上海市高考数学模拟练习1

2023-2024学年上海市奉贤区高考数学冲刺模拟试题（一模）一、填空题1．已知i 为虚数单位，则复数1i -的虚部是______．【正确答案】1-【分析】根据复数虚部的定义即可求解.【详解】根据复数虚部的定义可知，复数1i -的虚部是1-.故1-2．数据7，4，2，9，1，5，8，6的第70百分位数为______．【正确答案】7【分析】根据百分位数的定义即可求解.【详解】将数据从小到大重新排列为1,2,4,5,6,7,8,9，共8个数据，由于870% 5.6⨯=，所以第70百分位数为7.故73．不等式201x x ≥-的解集是______．【正确答案】(){}1,0+∞ 【分析】把分式不等式转化为()21010x x x ⎧-≥⎨-≠⎩，从而可解不等式.【详解】因为201x x ≥-，所以()21010x x x ⎧-≥⎨-≠⎩，解得1x >或0x =，所以不等式201x x -≥+的解集是(){}1,0+∞ .故(){}1,0+∞ 4．二项式()1012x +展开中，2x 项的系数为______．【正确答案】180【分析】求得二项式()1012x +展开式的通项，进而求得展开式中2x 的系数.【详解】由题意，二项式()1012x +的通项为11010C (2)2C r r r r r r T x x +==⋅，令2r =，可得22223102C 180T x x =⋅=，所以二项式()1012x +展开式中2x 的系数为180.故答案为.1805．已知命题p ：任意正数x ，恒有()1e 1x x +>，则命题p 的否定为______．【正确答案】存在正数0x ，使()001e 1x x +≤【分析】含有全称量词的否定，改成特称量词即可.【详解】由全称命题的否定为特称命题知：存在正数0x ，使()001e 1x x +≤.故存在正数0x ，使()001e 1x x +≤6．抛物线24y x =的准线与圆222x y +=相交于A 、B 两点，则AB =______．【正确答案】2【分析】首先求抛物线的准线方程，再根据直线与圆相交的弦长公式，即可求解.【详解】24y x =的准线方程为=1x -，圆心()0,0到直线=1x -的距离为1，所以弦长2AB ==.故27．在平行四边形ABCD 中，12BE BC = ，13AF AE = ．若AB mDF nAE =+ ，则m n +=______．【正确答案】43/113【分析】利用平面向量的线性运算求出,m n 即可.【详解】由题意可得()1122AB AE EB AE DA AE DF FA =+=+=++ 11152326AE DF AE DF AE ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭ ，所以12m =，56n =，所以43m n +=.故438．已知数列{}n a 满足1212n n n a a a ++⋅⋅=-，12a =-，214a =，则数列{}n a 的前n 项积的最大值为______．【正确答案】1【分析】根据1212n n n a a a ++⋅⋅=-，判断出{}n a 是一个周期数列，从而求前n 项积即可.【详解】1212n n n a a a ++⋅⋅=- ,12312n n n a a a +++∴⋅⋅=-，两式相除得：3 1n na a +=，所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列,由12a =-，214a =，得：3121 1.2a a a =-=⋅记数列{}n a 的前n 项积为n T ,结合数列的周期性，，当*N k ∈时,()31231412k k k T a a a ⎛⎫== ⎪⎭≤-⎝，()3112341122122k k k T a a a a +⎛⎫⎛⎫==-⋅-≤-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()321234514122kk k T a a a a a +⎛⎫==⋅- ⎪⎭≤-⎝，所以数列{}n a 的前n 项积的最大值为1.故19．两个圆锥的底面是一个球的同一个截面，顶点均在球面上，若球的体积为32π3，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为______.【正确答案】4π【分析】根据球的体积公式，结合球的性质、圆锥的体积公式进行求解即可.【详解】设球的半径为r ，因为球的体积为32π3，所以有34π32π233r r =⇒=，设两个圆锥的高分别为12,h h ，于是有12:1:3h h =且1224h h r +==，所以有121,3h h ==，设圆锥的底面半径为R ，所以有222(21)23R R +-=⇒=，因此这两个圆锥的体积之和为21π(3)(13)4π3+=，故4π10．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．【正确答案】9【分析】方法一：先根据角平分线性质和三角形面积公式得条件111a c+=，再利用基本不等式即可解出．【详解】［方法一］：【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线定义和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得ac a c =+，即111a c +=，因此11444(4)()5529,c a c a a c a c a c a c a c+=++=++≥+⋅=当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.故答案为.9［方法二］：角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式由三角形内角平分线性质得向量式a c BD BA BC a c a c=+++ ．因为1BD =，所以2222212()a c ac BA BC BA BC a c a c a c ⎛⎫⎛⎫=++⋅ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，化简得1ac a c =+，即ac a c =+，亦即(1)(1)1a c --=，所以44(1)(1)5524(1)(1)9a c a c a c +=-+-+≥+--=，当且仅当4(1)1a c -=-，即3,32a c ==时取等号．［方法三］：解析法＋基本不等式如图5，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．设(,0)C a，11,22D A c ⎛⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭．因为A ，D ，C 三点共线，则AD CD k k =，即222111222c a =---，则有a c ac +=，所以111a c +=．下同方法一．［方法四］：角平分线定理＋基本不等式在BDC中，CD，同理AD =理知CD BC AD AB =a c=，两边平方，并利用比例性质得2211a a c c -=-，整理得()()0a c a c ac -+-=，当a c =时，可解得2,410a c a c ==+=．当a c ac +=时，下同方法一．［方法五］：正弦定理＋基本不等式在ABD △与BCD △中，由正弦定理得11,sin 60sin sin 60sin AD CD A C ==︒︒．在ABC 中，由正弦定理得sin sin sin120sin 60sin 60a b AD CD AD CD A B +===+︒︒︒．所以11sin sin sin a A A C =+，由正弦定理得111a a a c==+，即ac a c =+，下同方法一．［方法六］：相似＋基本不等式如图6，作AE BC ∥，交BD 的延长线于E ．易得ABE 为正三角形，则,1AE c DE c ==-．由ADE CDB ∽，得AE DE BC BD =，即11c c a -=，从而a c ac +=．下同方法一．【整体点评】方法一：利用角平分线定义和三角形面积公式建立等量关系，再根据基本不等式“1”的代换求出最小值，思路常规也简洁，是本题的最优解；方法二：利用角平分线的性质构建向量的等量关系，再利用数量积得到,a c 的关系，最后利用基本不等式求出最值，关系构建过程运算量较大；方法三：通过建立直角坐标系，由三点共线得等量关系，由基本不等式求最值；方法四：通过解三角形和角平分线定理构建等式关系，再由基本不等式求最值，计算量较大；方法五：多次使用正弦定理构建等量关系，再由基本不等式求最值，中间转换较多；方法六：由平面几何知识中的相似得等量关系，再由基本不等式求最值，求解较为简单．11．设12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF =，则C 的离心率为_______________________．【分析】由1POF ∠与2POF ∠互补，得到两角的余弦值互为相反数，两次利用余弦定理得到关于,a c 的方程.【详解】如图所示：因为焦点2F 到渐近线的距离为b ，所以2||PF b =，则OP a =，所以1PF =，因为12cos cos POF POF ∠=-∠，所以222222)22a c a c b ac ac+-+-=-，解得.223c a e =⇒求圆锥曲线的离心率主要有几何法和代数法，本题主要通过两次利用余弦定理进行代数运算，找到,a c 关系求得离心率.12．若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．【正确答案】()(),40,-∞-+∞【分析】设出切点横坐标0x ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0x 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a 的取值范围.【详解】∵()e x y x a =+，∴(1)e x y x a '=++，设切点为()00,x y ,则()000e x y x a =+,切线斜率()001e x k x a =++,切线方程为：()()()00000e 1e x x y x a x a x x -+=++-,∵切线过原点，∴()()()00000e 1e x x x a x a x -+=++-,整理得：2000x ax a +-=,∵切线有两条，∴240a a ∆=+>,解得4a <-或0a >,∴a 的取值范围是()(),40,-∞-+∞ ,故()(),40,-∞-+∞ 二、单选题13．记函数()π()sin 04f x x ωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭>的最小正周期为T ．若ππ2T <<，且π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则ω=（）A ．34B ．94C ．154D ．274【正确答案】C 【分析】由最小正周期ππ2T <<可得24ω<<，再由π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可得ππππ,Z 342k k ω+=+∈，即可求得154ω=.【详解】根据最小正周期ππ2T <<，可得π2ππ2ω<<，解得24ω<<；又π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即π3x =是函数()f x 的一条对称轴，所以ππππ,Z 342k k ω+=+∈，解得33,Z 4k k ω=+∈.又24ω<<，当1k =时，154ω=.故选：C14．从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[)66,70、[)70,74、L 、[]94,98，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[)82,86内的影视作品数量是（）A ．20B ．40C ．64D ．80【正确答案】D 【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间[)82,86内的影视作品数量.【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间[)82,86内的影视作品数量为4000.05480⨯⨯=.故选：D.15．上海入夏的标准为：立夏之后，连续五天日平均气温不低于22℃．立夏之后，测得连续五天的平均气温数据满足如下条件，其中能断定上海入夏的是（）A ．总体均值为25℃，中位数为23℃B ．总体均值为25℃，总体方差大于0℃C ．总体中位数为23℃，众数为25℃D ．总体均值为25℃，总体方差为1℃【正确答案】D【分析】对于AB ，取连续五天的平均气温为21C,22C,23C,29C,30C ︒︒︒︒︒可判断；对于C ，取连续五天的平均气温为21C,22C,23C,25C,25C ︒︒︒︒︒可判断；对于D ，用反证法可验证.【详解】对于A ，如连续五天的平均气温为21C,22C,23C,29C,30C ︒︒︒︒︒，满足总体均值为25C ︒，中位数为23C ︒，故A 不正确；对于B ，如连续五天的平均气温为21C,22C,23C,29C,30C ︒︒︒︒︒，满足总体均值为25℃，总体方差大于0℃，故B 不正确；对于C ，如连续五天的平均气温为21C,22C,23C,25C,25C ︒︒︒︒︒，满足总体中位数为23℃，众数为25℃，故C 不正确；对于D ，当总体均值为25C ︒，总体方差为1C ︒，若存在有一天气温低于22C ︒，不妨令122C x ︒<，根据方差公式()()()()()2222221234515s x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦，可得()22192225155s ⨯=>->，因为方差为1，所以不可能存在有一天气温低于22C ︒，故D 正确.故选：D16．记函数11(),y f x x D =∈，函数22(),y f x x D =∈，若对任意的x D ∈，总有21()()f x f x ≤成立，则称函数1()f x 包裹函数2()f x .判断如下两个命题真假：①函数1()f x kx =包裹函数2()cos f x x x =的充要条件是1k ≥；②若对于任意120,()()p f x f x p >-<对任意x D ∈都成立，则函数1()f x 包裹函数2()f x .则下列选项正确的是（）A ．①真②假B ．①假②真C ．①②全假D ．①②全真【正确答案】D 【分析】①根据包裹函数的定义可以得到cos x k ≤，由cos 1x ≤，可得1k ≥，即①正确；②利用反证法证明可得12()()0f x f x -=，即12()()f x f x =，则函数1()f x 包裹函数2()f x ，即②正确.【详解】①因为函数1()f x kx =包裹函数2()cos f x x x =，所以cos cos cos x x kx x x k x x k ≤⇔≤⇔≤，又因为cos 1x ≤，所以1k ≥，所以函数1()f x kx =包裹函数2()cos f x x x =的充要条件是1k ≥，故①正确；②假设12()()0f x f x ->，令12()()0f x f x m -=>，则当2m p =时，12()()2m f x f x m p -=>=，与题意中12()()f x f x p -<矛盾，故假设不成立.所以12()()0f x f x -=，即12()()f x f x =，所以函数1()f x 包裹函数2()f x ，故②正确.故选：D.三、解答题17．如图所示，正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长1，侧棱长4，AA 1中点为E ，CC 1中点为F ．(1)求证：平面BDE ∥平面B 1D 1F ；(2)连结B 1D ，求直线B 1D 与平面BDE 所成的角的大小．【正确答案】(1)证明见解析(2)arcsin 9．【分析】（1）以A 为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图利用向量法证DE ∥FB 1，进而//DE 平面11B D F ，同理//BD 平面11B D F ，可证平面BDE ∥平面B 1D 1F ；（2）利用向量法可求直线B 1D 与平面BDE 所成的角的大小．【详解】（1）以A 为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图则B （1，0，0），D （0，1，0），E （0，0，2），B 1（1，0，4），D 1（0，1，4），F （1，1，2），∵()10,1,2DE FB ==- ，∴DE ∥FB 1，1//,DE FB DE ⊄ 平面11B D F ，1FB ⊂平面11B D F ，//DE ∴平面11B D F ，同理//BD 平面11B D F ，∵BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，BD DE D ⋂=平面BDE ，∴平面//BDE 平面11B D F ．（2）同（1）建系，()()1,1,0,1,0,2BD BE =-=-设平面BDE 的一个法向量为(),,n x y z =，则020n BD x y n BE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，得2x y x z =⎧⎨=⎩，不妨取z ＝1，则()2,2,1n =r，又()11,1,4DB =-，设直线B 1D 与平面BDE 所成的角为θ，故11sin 9n DB n DB θ⋅===⋅ ，直线B 1D 与平面BDE所成的角为arcsin9．18．已知数列{}n a ，n S 是其前n 项的和，且满足()*32n n a S n n =+∈N （1）求证：数列12n a ⎫⎧+⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）记12n n T S S S =++⋯+，求n T 的表达式．【正确答案】（1）见解析；（2）2239884n n n +---.【分析】（1）2n ≥时，由32n n a S n =+,得11321n n a S n --=+-，然后利用1n n n S S a --=，可得到131n n a a -=+，进而得到1113,22n n a a -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭从而可以证明数列12n a ⎫⎧+⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）由（1）可以得到n a 的通项公式，代入32n n a S n =+可得到n S 的表达式，进而利用分组求和即可求出n T 的表达式．【详解】（1）1n =时，11132121a S a =+=+，所以11a =，当2n ≥时，由32n n a S n =+,得11321n n a S n --=+-，则()111332212121n n n n n n n a a S n S n S S a ----=+--+=-+=+，即131n n a a -=+，所以11111313,222n n n a a a --⎛⎫+=++=+ ⎪⎝⎭又113022a +=≠，故12n a ⎫⎧+⎨⎬⎩⎭就是首项为32，公比为3的等比数列，则1133,22n n a -+=⋅即131322n n a -=⋅-.（2）将131322n n a -=⋅-代入32n n a S n =+得()3132344n n S n =⋅-+,所以()()2312313333572344n n n T S S S n =++⋯+=+++⋯+-++⋯++=()()()()2231344393931413484884n n n n n n n n n +-++⋅-=--=----.分组求和与并项求和法：把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和，例如对通项公式为22n n a n =+的数列求和．19．我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况．某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量x （单位：dm ）与遥测雨量y （单位：dm ）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如表：样本号i 12345678910人工测雨量i x 5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23遥测雨量iy 5.438.07 6.57 6.147.95 5.56 4.27 4.15 6.04 4.49i ix y -0.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26并计算得1021353.6ii x ==∑，1021361.7ii y ==∑，101357.3i i i x y ==∑，233.62x =，234.42y =，34.02xy =，(1)求该地区汛期遥测雨量y 与人工测雨量x 的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系；(2)规定：数组(),i i x y 满足0.1i i x y -<为“Ⅰ类误差”；满足0.10.3i i x y ≤-<为“Ⅱ类误差”；满足0.3i i x y -≥为“Ⅲ类误差”．为进一步研究，该地区水文研究人员从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差”的数据的组数为X ，求X 的概率分布与数学期望．附：相关系数()()10iix x y y r --=∑17.4≈【正确答案】(1)0.98r ≈，正相关性，相关性很强；(2)分布列见解析；期望()158E X =【分析】（1）根据参考公式和数据，代入求相关系数，即可判断相关性强或弱；（2）根据条件可知，0,1,2,3X =，再根据超几何分别求分布列和数学期望.【详解】（1）因为()()101010iii ix x y y x y xyr---=∑∑=17.10.9817.4=≈，由于样本相关系数0.98r ≈非常接近于1，可以推断该地区汛期遥测雨量y 与人工测雨量x ，两个变量正线性相关，且相关程度很强.（2）10组数据中，“Ⅰ类误差”有5组，“Ⅱ类误差”有3组，“Ⅲ类误差”有2组，从“Ⅰ类误差”，“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据，记抽到“Ⅰ类误差”的数据组数为X ，则X 的可取值为0，1，2，3，由题意可得，()035338C C 10C 56P X ===，()125338C C 151C 56P X ===，()215338C C 30152C 5628P X ====，()305338C C 1053C 5628P X ====，则X 的分布列为X0123P15615561528528所以()115155150123565628288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=20．如图，中心在原点O 的椭圆Γ的右焦点为()F ，长轴长为8．椭圆Γ上有两点P 、Q ，连接OP 、OQ ，记它们的斜率为OP k 、OQ k ，且满足14OP OQ k k ⋅=-．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)求证：22OP OQ +为一定值，并求出这个定值；(3)设直线OQ 与椭圆Γ的另一个交点为R ，直线RP 和PQ 分别与直线x =交于点M 、N ，若PQR 和PMN的面积相等，求点P 的横坐标．【正确答案】(1)221164x y +=(2)证明见解析，20(3)点P 横坐标为4【分析】（1）利用椭圆的长轴长以及焦点坐标，求解a 、c ，然后求解b ，得到椭圆方程；（2）设()11,P x y 、()22,Q x y ，通过14OP OQ k k ⋅=-．结合得到坐标满足方程，转化求解22OP OQ +为一定值即可．（3）通过PQR PMN S S =△△，推出PM PQ PRPN=，转化求解点P 的横坐标即可．【详解】（1）由已知条件，设椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>，则4c a ==，解得2b =，椭圆22:1164x y Γ+=．（2）证明：设()11,P x y 、()22,Q x y ，则121214OP OQ y y k k x x ⋅=-=，整理得121240x x y y +=，由221122224444x y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴2222222212121238()4OP OQ x x y y x x +=+++=++，∵222222121212(4)(4)4416x x x x y y =--=，解得221216x x +=，将其代入22221238()204OP OQ x x +=++=，为定值.（3）设()11,P x y 、()22,Q x y ，由椭圆的对称性可知，()22,R x y --，∵PQR PMN S S =△△，∴PM PN PQ PR ⋅=⋅，∴PM PQ PRPN=，∴112x x x =+112x x x -=+222112)x x x -=-（或者222121)x x x =-（．∵221216x x +=，∴211640x +-=或者2113320x -+=（舍），解得：1x =，∴点P横坐标为．易错点点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21．已知函数()ln af x ax x x=--．(1)若()f x 是定义域上的严格增函数，求a 的取值范围；(2)若1x >，()0f x >，求实数a 的取值范围；(3)设1x 、2x 是函数()f x 的两个极值点，证明：()()12f x f x -<．【正确答案】(1)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；(2)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；(3)证明见解析.【分析】（1）先求出函数的导数()f x '，由()f x 是定义域上的严格增函数转化为()0f x '≥在其定义域恒成立，再参变分离，利用基本不等式求得最值，进而求解即可；（2）先求出函数的导数，利用含参函数单调性的讨论中首项系数含参数问题讨论，将a 分为零正负，又通过判别根式对导函数是否有根进行分类求解即可；（3）由题意要证()()12f x f x -，只要证()()1221f x f x x x -<-，涉及到转化的思想，令211x t x =>，()21()ln 1t g t t t -=++，求()g t 的最小值即可求得结果.【详解】（1）依题意，2221()(0)a ax x a f x a x x xx-+'=-+=>.若()f x 是定义域上的严格增函数，则220ax x ax -+≥对于()0,x ∈+∞恒成立，即21x a x ≥+对于()0,x ∈+∞恒成立，而211112x x x x =≤++，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立.所以12a ≥，即a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（2）由（1）知2221()(0)a ax x a f x a x x x x -+'=-+=>.①当0a ≤时，在(1,)x ∈+∞上()0f x '<，所以()f x 在()1,+∞上单调递减，所以()(1)0f x f <=，所以0a ≤不符合题设.②当102a <<时，令()0f x '=，得20ax x a -+=，解得()110,12x a=，()21,x ∞=+，所以当()21,x x ∈时()0f x '<，所以()f x 在()21,x 上单调递减，所以()(1)0f x f <=，所以102a <<不符合题设.③当12a ≥时，判别式2140a ∆=-≤，所以()0f x '≥，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，所以()(1)0f x f >=.综上，实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（3）由（2）知，当102a <<时，()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，所以1x 是()f x 的极大值点，2x 是()f x 的极小值点.由（2）知，121=x x ，121x x a+=，则21x x a-=.综上，要证()()12f x f x -<()()1221f x f x x x -<-，因为()()()()2212112211121ln x x xx x f x f x a x x a x x x ---+=+--+⋅()()()21222121112122lnln x x x xa x x x x x x x x -=-+--=+()21221121ln 1x x x x x x -=-+，设211x t x =>，()21()ln 1t g t t t -=+-+.所以()()2221414()011g t t t t -'=-=>++，所以()g t 在()1,+∞上单调递增，所以()()10g t g >=.所以()()21120x x f x f x --+>，即得()()1221f x f x x x -<-成立．所以原不等式成立.方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。

上海高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知集合，且，则实数的取值范围是▲．2.方程的解为▲．3.已知向量，，若，则▲．4.以、为焦点，渐近线方程为的双曲线的标准方程是▲．5.如果矩阵是线性方程组的增广矩阵，则这个线性方程组的解可用矩阵表示为▲．6.如果以为首项，为公比的等比数列的各项和为，则实数=" " ▲．7.养鱼工作者常采用“捉－放－捉”的方法来估计一个鱼塘中鱼的数量．如果从这个鱼塘中随机捕捞出100条鱼，将这100条鱼分别作上记号后再放回鱼塘，数天后再从鱼塘中随机捕捞出200条鱼，发现其中带有记号的鱼有8条，从而可以估计鱼塘中的鱼约有▲ 条．8.若，且，则▲．9.当满足不等式组时，目标函数的最大值为▲．10.在(0,)内，使成立的的取值范围为▲．11.用一个不平行于底面的平面截一个底面直径为40的圆柱，截得如图几何体，若截面椭圆的长轴为50，几何体最短的母线长为70，则此几何体的体积为▲．12.函数的图像恒过定点A，若点A在直线，上，则的最小值是▲．13.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是▲．14.将正整数按下表的规律排列，把行与列交叉处的一个数称为某行某列的数，记作，如第2行第4列的数是15，记作，则▲．1 4 5 16 17 36 ……2 3 6 15 18 35 ……9 8 7 14 19 34 ……10 11 12 13 20 33 ……25 24 23 22 21 32 ……26 27 28 29 30 31 ………………………………二、选择题1.中，，，，则A．B．C．D．或2.是直线和直线垂直的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为4.．给出下面类比推理命题（为实数集，为复数集，为向量集），其中类比结论正确的是A．由“若，则”类比推出“若，则”；B．由“若，且，则”类比推出“若，且，则”；C．“若，且，则且” 类比推出“若，且，则且”；D．“若，且，则或” 类比推出“若，且，则或”三、解答题1.（本题满分12分）已知复数，，若为纯虚数，求的值．2.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知正四棱锥的所有棱长都是，底面正方形两条对角线相交于点，点是侧棱的中点（1）求此正四棱锥的体积．（2）求异面直线与所成角的值．（用反三角函数表示）3.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知数列是正项等比数列，满足（1）求数列的通项公式；（2）记是否存在正整数，使得对一切恒成立，若存在，请求出M的最小值；若不存在，请说明理由。

2023年上海地区高考数学模拟卷一、单选题：本题共8小题 每小题5分 共60分。

在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z 满足(1−i)z =2+i 则|z̅|=（ ）A ．√102B ．52C ．√10D ．√52．已知集合 A ={x|x >1} B ={−1,0,1,2} 则 A ∩B = （ ）A ．{2}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{x|x >−1}3．某工厂有三组员工 第一组有105人 第二组有135人 第三组有150人 工会决定用分层抽样的方法从这三组中随机抽取几名员工进行问卷调查.如果从第一组抽取得人数为7 那么从第二组抽取的人数为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．114．已知函数f （x ）=5x g （x ）=ax 2﹣x 若f （g （1））=1 则a=（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．35．已知F 1 F 2是椭圆和双曲线的公共焦点 P 是它们的一个公共点．且∠F 1PF 2= π3 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A ．4√33B ．2√33C ．3D ．26．已知α，β∈[−π2，π2] 且αsinα−βsinβ>0 则下列不等式一定成立的是（ ）A ．α>βB ．α<βC ．α+β>0D ．α2>β27．已知 △ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c A =30∘,B =45∘ 则 ab= （ ）A ．√2B ．√22C ．√62D ．238．设 p:ln(2x −1)≤0,q:(x −a)[x −(a +1)]≤0 若 q 是 p 的必要而不充分条件 则实数 a 的取值范围是( ) A ．[0,12]B ．(0,12)C ．(−∞,0]∪[12,+∞)D ．(−∞,0)∪(12,+∞）二、选择题：本题共4小题 每小题5分 共20分。

在每小题给出的选项中 有多项符合题目要求。

一、单选题1. 若，，且，，则（ ）A．B．C．D．2. 已知函数，则的值域为A．B．C．D．3.等差数列的前9项的和等于前4项的和，若，则k=A ．10B ．7C ．4D ．34. 改革开放后，优越的区位条件及政策倾斜使得我国东南地区尤其是长三角地区的经济得到迅速发展，大幅度提高了长三角地区对外来人口流入的拉力作用，从而使得该地区的人口经济集聚程度进一步提升.为研究长三角地区人口密度对经济增长的贡献效应，经调查统计，得到长三角地区分阶段人口密度与贡献率，结果如图1.下列说法中错误的是（）A ．2009年以来，长三角地区新增人口渐趋平稳，人口集聚程度放缓B ．长三角地区人口密度对经济增长的贡献率呈现由增到减的发展走势C ．人口质量红利贡献率与人口数量红利贡献率相比较，人口质量红利贡献率的波动性较大D ．人口数量红利和人口质量红利相比较，人口数量红利对经济增长的贡献更为突出5. 宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，我们发现，当，2，3，4时，圆球总个数分别为1，4，10，20，则时，圆球总个数为（）A ．30B ．35C ．40D ．456. 已知向量，，则的面积为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．42022届上海市普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（一）(3)2022届上海市普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（一）(3)二、多选题三、填空题四、解答题7. 在数列中，，则A．B．C．D ．58. 为了支持民营企业发展壮大，帮助民营企业解决发展中的困难，某市政府采用分层抽样调研走访各层次的民营企业.该市的小型企业、中型企业、大型企业分别有900家、90家、10家.若大型企业的抽样家数是2，则中型企业的抽样家数应该是（ ）A ．180B ．90C ．18D ．99.已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则B．若向量与的夹角为，则C ．若，则向量D ．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是10. 已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（ ）A ．直线恒过点B．C ．直线被圆截得的最短弦长为D ．当时，圆上存在无数对点关于直线对称11. 已知O 为坐标原点，点F 为抛物线的焦点，点，直线：交抛物线C 于A ，B 两点（不与P 点重合），则以下说法正确的是（ ）A．B ．存在实数，使得C ．若，则D ．若直线PA 与PB的倾斜角互补，则12. 已知､，，则（ ）A．B．C．D．13.若，则________．14.已知双曲线，若两条直线与该双曲线有四个交点，则称该双曲线为“和谐双曲线”，请写出一个以为焦点的“和谐双曲线”的方程：______．15. 已知单位向量，的夹角为，若与垂直，则______．16. 已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若恒成立，求实数m 的取值范围．17.如图，已知平面，平面，△为等边三角形，，为的中点.(1)求证：平面；(2) 求证：平面平面；(3) 求直线和平面所成角的正弦值.18. 乒乓球被称为中国的“国球”．20世纪60年代以来，中国乒乓球选手取得世界乒乓球比赛的大部分冠军，甚至多次包揽整个赛事的所有冠军．乒乓球比赛每局采用11分制，每赢一球得1分，一局比赛开始后，先由一方发2球，再由另一方发2球，依次每2球交换发球权，若其中一方先得11分且至少领先2分即为胜方，该局比赛结束；若双方比分打成平后，发球权的次序仍然不变，但实行每球交换发球权，先连续多得2分的一方为胜方，该局比赛结束．现有甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，已知某局比赛甲先发球．(1)求该局比赛中，打完前4个球时甲得3分的概率；(2)求该局比赛结束时，双方比分打成且甲获胜的概率；(3)若在该局双方比分打成平后，两人又打了X个球该局比赛结束，求事件“”的概率．19. 如图，为圆锥的顶点，为底面圆心，点，在底面圆周上，且，点，分别为，的中点．求证：；若圆锥的底面半径为，高为，求直线与平面所成的角的正弦值．20. 设三个内角所对的变分别为已知(1)求角的大小；(2)如图，在的一个外角内取一点，使得，过点分别作直线的垂线，垂足分别为.设，求的最大值及此时的取值.21. 如图，在三棱锥中，H为的内心，直线AH与BC交于M，，.(1)证明：平面平面ABC；(2)若，，，求三棱锥的体积.。

一、单选题二、多选题1.已知向量，，且，则（ ）A．B．C．D．2.已知等差数列的前n项和为．若，则（ ）A ．60B ．50C ．30D ．203. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ）A．B．C ．1D．4. 已知两个非零向量的夹角为，且，则（ ）A．B．C．D ．35.自点发出的光线经过轴反射，其反射光线所在直线正好与圆相切，则反射光线所在直线的所有斜率之和为（ ）A．B ．2C．D ．46. 设函数，若存在实数，满足，则，，的关系为（ ）A．B．C．D．7. 已知曲线：，曲线：的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．将曲线先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线B．将曲线先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线C ．将曲线先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线D ．将曲线先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线8. 设复数满足，为虚数单位，则在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，若且，则)的值可能为（ ）A ．－2B ．0C ．2D ．410.已知反双曲正切函数，则（ ）A．是奇函数B．的定义域是C ．曲线在点处的切线方程为D ．函数有且仅有3个零点11. 已知函数，若，则（ ）上海市上海中学2022届高三下学期高考模拟1数学试题上海市上海中学2022届高三下学期高考模拟1数学试题三、填空题四、解答题A．B．C．D．12. 亚洲奥林匹克理事会宣布，原定于2022年9月10日至25日举行的杭州2022年第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，名称仍为杭州2022年第19届亚运会．为了加大宣传力度，杭州某社区进行了以“中国特色、浙江风采、杭州韵味”为主题的知识竞赛，现随机抽取30名选手，其得分如图所示．设得分的中位数为，众数为，平均数为，则（）A．B．C．D．13.若数列满足递推公式，且，则___________．14.曲线围成的图形的面积是___________.15.已知随机变量服从，则当______时，概率最大.16.已知数列的前项和为，且，，当时，，数列是正项等比数列，且，.(1)求和的通项公式；(2)把和中的所有项从小到大排列，组成新数列，例如的前7项为2，2，2，3，4，4，5，求数列的前1000项和.17. 如图，等腰梯形ABCD 中，，，现以AC为折痕把折起，使点B 到达点P 的位置，且.(1)证明：平面平面；(2)若M 为PD 的中点，求点P到平面的距离.18. 已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求函数的单调递增区间；(3)若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围.19.设三个内角所对的变分别为已知(1)求角的大小；(2)如图，在的一个外角内取一点，使得，过点分别作直线的垂线，垂足分别为.设，求的最大值及此时的取值.20. 某工厂统计了某产品的原材料投入（万元）与利润（万元）间的几组数据如下：原材料投入（万元）8284858688利润（万元）770800830850900(1)根据经验可知原材料投入（万元）与利润（万元）间具有线性相关关系，求利润（万元）关于原材料投入（万元）的线性回归方程；(2)当原材料投入为100万元时，预估该产品的利润为多少万元？附：，.21. 已知数列的前项和为，向量，满足条件.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.。

一、单选题1.已知向量，，若，则（ ）A．B．C．D．2.已知函数满足，且在上单调递增，则（ ）A．B．C．D．3. 过点有条直线与函数的图像相切，当取最大值时，的取值范围为（ ）A．B．C．D．4. 复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为A 系列、B 系列、C 系列，其中A系列的幅面规格为：，，，，，，所有规格的纸张的长度（以表示）和幅宽（以表示）的比例关系都为；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；，如此对开至规格.现有，，，，，纸各一张，已知纸的幅面面积为，则，，，，，这9张纸的面积之和是（ ）A．B．C．D．5.已知函数，若，则实数的取值范围是A．B．C．D．6. 设全集，集合，，则下面Venn 图中阴影部分表示的集合是（）A．B．C．D．7. 过双曲线的一个焦点F 作垂直于x 轴的直线交C于两点，坐标原点为O，且为等腰直角三角形，则此双曲线的离心率为（ ）A．B．C ．2D．8. 盒中有3个大小相同的球，其中白球2个，黑球1个，从中任意摸出2个，则摸出黑球的概率为（ ）A．B．C．D．9. 已知是某球面上不共面的四点，且，则此球的体积为（ ）A．B．C．D．10. 如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，M 是侧棱PC 的中点，若过AM 作该正四棱锥的截面，分别交棱PB ､PD 于点E ､F (可与端点重合)，则四棱锥的体积的取值范围是（ ）2022届上海市普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（一）二、多选题三、填空题A．B．C．D．11.设集合，，则A．B．C ．D．12. 已知O ，A ，B 是平面内的三个点，直线AB 上有一点C ，满足，则=A．B．C ．D．13. P为正方体对角线上的一点，且.下面结论确的是（ ）A ．；B ．若平面PAC ，则；C ．若为钝角三角形，则；D ．若，则为锐角三角形.14. 甲同学投掷骰子次，并请乙同学将向上的点数记录下来，计算出平均数和方差．由于记录遗失，乙同学只记得这五个点数的平均数为，方差在区间内，则这五个点数（ ）A．众数可能为B．中位数可能为C．一定不会出现D ．出现的次数不会超过两次15.双曲线的方程为，左、右焦点分别为，过点作直线与双曲线的右半支交于点，，使得，则（ ）A．B ．点的横坐标为C ．直线的斜率为或D ．的内切圆半径是16. 下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）A．B．C．D．17. 已知四面体ABCD的所有棱长都相等，其外接球的体积等于，则下列结论正确的是___________.（填序号）①四面体ABCD 的棱长均为2；②四面体ABCD 的体积等于，③异面直线AC 与BD 所成角为.18. 已知x ，y 的对应值如下表所示：四、填空题五、解答题六、解答题02468113若y与x线性相关，且回归直线方程为，则______．19.若非零向量满足，则夹角的余弦值为_______.20.若，，则的最小值为__________，此时_______.21. 已知函数，则______；设数列满足，则此数列的前2023项的和为______.22. 随着寒冷冬季的到来，羽绒服进入了销售旺季，某调查机构随机调查了400人，询问他们选购羽绒服时更关注保暖性能还是更关注款式设计，得到以下的列联表：更关注保暖性能更关注款式设计合计女性16080240男性12040160合计280120400附：．0.100.050.0102.7063.841 6.635(1)是否有95%的把握认为男性和女性在选购羽绒服时的关注点有差异？(2)若从被调查的更关注保暖性能的人中按男女比例用分层抽样的方法抽取7人进行采访，再从这7人中任选2人赠送羽绒服，求这2人都是女性的概率．23.已知数列的前顶和为.且.(1)求数列的通项公式；(2)在数列中，，求数列的前项和.24. 每年的3月21日被定为“世界睡眠日”，拥有良好睡眠对人的健康至关重要，一夜好眠成为很多现代人的诉求．某市健康研究机构于2018年3月14日到3月20日持续一周，通过网络调查该市20岁至60岁市民的日平均睡眠时间（单位：小时），共有500人参加调查，其中年龄在区间的有200人，现将调查数据统计整理后，得到如下频数分布表：(1)根据上表，在给定坐标系中画出这500名市民日平均睡眠时间的频率分布直方图；七、解答题八、解答题(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为该市20岁至60岁市民的日平均睡眠时间与年龄有关；，其中．25. 已知四棱锥中，，，，，平面.（1）求证：平面平面；（2）若直线与侧面所成角的正弦值为，求的值.26.五边形是由一个梯形与一个矩形组成的，如图甲所示，为的中点，.现沿着虚线将五边形折成直二面角，如图乙所示．（1）求证：平面平面；（2）求图乙中的多面体的体积.27. 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否回答正确互不影响．(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．九、解答题28. 在中，角所对边分别为,且.(1)求角的大小;(2)若.(i) 求的值;(ii) 求的值.。

上海高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.方程的解是 .2.已知集合则 .3.若复数是虚数单位)，且为纯虚数，则实数= .4.直线（为参数）对应的普通方程是_____．5.若，且，则的值为 .6.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是_____．7.若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 .8.在约束条件下，目标函数的最大值为 .9.某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_____．10.已知椭圆，其左、右焦点分别为.若此椭圆上存在点，使到直线的距离是与的等差中项，则的最大值为 .11.已知定点，动点在圆上，点关于直线的对称点为，向量是坐标原点，则的取值范围是 .12.已知递增数列共有项，且各项均不为零，，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则数列的各项和_____．二、选择题1.设分别是两条异面直线的方向向量，向量的夹角的取值范围为所成的角的取值范围为，则“”是“”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2.将函数图象上的点向左平移个单位,得到点，若位于函数的图象上，则A．的最小值为B．的最小值为C．的最小值为D．的最小值为3.某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如图所示（收支差额车票收入支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则A．①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）B．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）C．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）4.设函数的定义域是，对于以下四个命题：(1)若是奇函数，则也是奇函数；(2)若是周期函数，则也是周期函数；(3)若是单调递减函数，则也是单调递减函数；(4)若函数存在反函数，且函数有零点，则函数也有零点．其中正确的命题共有A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题1.直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，是侧棱上一点，设．(1) 若，求的值；(2) 若，求直线与平面所成的角．2.设函数，函数的图像与函数的图像关于轴对称．(1)若，求的值；(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围．3.如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米．(1)若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和的长度分别为多少米？(2) 在(1)的条件下，建直线通道还需要多少钱？4.设直线与抛物线相交于不同两点、，与圆相切于点，且为线段中点．(1)若是正三角形（是坐标原点），求此三角形的边长；(2) 若，求直线的方程；(3)试对进行讨论，请你写出符合条件的直线的条数（直接写出结论）．5.已知是上的奇函数，，且对任意都成立.(1)求、的值；(2)设，求数列的递推公式和通项公式；(3)记，求的值.上海高三高中数学高考模拟答案及解析一、填空题1.方程的解是 .【答案】【解析】由,得,解得.即方程的解是，故答案为.2.已知集合则 .【答案】【解析】因为;而,所以.故答案为.3.若复数是虚数单位)，且为纯虚数，则实数= .【答案】【解析】因为=,其为纯虚数,所以,解得=1.故答案为.4.直线（为参数）对应的普通方程是_____．【答案】【解析】两式相加消去可得：，故答案为.5.若，且，则的值为 .【答案】【解析】展开式的通项公式,令,可得;令,可得;而,即,解得;即展开式的通项公式,令,可得.故答案为.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.6.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是_____．【答案】【解析】观察三视图可知：该几何体为底面半径为2，高为6的圆锥，则母线长为，故侧面积为，故答案为.7.若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】因为函数在区间上有零点,则=,解得.即实数的取值范围是.故答案为.8.在约束条件下，目标函数的最大值为 .【答案】【解析】画出可行域,如图四边形所示;,,,.平移目标函数，当过点时,目标函数取得最大值.故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9.某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_____．【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.10.已知椭圆，其左、右焦点分别为.若此椭圆上存在点，使到直线的距离是与的等差中项，则的最大值为 .【答案】【解析】由题意得:该椭圆为焦点在轴的椭圆,且;而到直线的距离是与的等差中项，所以到准线的距离,即;而,即,解得;而,所以,解得.即的最大值为.故答案为11.已知定点，动点在圆上，点关于直线的对称点为，向量是坐标原点，则的取值范围是 .【答案】【解析】令,而点关于直线的对称点为，所以,;而,所以;而,所以;所以,=;而动点在圆上,所以,所以,即,所以的取值范围是.故答案为.12.已知递增数列共有项，且各项均不为零，，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则数列的各项和_____．【答案】【解析】∵当时，仍是数列中的项，而数列是递增数列，∴，所以必有，，利用累加法可得：，故，得，故答案为.点睛：本题主要考查了数列的求和，解题的关键是单调性的利用以及累加法的运用，有一定难度；根据题中条件从中任取两项，当时，仍是数列中的项，结合递增数列必有，，利用累加法可得结果.二、选择题1.设分别是两条异面直线的方向向量，向量的夹角的取值范围为所成的角的取值范围为，则“”是“”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意得A=[0,π]，B=(0,π/2]，则 ;所以“α∈A”是“α∈B”的必要不充分条件.故选C.【方法点睛】本题主要考查异面直线的夹角、向量的夹角及充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.2.将函数图象上的点向左平移个单位,得到点，若位于函数的图象上，则A．的最小值为B．的最小值为C．的最小值为D．的最小值为【答案】A【解析】由题意得,排除B,D;平移后,而位于函数的图象上,所以,而,则的最小值为,排除C.故选A.3.某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如图所示（收支差额车票收入支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则A．①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）B．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）C．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）【答案】B【解析】∵建议(Ⅰ)是不改变车票价格，减少支出费用；也就是增大，车票价格不变，即平行于原图象，∴①反映了建议(Ⅰ)；∵建议(Ⅱ)是不改变支出费用，提高车票价格，也就是图形增大倾斜度，提高价格，∴③反映了建议（Ⅱ），故选B.点睛：此题主要考查了函数图象的性质，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程是做题的关键；观察函数图象可知，函数的横坐标表示乘客量，纵坐标表示收支差额，根据题意得；（I）的平行于原图象，（II）与原图象纵截距相等，但斜率变大，进而得到答案.4.设函数的定义域是，对于以下四个命题：(1)若是奇函数，则也是奇函数；(2)若是周期函数，则也是周期函数；(3)若是单调递减函数，则也是单调递减函数；(4)若函数存在反函数，且函数有零点，则函数也有零点．其中正确的命题共有A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】(1)若是奇函数，则，∴也是奇函数，正确；(2) 若是周期函数，则，也是周期函数，正确；(3)若是单调递减函数，根据“同增异减”的原则，可得也是单调递增函数，故(3)不正确；(4) 若函数存在反函数，且函数有零点，即的图象与的图象有交点，而的图象与的图象关于直线对称，故三者交于一点，即函数也有零点，即(4)正确；故选C.三、解答题1.直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，是侧棱上一点，设．(1) 若，求的值；(2) 若，求直线与平面所成的角．【答案】（1）（2）【解析】（1）以为坐标原点，以射线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出，，利用，求出的值；（2）求出直线的方向向量与平面的法向量，求出向量的夹角的余弦值可得结果.试题解析：（1）以为坐标原点，以射线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示，则,，，，由得，即解得．(2) 解法一：此时设平面的一个法向量为由得所以设直线与平面所成的角为则所以直线与平面所成的角为解法二：联结，则，，平面平面所以是直线与平面所成的角；在中，所以所以所以直线与平面所成的角为点睛：本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用之利用空间向量的数量积证明垂直关系，利用空间向量求直线与平面所成的角角；两直线垂直等价于直线的方向向量互相垂直即数量积为0，直线与平面所成的角与直线的方向向量与平面的法向量之间所成的角相加为或相减为，且满足.2.设函数，函数的图像与函数的图像关于轴对称．(1)若，求的值；(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）依题意知，经过整理解出即可求得的值；(2)由得，移项可得，结合基本不等式，故而可求得实数的取值范围.试题解析：（1）由得所以（舍）或，所以（2）由得而，当且仅当时取等号所以，所以．3.如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米．(1)若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和的长度分别为多少米？(2) 在(1)的条件下，建直线通道还需要多少钱？【答案】（1）和AC的长度分别为750米和1500米（2）万元【解析】（1）设长为米，长为米，依题意得，即，表示面积,利用基本不等式可得结论；（2）利用向量方法，将表示为，根据向量的数量积与模长的关系可得结果.试题解析：（1）设长为米，长为米，依题意得，即，=当且仅当，即时等号成立，所以当的面积最大时，和AC的长度分别为750米和1500米（2）在(1)的条件下，因为．由得，元所以，建水上通道还需要万元．解法二：在中，在中，在中，=元所以，建水上通道还需要万元．解法三：以A为原点，以AB为轴建立平面直角坐标系，则，,即，设由，求得，所以所以，元所以，建水上通道还需要万元．4.设直线与抛物线相交于不同两点、，与圆相切于点，且为线段中点．(1)若是正三角形（是坐标原点），求此三角形的边长；(2) 若，求直线的方程；(3)试对进行讨论，请你写出符合条件的直线的条数（直接写出结论）．【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】（1）若是正三角形（是坐标原点），求出的坐标，即可求出此三角形的边长；（2）若，设直线，分类讨论，即可求出直线的方程；(3)根据直线与圆的位置关系，可得结论.试题解析：(1)设的边长为，则的坐标为所以所以此三角形的边长为．(2)设直线当时，符合题意当时，，，，，，，舍去综上所述，直线的方程为：(3)时，共2条；时，共4条；时，共1条．5.已知是上的奇函数，，且对任意都成立.(1)求、的值；(2)设，求数列的递推公式和通项公式；(3)记，求的值.【答案】(1)，；（2）；（3）.【解析】(1)在恒等式中，令、化简即可得结果；(2)取，可得，即，化简可得递推公式，累乘法可得通项公式；(3)代入，化简，利用，可得结果.试题解析：(1)对等式，令,所以令,所以(2)取，可得，即，所以而所以数列的递推公式为故所以数列的通项公式为.(3)由(2)代入得++++=则。

一、单选题1.已知圆的方程为，则“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 设动圆圆心为，该动圆过定点，且与直线相切（），圆心轨迹为曲线.过点的直线与轴垂直，若直线与曲线交于，两点，则（ ）A．B ．C．D．3.的展开式中的中间项为（ ）A．B．C．D．4. 不等式的解集是（ ）A ．或B．C．D．5. 某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型（图甲），该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板（图乙）沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形卷后为圆柱的侧面．为准确画出裁剪曲线，建立如图所示的以为坐标原点的平面直角坐标系，设为裁剪曲线上的点，作轴，垂足为．图乙中线段卷后形成的圆弧（图甲），通过同学们的计算发现与之间满足关系式，现在另外一个纸板上画出曲线，如图丙所示，把沿虚线裁剪后的长方形纸板卷一周，求该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6.中，若，则该三角形一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7. 已知函数，过点可作曲线的切线条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48. 紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶､掇球壶､石飘壶､潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约接近于（）A．B．C．D．2022届上海市普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（一）(2)2022届上海市普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（一）(2)二、多选题三、填空题四、解答题9.将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则下列关于描述正确的是（ ）A．最大值为，图象关于直线对称B ．图象关于轴对称C ．最小正周期为D ．图象关于点成中心对称10. 设函数，则（ ）A．的最小值为，其周期为B．的最小值为，其周期为C ．在单调递增，其图象关于直线对称D ．在单调递减，其图象关于直线对称11. 如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（）A．B．C ．函数在上单调递减D ．若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为12.关于函数，下列说法正确的是（ ）A ．当时，函数在处的切线方程为B ．当时，函数在上单调递减C ．若函数在上恰有一个极值，则D ．当时，，满足13. 写出一个单调递减的奇函数______．14. 函数的单调递减区间为_____15.已知圆的圆心坐标是，若直线与圆相切于点，则______.16. 已知某射手射中固定靶的概率为，射中移动靶的概率为，每次射中固定靶､移动靶分别得1分､2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互独立，该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次.（1）求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率；（2）求该射手的总得分X 的分布列和数学期望.17.定义在上的函数满足：对任意的实数，存在非零常数，都有成立.（1）若函数，求实数和的值；（2）当时，若，，求函数在闭区间上的值域；（3）设函数的值域为，证明：函数为周期函数.18. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．(1)若，证明：平面；(2)若二面角的正弦值为，求BQ的长．19. 已知等差数列的前n项和为，且.（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和20. 某教练统计了甲、乙两名三级跳远运动员连续次的跳远成绩（单位：米），统计数据如图所示．(1)分别求甲、乙跳远成绩的平均数；(2)通过平均数和方差分析甲、乙两名运动员的平均水平和发挥的稳定性．21. 已知函数，.(1)若（其中为的导函数），讨论的单调性；(2)求证：.。

一、单选题二、多选题1.已知､､､四点都在表面积为的球的表面上，若，，则球内接三棱锥的体积的最大值为（ ）A．B．C．D．2. 将5个0和3个1随机排成一行，则3个1不相邻的概率为（ ）A．B．C．D．3.已知函数，记在上的最大值为，最小值为，则（ ）A ．与有关，且与有关B ．与无关，且与无关C ．与有关，但与无关D ．与无关，但与有关4.已知数列满足，若，则（ ）A．B．C ．1D ．25. 关于函数有下述四个结论：①的图象关于直线对称 ②在区间单调递减③的极大值为0 ④有3个零点其中所有正确结论的编号为（ ）A ．①③B ．①④C ．②③④D ．①③④6.已知数列的前项和为，且满足，则（ ）A．B．C．D．7. 已知中，角对应的边分别为，是上的三等分点（靠近点）且，，则的最大值是（ ）A．B．C ．2D ．48. 等比数列的各项均为正数，且，.设，则数列的前项和（ ）A．B．C．D．9. 下列说法正确的是A ．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差B ．某地气象局预报：6月9日本地降水概率为90％，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学C ．回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好D．在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量多增加0.1个单位10. 十八世纪伟大的数学家欧拉引入了“倒函数”概念：若函数满足，则称为“倒函数”．下列函数为“倒函数”的是（ ）A．B．C．D．11.已知正方体的棱长为2（如图所示），点为线段（含端点）上的动点，由点，，确定的平面为，则下列说法正确的是（ ）上海市2022届高三模拟卷(一)数学试题(1)上海市2022届高三模拟卷(一)数学试题(1)三、填空题四、解答题A ．平面截正方体的截面始终为四边形B．点运动过程中，三棱锥的体积为定值C ．平面截正方体的截面面积的最大值为D．三棱锥的外接球表面积的取值范围为12. 已知函数的图象过点，则（ ）A．有两个极值点B ．若的图象与直线有两个交点，则或C．的图象存在对称中心D ．直线与曲线相切13.在二项式的展开式中，只有第4项的系数最大，则展开式中项的系数为__________（用数字作答）．14. 如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP＝，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.15. 在三棱锥中，平面，是棱的中点，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______.16.已知定义在区间上的两个函数，，其中．(1)若函数恰有两个极值点，设其极大值、极小值分别记为、，求实数的取值范围并求的值：（用表示）(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．17. 在①；②，与都是等比数列；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．已知数列的前n项和为，且______．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n 项和．注：如果选择多个条件分别作答，则按所作第一个解答计分．18. 已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.19. 某企业有甲､乙两条生产同种产品的生产线，据调查统计，100次生产该产品所用时间的频数分布表如下：所用的时间(单位：天)10111213甲生产线的频数10201010乙生产线的频数520205假设订单约定交货时间为11天，订单约定交货时间为12天(将频率视为概率，当天完成即可交货).（1）为最大可能在约定时间交货，判断订单和订单应如何选择各自的生产线(订单互不影响)；（2）已知甲､乙生产线每次的生产成本均为3万元，若生产时间超过11天，生产成本将每天增加5000元，求这100次生产产品分别在甲､乙两条生产线的平均成本.20. 已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若，证明：.21. 已知椭圆的短轴长是2，且离心率为．(1)求椭圆E的方程；(2)已知，若直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，是否存在常数，使恒成立，并说明理由．。

2024上海高考高三数学模拟试卷（本试卷共10页，满分150分，90分钟完成．答案一律写在答题纸上）命题：侯磊审核：杨逸峰一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）1．已知集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则A B =．2．已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为．3．101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 项的系数为．4．等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为．5．已知平面向量()()1,2,,4a b m == ，若a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为．6．已知复数z 满足22z z -==，则3z =．7．已知空间向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则b 在a方向上的投影为．8．已知()ln(4f x ax c x =++（a 、b 、c 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f 的值是9．已知A B 、是抛物线24y x =上的两个不同的点，且10AB =，若点M 为线段10AB =的中点，则M 到y 轴的距离的最小值为．10．一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为．11．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．12．已实数m n 、满足221m n +≤，则2263m n m n +-+--的取值范围是．二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）13．以下能够成为某个随机变量分布的是（）A ．0111⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101111236-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123111248⎛⎫ ⎪ ⎝⎭D ．11.222.40.50.50.30.7⎛⎫⎪-⎝⎭14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n 为A ．75B ．85C ．90D ．10015．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为x ，第二、三次听到回音的时间间隔为y ，则椭圆的离心率为（）A ．2xx y+B ．2x x y+C ．2y x y +D ．2y x y+三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）17．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12,90,AA ABC D =∠=︒为1CC中点．(1)求四面体1A ABD -的体积：(2)求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦值．18．（1）在用“五点法”作出函数[]1sin ,0,2πy x x =-∈的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x0sin x -01sin x-1（2）设实数0a >且1a ≠，求证：()ln x x a a a '=；（可以使用公式：()e e x x '=）（3）证明：等式()()()32123x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x a x x x x x x bx x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩19．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y （单位：克每立方米）与样本对原点的距离x （单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中9111,9i i i i u u u x ===∑）．xyu921()ii x x =-∑921()i i u u =-∑921()i i y y =-∑91(())i ii x y x y =--∑91()()i ii u u y y =--∑697.900.212400.1414.1226.13 1.40-(1)利用相关系数的知识，判断y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立y 关于x 的回归方程，并估计样本对原点的距离20x =米时，平均金属含量是多少？20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过点()(),00M a a ≠与x 轴不垂直的直线l 与C 交于()()1122,,A x y B x y 、两点．(1)求证：OA OB ⋅是定值（O 是坐标原点）；(2)AB 的垂直平分线与x 轴交于(),0N n ，求n 的取值范围；(3)设A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出定点的坐标．21．已知2()ln(1)2x f x a x x =++-，函数()y f x =的导函数为()y f x '=．(1)当1a =时，求()y f x =在2x =处的切线方程；(2)求函数()y f x =的极值点；(3)函数()y f x =的图象上是否存在一个定点(,)(.(0,))m n m n ∈+∞，使得对于定义域内的任意实数00()x x m ≠，都有000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．1．{3,4}【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【详解】集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则{3,4}A B = .故答案为：{3,4}2．4π【分析】根据条件，直接求出1r =，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为r ，所以2π2πr =，得到1r =，又圆柱的母线长为4l =，所以圆柱的体积为2π4πV r l ==，故答案为：4π.3．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为2，求出r ，代入通项公式中可求得结果.【详解】101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1022r -=，得4r =，所以2x 项的系数为410C 210=，故答案为：2104．(0,2)(2,4)【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得.【详解】依题意，121a q=-，10q -<<或01q <<，则12(1)a q =-，102a <<或124a <<，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4) .故答案为：(0,2)(2,4) 5．(8,2)(2,)-+∞ 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.【详解】向量()()1,2,,4a b m == 的夹角为锐角，则0a b ⋅> 且a 与b不共线，因此8024m m +>⎧⎨≠⎩，解得8m >-且2m ≠，所以实数m 的取值范围为(8,2)(2,)-+∞ .故答案为：(8,2)(2,)-+∞ 6．8-【分析】设i z a b =+，根据22z z -==得到方程组，求出1,a b ==答案，从而求出3z .【详解】设i z a b =+，则22i z a b -=-+，所以()2222424a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,a b ==当1,a b =1=z ，故()222113i 22z =+=++=-+，()()322126i 8z =-++=-+=-；当1,a b ==1z =-，故()222113i 22z =-=-=--，()()322126i 8z =--=-+=-故答案为：-87．11(,,0)22【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则1,||a b a ⋅==，所以b 在a 方向上的投影为2111(,,0)222||a b a a a ⋅==，故答案为：11(,,0)228．3【分析】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，然后判断()g x 的奇偶性，再利用函数的奇偶性求值即可【详解】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，函数的定义域为R ，因为()ln(g x ax c x -=---ln ax c ⎛⎫=--(1ln ax c x -=--+(ln ax c x =--+(ln ()ax c x g x ⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为奇函数，因为3(lg log 10)5f =，所以3(lg log 10)45g +=，所以(lg lg 3)1g -=，所以(lg lg 3)1g =-，所以(lg lg3)(lg lg3)4143f g =+=-+=，故答案为：39．4【分析】求出过抛物线焦点的弦长范围，再利用抛物线定义列式求解即得.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程=1x -，令过点F 与抛物线交于两点的直线方程为1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=，设两个交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，则124y y t +=，21212()242x x t y y t +=++=+，于是212||11444PQ x x t =+++=+≥，当且仅当0=t 时取等号，令点,,A B M 的横坐标分别为0,,A B x x x ，而||104AB =≥，则0111[(1)(1)]1(||||)1||142222A B A B x x x x x FA FB AB +==+++-=+-≥-=，当且仅当,,A F B 三点共线时取等号，所以M 到y 轴的距离的最小值为4.故答案为：410．323【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A 为“运动员开第一枪命中飞碟”，B 为“运动员开第二枪命中飞碟”，C 为“飞碟被击中”，则()0.20.60.12P B =⨯=，()()()()0.80.120.92P C P A B P A P B ==+=+= ，所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为()()0.123(|)()()0.9223P BC P B P B C P C P C ====.故答案为：32311．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan3A =>=，又函数tan y x =在π(0,)2上单调递增，则π3A >，此时3πA B C A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B CB C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：612．[3,13]【分析】确定动点(,)P m n 的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得.【详解】显然点(,)P m n 在圆22:1O x y +=及内部，直线1:630l x y --=，直线2:220l x y +-=，1=>，得直线1l与圆O相离，且|63|63m n m n--=--，由222201x yx y+-=⎧⎨+=⎩，解得3545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1xy=⎧⎨=⎩，即直线2l与圆O交于点34(,),(1,0)55A B，①当220m n+-≥时，即点P在直线2l与圆O所围成的小弓形及内部，|22||63|226324m n m n m n m n m n+-+--=+-+--=-+，目标函数124z x y=-+，即142z x y-=-表示斜率为12，纵截距为142z-的平行直线系，画出直线0:20p x y-=，平移直线p分别到直线12,p p，当1p过点A时，142z-取得最大值，1z最小，当2p过点B时，142z-取得最小值，1z最大，因此1min34()24355z=-⨯+=，1max()12045z=-⨯+=，从而3245m n≤-+≤；②当220m n+-<时，即点P在直线2l与圆O所围成的大弓形及内部（不含直线2l上的点），|22||63|(22)63348m n m n m n m n m n+-+--=-+-+--=--+，目标函数2348z x y=--+，即2834z x y-=+表示斜率为34-，纵截距为282z-的平行直线系，画出直线0:340q x y+=，显直线q OA⊥，平移直线q分别到直线12,q q，直线12,q q与圆O分别相切于点34,(,)55A--，当1q过点A时，282z-取得最大值，2z最小，因此2min34()834355z=-⨯-⨯=，当2q过点34(,)55--时，282z-取得最小值，2z最大，因此2max34()8341355z=+⨯+⨯=，从而383413m n<--≤，所以2263m n m n+-+--的取值范围是[3,13].故答案为：[3,13]【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值．13．B【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，显然AC 选项不满足概率之和为1，D 选项不满足各项概率大于0，B 选项满足要求.故选：B 14．C【详解】分析：由题意结合分层抽样的性质得到关于n 的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合分层抽样的定义可得：251000140012001000n =++，解得：90n =.本题选择C 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设111,2a q =-=，则2311,24a a =-=-，满足123a a a <<，但{}n S 是严格减数列，充分性不成立，当111,2a q ==时，{}n S 是严格增数列，但123a a a >>，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D 16．B【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得.【详解】依题意，令声音传播速度为v ，1t 时刻，刚刚呐喊声音传播为0，2t 时刻听到第一次回声，声音的路程为2()-a c ，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点，3t 时刻，声音的路程为2()a c +，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点，4t 时刻，声音的路程为4a ，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点，因此32,2()2()x t t a c a c vx =-+--=，43,42()y t t a a c vy =--+=，即4,22c vx a c vy =-=，则2a c y c x -=，即2a c y c x -=，整理得2a y xc x+=，所以椭圆的离心率为2c xa x y=+.故选：B【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键.17．(1)136【分析】（1）利用等体积法11A ABD D A AB V V --=，再根据条件，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD 与1ACB 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以1AA BC ⊥，又AB BC ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂面11ABB A ，所以CB ⊥面11ABB A ，因为1//CC 面11ABB A ，所以D 到面11ABB A 的距离即BC ,又111112122AA B S AB AA =⋅=⨯⨯= ，1BC =，所以1111133A ABD D A AB A AB V V S CB --=== .（2）如图，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，12AA =，则1(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(1,0,1)B AC BD ，所以1(0,1,0),(1,0,1),(0,1,2),(1,1,0)BA BD AB AC ===-=-设平面ABD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由1100BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到00y x z =⎧⎨+=⎩，取1x =，得到0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =- ，设平面1ACB 的一个法向量为(,,)m a b c =，则由10AC m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到020a b b c -=⎧⎨-+=⎩，取2a =，则2,1b c ==，所以(2,2,1)m = ，设平面ABD 与1ACB 所成锐二面角为θ，则cos cos ,n mn m n m θ⋅====18．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.【详解】（1）“五点法”作函数[]sin ,0,2πy x x =∈的图象的5个关键点的横坐标为π3π0,,π,,2π22，所以表格如下：xπ2π3π22πsin x -01-0101sin x-1121（2）实数0a >且1a ≠，则ln ln e e xx a x a a ==，因此ln ln ()(e )e (ln )ln x x a x a x a x a a a '''==⋅=，所以()ln x x a a a '=.（3）212212133)())[()])(((x x x x x x x x x x x x x x =-----++32332121212312()()x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+-++32123122331123()()x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，依题意，3212312233112332()()x x x x x x x x x x x x ax bx x x x x c -+++-+++=++对任意实数x 恒成立，因此123123122331122331123123()a x x x x x x ab x x x x x x x x x x x x bc x x x x x x c=-++++=-⎧⎧⎪⎪=++⇔++=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩，所以等式32123()()()x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩.19．(1)dy c x=+更适宜作为回归方程类型；(2)10ˆ100yx=-，399.5g /m .【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合10.449r ≈和20.996r ≈-，结合12r r <，即可得到结论.（2）（i ）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii ）当20x =时，结合回归方程，即可求得预报值.【详解】（1）因为y a bx =+的线性相关系数91)9()(0.44iix y r x y --==≈∑，dy c x=+的线性相关系数92(0.996iiu u y r y --≈-∑，因为12r r <，所以dy c x=+更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型.（2）依题意，992110ˆ()()1(.4010.14)i ii i iu u y u u yβ==----===-∑∑，则ˆˆ97.9(10)0.21100y u αβ=-=--⨯=，于是10ˆ10010100y u x=-=-，所以y 关于x 的回归方程为10ˆ100yx=-.当20x =时，金属含量的预报值为31010099.5g /m 20ˆy=-=.20．(1)证明见解析；(2))||(,p a ++∞；(3)证明见解析，(),0a -.【分析】（1）联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得..（2）求出弦AB 的中点坐标及弦AB 的中垂线方程，进而求出n ，再结合判别式求解即得.（3）设出D 点的坐标，求出直线BD 的方程211121()y y y x x y x x +=---，借助（1）的信息，推理判断即得.【详解】（1）显然直线l 不垂直于坐标轴，设过点(),0M a 的直线l 的方程为x my a =+，由22y px x my a ⎧=⎨=+⎩消去x 得：2220y pmy pa --=，22Δ480p m pa =+>，则121222y y pm y y pa +=⎧⎨⋅=-⎩，所以22212121212222y y OA OB x x y y y y a pa p p⋅=+=⋅+=- 为定值.（2）设,A B 两点的中点坐标为()33,Q x y ，则21212322x x my my x a pm a ++==+=+，1232y y y pm +==，则()2,Q pm a pm +，即AB 的垂直平分线为()2y m x pm a pm =---+，令0y =，解得2n pm a p =++，显然22480p m pa ∆=+>，当0a >时，恒有220pm a +>成立，则n p a >+，当a<0时，2pm a a +>-，则n p a >-，所以n 的取值范围为)||(,p a ++∞.（3）由A 关于x 轴的对称点为D ，得()11,D x y -，则直线BD ：211121()y y y x x y x x +=---，整理得：2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---.又()()()1221211212122x y x y y my a y my a my y a y y +=+++=++422pam pam pam =-+=-.因此直线BD 为：212122pm pam y x x x x x =+--，即()212pmy x a x x =+-过定点(),0a -，所以直线BD 过定点(),0a -.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)48ln 333y x =-+；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数求切线斜率，再求出切点坐标，点斜式写出切线方程即可.（2）利用导数探讨单调性，进而确定函数的极值点.（3）假设存在，利用导数，将等式化简，减少变量，从而可构造适当新函数，研究新函数的性质，即可判断.【详解】（1）当1a =时，2()ln(1),(2)ln 32x f x x x f =++-=，求导得14()1,(2)13f x x f x ''=+-=+，切线方程为4ln 3(2)3y x -=-，所以所求切线方程为48ln 333y x =-+.（2）函数2()ln(1)2x f x a x x =++-的定义域为(1,)-+∞，求导得21()111a x af x x x x -+'=+-=++，令()0f x '=，即210x a -+=，即21x a =-，①当1a ≥时，函数()y f x =在定义域内严格增,无极值点；②当01a <<时，当1x -<<或x >时，()0f x '>，当x <()0f x '<，函数()y f x =在(1,-和)+∞严格增，在(严格减，此时极大值点为③当0a ≤时，当1x -<<时，()0f x '<，当x >时，()0f x '>，函数()y f x =在(-严格减，在)+∞严格增的，所以当1a ≥时，函数()y f x =无极值点；当01a <<时，函数()y f x =极大值点为当0a ≤时，函数()y f x =.（3）假设存在定点(,)m n 满足条件，由000()()()2x mf x f x m n +'=-+得：000)(2()f x n x m f x m -+'=-，又点(,)m n 在曲线()f x 上，则2()ln(1)2mn f m a m m ==++，于是220000001[ln(1)ln(1)])()()(2a x m x m x m f x n x mx m+-++----=--000[ln(1)ln(1)]12a x m x mx m +-++=+--，而()11a f x x x '=+-+，于是000002()1=1222212x m x m x m a af x m x m +++'=+-+-++++，因此000ln(1)ln(1)22x m x m x m +-+=-++，变形得00012(1)11ln 1111x x m x m m +-++=++++，令01(0)1x t t m +=>+，则2(1)ln 1t t t -=+，令函数22()ln ,01t g t t t t -=->+，求导得22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=≥++，则()g t 在(0,)+∞单调递增，又(1)0g =，于是()0g t =只有唯一解1t =，即0111x m +=+，又0m x ≠，则1t ≠，故不存在定点(,)m n 满足条件.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。

2022年上海市黄浦区光明中学高考数学模拟试卷（一）1. 已知集合，，则______.2. 已知复数z满足其中i为虚数单位，则______.3. 文函数的反函数是______.4.已知二项式，则其展开式中的系数为______.5. 设抛物线：，F为的焦点，过F的直线l交于A，B两点．若且，则抛物线的方程为______.6. 已知x，y满足，则的最小值为______.7. 设有直线l：，l的倾斜角为若在直线l上存在点A满足，且，则k的取值范围是______.8. 已知公差为的等差数列，其中，则______.9. 如图所示，有棱长为2的正方体，P为正方体表面的一个动点．若三棱锥的体积为，则的取值范围是______.10. 2021年7月，上海浦东美术馆正式对外开放，今年计划招募15名志愿者担任“采访者”和“讲述者”两项工作每人只能承担一项工作，对“采访者”和“讲述者”的要求如下：志愿者类型所需人数备注采访者10男女比例为1：1讲述者5男、女比例不限现有10名女生，10名男生报名，则符合要求的方案有______个．11.已知点P在椭圆上运动，的左、右焦点分别为、以P为圆心，半径为的圆交线段、于M、N两点其中n为正整数设的最大值为s，最小值为m，则______.12. 设角数列的通项为，，其中k为常数且若存在整数，使的前k项中存在，满足，则的最大值为______.13. 下列函数定义域为的是( )A. B. C. D.14.复平面内存在复数，，对应的三点、、，若点可与、、共圆，则下列复数中可以表示为的是( )A. B.C. D.15. 已知定义在的函数，满足：，在上的解析式为，设的值域为若存在实数b，使得，则a的可能取值为( )A. B. C. D.16. 已知不等式：有实数解．结论：设，是的两个解，则对于任意的，，不等式和恒成立；结论：设是的一个解，若总存在，使得，则，下列说法正确的是( )A. 结论①、②都成立B. 结论①、②都不成立C. 结论①成立，结论②不成立D. 结论①不成立，结论②成立17. 如图所示，设有底面半径为3的圆锥．已知圆锥的侧面积为，D为PA中点，求圆锥的体积；求异面直线CD与AB所成角．18. 已知在三角形中，，三角形的面积若，求；若，求，19. 自2019年起，上海市推进“三星级绿色生态城区”示范区项目．今年，一座人民公园将要建设一块绿地．设计方案如图所示，有一块边长为500米的正方形土地ABCD，CE是一段圆弧以D为圆心，与BC相切于，其中BE，DE为两条人行步道，AE为一条鲜花带．已知每米人行步道的修建费用为每米288元．当时，求人行步道BE，DE的长度之和；如何设计圆弧CE的长度，才能使人行步道BE，DE的总造价最低，并求出总造价．长度精确到米，造价精确到元20. 已知双曲线是其左、右两个焦点．P是位于双曲线右支上一点，平面内还存在Q满足若Q的坐标为，求的值；若，，且，试判断Q是否位于双曲线上，并说明理由；若Q位于双曲线上，试用表示，并求出时的值．21. 已知数列，满足：存在，对于任意的，使得，则称数列与成“k级关联”．记与的前n项和分别为，已知，判断与是否成“4级关联”，并说明理由；若数列与成“2级关联”，其中，且有，，求的值；若数列与成“k级关联”且有，求证：为递增数列当且仅当，，⋯，答案和解析1.【答案】【解析】解：，故答案为：首先确定集合B，由交集定义可得结果．本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2.【答案】【解析】解：由，得，所以故答案为：根据复数的除法法则及复数的模公式，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式即可求解．3.【答案】【解析】解：设，解得，，不合题意舍去从而为所求，即又原函数的值域为原函数的反函数为故答案为：在把函数解析式看作方程，解出x，根据原函数中舍去正值，从而得到所求反函数的解析式，反函数的定义域由原函数的值域获得．本题主要考查了反函数的求法，同时考查了原函数的值域即为反函数的定义域，属于基础题．4.【答案】【解析】解：的展开式的通项公式为：，令，解得，所以二项式展开式中的系数为故答案为：利用二项展开式的通项公式即可求解．本题主要考查二项展开式的通项公式，属于基础题．5.【答案】【解析】解：根据题意，抛物线：，F为的焦点，则；因为，所以轴，则F为线段AB的中点，令，则，所以，解得，所以抛物线的方程为故答案为：根据题意，，可得轴，再根据即可求出p，即可得解．本题考查抛物线的几何性质，注意抛物线的定义，属于基础题．6.【答案】【解析】解：作出可行域，如图所示目标函数的几何意义是直线在y轴上的截距，转化为，令，则，作出直线并平移使它经过可行域的点，经过A时，，解得，所以此时z取得最小值，即故答案为：根据约束条件作出可行域，再将目标函数表示的一簇直线画出，向可行域平移即可求解．本题考查简单的线性规划，考查学生的运算能力，属于中档题．7.【答案】【解析】解：设，因为，所以，因为在直线l上存在点A满足，所以圆心到直线的距离不大于半径，即，解得或，又因为，所以k的取值范围是故答案为：设，易得，再根据在直线l上存在点A满足，圆心到直线的距离不大于半径求解．本题主要考查直线的倾斜角，考查转化能力，属于基础题．8.【答案】【解析】解：由题意得：，解得：，因为，所以，则故答案为：由题干条件得到，从而求出答案．本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题．9.【答案】【解析】解：设点P到平面ABC的距离为h，则，所以，如图在上取点E，使得，过点E作平面平面ABCD，F，G，H分别在，，上，故点P在四边形EFGH的边上，则当点P在点H的位置时，最小，为，当点P在点F的位置时，最大，为，所以的取值范围是故答案为：根据三棱锥的体积求出点P到平面ABC的距离h，由此确定点P的轨迹，结合图形即可得出答案．本题考查了锥体体积的有关计算，属于中档题．10.【答案】16003008【解析】解：现有10名女生，10名男生报名，一共20人报名，完成这件事情要分三步进行：第一步，先从10名女生中选5名去当采访者，有个，第二步，再从10名男生中选5名去当采访者，有个，第三步，最后从剩下的10人中选5名去当讲述者，有个，所以符合要求的方案有个，故答案为：根据分步乘法计数原理，再结合排列组合即可求解．本题考查分步乘法计数原理，排列组合的应用，属于中档题．11.【答案】5【解析】解：椭圆，，，，，，设点，在椭圆上运动，，，同理可得，由题意可知，，，，，设，，当时，设，，，又，，，，，函数在上单调递增，此时，，，所以，，因此，故答案为：设点，则，计算得出、、，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的表达式，令，利用函数单调性可求得当时，s、m的表达式，再利用常用数列的极限可求得结果．本题考查椭圆的几何性质，平面向量数量积，函数思想，导数研究单调性，数列极限，考查抽象运算能力，属难题．12.【答案】【解析】解：因为，不妨设，i，，所以或，所以或，所以或，因为，，所以，所以，因为，所以，所以，又，所以，所以，又，若，k为偶数时，要使最大，则最小，又，所以，所以当时取最大值，最大值为，若，k为奇数时，要使最大，则最小，又，所以，所以当时取最大值，最大值为，同理可得，若，k为偶数时，则的最大值为，若，k为奇数时，则的最大值为，又，所以的最大值为，故答案为：由确定之间的关系，结合i，j的范围求的最大值．本题考查了数列与函数的综合，用到了分类讨论的思想，属于中档题．13.【答案】C【解析】解：对于A，函数的定义域为，对于B，函数的定义域为，对于C，函数的定义域为对于D，函数的定义域为故选：根据反比例函数、对数函数、幂函数、正切函数的定义域逐一判断即可得解．本题考查了函数定义域的求法，是基础题．14.【答案】D【解析】解：由已知可得，则点、、均在以原点为圆心且半径为1的单位圆上，若点可与、、共圆，则，，A不满足要求；，B不满足要求；，C不满足要求；因为，所以，，D满足要求．故选：分析可得，则需满足，计算出各选项中复数的模，即可得解．本题主要考查复数的几何意义，以及复数模公式，属于中档题．15.【答案】A【解析】解：当时，当时，，则，当时，，则，所以时，，由，则时，，则时，，所以则时，，由则存在实数b，使得，即存在实数b使得，解得，由上可知，当时，的值域为，显然满足题意．当时，当时，，则，当时，，则，所以时，，同理可得，当时，，由则存在实数b，使得，即存在实数b使得，解得，所以满足条件的a是范围：，故选：先求出当时，的值域，从而得出在的取值情况，根据条件参数a满足的不等式，求出参数a的范围，然后同理讨论，的情况，从而得出答案．本题考查了分情况讨论求函数值域结合基本不等式，属于中档题．16.【答案】B【解析】解：当且时，：的解为全体实数，故对任意的，，与的关系不确定，例如：：，取，，而，所以，故结论①不成立．当\(a< 0\)且\(Δ=b^{2}-4ac>0\)时，\(ρ\)：\(ax^{2}+bx+c< 0\)的解为\(\{x|x⟨p\)或\(x⟩q\}\)，其中p，q是的两个根．当，时，，但c值不确定，比如：：，取，则，但，故结论②不成立．故选：根据一元二次不等式与二次方程以及二次函数之间的关系，以及考虑特殊情况通过排除法确定选项．本题考查了不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．17.【答案】解：设圆锥母线长为l，，，即，圆锥的高，；解法一：取OA边上中点E，连结DE，CE，AC，是的中位线，，垂直于底面，垂直于底面，，，E为OA中点，，即，，CE，平面CDE，平面CDE，又平面CDE，，即异面直线AB与CD所成角为；解法二：取圆弧AB中点E，连结OE，则，以O为坐标原点，的正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，即，异面直线AB与CD所成角为【解析】由圆锥侧面积公式可求得母线长，进而得到圆锥的高，利用圆锥体积公式可求得结果；解法一：取OA边上中点E，由线面垂直的判定可证得平面CDE，由线面垂直性质得，由此可得结果；解法二：取圆弧AB中点E，连结OE，以O为坐标原点可建立空间直角坐标系，由向量运算可得，知，由此可得结果．本题考查了圆锥的体积和异面直线所成角的计算，属于中档题．18.【答案】解：，而，分情况讨论，当C为锐角时，，，当C为钝角时，，；，因为，所以，分情况讨论，当C为锐角时，，由余弦定理，，由正弦定理，，，当C为钝角时，，由余弦定理，，由正弦定理，，【解析】根据面积公式及，得到，分C为锐角和C为钝角时，求出，进而求出，求出；由面积公式求出，分C为锐角和C为钝角，由余弦定理和正弦定理求出答案．本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．19.【答案】解：作，，垂足分别为F，G，如图所示：由题意可知，米，在中，，所以，在中，，同时，，在中，由勾股定理得，，即解得米，米；设米，则与第问相同，设，由于DE为定值，只需考虑BE的变化情况，则，，由勾股定理，，解得，，，所以当即时，BE取得最小值．则米，则总造价元，此时圆弧米，故当圆弧长度设计为米时，人行步道BE，DE的总造价最低，为元．【解析】根据已知条件及圆的定义，再利用锐角三角函数及勾股定理即可求解；根据已知条件及的思路，求出BE的关系式，再利用辅助角公式及三角函数的性质，求出BE的最小值，进而得出的最小值，结合题意即可求解．本题考查函数的实际应用，考查学生的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：由双曲线方程可得，，，则，可得，设，则，，，解得，，将代入双曲线方程中，化简得，解得或舍去的值为；由知，，，设，则，点在双曲线上，，①，②联立①②，得，，设，，，，解得，得，将点代入双曲线方程，可得，在双曲线上；由知，，设，，则，，解得，，点Q在双曲线上，，即，化简得，，，解得，代入，解得的值为【解析】根据双曲线方程求出的坐标，由及向量的坐标运算，求出点P的坐标，再利用点P在双曲线上即可求解；根据及向量的线性运算，得出，结合点P在双曲线上，求出点P 的坐标，根据，求出点Q的坐标，结合点与双曲线的位置关系即可求解；根据及向量的坐标运算，得出点Q的坐标，利用点Q在双曲线上及向量的数量积的坐标运算即可求解．本题考查双曲线与直线位置关系，考查平面向量再求解圆锥曲线问题中的应用，考查运算求解能力，属难题．21.【答案】解：由，可得，显然，等式不恒成立，举反例：时，有：左右．与不成“4级关联”．由可得：，利用累加法：，整理得：，由可知：且第一周期内有，，，，所以，而又因为，，故；证明：由已知可得，所以，所以，先说明必要性．由为递增数列可知：，当时，，所以，⋯，当时，，由式可知：，故，，⋯，，必要性得证再说明充分性．考虑反证法．假设数列中存在两项满足，得到，由于结合，，⋯，，能够得到：，可知对于全体正整数都成立，这与存在一项矛盾！假设不成立，充分性得证由、，命题得证．【解析】根据“4级关联”的定义判断；根据“4级关联”的可得，根据累加法即数列的周期性可求；本题以新定义为载体，旨在考查数列的综合运用，解决的关键在于准确理解新定义，并结合定义对条件进行转化，从而解决问题，属于难题．。

2023-2024学年上海市高考数学模拟试题（一模）一、填空题（1-4每题4分，5-6每题5分，共26分）1.已知集合{}21,RA y y x x ==-∈，{B x y ==，则A B = ______.【正确答案】⎡-⎣【分析】先求函数21,R y x x =-∈的值域，即可化简集合A，再求函数y =的定义域，即可化简集合B ，最后由集合的交集运算即可得到答案.【详解】因为{}21,R A y y x x ==-∈，所以A 为函数21,R y x x =-∈的值域，因为211y x =-≥-，所以{}1A y y =≥-.因为{B x y ==，所以B为函数y =的定义域，由220x -≥得22x ≤，即x ≤≤，所以{B x x =≤≤，所以{}{1A B y y x x ⎡⋂=≥-⋂≤≤=-⎣.故⎡-⎣2.若复数z 满足32iiz -=（其中i 是虚数单位），则||z =______.【分析】化简复数z ，再求出z ，进而求出||z .【详解】∵32i (32i)i 23i23i i i i 1z --+====--⨯-，∴23i z =-+，∴||z ==3.已知向量()3,6a = ，()3,4b =- ，则a 在b方向上的数量投影为______.【正确答案】3-【分析】根据题意，结合向量的投影公式，即可求解.【详解】因为向量()3,6a =，()3,4b =- ，所以a 在b方向上的数量投影为336415cos ,35a b a a b b⨯+⨯-⋅-====-.故答案为.3-4.若函数2()lg(2)f x ax x a =-+的定义域为R ，则实数a 的取值范围为__________．【正确答案】(1,)+∞【分析】由题意，函数2()lg(2)f x ax x a =-+的定义域为R ，转化为不等式220ax x a -+>在R 上恒成立，利用一元二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数2()lg(2)f x ax x a =-+的定义域为R ，即不等式220ax x a -+>在R 上恒成立，当0a =时，不等式等价与20x ->，不符合题意；则满足2)22(40a a ->⎧⎨∆=-<⎩，解得1a >，即实数a 的取值范围是(1,)+∞.本题主要考查了对数函数的性质，以及一元二次函数的图象与性质的应用，其中解答中把函数的定义域为R ，转化为不等式220ax x a -+>在R 上恒成立，利用一元二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力.5.等差数列{}n a 中，18153120a a a ++=，则9102a a -的值是______.【正确答案】24【分析】先由等差数列的通项公式化简18153120a a a ++=得到1724a d +=，再由等差数列的通项公式把9102a a -化为17a d +即可求出答案.【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则()1815111173312014535d a a a a a a a d d ++=++++=+=，所以1724a d +=.所以()()9101112224897d a a a a a d d -=++-=+=.故246.过抛物线24x y =的焦点且倾斜角为3π4的直线被抛物线截得的弦长为______.【正确答案】8【分析】写出直线方程，联立抛物线的方程，运用定义和焦点弦长公式，计算即可得到.【详解】抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，准线方程为1y =-，直线l 的倾斜角为3π4，设直线l 与抛物线交于,M N 两点，则直线l 的方程为1y x =-+，代入24x y =得2610y y -+=，则1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，126y y +=，则1228MN MF NF y y =+=++=，故8二、单项选择题（每题5分，共50分）7.设:x a α>，1:0x xβ->，若α是β的充分条件，则实数a 的取值范围是（）A.()0,+∞ B.(],1-∞ C.[)1,+∞ D.(],0-∞【正确答案】C【分析】解分式不等式10x x->得β，由α是β的充分条件等价于β包含α，根据包含关系列不等式求解即可【详解】()1010x x x x->⇔->，解得1x >或0x <，由α是β的充分条件，则有1a ≥.故选：C8.函数()(1f x x =+）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数【正确答案】C【分析】求出()f x 的定义域不关于原点对称，即可判断()f x 为非奇非偶函数.【详解】函数()(1f x x =+的定义域为101x x -≥+，则()()110111x x x x ⎧+-≥⇒-<≤⎨≠-⎩，由于定义域不关于原点对称，故()f x 为非奇非偶函数.故选：C .9.已知事件A 与事件B 是互斥事件，则（）A.)(0P A B ⋂= B.)()()(P A B P A P B ⋂=C.)()(1P A P B =- D.)(1P A B ⋃=【正确答案】D【分析】根据互斥事件、对立事件、必然事件的概念可得答案.【详解】因为事件A 与事件B 是互斥事件，则A B 、不一定是互斥事件，所以()P A B ⋂不一定为0，故选项A 错误；因为事件A 与事件B 是互斥事件，所以A B ⋂=∅，则()0P A B ⋂=，而()()P A P B 不一定为0，故选项B 错误；因为事件A 与事件B 是互斥事件，不一定是对立事件，故选项C 错误；因为事件A 与事件B 是互斥事件，A B ⋃是必然事件，所以()1P A B ⋃=，故选项D 正确.故选：D.10.甲，乙两个小组各10名学生的数学测试成绩如下（单位：分）．甲组：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83乙组：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A ；“抽出的学生的数学测试成绩不低于85分”记为事件B ，则()|P A B 的值是（）A.59B.49C.29D.19【正确答案】A【分析】利用条件概率公式求解即可得()P A B到答案.【详解】由题意知，()101202P A ==，()920P B =()P AB 表示20人随机抽取一人，既是甲组又是数学测试成绩不低于85分的概率，()51204P AB ==，根据条件概率的计算公式得()()()1549920P AB P A B P B ===.故选：A11.如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且1MD NB ==，点G 为MC 的中点.则下列结论中不．正确的是（）A.MC AN⊥ B.平面//DCM 平面ABN C.直线GB 与AM 是异面直线 D.直线GB 与平面AMD 无公共点【正确答案】D【分析】根据给定条件，证明//AN DG 判断A ；利用线面、面面平行的判定推理判断B ；取DM 中点O ，证得四边形ABGO 是梯形判断CD 作答.【详解】因为MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，则//MD NB ，取,,AB CD AN 的中点,,F E H ，连接,,,EF EG FH GH ，如图，点G 为MC的中点，则//////EG MD NB FH ，且1122EG MD NB FH ===，于是四边形EFHG 是平行四边形，//,GH EF GH EF =，在正方形ABCD 中，//,EF AD EF AD =，则//,GH AD GH AD =，因此四边形ADGH 为平行四边形，//AN DG ，而1MD CD ==，点G 为MC 的中点，有DG MC ⊥，所以MC AN ⊥，A 正确；因为//MD NB ，MD ⊂平面DCM ，NB ⊄平面DCM ，则//NB 平面DCM ，又//AB CD ，CD ⊂平面DCM ，AB ⊄平面DCM ，则//AB 平面DCM ，而,,NB AB B NB AB =⊂ 平面ABN ，所以平面//DCM 平面ABN ，B 正确；取DM 中点O ，连接,GO AO ，则有11////,22GO CD AB GO CD AB ==，即四边形ABGO 为梯形，因此直线,AO BG 必相交，而AO ⊂平面AMD ，于是直线GB 与平面AMD 有公共点，D 错误；显然点A ∈平面ABGO ，点M ∉平面ABGO ，直线BG ⊂平面ABGO ，点A ∉直线BG ，所以直线GB 与AM 是异面直线，C 正确.故选：D结论点睛：经过平面内一点和外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线.12.数列{}n a 的前n 项和1nn S a =-，*n ∈N ，关于数列{}n a 有以下命题：①{}n a 一定是等比数列，但不可能是等差数列；②{}n a 一定是等差数列，但不可能是等比数列；③{}n a 可能是等比数列，也可能是等差数列；④{}n a 可能既不是等差数列，也不是等比数列；⑤{}n a 可能既是等差数列，又是等比数列；其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】B【分析】分0a =，1a =，0a ≠且1a ≠三种情况讨论，由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出n a ，根据等差、等比数列的通项公式的特征可作出判断．【详解】当0a =时，1n S =-，则111a S ==-，当2n ≥时，10n n n a S S -=-=，即1,10,2n n a n -=⎧=⎨≥⎩，此时，数列{}n a 既不是等差数列，也不是等比数列；当1a =时，0n S =，则110a S ==，当2n ≥时，10n n n a S S -=-=，则()0n a n N *=∈，此时，数列{}n a 为等差数列，但不是等比数列；当0a ≠且1a ≠时，111a S a ==-，当2n ≥时，()()()111111nn n n n n a S S a aa a ---=-=---=-，则()21a a a =-，()()1111n n n n a a a a a a a+--∴==-且()2111a a a a a a -==-，则数列{}n a 是以a 为公比的等比数列.由以上分析知，正确的说法为③④．故选：B.本题考查数列通项n a 与n S 的关系及等差、等比数列的通项公式，准确把握等差、等比数列的通项公式特征是解决问题的关键．13.已知参数方程3342x t ty t ⎧=-⎪⎨=⎪⎩[]1,1t ∈-，则下列曲线方程符合该方程的是（）A.B.C.D.【正确答案】B【分析】利用特殊值法即可选出答案.【详解】令20y t ==得1,0,1t =-，将其分别代入334x t t =-得1,0,1x =-，所以该方程所表示的曲线恒过点()()()1,0,0,0,1,0-，显然只有B 项满足.故选：B.14.设函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对于任意5,62ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，在区间[]0,m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的最小值为A.π6B.π2C.7π6D.π【正确答案】B【分析】先求()3[,0]2f α∈-，再由存在唯一确定的β，使得()()3[0,]2f f βα=-∈，得2[,)633m πππ-∈，从而得解.【详解】当5,62ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，有2,36ππαπ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，所以()3[,0]2f α∈-.在区间[]0,m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，所以存在唯一确定的β，使得()()3[0,]2f f βα=-∈.[]0,,[,]666m m πππββ∈-∈--，所以25[,),[,63326m m πππππ-∈∈.故选B.本题主要考查了三角函数的图像和性质，考查了函数与方程的思想，正确理解两变量的关系是解题的关键，属于中档题.15.若曲线||2y x =+与曲线22:144x y C λ+=恰有两个不同的交点，则实数λ的取值范围是（）A.(1,)+∞B.(,1]-∞C.(](),11,-∞-⋃+∞ D.[1,0)(1,)-+∞U 【正确答案】C【分析】先分析出||2y x =+表示起点为()2,0A -的两条斜率分别为1和-1的射线.若曲线22:144x y C λ+=为椭圆，只需点()2,0A -落在椭圆内，列不等式求出λ的范围；若当曲线22:144x y C λ+=为双曲线时，只需把||2y x =+表示的射线与渐近线比较，列不等式求出λ的范围.【详解】如图示：||2y x =+表示起点为()2,0A -的两条斜率分别为1和-1的射线.当曲线22:144x y C λ+=为椭圆时，即0λ>，只需点()2,0A -落在椭圆内，即240144λ+<，解得：1λ>；当曲线22:144x y C λ+=为双曲线时，即0λ<，渐近线方程：y =要使曲线||2y x =+与曲线22:144x y C λ+=恰有两个不同的交点，1≤，解得.1λ≤-所以实数λ的取值范围是(],1(1,)-∞-+∞ 故选：C16.已知定义在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意x R ∈，()(2)f x f x =-；③当[0,1]x ∈时，3()2f x x =；④()(4)g x f x =．若过点(1,0)-的直线l 与函数()g x 的图象在[0,2]x ∈上恰有8个交点，则直线l 斜率k 的取值范围是()A.60,11⎛⎫⎪⎝⎭B.30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C.(0,1)D.330,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】结合①②可知()f x 是周期为2的函数，再结合④可知()g x 是周期为12的函数，结合③作出()g x 在[0,2]上的图像，然后利用数形结合即可求解.【详解】因为函数()f x 的图象关于y 轴对称，所以()f x 为偶函数，即()()f x f x =-，又因为对于任意x R ∈，()(2)f x f x =-，所以()(2)()f x f x f x =-=-，从而()(2)f x f x =+，即()f x 是周期为2的函数，因为()(4)g x f x =，则()g x 图像是()f x 的图像的横坐标缩短为原来的14得到，故()g x 也是偶函数，且周期为11242⨯=，结合当[0,1]x ∈时，3()2f x x =，可作出()g x 在[0,2]的图像以及直线l 的图像，如下图所示：当74x =时，易知3()2g x =，即73(,)42A ，则直线MA 的斜率362711(1)4MAk -==--，过点(1,0)-的直线l 与函数()g x 的图象在[0,2]x ∈上恰有8个交点，则只需6011MA k k <<=，即直线l 斜率k 的取值范围是60,11⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A.三、解答题（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）17.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线()()10y k x k =->与椭圆C 交于A ，B 两点，且与x 轴，y 轴交于M ，N 两点.①若MB AN = ，求k 的值；②若点Q 的坐标为7,04⎛⎫⎪⎝⎭，求证：QA QB ⋅ 为定值.【正确答案】（1）22142x y +=（2）①22k =；②证明见解析【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积即可求出224,2a b ==，则椭圆方程可得；（2）①根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出；②根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出．【小问1详解】22c e a ==，222a c ∴=，代入222a b c =+得b c =.又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2，即1222b c ⨯=，即2bc =，以上各式联立解得224,2a b ==，则椭圆方程为22142x y +=.【小问2详解】①直线()1y k x =-与x 轴交点为()1,0M ，与y 轴交点为()0,N k -，联立()22241x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得:()222124240k x k x k +-+-=，()()4222164122424160k k k k ∆=-+-=+>设()()1122,,,A x y B x y ，则2122412kx x k+=+()()22111,,,,MB x y AN x k y =-=--- 又212241,12k MB AN x x k =+==+ 由得：解得:2k =±.由0k >得22k =;②证明：由①知2122412k x x k +=+212224,12k x x k-=+)()()2112212127777,,114444QA QB x y x y x x k x x ⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅-=--+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎝⎭⎝⎭ ()()22212127491416k x x k x x k ⎛⎫=++--+++⎪⎝⎭()2222222472449151124121616k k k k k k k -⎛⎫=++--++=- ⎪++⎝⎭，QA QB ∴⋅为定值.方法点睛：求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．（卷二）一、填空题（每题5分，共20分）18.已知圆22:16C x y +=，直线:()(32)0l a b x b a y a -+--=（,a b 不同时为0），当,a b 变化时，圆C 被直线l 截得的弦长的最小值为___________.【正确答案】【分析】由题意知直线l 恒过定点(3,1)，当圆心到直线距离取最大值时，此时圆C 被直线l 截得的弦长为最小值，即可求出答案.【详解】把直线:()(32)0l a b x b a y a -+--=化为(21)(3)0a x yb x y --+-+=2103301x y x x y y --==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，恒过定点(3,1)，当圆C 被直线l 截得的弦长的最小值时，圆心(0,0)到定点(3,1)的距离为，圆心到直线:()(32)0l a b x b a y a -+--=距离，此时直线弦长为最小值=.故答案为.19.若随机变量()3,XB p ，()22,YN σ，若()10.657P X ≥=，()02P Y p <<=，则()4P Y >=______．【正确答案】0.2【分析】解不等式1﹣（1﹣p ）3＝0.657得到p ＝0.3，再利用正态分布求解.【详解】解：∵P （X ≥1）＝0.657，∴1﹣（1﹣p ）3＝0.657，即（1﹣p ）3＝0.343，解得p ＝0.3，∴P （0＜Y ＜2）＝p ＝0.3，∴P （Y ＞4）＝12(02)2P Y -<<＝120.30.22-⨯=．故0.2．20.已知在R 上的减函数()y f x =，若不等式()()2233f x x f y y -≤---成立，函数()1y f x =-的图象关于点()1,0中心对称，则当14x ≤≤时，yx的取值范围是______.【正确答案】12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由对称性得函数()f x 是奇函数，由奇函数的定义及单调性化简不等式为具体的不等式，变形为两个不等式组，在平面直角坐标系中作出这两个不等式组表示的平面区域在直线1x =和4x =之间的部分，yx表示这部分的点到原点连线的斜率，由图可得其取值范围．【详解】∵函数(1)=-y f x 的图象关于点(1,0)中心对称，∴函数()y f x =的图象关于原点对称，即()f x 是奇函数，不等式()()2233f x x f y y -≤---可化为()()2233f x x f y y -≤+，又()f x 是R 上的减函数，∴2233x x y y -≥+，即()(3)0x y x y +--≥030x y x y +≥⎧⎨--≥⎩或030x y x y +≤⎧⎨--≤⎩，作出这两个不等式组表示的平面区域在直线1x =和4x =之间的部分，如图阴影部分（含边界），yx表示阴影部分的点与原点连线的斜率，1x =与4x =分别代入30x y --=，可得(1,2)D -，(4,1)B ，2OD k =-，14OB k =，∴124y x -≤≤．故12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．21.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项，若对任意的*n ∈N ，都有[]13,n nS s t S -∈，则t s -的最小值为________．【正确答案】94【分析】先根据和项与通项关系得{}n a 通项公式，再根据等比数列求和公式得n S ，再根据函数单调性得13n nS S -取值范围，即得t s ，取值范围，解得结果.【详解】因为2n S 是6和n a 的等差中项，所以46n n S a =+当2n ≥时，111114643n n n n n n n S a a a a a a ----=+∴=-∴=-当1n =时，11146=2S a a =+∴因此112[1()]13132([1()]132313n n n n n a S ---=⨯-∴==--+当n 为偶数时，3143[1()][,)2332n n S =-∈当n 为奇数时，313[1(](,2]232n n S =+∈因此343(,2][,)232n S ∈U 因为13n n S S -在343(,2][,232U 上单调递增，所以[]113232*********,,4662244n n S s t t s S ⎡⎤-∈⋃⊆∴-≥-=⎢⎥⎣⎦）（，故94本题考查根据和项求通项、等比数列定义、等比数列求和公式、利用函数单调性求值域，考查综合分析求解能力，属较难题.二、单项选择题（每题5分，共10分）22.在正四面体A BCD -中，点P 为BCD ∆所在平面上的动点，若AP 与AB 所成角为定值,0,4πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则动点P 的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【正确答案】B【分析】把条件转化为AB 与圆锥的轴重合，面BCD 与圆锥的相交轨迹即为点P 的轨迹后即可求解.【详解】以平面截圆锥面，平面位置不同，生成的相交轨迹可以为抛物线、双曲线、椭圆、圆.令AB 与圆锥的轴线重合，如图所示，则圆锥母线与AB 所成角为定值，所以面BCD 与圆锥的相交轨迹即为点P 的轨迹.根据题意，AB 不可能垂直于平面BCD ，即轨迹不可能为圆.面BCD 不可能与圆锥轴线平行，即轨迹不可能是双曲线.可进一步计算AB 与平面BCD 所成角为θ=时，轨迹为抛物线，arctan θ≠时，轨迹为椭圆， 0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以轨迹为椭圆.故选：B.本题考查了平面截圆锥面所得轨迹问题，考查了转化化归思想，属于难题.23.若P 在曲线22:14x C y +=上，若存在过P 的直线交曲线C 于A 点，交直线:4l x =于B 点，满足||||PA PB =或||||PA AB =，则称P 点为“H 点”，那么下列结论中正确的是（）A.曲线C 上所有点都是H 点B.曲线C 上仅有有限多个点是H 点C.曲线C 上所有点都不是H 点D.曲线C 上有无穷多个点（但不是全部）是H 点【正确答案】D【分析】设出22P A x x -≤<≤,利用相似三角形求得P x 和A x 的关系,设出PA 的方程与椭圆方程联立求得A P x x 的表达式,利用判别式大于0求得k 和m 的不等式关系,最后联立①②③求得A x 的范围,进而通过1A x <时,242P A x x =-<-,故此时不存在H 点,进而求得H 点的横坐标取值范围,判断出题设的选项.【详解】解：由题意，P 、A 的位置关系对称，于是不妨设22,(P A x x -≤<≤此时)PA AB =.由相似三角形，244A P x x -=-即:24P A x x =-⋯①设:PA y kx m =+，与椭圆联立方程组，2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得22212104k x kmx m ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭解得22114A P m x x k -=⋯+②0∆> ，2241k m >-⋯③联立①②③，得2222114A A x x k-<+，而2202114k<<+，即222A A x x -<，即12A x ≤≤，而当1A x <时，242P A x x =-<-，故此时不存在H 点又因为P 的位置可以和A 互换（互换后即)PA PB =，所以H 点的横坐标取值为[2,0][1,2]-⋃.故选:D.本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系问题.解题的关键是求得H 点的横坐标取值范围.属于较难题.三、多项选择题（每题6分，共12分）24.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为3，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（）A.与AB 所成的角是60°的棱共有8条B.AB 与平面BCD 所成的角为30°C.二面角A BC D --的余弦值为33-D.经过A ，B ，C ，D 四个顶点的球面面积为2π【正确答案】CD【分析】补全该半正多面体得到一正方体.对于A 选项，由正三角形可得60°角，再利用平行关系得结果；B 选项，利用正方体找出线面角为∠ABE=45°；C 选项，先作出二面角的补角∠AFE ，在△AEF 中，求出3cos 3EF AFE AF ∠==即可得结果；D 选项，由半正多面体的对称中心与相应的正方体的对称中心为同一点，构造三角形，求出球的半径，最后求得经过A ，B ，C ，D 四个顶点的球面面积.【详解】补全该半正多面体得到一正方体，设正方体的棱长为a .由题意，该半正多面体是由6个全等的正方形与8个全等的正三角形构成，由半正多面体的表面积为33+，可得223228633422a ⎛⎫⎫⨯⨯+⨯=+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得a =1.对于A ，在与AB 相交的6条棱中，与AB 成60°角的棱有4条，这4条棱中，每一条都有3条平行的棱，故与AB 所成的角是60°的棱共有16条，故A 不正确；对于B ，因为AE ⊥平面BCD ，所以AB 与平面BCD 所成角为∠ABE =45°，故B 不正确；对于C ，取BC 中点F ，连接EF ，AF ，则有AF ⊥BC ，EF ⊥BC ，故二面角A -BC -D 的补角为∠AFE .二面角A -BC -D 的余弦值为-cos ∠AFE ，在Rt △AEF 中，1,,24AE EF AE EF ==⊥，∴AF =3cos 3EF AFE AF ∠==，cos 3AFE -∠=-，故C 正确;对于D ，由半正多面体的对称中心与相应的正方体的对称中心为同一点，即为正方体对角线的中点O ，点O 在平面ABE 的投影为投影点O 1，则有1111,22OO AO ==，∴22AO ==，故经过A ，B ，C ，D 四个顶点的球面的半径为面积为2422S ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：CD立体几何中补形是一种常用的方法：(1)一个不规则几何体是由规则几何体经过截取得到的，通常可以用补形，还原为规则几何体，如正方体，长方体等；(2)通常可以用来求①体积（距离），②与外接球（内切球）相关的问题.25.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，已知点P 为侧面11BCC B 上的一动点，则下列结论正确的是（）A.若点P 总保持1PA BD ⊥，则动点P 的轨迹是一条线段；B.若点P 到点A 的距离为3，则动点P 的轨迹是一段圆弧；C.若P 到直线AD 与直线1CC 的距离相等，则动点P 的轨迹是一段抛物线；D.若P 到直线BC 与直线11C D 的距离比为1:2，则动点P 的轨迹是一段双曲线.【正确答案】ABD【分析】由1BD ⊥平面1AB C 且平面1AB C 平面111BCC B B C =，即可判断A ；根据球的性质及与正方体的截面性质即可判断B ；作PE BC ⊥，EF AD ⊥，连接PF ，作1PQ CC ⊥.建立空间直角坐标系，由PF PQ =即可求得动点P 的轨迹方程，即可判断C ；根据题意，由距离比即可求得轨迹方程，进而判断D.【详解】对于A ，111,BD B C D A AB ⊥⊥，且1AC AB A ⋂=，所以1BD ⊥平面1AB C ，平面1AB C 平面111BCC B B C =，故动点P 的轨迹为线段1BC ，所以A 正确；对于B ，点P 的轨迹为以A 为球心、半径为233的球面与面11BCC B 的交线，即为一段圆弧，所以B 正确；对于C ，作PE BC ⊥，EF AD ⊥，连接PF ；作1PQ CC ⊥.由PF PQ =，在面11BCC B 内，以C 为原点、以直线CB 、CD 、1CC 为x ，y ，z轴建立平面直角坐标系，如下图所示：设(),0,P x z，则x =，化简得221x z -=，P 点轨迹所在曲线是一段双曲线，所以C 错误.对于D ，由题意可知点P 到点1C 的距离与点P 到直线BC 的距离之比为2:1，结合C 中所建立空间直角坐标系，可得121PC PE =，所以21241PC PE =，代入可得()222141x z z +-=，化简可得221314493z x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=，故点P 的轨迹为双曲线，所以D 正确.综上可知，正确的为ABD.故选：ABD.本题考查了空间几何体中截面的形状判断，空间直角坐标系的综合应用，轨迹方程的求法，属于难题.四、解答题（本题满分18分（本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）26.对于数列{}n a ，若存在正数k ，使得对任意*,m n ∈N ，m n ≠，都满足||||m n a a k m n -≤-，则称数列{}n a 符合“()L k 条件”.（1）试判断公差为2的等差数列{}n a 是否符合“(2)L 条件”？（2）若首项为1，公比为q 的正项等比数列{}n a 符合“1(2L 条件”.求q 的范围；（3）在（2）的条件下，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：存在正数0k ，使得数列{}n S 符合“0()L k 条件”.【正确答案】（1）符合（2）1[,1]2（3）证明见解析【分析】(1)将12(1)n a a n =+-代入||||m n a a k m n -≤-即可得证；(2)由“正项等比数列”分成1q =，1q >，01q <<三类，结合数列单调性进行分析求证；(3)1q =时，n S n =，01k ≥即可成立；当112q ≤<时，设m n <，则等价于证明0(1)()m n q q k q n m ---≤即可.【小问1详解】因为{}n a 是等差数列且公差为2，所以12(1)n a a n =+-，所以对任意m ，*n ∈N ，m n ≠，11|||[2(1)][2(1)]||2()|2m n a a a m a n m n m n -=+--+-=-≤-恒成立，所以数列{}n a 符合“(2)L 条件”.【小问2详解】因为0n a >，所以0q >.若1q =，则1||0||2m n a a m n -=≤-，数列{}n a 符合“1()2L 条件”；若1q >，因为数列{}n a 递增，不妨设m n <，则1()2n m a a n m ≤--，即1122n m a n a m -≤-，(*)设12n n b a n =-，由(*)式中的m ，n 任意性得数列{}n b 不递增，所以11111()(1)022n n n n n b b a a q q -++-=--=--≤，*n ∈N ，则当[2(1)]41log q n ->-时，11(1)02n q q --->，矛盾.若01q <<，则数列{}n a 单调递减，不妨设m n <，则1()2n m a a n m ≤--，即1122m n a m a n +≤+，(**)设12n n c a n =+，由(**)式中的m ，n 任意性得，数列{}n a 不递减，所以11111()(1)022n n n n n c c a a q q +++-=-+=-+≥，*n ∈N .因为01q <<时，11()(1)2n f n q q -=-+单调递增，所以1()(1)(1)02max f n f q ==-+≥，因为01q <<，所以112q ≤<.综上，公比q 的范围为1[,1]2.【小问3详解】由（2）得，11n n q S q-=-，112q ≤<，当1q =时，n S n =，要存在0k 使得0||||n m S S k n m -≤-，只要01k ≥即可.当112q ≤<时，要证数列{}n S 符合“0()L k 条件”，只要证存在00k >，使得011||11n mq q k n m q q---≤---，*n ∈N ，不妨设m n <，则只要证0(1)()m n q q k q n m ---≤，只要证00(1)(1)m m n n q k q q k q ≤+-+-.设0()(1)n n g n q k q =+-，由m ，n 的任意性，只要证00(1)()(1)(1)(1)()0n n g n g n q q k q q k q +-=-+-=--≥，只要证0n k q ≥，*n ∈N ，因为112q ≤<，所以存在0k q ≥，上式对*n ∈N 成立.所以，存在正数0k ，使得数列{}n S 符合“0()L k 条件”.思路点睛：对于数列中的恒成立或存在性问题，通常结合条件进行分类讨论，构造合适的函数模型，借助函数性质进行判断.。

2023年上海高考数学模拟试卷一、单选题1．设集合U ={1，2，3，4，5，6}，A ={1，2，3}，B ={3，4，5} 则A ∩(∁U B )=（ ）A ．{3}B ．{1，2}C ．{1，2，6}D ．{1，2，3，6}2．AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A ．AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ．DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ．BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D ．DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 3．已知复数z 满足zi 5=1+2i 则 z ̅ 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．如图 在△ABC 中 已知AB =2 AC =8 ∠BAC =60° BC ､AC 边上的两条中线AM ､BN 相交于点P则∠MPN 的余弦值为（ ）A ．2√77B ．−2√77C ．√77D ．−√775．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球 球的编号分别为1 2 3 4．先从袋中随机取一个球 该球的编号为m 将球放回袋中 然后再从袋中随机取一个球 该球的编号为n 则n ＜m+1的概率是（ ） A ．18B ．38C ．58D ．786．已知函数f （x ）=sinx+acosx （a∈R ）图象的一条对称轴是x= π4 则函数g （x ）=sinx+f （x ）的最大值为（ ） A ．5B ．3C ．√5D ．√37．若f （x ）是定义R 上的奇函数 且当x ＞0时f （x ）=lg （x+1） 则x ＜0时 f （x ）=（ ）A ．lg （1﹣x ）B ．﹣lg （x+1）C ．﹣lg （1﹣x ）D ．以上都不对8．已知不等式 xlnx +x(k −ln4)+k <0 的解集中仅有2个整数 则实数 k 的取值范围是（ ） A ．(0,23ln2)B ．(34ln 43,23ln2)C ．[34ln 43,+∞)D ．[34ln 43,23ln2)二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．若随机变量X 服从两点分布 P(X =1)=12 则D(X)=12B ．若随机变量ξ服从二项分布B(4，12) 则D(ξ)=1C ．若随机变量ξ服从二项分布B(4，12) 则P(ξ=3)=14D ．若随机变量Y 的方差D(Y)=2 则D(3Y +2)=810．双曲线 C ：x 2a 2−y 2b2=1 (a ，b >0) 的虚轴长为2 F 1，F 2 为其左右焦点 P ，Q ，R 是双曲线上的三点 过P 作 C 的切线交其渐近线于 A ，B 两点.已知 △PF 1F 2 的内心 I 到 y 轴的距离为1.下列说法正确的是（ ）A ．△ABF 2 外心 M 的轨迹是一条直线B ．当 a 变化时 △AOB 外心的轨迹方程为 x 2+a 2y 2=(a 2+1)24C ．当 P 变化时 存在 Q ，R 使得 △PQR 的垂心在 C 的渐近线上D ．若 X ，Y ，Z 分别是 PQ ，QR ，PR 中点 则 △XYZ 的外接圆过定点11．已知 a >0 b >0 且 e a +lnb >a +b 则下列结论一定正确的是（ ）A ．a >bB ．e a >bC ．e a +b >2D ．a +lnb >012．已知正n 边形的边长为a 内切圆的半径为r 外接圆的半径为R 则（ ）A ．当n =4时 R =√2aB ．当n =6时 r =√32aC ．R =a2sin π2nD ．R +r =a2tan π2n三、填空题13．某中学为了掌握学校员工身体状况 偶尔会采用抽检的方式来收集各部门员工的健康情况．为了让样本更具有代表性 学校对各部门采用分层抽样的方法进行抽检．已知该校部门A 、部门B 、部门C 分别有40、60、80人 各部门员工不存在交叉任职情况 若共抽检了90人 则部门A 抽检人数为 ．14．若 ∫e12xdx=a则（x+ a x ）6展开式中的常数项为 ．15．定义在R 上的函数 f(x) 满足 f(−x)=f(x) 且对任意的不相等的实数 x 1 x 2∈[0,+∞) 有 f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0 成立 若关于x 的不等式 f(2mx −lnx −3)≥2 f(3)− f(−2mx +lnx +3) 在 x ∈[1,3] 上恒成立 则实数m 的取值范围 .16．已知函数f(x)=x +m x (m >0) x ∈[12，1] 在函数f(x)的值域上任取三个数 都存在以这三个数为边长的三角形 求实数m 的取值范围为 .四、解答题17．已知数列{a n }的前n 项和为S n 且2S n =3a n −1.（1）求数列{a n }的通项公式（2）若数列{b n −a n }是等差数列 且b 1=2 b 3=14 求数列{b n }的前n 项和T n .18．已知数列{a n }满足a 1=1 a n =3a n−1+2(n ≥2，n ∈N ∗)．（1）求证：数列{a n +1}是等比数列；（2）若b n =(2n +1)(a n+1−a n ) S n 为数列{b n }的前n 项和 求S n ．19．在△ABC 中 角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 已知c −b =2b ⋅cosA .（1）若a =2√6 b =3 求c ；（2）若角C =π2 求角B .20．从去年开始 全国各地积极开展“一盔一带”安全守护行动 倡导群众佩戴安全头盔､使用安全带.为了解相关的情况 某学习小组统计了国内20个城市的电动自行车头盔佩戴率 x(%) 和电动自行车驾乘人员交通事故死亡率 y(%) 并整理得到下面的散点图.参考数据：∑x i20i=1=1000 ∑y i 20i=1=1080 ∑(x i −x̅)220i=1=6800 ∑(y i −y̅)220i=1=1700 .参考公式：相关系数r =∑(x i −x ̅)ni=1(y −y ̅)√∑(x i −x ̅)2ni=1∑(y i −y̅)2n i=1回归方程 y ̂=a ̂+b̂x 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b ̂=∑(x i −x ̅)ni=1(y i−y ̅)∑(x i −x ̅)2n i=1a ̂=y ̅−b ̂x ̅ . （1）求这20个城市的电动自行车头盔佩戴率大于50%的概率；（2）通过散点图分析 y 与 x 的相关关系 说明佩戴安全头盔的必要性；（3）有四名同学通过计算得到 y 与 x 的相关系数分别为0.97 0.62 −0.45 −0.98 请你从中选出最有可能正确的结果 并以此求出 y 关于 x 的线性回归方程.21．已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) 的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形 且该三角形的面积为 √3 ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设 F 1 F 2 是椭圆C 的左右焦点 若椭圆C 的一个内接平行四边形的一组对边过点 F 1 和 F 2 求这个平行四边形的面积最大值．22．已知函数 f(x)=ax −(a +2)lnx −2x+2 其中 a ∈R . （1）当 a =4 时 求函数 f(x) 的极值；（2）若 0<a <2 试讨论函数 f(x) 在 (1,e) 上的零点个数.答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】A4．【答案】A5．【答案】C6．【答案】C7．【答案】C8．【答案】D9．【答案】B,C10．【答案】A,D11．【答案】B,C12．【答案】B,D13．【答案】2014．【答案】16015．【答案】12e≤m≤6+ln3 616．【答案】(0，+∞)17．【答案】（1）解：当n=1时2S1=2a1=3a1−1所以a1=1当n≥2时因为2S n=3a n−1所以2S n−1=3a n−1−1两式作差得a n=3a n−1即a na n−1=3因为a1=1所以数列{a n}是首项为1 公比为3的等比数列故a n=3n−1（2）解：令c n=b n−a n则c1=b1−a1=1c3=b3−a3=14−9=5所以数列{c n}的公差d=c3−c12=5−12=2故c n=2n−1所以b n=c n+a n=2n−1+3n−1所以T n=n(1+2n−1)2+1−3n1−3=n2+3n−1218．【答案】（1）证明：因为a n=3a n−1+2(n≥2，n∈N∗)所以a n+1=3(a n−1+1)又a 1+1=2所以{a n +1}是以2为首项 以3为公比的等比数列； （2）解：由（1）知a n +1=2⋅3n−1 故a n =2⋅3n−1−1 所以b n =(2n +1)(2⋅3n −1−2⋅3n−1+1)=43(2n +1)⋅3n故S n =43[3×3+5×32+7×33+⋯+(2n +1)⋅3n ]则3S n =43[3×32+5×33+⋯+(2n −1)⋅3n +(2n +1)⋅3n+1]两式相减得−2S n =43[3×3+2×32+2×33+⋯+2⋅3n −(2n +1)⋅3n+1]=43[3+6(1−3n)1−3−(2n +1)3n+1] =−8n ⋅3n所以S n =4n ⋅3n .19．【答案】（1）解：由余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc∴c −b =2b ⋅b 2+c 2−a 22bc =b 2+c 2−a 2c即a 2=b 2+bc代入数值得(2√6)2=32+3c 解得c =5；（2）解：∵c −b =2b ⋅cosA ∴由正弦定理得sinC −sinB =2sinB ⋅cosA由C =π2可得A +B =π2 sinC =1 ∴1−sinB =2sin 2B即(2sinB −1)⋅(sinB +1)=0解得sinB =12或sinB =−1(舍去) 又∵0<B <π2 ∴B =π6.20．【答案】（1）解：电动自行车头盔佩戴率大于50%的城市有10个 故所求的概率为 12（2）解：由散点图可知 y 与 x 有较强的负相关关系 提高电动自行车头盔佩戴率能有效降低驾乘人员交通事故死亡率 所以佩戴安全头盔十分有必要 （3）解：最有可能正确的结果为 −0.98 .根据参考数据得 x ̅=120∑x i 20i=1=50y ̅=120∑y i 20i=1=54所以 b̂=∑(x i−x̅)20i=1(y i−y̅)∑(x i −x̅)220i=1=r ×√∑(y i −y̅)220√∑(x i −x̅)2i=1=−0.98×√17006800=−0.49â=y ̅−b ̂x ̅=54+0.49×50=78.5所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y ̂=−0.49x +78.5 21．【答案】（1）解：依题意 {a 2=b 2+c 2,bc =1,b =c, 解得 {a =√2,b =1,即椭圆 C 的方程为 x 22+y 2=1 ．（2）解：设过椭圆右焦点 F 2 的直线 l ： x =ty +1 与椭圆交于 A B 两点 则 {x =ty +1,x 2+2y 2=2,整理得 (t 2+2)y 2+2ty −1=0 ∴y 1+y 2=−2t t 2+2 y 1y 2=−1t 2+2∴|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√8t 2+8t 2+2 =2√2√t 2+1t 2+2S ΔOAB =S ΔOF 2A +S ΔOF 2B=12|OF|⋅|y 1−y 2|=√2⋅√t 2+1t 2+2椭圆 C 的内接平行四边形面积为 S =4SΔOAB=4√2⋅√t 2+1t 2+2令 m =√1+t 2≥1 则 S =f(m)=4√2m m 2+1=4√2m+1m 注意到 S =f(m) 在 [1,+∞) 上单调递减 所以 S max =f(1)=4√2 当且仅当 m =1 即 t =0 时等号成立故这个平行四边形的面积最大值为 4√2 ．22．【答案】（1）解：当 a =4 时 f(x)=4x −6lnx −2x +2 f ′(x)=4−6x +2x2=2(2x−1)(x−1)x 2x >0令 f ′(x)>0 得 (0,12) 或 (1,+∞) f ′(x)<0 得 (12,1)所以函数 f(x) 在 (12,1) 上单调递减 在 (0,12) (1,+∞) 上单调递增所以当 x =12 时 函数取得极大值 f(12)=6ln2当 x =1 时 函数取得极小值 f(1)=4（2）解： f ′(x)=a −a+2x +2x 2=(ax−2)(x−1)x 2令 f ′(x)=0 得 x 1=2a 或 x 2=1因为 0<a <2 所以 2a>1所以当 2a ≥e 即 0<a ≤2e时 f(x) 在 (1,e) 上单调递减若函数 f(x) 有零点 则 {f(1)=a >0f(e)=ae −a −2e <0解得： 0<a <2e(e−1) 若函数 f(x) 无零点 则 f(e)=ae −a −2e≥0 即 2e ≥a ≥2e(e−1)当 1<2a <e 时 即 2e <a <2 时 f(x) 在 (1,2a ) 上单调递减 在 (2a,e) 上单调递增 由于 f(1)=a >0 f(e)=a(e −1)−2e >2e (e −1)−2e =2−4e>0 令 g(a)=f(2a )=2−(a +2)ln 2a −a +2=(a +2)lna −(1+ln2)a +4−2ln2令 ℎ(a)=g ′(a)=lna +2a −ln2 则 ℎ′(a)=a−2a2<0所以 ℎ(a) 在 (2e ,2) 上递减 ℎ(a)>ℎ(2)=1>0 即 g′(a)>0所以 g(a) 在 (2e ,2) 上递增 g(a)>g(2e )=2−4e >0 即 f(2a)>0所以 f(x) 在 (1,e) 上没有零点综上 当 0<a <2e(e−1) 时 f(x) 在 (1,e) 上有唯一零点 当 2>a ≥2e(e−1) 时 f(x) 在 (1,e) 上没有零点．。

绝密★启用前2020届上海市高考模拟（一）数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．“sin 0α=”是“cos 1α=”的（ ）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B判断两个命题：sin 0α=⇒cos 1α=和cos 1α=⇒sin 0α=的真假即可得． 解：由于22sin cos 1αα+=，且sin 0α=，得到cos 1α=±，故充分性不成立；当cos 1α=时，sin 0α=，故必要性成立.故选：B.点评： 本题考查充分必要条件的判断，解题方法是根据充分必要条件的定义．即判断两个命题p q ⇒和q p ⇒的真假．2．下列命题正确的是（ ）A ．若直线1l ∥平面α，直线2l ∥平面α，则12l l PB ．若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l αPC ．直线l 与平面α所成角θ的取值范围是090θ︒︒<<D ．若直线1l ⊥平面α，直线2l ⊥平面α，则12l l P答案：D根据线面平行垂直的性质与判定判断即可.解：对A, 若直线1l ∥平面α,直线2l ∥平面α,不一定有12l l P ,故A 错误.对B,当l ⊥平面α时也满足直线l 上有两个点到平面α的距离相等.故B 错误. 对C, 直线l 与平面α所成角θ的取值范围是090θ︒︒≤≤,故C 错误.对D, 若直线1l ⊥平面α,直线2l ⊥平面α,则12l l P 成立.故D 正确.故选：D点评：本题主要考查了线面平行垂直关系的判定,属于基础题型.3．已知a v ，b v 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c v 满足()()0c a c b --=v v v v ，则c v的最大值是（ ）. A ．1B ．2 CD．2答案：C利用数量积计算出||a b +=r r ()()c a c b --r r r r ，设c r 与a b +r r 的夹角为α，可得||c α=r ，从而可得结论．解：由于a b ⊥r r 且||||1a b ==r r，那么||a b +=r r c r 与a b +r r的夹角为α，所以 22()()()||||||cos 0c a c b c a b c a b c c a b a b α--=-+⋅+⋅=-++⋅=r r r r r r r r r r r r r r r r ，即||c α=r ，由于1cos 1α-≤≤，所以c r.故选：C.点评：本题考查向量的数量积，考查向量的模与数量积的关系，掌握数量积的定义是解题关键． 4．已知函数()3log ,03sin ,3156x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x 满足()()()()1234f x f x f x f x ===，其中1234x x x x <<<，则1234x x x x 取值范围是（ ）A ．()60,96B ．()45,72C ．()30,48D ．()15,24答案：B先画出函数()f x 的图象，再根据条件利用对数函数的运算性质以及三角函数的对称性，利用数形结合，即可求出其范围．解：函数()f x 的图象如下图所示：若满足()()()()1234f x f x f x f x ===，其中1234x x x x <<<，则101x <<，213x <<，则3132log log x x =-，即3132312log log log 0x x x x +==，则121=x x ，同时()33,6x ∈，()412,15x ∈，∵3x ，4x 关于9x =对称，∴3492x x +=， 则3418x x +=，则4318x x =-， 则()1234343318x x x x x x x x ==-()2233318981x x x =-+=--+， ∵()33,6x ∈，∴()3445,72x x ∈，即()123445,72x x x x ∈，故选：B ．点评：本题主要考查分段函数的应用，灵活掌握数形结合的方法，以及转化与化归的思想即可，属于常考题型．二、填空题5．已知i 为虚数单位，复数z 满足11z i z-=+，则z ________. 答案：1利用复数的四则运算求出z ，再求其模．解： 因为11z i z-=+，所以21(1)1(1)1(1)(1)i i z z i z i i i i ---=+⇒===-++-，则22||0(1)1z =+-=.故答案为：1.本题考查复数的四则运算，考查复数模的运算，属于基础题．6．设0a >且1a ≠，若函数()12x f x a-=+的反函数的图象经过定点P ，则点P 的坐标是__．答案：()3,1由于函数()12x f x a-=+经过定点()1,3，再利用反函数的性质即可得出． 解：∵函数()12x f x a -=+经过定点()1,3，∴函数()f x 的反函数的图象经过定点()3,1P ，故答案为：()3,1．点评：本题主要考查函数恒过定点的问题，以及反函数的问题，熟记指数函数的性质，以及反函数的概念即可，属于基础题型．7．在平面直角坐标系内，直线l ：220x y +-=，将l 与两坐标轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周，所得几何体的体积为__． 答案：23π 由题意可得绕y 轴旋转，形成的是以1为半径，2为高的圆锥，根据圆锥的体积公式，即可求得所得几何体的体积．解：由题意可知绕y 轴旋转，形成的是以1为半径，2为高的圆锥，则2121233V ππ=⋅⨯⨯=， 故答案为:23π．本题主要考查求旋转体的体积，熟记圆锥的体积公式即可，属于常考题型．8．已知sin 2sin 0θθ+=，,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则tan 2θ=______..由已知等式化简可得sin (2cos 1)0θθ+=，结合范围,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得1cos 2θ=-，利用同角三角函数基本关系式可求tan θ，利用二倍角的正切函数公式可求tan 2θ的值.解：sin 2sin 0θθ+=Q ，2sin cos sin 0θθθ⇒+=，sin (2cos 1)0θθ⇒+=,,sin 02πθπθ⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭Q ， 2cos 10θ∴+=，解得1cos 2θ=-，tan θ∴==22tan tan 21tan θθθ∴==-点评：本题主要考查的是三角恒等变换、二倍角的正弦、正切公式，同角三角函数关系的应用，考查学生的计算能力.9．设定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x >时，()24x f x =-，则不等式()0f x ≤的解集是______.答案：(,2][0,2]-∞-U先由解析式求出()f x 在0x >时的解集，再由奇函数的定义得(0)0f =，以及0x <时的不等式的解集．综合后可得所求解集．解：。

上海市（新版）2024高考数学统编版模拟(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，则（）A．－3B．C．3D．第(2)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(3)题已知正四棱锥的所有棱长均为为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．第(4)题已知抛物线的焦点为，直线与该抛物线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线，垂足为，若，则的值为( ) .A．B．C．D．第(5)题已知，，，则（）A．B．C．D．第(6)题在半径为R的球内作内接于球的圆柱，则圆柱体积取得最大值时，圆柱的高为（）A．R B．C．D．第(7)题（）A．B．C．1D．第(8)题已知集合，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题某学校为了调查学生某次研学活动中的消费支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在50元到60元之间的学生有60人，则（）A．样本中消费支出在50元到60元之间的频率为0.3B．样本中消费支出不少于40元的人数为132C．n的值为200D．若该校有2000名学生参加研学，则约有20人消费支出在20元到30元之间第(2)题已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），过线段的中点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线的准线于点，为坐标原点，则下列说法正确的是（）A．当时，直线的斜率为B．C．的面积不小于的面积D．第(3)题已知，，，则下列结论正确的是（）A．B．C．ab的最大值为D．的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若将函数的图像向左平移个单位后所得图像关于轴对称，则的最小值为___________.第(2)题已知双曲线，则点到的渐近线的距离为_______.第(3)题三棱锥中，是边长为的等边三角形，，平面平面，则该三棱锥的外接球的体积为______四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题抛物线：在第一象限上一点，过作抛物线的切线交轴于点，过作的垂线交抛物线于，（在第四象限）两点，交于点．（1）求证：过定点；（2）若，求的最小值．第(2)题如图，椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上.过点的直线交椭圆于，，过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点，直线与轴交于点.（1）求椭圆的方程；（2）求点的横坐标的取值范围.第(3)题已知椭圆C：的右焦点为F，过F作不平行于坐标轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点，AM垂直x轴于点M，BN垂直x轴于点N，直线AN与BM相交于点P.(1)当直线l的斜率为1时，求；(2)求证：动点P的横坐标为定值.第(4)题已知数列满足，．(1)已知，①若，求；②若关于m的不等式的解集为M，集合M中的最小元素为8，求的取值范围；(2)若，是否存在正整数，使得，若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理由．第(5)题在直角坐标平面内，将函数及在第一象限内的图象分别记作，，点在上.过作平行于轴的直线，与交于点，再过点作平行于轴的直线，与交于点.(1)若，请直接写出的值；(2)若，求证：是等比数列；(3)若，求证：.。

2020届上海市高考模拟（一）数学试题一、单选题 1．“sin 0α=”是“cos 1α=”的（ ）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】判断两个命题：sin 0α=⇒cos 1α=和cos 1α=⇒sin 0α=的真假即可得． 【详解】由于22sin cos 1αα+=，且sin 0α=，得到cos 1α=±，故充分性不成立；当cos 1α=时，sin 0α=，故必要性成立.故选：B. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，解题方法是根据充分必要条件的定义．即判断两个命题p q ⇒和q p ⇒的真假．2．下列命题正确的是（ ）A ．若直线1l ∥平面α，直线2l ∥平面α，则12l l PB ．若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l αPC ．直线l 与平面α所成角θ的取值范围是090θ︒︒<<D ．若直线1l ⊥平面α，直线2l ⊥平面α，则12l l P 【答案】D【解析】根据线面平行垂直的性质与判定判断即可. 【详解】对A, 若直线1l ∥平面α,直线2l ∥平面α,不一定有12l l P ,故A 错误.对B,当l ⊥平面α时也满足直线l 上有两个点到平面α的距离相等.故B 错误. 对C, 直线l 与平面α所成角θ的取值范围是090θ︒︒≤≤,故C 错误. 对D, 若直线1l ⊥平面α,直线2l ⊥平面α,则12l l P 成立.故D 正确. 故选：D【点睛】本题主要考查了线面平行垂直关系的判定,属于基础题型.3．已知a v ，b v 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c v 满足()()0c a c b --=vv v v ，则c v的最大值是（ ）.A ．1B ．2 CD．2【答案】C【解析】利用数量积计算出||a b +=r r ()()c a c b --r r r r ，设c r 与a b +r r的夹角为α，可得||c α=r，从而可得结论．【详解】由于a b ⊥r r且||||1a b ==r r，那么||a b +=r r c r 与a b +r r的夹角为α，所以22()()()||||||cos 0c a c b c a b c a b c c a b a b α--=-+⋅+⋅=-++⋅=r r r r r r r r r r r r r r r r，即||c α=r，由于1cos 1α-≤≤，所以c r.故选：C. 【点睛】本题考查向量的数量积，考查向量的模与数量积的关系，掌握数量积的定义是解题关键．4．已知函数()3log ,03sin ,3156x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x 满足()()()()1234f x f x f x f x ===，其中1234x x x x <<<，则1234x x x x 取值范围是（ ）A ．()60,96B ．()45,72C ．()30,48D ．()15,24【答案】B【解析】先画出函数()f x 的图象，再根据条件利用对数函数的运算性质以及三角函数的对称性，利用数形结合，即可求出其范围． 【详解】函数()f x 的图象如下图所示：若满足()()()()1234f x f x f x f x ===，其中1234x x x x <<<，则101x <<，213x <<，则3132log log x x =-，即3132312log log log 0x x x x +==， 则121=x x ，同时()33,6x ∈，()412,15x ∈， ∵3x ，4x 关于9x =对称，∴3492x x +=， 则3418x x +=，则4318x x =-，则()1234343318x x x x x x x x ==-()2233318981x x x =-+=--+，∵()33,6x ∈， ∴()3445,72x x ∈， 即()123445,72x x x x ∈， 故选：B ．【点睛】本题主要考查分段函数的应用，灵活掌握数形结合的方法，以及转化与化归的思想即可，属于常考题型．二、填空题5．已知i 为虚数单位，复数z 满足11zi z-=+，则z ________. 【答案】1【解析】利用复数的四则运算求出z ，再求其模． 【详解】因为11zi z -=+，所以21(1)1(1)1(1)(1)i i z z i z i i i i ---=+⇒===-++-，则22||0(1)1z =+-=.故答案为：1.本题考查复数的四则运算，考查复数模的运算，属于基础题． 6．设0a >且1a ≠，若函数()12x f x a -=+的反函数的图象经过定点P ，则点P 的坐标是__． 【答案】()3,1【解析】由于函数()12x f x a -=+经过定点()1,3，再利用反函数的性质即可得出．【详解】 ∵函数()12x f x a-=+经过定点()1,3，∴函数()f x 的反函数的图象经过定点()3,1P ， 故答案为：()3,1． 【点睛】本题主要考查函数恒过定点的问题，以及反函数的问题，熟记指数函数的性质，以及反函数的概念即可，属于基础题型．7．在平面直角坐标系内，直线l ：220x y +-=，将l 与两坐标轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周，所得几何体的体积为__． 【答案】23π 【解析】由题意可得绕y 轴旋转，形成的是以1为半径，2为高的圆锥，根据圆锥的体积公式，即可求得所得几何体的体积． 【详解】由题意可知绕y 轴旋转，形成的是以1为半径，2为高的圆锥， 则2121233V ππ=⋅⨯⨯=， 故答案为:23π．本题主要考查求旋转体的体积，熟记圆锥的体积公式即可，属于常考题型． 8．已知sin 2sin 0θθ+=，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 2θ=______.【解析】由已知等式化简可得sin (2cos 1)0θθ+=，结合范围,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，解得1cos 2θ=-，利用同角三角函数基本关系式可求tan θ，利用二倍角的正切函数公式可求tan 2θ的值. 【详解】sin 2sin 0θθ+=Q ， 2sin cos sin 0θθθ⇒+=，sin (2cos 1)0θθ⇒+=,,sin 02πθπθ⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭Q ，2cos 10θ∴+=，解得1cos 2θ=-，tan θ∴==22tan tan 21tan θθθ∴==-【点睛】本题主要考查的是三角恒等变换、二倍角的正弦、正切公式，同角三角函数关系的应用，考查学生的计算能力.9．设定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x >时，()24x f x =-，则不等式()0f x ≤的解集是______.【答案】(,2][0,2]-∞-U【解析】先由解析式求出()f x 在0x >时的解集，再由奇函数的定义得(0)0f =，以及0x <时的不等式的解集．综合后可得所求解集． 【详解】当0x >时，因为()240x f x =-≤，所以02x <≤，又因为()y f x =是定义 在R 上的奇函数，所以()00f =，()y f x =在(,0)-∞上单调递增，并且(2)(2)0f f -=-=，所以()02f x x ≤⇒≤-，综上，不等式()0f x ≤的解集为(,2][0,2]-∞-U ， 故答案为：(,2][0,2]-∞-U . 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式．属于中档题．10．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点()1,1A ，若OA 的垂直平分线过抛物线C ：()220y px p =>的焦点，则抛物线C 的方程为__．【答案】24y x =【解析】先求出线段OA 的垂直平分线方程，然后表示出抛物线的焦点坐标并代入到所求方程中，进而可求得p 的值，即可得到抛物线方程． 【详解】 ∵点()1,1A ，依题意我们容易求得直线的方程为10x y +-=，把焦点坐标,02p ⎛⎫⎪⎝⎭代入可求得焦参数2p =， 从而得到抛物线C 的方程为：24y x =． 故答案为：24y x =． 【点睛】本题主要考查求抛物线的方程，只需由题意求出焦点坐标，根据抛物线的焦点坐标即可得出抛物线方程，熟记抛物线标准方程即可，属于常考题型．11．记12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第m 项的系数为m b ，若342b b = ，则n =_______. 【答案】5【解析】根据题意，结合二项式定理可得，2233222n n n n C --=⨯gg C ，解可得答案． 【详解】解：根据二项式定理，可得211(2)()2r n rr n r rn r r n n T C x C x x---+==g g g ， 根据题意，可得2233222n n n n C --=⨯gg C ， 解得5n =， 故答案为5． 【点睛】本题考查二项式定理，要区分二项式系数与系数两个不同的概念．12．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于12的概率是______________． 【答案】37【解析】先求得“从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点”基本事件的总数，然后求得“以这三点为顶点的三角形的面积等于12”的事件所包含的基本事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】“从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点”基本事件的总数有3856C =种. 由于从正方体每个面上的四个点选出三个点，围成的三角形的面积为12，其它情况都超过12.所以“以这三点为顶点的三角形的面积等于12”的事件所包含的基本事件数为34624C ⨯=种.由古典概型概率计算公式可知，所求概率为243567=故答案为：37【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，属于基础题. 13．若无穷数列{}n a 的所有项都是正数，且满足()23n n n *+∈=N ，则1221lim231n n a a a n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪+⎝⎭______． 【答案】2【解析】先由作差法求出数列{}n a 的通项公式为()241n a n =+，即可计算出12231n a a a n ++++L ，然后利用常用数列的极限即可计算出1221lim231n n a a a n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪+⎝⎭的值.【详解】当1n =4=，可得116a =；当2n ≥23n n =+，()()221312n n n n =-+-=+-， 上式-()21n =+，得()241n a n =+，116a =也适合()241n a n =+，则()()241n a N n n *=+∈，()411na n n ∴=++. 所以，()()()1284481241232312n n n a a a n n n n +++++=++++==++L L . 因此，()12222313limlim lim 212231n n n n n n a a a n n n n →∞→∞→∞+⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+==+= ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故答案为：2. 【点睛】本题考查利用作差法求数列通项，同时也考查了数列极限的计算，考查计算能力，属于中等题.14．甲､乙两人同时参加一次数学测试,共有20道选择题,每题均有4个选项,答对得3分,答错或不答得0分,甲和乙都解答了所有的试题,经比较,他们只有2道题的选项不同,如果甲最终的得分为54分,那么乙的所有可能的得分值组成的集合为________. 【答案】{48,51,54,57,60}【解析】甲最终的得分为54分，可得：甲答对了20道题目中的18道，由于甲和乙都解答了所有的试题，甲必然有2道题目答错了，又甲和乙有2道题的选项不同，则乙可能这两道题答对，答错，乙也可能这2道题与甲一样，在甲正确的题目中乙可能有两道答错了，即可得到结论. 【详解】因为20道选择题每题3分,甲最终的得分为54分,所以甲答错了2道题,又因为甲和乙有两道题的选项不同,则他们最少有16道题的答案相同,设剩下的4道题正确答案为AAAA ,甲的答案为BBAA ,因为甲和乙有两道题的选项不同,所以乙可能的答案为BBCC ,BCBA ,CCAA ,CAAA ,AAAA 等,所以乙的所有可能的得分值组成的集合为{48,51,54,57,60},故答案为{48,51,54,57,60}.【点睛】本题考查了集合的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.15．对于函数()f x =,其中0b >,若()f x 的定义域与值域相同,则非零实数a 的值为______________. 【答案】-4【解析】根据函数的定义域与值域相同，可以求出参数表示的函数的定义域与值域，由两者相同，比较二区间的端点得出参数满足的方程，解方程求参数即可. 【详解】函数()f x =，其中0b >若0a >，由于20ax bx +≥，即()0x ax b +≥，∴对于正数b ，()f x 的定义域为:,[0,)b D a⎛⎤=-∞-+∞ ⎥⎝⎦U ，但()f x 的值域[)0,A ⊆+∞，故D A ≠，不合要求. 若0a <，对于正数b ，()f x 的定义域为D 0,ab ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.由于此时max [()]2b f x f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故函数的值域A ⎡=⎢⎣. 由题意，有b a -=，由于0b >，所以4a =﹣. 故答案为：﹣4 【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力.16．已知0a >，函数()([1,2])af x x x x=-∈的图像的两个端点分别为A 、B ，设M 是函数()f x 图像上任意一点，过M 作垂直于x 轴的直线l ，且l 与线段AB 交于点N ，若1MN ≤恒成立，则a 的最大值是______.【答案】6+.【解析】由,A B 的坐标可以将直线l 的方程找到，通过M 点的坐标可以得到N 的坐标，将其纵坐标作差可以得到关于a 的不等式，通过求范围可以将绝对值去掉，由基本不等式可以得到a 的最大值. 【详解】 因为()([1,2])af x x x x=-∈，0a >，所以(1,1),(2,2)2a A a B --，所以直线l 的方程为(1)(1)12a y x a =+-+-， 设(,)a M t t t -，所以(,(1)(1)1)2a N t t a +-+-， 因为1MN ≤恒成立，所以(1)(1)1()12a a t a t t+-+---≤恒成立，所以23212t t at-+≤， 因为2()32g t t t =-+在[1,2]t ∈时小于等于0恒成立，所以23212t t a t-+-≤，①当1t =或2t =时，01≤显然成立； ②当(1,2)t ∈时，2222323t a t t t t --≤=-++-，所以由基本不等式得6a ≤=，此时t =，所以a的最大值为6+，故答案是：6+. 【点睛】该题考查的是有关根据恒成立求对应参数的取值范围的问题，在解题的过程中，主意对题中条件的转化，应用基本不等式求最值，属于较难题目.三、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 是等腰直角三角形，12AC BC AA ===，D 为侧棱1AA 的中点.（1）求证：BC ⊥平面11ACC A ；（2）求二面角11B CD C --的大小（结果用反三角函数值表示） 【答案】（1）证明见解析 （2）2arccos3【解析】（1）推导出AC BC ⊥，1CC BC ⊥，由此能证明BC ⊥平面11ACC A ． （2）以C 为原点，直线CA ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角11B CD C --的大小． 【详解】（1）∵底面ABC V 是等腰直角三角形，且AC BC =， ∴AC BC ⊥，∵1CC ⊥平面111A B C ， ∴1CC BC ⊥， ∵1AC CC C =I ， ∴BC ⊥平面11ACC A ．（2）以C 为原点，直线CA ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，()10,0,2C ，()10,2,2B ，()2,0,1D ，由（1）得()0,2,0CB =uu r是平面11ACC A 的一个法向量，()10,2,2CB =u u u r ，()2,0,1CD =u u u r， 设平面1B CD 的一个法向量(),,n x y z =r， 则122020n CB y z n CD x z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩u u u v v u u u v v ， 取1x =，得()1,2,2n =-r，设二面角11B CD C --的平面角为θ，则42cos 233CB n CB n θ⋅===⨯⋅u u u r r u u u r r ，由图形知二面角11B CD C --的大小是锐角， ∴二面角11B CD C --的大小为2arccos3．【点睛】本题主要考查线面垂直的证明，以及求二面角的平面角，熟记线面垂直的判定定理，以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型． 18．已知函数()()3cos cos 1033x x f x x ππωωωω⎛⎫⎛⎫=+++--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R ，且函数的最小正周期为π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若()0f B =，32BA BC ⋅=u u u v u u u v，且4a c +=，试求b 的值． 【答案】（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（2）7b = 【解析】（1）利用两角和与差的余弦公式展开，再由辅助角公式化简，由周期公式求得ω，则()f x 的解析式可求；（2）把()0f B =代入函数解析式，求得B ，展开数量积32BA BC ⋅=uu r uu u r ，求得ac 的值，结合4a c +=，利用余弦定理求得b 的值． 【详解】（1）()3cos cos 133x x x f x ππωωω⎛⎫⎛⎫=+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3cos cossin sincos cossin sin13333x x x x x ππππωωωωω=+-++-cos 12sin 16x x x πωωω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭．∵2T ππω==，∴2ω=．则()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭； （2）由()2sin 2106B f B π⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，得1sin 262B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭． ∴2266B k πππ+=+或52266B k πππ+=+，k Z ∈． ∵B 是三角形内角，∴3B π=．而3cos 2BA BC ac B ⋅=⋅=u u u r u u u r ，∴3ac =．又4a c +=，∴()2222162310a c a c ac +=+-=-⨯=． ∴2222cos 7b a c ac B =+-⋅=．则b =【点睛】本题主要考查由三角函数的周期求参数，以及余弦定理解三角形，熟记三角函数的性质，以及余弦定理即可，属于常考题型．19．定义在D 上的函数()f x ，若满足:对任意x D ∈，存在常数0M >，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界（1）设()1=+x f x x ，判断()f x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是否是有界函数，若是，说明理由，并写出()f x 所有上界的值的集合；若不是，也请说明理由.（2）若函数()124x xg x a =++⋅在[]0,2x ∈上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）是有界函数;[)1,+∞（2）11,28⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】（1）分离常数后,可得函数()f x 的单调性,在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内求得最大值与最小值,即可根据有界函数的定义求得M 的取值范围.（2）根据有界函数定义,可得()g x 的值域.代入解析式可分离得a 的不等式组.利用换元法转化为二次不等式形式,结合恒成立条件,即可求得a 的取值范围. 【详解】 （1）()1111x f x x x ==-++ 则()f x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 所以()f x 对任意11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦满足()1122f f x f ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而11,21123f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 所以()113f x -≤≤若()f x M ≤恒成立,则1M ≥ 即()f x 所有上界的值的集合为[)1,+∞（2）函数()124x xg x a =++⋅在[]0,2x ∈上是以3为上界的有界函数根据有界函数定义,可知()3≤g x 在[]0,2x ∈上恒成立 所以()33g x -≤≤ 即31243x x a -≤++⋅≤ 化简变形可得41214242x x x xa --≤≤- 令11,,142x t t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦则2242t t a t t --≤≤-在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立即满足()()22max min 42t t a t t --≤≤-由二次函数性质可知,2211144816y t t t ⎛⎫=--=-++⎪⎝⎭,当14t =时,()21max 1114442y ⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭ 222112248y t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭,所以当14t =时, ()22min 111124488y ⎛⎫=⨯--=- ⎪⎝⎭即11 28a-≤≤-,故a的取值范围为11,28⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了函数新定义的内容,对函数单调性与值域的综合应用,换元法的应用,恒成立问题的解法,属于中档题.20．如图，设F是椭圆22134x y+=的下焦点，直线()40y kx k=->与椭圆相交于A、B两点，与y轴交于点P.（1）若PA AB=u u u v u u u v，求k的值；（2）求证：AFP BFO∠=∠；（3）求面积ABFV的最大值．【答案】（1）55k=（2）证明见解析（3）334【解析】（1）联立221344x yy kx⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()223424360k x kx+-+=，由此利用韦达定理、根的判别式、向量相等，结合已知条件能求出k．（2）证明AFP BFO∠=∠，等价于证明等价于0AF BFk k+=，由此能证明AFP BFO∠=∠．（3）1212ABF PBF PAFS S S PF x x=-=⋅-V V V2184k-=．令24t k=-，利用基本不等式性质能求出ABFV面积的最大值．（1）联立221344x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()223424360k x kx +-+=， ∵直线()40y kx k =->与椭圆相交于A 、B 两点，∴()214440k ∆=->，即2k >或2k <-，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1222434k x x k +=+，1223634x x k =+， ∵PA AB =u u u r u u u r，∴212x x =，代入上式，解得k =（2）由图形得要证明AFP BFO ∠=∠，等价于证明直线AF 与直线BF 的倾斜角互补， 即等价于0AF BF k k +=，121211AF BF y k x x k y ++++=121233kx kx x x --=+121223x x x x k ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭222433423634k k k k ⋅+=-+220k k =-=， ∴AFP BFO ∠=∠． （3）∵2k >或2k <-， ∴1212ABF PBF PAF S S S PF x x =-=⋅-V V V132=⨯234k =+．令t =，则0t >，2234316k t +=+，∴22181816343163ABFt k t S t t===≤+++V =， 当且仅当163t t =，即2163t=，k =∴ABFV 面积的最大值为4．本题主要考查椭圆的简单性质的应用，通常需要联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，弦长公式等求解，属于常考题型．21．已知正项数列{}n a ，{}n b 满足：对任意正整数n ，都有n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列，且110a =，215a =．（Ⅰ）求证：数列{}nb 是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅲ）设n S =++…+，如果对任意的正整数n ，不等式22nn nb aS a <-恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）()242nn b +=，；（Ⅲ）a≤1【解析】【详解】 （Ⅰ）由已知得，即， 由2b 1=a 1+a 2=25，得b 1=252， 由a 22=b 1b 2，得b 2=18， ∴{}是以为首项，为公差的等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴()242nn b+=，因为n b ，1n a +，1n b +成等比数列 所以.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，原式化为，即f （n ）=恒成立，当a–1＞0即a＞1时，不合题意；当a–1=0即a=1时，满足题意；当a–1＜0即a＜1时，f（n）的对称轴为，f（n）单调递减，∴只需f（1）=4a–15＜0，可得a＜，∴a＜1；综上，a≤1.。

专题01集合与逻辑（考点练+模拟练）一、填空题1．（23-24高三上·上海·期中）已如全集U =R ，集合10,x A x x x ⎧⎫-=≥∈⎨⎬⎩⎭R ，则A =．2．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）“0x ≠或0y ≠”是“220x y +≠”的条件.3．（2023·上海普陀·模拟预测）已知命题p ：任意正数x ，恒有()1e 1xx +>，则命题p 的否定为．4．（23-24高三上·上海·期中）已知集合()2,1A =-，()()4,11,2B =-- ，则A B =．5．（22-23高一上·上海复旦附中分校·阶段练习）已知全集U =R ，集合{|1},{|2}A x x B x x =≤=≥，则A B ＝．6．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知集合{}ln M x y x ==，集合11N y y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂=．7．（23-24高三上·上海松江·期中）已知2:280,:123p x x q a x a --<-<<-，且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是.8．（23-24高三上·上海静安·开学考试）集合{}1,2,A a =，{}21,2B a =-，若集合A B ⋃中有三个元素，则实数=a .9．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）若集合{}N |12A x x =∈-<≤，{},,B x x ab a b A ==∈，则集合B 的非空真子集的个数为.10．（20-21高三上·上海崇明·阶段练习）已知:31x m α<-或x m >-，:2x β<或4x ≥，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是.11．（20-21高一上·上海闵行·期中）已知集合M ＝25|0ax x x a -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭，若3,5M M ∈∉，则实数a 的取值范围是．12．（23-24高三上·上海浦东新·期中）M 是正整数集的子集，满足：1,2022,2023M M M ∈∈∉，并有如下性质：若a 、b M ∈，则222a b M ⎤+∈⎥⎥⎦，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则M 的非空子集个数为．二、单选题13．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知集合π,2m A x x m ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，集合π,4n B x x n ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，则A B = （）A ．∅B ．AC ．BD ．{}π,x x k k =∈Z 14．（16-17高一上·上海浦东新·期中）已知集合A ，B ，若A 不是B 的子集，则下列命题中正确的是（）A ．对任意的a A ∈，都有aB ∉B ．对任意的a B ∈，都有a A ∈C ．存在0a ，满足0a A ∈，且0a B∉D ．存在0a ，满足0a A ∈，且0a B∈15．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）集合,A B 各有8个元素,A B ⋂有6个元素,若集合C 满足:()()A B C A B ⊆⊆ ,则满足条件的集合C 共有（）A ．32个B ．16个C ．8个D ．4个16．（20-21高三上·浙江·开学考试）设集合,S T 中至少两个元素，且,S T 满足：①对任意,x y S ∈，若x y ≠，则x y T +∈，②对任意,x y T ∈，若x y ≠，则x y S -∈，下列说法正确的是（）A ．若S 有2个元素，则S T 有3个元素B ．若S 有2个元素，则S T 有4个元素C ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有5个元素D ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有4个元素三、解答题17．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）设全集()(){}4230,0A x ax x a a =+-+>>，B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩.(1)若2a =，求A B ⋂，A B ；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．（22-23高三上·上海青浦·期中）已知集合{}(2)(3)0A x x x =--≤，{}3B x a x a =<<，且0a >．(1)若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围；(2)若命题“A B ⋂=∅”为假命题，求实数a 的取值范围．19．（22-23高三上·上海崇明·阶段练习）已知R 为全集，集合R 21|1,1x A x x x -⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭，集合{}1,R B x x a x =-≤∈．(1)求集合A ；(2)若B A B ⋂=，求实数a 的取值范围．20．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）设全集U 为R ，集合{}11A x x =-<，{}2320B x x x =--≥.(1)求A B ；(2)若{}22430C x x ax a A B =-+≥⊇⋃，求a 的取值范围.21．（23-24高一上·上海·期中）集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅是由()3n n >个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素()1,2,,i a i n =⋅⋅⋅之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”．(1)判断集合{}1,2,3,4、{}1,3,5,7,9,11,13是否为“可分集合”（不用说明理由）；(2)求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；(3)若集合{}12,,,n A a a a = 是“可分集合”，证明n 是奇数．一、填空题1．（2022·上海·模拟预测）已知集合{}2=|40,A x x x x N *-<∈，则用列举法表示集合A =2．（2022·上海浦东新·模拟预测）已知集合()0,2A =，()1,3B =，则A B ⋃=.3．（2024·上海·三模）已知集合{}0,1,2A =，{}331B x x x =-≤，则A B =4．（2024·上海·三模）已知集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，若A B B = ，则=a ．5．（2024·上海·三模）已知集合{}11A x x =-<，11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =．6．（2023·上海静安·二模）若集合{}22,log A a =，{},B a b =，且{}0A B ⋂=，则A B ⋃=.7．（2023·上海青浦·二模）已知集合(){}{}|ln 3,|A x y x B x x a ==-=>，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围为.8．（2024·上海宝山·二模）已知集合{}2,1,3A a a =++，且1A ∈，则实数a 的值为.9．（2017·上海奉贤·一模）已知互异实数0mn ≠，集合{}{}22,,m n m n =，则m n +=．10．（2023·上海金山·一模）若集合()(){}2,20A x y x y x y =+++-≤，()()(){}222,211B x y x a y a a =-+--≤-，且A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是.11．（2022·上海青浦·二模）已知集合1,[,1]6A s s t t ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，其中1A ∉且16s t +<，函数()1xf x x =-，且对任意a A ∈，都有()f a A ∈，则t 的值是．12．（2022·上海普陀·一模）设非空集合Q M ⊆，当Q 中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称Q 是M 的偶子集，若集合{}1,2,3,4,5,6,7=M ，则其偶子集Q 的个数为.二、单选题13．（2022·上海·模拟预测）已知集合(){},2A x y x y =+=，(){},24B x y x y =-=-，则A B = （）A ．{}0,2B ．()0,2C ．∅D ．(){}0,214．（2023·上海普陀·二模）设,a b 为实数，则“0a b >>”的一个充分非必要条件是（）A>B ．22a b >C ．11b a>D ．a b b a->-15．（2023·上海普陀·一模）设1A 、2A 、3A 、L 、7A 是均含有2个元素的集合，且17A A ⋂=∅，()11,2,3,,6i i A A i +⋂=∅= ，记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ，则B 中元素个数的最小值是（）A ．5B ．6C ．7D ．816．（2021·上海青浦·一模）设函数,()1,x x P f x x Mx-∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，其中,P M 是实数集R 的两个非空子集，又规定()(){},A P y y f x x P ==∈，()(){},A M y y f x x M ==∈，则下列说法：（1）一定有()()A P A M ⋂=∅；（2）若P M R ⋃≠，则()()A P A M R ⋃≠；（3）一定有P M ⋂=∅；（4）若P M R ⋃=，则()()A P A M R ⋃=.其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题17．（2017·上海浦东新·三模）数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a ⋅⋅⋅()*N n ∈组成集合{}12,,,n n A a a a =⋅⋅⋅，从集合n A 中任取(1,2,3,,)k k n =⋅⋅⋅个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列{21}n -，当1n =时，1{1},A =11;T =2n =时，2{1,3},A =113,T =+213T =⋅；(1)若集合{1,3,5,,21}n A n =⋅⋅⋅-，求当3n =时，1,T 2,T 3T 的值；(2)若集合{}1,3,7,,21nn A =⋅⋅⋅-，证明：n k =时集合k A 的m T 与1n k =+时集合1k A +的m T （为了以示区别，用m T '表示）有关系式()1121k m m m T T T +-'=-+，其中*,N ,m k ∈2m k ≤≤；(3)对于（2）中集合n A ．定义12=+++…n n S T T T ，求n S （用n 表示）．专题01集合与逻辑（考点练+模拟练）一、填空题1．（23-24高三上·上海·期中）已如全集U =R ，集合10,x A x x x ⎧⎫-=≥∈⎨⎬⎩⎭R ，则A =．【答案】{}01x x ≤<【分析】解出集合A ，利用补集的定义可求得集合A .【解析】由10x x -≥可得()100x x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得0x <或1x ≥，则{0A x x =<或}1x ≥，又因为全集U =R ，则{}01A x x =≤<.故答案为：{}01x x ≤<.2．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）“0x ≠或0y ≠”是“220x y +≠”的条件.【答案】充要【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【解析】命题“若0x ≠或0y ≠，则220x y +≠”是真命题，命题“若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠”是真命题，所以“0x ≠或0y ≠”是“220x y +≠”的充要条件.故答案为：充要3．（2023·上海普陀·模拟预测）已知命题p ：任意正数x ，恒有()1e 1xx +>，则命题p 的否定为．【答案】存在正数0x ，使()001e 1xx +≤【分析】含有全称量词的否定，改成特称量词即可.【解析】由全称命题的否定为特称命题知：存在正数0x ，使()001e 1xx +≤.故答案为：存在正数0x ，使()001e 1xx +≤4．（23-24高三上·上海·期中）已知集合()2,1A =-，()()4,11,2B =-- ，则A B = ．【答案】()2,1--【分析】直接由交集的概念、区间的表示即可得解.【解析】因为()2,1A =-，()()4,11,2B =-- ，所以()2,1A B ⋂=--.故答案为：()2,1--.5．（22-23高一上·上海复旦附中分校·阶段练习）已知全集U =R ，集合{|1},{|2}A x x B x x =≤=≥，则A B ＝．6．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知集合{}ln M x y x ==，集合11N y y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂=．【答案】()0,∞+【分析】根据函数的定义域及值域结合交集的运算求值即可.【解析】由题意可知()()()0,,,00,M N ∞∞∞=+=-⋃+，所以()0,M N ∞⋂=+.故答案为：()0,∞+7．（23-24高三上·上海松江·期中）已知2:280,:123p x x q a x a --<-<<-，且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是.8．（23-24高三上·上海静安·开学考试）集合{}1,2,A a =，{}21,2B a =-，若集合A B ⋃中有三个元素，则实数=a .【答案】2-或1-【分析】集合A B ⋃中有三个元素，则222a -=或22a a -=，解方程并检验即可.【解析】集合{}1,2,A a =，{}21,2B a =-，若集合A B ⋃中有三个元素，则222a -=或22a a -=，若222a -=，解得2a =±，其中2a =与元素互异性矛盾舍去，2a =-满足题意；若22a a -=，解得2a =或1a =-，2a =舍去，1a =-满足题意，所以2a =-或1a =-.故答案为：2-或1-9．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）若集合{}N |12A x x =∈-<≤，{},,B x x ab a b A ==∈，则集合B 的非空真子集的个数为.10．（20-21高三上·上海崇明·阶段练习）已知:31x m α<-或x m >-，:2x β<或4x ≥，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是.11．（20-21高一上·上海闵行·期中）已知集合M ＝2|0x x a -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭，若3,5M M ∈∉，则实数a 的取值范围是．12．（23-24高三上·上海浦东新·期中）M 是正整数集的子集，满足：1,2022,2023M M M ∈∈∉，并有如下性质：若a 、b M ∈，则M ∈，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则M 的非空子集个数为．二、单选题13．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知集合π,2m A x x m ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，集合π,4n B x x n ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，则A B = （）A ．∅B ．AC ．BD ．{}π,x x k k =∈Z14．（16-17高一上·上海浦东新·期中）已知集合A ，B ，若A 不是B 的子集，则下列命题中正确的是（）A ．对任意的a A ∈，都有aB ∉B ．对任意的a B ∈，都有a A ∈C ．存在0a ，满足0a A ∈，且0a B∉D ．存在0a ，满足0a A ∈，且0a B∈【答案】C【分析】根据子集关系结合元素与集合的关系逐项分析判断.【解析】对于选项A 、B ：例如{}{}1,2,2,3A B ==，满足A 不是B 的子集，但2,2A B ∈∈，故A 错误；3,3A B ∉∈，故B 错误；对于选项C ：对任意的a A ∈，都有a B ∈，则A B ⊆，若A 不是B 的子集，则存在0a ，满足0a A ∈，且0a B ∉，故C 正确；对于选项D ：例如{}{}1,2A B ==，满足A 不是B 的子集，但不存在0a ，满足0a A ∈，且0a B ∈，故D 错误；故选：C.15．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）集合,A B 各有8个元素,A B ⋂有6个元素,若集合C 满足:()()A B C A B ⊆⊆ ,则满足条件的集合C 共有（）A ．32个B ．16个C ．8个D ．4个【答案】B【分析】根据题意设出集合,A B ,根据()()A B C A B ⊆⊆ 判断集合C 中元素的构成情况,根据子集和集合中元素的个数关系即可得出结果.【解析】解:由题知,A B 各有8个元素,且A B ⋂有6个元素,设{}123456,,,,,c c c c A c c B = ,且{}12123456,,,,,,,,a a c c c c c c A ={}12123456,,,,,,,b bc c c c c B c =,则画Venn 图如下:因为()()A B C A B ⊆⊆ ,所以{}{}1234561212123456,,,,,,,,,,,,,,,c c c c c c C a a b b c c c c c c ⊆⊆所以集合C 中至少有123456,,,,,c c c c c c ,6个元素,最多有1212123456,,,,,,,,,a a b b c c c c c c ,10个元素,只需求出{}1212,,,a a b b 的子集,在每个子集中加入123456,,,,,c c c c c c 6个元素,即可得集合C ,所以集合C 的个数,即是{}1212,,,a a b b 的子集的个数4216=个.故选:B16．（20-21高三上·浙江·开学考试）设集合,S T 中至少两个元素，且,S T 满足：①对任意,x y S ∈，若x y ≠，则x y T +∈，②对任意,x y T ∈，若x y ≠，则x y S -∈，下列说法正确的是（）A ．若S 有2个元素，则S T 有3个元素B ．若S 有2个元素，则S T 有4个元素C ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有5个元素D ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有4个元素【答案】A【解析】不妨设{,}S a b =，由②知集合S 中的两个元素必为相反数，设{,}S a a =-，由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素m T ∈，分集合T 有2个元素和多于2个元素分类讨论，即可求解.【解析】若S 有2个元素，不妨设{,}S a b =，以为T 中至少有两个元素，不妨设{},x y T ⊆，由②知,x y S y x S -∈-∈，因此集合S 中的两个元素必为相反数，故可设{,}S a a =-，由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，故至少还有另外一个元素m T ∈，当集合T 有2个元素时，由②得：m S -∈，则,{0,}m a T a =±=-或{0,}T a =.当集合T 有多于2个元素时，不妨设{0,,}T m n =，其中,,,,,m n m n m n n m S ----∈，由于,0,0m n m n ≠≠≠，所以,m m n n ≠-≠-，若m n =-，则n m =-，但此时2,2m n m m m n n n -=≠-=-≠，即集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，若m n ≠-，则集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，这都与集合S 中只有2个运算矛盾，综上，{0,,}S T a a =- ，故A 正确；当集合S 有3个元素，不妨设{,,}S a b c =，其中a b c <<，则{,,}a b b c c a T +++⊆，所以,,,,,c a c b b a a c b c a b S ------∈，集合S 中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合S 中至少4个元素，与{,,}S a b c =矛盾，排除C ，D.故选：A.【点睛】解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试卷中发现可以使用的集合的性质的一些因素.三、解答题17．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）设全集()(){}4230,0A x ax x a a =+-+>>，B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩.(1)若2a =，求A B ⋂，A B ；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．（22-23高三上·上海青浦·期中）已知集合{}(2)(3)0A x x x =--≤，{}3B x a x a =<<，且0a >．(1)若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围；(2)若命题“A B ⋂=∅”为假命题，求实数a 的取值范围．19．（22-23高三上·上海崇明·阶段练习）已知R 为全集，集合R |1,1A x x x -⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭，集合{}1,R B x x a x =-≤∈．(1)求集合A ；(2)若B A B ⋂=，求实数a 的取值范围．20．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）设全集U 为R ，集合11A x x =-<，{}2320B x x x =--≥.(1)求A B ；(2)若{}22430C x x ax a A B =-+≥⊇⋃，求a 的取值范围.21．（23-24高一上·上海·期中）集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅是由()3n n >个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素()1,2,,i a i n =⋅⋅⋅之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”．(1)判断集合{}1,2,3,4、{}1,3,5,7,9,11,13是否为“可分集合”（不用说明理由）；(2)求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；(3)若集合{}12,,,n A a a a = 是“可分集合”，证明n 是奇数．【答案】(1){}1,2,3,4不是“可分集合”，{}1,3,5,7,9,11,13为“可分集合”(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由“可分集合”的定义判断；（2）不妨设12345a a a a a <<<<，讨论当在集合{}12345,,,,a a a a a 中去掉元素1a 、2a 后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可证得结论成立；（3）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明.【解析】（1）解：对于{}1,2,3,4，去掉3后，{}1,2,4不满足题中条件，故{}1,2,3,4不是“可分集合”，对于{}1,3,5,7,9,11,13，集合{}1,3,5,7,9,11,13所有元素之和为49.当去掉元素1时，剩下的元素之和为48，剩下元素可以组合{}3,5,7,9、{}11,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素3时，剩下的元素之和为46，剩下元素可以组合{}1,9,13、{}5,7,11这两个集合，显然符合题意；当去掉元素5时，剩下的元素之和为44，剩下元素可以组合{}1,3,7,11、{}9,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素7时，剩下的元素之和为42，剩下元素可以组合{}1,9,11、{}3,5,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素9时，剩下的元素之和为40，剩下元素可以组合{}1,3,5,11、{}7,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素11时，剩下的元素之和为38，剩下元素可以组合{}3,7,9、{}1,5,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素13时，剩下的元素之和为36，剩下元素可以组合{}1,3,5,9、{}7,11这两个集合，显然符合题意.综上所述，集合{}1,3,5,7,9,11,13是“可分集合”.（2）证明：不妨设123450a a a a a <<<<<，一、填空题1．（2022·上海·模拟预测）已知集合{}2=|40,A x x x x N *-<∈，则用列举法表示集合A =【答案】{}1,2,3【分析】根据不等式的解法，求得04x <<，进而利用列举法，即可求解.【解析】由不等式240x x -<，可得()40x x -<，解得04x <<，即集合{|04A x x =<<且}{1,2,3}x N *∈=.故答案为：{}1,2,3.2．（2022·上海浦东新·模拟预测）已知集合()0,2A =，()1,3B =，则A B ⋃=.【答案】()0,3【分析】直接根据并集定义求解即可.【解析】因为()0,2A =，()1,3B =，所以()0,3A B ⋃=，故答案为：()0,33．（2024·上海·三模）已知集合{}0,1,2A =，{}331B x x x =-≤，则A B =【答案】{}0,1【分析】把集合中的元素代入不等式331x x -≤检验可求得{0,1}A B = .【解析】当0x =时，303001-⨯=≤，所以0B ∈，当1x =时，313121-⨯=-≤，所以1B ∈，当2x =时，323221-⨯=>，所以2∉B ，所以{0,1}A B = .故答案为：{0,1}.4．（2024·上海·三模）已知集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，若A B B = ，则=a ．【答案】3【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得.【解析】集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，由A B B = ，得B A ⊆，又11a a +-=，因此143a a +=⎧⎨=⎩，所以3a =.故答案为：35．（2024·上海·三模）已知集合{}11A x x =-<，11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =．6．（2023·上海静安·二模）若集合{}22,log A a =，{},B a b =，且{}0A B ⋂=，则A B ⋃=.【答案】{}0,1,2【分析】依题意可得0A ∈且0B ∈，即可求出a 、b 的值，从而求出集合A 、B ，再根据并集的定义计算可得.【解析】因为{}22,log A a =，{},B a b =，且{}0A B ⋂=，所以0A ∈且0B ∈，显然0a >，所以2log 0a =且0b =，所以1a =，所以{}2,0A =，{}1,0B =，所以{}0,1,2A B = .故答案为：{}0,1,27．（2023·上海青浦·二模）已知集合(){}{}|ln 3,|A x y x B x x a ==-=>，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围为.【答案】[)3,+∞【分析】求函数的定义域求得集合A ，根据A B ⋂=∅求得a 的取值范围.【解析】由30x ->解得3x <，所以(),3A =-∞，由于A B ⋂=∅，所以3a ≥，所以a 的取值范围是[)3,+∞.故答案为：[)3,+∞8．（2024·上海宝山·二模）已知集合{}2,1,3A a a =++，且1A ∈，则实数a 的值为.9．（2017·上海奉贤·一模）已知互异实数0mn ≠，集合{}{}22,,m n m n =，则m n +=．【答案】-1【分析】分情况讨论2m m =,2n n =,或2n m =,2m n =再计算即可.【解析】互异实数m n ≠,集合{}{}22,,m n m n =,∴2m m =,2n n =,或2n m =,2m n =,0mn ≠,m n ≠．由2m m =,2n n =,0mn ≠,m n ≠,无解．由2n m =,2m n =,0mn ≠,m n ≠．可得22n m m n -=-,解得1m n +=-．故答案为：1-．【点睛】本题主要考查了根据集合的互异性与集合相等求参数的问题,属于基础题型.10．（2023·上海金山·一模）若集合()(){}2,20A x y x y x y =+++-≤，()()(){}222,211B x y x a y a a =-+--≤-，且A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是.B 其中()()2221x a y a -+--当1a =±时，B 表示点(1,3)当1a ≠±时，B 表示以(M 其圆心在直线21y x =+上，依题意A B ⋂≠∅，即表示圆当1a =-时，显然满足题意，当当1a <-时，因为A B ⋂≠所以d r ≤，即222a a +++所以()()17110a a ++≤，所以1117a -≤<-；当1a >时，因为A B ⋂≠∅11．（2022·上海青浦·二模）已知集合,[,1]6A s s t t ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ ，其中1A ∉且6s t +<，函数()1xf x x =-，且对任意a A ∈，都有()f a A ∈，则t 的值是．12．（2022·上海普陀·一模）设非空集合Q M ⊆，当Q 中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称Q 是M 的偶子集，若集合{}1,2,3,4,5,6,7=M ，则其偶子集Q 的个数为.【答案】63【分析】对集合Q 中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合Q 的个数，综合可得结果.【解析】集合Q 中只有2个奇数时，则集合Q 的可能情况为：{}1,3、{}1,5、{}1,7、{}3,5、{}3,7、{}5,7，共6种，若集合Q 中只有4个奇数时，则集合{}1,3,5,7Q =，只有一种情况，若集合Q 中只含1个偶数，共3种情况；若集合Q 中只含2个偶数，则集合Q 可能的情况为{}2,4、{}2,6、{}4,6，共3种情况；若集合Q 中只含3个偶数，则集合{}2,4,6Q =，只有1种情况.因为Q 是M 的偶子集，分以下几种情况讨论：若集合Q 中的元素全为偶数，则满足条件的集合Q 的个数为7；若集合Q 中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共7种；若集合Q 中的元素是2个奇数1个偶数，共6318⨯=种；若集合Q 中的元素为2个奇数2个偶数，共6318⨯=种；若集合Q 中的元素为2个奇数3个偶数，共616⨯=种；若集合Q 中的元素为4个奇数1个偶数，共133⨯=种；若集合Q 中的元素为4个奇数2个偶数，共133⨯=种；若集合Q 中的元素为4个奇数3个偶数，共1种.综上所述，满足条件的集合Q 的个数为771818633163+++++++=.故答案为：63.二、单选题13．（2022·上海·模拟预测）已知集合(){},2A x y x y =+=，(){},24B x y x y =-=-，则A B = （）A ．{}0,2B ．()0,2C ．∅D ．(){}0,214．（2023·上海普陀·二模）设,a b 为实数，则“0a b >>”的一个充分非必要条件是（）A >B ．22a b >C ．11b a >D ．a b b a->-15．（2023·上海普陀·一模）设1A 、2A 、3A 、L 、7A 是均含有2个元素的集合，且17A A ⋂=∅，()11,2,3,,6i i A A i +⋂=∅= ，记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ，则B 中元素个数的最小值是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A 【分析】设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素，分析可知4n ≥，然后对n 的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.【解析】解：设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素，若3n =，则12A A ⋂≠∅，不合乎题意.①假设集合B 中含有4个元素，可设{}112,A x x =，则{}24634,A A A x x ===，{}35712,A A A x x ===，这与17A A ⋂=∅矛盾；②假设集合B 中含有5个元素，可设{}1612,A A x x ==，{}2734,A A x x ==，{}351,A x x =，{}423,A x x =，{}545,A x x =，满足题意.综上所述，集合B 中元素个数最少为5.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.16．（2021·上海青浦·一模）设函数,()1,x x P f x x M x -∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，其中,P M 是实数集R 的两个非空子集，又规定()(){},A P y y f x x P ==∈，()(){},A M y y f x x M ==∈，则下列说法：（1）一定有()()A P A M ⋂=∅；（2）若P M R ⋃≠，则()()A P A M R ⋃≠；（3）一定有P M ⋂=∅；（4）若P M R ⋃=，则()()A P A M R ⋃=.其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据分段函数的定义、一次函数和反比例函数的性质，结合集合交集、并集的运算定义进行判断即可.【解析】函数()f x 是分段函数，故P M ⋂=∅一定成立，因此说法（3）正确；对于（1）：当{}{}1,1P M =-=时，根据已知的规定，有{}{}()1,()1A P A M ==，显然()(){}1A P A M ⋂=≠∅，因此说法（1）不正确；对于（4）：当(,1),[1,)P M =-∞=+∞时，显然满足P M R ⋃=成立，根据已知的规定，有()(1,),()(0,1]A P A M =-+∞=，显然()()(1,)(0,1]A P A M R ⋃=-+∞⋃≠，因此说法（4）不正确；对于（2）来说，当P M R ⋃=时，()()A P A M R ⋃=不一定成立，故当P M R ⋃≠时，显然()()A P A M R ⋃≠一定成立，因此说法（2）正确，所以只有（2）（3）说法正确.故选：B三、解答题17．（2017·上海浦东新·三模）数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a ⋅⋅⋅()*N n ∈组成集合{}12,,,n n A a a a =⋅⋅⋅，从集合n A 中任取(1,2,3,,)k k n =⋅⋅⋅个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列{21}n -，当1n =时，1{1},A =11;T =2n =时，2{1,3},A =113,T =+213T =⋅；(1)若集合{1,3,5,,21}n A n =⋅⋅⋅-，求当3n =时，1,T 2,T 3T 的值；(2)若集合{}1,3,7,,21n n A =⋅⋅⋅-，证明：n k =时集合k A 的m T 与1n k =+时集合1k A +的m T （为了以示区别，用m T '表示）有关系式()1121k m m m T T T +-'=-+，其中*,N ,m k ∈2m k ≤≤；(3)对于（2）中集合n A ．定义12=+++…n n S T T T ，求n S （用n 表示）．。

上海高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．2.已知函数的最小正周期是，则．3.向量在向量方向上的投影为．4.已知正数满足，则行列式的最小值为．5.阅读下边的程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数的取值范围是．6.设是一元二次方程的两个虚根.若，则实数．7.集合，．若“a＝1”是“”的充分条件，则实数b的取值范围是．8.已知椭圆的焦点在轴上，一个顶点为，其右焦点到直线的距离为，则椭圆的方程为．9.在△中，所对边分别为、、．若，则．10.已知数列的首项，其前n项和为．若，则．11.某地球仪上北纬纬线长度为cm，该地球仪的表面上北纬东经对应点与北纬东经对应点之间的球面距离为 cm（精确到0.01）．12.已知直线与抛物线相交于、两点，为抛物线的焦点．若，则实数．13.将的图像向右平移2个单位后得曲线，将函数的图像向下平移2个单位后得曲线，与关于轴对称．若的最小值为且，则实数的取值范围为．14.已知“”为“”的一个全排列．设是实数，若“”可推出“或”，则满足条件的排列“”共有__________个．二、选择题1.函数的反函数是（）A．．B．．C．．D．．2.直线的法向量是. 若，则直线的倾斜角为 ( )A．B．C．D．3.已知、、是单位圆上三个互不相同的点.若，则的最小值是（）A．．B．．C．．D．．4.等差数列的公差，，前项和为，则对正整数，下列四个结论中：（1）成等差数列，也可能成等比数列；（2）成等差数列，但不可能成等比数列；（3）可能成等比数列，但不可能成等差数列；（4）不可能成等比数列，也不可能成等差数列；正确的是（）A．（1）（3）.B．（1）（4）.C．（2）（3）.D．（2）（4）.三、解答题1.在直三棱柱中,,，求：（1）异面直线与所成角的大小；（2）直线到平面的距离．2.已知，其中是常数．（1）若是奇函数，求的值；（2）求证：的图像上不存在两点A、B，使得直线AB平行于轴．3.如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设．（1）试用表示的面积；（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小．4.已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且．圆的方程是．（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点，中点为，求证：．5.在等差数列和等比数列中，，，是前项和．（1）若，求实数的值；（2）是否存在正整数，使得数列的所有项都在数列中？若存在，求出所有的，若不存在，说明理由；（3）是否存在正实数，使得数列中至少有三项在数列中，但中的项不都在数列中？若存在，求出一个可能的的值，若不存在，请说明理由．上海高三高中数学高考模拟答案及解析一、填空题1.在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【答案】【解析】复平面上复数对应的点到原点的距离就是它的模，而，本题不需要把复数化简为形式.【考点】复数的模.2.已知函数的最小正周期是，则．【答案】1【解析】要把函数式化简为或的形式，本题中，因此其最小正周期为，.【考点】三角函数的周期.3.向量在向量方向上的投影为．【答案】【解析】向量投影的定义是，向量在向量方向上的投影是，它还等于，故所求投影为.【考点】向量的数量积与投影.4.已知正数满足，则行列式的最小值为．【答案】3【解析】首先把行列式化简为普通代数式，，又，即，所以，当且仅当时等号成立，故最小值为3.【考点】行列式的定义与基本不等式.5.阅读下边的程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数的取值范围是．【答案】【解析】本题程序框图所反映的数学问题就是当函数的值域为时，求定义域.，，.【考点】程序框图与函数的定义域.6.设是一元二次方程的两个虚根.若，则实数．【答案】4【解析】复数范围一元二次的韦达定理仍然适用，因此一定有，故，，又实系数二次方程有虚根，从而，即，所以同.【考点】实系数一元二次方程根的判别式与韦达定理.7.集合，．若“a＝1”是“”的充分条件，则实数b的取值范围是．【答案】【解析】“a＝1”是“”的充分条件的意思是说当时，，现在，，由得或，即或，所以的范围是.【考点】充分条件，解不等式.8.已知椭圆的焦点在轴上，一个顶点为，其右焦点到直线的距离为，则椭圆的方程为．【答案】【解析】据题意，椭圆方程是标准方程，，右焦点为，它到已知直线的距离为，，所以，椭圆方程为.【考点】椭圆的标准方程.9.在△中，所对边分别为、、．若，则．【答案】【解析】三角形中问题在解决时要注意边角的互化，本题求角，可能把边化为角比较方便，同时把正切化为正弦余弦，由正弦定理可得，，所以有，即，在三角形中，于是有，，．【考点】解三角形．10.已知数列的首项，其前n项和为．若，则．【答案】【解析】已知数列的前项和的关系，要求项，一般把已知中的用代换得，两式相减得，又，，所以数列从第二项开始成等比数列，因此其通项公式为．【考点】数列的前项和与项的关系，数列通项公式．11.某地球仪上北纬纬线长度为cm，该地球仪的表面上北纬东经对应点与北纬东经对应点之间的球面距离为 cm（精确到0.01）．【答案】【解析】如下图球中，是北纬纬线圈的圆心，，，，，，在中，两点间的球面距离即所对的大圆弧长为约等于【考点】球面距离．12.已知直线与抛物线相交于、两点，为抛物线的焦点．若，则实数．【答案】【解析】如下图，是抛物线的准线，直线过准线与轴的交点，作，是垂足，则，由于，所以，设，则①，再由抛物线方程得，代入直线方程可得，所以有②，③，由①②③解得.【考点】直线和圆锥曲线相交问题.13.将的图像向右平移2个单位后得曲线，将函数的图像向下平移2个单位后得曲线，与关于轴对称．若的最小值为且，则实数的取值范围为．【答案】【解析】首先应求出的表达式，曲线对应的函数式为，曲线与关于轴对称，因此的函数解析式为，向上平移2个单位，就是函数的图象，则.，其最小值大于，说明函数的最小值大于.下面观察函数，若，则当时，，无最小值，同理当时，时，，无最小值，因此，，当且仅当时等号成立，即最小值为，从而，解得.【考点】图象的变换，函数的最小值，解不等式.14.已知“”为“”的一个全排列．设是实数，若“”可推出“或”，则满足条件的排列“”共有__________个．【答案】224【解析】解决本题问题要考虑清楚在排列中，有哪些要求，假如，则命题若“”可推出“或”为，从这方面考虑，我们把作为一组数，为一组数，为一组数，显然不能取中的任何一个，下面我们用列举法列举出各种可能：这样所有的排列数为【考点】排列、不等式的解等综合问题．二、选择题1.函数的反函数是（）A．．B．．C．．D．．【答案】D【解析】求反函数，除了求解析式以外，还要求出定义域，即原函数的值域．由得，又，所以，另外当时，，，因此所求反函数为D．【考点】求反函数．2.直线的法向量是. 若，则直线的倾斜角为 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】直线的法向量为，方向向量为或，而其斜率为，因此本题中直线斜率为，(为直线的倾斜角)，由于，，所以，选B．【考点】直线方程与法向量，直线的倾斜角与斜率．3.已知、、是单位圆上三个互不相同的点.若，则的最小值是（）A．．B．．C．．D．．【答案】C【解析】记单位圆的圆心为，由于，则与同向，，，可见最小值为，(时，取得最小值)．选C．【考点】向量的数量积．4.等差数列的公差，，前项和为，则对正整数，下列四个结论中：（1）成等差数列，也可能成等比数列；（2）成等差数列，但不可能成等比数列；（3）可能成等比数列，但不可能成等差数列；（4）不可能成等比数列，也不可能成等差数列；正确的是（）A．（1）（3）.B．（1）（4）.C．（2）（3）.D．（2）（4）.【答案】D【解析】根据等差数列的性质，，，，因此(1)错误，(2)正确，由上显然有，，，，故(3)错误，(4)正确．即填 (2)(4)．【考点】等差数列的前项和，等差数列与等比数列的定义．三、解答题1.在直三棱柱中,,，求：（1）异面直线与所成角的大小；（2）直线到平面的距离．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)求异面直线所成的角，就是根据定义作出这个角，当然异面直线的平移，一般是过其中一条上的一点作另一条的平行线，特别是在基本几何体中，要充分利用几何体中的平行关系寻找平行线，然后在三角形中求解，本题中∥，就是我们要求的角(或其补角)；(2)直线到平面的距离等于直线上的任一点(如)到平面的距离，而点到平面的距离可以看作是三棱锥底面上的高，这样可以用体积法求出这个距离，下面关键就是看三棱锥的体积能否很快求出，事实上本题中三棱锥的体积是三棱柱体积的，因此高(距离)易求．试题解析：（1）因为，所以（或其补角）是异面直线与所成角. 1分因为,,所以平面，所以. 3分在中,,所以 5分所以异面直线与所成角的大小为． 6分（2）因为//平面所以到平面的距离等于到平面的距离 8分设到平面的距离为，因为，所以 10分可得 11分直线与平面的距离为． 12分【考点】(1)异面直线所成的角；(2)直线到平面的距离．2.已知，其中是常数．（1）若是奇函数，求的值；（2）求证：的图像上不存在两点A、B，使得直线AB平行于轴．【答案】(1)；(2)证明见解析．【解析】(1)奇函数的问题，可以根据奇函数的定义，利用来解决，由于本题中有对数符号，有根式，因此根据求出后，最好能再求出函数的定义域，验证下它是奇函数；(2)要证明函数的图像上不存在两点A、B，使得直线AB平行于轴，即方程不可能有两个或以上的解，最多只有一个解，由于表达式不太简便，因此我们可以从简单的方面入手试试看，看是不是单调函数，本题函数正好能根据单调性的定义证明此函数是单调函数，故本题结论得证．试题解析：（1）解法一：设定义域为,则：因为是奇函数，所以对任意，有， 3分得. 5分此时，，，为奇函数。

一、单选题二、多选题三、填空题1. 集合的真子集的个数是（ ）A ．7B ．3C ．4D ．82. 在中，，且，则（ ）A．B ．1C．D．3. 双曲线的一个焦点的坐标为（ ）A．B．C．D．4. 已知函数，以下说法中正确的是（ ）①函数关于直线对称；②函数在上单调递增；③当时，的取值范围为；④将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的解折式为．A ．①③B ．②③④C ．①④D ．②5. 若“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．6. 已知某几何体三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是边长为2的正方形，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．7. 已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）A ．存在P使得B ．的最小值为C ．，则的面积为9D ．直线与直线斜率乘积为定值8.已知，，且，则中的元素是（ ）A ．-4B ．1C．D．9.中，，，，则________.10.在区间上，不等式的解集为______.（用区间表示）2022届上海市普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（一）(高频考点版)2022届上海市普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（一）(高频考点版)四、解答题11. 如图，将全体正整数排成一个三角形数阵，按照这样的排列规律，第行从右至左的第3个数为___________．12.已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为______.13. 假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过年后的物价为.（1）该地的物价经过几年后会翻一番？（2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律。

14.已知数列 的前项和为，且，数列 的前项和(1)求数列 的通项公式；(2)设，求数列的前项和15.已知函数.（1）若的零点为2，求；（2）若在上单调递减，求的最小值；（3）若对于任意的都有，求的取值范围.16.在圆上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，（1）求线段PD 的中点Q 的轨迹方程.（2）若直线与（1）中的Q 的轨迹交于A ，B两点，求。