(完整版)上海高三年级数学模拟试卷

上海高中2024年高三第一次模拟考试（数学试题含解析）请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆ 2．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 3．已知数列{}n a 中，112,()1,n n n a n a a a n N *+=-=+∈ ，若对于任意的[]*2,2,a n N ∈-∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][),21,-∞-⋃+∞B ．(][),22,-∞-⋃+∞C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．[]2,2- 4．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >>5．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ）A ．23-B ．23C ．3D ．-36．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：参加用户比 40% 40% 10% 10%脱贫率 95% 95% 90% 90%那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ）A ．2728倍B ．4735倍C ．4835倍D ．75倍 7．已知函数()()614,7,7x a x x f x a x -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1(,0)2-B ．1(2,)2-C ．(1,1)-D ．1(,1)28．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．2D ．－2 9．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）10．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则x y +=（ ）A ．170B ．10C ．172D ．12 11．下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2x y = B ．21log 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．21log y x = D ．14y x =12．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）．A ．122B ．112C ．102D ．92二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海静安区2023-2024学年第二学期教学质量调研高三数学试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟．2024.4一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分．1．中国国旗上所有颜色组成的集合为________．2．已知i 是虚数单位，复数i2i++=m z 是纯虚数，则实数m 的值为________．3．函数xxy +-=21ln的定义域为________．4．若单位向量a 、b 满足⊥a b，则=-||a ________．5．某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩X 服从正态分布),100(2σN （试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间]120,80[的学生人数约为_______．6．已知物体的位移d (单位：m)与时间t (单位：s)满足函数关系t d sin 2=，则在时间段)6,2(∈t 内，物体的瞬时速度为s /m 1的时刻=t _______(单位：s)．7．已知等比数列的前n 项和为a S nn +⎪⎭⎫⎝⎛=21，则a 的值为________．8．在下列关于实数b a 、的四个不等式中，恒成立的是_______．(请填入全部正确的序号)①ab b a 2≥+；②ab b a ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+22；③||||||b a b a -≤-；④1222-≥+b b a ．9．正四棱锥ABCD P -底面边长为2，高为3，则点A 到不经过点A 的侧面的距离为_______．10．某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的．假定每一批产品中的次品最多不超过2个，并且其中恰有i (=i 0,1,2)个次品的概率如下：一批产品中有次品的个数i012概率0.30.50.2则各批产品通过检查的概率为________．(精确到0.01)11．已知实数)6,0(∈a ，记))(a x x x f -=．若函数)(x f y =在区间[]2,0上的最小值为2-，则a 的值为________．12．我们称右图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点),(y x P 都满足方程022||2||222=+-+-y x y y x x ．现将一边在x 轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,22M 到“爱心线”上任意一点的最小距离为d ，则用d 表示心吧面积的最大值为_______．xy O二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分．每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑．13．函数)(cos sin 2R ∈-=x x x y 的最小正周期为…………………………………………()A ．2π；B ．π；C ．23π；D ．2π．14．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是………()A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；B ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β；C ．若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；D ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β．15．设1>a ，则双曲线1)1(2222=+-a y a x 的离心率e 的取值范围是…………………………()A ．)2,2(；B ．)5,2(；C ．)5,2(；D ．)5,2(．16．如果一个非空集合G 上定义了一个运算*，满足如下性质，则称G 关于运算*构成一个群．(1)封闭性，即对于任意的G b a ∈,，有G b a ∈*；(2)结合律，即对于任意的G c b a ∈,,，有))(c b a c b a **=**（；(3)对于任意的G b a ∈,，方程b a x =*与b y a =*在G 中都有解．例如，整数集Z 关于整数的加法(+)构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的∈b a ,Z ，方程b a x =+与b y a =+都有整数解；而实数集R 关于实数的乘法(⨯)不构成群，因为方程10=⨯y 没有实数解．以下关于“群”的真命题有………………………………………………………………()1自然数集N 关于自然数的加法(+)构成群；2有理数集Q 关于有理数的乘法(⨯)构成群；3平面向量集关于向量的数量积(⋅)构成群；4复数集C 关于复数的加法(+)构成群．A ．0个；B ．1个；C ．2个；D ．3个．三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(满分12分)共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3=a ，5=b ，7=c ．(1)求角C 的大小；(2)求)sin(C A +的值．18．(满分15分)共3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分．某高中随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位：cm)，按照区间[)165,160,[)170,165,[)175,170,[)180,175,[]185,180分组，得到样本身高的频率分布直方图(如下图所示).(1)求身高不低于170cm 的学生人数；(2)将身高在[170,175),[175,180),[180,185]区间内的学生依次记为A ，B ，C 三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人．①求从这三个组分别抽取的学生人数；②若要从6名学生中抽取2人，求B 组中至少有1人被抽中的概率．19．(满分15分)共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分9分．如图1所示，ABCD 是水平放置的矩形，32=AB ，2=BC ．如图2所示，将ABD 沿矩形的对角线BD 向上翻折，使得平面⊥ABD 平面BCD ．(1)求四面体ABCD 的体积V ；(2)试判断与证明以下两个问题：①在平面BCD 上是否存在经过点C 的直线l ，使得AD l ⊥？②在平面BCD 上是否存在经过点C 的直线l ，使得AD l //？ABCD ABCD图1图220．(满分18分)共3个小题，每个小题均是满分6分．江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点A 与点B ．现在准备以地平面上的点C 与点D 为起点建造上、下桥坡道，要求：①AC BD =；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为22:1(坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比)；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸．(1)请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来；(2)并按你的方案计算过桥道路的总长度；(精确到0.1米)(3)若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由(如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算)．21．(满分18分)共3个小题，第一小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知R ∈k ，记x x a k a x f -⋅+=)((0>a 且1≠a )．(1)当e =a (e 是自然对数的底)时，试讨论函数)(x f y =的单调性和最值；(2)试讨论函数)(x f y =的奇偶性；(3)拓展与探究：①当k 在什么范围取值时，函数)(x f y =的图像在x 轴上存在对称中心？请说明理由；②请提出函数)(x f y =的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．(不必证明)C DAB20米参考答案与评分标准一、1．{红，黄}；2．21-；3．)1,2(-；4．2；5．1360；6．5π3；7．1-；8．②③④；9．5；10．0.91；11．3；12．225d -．二、13．A ；14．C ；15．D ．16．B ．三、17．解：(1)由余弦定理，有212cos 222-=-+=ab c b a C ，所以3π2=C …………………6分(2)解1：由正弦定理，有CcB b sin sin =，即.1435sin sin ==c C b B 所以B B C A sin )πsin()sin(=-=+.1435=………………………6分解2：由正弦定理，有C cA a sin sin =，即.1433sin sin ==c C a A 所以.1413sin 1cos 2=-=A A 故，.1435sin cos cos sin )sin(=+=+C A C A C A ………………………6分解3：由余弦定理，有14132cos 222=-+=bc a c b A ，所以.1433sin =A 故，.1435sin cos cos sin )sin(=+=+C A C A C A ………………………6分18．解:(1)由频率分布直方图可知515(0.070.040.020.01)x =-⨯+++，所以1[150.14]0.065x =-⨯=．身高在170cm 以上的学生人数为100(0.0650.0450.025)60⨯⨯+⨯+⨯=(人)．(2)A ,B ,C 三组的人数分别为30人,20人,10人.因此应该从A ,B ,C 三组中每组各抽取630360⨯=(人),620260⨯=(人),610160⨯=(人)．………………………4分设A 组的3位同学为1A ,2A ,3A ,B 组的2位同学为1B ,2B ,C 组的1位同学为1C ,则从6名学生中抽取2人有15种可能：12(,)A A ,13(,)A A ,11(,)A B ,12(,)A B ,11(,)A C ,23(,)A A ,21(,)A B ,22(,)A B ,21(,)A C ,31(,)A B ,32(,)A B ,31(,)A C ,12(,)B B ,11(,)B C ,21(,)B C .其中B 组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能：11(,)A B ,12(,)A B ,21(,)A B ,22(,)A B ,31(,)A B ,32(,)A B ,12(,)B B ,11(,)B C ,21(,)B C .所以B 组中至少有1人被抽中的概率为93155P ==．……………6分19．解：(1)过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ．因为平面⊥ABD 平面BCD ，ABDEF有AE ⊥平面BCD，则AE =……………………4分所以11122332BCD V S AE ==⨯⨯⨯ △．………2分(2)①在平面BCD 上存在经过点C 的直线l ，使得AD l ⊥．……………………1分证明：过点C 作CF BD ⊥，垂足为F ．因为AE ⊥平面BCD ，则DE 为AD 在平面BCD 内的投影．由三垂线定理，CF AD ⊥，则存在l AD ⊥．……………………4分②在平面BCD 上不存在经过点C 的直线l ，使得AD l //……………………1分证明：假设存在//l AD ，因为AD 不在平面BCD 内，则//AD 平面BCD ，与AD 平面BCD D =矛盾．…3分所以不存在//l AD ．注：用异面直线判断定理证明给满分．20．解1：如图，以线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系.…………………1分……………………2分则，圆O 的方程为10022=+y x ；由221tan =C ，10=OE 得220=CE ，30=CO ．过点C 作圆O 的切线DE ，切点为E ，直线CE 的斜率为221，其方程为)30(221+=x y ．所以直线OE 的斜率为22-，其方程为x y 22-=，将其代入10022=+y x ，得点E 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3220,310．经过点D 作圆M 与圆O 切于点F （圆O 与y 轴的交点），设圆M 的半径为r ，则，222DM OM OD =+，即222)10(30r r =-+，解得50=r ．所以，圆M 的方程为22250)40(=++y x ，故，用函数表示过桥道路为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤--<≤---<≤-+=.300,402500,0310,100,31030),30(22122x x x x x x y ……………………3分(2)解1：由点E 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3220,310，得22arctan 2π-=∠EOF ，CDAB20米E OFxy所以圆弧EF 的长为⎪⎭⎫⎝⎛-22arctan 2π10≈3.398，……………………2分由点D 的坐标为()0,30，点M 的坐标为()40,0-，得43arctan =∠DMF ，所以圆弧FD 的长为43arctan50≈32.175，……………………2分故，过桥道路的总长度为+220⎪⎭⎫⎝⎛-22arctan 2π1043arctan 50+9.63≈m ．……2分解2：(1)如图建系…………………………………………………………1分……………………2分作圆N 与x 轴相切于点D ，并和圆O 切于点G ，设圆M 的半径为r ，则，222ON DN OD =+，即222)10(30+=+r r ，解得40=r ．所以，圆N 的方程为22240)40()30(=-+-y x ，将直线OG 的方程代入10022=+y x 得，点G 的坐标为()6,8故，用函数表示过桥道路为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤---<≤---<≤-+=.306,)30(160040,6310,100,31030),30(22122x x x x x x y …………………3分(2)因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3220,310OE ，)8,6(=OG ，则15283,cos +-==〉〈OG OE OG OE ，即，15283arccos ,+-=〉〈OG OE ．所以圆弧EG 的长为15283arccos 10+-≈9.833．……………………2分又由点G 的坐标为)8,6(，得34arctan 2π-=∠OND ，所以圆弧GD 的长为⎪⎭⎫ ⎝⎛-34arctan 2π40≈25.740．………………………2分故，过桥道路的总长度为+22015283arccos10+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+34arctan 2π40≈63.9m ．………2分CDAB20米EGOxy(3)设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，则桥拱左侧铺设的是以曲边形ACE 为底面，高为10米的柱体；桥拱右侧铺设的是以曲边形BDF (BDG )为底面，高为10米的柱体；……………………2分提问：铺设坡道共需要混凝土多少立方米？……………………2分方案1：=-=∆AOE COE ACE S S S 扇形曲边形BOFDOM DMF BDF S S S S 扇形扇形曲边形--=∆所以，铺设过桥路需要混凝土10(BOF DOM DMF AOC COD S S S S S 扇形扇形扇形--+-∆∆)3m ．………2分方案2：=-=∆AOE COE ACE S S S 扇形曲边形BOGDNG ODN BDG S S S S 扇形扇形曲边形--=∆所以，铺设过桥路需要混凝土10(BOF DNG ODN AOC COD S S S S S 扇形扇形扇形--+-∆∆)3m ．………2分注:1、用直线和圆的方程表示坡道给满分；2、在拱桥右边设计与圆拱相切，切点不在圆拱最高点的上凸圆弧坡道，若计算正确，可酌情给满分；3、在拱桥右边设计与圆拱相切，与水平线相交的下凸圆弧作为坡道，若计算正确，可酌情给满分．4、若学生在拱桥左边设计圆的割线段，建议各扣1分；5、在拱桥右边设计相交圆弧作为坡道，但计算正确，建议各扣1分．21．解：(1)xx k x f -⋅-=e e )('，当0≤k 时，0)('>x f ，故函数)(x f y =在R 上为严格增函数；……………………1分函数)(x f y =在R 上无最值．……………………1分当0>k 时，令0)('=x f ，得k x ln 21=，所以，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈k x ln 21,时，0)('<x f ，函数)(x f y =在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-k ln 21,上为严格减函数；…1分当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,ln 21k x 时，0)('>x f ，函数)(x f y =在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,ln 21k 上为严格增函数．…………1分函数)(x f y =在R 上有最小值0，无最大值．……………………1分(2)因为“)(x f y =为偶函数”⇔“对于任意的R ∈x ，都有)()(x f x f =-”⇔对于任意的R ∈x ，都有R ∈-x ，并且x x x x a k a a k a ⋅+=⋅+--；⇔对于任意的R ∈x ，0))(1(=---x x a a k ⇔1=k ．故，1=k 是)(x f y =为偶函数的充要条件．……………………3分因为“)(x f y =为奇函数”⇔“对于任意的R ∈x ，都有)()(x f x f -=-”⇔对于任意的R ∈x ，都有R ∈-x ，并且x x x x a k a a k a ⋅+=⋅----；⇔对于任意的R ∈x ，0))(1(=++-x x a a k ⇔1-=k ．故，1-=k 是)(x f y =为奇函数的充要条件．……………………3分当1±≠k 时，)(x f y =是非奇非偶函数.(3)①当0<k 时，函数)(x f y =有对称中心⎪⎭⎫ ⎝⎛-0),log(21k ．即，当0<k 时，对于任意的R ∈x ，都有R ∈-x ，并且=--))((log x k f a )(x f -．………2分证明：当0<k 时，令0)(=x f ，解得)(log 21k x a -=为函数)(x f y =的零点由xx a k a x f -⋅+=)(得，=--))((log x k f a ))((log )(log x k x k a a a k a -----⋅+x x a a k -⋅-=-)(x f -=．……………………2分②答案1：当0>k 时，函数)(x f y =有对称轴k x a log 21=．即，当0>k 时，对于任意的R ∈x ，都有R ∈-x ，并且=-)(log x k f a )(x f ．………………3分参考证明：当0>k 时，由xx a k a x f -⋅+=)(得，=-)(log x k f a )(log log x k xk a aa k a ---⋅+x x a a k +⋅=-)(x f =．答案2：当1=k 时，)(x f y =的图像关于y 轴对称，即，对于任意的R ∈x ，都有)()(x f x f =-．………………………………………………1分答案3：当0<k 时，函数)(x f y =的零点为)(log 21k x a -=，即.0)(log 21=⎪⎭⎫⎝⎛-k f a …………1分答案4：表述函数)(x f y =的单调性和最值，并写出定义形式各给1分.。

2023-2024学年上海市高考数学模拟试题（三模）一、填空题1．已知集合{}{}1,1,1,3,5A xx B =≤=-∣，则A B = __________.【正确答案】{}1,1-【分析】化简A ，根据交集运算得解.【详解】因为{}{}1[1,1],1,1,3,5A xx B =≤=-=-∣，所以{}1,1A B ⋂=-，故答案为.{}1,1-2．复数12i 3iz -=+的模为__________．【正确答案】2【分析】由复数的四则运算以及模长公式计算即可.【详解】()()()()12i 3i 12i 17i ,3i 3i 3i 102z z ----===∴=++-．故23．不等式301x x +≥-的解集为__________.【正确答案】(](),31,∞∞--⋃+【分析】将分式不等式等价转化为二次不等式组，求解即得.【详解】原不等式等价于()()31010x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得3x ≤-或1x >,故答案为.(](),31,∞∞--⋃+4．已知幂函数()y f x =的图象过点1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()2f -=________【正确答案】18-【分析】设幂函数()f x x α=，将1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，求得3α=-，进而可得结果.【详解】设幂函数()f x x α=，因为幂函数()y f x =的图象过点1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以311822α-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得3α=-，所以()()()331,22,8f x x f --=-=-=-故答案为18-.本题主要考查幂函数的解析式，属于基础题.5．已知函数()2sin2f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期是__________．【正确答案】π【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，进而可得函数的最小正周期.【详解】()2sin2sin22sin 23f x x x x x x π⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭，故22T ππ==，故π．6．方程42log 17x x +=的解为_________．【正确答案】4x =【分析】设函数()42log x f x x =+，()0,x ∈+∞，由函数的单调性，结合特殊值，即可求得方程42log 17x x +=的解.【详解】设函数()42log x f x x =+，()0,x ∈+∞，由于函数42,log x y y x ==在()0,x ∈+∞上均为增函数，又()4442log 416117f =+=+=，故方程42log 17x x +=的解为4x =.故答案为.4x =7．81(x的展开式中含x 项的系数为______.【正确答案】28【分析】化简二项式定理展开式通项()()38218C 1k k k T x -+=⋅-⋅，求出k 值，代入即可.【详解】设展开式中第1k +项含x 项，则(()()83821881C C 1k k k k k k k T x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令3812k -=，解得6k =，代入得，()6678C 128T x x=⋅-⋅=故28.8．某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：党史学习时间（小时）7891011党员人数610987则该单位党员一周学习党史时间的第40百分位数是___．【正确答案】8.5/172【分析】根据百分位数的定义即可求出结果.【详解】党员人数一共有61098740++++=，4040%16⨯=，那么第40百分位数是第16和17个数的平均数，第16和17个数分别为8，9，所以第40百分位数是898.52+=，故8.59．若存在实数a，使得1x =是方程2()3x a x b +=+的解，但不是方程x a +则实数b 的取值范围是__________.【正确答案】()3,-+∞【分析】根据1x =是2()3x a x b +=+的解，不是x a +.【详解】由题意知，2(1)3a b +=+，且1a +≠()1a =-+，显然30b +≥，即3b ≥-，若3b =-，此时显然不满足题意，故()3,b ∞∈-+.故()3,-+∞10．随机变量()2N 105,19X，()2N 100,9Y ，若()()P X A P Y A ≤=≤，那么实数A 的值为__________.【正确答案】95.5【分析】由正态分布性质可得()105N 0,119X -，()100N 0,19Y -，由此可利用对称性构造方程求得结果.【详解】()2N 105,19X ，()2N 100,9Y ，()105N 0,119X -∴，()100N 0,19Y -，()()P X A P Y A ≤=≤ ，105100199A A --∴=，解得.95.5A =故答案为.95.511．已知曲线1C ：2y x =+与曲线2C ：22()4x a y -+=恰有两个公共点，则实数a 的取值范围为__________.【正确答案】(){}4,02-⋃【分析】根据2y x =+与22()4x a y -+=的位置关系分析可得.【详解】如图：2y x =+与x 轴焦点为()2,0A -，当点A 在圆2C 外，则2y x =+表示的两条射线与圆相切与2C 相切时恰有两个公共点，联立22()4x a y -+=得()222420x a x a +-+=，由()2242420a a ∆=--⨯⨯=，得2a =-±因2y x =+，所以2x ≥-，故2a =-+当点A 在圆2C 上，如图，此时2y x =+与22()4x a y -+=有3个或1个交点不符合题意，当点A 在圆2C 内，如图，此时2y x =+与22()4x a y -+=有2个交点符合题意，此时，22(2)04a --+<，得40a -<<综上a 的取值范围为.(){}4,0222-⋃-故答案为.(){}4,0222-⋃12．函数()y f x =是最小正周期为4的偶函数，且在[]2,0x ∈-时，()21f x x =+，若存在12,,,n x x x ⋯满足120n x x x ≤<<< ，且()()()()()()122312023n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=，则n n x +最小值为__________.【正确答案】1518.5【分析】根据题意，先求出函数一个周期的值域，要使n n x +取得最小值，尽可能多让()1,2,3,,i x i m = 取得最高点，且()()01,23f f ==-，再利用函数的周期性求解.【详解】解： 函数()y f x =是最小正周期为4的偶函数，且在[]2,0x ∈-时，()21,f x x =+∴函数的值域为[]3,1-，对任意(),,1,2,3,,i j x x i j m = ，都有()()min ()()4i j max f x f x f x f x -≤-=，要使n n x +取得最小值，尽可能多让()1,2,3,,i x i m = 取得最高点，且()()01,23f f ==-，()()()()()()12122310,2023n nn x x x f x f x f x f x f x f x -≤<<<-+-++-= ，n ∴的最小值估计值为20231506.754+=，故n 的最小值取507，相应的n x 最小值为1011.5，则n n x +的最小值为1518.5.故1518.5二、单选题13．设R λ∈，则“1λ=”是“直线()311x y λ+-=与直线()12x y λλ+-=平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据直线一般式中平行满足的关系即可求解.【详解】若直线()311x y λ+-=与直线()12x y λλ+-=平行，则()()3110λλλ---=，解得1λ=或3λ=-，经检验1λ=或3λ=-时两直线平行．故“1λ=”能得到“直线()311x y λ+-=与直线()12x y λλ+-=平行”，但是“直线()311x y λ+-=与直线()12x y λλ+-=平行”不能得到“1λ=”故选：A14．函数y ()y ()f x f x ==，的导函数的图象如图所示，则函数y ()f x =的图象可能是A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【详解】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数'()f x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．15．已知函数()21f x ax x a =+++为偶函数，则不等式()0f x >的解集为（）A ．∅B ．()()1,00,1-UC ．()1,1-D ．()(),11,-∞-⋃+∞【正确答案】B 【分析】先求得参数a 的值，再去求不等式()0f x >的解集【详解】因为()f x 为偶函数，所以()()11f f -=，即2a a a a++=+解之得1a =-，经检验符合题意.则()2f x x x=-+由20x x -+>，可得()()1,00,1x ∈-U 故()20f x x x =-+>的解集为()()1,00,1-U ，故选：B.16．已知*n ∈N ，集合πsin N,0k A k k n n ⎧⎫⎛⎫=∈≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∣，若集合A 恰有8个子集，则n 的可能值有几个（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B【分析】根据子集个数可得集合元素个数，再由正弦函数性质即可确定n 的取值.【详解】由题意易知，π2ππsin0,sin ,sin ,,sin n n n n ，均是集合A 中的元素，又集合A 恰有8个子集，故集合A 只有三个元素，有πsin0sin sin πn n==，则结合诱导公式易知，n 可取的值是4或5.故选：B三、解答题17．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，111a b ==，5435()a a a =-，5434()b b b =-．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：22*1()n n n S S S n N ++∈<；【正确答案】(1)n a n =，12n n b -=；(2)证明见解析【分析】（1）由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；（2）利用（1）的结论首先求得数列{}n a 的前n 项和，然后利用作差法证明即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，11a =，5435()a a a =-得，145=+a d d ，故1d =，于是1(1)n a n n =+-=；由11b =，5434()b b b =-得，4324()q q q =-，又等比数列公比0q ≠，得到2244(2)0q q q -+=-=，故2q =，于是12n n b -=.（2）由（1）得，(1)2n n n S +=，故2(1)(2)(3)4n n n n n n S S ++++=，2221(1)(2)4n n n S +++=，作差可得[]221(1)(2)(1)(2)(3)(1)(2)042n n n n n n n n n n n S S S ++++++=+-++--=<，即221n n n S S S ++<得证.18．如图，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，,90,222AB CD ADC PD CD AD AB ∠===== ∥.(1)求异面直线AB 与PC 所成角的大小；(2)求二面角B PC D --的余弦值.【正确答案】(1)π433【分析】（1）根据AB DC 可得异面直线所成的角，利用直角三角形求解即可；（2）以点D 为坐标原点，建立坐标系，再由向量法得出二面角B PC D --的余弦值.【详解】（1）由AB CD ，则异面直线AB 与PC 所成角即为PCD ∠，由题意知，PD ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ，故PD CD ⊥，所以tan 1PD PCD CD ∠==，即π4PCD ∠=，即异面直线AB 与PC 所成角为4π.（2）因为PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，又PD DC ⊥，AD DC ⊥，所以以D 为原点，,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系：则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,2D A B C P ，则()()()()0,2,2,1,1,0,0,0,2,1,0,2PC BC DP PA =-=-==- ，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r ，则2200n PC y z n BC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取1x =，得1,1y z ==，得()1,1,1n = ，取平面PDC 的法向量为()1,0,0DA = ，设二面角B PC D --的大小为θ，由图形知，θ为锐角，所以cos n DA n DAθ⋅== ，所以二面角B PC D --19．流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为248mm ，经过3分钟覆盖面积为264mm ，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积y （单位：2mm ）与经过时间x （单位：min ）的关系现有三个函数模型：①x y ka =0k >1a >，②log b y x =（1b >），③y q =（0p >）可供选择.（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）(1)选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；(2)在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过2300mm ？（结果保留到整数）【正确答案】(1)答案见解析；(2)至少经过9min 培养基中菌落的覆盖面积能超过2300mm .【分析】（1）根据题意，分析三个函数模型的增长速度快慢，选择x y ka =，并求出解析式；（2）根据题意，4273003x⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，求出x 的取值范围，进而得出结果.【详解】（1）因为x y ka =0k >1a >的增长速度越来越快，log b y x =（1b >）和y q =（0p >）的增长速度越来越慢，所以应选函数模型x y ka =0k >1a >.由题意得234864ka ka ⎧=⎨=⎩，解得4327a k ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以该函数模型为4273xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（0x ≥）；（2）由题意得4273003x ⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，即410039x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以43100log 9x >，又341001g100221g3220.4779log 8.3684921g2lg320.3010.4771g 3--⨯==≈≈-⨯-.所以至少经过9min 培养基中菌落的覆盖面积能超过2300mm .20．在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆22:143x y E +=的左､右焦点分别为1F ，2F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，直线1AF 与椭圆E 相交于另一点B.（1）求12AF F ∆的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与直线4x =相交于点Q ，求OP QP ⋅ 的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB 与MAB △的面积分别是1S ，2S ，若213S S =，求点M 的坐标.【正确答案】（1）6；（2）4-；（3）()2,0或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【分析】（1）由椭圆方程的性质可求12AF F ∆的周长；（2）设(),0P t ，求出直线AP 方程，解出Q 点坐标，计算OP QP ⋅ ，利用二次函数求出最下值；（3）由题意可知：M 到直线AB 距离2d 是O 到直线AB 距离1d 的3倍，求出2d 的值，则点M 的坐标为与直线AB 平行的直线和椭圆的交点，求出直线方程与椭圆联立可解出点M .【详解】解：（1）由椭圆方程可知.2,1a c ==所以12AF F △的周长为1212226AF AF F F a c =++=+；（2）由椭圆方程得31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(),0P t ，则直线AP 方程为()321y x t t=--，又4x =，所以直线AP 与4x =的交点为344,21t Q t -⎛⎫⋅ ⎪-⎝⎭，()22,0344,214(2)44t t t OP QP t t t t -⎛⎫--⋅= ⎪-⎝⎭⋅=⋅-=--≥- ，当2t =时，()min 4OP QP ⋅=- （3）若213S S =，设O 到直线AB 距离1d ，M 到直线AB 距离2d ，则2111322AB d AB d ⨯⨯=⨯⨯⨯，即213d d =，31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1(1,0)F -，可得直线AB 方程为()314y x =+，所以135d =，295d =.由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为340x y m -+=，与直线AB 的距离为95，求得6m =-或12，当6m =-时，直线l 为3460x y --=，联立方程：223460143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得27120y y +=，解得()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当12m =时，直线l 为34120x y -+=，联立方程：2234120143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：2724270y y ++=，∆<0此时方程无解.综上所述，M 点坐标为()2,0或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭.21．记()(),f x g x ''分别为函数()(),f x g x 的导函数.若存在，满足()()00f x g x =且()()00f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“兰亭点”.(1)证明：函数()f x x =与()222g x x x =+-不存在“兰亭点”；(2)若函数()21f x ax =-与()ln g x x =存在“兰亭点”，求实数a 的值；(3)已知函数()()2e ,x bf x x ag x x =-+=.对存在实数0a >，使函数()f x 与()g x 在区间()0,∞+内存在“兰亭点”，求实数b 的取值范围.【正确答案】(1)证明见解析(2)e2(3)()327,00,e ∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题中“兰亭点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“兰亭点”的定义列两个方程，解方程组可得a 的值；（3）通过构造函数以及结合“兰亭点”的定义列两个方程，再由方程组有解即可求得结果.【详解】（1）函数()()2,22f x x g x x x ==+-，则()()1,22f x g x x '='=+.由()()f x g x =且()()f x g x ⅱ=，得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解，因此，()f x 与()g x 不存在“兰亭点”.（2）函数()()21,ln f x ax g x x =-=，则()()12,f x ax g x x''==.设0x 为()f x 与()g x 的“兰亭点”，由()0f x =()0g x 且()0f x '=()0g x '，得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎨=⎩，（*）得01ln 2x =-，即120e x -=，则2121e 22e a -==⎛⎫ ⎪⎝⎭.当e 2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为()f x 与()g x 的“兰亭点”.因此，a 的值为e 2.（3）()()()()2e 12,0x b x f x x g x x x -=-='≠'，函数()y f x =与()y g x =在区间()0,∞+内存在“兰亭点”，记为x t =，所以()22e e 12tt b t a t b t t t ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得()3233121e t t t a t t b t ⎧-=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩，由于0a >，解得01t <<或3t >，而()321e t t b t =-，所以()()2222330(1)1et t t t b t t '-+=>≠-，所以函数()321e t t b t =-在(0,1),(3,)∞+上为增函数，因为0=t 时0b =，1t →时，b →+∞，3t =时，327e b =-，t →+∞时，0b →，所以01t <<时，()0,b ∈+∞；3t >时，327,0e b ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.综上，实数b 的取值范围是()327,00,e ∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭.方法点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.。

2024年高考数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ）A ．单调递增B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减2．将函数2()22cos f x x x =-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ） A ．3,08π⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,18⎛⎫-- ⎪⎝⎭π C ．3,08⎛⎫-⎪⎝⎭π D ．3,18⎛⎫-⎪⎝⎭π 3．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是A ．13- B ．13 C ．12-D ．124．设12,x x 为()()cos 0f x x x ωωω=->的两个零点，且12x x -的最小值为1，则ω=（ ） A ．πB ．2π C ．3π D ．4π 5．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ） A ．1B ．1或12CD． 6．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅ 7．函数()cos2xf x π=与()g x kx k =-在[]6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),x y （1i =，……，n ），则()1nii i xy =+=∑（ ）A ．7B ．8C ．9D ．108．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭，:q x y =则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数()2331x x f x x ++=+，()2g x x m =-++，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[)17,9,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．4179,,2⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭10．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）A ．413B 213C ．926D 31311．已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝12．要得到函数1cos 2y x =的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024上海高考高三数学模拟试卷（本试卷共10页，满分150分，90分钟完成．答案一律写在答题纸上）命题：侯磊审核：杨逸峰一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）1．已知集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则A B =．2．已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为．3．101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 项的系数为．4．等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为．5．已知平面向量()()1,2,,4a b m == ，若a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为．6．已知复数z 满足22z z -==，则3z =．7．已知空间向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则b 在a方向上的投影为．8．已知()ln(4f x ax c x =++（a 、b 、c 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f 的值是9．已知A B 、是抛物线24y x =上的两个不同的点，且10AB =，若点M 为线段10AB =的中点，则M 到y 轴的距离的最小值为．10．一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为．11．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．12．已实数m n 、满足221m n +≤，则2263m n m n +-+--的取值范围是．二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）13．以下能够成为某个随机变量分布的是（）A ．0111⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101111236-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123111248⎛⎫ ⎪ ⎝⎭D ．11.222.40.50.50.30.7⎛⎫⎪-⎝⎭14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n 为A ．75B ．85C ．90D ．10015．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为x ，第二、三次听到回音的时间间隔为y ，则椭圆的离心率为（）A ．2xx y+B ．2x x y+C ．2y x y +D ．2y x y+三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）17．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12,90,AA ABC D =∠=︒为1CC中点．(1)求四面体1A ABD -的体积：(2)求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦值．18．（1）在用“五点法”作出函数[]1sin ,0,2πy x x =-∈的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x0sin x -01sin x-1（2）设实数0a >且1a ≠，求证：()ln x x a a a '=；（可以使用公式：()e e x x '=）（3）证明：等式()()()32123x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x a x x x x x x bx x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩19．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y （单位：克每立方米）与样本对原点的距离x （单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中9111,9i i i i u u u x ===∑）．xyu921()ii x x =-∑921()i i u u =-∑921()i i y y =-∑91(())i ii x y x y =--∑91()()i ii u u y y =--∑697.900.212400.1414.1226.13 1.40-(1)利用相关系数的知识，判断y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立y 关于x 的回归方程，并估计样本对原点的距离20x =米时，平均金属含量是多少？20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过点()(),00M a a ≠与x 轴不垂直的直线l 与C 交于()()1122,,A x y B x y 、两点．(1)求证：OA OB ⋅是定值（O 是坐标原点）；(2)AB 的垂直平分线与x 轴交于(),0N n ，求n 的取值范围；(3)设A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出定点的坐标．21．已知2()ln(1)2x f x a x x =++-，函数()y f x =的导函数为()y f x '=．(1)当1a =时，求()y f x =在2x =处的切线方程；(2)求函数()y f x =的极值点；(3)函数()y f x =的图象上是否存在一个定点(,)(.(0,))m n m n ∈+∞，使得对于定义域内的任意实数00()x x m ≠，都有000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．1．{3,4}【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【详解】集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则{3,4}A B = .故答案为：{3,4}2．4π【分析】根据条件，直接求出1r =，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为r ，所以2π2πr =，得到1r =，又圆柱的母线长为4l =，所以圆柱的体积为2π4πV r l ==，故答案为：4π.3．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为2，求出r ，代入通项公式中可求得结果.【详解】101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1022r -=，得4r =，所以2x 项的系数为410C 210=，故答案为：2104．(0,2)(2,4)【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得.【详解】依题意，121a q=-，10q -<<或01q <<，则12(1)a q =-，102a <<或124a <<，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4) .故答案为：(0,2)(2,4) 5．(8,2)(2,)-+∞ 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.【详解】向量()()1,2,,4a b m == 的夹角为锐角，则0a b ⋅> 且a 与b不共线，因此8024m m +>⎧⎨≠⎩，解得8m >-且2m ≠，所以实数m 的取值范围为(8,2)(2,)-+∞ .故答案为：(8,2)(2,)-+∞ 6．8-【分析】设i z a b =+，根据22z z -==得到方程组，求出1,a b ==答案，从而求出3z .【详解】设i z a b =+，则22i z a b -=-+，所以()2222424a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,a b ==当1,a b =1=z ，故()222113i 22z =+=++=-+，()()322126i 8z =-++=-+=-；当1,a b ==1z =-，故()222113i 22z =-=-=--，()()322126i 8z =--=-+=-故答案为：-87．11(,,0)22【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则1,||a b a ⋅==，所以b 在a 方向上的投影为2111(,,0)222||a b a a a ⋅==，故答案为：11(,,0)228．3【分析】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，然后判断()g x 的奇偶性，再利用函数的奇偶性求值即可【详解】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，函数的定义域为R ，因为()ln(g x ax c x -=---ln ax c ⎛⎫=--(1ln ax c x -=--+(ln ax c x =--+(ln ()ax c x g x ⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为奇函数，因为3(lg log 10)5f =，所以3(lg log 10)45g +=，所以(lg lg 3)1g -=，所以(lg lg 3)1g =-，所以(lg lg3)(lg lg3)4143f g =+=-+=，故答案为：39．4【分析】求出过抛物线焦点的弦长范围，再利用抛物线定义列式求解即得.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程=1x -，令过点F 与抛物线交于两点的直线方程为1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=，设两个交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，则124y y t +=，21212()242x x t y y t +=++=+，于是212||11444PQ x x t =+++=+≥，当且仅当0=t 时取等号，令点,,A B M 的横坐标分别为0,,A B x x x ，而||104AB =≥，则0111[(1)(1)]1(||||)1||142222A B A B x x x x x FA FB AB +==+++-=+-≥-=，当且仅当,,A F B 三点共线时取等号，所以M 到y 轴的距离的最小值为4.故答案为：410．323【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A 为“运动员开第一枪命中飞碟”，B 为“运动员开第二枪命中飞碟”，C 为“飞碟被击中”，则()0.20.60.12P B =⨯=，()()()()0.80.120.92P C P A B P A P B ==+=+= ，所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为()()0.123(|)()()0.9223P BC P B P B C P C P C ====.故答案为：32311．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan3A =>=，又函数tan y x =在π(0,)2上单调递增，则π3A >，此时3πA B C A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B CB C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：612．[3,13]【分析】确定动点(,)P m n 的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得.【详解】显然点(,)P m n 在圆22:1O x y +=及内部，直线1:630l x y --=，直线2:220l x y +-=，1=>，得直线1l与圆O相离，且|63|63m n m n--=--，由222201x yx y+-=⎧⎨+=⎩，解得3545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1xy=⎧⎨=⎩，即直线2l与圆O交于点34(,),(1,0)55A B，①当220m n+-≥时，即点P在直线2l与圆O所围成的小弓形及内部，|22||63|226324m n m n m n m n m n+-+--=+-+--=-+，目标函数124z x y=-+，即142z x y-=-表示斜率为12，纵截距为142z-的平行直线系，画出直线0:20p x y-=，平移直线p分别到直线12,p p，当1p过点A时，142z-取得最大值，1z最小，当2p过点B时，142z-取得最小值，1z最大，因此1min34()24355z=-⨯+=，1max()12045z=-⨯+=，从而3245m n≤-+≤；②当220m n+-<时，即点P在直线2l与圆O所围成的大弓形及内部（不含直线2l上的点），|22||63|(22)63348m n m n m n m n m n+-+--=-+-+--=--+，目标函数2348z x y=--+，即2834z x y-=+表示斜率为34-，纵截距为282z-的平行直线系，画出直线0:340q x y+=，显直线q OA⊥，平移直线q分别到直线12,q q，直线12,q q与圆O分别相切于点34,(,)55A--，当1q过点A时，282z-取得最大值，2z最小，因此2min34()834355z=-⨯-⨯=，当2q过点34(,)55--时，282z-取得最小值，2z最大，因此2max34()8341355z=+⨯+⨯=，从而383413m n<--≤，所以2263m n m n+-+--的取值范围是[3,13].故答案为：[3,13]【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值．13．B【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，显然AC 选项不满足概率之和为1，D 选项不满足各项概率大于0，B 选项满足要求.故选：B 14．C【详解】分析：由题意结合分层抽样的性质得到关于n 的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合分层抽样的定义可得：251000140012001000n =++，解得：90n =.本题选择C 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设111,2a q =-=，则2311,24a a =-=-，满足123a a a <<，但{}n S 是严格减数列，充分性不成立，当111,2a q ==时，{}n S 是严格增数列，但123a a a >>，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D 16．B【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得.【详解】依题意，令声音传播速度为v ，1t 时刻，刚刚呐喊声音传播为0，2t 时刻听到第一次回声，声音的路程为2()-a c ，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点，3t 时刻，声音的路程为2()a c +，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点，4t 时刻，声音的路程为4a ，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点，因此32,2()2()x t t a c a c vx =-+--=，43,42()y t t a a c vy =--+=，即4,22c vx a c vy =-=，则2a c y c x -=，即2a c y c x -=，整理得2a y xc x+=，所以椭圆的离心率为2c xa x y=+.故选：B【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键.17．(1)136【分析】（1）利用等体积法11A ABD D A AB V V --=，再根据条件，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD 与1ACB 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以1AA BC ⊥，又AB BC ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂面11ABB A ，所以CB ⊥面11ABB A ，因为1//CC 面11ABB A ，所以D 到面11ABB A 的距离即BC ,又111112122AA B S AB AA =⋅=⨯⨯= ，1BC =，所以1111133A ABD D A AB A AB V V S CB --=== .（2）如图，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，12AA =，则1(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(1,0,1)B AC BD ，所以1(0,1,0),(1,0,1),(0,1,2),(1,1,0)BA BD AB AC ===-=-设平面ABD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由1100BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到00y x z =⎧⎨+=⎩，取1x =，得到0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =- ，设平面1ACB 的一个法向量为(,,)m a b c =，则由10AC m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到020a b b c -=⎧⎨-+=⎩，取2a =，则2,1b c ==，所以(2,2,1)m = ，设平面ABD 与1ACB 所成锐二面角为θ，则cos cos ,n mn m n m θ⋅====18．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.【详解】（1）“五点法”作函数[]sin ,0,2πy x x =∈的图象的5个关键点的横坐标为π3π0,,π,,2π22，所以表格如下：xπ2π3π22πsin x -01-0101sin x-1121（2）实数0a >且1a ≠，则ln ln e e xx a x a a ==，因此ln ln ()(e )e (ln )ln x x a x a x a x a a a '''==⋅=，所以()ln x x a a a '=.（3）212212133)())[()])(((x x x x x x x x x x x x x x =-----++32332121212312()()x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+-++32123122331123()()x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，依题意，3212312233112332()()x x x x x x x x x x x x ax bx x x x x c -+++-+++=++对任意实数x 恒成立，因此123123122331122331123123()a x x x x x x ab x x x x x x x x x x x x bc x x x x x x c=-++++=-⎧⎧⎪⎪=++⇔++=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩，所以等式32123()()()x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩.19．(1)dy c x=+更适宜作为回归方程类型；(2)10ˆ100yx=-，399.5g /m .【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合10.449r ≈和20.996r ≈-，结合12r r <，即可得到结论.（2）（i ）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii ）当20x =时，结合回归方程，即可求得预报值.【详解】（1）因为y a bx =+的线性相关系数91)9()(0.44iix y r x y --==≈∑，dy c x=+的线性相关系数92(0.996iiu u y r y --≈-∑，因为12r r <，所以dy c x=+更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型.（2）依题意，992110ˆ()()1(.4010.14)i ii i iu u y u u yβ==----===-∑∑，则ˆˆ97.9(10)0.21100y u αβ=-=--⨯=，于是10ˆ10010100y u x=-=-，所以y 关于x 的回归方程为10ˆ100yx=-.当20x =时，金属含量的预报值为31010099.5g /m 20ˆy=-=.20．(1)证明见解析；(2))||(,p a ++∞；(3)证明见解析，(),0a -.【分析】（1）联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得..（2）求出弦AB 的中点坐标及弦AB 的中垂线方程，进而求出n ，再结合判别式求解即得.（3）设出D 点的坐标，求出直线BD 的方程211121()y y y x x y x x +=---，借助（1）的信息，推理判断即得.【详解】（1）显然直线l 不垂直于坐标轴，设过点(),0M a 的直线l 的方程为x my a =+，由22y px x my a ⎧=⎨=+⎩消去x 得：2220y pmy pa --=，22Δ480p m pa =+>，则121222y y pm y y pa +=⎧⎨⋅=-⎩，所以22212121212222y y OA OB x x y y y y a pa p p⋅=+=⋅+=- 为定值.（2）设,A B 两点的中点坐标为()33,Q x y ，则21212322x x my my x a pm a ++==+=+，1232y y y pm +==，则()2,Q pm a pm +，即AB 的垂直平分线为()2y m x pm a pm =---+，令0y =，解得2n pm a p =++，显然22480p m pa ∆=+>，当0a >时，恒有220pm a +>成立，则n p a >+，当a<0时，2pm a a +>-，则n p a >-，所以n 的取值范围为)||(,p a ++∞.（3）由A 关于x 轴的对称点为D ，得()11,D x y -，则直线BD ：211121()y y y x x y x x +=---，整理得：2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---.又()()()1221211212122x y x y y my a y my a my y a y y +=+++=++422pam pam pam =-+=-.因此直线BD 为：212122pm pam y x x x x x =+--，即()212pmy x a x x =+-过定点(),0a -，所以直线BD 过定点(),0a -.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)48ln 333y x =-+；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数求切线斜率，再求出切点坐标，点斜式写出切线方程即可.（2）利用导数探讨单调性，进而确定函数的极值点.（3）假设存在，利用导数，将等式化简，减少变量，从而可构造适当新函数，研究新函数的性质，即可判断.【详解】（1）当1a =时，2()ln(1),(2)ln 32x f x x x f =++-=，求导得14()1,(2)13f x x f x ''=+-=+，切线方程为4ln 3(2)3y x -=-，所以所求切线方程为48ln 333y x =-+.（2）函数2()ln(1)2x f x a x x =++-的定义域为(1,)-+∞，求导得21()111a x af x x x x -+'=+-=++，令()0f x '=，即210x a -+=，即21x a =-，①当1a ≥时，函数()y f x =在定义域内严格增,无极值点；②当01a <<时，当1x -<<或x >时，()0f x '>，当x <()0f x '<，函数()y f x =在(1,-和)+∞严格增，在(严格减，此时极大值点为③当0a ≤时，当1x -<<时，()0f x '<，当x >时，()0f x '>，函数()y f x =在(-严格减，在)+∞严格增的，所以当1a ≥时，函数()y f x =无极值点；当01a <<时，函数()y f x =极大值点为当0a ≤时，函数()y f x =.（3）假设存在定点(,)m n 满足条件，由000()()()2x mf x f x m n +'=-+得：000)(2()f x n x m f x m -+'=-，又点(,)m n 在曲线()f x 上，则2()ln(1)2mn f m a m m ==++，于是220000001[ln(1)ln(1)])()()(2a x m x m x m f x n x mx m+-++----=--000[ln(1)ln(1)]12a x m x mx m +-++=+--，而()11a f x x x '=+-+，于是000002()1=1222212x m x m x m a af x m x m +++'=+-+-++++，因此000ln(1)ln(1)22x m x m x m +-+=-++，变形得00012(1)11ln 1111x x m x m m +-++=++++，令01(0)1x t t m +=>+，则2(1)ln 1t t t -=+，令函数22()ln ,01t g t t t t -=->+，求导得22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=≥++，则()g t 在(0,)+∞单调递增，又(1)0g =，于是()0g t =只有唯一解1t =，即0111x m +=+，又0m x ≠，则1t ≠，故不存在定点(,)m n 满足条件.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。

2023-2024学年上海市区域数学新高三开学摸底考试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、填空题：本题共12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分。

二、选择题：本题共4小题，13、14题每题4分，15、16题每题5分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目13．已知两个平面α，β，及两条直线l ，m ．则下列命题错误的是（）A ．若αβ⊥，l β⊂，m αβ= ，l m ⊥，则l α⊥B ．若l β⊥，//αβ，m α⊂，则l m ⊥C ．若l ⊂α，m α⊂，//m β，//l β，则//αβD ．若l ，m 是异面直线，l ⊂α，//l β，m β⊂，//m α，则//αβ【正确答案】C【详解】对于A ，若αβ⊥，l β⊂，m αβ= ，l m ⊥，根据面面垂直的性质定理可得l α⊥，A 正确；对于B ，若l β⊥，//αβ，则l α⊥，又m α⊂，则l m ⊥，B 正确；对于C ，若l ⊂α，m α⊂，//m β，//l β，则α与β可以相交或平行，C 错误；对于D ，因为m β⊂，//m α，所以存在直线m α'⊂，//m m '，因为l ，m 是异面直线，所以l 与m '相交，因为//m m '，m β⊂，m β'⊄，所以//m β'，又因为l ⊂α，//l β，所以//αβ，D 正确，故选：C三、解答题：共14+14+14+18+18=70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

华师大一附中2023届高三年级三模考试数学试卷一､填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 已知集合，则_________．{}21,1,0,1,21x A x B x ⎧⎫=≥=-⎨⎬-⎩⎭A B = 【答案】 {1,2}-【解析】【分析】解分式不等式得到集合，求交集即可. {}11A x x x =≤->或【详解】对于集合，解不等式， 211x A xx ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭211xx ≥-所以，即，等价于， 2101x x -≥-101x x +≥-()()11010x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩解得或，所以，1x ≤-1x >{}11A x x x =≤->或，则.{}1,0,1,2B =-{}1,2A B =- 故答案为：.{}1,2-2. 若复数满足，则________． z 20z z+=z = 【解析】【分析】设，，依题意可得，根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的i z a b =+,R a b ∈220z +=充要条件得到方程，即可求出、的值，从而求出其模. a b 【详解】设，，由，所以， i z a b =+,R a b ∈20z z+=220z +=即，所以，()2i 20a b ++=222i 20a b ab -++=所以，所以，则.22220a b ab⎧-=-⎨=⎩0ab =⎧⎪⎨=⎪⎩==z3. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为x y +_______．【答案】13 【解析】 【分析】根据平均数的算法，可得，将乙班的学生成绩按从小到大的顺序排好序，以及中位数的概念，可得结x 果.【详解】观察茎叶图，甲班学生成绩的平均分是，故； 868x =乙班学生成绩的中位数是，故. 835y =∴． 13x y +=故答案为：13【点睛】本题主要根据茎叶图计算中位数与平均数，属基础题.4. 已知若向量在向量，则实数_______．(2,1),(4,),a b m =--=- b am=【答案】3 【解析】【分析】根据数量投影公式，代入求值.【详解】由条件可知，向量在向量方向上的数量投影为， b a a b b⋅==解得：. 3m =故答案为：35. 已知等比数列中，若成等差数列，则______． {}n a 0n a >13214,,32a a a 2021202320202022a a a a -=-【答案】4 【解析】【分析】由已知可得，观察所求分式即可得． 4q =【详解】设等比数列的公比为，因为， 成等差数列， {}n a q 1314,2a a 23a 所以，所以，且，12343a a a +=211143a a q a q +=10a ≠所以，解得或，2340q q --=4q =1q =-为保证有意义，则，所以，2021202320202022a a a a --21q ≠4q =所以． ()202020222021202320202022202020224q a a a a q a a a a --===--故答案为：4．6. （n 为正整数）的二项展开式中，若第三项与第五项的系数相等，则展开式中的常数项为1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭______． 【答案】20 【解析】【分析】根据第三项与第五项的系数相等，建立方程求出，然后进行计算即可． 6n =【详解】第三项与第五项的系数相等，，得，∴24C C n n =246n =+=则的展开式中的常数项为．61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭36C 20=故答案为：20． 7. 已知，则的最小值为___________. 11,0,4x y x y >>+=11y x +-【答案】 43【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为，所以， 11,0,4x y x y >>+=110,0,13x y x y->>-+=故()()11111112113131y x y x y x y x x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++=+-+⎢⎥ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎣⎦，14233⎡≥+=⎢⎢⎣当且仅当且，即时，等号成立， ()()111x y x y -=-14x y +=52,23x y ==所以，则的最小值为.1413y x +≥-11y x +-43故答案为：. 438. 已知是抛物线的焦点，P 是抛物线C 上一动点，Q 是曲线上F 2:4C y x =2282160x y x y +--+=一动点，则的最小值为_______． PF PQ +【答案】 4【解析】【分析】根据题意，过点作，垂足为，过点，垂足为，根据抛物线的定义，转化为P PA l ⊥A M 1A ，结合图象，得到，当且仅当在一条直线上时，的1PF PQ PA PM +=+-111,,,M P Q A PF PQ +最小值，即可求解.【详解】由抛物线，可得焦点坐标为，准线方程为，2:4C y x =(1,0)F :1l x =-又由曲线，可化为，2282160x y x y +--+=-+-=22(4)(1)1x y 可得圆心坐标为，半径，(4,1)M 1r =过点作，垂足为，过点作，垂足为，交抛物线于，如图所示， P PA l ⊥A M 1MA l ⊥1A 1P 根据抛物线的定义，可得，1PF PQ PA PM +=+-要使得取得最小值，只需使得点与重合，此时与重合，PA PM +P 1P A 1A 即，当且仅当在一条直线上时， 1115PA PM P A PM +≥+=111,,,M P Q A 所以的最小值为. PF PQ +514-=故答案为：.49. 若关于x 的不等式的解集，则实数的取值范围是__________． 24x a x x ++-≤-[]1,2A ⊇a 【答案】 [3,0]-【解析】【分析】不等式转换为对任意的，都有不等式恒成立，则按照绝对值不等[]1,2x ∈24x a x x ++-≤-式即可求得实数的取值范围.a 【详解】关于x 的不等式的解集，则对任意的，都有不等式24x a x x ++-≤-[]1,2A ⊇[]1,2x ∈恒成立24x a x x ++-≤-此时，故原不等式化为，故，20,40x x -≤-≤24x a x x ++-≤-2x a +≤则对任意的成立，故实数的取值范围是. 22x a -≤+≤[]1,2x ∈a [3,0]-故答案为：.[3,0]-10. 已知平面向量满足，则的取值范围是__________．,,a b e1,1,4a e b e a b ⋅=⋅=--= a b - 【答案】(-【解析】【分析】不妨设，则，得到，结合绝对值三角不等式，即()1,0e = ()()1,,1,a x b y ==-x y -=可求解.【详解】不妨设，则，()1,0e = ()()1,,1,a x b y ==-由，可得， 4a b -=x y -=则，|||a -|||yx y -≤-=所以的取值范围是.a b -(-故答案为：.(-11. 已知函数点M ､N 是函数图象上不同的两个点，则（为坐1e 1,0()0x x x f x x -⎧+≥⎪=<()f x tan MON ∠O 标原点）的取值范围是_________． 【答案】 (0,3)【解析】【分析】根据给定的条件，求出过原点与曲线相切的切线斜率，曲线的(),0y f x x =≥(),0y f x x =<渐近线，再确定的范围，进而求出的范围作答. MON ∠tan MON ∠【详解】当时，，求导得，即函数在上单调递0x ≥1()e 1x f x x -=+1()(1)e 0x f x x -'=+>()f x [0,)+∞增，当时，由，得，于是函数的图0x <y =221(0,1)y x x y -=<>(),0y f x x =<象是焦点在y 轴上的双曲线在第二象限的部分，是其渐近线，如图，y x =-令过原点的直线与曲线相切的切点为，则，(),0y f x x =≥0100(,e 1)x x x -+0011000e 1(1)ex x x x x --++=整理得，令，，函数在上单调递0120e 1x x -=21()e ,0x g x x x -=>21()(+2)e 0x g x x x -'=>()g x (0,)+∞增，而，因此当且仅当时，，则的解为，(1)1g =1x =()1g x =01200e1(0)x x x -=≥01x =即过原点的直线与曲线相切的切点为，切线方程为，设其倾斜角为，有(),0y f x x =≥(1,2)2y x =α，tan 2α=因为点M 、N 是函数图象上不同的两个点，则， ()f x 3ππ042MON α<∠<-<而正切函数在上单调递增，因此， tan y x =π(0,23π0tan tan()4MON α<∠<-又， 3πtantan 3π124tan()33π41(1)21tan tan 4ααα----===+-⨯+所以的取值范围是. tan MON ∠(0,3)故答案为：(0,3)12. 若存在实数及正整数，使得在区间内恰有个零点，则所有满a n ()cos 2sin f x x a x =-(0,π)n 2022足条件的正整数的值共有_________个． n 【答案】 5【解析】【分析】利用换元思想将问题转化为方程在实数范围内一定有两个异号的根，根据方程与2210t at +-=函数的应用进行讨论分析. 【详解】由题意知，，()2cos 2sin 2sin sin 1f x x a x x a x =-=--+令，，此时，()0f x =sin t x =2210t at +-=而，，， 280a ∆=+>1212t t =-122a t t +=-则上述方程在实数范围内一定有两个异号的根， 当时，，21t <-101t <<一个周期内有两个零点，则或； 2π2022n =2021n =当时，， 21t =-112t =一个周期内有三个零点，则需要个周期， 2π20226743=即；67421348n =⨯=当时，此时，解得， 210t -<<210a -->1a <若，此时， 11a -<<101t <<则一个周期内有四个零点， 2π则需要个周期， 2022150542=+即； 250511011n =⨯+=若，此时，， 1a =-212t =-11t =则一个周期内有三个零点， 2π则需要个周期， 20226743=即； 67421348n =⨯=若，此时， 1a <-11t >一个周期内有两个零点， 2π则或.2022n =2023n =综上所述，这样的正整数有个， n 5分别是. 1011,1348,2021,2022,2023故答案为：5【点睛】关键点睛：本题主要考查函数与方程的应用，利用分类讨论思想进行求解是解决本题的关键，属于中档题.二､选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13. “”是“直线与直线平行”的（ ） 1m =-20x my +-=0x y n -+=A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用两直线平行求出实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. m 【详解】若直线与直线平行，则且， 20x my +-=0x y n -+=1m =-2n ≠-因为“”“且”， 1m =-⇒1m =-2n ≠-但“”“且”，1m =-⇐1m =-2n ≠-因此，“”是“直线与直线平行”的必要不充分条件. 1m =-20x my +-=0x y n -+=故选：B.14. 从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取一个数，这个数比m 大的概率为，若m 为上述数据中的第x 14百分位数，则x 的取值可能为（ ） A. 50 B. 60C. 70D. 80【答案】C 【解析】【分析】先求出，再结合百分位数的定义，即可求解．m 【详解】从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取一个数，这个数比大的概率为，则， m 147m =为数据2，3，4，5，6，7，8，9的第6个数，m 为上述数据中的第百分位数，，则的取值可能为70．m x 70%8 5.6⨯=x 故选：C ．15. 已知圆锥SO （O 是底面圆的圆心，S ，高为1，P ､Q 为底面圆周上任意两点．有以下三个结论： ①三角形SPQ 面积的最大值为2； ②三棱锥体积的最大值为； O SPQ -23③四面体SOPQ 外接球表面积的最小值为． 9π以上所有正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】首先确定的最大值，再结合三角形面积公式，即可判断①； PSQ ∠利用三棱锥等体积转化，再集合三角形面积公式，即可判断②； 首先表示四面体SOPQ 外接球的半径，再判断有无最值.【详解】①如图，由条件可知，，点是直径的两个端点，4MN ==,M N，所以是钝角，3cos 05MSN ∠==-<MSN ∠，当时，的面积最大，最大值是15sin sin 22SPQ S SP SQ PSQ PSQ =⨯⨯⨯∠=∠ 90PSQ ∠= SPQ 52，故①错误； ②， 1133O SPQ S OPQ OPQ OPQ V V S SO S --==⨯⨯=⨯ ，当时，的最大值是，122sin 2OPQ S POQ =⨯⨯⨯∠ 90POQ ∠= POQ S △2所有三棱锥的最大值是，故②正确； O SPQ -23③设外接圆的半径为，四面体SOPQ 外接球的半径 OPQ △r R =中，根据正弦定理可得， ，得，OPQ △22sin r OPQ =∠1sin r OPQ=∠，所以，则外接球的半径也无最小值，所以四面体SOPQ 外接球表面积无最()0,90OPQ ∠∈ 1r >R 小值，故③错误.故选：B16. 设是两个非零向量的夹角，若对任意实数t ，的最小值为1．命题p ：若确定，则θ,a ba tb + a r θ唯一确定；命题q ：若确定，则唯一确定．下列说法正确的是（ ）θa rA. 命题p 是真命题，命题q 是假命题B. 命题p 是假命题，命题q 是真命题C. 命题p 和命题q 都是真命题D. 命题p 和命题q 都是假命题 【答案】B 【解析】【分析】由向量的最小值为1，分析可得，然后判断命题真假即可.a tb + ()221cos 1a θ-=【详解】因为a tb +=所以当时，取得最小值. 2a b t b ⋅=- a tb + 所以，()22224214a b a b b-⋅= 化简得()221cos 1aθ-= 所以若确定，则唯一确定，若确定，则不唯一.θa r a rθ所以命题p 为假命题，命题q 为真命题. 故选：B.三､解答题（本大题共5题，满分78分）17.已知圆锥的顶点为S ，底面圆心为O ，半径为2，母线SA ､SB 的长为，且M 为线90AOB ∠=︒段AB 的中点．（1）证明：平面SOM 平面SAB ； ⊥（2）求直线SM与平面SOA 所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析（2）arctan 【解析】【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明线面垂直再由面面垂直判定定理证明即可； （2）由线面角定义求线面角求正切再求角即可.【小问1详解】因为为中点，所以， ,AO BO M =AB OM AB ⊥因为平面，平面，SO ⊥AOB AB ⊂AOB 所以，且，平面，平面， SO AB ⊥OM SO O = OM ⊂SOM SO ⊂SOM 所以平面，AB ⊥SOM又因为平面，所以平面平面． AB ⊂SAB SAB ⊥SOM 【小问2详解】设的中点为，连接，则， AO N MN SN ､//MN OB 因为，所以，OA OB ⊥OA MN ⊥因为底面，所以,平面，平面，, SO ⊥AOB SO MN ⊥SO ⊂SOA OA ⊂SOA OA OS O = 所以平面，MN ⊥SOA 所以即是直线与平面所成角．MSN ∠SM SOA因为圆锥的底面半径为2，母线长为，所以高， 2SO =得．1SN MN ==因为， SN MN ⊥所以， tan MN MSN SN ∠==所以． arctanMSN ∠=18. 全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；m（2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望； ξξ【答案】（1），中位数；0.012m =68（2）分布列见解析，. 911【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积为1，结合中位数的定义进行求解即可； （2）根据分层抽样的性质，结合古典概型公式、数学期望公式进行求解即可. 【小问1详解】由频率分布直方图的性质可得，， (0.0040.0220.030.0280.004)101m +++++⨯=解得，0.012m =设中位数为， 解得； a ()0.004100.02210600.30.5a ∴⨯+⨯+-⨯=68a =【小问2详解】的三组频率之比为0.28：0.12：0.04=7：3：1[)[)[]70,80,80,90,90,100 从中分别抽取7人，3人，1人，∴[)[)[]70,80,80,90,90,100所有可能取值为0，1，2，3，ξ，，， 38311C 56(0)C 165P ξ===2183311C C 28(1)C 55P ξ===1283311C C 8(2)C 55P ξ===33311C 1(3)C 165P ξ===故的分布列为：ξξ0 1 2 3P 56165 2855 855 1165故 ()56288190123.165555516511E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=19. 若数列满足（n 为正整数，p 为常数），则称数列为等方差数列，p 为公方{}n a 221n n a a p +-={}n a 差．（1）已知数列的通项公式分别为判断上述两个数列是否为等方差数{}{},n n x y 13,n n n x y -==列，并说明理由；（2）若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，数列满足，且{}n a {}n b 2212,1log ,2n n n a n b a n +=⎧⎪=⎨≥⎪⎩，求正整数m 的值；1238m b b b b ⋅⋅⋅= （3）在（1）､（2）的条件下，若在与之间依次插入数列中的项构成新数列，k y 1k y +{}2n a k {}1:n c y，求数列中前50项的和．222222122334564,,,,,,,,,a y a a y a a a y ⋯⋯{}n c 50T 【答案】（1）数列为等方差数列，数列不是等方差数列，理由见解析；{}n x {}n y （2）40 （3）11522【解析】【分析】（1）根据等方差数列的定义，即可判断；（2）首先求得数列的通项公式，再根据数列的通项公式，结合对数换底公式，{}2n a {}n b 即可求解；（3）首先确定的取值，再根据等比数列和等差数列求和公式，即可求解. k 【小问1详解】因为（常数），2211n n x x +-=所以数列为等方差数列，1为公方差；{}n x 因为， 22222222222221322132318,9372,y y y y y y y y -=-=-=-=-≠-所以数列不是等方差数列． {}n y 【小问2详解】由题意得，，()2222112,1,11221n n n a a a a n n +-===+-⋅=-显然()()123357212,2log 5log 7log 9log 21m m m b b b b m -≥⋅⋅=⋅⋅⋅⋅+ ，解得． ()()()3lg 21lg5lg7lg922log 218lg3lg5lg7lg 21m m m +=⋅⋅⋅⋅=+=- 40m =【小问3详解】由题意得：新数列中，（含） {}n c 1k y +1k y +前共有：项，由，得，()()()()1212312k k k k ++++++++=()()12502k k ++≤8k ≤所以新数列中的前50项含有数列的前9项，含有数列的前41项，{}n c {}n y {}2n a 即()9501134140411211522.132T ⨯-⨯=+⨯+⨯=-20. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为，短轴长为12（1）求椭圆C 的标准方程（2）直线与椭圆C 交于P 、Q 两点，A ，B 是椭圆C 上位于直线PQ 两侧的动点，且直线AB 的斜2x =率为12①求四边形APBQ 的面积的最大值②设直线PA 的斜率为，直线PB 的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由.1k 2k 12k k +【答案】（1）；（2）①，②是常数，理由见解析．2211612x y +=【解析】 【分析】（1）设椭圆的方程为，由题可得，再结合，即C ()222210x y a b a b+=>>122c b a ==222a b c =+可求得,从而求得椭圆的标准方程；,a b C （2）①设点、，联立，整理得：，四边形()11,A x y ()22,B x y 221211612y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22120x tx t ++-=的面，而易求，代入韦达定理即可求得的表达式，从而求得的最APBQ 1212S PQ x x =⨯⨯-PQ S S 大值；②直线的斜率，直线的斜率，代入韦达定理化简整理可得的值为PA 11132y k x -=-PB 22232y k x -=-12k k +常数．0【详解】（1）设椭圆的方程为．C ()222210x y a b a b+=>>由题意可得，解得222212b c a a b c⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩42a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的标准方程为；C 2211612x y +=（2）①由（1）可求得点、的坐标为，，则， P Q ()2,3P ()2,3Q -6PQ =设直线的方程为，设点、， AB 12yx t =+()11,A x y ()22,B x y联立，整理得：， 221211612y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22120x tx t ++-=由，可得.()2224124830t t t ∆=--=->44t -<<由韦达定理知：，，12x x t +=-21212x x t =-四边形的面积，APBQ1212116322S PQ x x x x =⨯⨯-=⨯⨯-==故当时，0=t max S =②由题意知，直线的斜率，直线的斜率， PA 11132y k x -=-PB 22232y k x -=-则 1212121212113333222222x t x t y y k k x x x x +-+---+=+=+---- ()()()()()12121212121211222224222211222224x t x t t x x t t x x x x x x x x -+--+--+---=+=++=+-----++.()()222242811110122428t t t t t t t t -----+=+=+=-=-+++-所以的值为常数．12k k +0【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的标准方程，及椭圆中最值，定值问题,圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略：(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 21. 已知函数（､）． ()(1)x x f x ae be a x -=--+a R b ∈（1）当a =2，b =0时，求函数图象过点的切线方程；(0,(0))f （2）当b =1时，既存在极大值，又存在极小值，求实数a 的取值范围；()f x （3）当，b =1时，分别为的极大值点和极小值点，且，求实数k (0,1)a ∈12,x x ()f x ()()120f x kf x +>的取值范围．【答案】（1）20x y +-=（2）()()0,11,+∞ （3）(],1-∞-【解析】【分析】（1）利用导数求函数在某一点的切线方程即可； （2）利用导数分析函数的单调性，极值求参数的取值范围即可.（3）利用导数分析的极值，从而求得恒成立求参数k 的取值范围，然后构造()f x ()()120f x kf x +>函数利用导数分类讨论求解即可. 【小问1详解】当时，，2,0a b ==()()23,23xxf x e x f x e '=-=-()()01,02f f =-='所以切线方程为，即为．()20y x -=--20x y +-=【小问2详解】，()()()()()2x e 1e 1e 1e 1e e 1e e xx x x x xxa a a f x a a -'---++=+-+==一方面，因为函数既存在极大值，又存在极小值， ()f x 则必有两个不等的实根，则，()0f x '=0a >由可得，且，解得且； ()0f x '=120,ln x x a ==-ln 0a -≠0a >1a ≠另一方面，当且时，不妨考虑的情形，列表如下：0a >1a ≠12x x <x ()1,x -∞1x ()20,x2x ()2,x +∞ ()f x '+-+()f x极大值极小值可知分别在取得极大值和极小值，符合题意． ()f x 12x x x x ==､综上，实数的取值范围是． a ()()0,11,+∞ 【小问3详解】由，可得，列表如下：()0,1a ∈ln 0a ->x(),0∞-0()0,ln a -ln a -()ln ,-+∞a ()f x '+0 -+()f x极大值极小值所以在取得极大值；()f x 10x =()11f x a =-在取得极小值，()f x 2ln x a =-()()211ln f x a a a =-++由题意可得对任意的恒成立， ()111ln 0a k a a a -+-++>⎡⎤⎣⎦()0,1a ∈由于此时，则， ()()210f x f x <<0k <所以，则， ()()()1ln 11k a a k a +>--11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅⎪+⎝⎭构造函数，其中， ()11ln 11x g x x k x -⎛⎫=--⋅⎪+⎝⎭01x <<则， ()2222212(1)2111121(1)(1)(1)x x x x k k g x x k x x x x x ⎛⎫+'--++ ⎪⎛⎫⎝⎭=--⋅== ⎪+++⎝⎭令，则． 2210x x k ++=()222414Δ4k k k-=-=①当，即时，在上是严格增函数， Δ0≤1k ≤-()()0,g x g x '≥()0,1所以，即，符合题意； ()()10g x g <=11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅⎪+⎝⎭②当，即时，设方程的两根分别为， Δ0>10k -<<2210x x k++=34x x ､则，设， 343420,1x x x x k+=->=3401x x <<<则当时，，则在上是严格减，31x x <<()0g x '<()g x ()3,1x 所以当时，，即，不合题意． 31x x <<()()10g x g >=11ln 11a a k a -⎛⎫>-⋅⎪+⎝⎭综上所述，的取值范围是．k (],1-∞-【点睛】对于不等式恒成立求参数的取值范围问题，一般构造新函数利用导数分析函数的单调性最值，要注意分类讨论求解即可.。

一、单选题二、多选题1.已知，若是纯虚数（是虚数单位），则（ ）A ．－1或1B ．0C ．－1D ．0或12. 设全集，，，则（ ）A．B．C．D．3.复数的虚部为（ ）A．B．C．D．4. 若的展开式的二项式系数最大的项只有第项，则展开式中，的系数为（ ）A．B．C．D．5. 已知实数a 、b满足，则下列判断正确的是（ ）A．B．C．D．6. 已知直线和圆满足对直线上任意一点，在圆上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．7. 已知圆锥曲线统一定义为“平面内到定点F 的距离与到定直线l 的距离（F 不在l 上）的比值e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线”．过双曲线的左焦点的直线l （斜率为正）交双曲线于A ，B 两点，满足．设M 为AB 的中点，则直线OM 斜率的最小值是（ ）A．B．C．D．8.一台机器在一天内发生故障的概率为，若这台机器一周个工作日不发生故障，可获利万元；发生次故障获利为万元；发生次或次以上故障要亏损万元，这台机器一周个工作日内可能获利的数学期望是（）万元．（已知，）A．B．C．D．9. 某次音乐节，评委给支乐队的评分（十分制）如下图，下列说法正确的是（）A ．支乐队评分的极差为B．支乐队中评分不低于分的有支C ．支乐队评分的平均数约为D．第支到第支乐队的评分逐渐降低10. 重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒上海市2023届高三模拟数学试题上海市2023届高三模拟数学试题三、填空题四、解答题卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD ，其中，，动点P 在上（含端点），连结OP 交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（）A ．若，则B ．若，则C．D．11.设函数的图象与的图象关于直线对称，且当时，恒成立，求满足条件的的值可以为（ ）（参考数据：）A ．0B ．1C ．2D ．312. 甲同学投掷骰子次，并请乙同学将向上的点数记录下来，计算出平均数和方差．由于记录遗失，乙同学只记得这五个点数的平均数为，方差在区间内，则这五个点数（ ）A．众数可能为B．中位数可能为C．一定不会出现D ．出现的次数不会超过两次13.如图正方形的边长为，已知，将沿边折起，折起后点在平面上的射影为点，则翻折后的几何体中有如下描述：①与所成角的正切值是；②；③的体积是；④平面⊥平面；⑤直线与平面所成角为．其中正确的有__________．（填写你认为正确的序号）14. 正项等比数列{a n }中，，则的前9项和_____．15. 若数列为等差数列，且，，则该数列的前项和为_________．16.已知抛物线的焦点为F ，点P 在抛物线上，O为坐标原点，且.(1)抛物线E 的标准方程；(2)如图所示，过点和点分别作两条斜率为k 的平行弦分别和抛物线E 相交于点A ，B 和点C ，D ，得到一个梯形ABCD .记梯形两腰AD 和BC 的斜率分别为和，且.（i）试求实数k的值；（ii）若存在实数，使得，试求实数的取值范围.17. 已知函数.(1)若的导函数为，试讨论的单调性；(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.18. 已知函数.(1)讨论的单调性;(2)设函数，求证:当时，恰有两个零点.19. 已知函数（，）.(1)求函数的极值；(2)若函数的最小值为0，，（）为函数的两个零点，证明：.20. 已知函数.（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的单调性(不必证明)；（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围.21. 为了巩固拓展脱贫攻坚成果，不断提高群众的幸福感，政府积极引导某村农户因地制宜种植某种经济作物，该类经济作物的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好.为了解该类经济作物在该村的种植效益，该村引进了甲、乙两个品种，现随机抽取了这两个不同品种的经济作物各100份（每份1千克）作为样本进行检测，检测结果如下表所示：（同一区间的数据取该区间的中点值作代表）分别记甲、乙品种质量指标值的样本平均数为和，样本方差为和.(1)现已求得，，试求及，并比较样本平均数与方差的大小；(2)该经济作物按其质量指标值划分等级如下表：质量指标值作物等级二级一级特级利润（元/千克）102050现利用样本估计总体，试从样本利润平均数的角度分析该村村民种植哪个品种的经济作物获利更多.。

2023-2024学年上海市徐汇区高三下学期高考数学模拟试题（三模）一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1．已知集合，，则______．{}1,2,6M ={}2,3N =M N = 2．已知，则______．()()2log ,02,0x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩()1f -=3．已知复数z 满足，则的最小值为______．z i -=z4．已知向量，，则在上的投影向量的模为______．(a = ()b = ab 5．已知，则的最大值为______．2x y +=()y x y -6．已知扇形的弧长为，面积为，则扇形所在圆的半径为______．2π3π7．在中，内角A ，B ，C 的对边是a ，b ，c ．若，且，则ABC △(222a b =+⋅b c =______．A =8．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1，2，4，5，6，x ，则这6个点数的中位数为4的概率为______．9．若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是2nx ⎛- ⎝314______．10．已知两个等差数列2，6，10，…，202和2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为______．11．日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱的底面ABCD 是正方形，且，．1111ABCD A B C D -3AB =11AA =店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A 中的方向捆1111H E E F F G G H H --------扎包装盒会比按照图B 中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）．则图A 比图B 最多节省的彩绳长度为______．12．正实数x ，y 满足：存在和，使得，，[]0,a x ∈[]0,b y ∈222a y +=221b x +=，则的最大值为______．1ax by +=x y +二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．设，则“”是“”的（ ）x R ∈0x <()ln 10x +<A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）()ln 2y x =ln y x =A ．每一点的横坐标变为原米的2倍B ．每一点的纵坐标变为原来的2倍C ．向左平移ln2个单位D ．向上平移ln2个单位15．在一个有限样本空间中，假设，且A 与B 相互独立，A 与C ()()()13P A P B P C ===互斥，以下说法中，正确的个数是（ ）① ② ③若，则B 与C 互斥()23P A B = ()()2P C A P A C =()()12P C B P C B +=A ．0B ．1C ．2D ．316．设无穷正数数列，如果对任意的正整数n ，都存在唯一的正整数m ，使得{}n a ，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数123m n a a a a a =++++ {}n a n b m ={}n b {}n a 列，则（ ）A ．若为等差数列，则为内和数列{}n a {}n aB ．若为等比数列，则为内和数列{}n a {}n a C ．若内和数列的伴随数列为严格增数列，则为严格增数列{}n a {}n b {}n a D ．若内和数列为严格增数列，则其伴随数列为严格增数列{}n a {}n b 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．已知向量，，其中，若，且函数()2sin ,cos 2m x x =ωω ),1n x =ω0ω>()f x m n =⋅的最小正周期为π．()y f x =（1）求的单调增区间；()y f x =（2）在中，若，，求的值．ABC △()2f B =-BC =sin B A =BA BC ⋅18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．在四面体中，，．D ABC -2AB BC BD AC ====AD DC ==（1）求证：平面ADC ⊥平面ABC ；（2）对角线BD 上是否存在一点E ，使得直线AD 与平面ACE 所成角为30°．若存在求出的值，若不存在说明理由．BEED19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．为了解人们是否喜欢跑步，某机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如下表．喜欢不喜欢合计男12820女101020合计221840（1）根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关？附：，其中，()()()()()22n ad bc a b c d a c b d -χ=++++n a b c d =+++()2 3.8410.05P χ≥≈（2）该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为，张先生跑步上班迟到的概率为．对于下周（周一～周五）上班方式张先生作出2313如下安排：周一跑步上班，从周二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车去公司（无论周四是否准时到达公司）．设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为X ，求X 的分布及数学期望E[X]．20．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满8分．已知椭圆：的左、右焦点分别为、．Γ()222210x y a b a b+=>>1F 2F （1）以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点B ，求椭圆的离心率；2F 1F Γ（2）已知，，设点P 是椭圆上一点，且位于x 轴的上方，若是等腰三5a =4b =Γ12PF F △角形，求点P 的坐标；（3）已知，且倾斜角为的直线与椭圆在x 轴上方的交点记作，2a =b =2F 2πΓA 若动直线l 也过点且与椭圆交于M 、N 两点（均不同于A ），是否存在定直线：2F Γ0l ，使得动直线l 与的交点C 满足直线AM 、AC 、AN 的斜率总是成等差数列？若存0x x =0l 在，求常数的值．若不存在，请说明理由．0x 21．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满8分．设函数的定义域为D ，对于区间，当且仅当函数满足以()y f x =[](),I a b I D =⊆()y f x =下①②两个性质中的任意一个时，则称区间I 是的一个“美好区间”．()y f x =性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有．0x I ∈()0f x I ∈0x I ∈()0f x I ∉（1）已知，．分别判断区间和区间是否为函数()22f x x x =-+x R ∈[]0,2[]1,3的“美好区间”，并说明理由；()y f x =（2）已知且，若区间是函数的一个()()3213123f x x x x x R =--+∈0m >[]0,m ()y f x =“美好区间”，求实数m 的取值范围；（3）已知函数的定义域为R ，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，()y f x =a b <都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不()()f a f b b a ->-()y f x =0x R ∈0x 属于函数的任意一个“美好区间”．()y f x =答案一、填空题1.;2.;;4.;5.;6.;7.; 8.; {}1,2,3,601-012356π169.; 10.； 11.45166616-11．日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱的底面ABCD 是正方形，且，．1111ABCD A B C D -3AB =11AA =店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A 中的方向捆1111H E E F F G G H H --------扎包装盒会比按照图B 中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）．则图A 比图B 最多节省的彩绳长度为______．【正确答案】16-对于图（A ），沿彩绳展开正四棱柱，则彩绳长度的最小值为对于图（B ），彩绳长度的最小值为16，因为A 比图B 最多节省的彩绳长度．16>16-12．正实数x ，y 满足：存在和，使得，，[]0,a x ∈[]0,b y ∈222a y +=221b x +=，则的最大值为______．1axby +=x y +构造，(,),(,)OP a y OQ x b ==， ，|||1,1OP OQ OP OQ ==⋅= 4POQ π∠=问题转化为一个等腰直角三角形绕着点转动，OPQ O 因为，所以点位于点的左上方，[0,],[0,]a x b y ∈∈P Q 设，则，QOM θ∠=4POM πθ∠=+所以，||cos ,||4xQN y PM πθθ⎛⎫====+ ⎪⎝⎭所以cos sin 2cos 4x y πθθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭)θϕ=+≤所以x y +二、选择题13.B14.D15.C16.D14.D15.C16.D 15.C 16.D15．在一个有限样本空间中，假设，且A 与B 相互独立，A 与C ()()()13P A P B P C ===互斥，以下说法中，正确的个数是（ ）① ② ③若，则B 与C 互斥()23P A B = ()()2P C A P A C =()()12P C B P C B +=A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】C 对于①, 且与相互独立, 则()()1,3P A P B ==A B ,①错误;()()()()13P A B P A P B P AB ⋃=+-=11153339+-⨯=对于②,()()()(),|3P CAP C A PCA P A ==()()()()()3|1213P CAP CA P A C P CA P C ===-故, 故②正确;()()2|P CA P A C =对于③,则,()()1,||2P C B P C B +=()()()|P CB P C B P B =()()()|,P C B P C B P B=故, 即 (1),()()112233P C B P CB +=()()631P CB P C B +=若互斥,则, 满足(1)式,BC ()()()10,3P BC P C B P C ===故, 即与互斥, 故③正确.故选:C.()0P BC =B C 16．设无穷正数数列，如果对任意的正整数n ，都存在唯一的正整数m ，使得{}n a ，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数123m n a a a a a =++++ {}n a n b m ={}n b {}n a 列，则（ ）A ．若为等差数列，则为内和数列{}n a {}n aB ．若为等比数列，则为内和数列{}n a {}n a C ．若内和数列的伴随数列为严格增数列，则为严格增数列{}n a {}n b {}n a D ．若内和数列为严格增数列，则其伴随数列为严格增数列{}n a {}n b 【正确答案】D对于选项: 例如, 可知即为等差数列, 也为等比数列,AB 1n a ={}n a 则, 但不存在, 使得所以不为内和数列, 故错误;122a a +=*m N ∈2,m a ={}n a AB 对于选项C: 例如：数列：显然是所有正整数的排列, 可知为内和数列, 2,1,3,4,5,⋯{}n a {}n a 且的伴随数列为递增数列,但不是递增数列, 故C 错误.{}n a {}n a 对于选项D: 因为,对任意, 可知存在,0n a >*1212,,n n N n n ∈<*12,m m N ∈使得,,11123m n a a a a a =+++⋯+22123m n a a a a a =+++⋯+则即,21112120m m n n n a a a a a ++-=++⋯+>21m m a a >所以其伴随数列为递增数列, 故D 正确;故选D.{}n b三．解答题17.（1）（2）,,36k k k Z ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦32-18.（1）证明略（2）BEED=19.（1）否（2），分布列如下()6527E X =20．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满8分．已知椭圆：的左、右焦点分别为、．Γ()222210x y a b a b+=>>1F 2F （1）以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点B ，求椭圆的离心率；2F 1F Γ（2）已知，，设点P 是椭圆上一点，且位于x 轴的上方，若是等腰三5a =4b =Γ12PF F △角形，求点P 的坐标；（3）已知，且倾斜角为的直线与椭圆在x 轴上方的交点记作，2a =b =2F 2πΓA 若动直线l 也过点且与椭圆交于M 、N 两点（均不同于A ），是否存在定直线：2F Γ0l ，使得动直线l 与的交点C 满足直线AM 、AC 、AN 的斜率总是成等差数列？若存0x x =0l 在，求常数的值．若不存在，请说明理由．0x【正确答案】（1）（2）（3）存在，12e =()504,3,⎛± ⎝04x =（1）由题意可得：,.2c a ==12c e a ∴==（2）,椭圆的方程为:5,4a b ==Γ2212516x y += 3.c ==点是椭圆上一点, 且位于轴的上方,若, 则.P Γx 12PF PF =()04P ,若, 设,212F F PF =()P x,y,,226,12516x y =+=()()55,04x ,y ,∈-∈联立解得,.53x =-53y P ⎛=∴- ⎝若, 设, 根据对称性可得.211F F PF =()P x,y 53P ⎛ ⎝综上可得点的坐标为.P ()504,3,⎛± ⎝(3), 椭圆的方程为,2,a b ==Γ221,143x y c +===()210,F ,∴把代入椭圆方程可得, 解得.1x =211,043y y +=>33,122y A ,⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭设直线的方程为:,, 设,l ()(01,y k x C x =-())01k x -()()1122,M x ,y N x ,y 联立, 化为()221122y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩()22223484120,k x k x k +-+-=0,Δ>假设存在定直线, 使得动直线与的交点221212228412,,3434k k x x x x k k -∴+==++00:l x x =l 0l 满足直线的斜率总是成等差数列,则,C ,,AM AC AN 2AC AM AN k k k =+,,()01201233312222111k x y y x x x ----∴⨯=+---()()11221,1y k x y k x =-=-代入化为:而012211111x x x =+---()12121212211111x x x x x x x x +-+=---++, 解得.22220228222234313412813434k k x k k k k -+==∴=---+++04x =因此存在定直线, 使得动直线与的交点满足直线的斜率总是成0:4l x =l 0l C ,,AM AC AN 等差数列.21．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满8分．设函数的定义域为D ，对于区间，当且仅当函数满足以()y f x =[](),I a b I D =⊆()y f x =下①②两个性质中的任意一个时，则称区间I 是的一个“美好区间”．()y f x =性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有．0x I ∈()0f x I ∈0x I ∈()0f x I ∉（1）已知，．分别判断区间和区间是否为函数()22f x x x =-+x R ∈[]0,2[]1,3的“美好区间”，并说明理由；()y f x =（2）已知且，若区间是函数的一个()()3213123f x x x x x R =--+∈0m >[]0,m ()y f x =“美好区间”，求实数m 的取值范围；（3）已知函数的定义域为R ，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，()y f x =a b <都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不()()f a f b b a ->-()y f x =0x R ∈0x 属于函数的任意一个“美好区间”．()y f x =【正确答案】（1）是（2） （3）见解析03m <≤（1） 函数，当时，，3y x =-[1,2]x ∈[1,2]y ∈因此区间是函数的一个“美好区间”．[1,2]3y x =-（2），2()23(1)(3)f x x x x x '=--=+-由得，所以或()f m m =2(3)(12)0m m --=3m =m =当时，在上严格减，所以，满足题意；03m <≤()f x [0,]m ()[(),12]f x f m ∈当时，，所以且，无解；3m >min ()(3)3f x f ==12m ≥()f m m ≤所以，；03m <≤(3)证明：对于任意区间,[],()I a b a b =< 记由已知得在上单调递减, 故(){}|,S f x x I =∈()f x I ()(),S f b ,f a ⎡⎤=⎣⎦因为, 即的长度大于的长度, 故不满足性质①,()()f a f b b a ->-S I 所以若为的 “美好区间”, 必满足性质②), I ()f x 这只需,即只需或,S I ⋂=∅()f a a <()f b b >由显然不恒成立, 所以存在常数使得,()f x x =c ()f c c ≠如, 取，区间满足性质②；()f c c <a c =[],()I a b a b =<综上，函数一定存在 “美好区间”；()f x 记, 则图象连续不断, 下证明有零点:()()g x f x x =-()g x ()g x因为在上是减函数，所以在上是减函数, 记,()f x R ()g x R ()0f t =若, 则是的零点,0t =00x =()g x 若, 则, 即,,0t >()()0f t f t <=()00g >()0g t <由零点存在性定理, 可知存在, 使得,()00x ,t ∈()00g x =若, 则, 即,,0t <()()0f t f t >=()0g t >()00g <由零点存在性定理, 可知存在, 使得,()00x t ,∈()00g x =综上,有零点, 即,()g x 0x ()00f x x =因为的所有 “美好区间”都满足性质②, 故,（否则, 与性质②()f x I 0x I ∉()00f x x I =∈不符),即不属于的任意一个“美好区间”, 证毕.0x ()f x。

2024年上海高三数学模拟试卷2024.051.已知集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，若A B B = ，则=a ______．2.设()211iz m m =-+-（i 为虚数单位），若z 为纯虚数，则实数m 的值为______．3.422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是__________.4.不等式()lg 11x +>的解集为______．5.某校高三年级10名男生的身高数据（单位：cm ）如下：168、171、173、176、176、180、183、184、186、191．该组数据的第80百分位数为______cm ．6.已知椭圆C 的焦点1F 、2F 都在x 轴上，P 为椭圆C 上一点，12PF F △的周长为6，且1PF ，12F F ，2PF 成等差数列，则椭圆C 的标准方程为______．7.设平面向量()sin ,1a θ=，(cos b θ=，若a，b 不能组成平面上的一个基底，则tan θ=______．8.若m ∈R ，()2,0,1,02x x x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则满足()()23f m f m -≥+的m 的最大值为______．9.已知n ∈N ，关于n 的方程10C 0nk -=有且仅有一个解，则实数k =______．10.已知点C 在以AB 为直径的球面上，若2BC =，则AB BC ⋅=______．11.如图，河宽50米，河两岸A 、B 的距离为100米，一个玩具气垫船（不计大小）可以从A 走水路直接到B ，也可以从A 先沿着岸边行驶一段距离，再走水路到B ．已知该气垫船在水中的速度是10米/分钟，岸上的速度是20米/分钟，则从A 到B 的最短时间为______分钟，（精确到小数点后两位）12.已知有穷数列{}n a 的首项为1，末项为12，且任意相邻两项之间满足{}11,2n n a a +-∈，则符合上述要求的不同数列{}n a 的个数为______．二、选择题（本大题满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个，正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑）13.在空间中，“a 、b 为异面直线”是“a 、b 不相交”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.设一组成对数据的相关系数为r ，线性回归方程为 y axb =+ ，则下列说法正确的为（）.A .a越大，则r 越大 B. a越大，则r 越小C .若r 大于零，则 a一定大于零 D.若r 大于零，则 a一定小于零15.已知函数()y f x =的定义域为()0,2，则下列条件中，能推出1一定不是()y f x =的极小值点的为（）A.存在无穷多个()00,2x ∈，满足()()01f x f <B.对任意有理数()()00,11,2x ∈⋃，均有()()01f x f <C.函数()y f x =在区间()0,1上为严格减函数，在区间()1,2上为严格增函数D.函数()y f x =在区间()0,1上为严格增函数，在区间()1,2上为严格减函数16.设集合(){}22,|0,R,R U x y xy x y =+≠∈∈，点P 的坐标为(),x y ，满足“对任意(),a b U ∈，都有ax by bx ay ++-≤”的点P 构成的图形为1Ω，满足“存在(),a b U ∈，使得ax by bx ay ++-≤”的点P 构成的图形为2Ω．对于下述两个结论：①1Ω为正方形以及该正方形内部区域；②2Ω的面积大于32．以下说法正确的为（）．A.①、②都正确B.①正确，②不正确C.①不正确，②正确D.①、②都不正确三、解答题（本大题满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且CB BP CD DP ⊥⊥，，2PA =，点E F ，分别为PB PD ，的中点.（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求点P 到平面AEF 的距离.18.掷两颗骰子，观察掷得的点数．（1）设A ：掷得的两个点数之和为偶数，B ：掷得的两个点数之积为偶数，判断A 、B 是否相互独立．并说明理由；（2）已知甲箱中有3个白球，2个黑球；乙箱中有2个白球，3个黑球．若掷骰子所得到的两个点数奇偶性不同，则从甲箱中任取两个球；若所得到的两个点数奇偶性相同，则从乙箱中任取两个球、求取出白球个数的分布和期望．19.某集团投资一工厂，第一年年初投入资金5000万元作为初始资金，工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长50%．每年年底，工厂向集团上缴()0m m >万元，并将剩余资金全部作为下一年的初始资金，设第n 年的初始资金为n a 万元．（1）判断{}2n a m -是否为等比数列？并说明理由；（2）若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级．设2600m =，则该工厂在第几年转型升级？20.已知双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ．（1）若Γ的长轴长为2，焦距为4，求Γ的渐近线方程：（2）若4b =，双曲线Γ左支上任意点T 均满足12TF a ≥，求a 的最大值；（3）若双曲线Γ的左支上存在点P 、右支上存在点Q 满足12FP PQ QF ==，求Γ的离心率e 的取值范围．21.若曲线C 的切线l 与曲线C 共有n 个公共点（其中n ∈N ，1n ≥），则称l 为曲线C 的“n T -切线”.（1）若曲线()y f x =在点()1,2-处的切线为2T -切线，另一个公共点的坐标为()3,4，求()1f '的值；（2）求曲线323y x x =-所有1T -切线的方程；（3）设()sin f x x x =+，是否存在π(0,)2t ∈，使得曲线()y f x =在点()()t f t ，处的切线为3T -切线？若存在，探究满足条件的t 的个数，若不存在，说明理由．2024年上海高三数学模拟试卷2024.051.已知集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，若A B B = ，则=a ______．【答案】3【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得.【详解】集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，由A B B = ，得B A ⊆，又11a a +-=，因此143a a +=⎧⎨=⎩，所以3a =.故答案为：32.设()211i z m m =-+-（i 为虚数单位），若z 为纯虚数，则实数m 的值为______．【答案】1-【分析】根据给定的条件，利用纯虚数的定义列式计算即得.【详解】由()211i z m m =-+-为纯虚数，得21010m m ⎧-=⎨-≠⎩，解得1m =-，所以实数m 的值为1-.故答案为：1-3.422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是__________.【答案】8【分析】写出二项式展开式的通项公式，令x 的指数为1，解出r ，可得结果.【详解】422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为44314422C C 2rr r r r rr T x xx --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，(其中0,1,2,3,4r =)，令431r -=，解得1r =，即二项式展开式中x 的系数为14C 28⨯=.故答案为：84.不等式()lg 11x +>的解集为______．【答案】(9,)+∞【分析】利用对数函数单调性求出不等式的解集.【详解】由不等式()lg 11x +>，得110x +>，解得9x >，所以不等式()lg 11x +>的解集为(9,)+∞.故答案为：(9,)+∞5.某校高三年级10名男生的身高数据（单位：cm ）如下：168、171、173、176、176、180、183、184、186、191．该组数据的第80百分位数为______cm ．【答案】185【分析】利用80百分位数的定义求解即得.【详解】显然该组数据已由小到大排列，由1080%8⨯=，得该组数据的第80百分位数为1841861852+=.故答案为：1856.已知椭圆C 的焦点1F 、2F 都在x 轴上，P 为椭圆C 上一点，12PF F △的周长为6，且1PF ，12F F ，2PF 成等差数列，则椭圆C 的标准方程为______．【答案】22143x y +=【分析】根据给定条件，结合等差中项的意义及椭圆的定义列式求出,a c 即可得解.【详解】令椭圆长半轴长为a ，半焦距为c ，依题意，1212121262PF PF F F PF PF F F ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，即22624a c a c +=⎧⎨=⎩，解得2,1a c ==，则椭圆短半轴长b ==所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.故答案为：22143x y +=7.设平面向量()sin ,1a θ=，(cos b θ= ，若a ，b 不能组成平面上的一个基底，则tan θ=______．【答案】33【分析】利用基底的定义可得//a b，再利用共线向量的坐标表示求解即得.【详解】由a，b 不能组成平面上的一个基底，得//a b ，而()sin ,1a θ=，(cos b θ=，cos θθ=，所以sin 3tan cos 3θθθ==.故答案为：338.若m ∈R ，()2,0,1,02x x x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则满足()()23f m f m -≥+的m 的最大值为______．【答案】12-##0.5-【分析】先判断函数()f x 的奇偶性与单调性，然后利用偶函数的单调性列不等式，最后解不等式即可得到m 的最大值.【详解】当0x >时，0x -<，即()()122x x f x f x -===-，当0x <时，0x ->，即()()122xx x f x f --===，于是，在(),-∞+∞上，()()f x f x -=都成立，即()f x 为偶函数.由指数函数的单调性可知，()f x 在()0,∞+上单调递增，因此，不等式()()23f m f m -≥+等价于23m m -≥+，即()()2223m m -≥+，解得12m ≤-.故m 的最大值为12-.故答案为：12-.9.已知n ∈N ，关于n 的方程10C 0nk -=有且仅有一个解，则实数k =______．【答案】252【分析】根据给定条件，利用组合数的性质求解即得.【详解】由组合数的性质知，101010C C ,10,N nnn n -=≤∈，当5n ≠时，使得10C nk =的n 有两个，当5n =时，使得10C n k =的n 只有一个，而关于n 的方程10C 0nk -=有且仅有一个解，所以510C 252k ==.故答案为：25210.已知点C 在以AB 为直径的球面上，若2BC =，则AB BC ⋅=______．【答案】4-【分析】根据给定条件，可得ACBC ⊥，再利用空间向量数量积的运算律计算得解.【详解】由点C 在以AB 为直径的球面上，得ACBC ⊥，所以2()4AB BC AC CB BC AC BC BC ⋅=+⋅=⋅-=- .故答案为：4-11.如图，河宽50米，河两岸A 、B 的距离为100米，一个玩具气垫船（不计大小）可以从A 走水路直接到B ，也可以从A 先沿着岸边行驶一段距离，再走水路到B ．已知该气垫船在水中的速度是10米/分钟，岸上的速度是20米/分钟，则从A 到B 的最短时间为______分钟，（精确到小数点后两位）【答案】8.66【分析】按“胡不归”模型解决问题.【详解】如图设气垫船先沿着岸边行驶一段距离AC ，再走水路CB .在R t ABG 中，50AG =，100AB =，所以30ABG ∠=︒.如图，作30CAD ∠=︒，且CD AD ⊥于D 点，则2AC CD =，所以2010AC CD=.所以从A 到B 所用的时间为：2010101010AC BC CD BC CD BCt +=+=+=.过B 作BE AD ⊥，垂足为E ，则100cos30BC CD BE +≥=⨯︒=所以8.66t ≥≈.故答案为：8.6612.已知有穷数列{}n a 的首项为1，末项为12，且任意相邻两项之间满足{}11,2n n a a +-∈，则符合上述要求的不同数列{}n a 的个数为______．【答案】144【分析】首末项相差11，从首项到末项的运算方法进行分类，结合组合计数问题列式计算即得.【详解】依题意，首项和末项相差11，而任意相邻两项之间满足{}11,2n n a a +-∈，112(,N)k m k m =+∈，当0k =时，即后一项与前一项的差均为1，数列{}n a 的个数为1；当1k =时，即后一项与前一项的差出现一个2，九个1，数列{}n a 的个数为110C ；当2k =时，即后一项与前一项的差出现两个2，七个1，数列{}n a 的个数为29C ；当3k =时，即后一项与前一项的差出现三个2，五个1，数列{}n a 的个数为38C ；当4k =时，即后一项与前一项的差出现四个2，三个1，数列{}n a 的个数为47C ；当5k =时，即后一项与前一项的差出现五个2，一个1，数列{}n a 的个数为56C ，所以符合上述要求的不同数列{}n a 的个数为123451098761C C C C C 144+++++=.故答案为：144【点睛】关键点点睛：按后一项与前一项的差2出现的次数分类是解决本问题的关键.二、选择题（本大题满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个，正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑）13.在空间中，“a 、b 为异面直线”是“a 、b 不相交”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【分析】利用异面直线的定义及充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】直线a 、b 为异面直线，则直线a 、b 不相交，反之，直线a 、b 不相交，直线a 、b 可能平行，也可能是异面直线，所以在空间中，“a 、b 为异面直线”是“a 、b 不相交”的充分非必要条件.故选：A14.设一组成对数据的相关系数为r ，线性回归方程为 y axb =+ ，则下列说法正确的为（）.A. a越大，则r 越大 B. a越大，则r 越小C.若r 大于零，则 a一定大于零 D.若r 大于零，则 a一定小于零【答案】C【分析】利用 a与r 的含义判断AB ，根据r 大于零时两变量正相关即可得 a 一定大于零判断CD.【详解】 a影响的是回归直线的斜率，r 影响是两个变量之间的相关性，所以 a与r 之间数值大小没有关系，但符号有影响，故选项AB 错误；若r 大于零，则说明两个变量之间成正相关，故 a一定大于零，故选项C 正确，D 错误.故选：C15.已知函数()y f x =的定义域为()0,2，则下列条件中，能推出1一定不是()y f x =的极小值点的为（）A.存在无穷多个()00,2x ∈，满足()()01f x f <B.对任意有理数()()00,11,2x ∈⋃，均有()()01f x f <C.函数()y f x =在区间()0,1上为严格减函数，在区间()1,2上为严格增函数D.函数()y f x =在区间()0,1上为严格增函数，在区间()1,2上为严格减函数【答案】B【分析】举例说明判断ACD ；利用极小值的意义推理判断A.【详解】对于A ，函数11,(0,]2()11,(,2)2x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩的图象如图，显然函数()f x 满足题设条件，而1是()f x 的极小值点，A 错误；对于B ，在1x =附近的任意区间内，总存在有理数，这些有理数的函数值小于(1)f ，因此1一定不是极小值点，B 正确；对于C ，函数()|1|,(0,2)f x x x =-∈在()0,1上为严格减函数，在()1,2上为严格增函数，1是()f x 的极小值点，C 错误；对于D ，函数1,1()11,(0,1)(1,2)x f x x x -=⎧=⎨--∈⋃⎩图象如图，函数()f x 在()0,1上为严格增函数，在()1,2上为严格减函数，1是()f x 的极小值点，D 错误.故选：B 16.设集合(){}22,|0,R,R U x y xy x y =+≠∈∈，点P 的坐标为(),x y ，满足“对任意(),a b U ∈，都有ax by bx ay ++-≤”的点P 构成的图形为1Ω，满足“存在(),a b U ∈，使得ax by bx ay ++-≤”的点P 构成的图形为2Ω．对于下述两个结论：①1Ω为正方形以及该正方形内部区域；②2Ω的面积大于32．以下说法正确的为（）．A.①、②都正确B.①正确，②不正确C.①不正确，②正确D.①、②都不正确【答案】C【分析】先确定ax by bx ay ++-≤所表达的意义，了解满足该条件的点P 的轨迹，再求P 点轨迹区域的面积，可以得到问题的答案.【详解】因为(){}22,|0,R,R U x y xy x y =+≠∈∈，表示除原点外的平面内的所有点.ax by bx ay ++-≤⇒4≤，所以(),P x y 表示到直线0ax by +=和0bx ay -=的距离之和不大于4的点.如图：易知直线0ax by +=和0bx ay -=垂直，则4OE OF +≤，222OP OE OF =+.当4OE OF +=时，()2224OP OE OE=+-()2224OE ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦.因为04OE <<，所以2816OP ≤<⇒4OP ≤<.所以1Ω是以原点为圆心，半径在)4⎡⎣范围内的圆形以及该圆形的内部区域（原点除外），故①不正确；当)4OP ⎡∈⎣时，存在OP 使得2π32OP ⋅>，故②正确.故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键是把条件ax by bx ay ++-≤4≤，借助点到直线的距离公式，明确P 点坐标满足的条件.三、解答题（本大题满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且CB BP CD DP ⊥⊥，，2PA =，点E F ，分别为PB PD ，的中点.（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求点P 到平面AEF 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）233.【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理即得.（2）利用等体积法求出点到平面的距离.【小问1详解】由底面ABCD 为正方形，得CB AB ⊥，又,,,CB BP AB BP B AB BP ⊥⋂=⊂平面ABP ，于是CB ⊥平面ABP ，而PA ⊂平面ABP ，则CB PA ⊥，同理CD PA ⊥，又,,CB CD C CB CD ⋂=⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD .【小问2详解】由（1）得PA AB ⊥，点E 为PB 的中点，在Rt PAB 中，AE =F 为PD 的中点，同理AF =，在PBD △中，12EF BD ==，因此1222AEF S ==△，在直角PAB 中，1122122APE S =⨯⨯⨯=△，由（1）知CB ⊥平面ABP ，则AD ⊥平面ABP ，于是点F 到平面APE 的距离为112AD =设点P 到平面AEF 的距离为h ，由P AEF F AEP V V --=，得13111323h ⨯⨯=⨯⨯，解得233h =，所以点P 到平面AEF 的距离为3.18.掷两颗骰子，观察掷得的点数．（1）设A ：掷得的两个点数之和为偶数，B ：掷得的两个点数之积为偶数，判断A 、B 是否相互独立．并说明理由；（2）已知甲箱中有3个白球，2个黑球；乙箱中有2个白球，3个黑球．若掷骰子所得到的两个点数奇偶性不同，则从甲箱中任取两个球；若所得到的两个点数奇偶性相同，则从乙箱中任取两个球、求取出白球个数的分布和期望．【答案】（1）不相互独立（2）分布列见解析，期望为1.【分析】（1）利用古典概率结合组合计数问题求出(),(),()P A P B P A B ，再利用相互独立事件的定义判断即得.（2）求出取得白球个数X 的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望.【小问1详解】依题意，2222233133(),()16264P A P B +===-=，2231()64P A B == ，显然()()()P A B P A P B ⋂≠，所以A 、B 不是相互独立的.【小问2详解】两个点数奇偶性不同的概率为23333162⨯+⨯=，两个点数奇偶性相同的概率也是12，记取出白球的个数为X ，则X 可能的取值为：0，1，2，22322255C C 111(0)2C 2C 5P X ==⨯+⨯=，111123232255C C C C 113(1)2C 2C 5P X ==⨯+⨯=，22322255C C 111(2)2C 2C 5P X ==⨯+⨯=，所以X 的分布为：X012P153515期望()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=.19.某集团投资一工厂，第一年年初投入资金5000万元作为初始资金，工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长50%．每年年底，工厂向集团上缴()0m m >万元，并将剩余资金全部作为下一年的初始资金，设第n 年的初始资金为n a 万元．（1）判断{}2n a m -是否为等比数列？并说明理由；（2）若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级．设2600m =，则该工厂在第几年转型升级？【答案】（1）答案见解析；（2）9.【分析】（1）根据给定条件，可得132n n a a m +=-，再利用构造法推理得解.（2）由（1）的结论，取2600m =，再结合已知利用单调性解指数不等式即得.【小问1详解】依题意，15000a =，()21150%7500a a m m =+-=-，13(150%)2n n n a a m a m +=+-=-，即132(2)2n n a m a m +-=-，而当2500m =，即120a m -=时，{}2n a m -不是等比数列；当0m >且2500m ≠时，数列{}2n a m -是一个以32为公比，50002m -为首项的等比数列.【小问2详解】当2600m =时，由（1）知数列{}2n a m -是一个以200-为首项，32为公比的等比数列，则135200200()2n n a --=-⨯，即135200200()2n n a -=-⨯，设第n 年转型升级，则135********nn a +⎛⎫=-⨯< ⎪⎝⎭，则3262n⎛⎫> ⎪⎝⎭，数列3{()2}n是递增数列，8936561319683()26,()2622562512=<=>，而*N n ∈，则min 9n =，所以该工厂在第9年转型升级.20.已知双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ．（1）若Γ的长轴长为2，焦距为4，求Γ的渐近线方程：（2）若4b =，双曲线Γ左支上任意点T 均满足12TF a ≥，求a 的最大值；（3）若双曲线Γ的左支上存在点P 、右支上存在点Q 满足12FP PQ QF ==，求Γ的离心率e 的取值范围．【答案】（1）y =；（2；（3）(2,)+∞.【分析】（1）根据给定条件，由,,a b c 求出渐近线方程.（2）设出点T 的坐标，利用两点间距离公式求出1||PF 有最小值，再结合已知求解即得.（3）设112212(,),(,),,P x y Q x y x a x a ≤-≥，结合已知可得120x x +=，再按12y y =和12y y =-分类建立不等式求出e 的范围.【小问1详解】令双曲线的半焦距为c ，依题意，1,2a c ==，由222c a b =+，得b =，则ba=所以双曲线Γ的渐近线方程为y =.【小问2详解】设点T 的坐标为(,),x y x a ≤-，1(,0)F c -，则22222()b y x a a=-，于是1c TF x a a==--，当x a =-时，1min ||PF c a =-，因此2c a a -≥，即229c a ≥，则2229a b a +≥，又4b =，解得a ≤因此a .【小问3详解】设点112212(,),(,),,P x y Q x y x a x a ≤-≥，12(,0),(,0)F c F c -，由12F P QF =，得22221122()()x c y x c y++=++，整理得：212122([(]0))2c x x x x c a+-+=，由122x x a -≤-，得2122()20c x x c a-+<，因此120x x +=，当12y y =时，由1F P PQ =，得222111()4x c y x ++=，整理得:222112(420c x cx a a---=，解得12a x e =-或12a x e =-+(舍)，由2aa e≤--，解得23e <≤；当12y y =-时，由1F P PQ =，得22221111()44x c y x y ++=+，整理得：222211232340c x cx a c a-+-=，在1x a ≤-有解，故22232340c ac a c ++-≤，即2230e e --≥，解得:3e ≥或1e ≤-（舍），综上，曲线Γ的离心率e 的取值范围是(2,)+∞.【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b c a =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．21.若曲线C 的切线l 与曲线C 共有n 个公共点（其中n ∈N ，1n ≥），则称l 为曲线C 的“n T -切线”.（1）若曲线()y f x =在点()1,2-处的切线为2T -切线，另一个公共点的坐标为()3,4，求()1f '的值；（2）求曲线323y x x =-所有1T -切线的方程；（3）设()sin f x x x =+，是否存在π(0,)2t ∈，使得曲线()y f x =在点()()t f t ，处的切线为3T -切线？若存在，探究满足条件的t 的个数，若不存在，说明理由．【答案】（1）3；（2）31y x =-+；（3）存在，唯一一个.【分析】（1）利用斜率坐标公式求出斜率，再利用导数的几何意义得解.（2）求出函数323y x x =-在32000(,3)-x x x 处的切线方程，再利用1T -切线的定义求解即得.（3）求出函数()f x 的导数，由曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线方程，构造函数()g x ，利用导数探讨极值，由()g x 有3个零点建立关系并求解即得.【小问1详解】依题意，该切线的斜率为4(2)331--=-，因此(1)3f '=.【小问2详解】由323y x x =-，求导得236y x x '=-，则曲线323y x x =-在32000(,3)-x x x 处的切线方程为：()32200000(3)(36)y x x x x x x --=--，令3223232000000()3(36)363h x x x x x x x x x x =---+--+，整理得200()()(23)h x x x x x =-+-，此切线为1T -切线，等价于方程()0h x =有且仅有一个根，即0032x x =-，即01x =，所以曲线323y x x =-的1T -切线仅有一条，为31y x =-+.【小问3详解】由(sin )1cos x x x '+=+，得曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线方程为：sin (1cos )()y t t t x t --=+-，即(1cos )sin cos y t x t t t =++-，令()(sin )[(1cos )sin cos ]g x x x t x t t t =+-++-sin cos sin cos x x t t t t =--+，求导得()cos cos g x x t '=-，由π(0,)2t ∈，得cos (0,1)t ∈，对Z k ∈，当(2π,2π)x k t k t ∈-+时，()cos cos 0,()g x x t y g x '=->=为严格增函数；当(2π,2π2π)x k t k t ∈++-时，()cos cos 0,()g x x t y g x '=-<=为严格减函数，函数()y g x =所有的极大值为(2π)2πcos g k t k t +=-，当0k =时，极大值等于0，即()0g t =，当k 为正整数时，极大值全部小于0，即()y g x =在(,)t ∞+无零点，当k 为负整数时，极大值全部大于0，函数()y g x =所有的极小值为(2π)(22π)cos 2sin g k t t k t t -=--，当0k =时，极小值()2cos 2sin 2cos (tan )0g t t t t t t t -=-=-<，且随着k 的增大，极小值(22π)cos 2sin t k t t --越来越小，因此()y f x =在点π(,())(0)2t f t t <<处的切线为3T -切线，等价于()y g x =有三个零点，等价于(22π)cos 2sin 0t t t +-=，即tan πt t -=有解，令()tan h t t t =-，则221()1tan 0cos h t t t'=-=>，因此()y h t =为π(0,)2上的严格增函数，因为3(0)0π,()12.6π2h h =<≈>，于是存在唯一实数π(0,)2t ∈，满足tan πt t -=，所以存在唯一实数π(0,)2t ∈，使得曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线为3T -切线.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。