不等式转化为0＜|x+a|＜﹣3a，利用绝对值不等式的几何意义，即可求出不等式的解集．【解答】解：因为a＜0，则关于x的不等式，所以不等式0＜|x+a|＜﹣3a，根据绝对值不等式的几何意义：数轴上的点到﹣a的距离大于0并且小于﹣3a，可知不等式的解集为：（2a，﹣a）∪（﹣a，﹣4a）．故答案为：（2a，﹣a）∪（﹣a，﹣4a）．6．点P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限内时，P点的纵坐标为．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10，根据椭圆方程求得焦距，利用内切圆的性质把三角形PF1F2分成三个三角形分别求出面积，再利用面积相等建立等式求得P点纵坐标．【解答】解：根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10，|F1F2|=6，令内切圆圆心为O则=++=（|PF1|r+|PF2|r+|F1F2|r）=（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）•1=8又∵=|F1F2|•y P=3y P．所以3y p=8，y p=．故答案为7．数列{a n}满足：a n=，它的前n项和记为S n，则S n=．【考点】8E：数列的求和；6F：极限及其运算．【分析】先分奇数与偶数分别求前n项和记为S n，再求它们的极限．【解答】解：当n=2k时，当n=2k+1时，∴S n=故答案为8．某市为加强城市圈的建设，计划对周边如图所示的A、B、C、D、E、F、G、H八个中小城市进行综合规划治理，第一期工程拟从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市A被选中的概率为．【考点】C7：等可能事件的概率．【分析】把城市A被选中的情况和城市A未被选中的情况都找出来，即可得到城市A被选中的概率．【解答】解：从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市A被选中的情况有：ACE、ACF、ACG、ACH、ADF、ADG、ADH、AEG、AEH、AFH，共10种．则城市A未被选中的情况有：BDF、BDG、BDH、BEG、BEH、BFH、CEG、CEH、CFH、DFH 共10种．故城市A被选中的概率为：=，故答案为：．9．若方程仅有一个实数根，则k的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）∪{0} ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】据题意设y1=，y2=﹣kx+2，画出函数y1=图象，结合图象，即可得到k的取值范围．【解答】解：根据题意设y1=，y2=﹣kx+2，当k=0时，方程只有一个解x=0，满足题意；当k≠0时，根据题意画出图象，如图所示：根据图象可知，当﹣k＞1或﹣k＜﹣1时，直线y=﹣kx+2与y=只有一个交点，即方程只有一个解，综上，满足题意k的取值范围为k=0或k＞1或k＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）∪{0}10．在△ABC中，已知|AB|=2，，则△ABC面积的最大值为．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；93：向量的模；HP：正弦定理．【分析】由题意可得：|AC|=|BC|，设△ABC三边分别为2，a，a，三角形面积为S，根据海仑公式得：16S2=﹣a4+24a2﹣16=﹣（a2﹣12）2+128，再结合二次函数的性质求出答案即可．【解答】解：由题意可得：|AC|=|BC|，设△ABC三边分别为2，a，a，三角形面积为S，所以设p=所以根据海仑公式得：S==，所以16S2=﹣a4+24a2﹣16=﹣（a2﹣12）2+128，当a2=12时，即当a=2时，△ABC的面积有最大值，并且最大值为2．故答案为．11．如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合，则需要24个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．【考点】L3：棱锥的结构特征；L2：棱柱的结构特征．【分析】先把判断几何体的形状，把展开图沿虚线折叠，得到一个四棱锥，求出体积，再计算棱长为12的正方体的体积，让正方体的体积除以四棱锥的体积，结果是几，就需要几个四棱锥．【解答】解：把该几何体沿图中虚线将其折叠，使P，Q，R，S四点重合，所得几何体为下图中的四棱锥，且底面四边形ABCD为边长是6的正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，PD=6=×6×6×6=72∴V四棱锥P﹣ABCD∵棱长为12的正方体体积为12×12×12=1728∵，∴需要24个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．故答案为2412．若函数y=a x（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=的图象分别交于点A、B，若|AB|=，则a约等于8.4（精确到0.1）．【考点】4R：反函数．【分析】根据题意画出图形，如图，设A（x，a x），函数y=a x（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=的图象关于直线x﹣y=0 对称，得出点A到直线y=x的距离为AB的一半，利用点到直线的距离公式及A（x，a x）在函数y=的图象上得到a=（）≈8.4即可．【解答】解：根据题意画出图形，如图，设A（x，a x），∵函数y=a x（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=的图象关于直线x﹣y=0 对称，∴|AB|=，⇒点A到直线y=x的距离为，∴⇒a x﹣x=2，①又A（x，a x）在函数y=的图象上，⇒a x=，②由①②得：﹣x=2⇒x=，∴a﹣（﹣1）=2，⇒a=（）≈8.4故答案为：8.4．13．老师告诉学生小明说，“若O为△ABC所在平面上的任意一点，且有等式，则P点的轨迹必过△ABC的垂心”，小明进一步思考何时P点的轨迹会通过△ABC的外心，得到的条件等式应为=．（用O，A，B，C四个点所构成的向量和角A，B，C的三角函数以及λ表示）【考点】F3：类比推理；LL：空间图形的公理．【分析】由题意可得：•=0，即与垂直，设D为BC的中点，则=，可得=，即可得到，进而得到点P在BC的垂直平分线上，即可得到答案．【解答】解：由题意可得：•=﹣||+||=0∴与垂直设D为BC的中点，则=，所以，所以=，因为与垂直所以，又∵点D为BC的中点，∴点P在BC的垂直平分线上，即P的轨迹会通过△ABC的外心．故答案为：．二．选择题14．若函数y=cos2x与函数y=sin（x+φ）在区间上的单调性相同，则φ的一个值是（）A．B．C．D．【考点】H5：正弦函数的单调性；HA：余弦函数的单调性．【分析】可把A，B，C，D四个选项中的值分别代入题设中进行验证，只有D项的符合题意．【解答】解：y=cos2x在区间上是减函数，y=sin（x+）[0，]上单调增，在[，]上单调减，故排除A．y=sin（x+）在[0，]单调增，在[，]上单调减，故排除B．y=sin（x+）在[0，]单调增，在[，]上单调减，故排除C．在区间上也是减函数，故选D．15．△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长为（）A．4sin（B+）+3 B．4sin（B+）+3 C．6sin（B+）+3 D．6sin （B+）+3【考点】HP：正弦定理．【分析】根据正弦定理分别求得AC和AB，最后三边相加整理即可得到答案．【解答】解：根据正弦定理，∴AC==2sinB，AB==3cosB+sinB∴△ABC的周长为2sinB+3cosB+sinB+3=6sin（B+）+3故选D．16．若点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y=1上，则点P（c，），Q（，b）和l 的关系是（）A．P和Q都在l上B．P和Q都不在l上C．P在l上，Q不在l上D．P不在l上，Q在l上【考点】IH：直线的一般式方程与直线的性质．【分析】先根据点M、N在直线上，则点坐标适合直线方程，通过消元法可求得a与c的关系，从而可判定点P（c，），Q（，b）和l 的关系，选出正确选项．【解答】解：∵点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y=1上∴a+=1，b+=1则b=即+=1化简得c+=1∴点P（c，）在直线l上而b+=1则Q（，b）在直线l上故选A．17．数列{a n }满足：a 1=，a 2=，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=na 1a n +1对任何的正整数n 都成立，则的值为（ ） A ．5032B ．5044C ．5048D ．5050【考点】8H ：数列递推式；8E ：数列的求和．【分析】a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=na 1a n +1，①；a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+a n +1a n +2=（n +1）a 1a n +2，②；①﹣②，得﹣a n +1a n +2=na 1a n +1﹣（n +1）a 1a n +2，，同理，得=4，整理，得，是等差数列．由此能求出．【解答】解：a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=na 1a n +1，① a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+a n +1a n +2=（n +1）a 1a n +2，② ①﹣②，得﹣a n +1a n +2=na 1a n +1﹣（n +1）a 1a n +2，∴， 同理，得=4，∴=，整理，得，∴是等差数列．∵a 1=，a 2=，∴等差数列的首项是，公差，．∴==5044．故选B ．三．解答题18．已知函数的最小正周期为π，且当x=时，函数有最小值．（1）求f（x）的解析式；（2）作出f（x）在[0，π]范围内的大致图象．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）=1﹣sin，再由它的周期等于π求出ω=1，故f（x）=1﹣sin．（2）由x∈[0，π]，可得2x+∈[，]，列表作图即得所求．【解答】解：（1）∵=+1﹣=1﹣sin．由于它的最小正周期为π，故=π，∴ω=1．故f（x）═1﹣sin．（2）∵x∈[0，π]，∴2x+∈[，]．列表如下：如图：19．设虚数z满足|2z+15|=|+10|．（1）计算|z|的值；（2）是否存在实数a，使∈R？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【考点】A8：复数求模．【分析】（1）设z=a+bi（a，b∈R且b≠0）则代入条件|2z+15|=|+10|然后根据复数的运算法则和模的概念将上式化简可得即求出了|z|的值（2）对于此种题型可假设存在实数a使∈R根据复数的运算法则设（z=c+bi（c，b∈R且b≠0））可得=+（）∈R即=0再结合b≠0和（1）的结论即可求解．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R且b≠0）则∵|2z+15|=|+10|∴|（2a+15）+2bi|=|（a+10）﹣bi|∴=∴a2+b2=75∴∴|z|=（2）设z=c+bi（c，b∈R且b≠0）假设存在实数a使∈R则有=+（）∈R∴=0∵b≠0∴a=由（1）知=5∴a=±520．如图所示，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为，且侧面ABB1A1垂直于底面．（1）判断B1C与C1A是否垂直，并证明你的结论；（2）求四棱锥B﹣ACC1A1的体积．【考点】MI：直线与平面所成的角；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）判断知，B1C与C1A垂直，可在平面BA1内，过B1作B1D⊥AB于D，证明B1C⊥平面ABC1，再由线面垂直的定义得出线线垂直；（2）由图形知，，变换棱锥的底与高后，求出它的体积即可；【解答】解：（1）B1C⊥C1A证明如下：在平面BA1内，过B1作B1D⊥AB于D，∵侧面BA1⊥平面ABC，∴B1D⊥平面ABC，∠B1BA是BB1与平面ABC所成的角，∴∠B1BA=π﹣=，连接BC1，∵BB1CC1是菱形，∴BC1⊥B1C，CD⊥平面A1B，B1D⊥AB，∴B 1C ⊥AB ， ∴B 1C ⊥平面ABC 1， ∴B 1C ⊥C 1A ．（2）解：由题意及图，答：四棱锥B ﹣ACC 1A 1的体积为221．在新的劳动合同法出台后，某公司实行了年薪制工资结构改革．该公司从2008年起，每人的工资由三个项目构成，并按下表规定实施：如果该公司今年有5位职工，计划从明年起每年新招5名职工．（1）若今年算第一年，将第n 年该公司付给职工工资总额y （万元）表示成年限n 的函数；（2）若公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费的总和总不会超过基础工资总额的p%，求p 的最小值． 【考点】8B ：数列的应用．【分析】（1）y=10n（1+10%）n +0.2n 2+1.8n ，n ∈N * （2）由0.2n 2+1.8n ≤10n ⋅1.1n ⋅p%，得p%≥，令a n =，由此能求出p 的最小值．【解答】解：（1）y=10n （1+10%）n +0.2n 2+1.8n ，n ∈N * （2）由0.2n 2+1.8n ≤10n ⋅1.1n ⋅p%， 得p%≥， 令a n =，由，得1≤n≤2，∴p%≥a1=a2=，∴p≥．22．已知函数f（x）=（|x|﹣b）2+c，函数g（x）=x+m．（1）当b=2，m=﹣4时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数c的取值范围；（2）当c=﹣3，m=﹣2时，方程f（x）=g（x）有四个不同的解，求实数b的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】（1）将b=2，m=﹣4代入函数解析式，根据f（x）≥g（x）恒成立将c 分离出来，研究不等式另一侧函数的最大值即可求出c的取值范围；（2）将c=﹣3，m=﹣2代入函数解析式得（|x|﹣b）2=x+1有四个不同的解，然后转化成（x﹣b）2=x+1（x≥0）有两个不同解以及（x+b）2=x+1（x＜0）也有两个不同解，最后根据根的分布建立关系式，求出b的取值范围．【解答】解：（1）∵当b=2，m=﹣4时，f（x）≥g（x）恒成立，∴c≥x﹣4﹣（|x|﹣2）2=，由二次函数的性质得c≥﹣．（2）（|x|﹣b）2﹣3=x﹣2，即（|x|﹣b）2=x+1有四个不同的解，∴（x﹣b）2=x+1（x≥0）有两个不同解以及（x+b）2=x+1（x＜0）也有两个不同解，由根的分布得b≥1且1＜b＜，∴1＜b＜．23．若给定椭圆C：ax2+by2=1（a＞0，b＞0，a≠b）和点N（x0，y0），则称直线l：ax0x+by0y=1为椭圆C的“伴随直线”．（1）若N（x0，y0）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；（2）命题：“若点N（x0，y0）在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；（3）若N（x0，y0）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点（异于A、B），设，，问λ1+λ2是否为定值？说明理由．【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1），由根的差别式能得到l与椭圆C相切．（2）逆命题：若直线l：ax0x+by0y=1与椭圆C相交，则点N（x0，y0）在椭圆C 的外部．是真命题．联立方程得（aby02+a2x02）x2﹣2ax0x+1﹣by02=0．由△=4a2x02﹣4a（by02+ax02）（1﹣by02）＞0，能求出N（x0，y0）在椭圆C的外部．（3）此时l与椭圆相离，设M（x1，y1），A（x，y）则代入椭圆C：ax2+by2=1，利用M在l上，得（ax02+by02﹣1）λ12+ax12+by12﹣1=0．由此能求出λ1+λ2=0．【解答】解：（1）即ax2﹣2ax0x+ax02=0∴△=4a2x02﹣4a2x02=0∴l与椭圆C相切．（2）逆命题：若直线l：ax0x+by0y=1与椭圆C相交，则点N（x0，y0）在椭圆C 的外部．是真命题．联立方程得（aby02+a2x02）x2﹣2ax0x+1﹣by02=0则△=4a2x02﹣4a（by02+ax02）（1﹣by02）＞0∴ax02﹣by02+b2y04﹣ax02+abx02y02＞0∴by02+ax02＞1∴N（x0，y0）在椭圆C的外部．（3）同理可得此时l与椭圆相离，设M（x1，y1），A（x，y）则代入椭圆C：ax2+by2=1，利用M在l上，即ax0x1+by0y1=1，整理得（ax02+by02﹣1）λ12+ax12+by12﹣1=0同理得关于λ2的方程，类似．即λ1、λ2是（ax02+by02﹣1）λ2+ax12+by12﹣1=0的两根∴λ1+λ2=0．2017年7月7日。

2017学年度第二学期 高三数学测试卷1一、填空题1. 已知集合7|03x A x x -⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，函数()lg 4y x =-的定义域为集合B ，则A B ⋂=____________ 2, 若11abi i=--，其中,a b 都是实数，i 是虚数单位，则a bi +=____________ 3. 已知角α的终边过点()()4,30P a a a ->，则2sin cos αα+的值是____________4. 若二元一次线性方程组346x ay ax y +=⎧⎨+=⎩无解，则实数a 的值是____________5. 圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与轴所成的角的大小是____________6. 已知()7270127x m a a x a x a x -=++++，其中435a =-，m ∈R ，则01237a a a a a +++++=____________7. 以抛物线28x y =上的一点A 为圆心作圆，如果该圆经过抛物线的顶点和焦点，那么点A 到此抛物线的准线的距离为____________8. 设,x y 满足约束条件：320200,0x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为2，则11a b+的最小值为____________ 9. 若矩阵a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的元素为随机从1、2、4、8中选取的4个不同数值，则对应的行列式a b c d 的值为正数的概率为____________10. 在ABC 中，边BC=2，AB =C 的取值范围是____________11. 设()f x 和()g x 是定义在R 上的两个函数，12,x x 是R 上任意两个不等的实数，给出下列命题：（1）若()()()()1212f x f x g x g x +≥+恒成立，且()y f x =是奇函数，则函数()y g x =是奇函数；（2）若()()()()1212f x f x g x g x -≥-恒成立，且()y f x =是周期函数，则函数()y g x =是周期函数；（3）若()()()()1212f x f x g x g x ->-恒成立，且()y f x =是R 上的增函数，则函 数()()()h x f x g x =+与函数()()()'h x f x g x =-在R 上都是单调增函数. 则正确命题的序号是____________（写出所有正确序号） 12. 已知集合(){12,,,|0n n j A a a a a ==或1，()}1,2,,,2j n n =≥，对于(),,,n U V A d U V ∈表示U 和V 中相对应的元素不同的个数，若给定6U A ∈，则所有的(),d U V 和为____________二、选择题13. “0a b +>”是“任意的[]0,1x ∈，0ax b +>恒成立”的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 14. 若20AB BC AB ⋅+=，则ABC 为（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形 15. 函数ln 1y x =-的图像与函数()cos 24y x x π=--≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） A. 6 B. 5C. 4D. 316. 已知x 、y 均为实数，记{},max ,,x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，{},min ,,y x yx y x x y ≥⎧=⎨<⎩，若i 表示虚数单位，且11a x y i =+，22b x y i =+，1122,,,x y x y ∈R ，则（ ） A. {}{}min ,min ,a b a b a b +-≤ B. {}{}max ,max ,a b a b a b +-≤ C. {}2222min ,a b a bab +-≥+D. {}2222max ,a b a bab +-≥+三、解答题17. 如图，已知PA ⊥平面ABC ，AC AB ⊥，AP=BC=2，30CBA ∠=︒，D ，E 分别是BC ，AP 的中点.（1）求异面直线AC 与ED 所成的角的大小；（2）求PDE 绕直线PA 旋转一周所构成的旋转体的表面积.18. 已知函数()222cos f x x x a =-+（,a R a ∈为常数）. （1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）若,46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为4，求a 的值.19. 对于函数()()()12,,f x f x h x ，如果存在实数,a b 使得()()()12h x a f x b f x =⋅+⋅，那么称()h x 为()()12,f x f x 的生成函数.（1）下面给出两组函数，()h x 是否分别为()()12,f x f x 的生成函数？并说明理由； 第一组：()1sin f x x =，()2cos f x x =，()sin 3h x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； 第二组：()21f x x x =-，()221f x x x =++，()21h x x x =-+；（2）设()12log f x x =，()212log f x x =，2a =，1b =，生成函数()h x ，若不等式()()420h x th x +<在[]2,4x ∈上有解，求实数t 的取值范围.20. 已知()()122,0,2,0F F -，点T 满足122TF TF -=，记点T 的轨迹为曲线E ，法向量为(),1n a =的直线l 过点2F ，直线l 与曲线E 交于P 、Q 两点. （1）求曲线E 的方程；（2）过P 、Q 作y 轴的垂线PA 、QB ，垂足分别记为A 、B ，若PQ AB λ=，试确定λ的取值范围；（3）在x 轴上是否存在点M ，无论直线l 绕点2F 怎样转动，MP MQ ⊥都成立？如果存在，求出定点M 的坐标；如果不存在，请说明理由.21. 已知无穷数列{}n a 为等差数列，无穷数列{}n b 为等比数列. （1）如果112a b ==，4416a b ==，1212111n n n na a a c nab b b +++=++++，求lim n n c →∞；（2）找出所有数列{}n a 和{}n b ，使得对一切*n N ∈，都有1n n na b a +=，并说明理由； （3）已知110a b a ==>，22a b a =>，求证：当*2,n n N >∈时，n n b a >.参考答案1、()3,4 2 3、25- 4、2- 5、30 6、07、3 8、3+ 9、13 10、0,3π⎛⎤⎥⎝⎦11、（1）（2）（3） 12、19213-16、DBAD17、（1）arccos4；（2）π18、（1）π；,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦；（2）7a =19、（1）第一组是，1,2a b ==；第二组：不是；（2）43t <-20、（1）2213y x -=，()1x ≥；（2）1,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（3）()1,0M - 21、（1）32；（2）{}n a 为非零常数列，1n b =；（3）证明略。

2017届高三第二学期数学综合测试五2017.6一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分,共70分)1. 已知集合{}1|22,|21212x A x B x x x ⎧⎫=<<=+=+⎨⎬⎩⎭，则A B =.2.某公司共600名员工，其中男员工350人，女员工250人，为了调查员工的健康状况,采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，应抽取男员工人数为 人。

3。

行列式132201142---中3-的代数余子式的值等于 .4.已知()arccos cos x x =，则实数x 的取值范围是 . 5．在ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C 所对的边，C 32sin a c A =，则角C 的大小为 。

6.已知定义域为(],0-∞的函数()f x 满足()22f x x x =-，则()13f -= 。

7.如果函数()()23log 0,0ax f x a b x b +=>>-的定义域关于原点对称，那么3a b +的最小值是 .8。

有甲、乙两台机床生产某种零件，甲获得正品乙不是正品的概率为14，乙获得正品甲不是正品的概率为16，且每台获得正品的概率均大于12,则甲乙同时生产这种零件，至少一台获得正品的概率是 。

9.已知()4,4,P M 是曲线28:8x t C y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数）上的一个动点,设M点到曲线C 准线的距离为12,d MP d =,则当12d d -取得最大时，直线MP 的倾斜角为 。

10.直线:2l ax by +=与圆224x y +=交于不同的两点,A B ,O 为坐标原点，若0OA OB ⋅>，则动点(),M a b 在平面上形成的点的轨迹图形的面积为 。

11.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且21445n a n n =-+-，则对任意(),n m m n N *>∈,n mS S -的最大值是 。

2017年上海市青浦区高考数学一模试卷一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．已知复数z=2+i（i为虚数单位），则．2．已知集合，则A∩B=．3．在二项式（x+）6的展开式中，常数项是．4．等轴双曲线C：x2﹣y2=a2与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长等于．5．如果由矩阵=表示x，y的二元一次方程组无解，则实数a=．6．执行如图所示的程序框图，若输入n=1的，则输出S=．7．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为．8．设数列{a n}的通项公式为a n=n2+bn，若数列{a n}是单调递增数列，则实数b 的取值范围为．9．将边长为10的正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△A′B′C′，则△A′B′C′中最短边的边长为．（精确到0.01）10．已知点A是圆O：x2+y2=4上的一个定点，点B是圆O上的一个动点，若满足|+|=|﹣|，则•=．11．若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：对任意x∈D，点（x，g（x）与点（x，h（x）都关于点（x，f（x）对称，则称h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”．已知g（x）=，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）≥g（x）恒成立，则实数b的取值范围是．=ka n+3k﹣3，其中k为不等于0 12．已知数列{a n}满足：对任意的n∈N*均有a n+1与1的常数，若a i∈{﹣678，﹣78，﹣3，22，222，2222}，i=2，3，4，5，则满足条件的a1所有可能值的和为．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．已知f（x）=sin x，A={1，2，3，4，5，6，7，8}现从集合A中任取两个不同元素s、t，则使得f（s）•f（t）=0的可能情况为（）A．12种B．13种C．14种D．15种14．已知空间两条直线m，n两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊊α，n⊊β⇒n⊥α；③m∥n；m∥α⇒n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β．其中正确的序号是（）A．①④B．②③C．①②④D．①③④15．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am（0＜a＜12），不考虑树的粗细．现用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD．设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u=f（a）（单位m2）的图象大致是（）A．B．C．D．16．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=}；②M={（x，y）|y=log2x}；③M={（x，y）|y=2x﹣2}；④M={（x，y）|y=sinx+1}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．在如图所示的组合体中，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ABB1A1是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合的一个点．（Ⅰ）若圆柱的轴截面是正方形，当点C是弧AB的中点时，求异面直线A1C与AB1的所成角的大小；（Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1﹣BCC1B1与圆柱的体积比．18．已知函数f（x）=sin2x+cos2（﹣x）﹣（x∈R）．（1）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值；（2）在△ABC中，若A＜B，且f（A）=f（B）=，求的值．19．如图，F1，F2分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且焦距为2，动弦AB平行于x轴，且|F1A|+|F1B|=4．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P是椭圆C上异于点、A，B的任意一点，且直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，若MF2、NF2的斜率分别为k1、k2，求证：k1•k2是定值．20．如图，已知曲线及曲线，C1上的点P1的横坐标为．从C1上的点作直线平行于x轴，交曲线C2于Q n点，再从C2上的点作直线平行于y轴，交曲线C1于P n点，点P n（n=1，2，3…）的横坐标构成数列{a n}．+1（1）求曲线C1和曲线C2的交点坐标；与a n之间的关系；（2）试求a n+1（3）证明：．21．已知函数f（x）=x2﹣2ax（a＞0）．（1）当a=2时，解关于x的不等式﹣3＜f（x）＜5；（2）对于给定的正数a，有一个最大的正数M（a），使得在整个区间[0，M（a）]上，不等式|f（x）|≤5恒成立．求出M（a）的解析式；（3）函数y=f（x）在[t，t+2]的最大值为0，最小值是﹣4，求实数a和t的值．2017年上海市青浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．已知复数z=2+i（i为虚数单位），则=3﹣4i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把复数z代入z2，然后展开，再求出得答案．【解答】解：由z=2+i，得z2=（2+i）2=3+4i，则=3﹣4i．故答案为：3﹣4i．2．已知集合，则A∩B=[﹣1，3）．【考点】交集及其运算．【分析】利用指数函数的性质求出集合A中不等式的解集，确定出集合A，求出集合B中函数的定义域，确定出B，找出两集合的公共部分，即可求出两集合的交集．【解答】解：集合A中的不等式变形得：2﹣1≤2x＜24，解得：﹣1≤x＜4，∴A=[﹣1，4）；由集合B中函数得：9﹣x2＞0，即x2＜9，解得：﹣3＜x＜3，∴B=（﹣3，3），则A∩B=[﹣1，3）．故答案为：[﹣1，3）3．在二项式（x+）6的展开式中，常数项是4320．【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式的常数项．=•6r•x6﹣2r，【解答】解：二项式（x+）6的展开式的通项公式为T r+1令6﹣2r=0，求得r=3，可得常数项为=4320，故答案为：4320．4．等轴双曲线C：x2﹣y2=a2与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长等于4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】抛物线y2=16x的准线为x=﹣4．与双曲线的方程联立解得．可得4=|AB|=，解出a 即可得出．【解答】解：抛物线y2=16x的准线为x=﹣4．联立，解得．∴4=|AB|=，解得a2=4．∴a=2．∴双曲线C的实轴长等于4．故答案为：4．5．如果由矩阵=表示x，y的二元一次方程组无解，则实数a=﹣2．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】由矩阵=表示x，y的二元一次方程组无解，得到，即可求出a．【解答】解：∵由矩阵=表示x，y的二元一次方程组无解，∴，∴a=﹣2．故答案为﹣2．6．执行如图所示的程序框图，若输入n=1的，则输出S=log319．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，当n=19时满足条件n＞3，退出循环，可得：S=log319，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1不满足条件n＞3，执行循环体，n=3，不满足条件n＞3，执行循环体，n=19，满足条件n＞3，退出循环，可得：S=log319．故答案为：log319．7．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为16π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可．【解答】解：∵设圆锥的母线长是l，底面半径为r，母线与底面所成的角为，可得①∵侧面积是20π，∴πrl=20π，②由①②解得：r=4，l=5，故圆锥的高h===3则该圆锥的体积为：×πr2×3=16π故答案为：16π．8．设数列{a n}的通项公式为a n=n2+bn，若数列{a n}是单调递增数列，则实数b 的取值范围为（﹣3，+∞）．【考点】数列的函数特性．【分析】数列{a n}是单调递增数列，可得∀n∈N*，a n+1＞a n，化简整理，再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是单调递增数列，∴∀n∈N*，a n＞a n，+1（n+1）2+b（n+1）＞n2+bn，化为：b＞﹣（2n+1），∵数列{﹣（2n+1）}是单调递减数列，∴n=1，﹣（2n+1）取得最大值﹣3，∴b＞﹣3．即实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．故答案为：（﹣3，+∞）．9．将边长为10的正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△A′B′C′，则△A′B′C′中最短边的边长为 3.62．（精确到0.01）【考点】斜二测法画直观图．【分析】由题意，正三角形ABC的高为5，利用余弦定理求出△A′B′C′中最短边的边长．【解答】解：由题意，正三角形ABC的高为5，∴△A′B′C′中最短边的边长为≈3.62．故答案为3.62．10．已知点A是圆O：x2+y2=4上的一个定点，点B是圆O上的一个动点，若满足|+|=|﹣|，则•=4．【考点】向量在几何中的应用．【分析】由|+|=|﹣|⇒（+）2=（﹣）2⇒•=0，∴AO⊥BO，∴△AOB是边长为2的等腰直角三角形，即可求•=||||cos45°．【解答】解：由|+|=|﹣|⇒（+）2=（﹣）2⇒•=0，∴AO⊥BO，∴△AOB是边长为2的等腰直角三角形，则•=||||cos45°=2×=4．故答案为：411．若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：对任意x∈D，点（x，g（x）与点（x，h（x）都关于点（x，f（x）对称，则称h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”．已知g（x）=，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）≥g（x）恒成立，则实数b的取值范围是[，+∞）．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】根据对称函数的定义，结合h（x）≥g（x）恒成立，转化为点到直线的距离d≥1，利用点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：解：∵x∈D，点（x，g（x））与点（x，h（x））都关于点（x，f （x））对称，∴g（x）+h（x）=2f（x），∵h（x）≥g（x）恒成立，∴2f（x）=g（x）+h（x）≥g（x）+g（x）=2g（x），即f（x）≥g（x）恒成立，作出g（x）和f（x）的图象，若h（x）≥g（x）恒成立，则h（x）在直线f（x）的上方，即g（x）在直线f（x）的下方，则直线f（x）的截距b＞0，且原点到直线y=3x+b的距离d≥1，d=⇒b≥或b（舍去）即实数b的取值范围是[，+∞），12．已知数列{a n}满足：对任意的n∈N*均有a n=ka n+3k﹣3，其中k为不等于0+1与1的常数，若a i∈{﹣678，﹣78，﹣3，22，222，2222}，i=2，3，4，5，则满足条件的a1所有可能值的和为．【考点】数列递推式．+3=k（a n+3），再对a1=﹣3与a1≠﹣3讨论，特别是【分析】依题意，可得a n+1a1≠﹣3时对公比k分|k|＞1与|k|＜1，即可求得a1所有可能值，从而可得答案．=ka n+3k﹣3，【解答】解：∵a n+1∴a n+3=k（a n+3），+1∴①若a1=﹣3，则a1+1+3=k（a1+3）=0，a2=﹣3，同理可得，a3=a4=a5=﹣3，即a1=﹣3复合题意；②若a1≠﹣3，k为不等于0与1的常数，则数列{a n+3}是以k为公比的等比数列，∵a i∈{﹣678，﹣78，﹣3，22，222，2222}，i=2，3，4，5，a n+3可以取﹣675，﹣75，25，225，∵﹣75=25×（﹣3），225=﹣75×（﹣3），﹣675=225×（﹣3），∴若公比|k|＞1，则k=﹣3，由a2+3=22+3=﹣3（a1+3）得：a1=﹣﹣3=﹣；若公比|k|＜1，则k=﹣，由a2+3=﹣675=﹣（a1+3）得：a1=2025﹣3=2022；综上所述，满足条件的a1所有可能值为﹣3，﹣，2022．∴a1所有可能值的和为：﹣3﹣+2022=．．故答案为：．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．已知f（x）=sin x，A={1，2，3，4，5，6，7，8}现从集合A中任取两个不同元素s、t，则使得f（s）•f（t）=0的可能情况为（）A．12种B．13种C．14种D．15种【考点】三角函数的化简求值．【分析】对于s值，求出函数的值，然后用排列组合求出满足f（s）•f（t）=0的个数．【解答】解：已知函数f（x）=sin x，A={1，2，3，4，5，6，7，8}，现从A中任取两个不同的元素s、t，则使得f（s）•f（t）=0，s=3时f（s）=cos=0，满足f（s）•f（t）=0的个数为s=3时8个t=3时8个，重复1个，共有15个．故选D．14．已知空间两条直线m，n两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊊α，n⊊β⇒n⊥α；③m∥n；m∥α⇒n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β．其中正确的序号是（）A．①④B．②③C．①②④D．①③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，两条平行线中的一条垂直一个平面，另一条也垂直此平面；②，n与α不一定垂直；③，m∥n；m∥α⇒n∥α或n⊂α；④，m∥n，m⊥α⇒n⊥α，又∵α∥β⇒n⊥β．【解答】解：已知空间两条直线m，n两个平面α，β对于①，两条平行线中的一条垂直一个平面，另一条也垂直此平面，故正确；对于②，n与α不一定垂直，显然错误；对于③，m∥n；m∥α⇒n∥α或n⊂α，故错；对于④，m∥n，m⊥α⇒n⊥α，又∵α∥β⇒n⊥β，故正确．故选：A．15．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am（0＜a＜12），不考虑树的粗细．现用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD．设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u=f（a）（单位m2）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】求矩形ABCD面积的表达式，又要注意P点在长方形ABCD内，所以要注意分析自变量的取值范围，并以自变量的限制条件为分类标准进行分类讨论．判断函数的图象即可．【解答】解：设AD长为x，则CD长为16﹣x又因为要将P点围在矩形ABCD内，∴a≤x≤12则矩形ABCD的面积为x（16﹣x），当0＜a≤8时，当且仅当x=8时，S=64当8＜a＜12时，S=a（16﹣a）S=，分段画出函数图形可得其形状与C接近故选：B．16．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=}；②M={（x，y）|y=log2x}；③M={（x，y）|y=2x﹣2}；④M={（x，y）|y=sinx+1}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足：曲线y=f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．【解答】解：由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足：曲线y=f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．①M={（x，y）|y=}，其图象向左向右和x轴无限接近，向上和y轴无限接近，据幂函数的图象和性质可知，在图象上任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y=的图象相交，即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，故M={（x，y）|y=}是“垂直对点集”．②M={（x，y）|y=log2x}，（x＞0），取（1，0），则不存在点（x2，log2x2）（x2＞0），满足1×x2+0=0，因此集合M不是“垂直对点集”；对于③M={（x，y）|y=2x﹣2}，其图象过点（0，﹣1），且向右向上无限延展，向左向下无限延展，据指数函数的图象和性质可知，在图象上任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y=2x﹣2的图象相交，即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，故M={（x，y）|y=2x﹣2}是“垂直对点集”．对于④M={（x，y）|y=sinx+1}，在图象上任取一点A，连OA，过原点作直线OA的垂线OB，因为y=sinx+1的图象沿x轴向左向右无限延展，且与x轴相切，因此直线OB总会与y=sinx+1的图象相交．所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直对点集”，故④符合；综上可得：只有①③④是“垂直对点集”．故选：C三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．在如图所示的组合体中，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ABB1A1是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合的一个点．（Ⅰ）若圆柱的轴截面是正方形，当点C是弧AB的中点时，求异面直线A1C与AB1的所成角的大小；（Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1﹣BCC1B1与圆柱的体积比．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；异面直线及其所成的角．【分析】（Ⅰ）取BC的中点D，连接OD，AD，则OD∥A1C，∠AOD（或其补角）为异面直线A1C与AB1的所成角，利用余弦定理，可求异面直线A1C与AB1的所成角的大小；（II）设圆柱的底面半径为r，母线长度为h，当点C是弧弧AB的中点时，求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积，求出三棱锥A1﹣ABC的体积为，从而求出四棱锥A1﹣BCC1B1的体积，再求出圆柱的体积，即可求出四棱锥A1﹣BCC1B1与圆柱的体积比．【解答】解：（Ⅰ）如图，取BC的中点D，连接OD，AD，则OD∥A1C，∴∠AOD（或其补角）为异面直线A1C与AB1的所成角，设正方形的边长为2，则△AOD中，OD=A1C=，AO=，AD=，∴cos∠AOD==∴∠AOD=；（Ⅱ）设圆柱的底面半径为r，母线长度为h，当点C是弧AB的中点时，，，，∴．18．已知函数f（x）=sin2x+cos2（﹣x）﹣（x∈R）．（1）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值；（2）在△ABC中，若A＜B，且f（A）=f（B）=，求的值．【考点】三角函数的最值．【分析】（1）利用三角恒等变换的应用可化简f（x）=sin（2x﹣），再利用正弦函数的单调性可求函数f（x）在区间[0，]上的最大值；（2）在△ABC中，由A＜B，且f（A）=f（B）=，可求得A=，B=，再利用正弦定理即可求得的值．【解答】（本题满分14分）第（1）小题满分，第（2）小题满分．解：f（x）=sin2x+cos2（﹣x）﹣=•+﹣=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）（1）由于0≤x≤，因此﹣≤2x﹣≤，所以当2x﹣=即x=时，f（x）取得最大值，最大值为1；（2）由已知，A、B是△ABC的内角，A＜B，且f（A）=f（B）=，可得：2A﹣=，2B﹣=，解得A=，B=，所以C=π﹣A﹣B=，得==．19．如图，F1，F2分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且焦距为2，动弦AB平行于x轴，且|F1A|+|F1B|=4．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P是椭圆C上异于点、A，B的任意一点，且直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，若MF2、NF2的斜率分别为k1、k2，求证：k1•k2是定值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意焦距求得c，由对称性结合|F1A|+|F1B|=4可得2a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）设B（x0，y0），P（x1，y1），则A（﹣x0，y0），分别写出PA、PB所在直线方程，求出M、N的坐标，进一步求出MF2、NF2的斜率分别为k1、k2，结合A、B在椭圆上可得k1•k2是定值．【解答】解：（1）∵焦距，∴2c=2，得c=，由椭圆的对称性及已知得|F1A|=|F2B|，又∵|F1A|+|F1B|=4，|F1B|+|F2B|=4，因此2a=4，a=2，于是b=，因此椭圆方程为；（2）设B（x0，y0），P（x1，y1），则A（﹣x0，y0），直线PA的方程为，令x=0，得，故M（0，）；直线PB的方程为，令x=0，得，故N（0，）；∴，，因此．∵A，B在椭圆C上，∴，∴．20．如图，已知曲线及曲线，C1上的点P1的横坐标为．从C1上的点作直线平行于x轴，交曲线C2于Q n点，再从C2上的点作直线平行于y轴，交曲线C1于P n点，点P n（n=1，2，3…）的横坐标构成数列{a n}．+1（1）求曲线C1和曲线C2的交点坐标；（2）试求a n与a n之间的关系；+1（3）证明：．【考点】数列与解析几何的综合．【分析】（1）取立，能求出曲线C1和曲线C2的交点坐标．（2）设P n（），，由已知，能求出．（3）由，，得与异号，由．此能证明a2n﹣1【解答】解：（1）∵曲线及曲线，取立，得x=，y=，∴曲线C1和曲线C2的交点坐标是（）．（2）设P n（），，由已知，又，===，．证明：（3）a n＞0，由，，得与异号，∵0＜a1，，，，．∴a2n﹣121．已知函数f（x）=x2﹣2ax（a＞0）．（1）当a=2时，解关于x的不等式﹣3＜f（x）＜5；（2）对于给定的正数a，有一个最大的正数M（a），使得在整个区间[0，M（a）]上，不等式|f（x）|≤5恒成立．求出M（a）的解析式；（3）函数y=f（x）在[t，t+2]的最大值为0，最小值是﹣4，求实数a和t的值．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）a=2时，把不等式﹣3＜f（x）＜5化为不等式组﹣3＜x2﹣4x＜5，求出解集即可；（2）由二次函数的图象与性质，讨论a＞0时|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立时，M（a）最大，此时对应的方程f（x）=±5根的情况，从而求出M （a）的解析式；（3）f（x）=（x﹣a）2﹣a2（t≤x≤t+2），显然f（0）=f（2a）=0，分类讨论，利用y=f（x）在[t，t+2]的最大值为0，最小值是﹣4，求实数a和t的值．【解答】解：（1）当a=2时，函数f（x）=x2﹣4x，∴不等式﹣3＜f（x）＜5可化为﹣3＜x2﹣4x＜5，解得，∴不等式的解集为（﹣1，1）∪（3，5）；（2）∵a＞0时，f（x）=x2﹣2ax=（x﹣a）2﹣a2，∴当﹣a2＜﹣5，即a＞时，要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，M（a）只能是x2﹣2ax=﹣5的较小的根，即M（a）=a﹣；当﹣a2≥﹣5，即0＜a≤时，要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，M（a）只能是x2﹣2ax=5的较大的根，即M（a）=a+；综上，M（a）=．（3）f（x）=（x﹣a）2﹣a2（t≤x≤t+2），显然f（0）=f（2a）=0．①若t=0，则a≥t+1，且f（x）min=f（a）=﹣4，或f（x）min=f（2）=﹣4，当f（a）=﹣a2=﹣4时，a=±2，a=﹣2不合题意，舍去当f（2）=4﹣4a=﹣4时，a=2，②若t+2=2a，则a≤t+1，且f（x）min=f（a）=﹣4，或f（x）min=f（2a﹣2）=﹣4，当f（a）=﹣a2=﹣4时，a=±2，若a=2，t=2，符合题意；若a=﹣2，则与题设矛盾，不合题意，舍去当f（2a﹣2）=﹣4时，a=2，t=2综上所述，a=2，t=0和a=2，t=2符合题意．。

2017年上海市复旦附中高考数学模拟试卷〔5月份〕1．函数f〔x〕=lnx+的定义域为．2．假设双曲线x2﹣y2=a2〔a＞0〕的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a=．3．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为．4．假设方程x2+x+p=0有两个虚根α、β，且|α﹣β|=3，则实数p的值是．5．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为．6．将函数的图象向左平移m〔m＞0〕个单位长度，得到的函数y=f〔x〕在区间上单调递减，则m的最小值为．7．假设的展开式中含有常数项，则当正整数n取得最小值时，常数项的值为．8．假设关于x，y，z的三元一次方程组有唯一解，则θ的取值的集合是．9．假设实数x，y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是．10．如图，在△ABC中，AB=AC=3，cos∠BAC=，=2，则•的值为．11．已知f 〔x 〕=的最大值和最小值分别是M 和m ，则M +m= ．12．已知四数a 1，a 2，a 3，a 4依次成等比数列，且公比q 不为1．将此数列删去一个数后得到的数列〔按原来的顺序〕是等差数列，则正数q 的取值集合是 ．13．直线〔t 为参数〕的倾角是〔 〕 A ．B ．arctan 〔﹣2〕C ．D ．π﹣arctan214．“x ＞0，y ＞0”是“”的〔 〕A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件15．假设一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是〔 〕 A ．B ．C ．2+D ．1+16．对数列{a n }，如果∃k ∈N *及λ1，λ2，…，λk ∈R ，使a n +k =λ1a n +k ﹣1+λ2a n +k ﹣2+…+λk a n 成立，其中n ∈N *，则称{a n }为k 阶递归数列．给出以下三个结论： ①假设{a n }是等比数列，则{a n }为1阶递归数列； ②假设{a n }是等差数列，则{a n }为2阶递归数列； ③假设数列{a n }的通项公式为，则{a n }为3阶递归数列．其中，正确结论的个数是〔 〕 A ．0 B ．1 C ．2 D ．317．假设向量，在函数的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为，且当的最大值为1．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的解析式；〔Ⅱ〕求函数f〔x〕的单调递增区间．18．如图，O为总信号源点，A，B，C是三个居民区，已知A，B都在O的正东方向上，OA=10km，OB=20km，C在O的北偏西45°方向上，CO=5km．〔1〕求居民区A与C的距离；〔2〕现要经过点O铺设一条总光缆直线EF〔E在直线OA的上方〕，并从A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m〔m为常数〕．设∠AOE=θ〔0≤θ＜π〕，铺设三条分光缆的总费用为w〔元〕．①求w关于θ的函数表达式；②求w的最小值及此时tanθ的值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1；〔1〕求二面角C﹣PB﹣E的余弦值；〔2〕在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC？假设存在，求出点M的位置，假设不存在，说明理由．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M〔x0，y0〕是椭圆C： +y2=1上一点，从原点O向圆M：〔x﹣x0〕2+〔y﹣y0〕2=r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q．直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2〔1〕假设圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；〔2〕假设r=，①求证：k1k2=﹣；②求OP•OQ的最大值．21．已知m是一个给定的正整数，m≥3，设数列{a n}共有m项，记该数列前i 项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，该数列后m﹣i项a i+1，a i+2，…，a m中的最小项为B i，r i=A i﹣B i〔i=1，2，3，…，m﹣1〕；〔1〕假设数列{a n}的通项公式为〔n=1，2，…，m〕，求数列{r i}的通项公式；〔2〕假设数列{a n}满足a1=1，r1=﹣2〔i=1，2，…，m﹣1〕，求数列{a n}的通项公式；〔3〕试构造项数为m的数列{a n}，满足a n=b n+c n，其中{b n}是公差不为零的等差数列，{c n}是等比数列，使数列{r i}是单调递增的，并说明理由．2017年上海市复旦附中高考数学模拟试卷〔5月份〕参考答案与试题解析1．函数f〔x〕=lnx+的定义域为{x|0＜x≤1} ．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据函数f〔x〕的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，从而求出f〔x〕的定义域．【解答】解：∵函数f〔x〕=lnx+，∴，解得0＜x≤1；∴函数f〔x〕的定义域为{x|0＜x≤1}．故答案为：{x|0＜x≤1}．2．假设双曲线x2﹣y2=a2〔a＞0〕的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a=．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线y2=4x的方程求出焦点坐标，得到双曲线的c值，进而根据双曲线的性质得到答案．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为〔1，0〕，故双曲线x2﹣y2=a2〔a＞0〕的右焦点坐标为〔1，0〕，故c=1，由双曲线x2﹣y2=a2的标准方程为：，故2a2=1，又由a＞0，∴a=．故答案为：3．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为17．【考点】B3：分层抽样方法．【分析】根据学生的人数比，利用分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：设从高一年级学生中抽出x人，由题意得=，解得x=18，则从高三年级学生中抽取的人数为55﹣20﹣18=17人，故答案为：17．4．假设方程x2+x+p=0有两个虚根α、β，且|α﹣β|=3，则实数p的值是﹣2．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】方程x2+x+p=0有两个虚根α、β，可得α+β=﹣1，αβ=p．利用|α﹣β|=，即可得出．【解答】解：方程x2+x+p=0有两个虚根α、β，则α+β=﹣1，αβ=p．∴|α﹣β|===3，解得p=﹣2故答案为：﹣2．5．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】把所求的事件记为A，再根据题意列出所有的基本领件，找出事件A所包括的基本领件，代入古典概型的随机事件的概率公式求出答案．【解答】解：设事件A为：两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数，则所有的基本领件有：〔1，1〕，〔1，2〕，〔1，3〕〔2，1〕，〔2，2〕，〔2，3〕，〔3，1〕，〔3，2〕，〔3，3〕共9种，则事件A包括：〔1，2〕，〔2，1〕，〔2，2〕，〔2，3〕，〔3，2〕共5种，即P〔A〕=，故答案为：．6．将函数的图象向左平移m〔m＞0〕个单位长度，得到的函数y=f〔x〕在区间上单调递减，则m的最小值为．【考点】HJ：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．【分析】利用函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律求得f〔x〕的解析式，再利用正弦函数的单调性求得m的最小值．【解答】解：将函数的图象向左平移m〔m＞0〕个单位长度，可得y=sin〔2x+2m+〕的图象，由2kπ+≤2x+2m+≤2kπ+，可得kπ﹣m+≤x≤kπ+，故函数y=sin〔2x+2m+〕的减区间为[kπ﹣m+，kπ﹣m+]，k∈Z．∵得到的函数y=f〔x〕在区间上单调递减，∴kπ﹣m+≤﹣，≤kπ﹣m+，求得m≥kπ+，且m≤kπ+，∴m的最小值为，故答案为：．7．假设的展开式中含有常数项，则当正整数n取得最小值时，常数项的值为．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于0，求出满足条件的n值，再求常数项．【解答】解：展开式的通项公式为=•〔3x2〕n﹣r•=•3n﹣r••x2n﹣5r；T r+1令2n﹣5r=0，且n∈N*，r≥0，解得n=5，r=2时满足题意，此时常数项为：•35﹣2•=．故答案为：．8．假设关于x，y，z的三元一次方程组有唯一解，则θ的取值的集合是．【考点】OX：矩阵的应用．【分析】根据题意三元一次方程组的系数行列式不为0时，方程组有唯一解，从而问题可解．【解答】解：由题意三元一次方程组的系数行列式不为0时，方程组有唯一解∴，∴∴sinθ﹣sin3θ≠0∴sinθ≠0或sin2θ≠1∴故答案为9．假设实数x，y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是14．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=|x|+2y得y=﹣|x|+z，平移曲线y=﹣|x|+z，由图象可知当曲线y=﹣|x|+z经过点A，曲线y=﹣|x|+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A〔﹣4，5〕，代入z=|x|+2y=4+2×5=14．即目标函数z=|x|+2y最大值为14．故答案为：1410．如图，在△ABC中，AB=AC=3，cos∠BAC=，=2，则•的值为﹣2．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的加法的三角形法以及向量的数量积的定义计算即可．【解答】解：∵=﹣，∴•=〔+〕•，=〔+〕•，=〔+﹣〕〔﹣〕，=〔+〕〔﹣〕，=〔•+﹣2〕，=〔3×3×+32﹣2×32〕，=﹣2，故答案为：﹣2．11．已知f〔x〕=的最大值和最小值分别是M和m，则M+m=4．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】化简f〔x〕，再设g〔x〕=，〔﹣1≤x≤1〕，判断g〔x〕的奇偶性，可得g〔x〕的最值互为相反数，即可得到所求最值之和．【解答】解：f〔x〕===2+，设g〔x〕=，〔﹣1≤x≤1〕，g〔﹣x〕==﹣=﹣g〔x〕，即g〔x〕为奇函数，可设g〔x〕的最大值为t，则最小值为﹣t，可得M=t+2，m=﹣t+2，即有M+m=4．故答案为：4．12．已知四数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1．将此数列删去一个数后得到的数列〔按原来的顺序〕是等差数列，则正数q的取值集合是{， } ．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】因为公比q不为1，所以不能删去a1，a4．设{a n}的公差为d，分类讨论，即可得出结论．【解答】解：因为公比q不为1，所以不能删去a1，a4．设{a n}的公差为d，则①假设删去a2，则由2a3=a1+a4得2a1q2=a1+a1q3，即2q2=1+q3，整理得q2〔q﹣1〕=〔q﹣1〕〔q+1〕．又q≠1，则可得q2=q+1，又q＞0解得q=；②假设删去a3，则由2a2=a1+a4得2a1q=a1+a1q3，即2q=1+q3，整理得q〔q﹣1〕〔q+1〕=q﹣1．又q≠1，则可得q〔q+1〕=1，又q＞0解得q=．综上所述，q=．故答案为：{， }．13．直线〔t为参数〕的倾角是〔〕A．B．arctan〔﹣2〕C．D．π﹣arctan2【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】直线的参数方程消去参数t，能求出直线的普通方程，由此能求出直线的斜率，从而能求出直线的倾斜角．【解答】解：直线〔t为参数〕消去参数t，得直线的普通方程为2x+y﹣=0，∴直线的斜率k=﹣2，∴直线的倾斜角α=π﹣arctan2．故选：D．14．“x＞0，y＞0”是“”的〔〕A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“x＞0，y＞0”⇔“”，反之不成立，例如取x=y=﹣1．【解答】解：“x＞0，y＞0”⇔“”，反之不成立，例如取x=y=﹣1．∴x＞0，y＞0”是“”的充分而不必要条件．故选：A．15．假设一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是〔〕A．B．C．2+D．1+【考点】LD：斜二测法画直观图．【分析】水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．【解答】解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+，S=〔1++1〕×2=2+．故选：C16．对数列{a n }，如果∃k ∈N *及λ1，λ2，…，λk ∈R ，使a n +k =λ1a n +k ﹣1+λ2a n +k ﹣2+…+λk a n 成立，其中n ∈N *，则称{a n }为k 阶递归数列．给出以下三个结论： ①假设{a n }是等比数列，则{a n }为1阶递归数列； ②假设{a n }是等差数列，则{a n }为2阶递归数列； ③假设数列{a n }的通项公式为，则{a n }为3阶递归数列．其中，正确结论的个数是〔 〕 A ．0B ．1C ．2D ．3【考点】8B ：数列的应用；2E ：复合命题的真假． 【分析】利用等差数列、等比数列和数列{a n }的通项公式为的性质，根据k 阶递归数列的定义，逐个进行判断，能够求出结果． 【解答】解：①∵{a n }是等比数列， ∴a n =，a n +1=qa n ，∴∃k=1，λ=q ，使a n +k =qa n +k ﹣1成立， ∴{a n }为1阶递归数列，故①成立； ②∵{a n }是等差数列， ∴a n =a 1+〔n ﹣1〕d ，∴∃k=2，λ1=2，λ2=﹣1，使a n +2=λ1a n +k ﹣1+λ2a n +k ﹣2成立， ∴{a n }为2阶递归数列，故②成立； ③∵假设数列{a n }的通项公式为，∴∃k=3，λ1=3，λ2=﹣3，λ3=1，使a n +3=λ1a n +k ﹣1+λ2a n +k ﹣2+λ3a n +k ﹣3成立， ∴{a n }为3阶递归数列，故③成立． 故选D ．17．假设向量，在函数的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为，且当的最大值为1．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的解析式；〔Ⅱ〕求函数f〔x〕的单调递增区间．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；9Q：数量积的坐标表达式；H5：正弦函数的单调性．【分析】〔I〕利用函数求出向量的数量积，利用二倍角公式以及两角差的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过对称中心到对称轴的最小距离为，求出函数的周期，得到ω，利用的最大值为1．求出t，得到函数的解析式．〔II〕利用正弦函数的单调增区间，求函数f〔x〕的单调递增区间，即可．【解答】〔本小题总分值12分〕解：〔I〕由题意得====∵对称中心到对称轴的最小距离为∴f〔x〕的最小正周期为T=π∴，∴ω=1…∴，∴3+t，∴3+t=1，∴〔II〕…∴18．如图，O为总信号源点，A，B，C是三个居民区，已知A，B都在O的正东方向上，OA=10km，OB=20km，C在O的北偏西45°方向上，CO=5km．〔1〕求居民区A与C的距离；〔2〕现要经过点O铺设一条总光缆直线EF〔E在直线OA的上方〕，并从A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m〔m为常数〕．设∠AOE=θ〔0≤θ＜π〕，铺设三条分光缆的总费用为w〔元〕．①求w关于θ的函数表达式；②求w的最小值及此时tanθ的值．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】〔1〕以点O位坐标原点，OA为x轴建立直角坐标系，求出A，C的坐标，即可求居民区A与C的距离；〔2〕①分类讨论，求出铺设三条分光缆的总费用，即可求w关于θ的函数表达式；②换元，利用基本不等式，可求w的最小值及此时tanθ的值．【解答】解：〔1〕以点O位坐标原点，OA为x轴建立直角坐标系，则A〔10，0〕，B〔20，0〕，C〔﹣5，5〕，∴AC==5；〔2〕①当直线l的斜率存在时，设l：y=kx，k=tanθ，则w=m[++]=m•；直线l的斜率不存在时，w=m=525m，综上，w=②直线l的斜率不存在时，w=m=525m；当直线l的斜率存在时，w=m•令t=k﹣10，则t=0时，w=525m；t≠0时，w=525m+m•∵t+≤﹣2，或t+≥2，∴w的最小值为525m+m•=m，此时，t=﹣，tanθ=k=10﹣．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1；〔1〕求二面角C﹣PB﹣E的余弦值；〔2〕在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC？假设存在，求出点M的位置，假设不存在，说明理由．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】〔1〕作Ez⊥AD，以E为原点，以，的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如下图的空间直角坐标系E﹣xyz，则点E〔0，0，0〕，P〔0，﹣2，2〕，A〔0，﹣2，0〕，B〔2，0，0〕，C〔1，2，0〕，D〔0，2，0〕．求出平面PBC的法向量、平面PBE的法向量即可得二面角C﹣PB﹣E的余弦值；〔2〕线段PE上存在点M，使得DM∥平面PBC”等价于垂直面PBC的法向量．【解答】解：〔1〕作Ez⊥AD，以E为原点，以，的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如下图的空间直角坐标系E﹣xyz，则点E〔0，0，0〕，P〔0，﹣2，2〕，A〔0，﹣2，0〕，B〔2，0，0〕，C〔1，2，0〕，D〔0，2，0〕．∴=〔2，2，﹣2，〕，=〔﹣1，2，0〕，=〔0，﹣2，2〕．设平面PBC的法向量为=〔x，y，z〕，由，可取=〔2，1，3〕．设平面PBE的法向量为=〔a，b，c〕，由，可取=〔0，1，1〕，∴=由图可知，二面角C﹣PB﹣E的余弦值为．〔2〕由〔1〕可知面PBC的法向量为=〔2，1，3〕，“线段PE上存在点M，使得DM∥平面PBC”等价于；∵=〔0，2，﹣2〕，=〔0，2λ，﹣2λ〕，λ∈〔0，1〕，则M〔0，2λ﹣2，2﹣2λ〕，=〔0，2λ﹣4，2﹣2λ〕．由=2λ﹣4+6﹣6λ=0．解得λ=，所以线段PE上存在点M，即PE中点，使得DM∥平面PBC．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M〔x0，y0〕是椭圆C： +y2=1上一点，从原点O向圆M：〔x﹣x0〕2+〔y﹣y0〕2=r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q．直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2〔1〕假设圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；〔2〕假设r=，①求证：k1k2=﹣；②求OP•OQ的最大值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】〔1〕椭圆C的右焦点是〔，0〕，x=，代入+y2=1，可得y=±，求出圆的圆心，然后求圆M的方程；〔2〕①因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆R相切，推出k1，k2是方程〔1+k2〕x2﹣〔2x0+2ky0〕x+x02+y02﹣=0的两个不相等的实数根，利用韦达定理推出k1k2．结合点M〔x0，y0〕在椭圆C上，证明k1k2=﹣．②〔i〕当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕，通过4k1k2+1=0，推出y12y22=x12x22，利用P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕，在椭圆C上，推出OP2+OQ2=5，即可求出OP•OQ的最大值．【解答】解：〔1〕椭圆C的右焦点是〔，0〕，x=，代入+y2=1，可得y=±，∴圆M的方程：〔x﹣〕2+〔y〕2=；〔2〕因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆R相切，所以直线OP：y=k1x与圆M：〔x﹣x0〕2+〔y﹣y0〕2=联立，可得〔1+k12〕x2﹣〔2x0+2k1y0〕x+x02+y02﹣=0同理〔1+k22〕x2﹣〔2x0+2k2y0〕x+x02+y02﹣=0，由判别式为0，可得k1，k2是方程〔x02﹣〕k2﹣2x0y0k+y02﹣=0的两个不相等的实数根，∴k1k2=，因为点M〔x0，y0〕在椭圆C上，所以y2=1﹣，所以k1k2==﹣；〔3〕〔i〕当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕，因为4k1k2+1=0，所以+1=0，即y12y22=x12x22，因为P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕在椭圆C上，所以y12y22=〔1﹣〕〔1﹣〕=x12x22，整理得x12+x22=4，所以y12+y22=1所以OP2+OQ2=5．〔ii〕当直线落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=5，综上：OP2+OQ2=5所以OP•OQ≤〔OP2+OQ2〕=2.5，所以OP•OQ的最大值为2.5．21．已知m是一个给定的正整数，m≥3，设数列{a n}共有m项，记该数列前i 项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，该数列后m﹣i项a i+1，a i+2，…，a m中的最小项为B i，r i=A i﹣B i〔i=1，2，3，…，m﹣1〕；〔1〕假设数列{a n}的通项公式为〔n=1，2，…，m〕，求数列{r i}的通项公式；〔2〕假设数列{a n}满足a1=1，r1=﹣2〔i=1，2，…，m﹣1〕，求数列{a n}的通项公式；〔3〕试构造项数为m的数列{a n}，满足a n=b n+c n，其中{b n}是公差不为零的等差数列，{c n}是等比数列，使数列{r i}是单调递增的，并说明理由．【考点】8H：数列递推式；88：等比数列的通项公式．【分析】〔1〕由于单调递增，可得A i=2i，B i=2i+1，即可得出r i=A i﹣B i，1≤i≤m﹣1．〔2〕根据题意可知，a i≤A i，B i≤a i+1，因为r i=A i﹣B i=﹣2＜0，可得A i＜B i，可得a i≤A i＜B i≤a i+1，即a i＜a i+1，根据单调性即可得出A i=a i，B i=a i+1，可得r i=a i﹣a i+1=﹣2．利用等差数列的通项公式即可得出．〔3〕构造a n=n﹣，其中b n=n，c n=﹣，根据单调性可得：A i=a i=i﹣，B i=a i+1=i+1﹣，r i=a i﹣a i+1=﹣1﹣，1≤i≤m﹣1，通过作差证明数列{a n}满足题意即可得出．【解答】解：〔1〕∵单调递增，∴A i=2i，B i=2i+1，∴r i=A i﹣B i=2i﹣2i+1=﹣2i，1≤i≤m﹣1．〔2〕根据题意可知，a i≤A i，B i≤a i+1，因为r i=A i﹣B i=﹣2＜0，所以A i＜B i，可得a i≤A i＜B i≤a i+1，即a i＜a i+1，又因为i=1，2，3，…，m﹣1，所以{a n}单调递增，则A i=a i，B i=a i+1，所以r i=a i﹣a i+1=﹣2，即a i+1﹣a i=2，1≤i≤m﹣1，所以{a n}是公差为2的等差数列，a n=1+2〔n﹣1〕=2n﹣1，1≤i≤m﹣1；〔3〕构造a n=n ﹣，其中b n=n，c n=﹣，下证数列{a n}满足题意．证明：因为a n=n ﹣，所以数列{a n}单调递增，所以A i=a i=i ﹣，B i=a i+1=i+1﹣，所以r i=a i﹣a i+1=﹣1﹣，1≤i≤m﹣1，﹣r i=[﹣1﹣]﹣[﹣1﹣]=＞0，因为r i+1所以数列{r i}单调递增，满足题意．〔说明：等差数列{b n}的首项b1任意，公差d为正数，同时等比数列{c n}的首项c1为负，公比q∈〔0，1〕，这样构造的数列{a n}都满足题意．〕。