2020年上海市高考数学模拟试卷6套(附答案解析)

2020年上海市高考数学模拟试卷(文科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U ={1,2，3，4，5，6}，A ={1,2，3，4}，B ={3,4，5，6}，则B ∩∁U A( )A. {5,6}B. {3,4，5，6}C. {1,2，5，6}D. ⌀2. 设i 为虚数单位，则|1−i|=( )A. 1B. √2C. 2D. 2√23. 某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进行调查统计，得出y 与x 具有线性相关关系，且回归方程为y ̂=0.6x +1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( )A. 66%B. 67%C. 79%D. 84%4. 设a =log 2e ，b =ln2，c =log 1213，则( )A. a <b <cB. b <a <cC. b <c <aD. c <b <a5. 在△ABC 中，AB =AC =1，BC =√3，则向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为( )A. −12B. 12C. −√32 D. √326. 函数f(x)=e −x −e xx 2的图象大致为( )A.B.C.D.7. 公元960年，北宋的建立结束了五代十国割据的局面。

北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明在这种经济高涨的情况下得到了广泛应用。

1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》，为数学的发展创造了良好的条件．11至14世纪出现了一批著名的数学家和数学著作，如秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》，杨辉的《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》，现从三位数学家的五部专著中选择两部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选两部至少有一部不是杨辉著作的概率为( )A. 35B. 710C. 45D. 9108. 执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( )A. s >12B. s >35C. s >710D. s >459. 要得到函数y =sin(2x +π6)的图象，只需将函数y =sin2x 的图象( )A. 向左平移π12个单位长度 B. 向右平移π12个单位长度 C. 向左平移π6个单位长度D. 向右平移π6个单位长度10. 在等差数列{a n }中，已知a 3+a 8=10，则3a 5+a 7=( )A. 10B. 18C. 20D. 2811. 已知点F ，A 分别为双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点、右顶点，点B(0,b)满足FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则双曲线的离心率为( )A. √2B. √3C. 1+√32 D. 1+√5212. 已知函数f(x)=e x ，如果x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，下列关于f(x)的性质：①(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]>0； ②y =f(x)不存在反函数；③f(x1)+f(x2)<2f(x1+x2)；2④方程f(x)=x2在(0,+∞)上没有实数根，其中正确的是()A. ①②B. ①④C. ①③D. ③④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=x3−ln(2x−1)在点(1,1)处的切线方程为__________．14.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2018，a2+a4=−2a3，则S2019=______．15.三棱锥S−ABC的顶点都在同一球面上，且SA=AC=SB=BC=2√2，SC=4，则该球的体积为______ ．16.抛物线y2=8x的焦点为F，点A(6,3)，P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则△PAF周长的最小值为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.第一次大考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下2×2列联表，且已知在甲、乙两个文科．班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为311(1)请完成2×2列联表参考公式和临界值表K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(2)根据列联表的数据能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为成绩与班级有关系？18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a−c=2bcos C．+B)的值；(1)求sin(A+C2(2)若b=√3，求c−a的取值范围．19.如下图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．(1)求证：平面AD1E//平面BGF．(2)求证：D1E⊥AC．20.设函数f(x)=x3+ax2+4x+1在x=−2时取得极值．(1)求实数a的值；(2)求函数f(x)在区间[−3,0]上的最值．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(1,√22)，且焦距为2．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过点P(−2,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点G(0,−12)，如果|GA|=|GB|，求直线l的方程．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =ty =t +1(t 为参数)，曲线C 的参数方程是为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)已知射线OP ：θ1=α(其中0<α<π2)与曲线C 交于O ，P 两点，射线OQ ：θ2=α+π2与直线l 交于Q 点，若△OPQ 的面积为1，求α的值和弦长|OP|．23. 已知正实数x ，y ，z 满足x +y +z =3xyz ，求xy +yz +zx 的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵全集U={1,2，3，4，5，6}，A={1,2，3，4}，B={3,4，5，6}，∴∁U A={5,6}，则B∩∁U A={5,6}，故选：A．由全集U及A，求出A的补集，找出B与A补集的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：解：|1−i|=√12+(−1)2=√2．故选：B．直接利用复数的模的求法求解即可．本题考查复数的模的求法，基本知识的考查．3.答案：D解析：本题考查线性回归方程，基础题．把x=5代入回归直线方程可求出人均消费额，进而可求人均消费额占人均工资收入的百分比．解：∵y与x具有线性相关关系，满足回归方程y=0.6x+1.2，该城市居民人均工资水平为x=5，∴可以估计该市的职工人均消费额y=0.6×5+1.2=4.2，=84%，∴可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为4.25故选D．4.答案：B解析：【试题解析】解：∵c =log 23>log 2e =a >1>ln2=b ． ∴b <a <c ． 故选：B ．利用指数对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：A解析：解：∵△ABC 中，AB =AC =1，BC =√3， ∴cosA =AB 2+AC 2−BC 22⋅AB⋅AC=1+1−32×1×1=−12，∴A =120°，∴向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1×1×cos120°1=−12， 故选：A ．根据余弦定理求出角A 的大小，结合向量投影的定义进行求解即可． 本题主要考查向量投影的计算，根据定义转化向量数量积是解决本题的关键．6.答案：D解析：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的值的符号，属于基础题． 判断函数的奇偶性，利用函数值的符号判断 解：函数f(x)=e −x −e xx 2， 可得：f(−x)=e x −e −xx =−e −x −e xx =−f(x)，则函数f(x)是奇函数，排除A ；∵f(1)=e −1−e 1<0，故排除B ，C故选：D ．解析：本题考查古典概型的计算与应用，属于基础题． 利用列举法即可求出结果．解：由题意5部专著中有3部是杨辉所著，标号为a ，b ，c ， 另外两部分别标号为x ，y ，从5部专注中选择2部的基本事件有：(a,b ),(a,c ),(a,x ),(a,y ),(b,c ),(b,x ),(b,y ),(c,x ),(c,y )，(x,y)共有10个， 所选2部专著至少有一部不是杨辉著作包含的基本事件有： (a,x ),(a,y ),(b,x ),(b,y ),(c,x ),(c,y )，(x,y)共有7个， 所以所选两部至少有一部不是杨辉著作的概率为710． 故选B ．8.答案：C解析：本题考查程序框图，考查计算能力，属基础题． 解：程序框图的执行过程如下： s =1，k =9； s =910,k =8； s =910×89=810,k =7；s =810×78=710,k =6，循环结束， 故可填入的条件为s >710． 故选C ．9.答案：A解析：解：将函数y =sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y =sin2(x +π12)=sin(2x +π6)的图象，根据函数y =Asin(ωx +⌀)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +⌀)的图象变换规律，属于中档题．10.答案：C解析：本题考查等差数列的性质及其应用，属基础题．根据等差数列性质可得：3a 5+a 7=2(a 5+a 6)=2(a 3+a 8)，即可得到结论． 解：由等差数列的性质得：3a 5+a 7=2a 5+(a 5+a 7)=2a 5+(2a 6)=2(a 5+a 6)=2(a 3+a 8)=20， 故选：C ．11.答案：D解析：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题过程中关键是利用了勾股定理找到了a 和c 的关系． 根据题意判断出FB ⊥AB ，利用勾股定理求得a 和c 关系，整理成关于e 的方程求得双曲线的离心率． 解：∵FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴FB ⊥AB ，∴|FB|2+|AB|2=|FA|2， 即c 2+b 2+a 2+b 2=(a +c)2， 整理得c 2−a 2−ac =0， 即有e 2−e −1=0， 求得e =1±√52(舍负) ∴e =1+√52，故选：D ．12.答案：B解析：解：函数f(x)=e x，函数是单调增函数，如果x1，x2∈R，且x1≠x2，①(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0；说明函数是增函数，满足题意，∴①正确；②y=f(x)不存在反函数；函数有反函数函数必须是单调函数，∴②不正确；)的函数是凸函数，而f(x)=e x是凹函数；∴③不正确；③具有性质f(x1)+f(x2)<2f(x1+x22④方程f(x)=x2，即e x=x2，函数f(x)=e x，g(x)=x2.在(0,+∞)上没有交点，就是说分没有实数根，∴④正确．综上正确的结果为：①④．故选：B．利用函数的单调性判断①的正误；通过函数具有反函数的性质判断②的正误；利用函数的凹凸性判断③的正误；函数的零点判断④的正误．本题考查函数的基本性质的应用，函数的单调性、反函数函数的凹凸性以及函数的零点，基本知识考查．13.答案：x−y=0解析：本题考查导数的几何意义，考查点斜式求直线的方程，属于基础题．先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程．解：∵y=f(x)=x3−ln(2x−1)，∴f′(x)=3x2−2，当x=1时，f′(1)=3−2=1，得切线的斜率1，所以k=1;2x−1所以曲线在点(1,1)处的切线方程为：y−1=1(x−1)，即x−y=0．故答案为x−y=0．14.答案：2018解析：根据等比数列的性质求解S n，即可求解S2019的值本题主要考查等比数列的应用，等比数列前n项和的求法，属于基础题．解：由题意，a1=2018，a2+a4=−2a3，即2018q+2018q3=−2×2018q2．解得：q=−1．那么S n=a1(1−q n)1−q则S2019=2018(1+1)1+1=2018．故答案为：201815.答案：323π解析：解：由题意，SA=AC=SB=BC=2√2，SC=4，所以AC2+SA2=SC2，BC2+SB2=SC2，SC是两个截面圆SAC与SCB的直径，所以SC是球的直径，球的半径为2，所以球的体积为43π⋅23=323π．故答案为：323π．通过已知条件，判断SC为球的直径，求出球的半径，即可求解球的体积．本题考查球与球的内接多面体关系，球的体积的求法，推出球的直径是解题的关键，考查计算能力．16.答案：13解析：本题主要考查圆锥曲线，可根据抛物线准线方程求出焦点的坐标，再根据三角形PAF的周长为PF+ FA+PA．因为抛物线方程为y2=8x，所以2p=8，p=4，所以该抛物线的焦点坐标为(p2,0)，则F(2,0)，该抛物线准线方程为x=−p2=−2，三角形PAF的周长为C=PF+ FA+PA因为．A(6,3)，F(2,0)，所以FA=√(6−2)2+(3−0)2=5，所以C=PF+PA+5．因为根据抛物线定义，P点到准线x=−2的距离等于PF，则若求周长C最小值，即求P点到准线r=−2的距离与P4长度之和的最小值，观察可知，当P点为过A点作y轴垂线与抛物线的交点时，P点到准线x=−2的距离加PA长度之和最小为6+2=8.所以周长最小值为8+5=13.故答案为13．17.答案：解：(1)由于从甲、乙两个理科班全部110人中随机抽取人为优秀的概率为311．∴两个班优秀的人数=311×110=30，∴乙班优秀的人数=30−10=20，甲班非优秀的人数=110−(10+20+30)=50．即可完成表格．优秀非优秀合计甲班105060乙班203050合计3080110(2)K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(c+a)(b+d)=110×(10×30−20×50)230×80×50×60≈7.486>6.635，因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为成绩与班级有关系．解析：本题考查了列联表、独立性检验．(1)由于从甲、乙两个理科班全部110人中随机抽取人为优秀的概率为311，可得两个班优秀的人数，乙班优秀的人数=30−10=20，甲班非优秀的人数=110−(10+20+30)=50.即可完成表格．(2)根据列联表中的数据可得：K2，和临界值表比对后即可得到答案．18.答案：解：(1)由余弦定理可得：2a−c=2bcosC=a2+b2−c22ab×2b，整理可得，a2+c2−b2=ac，cosB=a2+c2−b22ac =12，又，故，，所以；(2)由(1)得sinB=√32，所以asinA =csinC=bsinB=2，从而a=2sin A，c=2sin C．所以c−a=2sinC−2sinA=2sin(2π3−A)−2sinA=√3cosA−sinA=2sin(π3−A)．因为A+C=2π3，所以0<A<2π3，从而−π3<π3−A<π3，所以−√3<2sin(π3−A)<√3，故c−a的取值范围为(−√3,√3)．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式及辅助角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．(1)由已知结合余弦定理进行化简求解cos B，进而可求B，代入即可求解；(2)由已知结合正弦定理可表示c−a，然后结合和差角公式及正弦函数的性质即可求解．19.答案：证明：(1)∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F=BE，且D1F//BE，∴四边形BED1F是平行四边形，∴D1E//BF．∵D1E不在平面BGF内，BF⊂平面BGF，∴D1E//平面BGF．∵FG是△DAD1的中位线，∴FG//AD1．又AD1不在平面BGF内，FG⊂平面BGF，∴AD1//平面BGF．∵AD1∩D1E=D1，∴平面AD1E//平面BGF.(2)如图，连接BD，B1D1，∵底面是正方形，∴AC⊥BD．∵D1D⊥AC，D1D∩BD=D，∴AC⊥平面BDD1B1．∵D1E⊂平面BDD1B1，∴ D 1E ⊥AC.解析：(1)由于E ，F 分别是B 1B 和D 1D 的中点可证得D 1E//BF 再由线面平行的性质定理得到D 1E//平面BGF.同理证得FG//AD 1再由线面平行的性质定理得到AD 1//平面BGF ，再由面面平行的性质定理得到平面AD 1E//平面BGF.(2)由已知可证得AC ⊥平面BDD 1B 1.再由线面垂直的性质定理得到D 1E ⊥AC.20.答案：解：(1)f ′(x)=3x 2+2ax +4，因为f(x)在x =−2处取得极值，所以f ′(−2)=0， 解得a =4，当a =4时，f ′(x)=3x 2+8x +4，令f ′(x)=0，得x =−2 或x =−23， 当x <−2时，f ′(x)>0，f(x)在上单调递增，当−2<x <−23时，f ′(x)<0，f(x)在(−2,−23)上单调递减， 当x >−23时，f ′(x)>0，f(x)在上单调递增，所以 当a =4时，f(x)在x =−2取得极大值． (2)由(1)可列表得由表可知，在[−3,0]上，当x =−2时函数f(x)取得极大值f(−2)=1， 当x =−23时函数f(x)取得极小值f(−23)=−527， 又由于f(−3)=−2，f(0)=1，所以函数f(x)在[−3,0]上的最大值是1，最小值是−2．解析：本题考查函数的导数的综合应用，考查转化思想以及计算能力． (1)求出函数的导数，利用函数的极值点，列出方程即可求出a 的值；(2)利用导函数，判断函数的单调性，然后求解极值以及端点值，即可得到函数的最值．21.答案：解：(1)由2c =2得c =1，a 2=b 2+c 2=b 2+1，已知椭圆C ：x 2a+y 2b =1(a >b >0)过点(1,√22)，则1b 2+1+12b 2=1，解得：b 2=1，a 2=2， ∴椭圆的标准方程为：x 22+y 2=1；(2)由题意可知设直线l 的斜率为k ，直线l 的方程为y =k(x +2)， 联立方程{y =k(x +2)x 22+y 2=1, 整理得：(1+2k 2)x 2+8k 2x +8k 2−2=0，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，AB 的中点M(x 0,y 0)， 则x 1+x 2=−8k 21+2k 2，x 1x 2=8k 2−21+2k 2， 则y 1+y 2=k(x 1+2)+k(x 2+2)=4k1+2k 2， △=(8k 2)2−4(1+2k 2)(8k 2−2)>0， 解得：−√22<k <√22， 则x 0=−4k 21+2k 2，y 0=2k1+2k 2， 由|GA|=|GB|，则GM ⊥AB ，则k GM=y0+12x0=2k1+2k2+12−4k21+2k2=−1k，(k≠0)，解得：k=2−√22或k=2+√22(舍)，当k=0时，显然满足题意；∴直线l的方程为：y=2−√22(x+2)或y=0．解析：(1)由椭圆的性质，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；(2)将直线代入椭圆方程，由△>0，求得k的取值范围，由|GA|=|GB|，则GM⊥AB，根据直线的斜率公式，即可求得k的值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．22.答案：解：(Ⅰ)直线l的参数方程是{x=ty=t+1(t为参数)，转换为直角坐标方程为：x−y+1=0．转换为极坐标方程为：ρcosθ−ρsinθ+1=0．曲线C的参数方程是为参数)，转换为直角坐标方程为：(x−2)2+y2=4，转换为极坐标方程为：ρ=4cosθ．(Ⅱ)由于0<α<π2，所以|OP|=4cosα，，|OQ|=1sinα+cosα，所以S△OPQ=12|OP||OQ|=2cosαcosα+sinα=1，所以tanα=1，由于0<α<π2，故α=π4，所以|OP|=4cosπ4=2√2．解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；(Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：解：因为x+y+z=3xyz，所以1xy +1yz+1zx=3，又因为(xy+yz+zx)⋅(1xy +1yz+1zx)≥(1+1+1)2=9，所以xy+yz+zx≥3，当且仅当x=y=z=1时取等号，所以xy+yz+zx的最小值为3．解析：本题考查柯西不等式的应用，考查考生的运算求解能力以及等价转化思想．属中档题．利用柯西不等式求解即可．。

2020年上海市松江区高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共21小题，共150.0分）1.若复数，则A. 1B.C. 5D.2.已知向量，若，则实数A. 1B.C.D.3.已知，，若，则实数a的取值范围是A. B. C. D.4.已知椭圆分别过点和点，则该椭圆的焦距为A. B. 2 C. D.5.已知实数，，且，则行列式的A. 最小值是2B. 最小值是C. 最大值是2D. 最大值是6.““是“直线：和直线：平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.在直三棱柱中，已知，，，则异面直线与所成的角为A. B. C. D.8.样本中共有五个个体，其值分别是a，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的标准差是A. 1B. 2C. 4D.9.下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是A. B.C. D.10.给出以下四个命题：其中正确命题的个数是过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；依次首尾相接的四条线段必共面；空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；垂直于同一直线的两条直线必平行．A. 0B. 1C. 2D. 311.已知，在，，，，这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为A. B. C. D.12.下列命题中是假命题的是A. 对任意的，函数都不是奇函数B. 对任意的，函数都有零点C. 存在、，使得D. 不存在，使得幂函数在上单调递减13.函数的大致图象为A.B.C.D.14.如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为，山顶C的仰角为，，则两山顶A、C之间的距离为A. B. C. D.15.已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，，设数列的前n项和为，则A. 0B.C. 1D. 216.在中，已知，，的外接圆圆心为O，则A. 4B. 8C. 10D. 1617.已知函数，若函数的所有零点依次记为，，，，且，则A. B. C. D.18.设实系数一元二次方程在复数集C内的根为、，则由，可得类比上述方法：设实系数一元三次方程在复数集C内的根为，，，则的值为A. B. 0 C. 2 D. 419.已知函数关于点对称，若对任意的，恒成立，则实数k的取值范围为A. B. C. D.20.已知点在抛物线C：上，点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与抛物线C交于A、B两点，则直线PA与PB的斜率之积为A. B. 1 C. 2 D.21.若数列的每一项都是数列中的项，则称是的子数列．已知两个无穷数列、的各项均为正数，其中是各项和为的等比数列，且是的子数列，则满足条件的数列的个数为A. 0个B. 1个C. 2个D. 无穷多个-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：复数；；故选：B．先根据复数的除法对其化简，再代入模长计算公式即可．本题主要考查复数的有关概念，比较基础．2.答案：D解析：解：向量，，，，解得实数．故选：D．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：D解析：解：，，，．故选：D．根据即可得出，进而得出．本题考查了描述法的定义，分式不等式的解法，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．4.答案：C解析：解：有题意可得：，且，可得：，，，所以，所以焦距，故选：C．有题意将点的坐标代入椭圆的方程求出a，b再由a，b，c之间的关系求出c的值，再求焦距2c的值．本题考查椭圆的定义，a，b，c之间的关系，属于基础题5.答案：B解析：解：实数，，且，，当且仅当时，取等号，行列式的最小值是．故选：B．由实数，，且，得到，由此能求出行列式的最小值．本题考查行列式的最小值的求法，考查行列式展开法则和基本不等式的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：由，解得．经过验证，都满足条件．““是“直线：和直线：平行”的充分不必要条件．故选：A．由，解得k，即可判断出关系．本题考查了平行线与斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：C解析：【分析】本题考查异面直线所成的角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，是基础题．由题意画出图形，连接，，可知为异面直线与所成的角．然后求解三角形得答案．【解答】解：连接，，可知为异面直线与所成的角．为直角三角形，且，，，，得．即异面直线与所成的角为．故选：C．8.答案：D解析：解：数据a，1，2，3，4的平均数是，解得；所以该组数据的方差是，标准差是．故选：D．根据平均数求出a的值，再计算方差和标准差．本题考查了平均数和方差、标准差的计算问题，是基础题．9.答案：C解析：解：A：在定义域内内不单调，不符合题意；B：在定义域R上先减后增，不符合题意；C：在定义域R上单调递增，且，为奇函数，符合题意；D：因为为偶函数，不符合题意．故选：C．结合函数的奇偶性及单调性的定义分别检验各选项即可判断．本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础试题．10.答案：B解析：解：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；由平面的判定的应用直接得出．正确；依次首尾相接的四条线段必共面；错误，可以异面，故错误；空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；也可以是互补，故错误；垂直于同一直线的两条直线必平行．可以是异面直线，故错误．故选：B．直接利用线面的平行和垂直的判定和性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：立体几何中的线面之间的判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11.答案：B解析：解：因为，，，，，这7个数分别为：，，，，，，．4个奇数，3个偶数；从中任取两数共有：种；所取的两数之和为偶数的有：；所取的两数之和为偶数的概率为：．故选：B．先根据条件得到，，，，这7个数分别为：，，，，，，，4个奇数，3个偶数；进而求得其对应的概率．本题主要考察二项式系数的性质，以及概率的应用，属于基础题目．12.答案：A解析：解：对于选项A：当时，故函数为奇函数，故该命题为假命题．对于选项B：对任意的，函数的值域为R，所以无论a取任何大于0的数函数的图象都有交点，故该命题为真命题．对于选项C：当时，使得，故该命题为真命题．对于选项D：由于，所以函数在单调递增，故不存在，使得幂函数在上单调递减，所以故该命题为真命题．故选：A．直接利用函数的性质的应用，三角函数关系式的变换和赋值法的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的性质的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13.答案：C解析：解：根据题意，，有，则有，即函数的定义域为，又由，即函数为奇函数，排除A；又由当时，，则，排除BD；故选：C．根据题意，分析可得为奇函数，可以排除A，进而分析时，函数图象的变化趋势，排除BD，即可得答案．本题考查函数的图象变换，注意分析函数的奇偶性、特殊值，属于基础题．14.答案：C解析：解：，，，，，，；中，由余弦定理得：，所以；所以，即两山顶A，C之间的距离为．故选：C．由直角三角形的边角关系求出BE、DE，利用余弦定理求出BD，再计算AC的值．本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．15.答案：C解析：解：依题意，由，可得：，两式相减，可得：，，，，，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，．，则，则．故选：C．本题由，可得，两式相减，进一步转化计算可得，则数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即可计算出数列的通项公式，然后计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法计算出前n项和，最后计算出极限的值．本题主要考查数列求通项公式，运用裂项相消法求和，以及数列极限的计算．考查了转化与化归思想，等差数列的基础知识，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．16.答案：B解析：解：如图，取AC中点D，AB中点E，并连接OD，OE，则：，；，；．故选：B．可画出图形，并将O和AC中点D连接，O和AB中点E连接，从而得到，，根据数量积的计算公式及条件即可得出，，从而便可得出的值．本题主要考查三角形外心的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量减法的几何意义．17.答案：D解析：解：令得，，即的对称轴方程为，．的最小正周期为，，在上有5条对称轴，第一条是，最后一条是：；，关于对称，，关于对称，，，，，将以上各式相加得：．故选：D．求出的对称轴，根据的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案．本题考查了正弦函数的图象与性质，函数对称性的应用，属于中档题．18.答案：A解析：解：，由对应系数相等知：，，．故选：A．由，利用对应系数相等知，，再由，能求出结果．本题考查代数式的值的求法，考查类比推理等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：D解析：解：由为奇函数，可得其图象关于对称，可得的图象关于对称，函数关于点对称，可得，对任意的，恒成立，即在恒成立，所以，令，由，可得，设，当时，取得最大值11，则k的取值范围是，故选：D．运用的图象关于对称，求得，由题意可得在恒成立，所以，令，运用指数函数的单调性求得t的范围，设，求得其最大值，可得k的范围．本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和指数函数的单调性、二次函数的最值求法，考查运算求解能力，属于中档题．20.答案：C解析：解：由点在抛物线C：上，可得，，抛物线方程为：，由已知得，设点，，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，联立方程，消去x得：，，，因为点A，B在抛物线C上，所以，，，，，故选：C．把点P的坐标代入抛物线方程求出p的值，得到抛物线方程，设直线AB 的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合点A，B 在抛物线上化简，即可得到．本题主要考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，以及斜率公式，是中档题．21.答案：C解析：解：设，公比，则．对任意的都成立，故m是正奇数，又S 存在，所以．时，，此时，即，成立．当时，，此时，不是数列中的项，故不成立．时，，此时，，成立．当时，，由，得，得，又因为，所以，2，此时或，分别代入，得到不合题意，由此满足条件的数列只有两个，即，或，故选：C．由是的子数列，可设，，公比，又因为可得k，m 得关系，再有等比数列的通项公式得通过m取值代入不定方程检验求解，找出符合条件的数列有2个．本题根据新定义子数列，结合等比数列的公式，寻找符合条件的数列，属于探索性试题，方法思路不易，是道有难度试题．第11页，共11页。

高考数学一模试卷一二三总分题号得分一、选择题（本大题共4 小题，共20.0 分）1.若函数在区间（1，e）上存在零点，则常数a的取值范围为（）A. 0＜a＜1B. C. D.2.下列函数是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增的是（）A. B. f（x）=|x|-2cos xC. D. f（x）=10|lg x|3.已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a、b、c不可能满足的是（）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面4.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：，-π＜φ＜π，下列判断错误的是（）A. 当a＞0，b＞0 时，辅助角B. 当a＞0，b＜0 时，辅助角C. 当a＜0，b＞0 时，辅助角D. 当a＜0，b＜0 时，辅助角二、填空题（本大题共12 小题，共54.0 分）5.若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=______．6.已知，则λ=______．7.函数y=3x-1（x≤1）的反函数是______．8.2019 年女排世界杯共有12 支参赛球队，赛制采用12 支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有______场球赛．9.以抛物线y2=-6x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是______．10.在（1-x）5（1+x3）的展开式中，x3 的系数为______．（结果用数值表示）11.不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6 的解集是______．12.已知方程x2-kx+2=0（k∈R）的两个虚根为x、x，若|x-x|=2，则k=______．1 2 1 213.已知直线l过点（-1，0）且与直线2x-y=0 垂直，则圆x2+y2-4x+8y=0 与直线l相交所得的弦长为______．14.有一个空心钢球，质量为142g，测得外直径为5cm，则它的内直径是______cm（钢的密度为7.9g/cm3，精确到0.1cm）．15.已知{a}、{b}均是等差数列，c=a•b，若{c}前三项是7、9、9，则c=______．n n n n n n1016.已知a＞b＞0，那么，当代数式取最小值时，点P（a，b）的坐标为______．三、解答题（本大题共5 小题，共76.0 分）17.在直四棱柱ABCD-A B C D中，底面四边形ABCD是边长1 1 1 1为2 的菱形，∠BAD=60°，DD1=3，E是AB的中点．（1）求四棱锥C1-EBCD的体积；（2）求异面直线C1E和AD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18.已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若f（x）=a在区间上有两个解x、x，求a的取值范围及x+x的值．1 2 1 219.一家污水处理厂有A、B两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%．（1）A池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1 小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A、B两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定．（精确到1 小时）20.已知直线l：x=t（0＜t＜2）与椭圆象限，M是椭圆上一点．相交于A、B两点，其中A在第一（1）记F、F是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB过F，当M到F的距离与到直1 2 2 1线AB的距离相等时，求点M的横坐标；（2）若点M、A关于y轴对称，当△MAB的面积最大时，求直线MB的方程；（3）设直线MA和MB与x轴分别交于P、Q，证明：|OP|•|OQ|为定值．21.已知数列{a}满足a=1，a=e（e是自然对数的底数），且，令n 1 2b=ln a（n∈N*）．n n（1）证明：（2）证明：；是等比数列，且{b n}的通项公式是；（3）是否存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立？若存在，求t的取值范围，否则，说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：函数在区间（1，e）上为增函数，∵f（1）=ln1-1+a＜0，f（e）=ln e- +a＞0，可得＜a＜1故选：C．判断函数的单调性，利用零点判断定理求解即可．本题考查函数与方程的应用，函数的零点的判断，是基本知识的考查．2.【答案】A【解析】解：由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D错；A：f（-x）=log2（4-x+1）+x=log2+x=log （4x+1）-log 22x+x=log （4x+1）-x=f（x）；2 2 2f（x）=log2（4x+1）-x=log2号成立，故A正确；=log （2x+ ）≥log2=1，当且仅当2x= ，即x=0 时等2 2B：x＞0 时，f（x）=x-2cos x，令f′（x）=1-2sin x＞0，得x∈（0，2kπ+）∪（2kπ+，2kπ+2π）（k∈N*），故B不正确；C：x≠0时，x2+ ≥2，当且仅当x2= ，即x=±1时，等号成立，∴不满足在[0，+∞）上单调递增，故C不正确；故选：A．由偶函数的定义，及在[0，+∞）上单调即可求解；考查偶函数的定义，函数在特定区间上的单调性，属于低档题；3.【答案】B【解析】解：平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，所以直线a、b、c在三个平面内，不会是共面直线，所以：当直线两两平行时，a、b、c为共面直线．与已知条件整理出的结论不符．故选：B．直接利用直线和平面的位置关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：直线和平面之间的关系的应用，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题型．4.【答案】B【解析】解：因为cosφ=，sinφ=⇒tanφ=，对于A，因为a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限⇒0＜φ＜，因为＞0，φ=arctan＞0，故A选项正确；对于B，因为a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限⇒- ＜φ＜0；，故φ=π-arctan（- ）=π+arctan＞0，故B选项错误；对于C，因为a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限⇒⇒＜φ＜π；＜0，故φ═π-arctan（- ）=π+arctan＞0，故C选项正确；对于D，因为a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限⇒-π＜φ＜- ，＞0，故φ=arctan，又因为φ∈（-π，π]，故φ=arctan-π＜0，故D选项正确；故选：B．分别判断出a，b的值，对辅助角φ的影响．①a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限；②a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限；③a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限；④a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限．本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力；属于中档题．5.【答案】【解析】解：∵复数z满足z（1+i）=2i，∴（1-i）z（1+i）=2i（1-i），化为2z=2（i+1），∴z=1+i．∴|z|= ．故答案为：．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．6.【答案】3【解析】解：=（λ-4）+2λ=5，解之得λ=3，故答案为：3．由行列式的公式化简求解．本题考查行列式，属于基础题．7.【答案】y=1+log3x，x∈（0，1]【解析】解：y=3x-1（x≤1），y∈（0，1]，得x-1=log3y，x，y对换，得y=1+log3x，x∈（0，1]，故答案为：y=1+log3x，x∈（0，1]，利用反函数的求法，先反解x，再对换x，y，求出即可．本题考查了反函数的求法，属于基础题．8.【答案】66【解析】解：根据题意利用组合数得．故答案为：66．直接利用组合数的应用求出结果．本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9.【答案】（x+ ）2+y2=9【解析】解：抛物线y2=-6x的焦点坐标为：（- ，0）准线的方程为x= ，所以叫点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：故答案为：首先求出抛物线的交点坐标和准现方程，进一步求出圆的方程．．．本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】6【解析】解：（1-x）5•（1+x）3=（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3=（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6）∴展开式中x3 的系数为（-2）•（-3）=6．故答案为：6．把（1-x）5•（1+x）3 化为（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3，再化为（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6），由此求出展开式中x3 的系数．本题考查了二项式系数的性质与应用问题，解题时应根据多项式的运算法则合理地进行等价转化，是基础题目．11.【答案】（-4，+∞）【解析】解：不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6 转换为不等式|x2-x+2|＞x2-3x-6，由于函数y=x2-x+2 的图象在x轴上方，所以x2-x+2＞0 恒成立，所以x2-x+2＞x2-3x-6，整理得x＞-4，故不等式的解集为（-4，+∞）．故答案为（-4，+∞）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.【答案】±2【解析】解：∵方程程x2-kx+2=0 的两个虚根为x、x，1 2可设x=a+bi，x=a-bi（a，b∈R）．1 2∴x+x=2a=k，x x=a2+b2=2，1 2 1 2∵|x-x|=2，∴|2bi|=2，1 2联立解得：b=±1，a=±1．∴k=±2．故答案为：±2．由题意设x=a+bi，x=a-bi（a，b∈R），利用根与系数的关系结合|x-x|=2 求得a与b1 2 1 2的值，则k可求．本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：由题意可得，l的方程为x+2y+1=0，∵x2+y2-4x+8y=0 可化为（x-2）2+（y+4）2=20，圆心（2，-4），半径r=2 ，∴圆心（2，-4）到l的距离d= = ，∴AB=2 =2 =2 ．故答案为：2 ．先求出直线l的方程，再求出圆心C与半径r，计算圆心到直线l的距离d，由垂径定理求弦长|AB|．本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，是基础题．14.【答案】4.5【解析】解：设钢球的内半径为r，所以7.9××3.14×[- ]=142，解得r≈2.25．故内直径为4.5cm．故答案为：4.5．直接利用球的体积公式和物理中的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.【答案】-47【解析】解：设c=a•b=an2+bn+c，n n n则，解得∴c10=-1×102+5×10+3=-47，故答案为：-47．{a}、{b}均是等差数列，故{c}为二次函数，设c=an2+bn+c，根据前3 项，求出a，b n n n n，c的值，即可得到c10．本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】（2，）【解析】解：因为a＞b＞0：∴b（a-b）≤= ；所以≥a2+ ≥2=16．当且仅当，）．⇒时取等号，此时P（a，b）的坐标为：（2故答案为：（2 ，）．先根据基本不等式得到b（a-b）≤= ；再利用一次基本不等式即可求解．本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题型．17.【答案】解：（1）在直四棱柱ABCD-A B C D中，1 1 1 1∵底面四边形ABCD是边长为2 的菱形，∠BAD=60°，∴B到DC边的距离为，又E是AB的中点，∴BE=1，则．∵DD1=3，∴= ；（2）在直四棱柱ABCD-A B C D中，1 1 1 1∵AD∥B C，∴∠B C E即为异面直线C E和AD所成角，1 1 1 1 1连接B E，在△C B E中，B C=2，，1 1 1 1 1= ．∴cos∠B C E= ，1 1∴异面直线C1E和AD所成角的大小为arccos ．【解析】（1）求解三角形求出底面梯形BCDE的面积，再由棱锥体积公式求解；（2）在直四棱柱ABCD-A B C D中，由题意可得AD∥B C，则∠B C E即为异面直线1 1 1 1 1 1 1 1C1E和AD所成角，求解三角形得答案．本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18.【答案】解：（1）函数= == ．所以函数的最小正周期为，令（k∈Z），解得（k∈Z），所以函数的对称中心为（）（k∈Z）．（2）由于，所以，在区间上有两个解x、x，1 2所以函数时，函数的图象有两个交点，故a的范围为[0，）．由于函数的图象在区间 上关于 x = 对称，故．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正 弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数 a 的范围和 x +x 的值． 1 2本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（1）A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的 10%，剩余原来的 90%，设 A 池要用 t 小时才能把污物的量减少一半， 则 0.9x =0.5，可得 x = ≈7，则 A 池要用 7 小时才能把污物的量减少一半；（2）设 A 、B 两池同时工作，经过 x 小时后把两池水混合便符合环保规定， B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的 19%，剩余原来的 81%， 可得 =0.1，即 0.92x +0.9x -0.2=0， 可得 0.9x = 可得 x =， ≈17．则 A 、B 两池同时工作，经过 17 小时后把两池水混合便符合环保规定．【解析】（1）由题意可得 A 池每小时剩余原来的 90%，设 A 池要用 t 小时才能把污物 的量减少一半，则 0.9x =0.5，两边取对数，计算可得所求值； （2）设 A 、B 两池同时工作，经过 x 小时后把两池水混合便符合环保规定，B 池每小时 剩余原来的 81%，可得=0.1，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值．本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．20.【答案】解：（1）设 M （x ，y ），-2≤x ≤2，F 1（-过 F 2，），F 2（ ，0），直线 AB所以 t = 由题意得：=|x - |⇒y 2=-4 x ，联立椭圆方程： + =1⇒y 2=2- ，解得 x =-6+4 即 M 的横坐标是：-6+4 （2）设 A （t ，y ），B （t ，-y ），M （-t ，y ）， ，． 1 1 1则 S △MAB = 2t •|2y |=2t •|y |，而 A 在椭圆上，所以， + =1 1 1 ∴1≥2• ⇒ty 1≤ ，∴S △MAB ≤2 ，当且仅当 t = ，即 t = y 1 时取等号，∴t = ，这时 B （ ，-1），M （- ，1），所以直线 MB 方程：y =- x ；（3）设点A（t，y），B（t，-y），M（x，y），则直线MA：y= •（x-t）+y1，1 1 0 0所以P的坐标（同理直线MB：y= 所以|OP|•|OQ|=| 代入|OP|•|OQ|=|，0）（x-t）-y1，所以Q的坐标（|，又因为A，M在椭圆上，所以y2=2- t2，y2=2- x2，0）1 0 0 |=4，恒为定值．【解析】（1）由题意可得焦点F，F的坐标，进而可求出A的坐标，设M的坐标，1 2注意横坐标的范围[-2，2]，在椭圆上，又M到F1 的距离与到直线AB的距离相等，可求出M的横坐标；（2）M，A，B3 个点的位置关系，可设一个点坐标，写出其他两点的坐标，写出面积的表达式，根据均值不等式可求出横纵坐标的关系，又在椭圆上，进而求出具体的坐标，再求直线MB的方程；（3）设M，A的坐标，得出直线MA，MB的方程，进而求出两条直线与x轴的交点坐标，用M，A的坐标表示，而M，A又在椭圆上，进而求出结果．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难度题．21.【答案】（1）证明：由已知可得：a n＞1．∴ln a n+1+ln a n≥2，∴ln≥，∵，b=ln a（n∈N*）．n n∴ln a n+2≥，∴．（2）证明：设c n=b n+1-b n，∵，b=ln a（n∈N*）．∴= =n n= =- ．∴是等比数列，公比为- ．首项b-b=1．2 1∴b n+1-b n= ．∴b=b+（b-b）+（b-b）+……+（b-b）n 1 2 1 3 2 n n-1=0+1+ =+ +……+ = ．∴{b n}的通项公式是；（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．∴n=1 时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，∵= = =1- ．取得最小值，= ．当n=2 时，∴t≤．【解析】（1）由已知可得：a n＞1．利用基本不等式的性质可得：ln a n+1+ln a n≥2，可得ln ≥，代入化简即可得出．（2）设c n=b n+1-b n，由，b=ln a（n∈N*）．可得= =- ．即n n可证明是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．n=1 时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，利用单调性即可得出．本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等比数列的定义通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．高考数学三模试卷题号得分一 二 三 总分一、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）1. 关于三个不同平面 α，β，γ 与直线 l ，下列命题中的假命题是（ ）A. 若 α⊥β，则 α 内一定存在直线平行于 βB. 若 α 与 β 不垂直，则 α 内一定不存在直线垂直于 βC. 若 α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l ，则 l ⊥γD. 若 α⊥β，则 α 内所有直线垂直于 β2. 在一次化学测试中，高一某班 50 名学生成绩的平均分为 82 分，方差为 8.2，则下 列四个数中不可能是该班化学成绩的是（ ）A. 60B. 70C. 80D. 100 3. 已知双曲线 ： ，过点 作直线 ，使 与 有且仅有一个公共点，则满 足上述条件的直线 共有（）A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条4. 有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行 ，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（）种A. 48B. 72C. 78D. 84 二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分） 5. 若全集为实数集 R ，，则∁R M =______ 的准线方程为______． =0 的解为______ ． 的反函数 f -1（x ）=______ 6. 抛物线7. 关于 x 方程8. 函数 f （x ）=2sin x +1，9. 函数的图象相邻的两条对称轴之间的距离是______ ，则二项式（x -2a ）10 展开式的系数和是______10. 若 11. 某校要从 名男生和 名女生中选出 人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的 志愿者中,男、女都有的概率为______(结果用数值表示).12. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是______13.设实数x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则2a+3b的值为______14.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A、B两点，则线段AB的长是______15.定义在R上的偶函数f（x）对任意的x∈R有f（1+x）=f（1-x），且当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．若函数y=f（x）-log a x在（0，+∞）上有四个零点，则a的值为______ ．16.已知向量、满足三、解答题（本大题共5 小题，共60.0 分）17.如图，已知多面体ABC-A B C，A A，B B，C C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，，，则的取值范围是______1 1 1 1 1 1A A=4，C C=1，AB=BC=B B=2．1 1 1（1）证明：AB⊥平面A B C；1 1 1 1（2）求直线AC与平面ABB所成的角的正弦值．1 118. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sin A的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．19. 某单位有员工1000 名，平均每人每年创造利润10 万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后这x名员工他们平均每人创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000 名员工创造的年总利润，则最多调整多少名员工从事第三产业？（2）设x≤400，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求a的最大值．20. 如图，以椭圆=1（a＞1）的右焦点F为圆心，1-c为半径作圆F（其中c为2 2已知椭圆的半焦距），过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T．（1）若a= ，P为椭圆的右顶点，求切线长|PT|；（2）设圆F2 与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若|PT|≥（a-c）恒成立，且OA⊥OB．求：①c的取值范围；②直线l被圆F2 所截得弦长的最大值．21. 给定数列{a}，记该数列前i项a，a，…，a中的最大项为A，即A=max{a，an 1 2 i i i 1 2，…，a}；该数列后n-i项a，a，…，a中的最小项为B，即B=min{a，ai i+1 i+2 n i i i+1 i+2，…，a}；d=A-B（i=1，2，3，…，n-1）n i i i（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d，d，d；1 2 3（2）若S是数列{a}的前n项和，且对任意n∈N*，有，n n其中λ为实数，λ＞0 且．①设，证明数列{b n}是等比数列；②若数列{a}对应的d满足d＞d对任意的正整数i=1，2，3，…，n-2 恒成立，n i i+1 i求实数λ的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：对于A，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故A正确；对于B，假设α内存在直线a垂直于β，则α⊥β，与题设矛盾，故假设错误，故B正确；对于C，设α∩γ=c，β∩γ=d，在γ内任取一点P，作PM⊥c于点M，PN⊥d于点N则PM⊥α，PN⊥β，且PM、PN不可能共线．又l⊂α，l⊂β，∴PM⊥l，PN⊥l．又PM∩PN=P，PM⊂γ，PN⊂γ，∴l⊥γ．故C正确．对于D，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故D错误．故选：D．根据空间线面位置关系的判定和性质判断或距离说明．本题主要考查了直线与平面位置关系的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．2.【答案】A【解析】解：高一某班50 名学生成绩的平均分为82 分，方差为8.2，根据平均数、方差的意义，可知60 分不可能是该班化学成绩．故选A．根据平均数、方差的意义，可知结论．本题考查平均数、方差的意义，比较基础．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生数形结合和转化和化归的思想的运用，属于一般题.先确定双曲线的右顶点，进而根据图形可推断出当l垂直x轴时与C相切，与x轴不垂直且与C相切，与渐近线平行且与C较与1 点（两种情况）满足l与C有且只有一个公共点．【解答】解：根据双曲线方程可知a=1，①当直线l斜率不存在时，直线l方程为：x=1，满足与曲线C只有一个公共点；②当直线l斜率存在时，设直线l方程为：y-1=k(x-1),即：y=k(x-1)+1，联立,整理可得：，当,即k= 时，此时方程有且仅有一个实数根，∴直线l: 与曲线C有且仅有一个公共点，当时，,解得：∴直线l: ,与曲线C有且仅有一个公共点，综上所述：满足条件的直线l有4 条．故选：D.4.【答案】A【解析】解：将五个球排成一行共有种不同的排法，当两个红色球相邻共有当两个黄色球相邻共有种不同的排法，种不同的排法，当两个黄色球、两个红色球分别相邻共有种不同的排法，则将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有- - +=120-48-48+24=48（种），故选：A．由排列组合及简单的计数问题得：将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有- - + =48（种），得解．本题考查了排列组合及简单的计数问题，属中档题．5.【答案】【解析】解：∵∴；．故答案为：．可以求出集合M，然后进行补集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，对数函数的单调性及对数函数的定义域，以及补集的运算．6.【答案】y=1【解析】解：由，得x2=-4y，∴2p=4，即p=2，则抛物线的准线方程为y= =1．故答案为：y=1．化抛物线方程为标准式，求得p，则直线方程可求．本题考查抛物线的简单性质，是基础题．7.【答案】x= 或x= ，k∈Z【解析】解：由=0，得4sin x cosx-1=0，即sin2x= ．∴2x= 则x= 或x=或x=，，k∈Z．或x=故答案为：x= ，k∈Z．由已知可得sin2x= ．求出2x的值，则原方程的解可求．本题考查二阶矩阵的应用，考查了三角函数值的求法，是基础题．8.【答案】，x∈[1，3]【解析】解：由y=2sin x+1，得sin x=，∴x=把x与y互换，可得f-1（x）=故答案为：，x∈[1，3]．，∵，，x∈[1，3]．由已知利用反正弦求得x，把x与y互换得答案．本题考查三角函数的反函数的求法，注意原函数的定义域是关键，是基础题．9.【答案】【解析】解：=（sin x+cos x）cos x== ，所以f（x）的周期T= ，所以f（x）的图象相邻的两条对称轴之间的距离为，故答案为：．化简f（x），然后根据f（x）图象相邻的两条对称轴之间的距离为即可得到结果．本题考查了三角函数的图象与性质，属基础题．10.【答案】1024【解析】解：由，知a≠1，∴= == ，∴a= ，∴（x-2a）10=（x+1）10，∴其展开式系数之和为C100+C101+C102+…+C1010=210=1024，故答案为：1024．根据数列的极限求出a的值，然后代入二项式（x-2a）10 中求其展开式的系数和即可．本题考查了数列的极限和二项式展开式系数和的求法，属基础题．11.【答案】【解析】【分析】本题考查等可能事件的概率计算，在求选出的志愿者中，男、女生都有的情况数目时，可以先求出只有男生、女生的数目，进而由排除法求得．根据题意，首先计算从2 名男生和4 名女生中选出4 人数目，再分析选出的4 人中只有男生、女生的数目，由排除法可得男、女生都有的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，从2 名男生和4 名女生中选出4 人，有C64=15 种取法，其中全部为女生的有C44=1 种情况，没有全部为男生的情况，则选出的4 名志愿者中，男、女生都有的情况有15-1=14 种，则其概率为.故答案为.12.【答案】【解析】解：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），= ，其底面积：S= ×2×1+高h=3，故棱锥的体积V= = ，故答案为：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），代入锥体体积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，难度中档．13.【答案】1【解析】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=- x+，∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率- ＜0，作出不等式对应的平面区域如图：平移直线得y=- x+ ，由图象可知当直线y=- x+经过点B时，直线y=- x+ 的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（4，6），此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，即4a+6b=2，即2a+3b=1，故答案为：1．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，即可得到结论．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．14.【答案】【解析】解：由得x2+ =1，将代入到x2+ =1 并整理得：t2+4t=0，设A，B对应的参数为t，t，1 2则t=0，t=- ，1 2∴|t-t|=1 2故答案为：．联立直线的参数方程与曲线C的普通方程，利用参数的几何意义可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．15.【答案】【解析】【分析】由已知中f（x+1）=f（1-x），故可能函数是以2 为周期的周期函数，又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，结合当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．我们易得函数f（x）的图象，最后利用图象研究零点问题即可．本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，函数的周期性，考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化与数形结合的数学思想，属于中档题．【解答】解：由函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=f（1-x）成立，可得f（x+2）=f（-x）=f（x），∴函数f（x）是定义在R上的周期为2 的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．函数y=f（x）-log x在（0，+∞）上的零点个数等于函数y=f（x）和函数y=log x的图象a a在（0，+∞）上的交点个数，如图所示：当y=log x的图象过点A（4，-1）时，函数y=f（x）-log x在（0，+∞）上有四个零点，a a∴-1=log a4，∴a= ．故答案为：．16.【答案】【解析】解：向量、满足，，由题意可设，=（0，1）、=（x，y）；、满足则：+ =（x，1+y）；- =（-x，1-y）；，，且x2+y2=4；则= +转换成所求为点（x．y）到（0，-1）与点（0，1）的距离之和大小，且（x，y）可看成在x2+y2=4 表示的圆周上的点；由数形结合法知即：当（x，y）在（2，0）或（-2，0）时，则值最小为3+1=4；当（x，y）在（0，2）或（0，-2）时，则值最大为2 =2 ；则的取值范围是故答案为：．利用设向量、的坐标表示法，利用向量模长转换成函数求最值，利用数形结合法求转换后的最值即可．本题考查了向量模长应用的问题，采用数形结合法，分类讨论解题时应根据平面向量的线性运算法则进行化简．．17.【答案】（1）证明：由余弦定理得，所以，∵A A⊥平面ABC，B B⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，1 1∴AA∥BB，AB⊥BB，1 1 1∵AA=4，BB=2，AB=2，1 1∴A B= =2 ，1 1又AB1= =2 ，∴，∴AB⊥A B，1 1 1, ,即即AB⊥B C，1 1 1又A B∩B C=B，A B，B C平面A B C，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1∴AB⊥平面A B C．1 1 1 1（2）解：取AC中点O，过O作平面ABC的垂线OD，交A C于D，1 1∵AB=BC，∴OB⊥OC，以O为原点，以OB，OC，OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则A（0，- ，0），B（1，0，0），B（1，0，2），C（0，，1），1 1∴=（1，，0），=（0，0，2），=（0，2 ，1），设平面ABB1 的法向量为=（x，y，z），则，∴，令y=1 可得=（- ，1，0），∴cos = = = ．设直线AC与平面ABB所成的角为θ，则sinθ=|cos|= ．1 1∴直线AC与平面ABB所成的角的正弦值为．1 1【解析】本题主要考查了线面垂直的判定定理，线面角的计算与空间向量的应用，考查计算能力与空间想象能力，属于中档题．（1）利用勾股定理的逆定理证明AB⊥A B，AB⊥B C，从而可得AB⊥平面A B C；1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （2）以AC的中点为坐标原点建立空间坐标系，求出平面ABB1 的法向量，计算与的夹角即可得出线面角的正弦值．18.【答案】解：（1）由题意可得=cos[（A-B）+B]=cos A=∴sin A= = ；（2）由正弦定理可得∴sin B= = ，∵a＞b，∴A＞B，∴B= ，由余弦定理可得解得c=1，或c=-7（舍去），故向量方向上的投影为=cos（A-B）cos B-sin（A-B）sin B，，== ，在cos B=c cos B=1×= ．【解析】（1）由数量积的坐标表示和涉及函数的公式可得=cos A= ，由同角三角函数的基本关系可得sin A；（2）由正弦定理可得sin B=，由余弦定理可得c值，由投影的定义可得．，结合大边对大角可得B值本题考查平面向量的数量积和两角和与差的三角函数公式，属中档题．19.【答案】解：（1）由题意得：10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，即x2-500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500 名员工从事第三产业．（2）由题意得：10x（a- ）≤10（1000-x）（1+0.2x%），即ax≤+1000+x，因为x＞0，所以a≤在（0，400]恒成立，令f（x）= ，则f（x）= ≥2×2+1=5，当仅当时取等，此时x=500，但因为x≤400，且函数f（x）= 在（0，500）上单调递减，所以x=400 时，f（x）取最小值为f（400）= ，所以a最大值为．【解析】本题考查函数的实际应用，涉及不等式、函数基本性质等知识点，属于中档题．（1）根据题意列出不等式10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，求出解集即可；（2）根据题意可列10x（a- ）≤10（1000-x）（1+0.2x%），化成a≤在（0，400]恒成立，构造函数令f（x）= 20.【答案】解：（1）由a= ，得c= ，则当P为椭圆的右顶点时|PF2|=a-c= ，故此时的切线长|PT|=，利用对勾函数性质求出最值即可．；（2）①当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，而|PF| =a-c，2 min由|PT|≥（a-c）恒成立，得≥（a-c），解得≤c＜1；②由题意Q点的坐标为（1，0），则直线l的方程为y=k（x-1），代入，得（a2k2+1）x2-2a2k2x+a2k2-a2=0，设A（x，y），B（x，y），1 12 2则有可得，，= ，又OA⊥OB，则=0，得k=a．可得直线l的方程为ax-y-a=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离d= ，半径r=1-c，则直线l被圆F2 所截得弦长为L=2设1-c=t，则0＜t≤，= ，又= ，∴当t= 时，的最小值为，。

普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）5、已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x fx f 的反函数6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 学.科.网8、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________9、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是____________11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为.12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是.13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A Λ的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P落在第一象限的概率是. 二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ） （A ）θρcos 56+= （B ）θρin s 56+= （C ）θρcos 56-= （D ）θρin s 56-=17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（ ）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a（C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题 学科.网三、解答题（74分）19.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，»AC 长为23π，¼11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。

2020年上海高考仿真模拟卷数学 2020.4满分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{}11M =-，，11242x N xx +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M N =I __ ． 2.已知复数z 在复平面内对应点是()12-，，i 为虚数单位，则21z z +=-__ ． 3. 一个袋子里装有大小相同的黑球和白球共6个， 已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球概率是23，则从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球概率是__ ． 4. 已知直线1l ：10ax y ++=与直线2l ：()210x a y +-+=，则12l l ⊥的充要条件是__ ．5.设n 的二项展开式中各项系数之和为M ，二项式之和为N ，若2960M N -=；则二项展开式中xy 的系数是__ ．6.已知函数()()sin 01f x x x π=<<，若a b ¹，且()()f a f b =，则41a b+的最小值为__ ．7.设函数()f x 与函数()tan arcsin g x x x =+有相同的奇偶性和单调性，若112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则不等式0(1)1f x ≤-≤的解集为__ ．8. 当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤--≤≥⎧⎪⎨⎪⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是__ ．9. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>倍，A ，B 为左，右顶点，点P 为双曲线C 在第一象限的任意一点，点O 为坐标原点，若直线PA ，PB ，PO 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，记123m k k k =，则m 的取值范围为__ ．10.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1l ：y mx =与曲线3()2f x x x =+从左至右依次交于A 、B 、C 三点，若直线2l ：2y kx =+上存在P 满足1PA PC +=u u u v u u u v，则实数k 的取值范围是__ ．11.已知函数()3sin 4cos f x x x =+，[]12,0,x x ∈π，则()()12f x f x -的最大值是__ ．12.设函数()21,212x x f x =-+数列{}n a 是公差为2的等差数列，且满足()()()122019 ...0,f a f a f a +++=则10091011a a =__ ．二、 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题： ①若m αβ=I ，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥；②若m α⊥，m β⊥，则//αβ； ③若//m n ，m α⊂，//αβ，则βn//；④若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ 其中正确的是（ ） A ．①②B ．③④C ．①④D ．②④14. 已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（ ）A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>15. 在直角坐标系中，如果相异两点()(),,,A a b B a b --都在函数()y f x =的图像上，那么称,A B 为函数()y f x =的一对关于原点成中心对称的点(,A B 与,B A 为同一对).函数()7,02log ,0cos x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩的图像上关于原点成中心对称的点有( ) A ．1对B ．3对C ．5对D ．7对16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知,n n A B 是圆222x y n +=上两个动点，且满足()2*2n n n OA OB n N ⋅=-∈u u u u v u u u u v ，设,n n A B 到直线()310x y n n +++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S m <恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题（本大题74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知四棱锥P ABCD -的正视图是一个底边长为4腰长为3的等腰三角形，图1、图2分别是四棱锥P ABCD -的侧视图和俯视图.（1）求PA 与底面ABCD 所成角的大小； （2）求四棱锥P ABCD -的体积及侧面积.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设函数()12f x x ax =-++ （1）若1a =，解不等式()5f x <；（2）若()f x 有最小值，且关于x 的方程()221f x x x =-++有两个不等实数根，求a 的取值范围.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为6（单位：10m ），游客在乘坐舱P 升到上半空鸟瞰伦敦建筑BC ，伦敦眼与建筑之间的距离AB 为12（单位：10m ），游客在乘坐舱P 看建筑BC 的视角为θ.（1）当乘坐舱P 在伦敦眼的最高点D 时，视角30θ=︒，求建筑BC 的高度； （2）当游客在乘坐舱P 看建筑BC 的视角θ为45︒时，拍摄效果最好.若在伦敦眼上可以拍摄到效果最好的照片，求建筑BC 的最低高度.（说明：为了便于计算，数据与实际距离有误差，伦敦眼的实际高度为135m ） 20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分， 第3小题满分6分．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点分别是1F 、2F ，且椭圆上一动点M到2F 21，21，过2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当1F AB ∆以1F AB ∠为直角时，求直线AB 的方程；（3）直线l 的斜率存在且不为0时，试问x 轴上是否存在一点P 使得OPA OPB ∠=∠，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分， 第3小题满分8分．数列{}{},n n a b 分别满足：111,2+=-=n n a a a ，其中111,2+=-=n nb b b ，其中n *∈N ，设数列{}{},n n a b 前n 项和分别为,n n S T .（1）若数列{}{},n n a b 为递增数列，求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足：存在唯一的正整数k （2k ≥），使得1k k c c -<，则称{}n c 为“k 坠点数列”（Ⅰ）若数列{}n a 为“6坠点数列"，求n S ；（Ⅱ）若数列{}n b 为“5坠点数列”，是否存在“p 坠点数列”{}n a ，使得1m m S T +=，若存在，求正整数m 的最大值；若不存在，说明理由.2020年上海高考仿真模拟卷数学 2020.4满分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{}11M =-，，11242x N xx +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M N =I __ ． 【解析】11242x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，{}112222{|112,}x x x x x x Z -+=<<∈=-<+<∈=Z ， {|21,}{1,0}x x x Z -<<∈=-，所以M N =I }1{-．2.已知复数z 在复平面内对应点是()12-，，i 为虚数单位，则21z z +=-__ ． 【解析】依题意12z i =-，故原式()()()()32232463122242i i i i i i i i --+====+--. 3. 一个袋子里装有大小相同的黑球和白球共6个， 已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球概率是23，则从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球概率是__ ． 【解析】由题意可知黑球和白球分别有4个，2个，从袋中任意摸出2个球，所有的取法共有2615C =种，而取出的两个球均为白球的取法有221C =种，取出的两个球只有一个白球的取法有11248C C =种，所以至少得到1个白球概率为183155P +==.所以答案应填：35． 4. 已知直线1l ：10ax y ++=与直线2l ：()210x a y +-+=，则12l l ⊥的充要条件是__ ．【解析】因为直线1l ：10ax y ++=与直线2l ：()210x a y +-+=，且12l l ⊥， 所以()1120a a ⨯+⨯-=，即1a =；当1a =时，直线1l ：10x y ++=与直线2l ：10x y -+=，很显然垂直；所以12l l ⊥的充要条件是1a =. 故答案为：1a =.5.设n 的二项展开式中各项系数之和为M ，二项式之和为N ，若2960M N -=；则二项展开式中xy 的系数是__ ．【解析】根据题意令1x y ==，则4n M =，∵2,n n =∴2429605n n M N n -=-=⇒=；设n 的二项展开式的通项公式为1553322155(3)3k k k k kkk k T C xy C xy --+==；令51,1332k k k -==⇒=，∴xy 的系数是3353270C =． 6.已知函数()()sin 01f x x x π=<<，若a b ¹，且()()f a f b =，则41a b+的最小值为__ ．【解析】由条件知函数()()sin 01f x x x π=<<，()()f a f b =，则两者是轴对称的关系，故得到1a b a b πππ+=⇒+= ，41414()()5549.b aa b a b a b a b+=++=++≥+= 等号成立的条件为：4,2.b aa b a b== 故答案为9. 7.设函数()f x 与函数()tan arcsin g x x x =+有相同的奇偶性和单调性，若112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则不等式0(1)1f x ≤-≤的解集为__ ．【解析】∵[1,1]x ∈-且()tan arcsin g x x x =+，∴()()g x g x -=-，∴函数()g x 是奇函数，∵tan y x =与arcsin y x =在区间[1,1]-上是增函数，∴()g x 在区间[1,1]-上是增函数， ∴()f x 在[1,1]-上的奇函数且在区间[1,1]-上是增函数，∵112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 又∵(0)0f =，∴1(0)(1)2f f x f ⎛⎫≤-≤⎪⎝⎭，又∵()f x 在区间[1,1]-上是增函数， ∴1012x ≤-≤，即312x ≤≤，∴所求不等式的解集为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.8. 当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤--≤≥⎧⎪⎨⎪⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是__ ．【解析】作出不等式组表示的区域如下图所示的阴影部分区域， 由图可知：不等式14ax y ≤+≤在阴影部分区域恒成立，令z ax y =+可知0a ≥，因为当0a ≥，且当1,0x y ==时，00z ax y a a =+=+=<不能使得14ax y ≤+≤恒成立；由0a ≥得z ax y =+在点()1,0处取得最小值，即min z ax y a =+=，在点()2,1处取得最大值，即max 21z ax y a =+=+，所以有1214a a ≥⎧⎨+≤⎩解得312a ≤≤．9. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距是实轴长的3倍，A ，B 为左，右顶点，点P 为双曲线C 在第一象限的任意一点，点O 为坐标原点，若直线PA ，PB ，PO 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，记123m k k k =，则m 的取值范围为__ ．【解析】双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距是实轴长的3倍，所以23,22c cb a a a===，双曲线的渐近线方程为2y x =±，所以302k <<， (),P x y 为双曲线C 在第一象限的任意一点，22221x y a b-=，212222y y y k k x a x a x a=⋅==+-- ()1230,22m k k k =∈.故答案为：()0,2210.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1l ：y mx =与曲线3()2f x x x =+从左至右依次交于A 、B 、C 三点，若直线2l ：2y kx =+上存在P 满足1PA PC +=u u u v u u u v，则实数k 的取值范围是__ ．【解析】因为曲线()32f x x x =+及直线1l ：y mx =的图像都关于原点对称，所以B为原点，且B 为AC 中点，所以2PA PC PB u u u r u u u r u u u r+= ，因为直线2l ：2y kx =+上存在P满足1PA PC +=u u u v u u u v ，即21PB =u u u r ，所以直线上存在点到原点的距离为12，得12≤，解得k ≤k ≥ 11.已知函数()3sin 4cos f x x x =+，[]12,0,x x ∈π，则()()12f x f x -的最大值是__ ．【解析】由题意可得：()()343sin 4cos 5sin cos 5sin 55f x x x x x x ϕ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=，且0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．由[0,]x π∈，[,]x ϕϕπϕ+∈+，3,2ππϕπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， 4()5sin()5sin 545min f x πϕϕ∴=+=-=-⨯=-，()5sin 52max f x π==， 当12,[0,]x x π∈时，()()()12()5)49(max min f x f x f x f x -=-=--=．故答案为：912.设函数()21,212x x f x =-+数列{}n a 是公差为2的等差数列，且满足()()()122019 ...0,f a f a f a +++=则10091011a a =__ ．【解析】由题得，()2111212221x x xf x =-=-++是单调递增函数，则复合函数()f x C +（其中为任意常数）也单调递增.设()()()()()210092()221009g x f x f x f x f x f x =-⨯++-++++++⨯L L ，则()g x 为单调递增函数.又{}n a 是公差为2的等差数列，则()()()()()101010101010101010101010210092()221009g a f a f a f a f a f a =-⨯++-++++++⨯L L ，整理得()()()()1010122019...0g a f a f a f a =+++=，那么1010a 是函数()0g x =的唯一零点.而()()()()()210092100922()g x f x f x f x f x f x =-⨯++⨯++-+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L ，又()()212121102122122121x x x x x x x f x f x --=+--+-=-+=++++，则()()()()()0210092100922(0)0g f f f f f =-⨯+⨯++-++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L 由1010a 是()0g x =的唯一零点，可知10100a =，可得()1009101122 4.a a =-⨯=- 故答案为：4-二、 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题： ①若m αβ=I ，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥；②若m α⊥，m β⊥，则//αβ； ③若//m n ，m α⊂，//αβ，则βn//；④若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ 其中正确的是（ ） A ．①②B ．③④C ．①④D ．②④【解析】对于①，若m αβ=I ，n ⊂α，n m ⊥，α，β两平面相交，但不一定垂直，故①错误；对于②，若m α⊥，m β⊥，则//αβ，故②正确；对于③，若//m n ，m α⊂，//αβ，当n β⊂，则n 与β不平行，故③错误； 对于④，若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥，故④正确； 故选：D14. 已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（ ）A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>【解析】由题意，根据平均数的计算公式，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x L ， 则()()()()()2222212481757070706070907050x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦L ()()()2221248170707050050x x x L ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦， ()()()()()222222124817070708070707050s x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦L ()()()222124817070701007550x x x ⎡⎤=-+-++-+<⎣⎦L ，故275s <．选A ． 15. 在直角坐标系中，如果相异两点()(),,,A a b B a b --都在函数()y f x =的图像上，那么称,A B 为函数()y f x =的一对关于原点成中心对称的点(,A B 与,B A 为同一对).函数()7,02log ,0cos x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩的图像上关于原点成中心对称的点有 ( ) A ．1对B ．3对C ．5对D ．7对【解析】因为7log ,0y x x =>关于原点对称的函数解析式为()7log ,0y x x =--<，所以函数()7,02log ,0cos x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩的图像上关于原点成中心对称的点的组数， 就是cos,02y x x π=≤与为()7y log ,0x x =--<图像交点个数，同一坐标系内，画出y cos,02x x π=≤与()7log ,0y x x =--<图像，如图，由图像可知，两个图像的交点个数有5个，7,0()2log ,0cos x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩的图像上关于原点成中心对称的点有5组，故选C.16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知,n n A B 是圆222x y n +=上两个动点，且满足()2*2n n n OA OB n N ⋅=-∈u u u u v u u u u v ，设,n n A B到直线()10x n n ++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S m <恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由22n n n OA OB ⋅=-u u u u v u u u u v ，得2cos 2n n n n n A OB ⋅⋅∠=-，120n n A OB ∴∠=o.设线段n n A B 的中点n C ，则2n n OC =，n C ∴在圆2224n x y +=上，n n A B到直线()10x n n ++=的距离之和等于点n C 到该直线的距离的两倍，点n C 到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，而圆2224n x y +=的圆心(0,0)到直线()10x n n ++=的距离为()12n n d +==，()212222n n n n a n n+⎡⎤∴=+=+⎢⎥⎣⎦，211111222n a n n n n ⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭，1231111n n S a a a a ∴=+++⋅⋅⋅+=1111111112324352n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11113122124n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭.34m ∴≥.故选：B. 三、解答题（本大题74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知四棱锥P ABCD -的正视图是一个底边长为4腰长为3的等腰三角形，图1、图2分别是四棱锥P ABCD -的侧视图和俯视图.（1）求PA 与底面ABCD 所成角的大小； （2）求四棱锥P ABCD -的体积及侧面积.【解析】（1）如图所示：取AB 的中点E ，连接PE ， 则PE ⊥平面ABCD ，连接AE ，则PAE ∠是PA 与底面ABCD 所成角；在等腰 三角形PCD 中，3,2PC PD DE EC ====， ∴5PE =，又22AE =，∴510tan 422PAE ∠==;∴PA 与底面ABCD 所成角为10arctan（2）∵PE ⊥平面ABCD ，在Rt PAE V 中，由,,⊥⊥⋂=AD PE AD DC PE DC E ；所以AD ⊥平面PDC ，又PC ⊂平面PCD ，所以AD PC ⊥.依题意，在等腰三角形PCD 中，3,2PC PD DE EC ====，在Rt PED V 中，225PE PD DE =-=，∴四棱锥P ABCD -的体积为18542533V =⨯⨯⨯=. 过E 作EF AB ⊥，垂足为F ，连接PF ，∵PE ⊥平面ABCD ，AB Ì平面ABCD ，∴AB PE ⊥.∵EF ⊂平面PEF ，PE ⊂平面PEF ，EF PE E ⋂=， ∴AB ⊥平面PEF .∵PF ⊂平面PEF ，∴AB PF ⊥.依题意得2EF AD ==.在Rt PEF △中，223PF PE EF =+=，∴PAB △的面积为162S AB PF =⋅⋅=.,,PAD PBC PCD V V V 的面积分别为3,3,25，所以侧面积的大小为633251225+++=+.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设函数()12f x x ax =-++ （1）若1a =，解不等式()5f x <；（2）若()f x 有最小值，且关于x 的方程()221f x x x =-++有两个不等实数根，求a的取值范围.【解析】（1）当1a =时，()12f x x x =-++， 当1x ≤时，()5f x <即为125x x -++<，即35<恒成立；当1x >时，()5f x <即为125x x -++<，即24x <，解得2x <，此时12x <<；综上，不等式的解集为(,2)-∞；（2）(1)1,1()(1)3,1a x x f x a x x ++≥⎧=⎨-+<⎩，要使()f x 有最小值，则1010a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得11a -≤≤，方程2()21f x x x =-++即为21221x ax x x -++=-++，显然0x =不是方程的根，故21,[1,)21123,(,0)(0,1)x x x x x a x x x x -∈+∞⎧-+---⎪==⎨--+∈-∞⋃⎪⎩， 令 1,[1,)()23,(,0)(0,1)x x g x x x x -∈+∞⎧⎪=⎨--+∈-∞⋃⎪⎩， 当0x <时，223()32230x x x x--+=-++≥+>- 作出()g x 的图像如下，结合11a -≤≤及函数图像可知，要使方程()221f x x x =-++有两个不等实数根，则[1,0)a ∈-．19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为6（单位：10m ），游客在乘坐舱P 升到上半空鸟瞰伦敦建筑BC ，伦敦眼与建筑之间的距离AB 为12（单位：10m ），游客在乘坐舱P 看建筑BC 的视角为θ.（1）当乘坐舱P 在伦敦眼的最高点D 时，视角30θ=︒，求建筑BC 的高度； （2）当游客在乘坐舱P 看建筑BC 的视角θ为45︒时，拍摄效果最好.若在伦敦眼上可以拍摄到效果最好的照片，求建筑BC 的最低高度.（说明：为了便于计算，数据与实际距离有误差，伦敦眼的实际高度为135m ） 【解析】（1）当乘坐舱P 在伦敦眼的最高点D 时，30BDC θ∠==︒，此时12AD AB ==，即45ABD ∠=︒，所以105BCD ∠=︒.在等腰三角形ABD 中，122BD =.由正弦定理得sin105sin 30BD BC =︒︒，所以12212312622BC ==-+⨯. 所以建筑BC 的高度为12312-（单位：10m ）.（2）设建筑BC 的高度为h （单位：10m ），建立如图所示的直角坐标系，圆22:(6)36M x y +-=，由正弦定理可知2sin 45h R =︒，所以R =，即PBC ∆的外接圆的半径为R =. 由图可知PBC ∆的外接圆的圆心坐标为12,22h h ⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以点P 在圆222:12,12222h h h N x y x ⎛⎫⎛⎫-++-=≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，而点P 又在圆22:(6)36M x y +-=上，所以66≤≤+，解得24(324(377h -+≤≤.答：建筑BC 10m ）时，可以拍摄到效果最好的照片.20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分， 第3小题满分6分．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点分别是1F 、2F ，且椭圆上一动点M到2F 1，1，过2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当1F AB ∆以1F AB ∠为直角时，求直线AB 的方程；（3）直线l 的斜率存在且不为0时，试问x 轴上是否存在一点P 使得OPA OPB ∠=∠，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意，椭圆C 上一动点M 到2F 的最近距离为1，最远距离为1，可得22211a c a a c b c ⎧⎪⎪+=⎨⎪=+-=⎩⎪，解得11a cb ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）由题意可知，当k 不存在时，1F AB ∆不符合题意. 设直线AB l ：()1y k x =-，则1AF l ：()11y x k=-+， ∴()()111y k x y x k ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩，得()2211k x k +=-，∴22212,11k k A k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ ∴()()()222222218211k k kk-+=++，427610k k --=，∴21k =，直线AB 的方程为1y x =-+或1y x =-.（3）设(),0P m ，()11,A x y ，()22,B x y ，AB l ：()1y k x =-，()22122y k x x y ⎧=-⎨+=⎩∴()2222124220k xk x k +-+-=∴2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+， ∵11AP y k x m =-，22BP y k x m =-，所以()()()()1221120AP BP y x m y x m k k x m x m -+-+==--， ∴()1221120y x y x m y y +-+=，∴()()1212220kx x k mk x x km -+++=， ∴24km k =，2m =，∴()2,0P .21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分， 第3小题满分8分．数列{}{},n n a b 分别满足：111,2+=-=n n a a a ，其中111,2+=-=n nb b b ，其中n *∈N ，设数列{}{},n n a b 前n 项和分别为,n n S T .（1）若数列{}{},n n a b 为递增数列，求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足：存在唯一的正整数k （2k ≥），使得1k k c c -<，则称{}n c 为“k 坠点数列”（Ⅰ）若数列{}n a 为“6坠点数列"，求n S ；（Ⅱ）若数列{}n b 为“5坠点数列”，是否存在“p 坠点数列”{}n a ，使得1m m S T +=，若存在，求正整数m 的最大值；若不存在，说明理由.【解析】（1）Q 数列{}n a ，{}n b 都为递增数列，∴由递推式可得12n n a a +-=，2122b b =-=，212n n b b ++=，*n N ∈，则数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 从第二项起构成等比数列．21n a n ∴=-，11,12,2n n n b n --=⎧=⎨≥⎩；（2）（Ⅰ）Q 数列{}n a 满足：存在唯一的正整数5k =，使得1k k a a -<，且1|2|n n a a +-=， ∴数列{}n a 必为1,3,5,7,5,7,9,11,⋯，即前4项为首项为1，公差为2的等差数列，从第5项开始为首项5，公差为2的等差数列，故22,4416,5n n n S n n n ⎧≤=⎨-+≥⎩；（Ⅱ）1||2n nb b +=Q ，即12n n b b +=±，1||2n n b -∴=，而数列{}n b 为“q 坠点数列”且11b =-， ∴数列{}n b 中有且只有两个负项．假设存在正整数m ，使得1m m S T +=，显然1m ≠，且m T 为奇数， 而{}n a 中各项均为奇数，m ∴必为偶数． 由2113(21)(1)m S m m +++⋯++=+…，当q m >时，211242223m m m m T --=-+++⋯++=-，当6m ≥时，223(1)m m ->+，故不存在正整数m 使得1m m S T +=；当q m =时，121122(2)30m m m T --=-++⋯++-=-<，显然不存在正整数m 使得1m m S T +=；当q m <时，13211()122(2)223m m m m m min T ----∴=-++⋯++-+=-． 当1223(1)m m --<+，才存在正整数m 使得1m m S T +=；即6m ≤．当6m =时，6q <，构造：{}n a 为1,3,1,3,5,7,9，⋯，{}n b 为1,2,4,8,16,32,64,--L ， 此时3p =，5q =．6max m ∴=，对应的3p =，5q =．。

2020年上海市松江区高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共21小题，共150.0分）1.若复数，则A. 1B.C. 5D.2.已知向量，若，则实数A. 1B.C.D.3.已知，，若，则实数a的取值范围是A. B. C. D.4.已知椭圆分别过点和点，则该椭圆的焦距为A. B. 2 C. D.5.已知实数，，且，则行列式的A. 最小值是2B. 最小值是C. 最大值是2D. 最大值是6.““是“直线：和直线：平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.在直三棱柱中，已知，，，则异面直线与所成的角为A. B. C. D.8.样本中共有五个个体，其值分别是a，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的标准差是A. 1B. 2C. 4D.9.下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是A. B.C. D.10.给出以下四个命题：其中正确命题的个数是过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；依次首尾相接的四条线段必共面；空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；垂直于同一直线的两条直线必平行．A. 0B. 1C. 2D. 311.已知，在，，，，这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为A. B. C. D.12.下列命题中是假命题的是A. 对任意的，函数都不是奇函数B. 对任意的，函数都有零点C. 存在、，使得D. 不存在，使得幂函数在上单调递减13.函数的大致图象为A.B.C.D.14.如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为，山顶C的仰角为，，则两山顶A、C之间的距离为A. B. C. D.15.已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，，设数列的前n项和为，则A. 0B.C. 1D. 216.在中，已知，，的外接圆圆心为O，则A. 4B. 8C. 10D. 1617.已知函数，若函数的所有零点依次记为，，，，且，则A. B. C. D.18.设实系数一元二次方程在复数集C内的根为、，则由，可得类比上述方法：设实系数一元三次方程在复数集C内的根为，，，则的值为A. B. 0 C. 2 D. 419.已知函数关于点对称，若对任意的，恒成立，则实数k的取值范围为A. B. C. D.20.已知点在抛物线C：上，点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与抛物线C交于A、B两点，则直线PA与PB的斜率之积为A. B. 1 C. 2 D.21.若数列的每一项都是数列中的项，则称是的子数列．已知两个无穷数列、的各项均为正数，其中是各项和为的等比数列，且是的子数列，则满足条件的数列的个数为A. 0个B. 1个C. 2个D. 无穷多个-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：复数；；故选：B．先根据复数的除法对其化简，再代入模长计算公式即可．本题主要考查复数的有关概念，比较基础．2.答案：D解析：解：向量，，，，解得实数．故选：D．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：D解析：解：，，，．故选：D．根据即可得出，进而得出．本题考查了描述法的定义，分式不等式的解法，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．4.答案：C解析：解：有题意可得：，且，可得：，，，所以，所以焦距，故选：C．有题意将点的坐标代入椭圆的方程求出a，b再由a，b，c之间的关系求出c的值，再求焦距2c的值．本题考查椭圆的定义，a，b，c之间的关系，属于基础题5.答案：B解析：解：实数，，且，，当且仅当时，取等号，行列式的最小值是．故选：B．由实数，，且，得到，由此能求出行列式的最小值．本题考查行列式的最小值的求法，考查行列式展开法则和基本不等式的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：由，解得．经过验证，都满足条件．““是“直线：和直线：平行”的充分不必要条件．故选：A．由，解得k，即可判断出关系．本题考查了平行线与斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：C解析：【分析】本题考查异面直线所成的角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，是基础题．由题意画出图形，连接，，可知为异面直线与所成的角．然后求解三角形得答案．【解答】解：连接，，可知为异面直线与所成的角．为直角三角形，且，，，，得．即异面直线与所成的角为．故选：C．8.答案：D解析：解：数据a，1，2，3，4的平均数是，解得；所以该组数据的方差是，标准差是．故选：D．根据平均数求出a的值，再计算方差和标准差．本题考查了平均数和方差、标准差的计算问题，是基础题．9.答案：C解析：解：A：在定义域内内不单调，不符合题意；B：在定义域R上先减后增，不符合题意；C：在定义域R上单调递增，且，为奇函数，符合题意；D：因为为偶函数，不符合题意．故选：C．结合函数的奇偶性及单调性的定义分别检验各选项即可判断．本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础试题．10.答案：B解析：解：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；由平面的判定的应用直接得出．正确；依次首尾相接的四条线段必共面；错误，可以异面，故错误；空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；也可以是互补，故错误；垂直于同一直线的两条直线必平行．可以是异面直线，故错误．故选：B．直接利用线面的平行和垂直的判定和性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：立体几何中的线面之间的判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11.答案：B解析：解：因为，，，，，这7个数分别为：，，，，，，．4个奇数，3个偶数；从中任取两数共有：种；所取的两数之和为偶数的有：；所取的两数之和为偶数的概率为：．故选：B．先根据条件得到，，，，这7个数分别为：，，，，，，，4个奇数，3个偶数；进而求得其对应的概率．本题主要考察二项式系数的性质，以及概率的应用，属于基础题目．12.答案：A解析：解：对于选项A：当时，故函数为奇函数，故该命题为假命题．对于选项B：对任意的，函数的值域为R，所以无论a取任何大于0的数函数的图象都有交点，故该命题为真命题．对于选项C：当时，使得，故该命题为真命题．对于选项D：由于，所以函数在单调递增，故不存在，使得幂函数在上单调递减，所以故该命题为真命题．故选：A．直接利用函数的性质的应用，三角函数关系式的变换和赋值法的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的性质的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13.答案：C解析：解：根据题意，，有，则有，即函数的定义域为，又由，即函数为奇函数，排除A；又由当时，，则，排除BD；故选：C．根据题意，分析可得为奇函数，可以排除A，进而分析时，函数图象的变化趋势，排除BD，即可得答案．本题考查函数的图象变换，注意分析函数的奇偶性、特殊值，属于基础题．14.答案：C解析：解：，，，，，，；中，由余弦定理得：，所以；所以，即两山顶A，C之间的距离为．故选：C．由直角三角形的边角关系求出BE、DE，利用余弦定理求出BD，再计算AC的值．本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．15.答案：C解析：解：依题意，由，可得：，两式相减，可得：，，，，，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，．，则，则．故选：C．本题由，可得，两式相减，进一步转化计算可得，则数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即可计算出数列的通项公式，然后计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法计算出前n项和，最后计算出极限的值．本题主要考查数列求通项公式，运用裂项相消法求和，以及数列极限的计算．考查了转化与化归思想，等差数列的基础知识，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．16.答案：B解析：解：如图，取AC中点D，AB中点E，并连接OD，OE，则：，；，；．故选：B．可画出图形，并将O和AC中点D连接，O和AB中点E连接，从而得到，，根据数量积的计算公式及条件即可得出，，从而便可得出的值．本题主要考查三角形外心的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量减法的几何意义．17.答案：D解析：解：令得，，即的对称轴方程为，．的最小正周期为，，在上有5条对称轴，第一条是，最后一条是：；，关于对称，，关于对称，，，，，将以上各式相加得：．故选：D．求出的对称轴，根据的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案．本题考查了正弦函数的图象与性质，函数对称性的应用，属于中档题．18.答案：A解析：解：，由对应系数相等知：，，．故选：A．由，利用对应系数相等知，，再由，能求出结果．本题考查代数式的值的求法，考查类比推理等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：D解析：解：由为奇函数，可得其图象关于对称，可得的图象关于对称，函数关于点对称，可得，对任意的，恒成立，即在恒成立，所以，令，由，可得，设，当时，取得最大值11，则k的取值范围是，故选：D．运用的图象关于对称，求得，由题意可得在恒成立，所以，令，运用指数函数的单调性求得t的范围，设，求得其最大值，可得k的范围．本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和指数函数的单调性、二次函数的最值求法，考查运算求解能力，属于中档题．20.答案：C解析：解：由点在抛物线C：上，可得，，抛物线方程为：，由已知得，设点，，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，联立方程，消去x得：，，，因为点A，B在抛物线C上，所以，，，，，故选：C．把点P的坐标代入抛物线方程求出p的值，得到抛物线方程，设直线AB 的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合点A，B 在抛物线上化简，即可得到．本题主要考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，以及斜率公式，是中档题．21.答案：C解析：解：设，公比，则．对任意的都成立，故m是正奇数，又S 存在，所以．时，，此时，即，成立．当时，，此时，不是数列中的项，故不成立．时，，此时，，成立．当时，，由，得，得，又因为，所以，2，此时或，分别代入，得到不合题意，由此满足条件的数列只有两个，即，或，故选：C．由是的子数列，可设，，公比，又因为可得k，m 得关系，再有等比数列的通项公式得通过m取值代入不定方程检验求解，找出符合条件的数列有2个．本题根据新定义子数列，结合等比数列的公式，寻找符合条件的数列，属于探索性试题，方法思路不易，是道有难度试题．第11页，共11页。

2020年上海市第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。

其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （ ）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年上海市高考数学全真模拟试卷(1)(3月份)一、单项选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f(x)的一个单调递增区间是( )A. [−7π12,5π12] B. [−7π12,−π12] C. [−π12,7π12] D. [−π12,5π12]2. 设a ∈R ，则|a|>1是1|a|<1的( )A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知2x >21−x ，则x 的取值范围是( )A. RB. x <12C. ⌀D. x >124. 抛物线y 2=2px(p >0)与直线2x +y +a =0交于A ，B 两点，其中A(1,2)，设抛物线的焦点为F ，则|FA|+|FB|的值为( )A. 3√5B. 5C. 6D. 7二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 已知集合A ={x|−2≤x ≤3}，B ={y|y =x 2+2}，则A ∩B = ______ ．6. 若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．7. 在(x −2x )8展开式中，常数项是______ ． 8. 已知函数f(x)={g(x),x >0,2x +1,x ≤0是R 上的奇函数，则g(3)=_______．9. 已知实数x ，y 满足2x −y =4，则4x+(12)y的最小值为__________．10. 已知幂函数f(x)存在反函数，且反函数f −1(x)过点(2,4)，则f(x)的解析式是______． 11. 已知函数f(x)=x 2，则△x →0limf(1+△x)−f(1)△x=______．12. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5−5S 3=5，则a 4=________．13.若f(x)=x+ax−1在x≥3时有最小值4，则a=______ ．14.设双曲线y29−x2a=1的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为_______．15.如图，一张矩形白纸ABCD，AB=10，AD=10√2，E，F分别为AD，BC的中点，现分别将△ABE，△CDF沿BE，DF折起，且A、C在平面BFDE同侧，下列命题正确的是______(写出所有正确命题的序号)①当平面ABE//平面CDF时，AC//平面BFDE②当平面ABE//平面CDF时，AE//CD③当A、C重合于点P时，PG⊥PD④当A、C重合于点P时，三棱锥P−DEF的外接球的表面积为150π16.已知函数f(x)=x2−ax+a2(a>0)，x∈[0,1]，则f(x)的最小值g(a)的最大值为__________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=√2，∠ACB=90∘.AA1=2，D为AB的中点．(Ⅰ)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值；(Ⅱ)求直线BB1与平面B1CD所成角的正弦．18.临近年终，郑州一蔬菜加工点分析市场发现：当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数，当月产量为10吨时，月总成本为20万元，当月产量为15吨时，月总成本最低且为17.5万元．(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系；(2)已知该产品销售价位每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获得最大利润，并求出最大利润．(ω>0)的最小正周期为3π.在△ABC中，若f(C)=1，且19.已知函数f(x)=√3sinωx−2sin2ωx22sin2B=cosB+cos(A−C)，求sin A的值．20.在双曲线C：x2a2−y2b2=1中，过焦点垂直于实轴的弦长为2√33，焦点到一条渐近线的距离为1，(1)求该双曲线的方程；(2)若直线L：y=kx+m(m≠0,k≠0)与双曲线C交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过双曲线C的右顶点．求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标．21.(本小题满分14分)(1)证明：当a>2时，√a+2+√a−2<2√a；(2)已知x，y∈R+，且x+y>2，求证：与中至少有一个小于2．【答案与解析】1.答案：D解析：本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，属于中档题．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式；再利用正弦函数的增区间，求得函数f(x)的一个单调递增区间．解：由函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象可得A=2，14⋅2πω=2π3−5π12，∴ω=2．再根据五点法作图可得2⋅5π12+φ=π2，∴φ=−π3，∴f(x)=2sin(2x−π3).令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，求得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，可得函数的增区间为[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z，当k=0时，f(x)的一个单调递增区间是[−π12,5π12]，故选D．2.答案：C解析：解：根据倒数的性质可知：若|a|>1，则0<1|a|<1成立．若1|a|<1，则|a|>1成立．故|a|>1是1|a|<1的充要条件．故选：C．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键．3.答案：D解析：本题考查指数函数的图像与性质.属基础题．解：因为2x>21−x，所以x>1−x，．所以x>12故选D ．4.答案：D解析：本题主要考查了抛物线的性质及几何意义、直线与抛物线的位置关系的应用，属于基础题．根据已知及抛物线的性质及几何意义、直线与抛物线的位置关系的计算，求出|FA|+|FB|的值．解：把点A(1,2)代入直线2x+y+a=0，可得2+2+a=0，解得a=−4.把点A(1,2)代入y2=2px，可得4=2p，解得p=2．联立直线与抛物线的方程并化简，可得x2−5x+4=0，解得x=1或x=4，所以|FA|+|FB|=1+ 4+1+1=7.故选D．5.答案：{x|2≤x≤3}解析：先求出集合B，由此利用交集定义能求出A∩B．解：∵集合A={x|−2≤x≤3}，B={y|y=x2+2}={y|y≥2}，∴A∩B={x|2≤x≤3}．故答案为{x|2≤x≤3}．6.答案：23解析：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用． 3人排成一排共有6种排法，其中甲、乙相邻的情况有4种，由此能求出甲乙相邻的概率． 解：甲、乙、丙三人随机地站成一排，共有甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲；共6种排法， 其中甲、乙两人相邻而站共甲、乙、丙；乙、甲、丙；丙、甲、乙；丙、乙、甲共4种排法， 故P =46=23． 故答案为23．7.答案：1120解析：解：(x −2x )8展开式的通项公式为T r+1=C 8r⋅(−2)r ⋅x 8−2r ，令8−2r =0，求得r =4， 故常数项是(−2)4⋅C 84=1120，故答案为：1120．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8.答案：5解析：本题考查函数的奇偶性，由已知得g(3)=f(3)=−f(−3)求解即可． 解： 因为f(x)是R 上的奇函数，所以g(3)=f(3)=−f(−3)=−[2×(−3)+1]=5． 故答案为5．9.答案：8解析：本题考查了指数运算和利用基本不等式求最值的应用，属于简单题．由题意4x+(12)y=22x +2−y ≥2√22x ·2−y =2√22x−y ，结合2x −y =4即可得解．解：由题意，4x +(12)y=22x +2−y ≥2√22x ·2−y =2√22x−y =8，当且仅当22x =2−y ，即x =1，y =−2时等号成立．即函数的最小值是8．故答案为8．10.答案：f(x)=√x解析：解：∵函数f(x)的反函数f−1(x)过点(2,4)，∴原函数y=f(x)过点(4,2)．．设f(x)=xα，则2=4α，解得α=12∴好f(x)=√x．故答案为：f(x)=√x．利用互为反函数的性质和幂函数的定义即可得出．本题考查了互为反函数的性质和幂函数的定义，属于基础题．11.答案：2解析：本题考查极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意导数概念及性质的合理运用．先求出f′(x)，由于，能求出结果．解：∵f′(x)=2x，∴f′(1)=2，，故答案为：2．12.答案：13n(n−1)d，解析：解：∵S n=na1+12∴S5=5a1+10d，S3=3a1+3d，∴6S5−5S3=30a1+60d−(15a1+15d)，=15a1+45d=15(a1+3d)=15a4=5，解得a4=1．3故答案为：13 ．根据等差数列的前n 项和的公式表示出S 5和S 3，然后把S 5和S 3的式子代入到6S 5−5S 3=5中合并后，利用等差数列的通项公式即可求出a 4的值．此题要求学生灵活运用等差数列的通项公式及前n 项和的公式，是一道中档题．13.答案：2解析：解：∵f(x)=x +ax−1，∴f ′(x)=1−a(x−1)2=x 2−2x+1−a (x−1)2，分子的△=4−4(1−a)=4a ．当a ≤0时，△≤0，x ≥3时f′(x)>0，∴函数f(x)单调递增，∴当x =3时，函数f(x)有最小值4，∴3+a2=4，解得a =2，与a ≤0矛盾，应舍去；当a >0时，△>0，令f′(x)=0，解得x =2±2√a2=1±√a ，∴f ′(x)=[x−(1+√a)][x−(1−√a)](x−1)2.∵x ≥3，∴x −(1−√a)=x −1+√a >2．①当1+√a ≤3即0<a ≤4时，函数f(x)在x ≥3时单调递增，∴当x =3时，函数f(x)有最小值4，∴3+a2=4，解得a =2，满足条件；②当1+√a >3即a >4时，令f′(x)=0，解得x =1+√a ，可知当x =1+√a 时，函数f(x)有最小值4，∴1+√a 1+√a−1=4，解得a =94<4，不满足条件，应舍去．综上可得：只有当a =2时，满足条件． 故答案为：2．由f(x)=x +ax−1，可得f ′(x)=1−a(x−1)2=x 2−2x+1−a (x−1)2，分子的△=4−4(1−a)=4a.对a 分类讨论：当a ≤0时，0<a ≤4时，a >4时，再利用导数与函数的单调性极值最值的关系即可得出． 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值的方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．14.答案：4解析：本题考查双曲线的几何性质，解题的关键是正确求出双曲线的渐近线方程，属于基础题． 由双曲线y 29−x 2a=1可知其渐近线方程为3x ±√ay =0，从而可求出a 的值解：由双曲线y29−x2a=1可得其渐近线方程为3x±√ay=0，因为双曲线y29−x2a=1的渐近线方程为3x±2y=0，所以√a=2，所以a=4，故答案为4．15.答案：①④解析：解：当平面ABE//平面CDF时，如图，由已知矩形ABCD中，AB=10，AD=10√2，E，F分别为AD，BC的中点，可得AC⊥BE，AC⊥DF，且求得AG=GH=CH=10√33．则BE⊥平面AGH，DF⊥平面CHG，由BE//DF，可得平面AGH与平面CHG重合，即四边形AGHC为平面四边形，∵平面平面ABE//平面CDF，∴AG//CH，又AG=CH，可得四边形AGHC为平行四边形，则AC//GH，可得AC//平面BFDE，故①正确；假设AE//CD，则四边形AEDC为平面图形，而GH//AC，可得GH//ED，即四边形GHDE为平行四边形，可得GH=ED，与GH≠DE矛盾，∴假设错误，故②错误；当A、C重合于点P时，如图，PG=10√33，PD=GD=10，不满足PG2+PD2=GD2，∴PG与PD不垂直，故③错误；在三棱锥P−DEF中，PE=PF=5√2，EF=10，∴△EPF为直角三角形，PE=ED=5√2，PD=10，∴△PED为直角三角形，而△FPD为直角三角形，∴由补形法可知，三棱锥P−DEF外接球的直径为√PF2+PE2+ED2=√150，则三棱锥P−DEF的外接球的表面积为4π×(√1502)2=150π，故④正确．∴命题正确的是①④．故答案为：①④．由题意分两类画出图形，利用线面平行的判定和性质判断①；利用反证法说明②错误；求出线段长度，根据不满足勾股定理说明③错误；求出三棱锥中的直角三角形，利用补形法求得外接球的表面积判断④．本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力与思维能力，关键是明确折叠问题中折叠前后的变量与不变量，是中档题．16.答案：14解析：函数f(x)=(x−a2)2+a2−a24，x∈[0,1],当0<a2≤1时，f(x)的最小值g(a)=f(a2)=a2−a24.当a2>1时，f(x)的最小值g(a)=f(1)=1−a2.故f(x)的最小值，g(a)max=g(1)=14.17.答案：解：(Ⅰ)设CB1∩BC1=E由DE//AC1，∠CED为AC1与B1C所成的角，在△CDE中，DE=12AC1=12√AC2+CC12=√62，CE=12B1C=12√BC2+BB12=√62，CD=12AB=12√AC2+BC2=1，cos∠CED=CE2+DE2−CD22×CE×DE =32+32−12×√62×√62=23，∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为23；(Ⅱ)设点B到平面B1CD的距离为h，由等体积法知：三棱锥B1—BCD的体积为V=13×(12×1×1)×2=13×(12×1×√5)ℎ⇒ℎ=2√55，．解析：本题考查异面直线所成角、线面角的求法，属于中档题．(Ⅰ)设CB1∩BC1=E，由DE//AC1，∠CED为AC1与B1C所成的角，在△CDE中使用余弦定理即可求解．(Ⅱ)设点B到平面B1CD的距离为h，由等体积法求出h是关键．18.答案：解：(1)由题意可设：y=a(x−15)2+17.5(a∈R,a≠0)，将x=10，y=20代入上式得：20=25a+17.5，解得a=110，∴y=110(x−15)2+17.5(10≤x≤25)．(2)设利润为Q(x)，则Q(x)=1.6x−y=1.6x−(110x2−3x+40)=−110(x−23)2+12.9，(10≤x≤25)，因为x=23∈[10,25]，所以月产量为23吨时，可获得最大利润12.9万元．解析：本题考查了二次函数的单调性及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由题意可设：y=a(x−15)2+17.5(a∈R,a≠0)，将x=10，y=20代入上式解出即可得出．(2)设利润为Q(x)，则Q(x)=1.6x −y =1.6x −(110x 2−3x +40)=−110(x −23)2+12.9，(10≤x ≤25)，利用二次函数的单调性即可得出． 19.答案：解：f (x)=√3sin(ωx)−2⋅1−cos(ωx)2=√3sin(ωx)+cos(ωx)−1=2sin(ωx +π6)−1…(2分) 依题意函数f(x)的最小正周期为3π，即2πω=3π，解得ω=23，所以f(x)=2sin(23x +π6)−1.…(4分) 由f(C)=2sin(2C 3+π6)−1及f(C)=1，得sin(2C 3+π6)=1，…(6分)∵0<C <π，∴π6<2C 3+π6<5π6， ∴2C 3+π6=π2，解得C =π2，…(8分) 在Rt △ABC 中，∵A +B =π2，2sin 2B =cosB +cos(A −C)，∴2cos 2A −sinA −sinA =0，∴sin 2A +sinA −1=0，解得sinA =−1±√52，…(11分) ∵0<sinA <1，∴sinA =√5−12 …(12分)解析：利用倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简即可得到结论．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数进行化简，根据周期公式求出函数的解析式是解决本题的关键．20.答案：解：(1)由题意，得2b 2a =2√33，√a 2+b 2=1， 解得：a =√3，b =1，∴所求双曲线方程为x 23−y 2=1．(2)设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，联立直线L ：y =kx +m(m ≠0,k ≠0)与双曲线，得(1−3k 2)x 2−6kmx −3(m 2+1)=0， △>0，化简，得m 2+1−3k 2>0，∴x 1+x 2=6km 1−3k 2，x 1x 2=−3(m 2+1)1−3k 2， ∵以AB 为直径的圆过双曲线的右顶点M(√3,0)，∴MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即(x1−√3)(x2−√3)+y1y2=0，即(k2+1)x1x2+(km−√3)(x1+x2)+m2+3=0，整理，得m2+3√3km+6k2=0，∴m=−√3k或m=−2√3k，当m=−√3k时，L的方程为y=k(x−√3)，直线过定点(√3,0)，与已知矛盾；当m=−2√3k时，L的方程为y=k(x−2√3)，直线过定点(2√3,0)；∴直线L过定点，定点坐标为(2√3,0)．解析：(1)利用过焦点垂直于实轴的弦长为2√33，焦点到一条渐近线的距离为1，建立方程，求出a，b，即可求该双曲线的方程；(2)联立直线L：y=kx+m(m≠0,k≠0)与双曲线，利用韦达定理，结合以AB为直径的圆过双曲线的右顶点M(√3,0)，即可证明直线L过定点，并求出该定点的坐标．本题考查双曲线的性质与方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．21.答案：证明：(1)要证√a+2+√a−2<2√a，只要证(√a+2+√a−2)2<(2√a)2，只要证2a+2√a2−4<4a，只要证√a2−4<a，由于a>2，只要证a2−4<a2，最后一个不等式成立，所以√a+2+√a−2<2√a(2)假设1+xy 与1+yx均不小于2，即1+xy≥2，1+yx≥2∴1+x≥2y，1+y≥2x.将两式相加得：x+y≤2，与已知x+y>2矛盾，故1+xy与1+yx中至少有一个小于2.解析：本题主要考查证明中的分析法与反证法证明，属于一般题．(1)根据题中所给条件，利用分析法即可证出结论．(2)根据题中所给条件，利用反证即可证出结论．。

2020年上海市高考数学模拟试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 若a >0，b >0，且a +b =4，则下列不等式中恒成立的是( )A. 1ab >12B. 1a +1b ≤1C. √ab ≥2D. 1a 2+b 2≤182. 直线y =2x +1的参数方程可以是( )A. {x =t 2y =2t 2+1B. {x =2t −1y =4t +1 C. {x =t −1y =2t −1D. {x =sinθy =2sinθ+13. 已知平面α//平面β，它们之间的距离为d ，直线a ⊂α，则在β内与直线a 相距为2d 的直线有( )A. 1条B. 2条C. 无数条D. 不存在4. 命题p ：存在a ∈R 且a ≠0，对于任意的x ∈R ，使得f(x +a)<f(x)+f(a)；命题q 1:f(x)单调递减且f(x)>0恒成立； 命题q 2:f(x)单调递增，存在x 0<0使得f(x 0)=0， 则下列说法正确的是( )A. 只有q 1是p 的充分条件B. 只有q 2是p 的充分条件C. q 1，q 2都是p 的充分条件D. q 1，q 2都不是p 的充分条件二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 已知集合A ={1,2,4},B ={2,3,4,5}，则A ∩B = ．6. 计算：n →∞lim3n−1n+2=______ 7. 若复数z 满足i ⋅z =1+2i(其中i 为虚数单位)，则z 的模为_____________． 8. 函数f(x)=x 2(x ≤−1)的反函数是f −1(x)= ______ ． 9. 已知实数x ，y 满足{y ≥4x,x +2y +6≥0,y ≤4,则z =x −y 的最大值为________． 10. 已知矩阵[a 31a]的逆矩阵是[a−3−1a]，则正实数a =______ ．11. 一组数据20，30，40，50，50，60，70，80的平均数、中位数、众数分别为a ，b ，c ，则a +c −2b的值为 ．12. 已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1+a 4+a 7=0，则S6a 5的值为______ 13. 有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是________(用数字作答)．14. 已知椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的右焦点F(c,0)关于直线y =bc x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是15. 已知函数f(x)=x |x −1|−a,x ∈R 有三个零点x 1、x 2、x 3，则实数a 的取值范围是 ；x 1+x 2+x 3的取值范围是 ．16. 在平面内，已知AB ⊥AC ，且DB =DC =2,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若1≤DP ≤2，则DA 的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. (1)在△ABC 中，AB =2，BC =32，∠ABC =120°，若△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是多少？(2)已知四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．若BD ，AC 所成的角为60°，且BD =AC =1.求EF 的长度．18. 已知函数f(x)=2√3sinωxcosωx −2sin 2ωx(其中ω>0)图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2．(1)求ω的值及f(x)的单调减区间；(2)若f(x 0)=15，x 0∈[−π12,π4]，求f(x 0+π6)的值．19.一般情况下，桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，会造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度小于40辆/千米时，车流速度为40千米/小时．研究表明：当40≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(Ⅰ)当0≤x≤200，求函数v(x)的表达式；(Ⅱ)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)=x⋅v(x)可以达到最大，并求出最大值．20.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右顶点分别为A，B，点P是双曲线C上不同于顶点的任意一点，若直线PA、PB的斜率之积为12．(Ⅰ)求双曲线C的离心率e；(Ⅱ)若过点P作斜率为k(k≠±ba)的直线l，使得l与双曲线C有且仅有一个公共点，F1，F2分别为双曲线的两个焦点，记直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，问是否存在实数λ使得1k1+1k2=λk．21.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a，(a n+1)⋅(a n+1+1)=6(S n+n)，n∈N∗．n∈N∗．(1)求数列{a n}通项公式；(2)若对于∀n∈N∗都有S n≤n(3n+1)成立求实数a取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题主要考查不等关系与不等式的性质，属于基础题． 利用特殊值法即可解答．解：取a =1，b =3，可验证A 、B 、C 均不正确． 2(a 2+b 2)⩾(a +b )2，当a =b =2时，等号成立， 即可得0<1a 2+b 2⩽18，则D 正确． 故选D ．2.答案：C解析：解：∵y =2x +1，∴y +1=2(x +1)，令x +1=t ，则y +1=2t ，可得{x =t −1y =2t −1(t 为参数)， 即为直线y =2x +1的参数方程． 故选C ．由已知y =2x =1，可化为点斜式方程：y +1=2(x +1)，令x +1=t ，则y +1=2t ，即可化为直线的参数方程．本题考查了把直线的普通方程化为参数方程，其关键是把直线的普通方程写成点斜式方程．3.答案：B解析：解：∵平面α//平面β，它们之间的距离为d ，∴若平面α内的直线和β内的直线b 为异面直线时，a ，b 直线的距离为d ，不满足条件， ∴a//b ，在直线a 上任取一点A ，作AO 在平面β的射影O ，过O 作OC ⊥b 于C ， 连结AC ，则AO =d ，AC =2d ，∴OC=√3d∴满足条件的直线共有2条．故选：B．根据平行直线的距离公式进行判断即可．本题主要考查空间直线距离的判断，要求熟练掌握面面平行的性质，比较基础．4.答案：C解析：本题考查命题的真假，及函数的单调性，关键是分析不等式之间关系，属于中档题．对于命题q1：当a>0时，结合f(x)单调递减，可推出f(x+a)<f(x)<f(x)+f(a)，命题q1是命题p的充分条件．对于命题q2：当a=x0<0时，f(a)=f(x0)=0，结合f(x)单调递增，推出f(x+a)< f(x)，进而f(x+a)<f(x)+f(a)，命题q2是命题p的充分条件．解：对于命题q1：当f(x)单调递减且f(x)>0恒成立时，当a>0时，此时x+a>x，又因为f(x)单调递减，所以f(x+a)<f(x)又因为f(x)>0恒成立时，所以f(x)<f(x)+f(a)，所以f(x+a)<f(x)+f(a)，所以命题q1⇒命题p，对于命题q2：当f(x)单调递增，存在x0<0使得f(x0)=0，当a=x0<0时，此时x+a<x，f(a)=f(x0)=0，又因为f(x)单调递增，所以f(x +a)<f(x)， 所以f(x +a)<f(x)+f(a)， 所以命题p 2⇒命题p ， 所以q 1，q 2都是p 的充分条件， 故选：C ．5.答案：{2,4}解析：此题考查交集及其运算，属于基础题． 根据交集的运算法则计算即可．解：已知集合A ={1,2,4},B ={2,3,4,5}，则A ∩B ={2,4}． 故答案是{2,4}．6.答案：3解析：解：n →∞lim3n−1n+2=3−01+0=3．故答案为：3．直接利用数列的极限的运算法则求解即可． 本题考查数列的极限的运算法则的应用，是基础题．7.答案：√5解析：本题考查复数的运算以及复数模的计算，属于基础题． 由已知求出z ，然后利用模的计算公式求解即可． 解： 因为i ⋅z =1+2i ， 所以z =1+2i i=−i(1+2i)−i·i=2−i ，所以|z|=√22+(−1)2=√5， 故答案为√5．8.答案：−√x ，x ≥1解析：解：∵函数f(x)=y =x 2(x ≤−1)， ∴x =−√y ，y ≥1，x ，y 互换，得反函数f −1(x)=−√x ，x ≥1． 故答案为：−√x ，x ≥1．先求出x =−√y ，y ≥1，x ，y 互换，得反函数f −1(x)．本题考查反函数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意反函数性质的合理运用．9.答案：2解析：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 解：由x ，y 满足约束条件{y ≥4x,x +2y +6≥0,y ≤4,作出可行域如图：由z =x −y 可得y =x −z ，平移直线y =x −z ，当直线经B 点时，在y 轴上截距最小，z 有最大值， 由{y =4x x +2y +6=0可得B(−23,−83)， 所以z =x −y 的最大值为−23+83=2， 故答案为2．10.答案：2解析：本题考查矩阵与逆矩阵的运算，是基础题．根据矩阵与其自身的逆矩阵的乘积为单位矩阵，然后运用矩阵乘积公式得到答案． 解：[a 31a ][a −3−1a ]=[1001]， 由矩阵乘积公式得，[a 2−300a 2−3]=[1001]， 所以a 2−3=1，a 2=4，a =±2． 又因为题目中说明了a 是正实数， 故答案为a =2．11.答案：0解析：根据所给数据，分别计算平均数、中位数、众数，即可得到结果．解：由题意，平均数为a =20+30+40+50+50+60+70+808=50，中位数b =50+502=50，众数c =50，所以a +c −2b =0． 故答案为0．12.答案：−3解析：本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查了学生的计算能力，属于基础题． 由a 1+a 4+a 7=0，可得3(a 1+3d )=0，即a 1=−3d ≠0，则S 6a 5=6a 1+6×52d a 1+4d=6×(−3)+15−3+4=−3．解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由a 1+a 4+a 7=0，得3(a 1+3d )=0。

2020 年 6 月一般高考（上海卷）全真模拟卷（1）数学（考试时间：120 分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务势必自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定地址上。

2．回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其余答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：高中所有内容。

一、填空题：本题共12 个小题，满分54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分 . 1．设会集 A {1,2,3} ， B { x | x 1} ，则A I B______【答案】 {2,3}【分析】由交集定义可得： A B2,3本题正确结果：2,3x1 yi，此中x、y是实数,i是虚数单位,则x yi 的共轭复数为_____.2．已知1i【答案】 2i【分析】x x 1 i x xi x=1x 2由21 yi 1 yi2 1 yi x，解得1 i 1 i 1 i2y 1=y2x yi 2 i ，其共轭复数为 2 i故答案为： 2 i3．函数y2x x2的单调递减区间是__________________.【答案】 [1,2]【分析】因为函数y2x x20x 2 ，那么利用二次函数的性质可知，对称轴为x=1，那么函数的单调递减区间是[1,2]，故答案为[1,2]。

4．函数 f ( x) log2 ( x 1) 1的反函数是________【答案】y 2x 1 1 ( x R) .【分析】由 y log2 x 1 1 ，得 log2 x 1 y 1 ，则有x 1 2y 1，x 2 y 11，所以，函数 f x log 2 x 1 1的反函数为 y 2x 11 x R ，故答案为：y 2x 1 1 x R .x 05．满足线性的拘束条件x y的目标函数z 2x y的最大值为________x y2【答案】 1【分析】由 z2x y ，得 y 2x z ，作出可行域，以以下图：平移直线 y2x z ，由图像知，当直线经过点C 时，截距最小，此时z 获得最大值。

2020届上海市高考模拟（一）数学试题一、单选题 1．“sin 0α=”是“cos 1α=”的（ ）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】判断两个命题：sin 0α=⇒cos 1α=和cos 1α=⇒sin 0α=的真假即可得． 【详解】由于22sin cos 1αα+=，且sin 0α=，得到cos 1α=±，故充分性不成立；当cos 1α=时，sin 0α=，故必要性成立.故选：B. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，解题方法是根据充分必要条件的定义．即判断两个命题p q ⇒和q p ⇒的真假．2．下列命题正确的是（ ）A ．若直线1l ∥平面α，直线2l ∥平面α，则12l l PB ．若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l αPC ．直线l 与平面α所成角θ的取值范围是090θ︒︒<<D ．若直线1l ⊥平面α，直线2l ⊥平面α，则12l l P 【答案】D【解析】根据线面平行垂直的性质与判定判断即可. 【详解】对A, 若直线1l ∥平面α,直线2l ∥平面α,不一定有12l l P ,故A 错误.对B,当l ⊥平面α时也满足直线l 上有两个点到平面α的距离相等.故B 错误. 对C, 直线l 与平面α所成角θ的取值范围是090θ︒︒≤≤,故C 错误. 对D, 若直线1l ⊥平面α,直线2l ⊥平面α,则12l l P 成立.故D 正确. 故选：D【点睛】本题主要考查了线面平行垂直关系的判定,属于基础题型.3．已知a v ，b v 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c v 满足()()0c a c b --=vv v v ，则c v的最大值是（ ）.A ．1B ．2 CD．2【答案】C【解析】利用数量积计算出||a b +=r r ()()c a c b --r r r r ，设c r 与a b +r r的夹角为α，可得||c α=r，从而可得结论．【详解】由于a b ⊥r r且||||1a b ==r r，那么||a b +=r r c r 与a b +r r的夹角为α，所以22()()()||||||cos 0c a c b c a b c a b c c a b a b α--=-+⋅+⋅=-++⋅=r r r r r r r r r r r r r r r r，即||c α=r，由于1cos 1α-≤≤，所以c r.故选：C. 【点睛】本题考查向量的数量积，考查向量的模与数量积的关系，掌握数量积的定义是解题关键．4．已知函数()3log ,03sin ,3156x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x 满足()()()()1234f x f x f x f x ===，其中1234x x x x <<<，则1234x x x x 取值范围是（ ）A ．()60,96B ．()45,72C ．()30,48D ．()15,24【答案】B【解析】先画出函数()f x 的图象，再根据条件利用对数函数的运算性质以及三角函数的对称性，利用数形结合，即可求出其范围． 【详解】函数()f x 的图象如下图所示：若满足()()()()1234f x f x f x f x ===，其中1234x x x x <<<，则101x <<，213x <<，则3132log log x x =-，即3132312log log log 0x x x x +==， 则121=x x ，同时()33,6x ∈，()412,15x ∈， ∵3x ，4x 关于9x =对称，∴3492x x +=， 则3418x x +=，则4318x x =-，则()1234343318x x x x x x x x ==-()2233318981x x x =-+=--+，∵()33,6x ∈， ∴()3445,72x x ∈， 即()123445,72x x x x ∈， 故选：B ．【点睛】本题主要考查分段函数的应用，灵活掌握数形结合的方法，以及转化与化归的思想即可，属于常考题型．二、填空题5．已知i 为虚数单位，复数z 满足11zi z-=+，则z ________. 【答案】1【解析】利用复数的四则运算求出z ，再求其模． 【详解】因为11zi z -=+，所以21(1)1(1)1(1)(1)i i z z i z i i i i ---=+⇒===-++-，则22||0(1)1z =+-=.故答案为：1.本题考查复数的四则运算，考查复数模的运算，属于基础题． 6．设0a >且1a ≠，若函数()12x f x a -=+的反函数的图象经过定点P ，则点P 的坐标是__． 【答案】()3,1【解析】由于函数()12x f x a -=+经过定点()1,3，再利用反函数的性质即可得出．【详解】 ∵函数()12x f x a-=+经过定点()1,3，∴函数()f x 的反函数的图象经过定点()3,1P ， 故答案为：()3,1． 【点睛】本题主要考查函数恒过定点的问题，以及反函数的问题，熟记指数函数的性质，以及反函数的概念即可，属于基础题型．7．在平面直角坐标系内，直线l ：220x y +-=，将l 与两坐标轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周，所得几何体的体积为__． 【答案】23π 【解析】由题意可得绕y 轴旋转，形成的是以1为半径，2为高的圆锥，根据圆锥的体积公式，即可求得所得几何体的体积． 【详解】由题意可知绕y 轴旋转，形成的是以1为半径，2为高的圆锥， 则2121233V ππ=⋅⨯⨯=， 故答案为:23π．本题主要考查求旋转体的体积，熟记圆锥的体积公式即可，属于常考题型． 8．已知sin 2sin 0θθ+=，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 2θ=______.【解析】由已知等式化简可得sin (2cos 1)0θθ+=，结合范围,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，解得1cos 2θ=-，利用同角三角函数基本关系式可求tan θ，利用二倍角的正切函数公式可求tan 2θ的值. 【详解】sin 2sin 0θθ+=Q ， 2sin cos sin 0θθθ⇒+=，sin (2cos 1)0θθ⇒+=,,sin 02πθπθ⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭Q ，2cos 10θ∴+=，解得1cos 2θ=-，tan θ∴==22tan tan 21tan θθθ∴==-【点睛】本题主要考查的是三角恒等变换、二倍角的正弦、正切公式，同角三角函数关系的应用，考查学生的计算能力.9．设定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x >时，()24x f x =-，则不等式()0f x ≤的解集是______.【答案】(,2][0,2]-∞-U【解析】先由解析式求出()f x 在0x >时的解集，再由奇函数的定义得(0)0f =，以及0x <时的不等式的解集．综合后可得所求解集． 【详解】当0x >时，因为()240x f x =-≤，所以02x <≤，又因为()y f x =是定义 在R 上的奇函数，所以()00f =，()y f x =在(,0)-∞上单调递增，并且(2)(2)0f f -=-=，所以()02f x x ≤⇒≤-，综上，不等式()0f x ≤的解集为(,2][0,2]-∞-U ， 故答案为：(,2][0,2]-∞-U . 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式．属于中档题．10．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点()1,1A ，若OA 的垂直平分线过抛物线C ：()220y px p =>的焦点，则抛物线C 的方程为__．【答案】24y x =【解析】先求出线段OA 的垂直平分线方程，然后表示出抛物线的焦点坐标并代入到所求方程中，进而可求得p 的值，即可得到抛物线方程． 【详解】 ∵点()1,1A ，依题意我们容易求得直线的方程为10x y +-=，把焦点坐标,02p ⎛⎫⎪⎝⎭代入可求得焦参数2p =， 从而得到抛物线C 的方程为：24y x =． 故答案为：24y x =． 【点睛】本题主要考查求抛物线的方程，只需由题意求出焦点坐标，根据抛物线的焦点坐标即可得出抛物线方程，熟记抛物线标准方程即可，属于常考题型．11．记12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第m 项的系数为m b ，若342b b = ，则n =_______. 【答案】5【解析】根据题意，结合二项式定理可得，2233222n n n n C --=⨯gg C ，解可得答案． 【详解】解：根据二项式定理，可得211(2)()2r n rr n r rn r r n n T C x C x x---+==g g g ， 根据题意，可得2233222n n n n C --=⨯gg C ， 解得5n =， 故答案为5． 【点睛】本题考查二项式定理，要区分二项式系数与系数两个不同的概念．12．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于12的概率是______________． 【答案】37【解析】先求得“从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点”基本事件的总数，然后求得“以这三点为顶点的三角形的面积等于12”的事件所包含的基本事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】“从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点”基本事件的总数有3856C =种. 由于从正方体每个面上的四个点选出三个点，围成的三角形的面积为12，其它情况都超过12.所以“以这三点为顶点的三角形的面积等于12”的事件所包含的基本事件数为34624C ⨯=种.由古典概型概率计算公式可知，所求概率为243567=故答案为：37【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，属于基础题. 13．若无穷数列{}n a 的所有项都是正数，且满足()23n n n *+∈=N ，则1221lim231n n a a a n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪+⎝⎭______． 【答案】2【解析】先由作差法求出数列{}n a 的通项公式为()241n a n =+，即可计算出12231n a a a n ++++L ，然后利用常用数列的极限即可计算出1221lim231n n a a a n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪+⎝⎭的值.【详解】当1n =4=，可得116a =；当2n ≥23n n =+，()()221312n n n n =-+-=+-， 上式-()21n =+，得()241n a n =+，116a =也适合()241n a n =+，则()()241n a N n n *=+∈，()411na n n ∴=++. 所以，()()()1284481241232312n n n a a a n n n n +++++=++++==++L L . 因此，()12222313limlim lim 212231n n n n n n a a a n n n n →∞→∞→∞+⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+==+= ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故答案为：2. 【点睛】本题考查利用作差法求数列通项，同时也考查了数列极限的计算，考查计算能力，属于中等题.14．甲､乙两人同时参加一次数学测试,共有20道选择题,每题均有4个选项,答对得3分,答错或不答得0分,甲和乙都解答了所有的试题,经比较,他们只有2道题的选项不同,如果甲最终的得分为54分,那么乙的所有可能的得分值组成的集合为________. 【答案】{48,51,54,57,60}【解析】甲最终的得分为54分，可得：甲答对了20道题目中的18道，由于甲和乙都解答了所有的试题，甲必然有2道题目答错了，又甲和乙有2道题的选项不同，则乙可能这两道题答对，答错，乙也可能这2道题与甲一样，在甲正确的题目中乙可能有两道答错了，即可得到结论. 【详解】因为20道选择题每题3分,甲最终的得分为54分,所以甲答错了2道题,又因为甲和乙有两道题的选项不同,则他们最少有16道题的答案相同,设剩下的4道题正确答案为AAAA ,甲的答案为BBAA ,因为甲和乙有两道题的选项不同,所以乙可能的答案为BBCC ,BCBA ,CCAA ,CAAA ,AAAA 等,所以乙的所有可能的得分值组成的集合为{48,51,54,57,60},故答案为{48,51,54,57,60}.【点睛】本题考查了集合的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.15．对于函数()f x =,其中0b >,若()f x 的定义域与值域相同,则非零实数a 的值为______________. 【答案】-4【解析】根据函数的定义域与值域相同，可以求出参数表示的函数的定义域与值域，由两者相同，比较二区间的端点得出参数满足的方程，解方程求参数即可. 【详解】函数()f x =，其中0b >若0a >，由于20ax bx +≥，即()0x ax b +≥，∴对于正数b ，()f x 的定义域为:,[0,)b D a⎛⎤=-∞-+∞ ⎥⎝⎦U ，但()f x 的值域[)0,A ⊆+∞，故D A ≠，不合要求. 若0a <，对于正数b ，()f x 的定义域为D 0,ab ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.由于此时max [()]2b f x f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故函数的值域A ⎡=⎢⎣. 由题意，有b a -=，由于0b >，所以4a =﹣. 故答案为：﹣4 【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力.16．已知0a >，函数()([1,2])af x x x x=-∈的图像的两个端点分别为A 、B ，设M 是函数()f x 图像上任意一点，过M 作垂直于x 轴的直线l ，且l 与线段AB 交于点N ，若1MN ≤恒成立，则a 的最大值是______.【答案】6+.【解析】由,A B 的坐标可以将直线l 的方程找到，通过M 点的坐标可以得到N 的坐标，将其纵坐标作差可以得到关于a 的不等式，通过求范围可以将绝对值去掉，由基本不等式可以得到a 的最大值. 【详解】 因为()([1,2])af x x x x=-∈，0a >，所以(1,1),(2,2)2a A a B --，所以直线l 的方程为(1)(1)12a y x a =+-+-， 设(,)a M t t t -，所以(,(1)(1)1)2a N t t a +-+-， 因为1MN ≤恒成立，所以(1)(1)1()12a a t a t t+-+---≤恒成立，所以23212t t at-+≤， 因为2()32g t t t =-+在[1,2]t ∈时小于等于0恒成立，所以23212t t a t-+-≤，①当1t =或2t =时，01≤显然成立； ②当(1,2)t ∈时，2222323t a t t t t --≤=-++-，所以由基本不等式得6a ≤=，此时t =，所以a的最大值为6+，故答案是：6+. 【点睛】该题考查的是有关根据恒成立求对应参数的取值范围的问题，在解题的过程中，主意对题中条件的转化，应用基本不等式求最值，属于较难题目.三、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 是等腰直角三角形，12AC BC AA ===，D 为侧棱1AA 的中点.（1）求证：BC ⊥平面11ACC A ；（2）求二面角11B CD C --的大小（结果用反三角函数值表示） 【答案】（1）证明见解析 （2）2arccos3【解析】（1）推导出AC BC ⊥，1CC BC ⊥，由此能证明BC ⊥平面11ACC A ． （2）以C 为原点，直线CA ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角11B CD C --的大小． 【详解】（1）∵底面ABC V 是等腰直角三角形，且AC BC =， ∴AC BC ⊥，∵1CC ⊥平面111A B C ， ∴1CC BC ⊥， ∵1AC CC C =I ， ∴BC ⊥平面11ACC A ．（2）以C 为原点，直线CA ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，()10,0,2C ，()10,2,2B ，()2,0,1D ，由（1）得()0,2,0CB =uu r是平面11ACC A 的一个法向量，()10,2,2CB =u u u r ，()2,0,1CD =u u u r， 设平面1B CD 的一个法向量(),,n x y z =r， 则122020n CB y z n CD x z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩u u u v v u u u v v ， 取1x =，得()1,2,2n =-r，设二面角11B CD C --的平面角为θ，则42cos 233CB n CB n θ⋅===⨯⋅u u u r r u u u r r ，由图形知二面角11B CD C --的大小是锐角， ∴二面角11B CD C --的大小为2arccos3．【点睛】本题主要考查线面垂直的证明，以及求二面角的平面角，熟记线面垂直的判定定理，以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型． 18．已知函数()()3cos cos 1033x x f x x ππωωωω⎛⎫⎛⎫=+++--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R ，且函数的最小正周期为π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若()0f B =，32BA BC ⋅=u u u v u u u v，且4a c +=，试求b 的值． 【答案】（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（2）7b = 【解析】（1）利用两角和与差的余弦公式展开，再由辅助角公式化简，由周期公式求得ω，则()f x 的解析式可求；（2）把()0f B =代入函数解析式，求得B ，展开数量积32BA BC ⋅=uu r uu u r ，求得ac 的值，结合4a c +=，利用余弦定理求得b 的值． 【详解】（1）()3cos cos 133x x x f x ππωωω⎛⎫⎛⎫=+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3cos cossin sincos cossin sin13333x x x x x ππππωωωωω=+-++-cos 12sin 16x x x πωωω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭．∵2T ππω==，∴2ω=．则()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭； （2）由()2sin 2106B f B π⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，得1sin 262B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭． ∴2266B k πππ+=+或52266B k πππ+=+，k Z ∈． ∵B 是三角形内角，∴3B π=．而3cos 2BA BC ac B ⋅=⋅=u u u r u u u r ，∴3ac =．又4a c +=，∴()2222162310a c a c ac +=+-=-⨯=． ∴2222cos 7b a c ac B =+-⋅=．则b =【点睛】本题主要考查由三角函数的周期求参数，以及余弦定理解三角形，熟记三角函数的性质，以及余弦定理即可，属于常考题型．19．定义在D 上的函数()f x ，若满足:对任意x D ∈，存在常数0M >，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界（1）设()1=+x f x x ，判断()f x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是否是有界函数，若是，说明理由，并写出()f x 所有上界的值的集合；若不是，也请说明理由.（2）若函数()124x xg x a =++⋅在[]0,2x ∈上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）是有界函数;[)1,+∞（2）11,28⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】（1）分离常数后,可得函数()f x 的单调性,在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内求得最大值与最小值,即可根据有界函数的定义求得M 的取值范围.（2）根据有界函数定义,可得()g x 的值域.代入解析式可分离得a 的不等式组.利用换元法转化为二次不等式形式,结合恒成立条件,即可求得a 的取值范围. 【详解】 （1）()1111x f x x x ==-++ 则()f x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 所以()f x 对任意11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦满足()1122f f x f ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而11,21123f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 所以()113f x -≤≤若()f x M ≤恒成立,则1M ≥ 即()f x 所有上界的值的集合为[)1,+∞（2）函数()124x xg x a =++⋅在[]0,2x ∈上是以3为上界的有界函数根据有界函数定义,可知()3≤g x 在[]0,2x ∈上恒成立 所以()33g x -≤≤ 即31243x x a -≤++⋅≤ 化简变形可得41214242x x x xa --≤≤- 令11,,142x t t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦则2242t t a t t --≤≤-在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立即满足()()22max min 42t t a t t --≤≤-由二次函数性质可知,2211144816y t t t ⎛⎫=--=-++⎪⎝⎭,当14t =时,()21max 1114442y ⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭ 222112248y t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭,所以当14t =时, ()22min 111124488y ⎛⎫=⨯--=- ⎪⎝⎭即11 28a-≤≤-,故a的取值范围为11,28⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了函数新定义的内容,对函数单调性与值域的综合应用,换元法的应用,恒成立问题的解法,属于中档题.20．如图，设F是椭圆22134x y+=的下焦点，直线()40y kx k=->与椭圆相交于A、B两点，与y轴交于点P.（1）若PA AB=u u u v u u u v，求k的值；（2）求证：AFP BFO∠=∠；（3）求面积ABFV的最大值．【答案】（1）55k=（2）证明见解析（3）334【解析】（1）联立221344x yy kx⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()223424360k x kx+-+=，由此利用韦达定理、根的判别式、向量相等，结合已知条件能求出k．（2）证明AFP BFO∠=∠，等价于证明等价于0AF BFk k+=，由此能证明AFP BFO∠=∠．（3）1212ABF PBF PAFS S S PF x x=-=⋅-V V V2184k-=．令24t k=-，利用基本不等式性质能求出ABFV面积的最大值．（1）联立221344x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()223424360k x kx +-+=， ∵直线()40y kx k =->与椭圆相交于A 、B 两点，∴()214440k ∆=->，即2k >或2k <-，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1222434k x x k +=+，1223634x x k =+， ∵PA AB =u u u r u u u r，∴212x x =，代入上式，解得k =（2）由图形得要证明AFP BFO ∠=∠，等价于证明直线AF 与直线BF 的倾斜角互补， 即等价于0AF BF k k +=，121211AF BF y k x x k y ++++=121233kx kx x x --=+121223x x x x k ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭222433423634k k k k ⋅+=-+220k k =-=， ∴AFP BFO ∠=∠． （3）∵2k >或2k <-， ∴1212ABF PBF PAF S S S PF x x =-=⋅-V V V132=⨯234k =+．令t =，则0t >，2234316k t +=+，∴22181816343163ABFt k t S t t===≤+++V =， 当且仅当163t t =，即2163t=，k =∴ABFV 面积的最大值为4．本题主要考查椭圆的简单性质的应用，通常需要联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，弦长公式等求解，属于常考题型．21．已知正项数列{}n a ，{}n b 满足：对任意正整数n ，都有n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列，且110a =，215a =．（Ⅰ）求证：数列{}nb 是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅲ）设n S =++…+，如果对任意的正整数n ，不等式22nn nb aS a <-恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）()242nn b +=，；（Ⅲ）a≤1【解析】【详解】 （Ⅰ）由已知得，即， 由2b 1=a 1+a 2=25，得b 1=252， 由a 22=b 1b 2，得b 2=18， ∴{}是以为首项，为公差的等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴()242nn b+=，因为n b ，1n a +，1n b +成等比数列 所以.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，原式化为，即f （n ）=恒成立，当a–1＞0即a＞1时，不合题意；当a–1=0即a=1时，满足题意；当a–1＜0即a＜1时，f（n）的对称轴为，f（n）单调递减，∴只需f（1）=4a–15＜0，可得a＜，∴a＜1；综上，a≤1.。

2020届上海市高考模拟数学试题一、单选题1．在平面直角坐标系内，到点()1,2A 和直线l ：30x y +-=距离相等的点的轨迹是（ ） A ．直线 B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线【答案】A【解析】根据已知判断点A 是否在直线上，即可结合抛物线的定义判断正确选项. 【详解】由题意，点()1,2A 在直线30x y +-=上，即动点到点A 的距离与动点到直线l 的距离相等，所以动点的轨迹是一条过点A 且与直线l 垂直的直线. 故选：A. 【点睛】本题考查了抛物线的定义，需注意抛物线定义中满足的条件，属于基础题. 2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“()1n n a a n *+<∈N ”是“()11n n S S n n n *+<∈+N ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先证明充分性，由条件1n n a a +<，可得121n n a a a na +++⋅⋅⋅+<，通过变形得到11n n S S n n +<+，再由条件11n n S S n n +<+，列举特殊数列，说明是否成立. 【详解】充分性：若1n n a a +<，则有121n n a a a na +++⋅⋅⋅+<，即()1n n n S n S S +<-，得()11n n n S nS ++<，于是有()11n n S S n n n *+<∈+N 成立，故充分性成立. 必要性：若()11n n S S n n n *+<∈+N 成立，取数列{}n a 为0,1,1,1,⋅⋅⋅，但推不出()1n n a a n *+<∈N ，故必要性不成立.故选:A【点睛】本题考查判断充分不必要条件，数列的递推公式和前n 项和公式的综合应用，重点考查转化与化归的思想，逻辑推理能力，属于中档题型.3．如图，正方形ABCD 的中心与圆O 的圆心重合，P 是圆O 的动点，则下列叙述不正确的是（ ）A ．PA PC PB PD ⋅+⋅是定值；B ．PA PB PB PC PC PD PD PA ⋅+⋅+⋅+⋅是定值； C ．PA PB PC PD +++是定值； D ．2222PA PB PC PD +++是定值． 【答案】C【解析】建立直角坐标系后，设正方形边长为2a ，圆的半径为r ， 表示出各点坐标，利用向量的数量积的坐标运算即可判断A.、B 、D 选项，举出反例即可判断C ，即可得解. 【详解】如图建立直角坐标系,设正方形边长为2a ，圆的半径为r ，则圆的方程为 222x y r +=，设点()P x y ，，则()A a a ，，()B a a -，，()C a a --，，()D a a -，， (),PA a x a y =--，(),PB a x a y =---，(),PC a x a y =----，(),PD a x a y =---，，对于A ：()()()(),,,,+a x a y a x a y a PA PC PB PD x a y a x a y ⋅+⋅⋅=----------⋅-- ()222222424x y a r a =+-=-，故A 正确；对于B ：()()+PA PB PB PC PC PD PD PA PB PA PC PD PC PA ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+()()()222+44PB PD PA P r C x y =+⋅=+=，故B 正确；对于C ：不妨取1,2a r ==，取点()20P ，，()210+2PA PB PC PD +++=，取点()13P ，，23+8+23+823PA PB PC PD +++=-，故C 错误； 对于D ：2222PA PB PC PD +++()()()()()()()()22222222+++++++++++a x a y a x a y a x a y a x a y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣=⎦()()()()2222++2+2+2+2a x a x a y a y --= ()22222+4+8+84a x y a r ==，故D 正确，故选：C.【点睛】本题考查了平面向量的应用，考查了圆的方程的应用和运算能力，属于中档题. 4．若不等式()sin 04a x b x π⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭，对于[]0,2x π∈成立，则()sin a b +，()cos a b -分别等于（ ）A ．22；22B ．22；22- C ．22-；22D ．22-；22- 【答案】D【解析】设()||f x a x b =--，根据三角函数值的符号，求得函数()f x 符号的变化，根据函数()f x 的单调性与对称性，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】 由02x π≤≤，则9444x πππ≤+≤， 当44x πππ≤+≤或9244x πππ≤+≤时，即304x π≤≤或724x ππ≤≤时，4in(0s )x π+≥，当24x πππ<+<时，即3744x ππ<<时，4in(0s )x π+<， 所以当304x π≤≤或724x ππ≤≤时，||0a x b --≤， 当3744x ππ<<时，||0a x b --≥， 设函数()||f x a x b =--，则()f x 在(,)b -∞上单调递增，在(,)b +∞上单调递减， 且函数()f x 的图象关于直线x b =对称，所以37()()044f f ππ==， 所以3752442b πππ=+=，解得54b π=， 又由335()||0444f a πππ=--=，解得π2a ，所以5sin()sin()242a b ππ+=+=-，5sin()sin()242a b ππ-=-=-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了三角函数值的计算，以及函数的单调性与对称性的应用，根据三角函数的符号，求得函数()||f x a x b =--的单调性与对称性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于较难题.二、填空题5．已知集合(){}2log 21A x x =-<，31B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =______． 【答案】()3,4【解析】先解对数不等式和分式不等式求得集合A 、B ，再根据交集定义求得结果. 【详解】因为(){}{}()2log 2102224A x x x x =-<=<-<=，，()()331003x B x x x x ⎧⎫⎧⎫-=<=<=-∞⋃+∞⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，所以()3,4A B ⋂=， 故答案为：()3,4. 【点睛】本题考查对数不等式和分式不等式的解法以及交集定义，属于基础题.6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1213n n S t -=，则t =______．【答案】32【解析】先由行列式的计算求得n S ，再根据数列的前n 项与通项的关系求得123a a a ，，，由等比数列的定义可求得答案.【详解】因为1213n n S t -=，所以132n n S t -=⨯-，所以1111323a S t t -==⨯-=-，()()211122132323a S S t t --=-=⨯--⨯-=，()()312133232326a S S t t --=-=⨯--⨯-=，又因为数列{}n a 是等比数列，所以3221a a a a =，即6333t=-，解得32t =， 故答案为：32. 【点睛】本题考查行列式的计算，数列的前n 项与通项的关系，等比数列的定义，属于中档题.7．已知双曲线22116x y m -=的一个焦点()15,0F ，其中一条渐近线为l ，过1F 作1F A l ⊥交l 于A ，则A 到原点距离是______． 【答案】3【解析】利用双曲线的方程及焦点坐标得出9m =，则可写出渐近线l 的方程，然后根据题目条件利用几何法解出.点A 到原点的距离. 【详解】由题意得：1625m +=，解得9m =， 设渐近线4:3l y x ，则14tan 3AOF ，所以13cos 5AOF , 又因为15OF ，故15cos 3OAAOF .故答案为：3. 【点睛】本题考查双曲线的标准方程及渐近线的应用，较简单.解答时，注意数形结合，利用几何法求解.8．某学校高三年级有A 、B 两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为________. 【答案】12【解析】利用乘法计数原理可计算出甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习共有32种，利用分步乘法计数原理计算出甲、乙两人不在同一教室上自习的排法种数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】由题意可知，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习共有32种， 甲、乙两人不在同一教室上自习，可先考虑甲在A 、B 两个自习教室选一间教室自习，然后乙在另一间教室自习，则丙可在A 、B 两个自习教室随便选一间自习教室自习，由分步计数原理可知，有224⨯=种选择. 因此，甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为4182=. 故答案为：12. 【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，同时也考查了分步计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.9．已知()22log 2log a b ab +=，则4a b +的最小值是______．【答案】9【解析】根据对数相等得到111b a +=，利用基本不等式求解()114a b b a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值得到所求结果. 【详解】 因为()22222log log log ab abab ==，所以()22l og og l a b ab +=，所以a b ab +=，所以111a b+=， ()1144414a ba b a b a b b a⎛⎫∴+=++=+++ ⎪⎝⎭，由题意知0ab >，则0a b >，40b a >，则44414259a b a ba b b a b a+=+++≥⋅+=，当且仅当4a b b a =，即2a b =时取等号，故答案为：9. 【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到111b a+=的关系，从而构造出符合基本不等式的形式，属于中档题.10．若1x 是关于x 的实系数方程230x bx ++=的一个虚根，则1x 等于______． 【答案】3【解析】若设1x m ni =+，再结已知条件利用韦达定理可求得结果 【详解】解：设1(,)x m ni m n R =+∈，则方程的另一个根为2x m ni =-，所以222212()()()x x m ni m ni m ni m n =+-=-=+，由韦达定理得123x x =，所以223m n +=， 所以2213x m n =+=，故答案为：3 【点睛】此题考查复数的运算，考查韦达定理的应用，考查复数的模，属于基础题 11．如图，一个球形广告气球被一束入射角为的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为米的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是___________2m .【答案】754π【解析】试题分析：由椭圆的最长的弦长为米，知椭圆的25a =，设气球的半径为R ，入射角为的平行光线与底面所成角就为60︒，则有2sin602a R ︒=，即534R =，从而气球的表面积为27544R ππ=2m . 【考点】球及球的表面积计算.12．在复变函数相关领域中，欧拉公式为cos sin i e i θθθ=+（这里i 是虚数单位），当θπ=时，可以得到10i e π+=，这个公式被誉为数学中最令人着迷的公式，根据欧拉公式，则54ie =______．【答案】4 【解析】由题得54|4(cos5sin5)|ie i =+，再利用复数的模的公式求解.【详解】由题得5224|4(cos5sin 5)|16cos 516sin 5=4i e i =++. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13．对于*N n ∈，将n 表示为1101102222k k k k n a a a a --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯，当i k =时，1i a =；当01i k ≤≤-时，i a 为0或1．定义n b 如下：在n 的上述表示中，当0a ，1a ，2a …k a 中等于1的个数为奇数时，1n b =；否则0n b =．则3456b b b b +++=______．【答案】1【解析】由已知可得，022231212,412,51212,61212=⨯+⨯=⨯=⨯+⨯=⨯+⨯，可得30b =，41b =，50b =，60b =，从而可得结论【详解】解：由题意可知，022231212,412,51212,61212=⨯+⨯=⨯=⨯+⨯=⨯+⨯， 所以30b =，41b =，50b =，60b =，， 所以3456b b b b +++=1， 故答案为：1 【点睛】此题考查新定义运算问题，正确理解新定义传递的信息是解题的关键，属于基础题 14．设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项之积为n T ，且1n n S T +=，则lim n n S →∞=______． 【答案】1【解析】令1n =可得11112a S T ===，利用n T 的定义，1(2)n nn T S n T -=≥，可得n T 的递推关系，从而得1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出n T 后可得n S ，从而可得lim n n S →∞． 【详解】111T a S ==，∴121a =，112a =，即1112S T ==，1(2)n n n T S n T -=≥，∴11n n n T T T -+=，∴1111n n T T --=，即{}n T 是以2为首项，1为公差的等差数列，故1211n n n T =+-=+，11n T n =+，1n n S n =+，112S =也符合此式，所以1n n S n =+，所以lim limlim lim +1111111n n n n n n n S n n n →∞→∞→∞→∞-⎛⎫==-= ⎪++⎝⎭=，故答案为：1. 【点睛】本题考查求数列的通项公式，解题中注意数列的和、数列的积与项的关系，进行相应的转化． 如对积n T 有1(2)nn n T S n T -=≥，对和n S 有1(2)n n n a S S n -=-≥，另外这种关系中常常不包括1n =的情形，需讨论以确定是否一致，属于较难题．15．工人师傅在如图1的一块矩形铁皮的中间画了一条曲线，并沿曲线剪开，将所得的两部分卷成圆柱状，如图2，然后将其对接，可做成一个直角的“拐脖”，如图3.对工人师傅所画的曲线，有如下说法 （1）是一段抛物线； （2）是一段双曲线； （3）是一段正弦曲线； （4）是一段余弦曲线； （5）是一段圆弧.则正确的说法序号是________.【答案】（3）（4）【解析】【分析】试题分析：利用平面图分析曲线的对称性，即可得出结论． 【详解】解：将图2剪开展成平面图分析可知，曲线为轴对称图形， 将图3剪开展成平面图分析可知，曲线也为中心对称图形． 所以此曲线即为轴对称图形又为中心对称图形，故只有③④正确． 故答案为：（3）（4）． 【点睛】本题考查平面与圆柱面的截线，考查函数的对称性和奇偶性，比较基础．16．已知直线l 与单位圆O 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，且圆心O 到l 3则1122x y x y +++的取值范围是______． 【答案】66⎡⎢⎣ 【解析】由圆心O 到l 33AOB π∠=，设点()11,A x y 到直线0x y +=的距离为1112x y d +=，点()22,B x y 到直线0x y +=的距离为2222x y d +=，则()1122122x y x y d d +++=+，设直线OA 与直线0x y +=的夹角为θ，分A B ，在直线0x y +=的同侧和异侧两种情况进行讨论即可. 【详解】直线l 与单位圆O 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，且圆心O 到l 的距离为32，半径为1，可得3AOB π∠=,如图直线0x y +=与圆交于,E F 两点，则点()11,A x y 到直线0x y +=的距离为1112x y d +=，点()22,B x y 到直线0x y +=的距离为2222x y d +=，设直线OA 与直线0x y +=的夹角为θ，当A B ，在直线0x y +=的同侧时，2,0,3AOE πθθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦,则23BOF πθ∠=-,()11221222=2sin sin =6sin 36x y x y d d ππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++=++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎦，20,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，5+,666πππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1sin ,162πθ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以11226,62x y x y +++∈⎡⎤⎢⎥⎣；当A B ，在直线0x y +=的异侧时，如图,0,3AOF πθθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦,则3BOF πθ∠=-,()1122122=2sin sin =2sin 33x y x y d d ππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++=++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2+,333πππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3sin ,132πθ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以11226,22x y x y +++∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦,综上，1122x y x y +++的取值范围是6,62⎡⎤⎢⎥⎣. 故答案为：6,6⎡⎤⎢⎥⎣ 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查点到直线的距离公式和两角差的正弦公式以及辅助角公式的应用，考查转化能力和计算能力，属于中档题.三、解答题17．已知正方体1111ABCD A B C D -，12AA =，E 为棱1CC 的中点．（1）求异面直线AE 与1DD 所成角的大小（结果用反三角表示）； （2）求C 点到平面ABE 的距离，并求出三锥C ADE -的体积．【答案】（1）1arccos3；（2）C点到平面ABE的距离为25，三锥C ADE-的体积为23．【解析】（1）由已知得AEC∠（或补角）是异面直线AE与1DD所成角，求解AEC 可得答案；（2）利用等体积E ABC C ABEV V--=，可求得设C点到平面ABE的距离，利用C ADE A CDEV V--=，可求得三锥C ADE-的体积．【详解】解：（1）连接AC，因为11//CC DD，所以AEC∠（或补角）是异面直线AE与1DD所成角，在AEC中，()22221cos3221ECAECAE AC EC∠====++，所以异面直线AE与1DD所成角是1arccos3；（2）设C点到平面ABE的距离为h，因为E ABC C ABEV V--=，即1133ABC ABES EC S h⋅=⋅△△，又正方体1111ABCD A B C D-中，AB⊥面11BB C C，所以ABE△是Rt ABE△，又2222215BE BC EC=+=+=，所以1111221253232h⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⋅，解得255h=，所以C ADE A CDEV V--=111212332DCES AD⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯⨯⎪⎝⎭△23=.【点睛】本题考查空间中异面直线所成的角，运用等体积法求点到面的距离以及三棱锥的体积，属于中档题.18．已知a 、b 、c 为正实数，()0,θπ∈．（1）当a 、b 、c 为ABC 的三边长，且a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C．若a =1c =，且3A π∠=．求b 的长；（2）若2222cos a b c bc θ=+-．试证明长为a 、b 、c 的线段能构成三角形，而且边a 的对角为θ．【答案】（1）2b =；（2）证明见解析．【解析】（1）利用余弦定理列方程，解方程求得b 的值.（2）结合余弦定理和()cos 1,1θ∈-，证得b c a b c -<<+，也即三角形两边的和大于第三边、两边的差小于第三边，由此证得a 、b 、c 的线段能构成三角形.结合余弦定理证得a 的对角为θ. 【详解】（1）由2312cos3b b π=+-，∴231b b =-+，即220b b --=，∴2b =或1b =-（舍去）. （2）由()0,θπ∈，可得()cos 1,1θ∈-所以()()22222222222cos 2b c b c bc b c bc a b c bc b c θ-=+-<+-=<++=+ 也就是b c a b c -<<+，因此长为,,a b c 的线段能构成三角形，不妨记为ABC ．在ABC 中，由余弦定理可设222cos cos 2b c a A bcθ+-==即cos cos A θ=，又(),0,A θπ∈，由cos y x =的单调性可得A θ= 所以边a 的对角为θ． 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，属于中档题.19．由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱，1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度y 与时间x 的关系，可近似地表示为168,0224,24x x y x x x ⎧--+≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，只有当河流中碱的浓度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用.（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？ （2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值. 【答案】（1；（2）14-【解析】【详解】（1）161815{2220202x x x x x x --+≥≤≤⇒⇒≤≤+≤≤≤≤, 41{2324x x x -≥⇒<≤≤≤,3x ≤≤. 即若1个单位的固体碱只投放一次，则能够维持有效抑制作用的时间为51322+-=（2）当02x ≤≤时，1682y x x =--++单调递增, 当24x <≤时，y=4-x 单调递减,所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱， 即24x <≤时，16164[(2)814(2)2y x x x x x=-+---+=-++,故当且仅当162,x x x==时，y有最大值14-本试题主要考查了函数在实际生活中的运用. 20．记δ=()00,P x y 与直线l ：0ax by c的“有向距离”．（1）分别求点()1,2A -与()2,3B 到直线l ：210x y -+=的“有向距离”，由此说明直线l 与两点A 、B 的位置关系．（2）求证：到两条相交定直线0bx ay ±=（a ，b 不同时为零）的“有向距离”之积等于非零常数的动点的轨迹为双曲线．（3）利用上述（2）结论证明：曲线24330x xy -+=为双曲线，并求其虚轴长．【答案】（1）,A B两点“有向距离”分别为1δ=，2δ=A 、B 分别在直线l 的两侧，且点A 距离直线l 较远；（2）证明见解析；（3）证明见解析，虚轴【解析】（1）根据“有向距离”定义直接求解，并根据值的符号与绝对值大小确定位置关系；（2）根据“有向距离”定义列轨迹方程，根据方程特征证明双曲线；（3）先确定双曲线渐近线方程，再确定实轴所在直线方程，进而解得实轴长，即得虚轴长. 【详解】 （1）由1δ==2δ== 说明两点A 、B 分别在直线l 的两侧，且点A 距离直线l 较远（2）证明：设两条相交的直线方程为0bx ay ±=（a ，b 不同时为零），动点(),M x y ，()2222220b x a y k k a b -==≠+ 即()()222222221b a x y a b k a b k-=++ 即()22221,0x y m n m n-=±>形式．显然所求动点的轨迹为双曲线． 反之，可以证明：双曲线上任意一点到两条渐近线的“有向距离”之积为常数．证明：设双曲线方程()()222222221b a x y a b k a b k-=++上任意一点为(),M x y ，它到双曲线的两条渐近线0bx ay ±=的有向距离之积为()2222222222a b kb x a y k a b a b +-===++ （3）因为方程24330x xy -+=可以变为43355x y x -⋅=-， 所以方程表示为(),M x y 到y 轴和直线430x y -=的有向距离之积为35的轨迹， 因此曲线24330x xy -+=为双曲线，且该双曲线的两条渐近线为y 轴和直线430x y -=．因为方程24330x xy -+=可以变为413x y x=+，所以方程表示的曲线在第一、三象限内，双曲线实轴所在的直线为两条渐近线所夹角的平分线，于是双曲线的实轴所在的直线的方向向量为()34390,1,,5555d ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，斜率为3k =，因此双曲线实轴所在的直线为3y x =． 联立方程234330y xx xy =⎧⎨-+=⎩求得解得双曲线的顶点为A ，A ⎛'- ⎝因此a OA ==故双曲线的实轴长为设过点A 作实轴的垂直线交y 轴为B ，则直线AB 的方程为13y x ⎛-=- ⎝．令0x =，得c y ==．因此22233827b c a =-=，b =． 【点睛】本题考查新定义、双曲线定义、双曲线基本量，考查综合分析求解能力，属较难题. 21．已知数列{}n a 是由正整数组成的无穷数列，若存在常数*N k ∈，使得212n n n a a ka -+=，对任意的*N n ∈成立，则称数列{}n a 具有性质()k ψ．（1）分别判断下列数列{}n a 是否具有性质()2ψ；（直接写出结论）①1n a =；②2n a n =．（2）若数列{}n a 满足()11,2,3n n a a n +≥=，求证：“数列{}n a 具有性质()2ψ”是“数列{}n a 为常数列”的充分不必要条件；（3）已知数列{}n a 中11a =，且()11,2,3n n a a n +>=．若数列{}n a 具有性质()4ψ，求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）①数列{}n a 具有“性质()2ψ”；②数列{}n a 不具有“性质()2ψ”；（2）证明见解析；（3）21n a n =-．【解析】（1）验证对任意的*N n ∈，是否有2122n n n a a a -+=成立；（2）先证明充分性，即证明当数列{}n a 具有性质()2ψ时，{}n a 为常数列，再证明充分性，即{}n a 为常数列时，{}n a 具有性质()2ψ；（3）先利用{}n a 具有性质()4ψ证明12n n a a +-≥恒成立，然后运用反证法可证明12n n a a +-≤成立，则12n n a a +-=，然后可解得数列{}n a 的通项公式.【详解】解：（1）①数列{}n a 具有“性质()2ψ”；②数列{}n a 不具有“性质()2ψ”． （2）先证“充分性”：当数列{}n a 具有“性质()2ψ”时，有2122n n n a a a -+=， 又因为21n n a a -≥，所以22100n n n n a a a a -≤-=-≤，进而有2n n a a =，结合21n n a a -≥有12n n n a a a +==⋅⋅⋅=，即“数列{}n a 为常数列”； 再证“必要性”：若“数列{}n a 为常数列”，则有212122n n n a a a a -+==，即数列{}n a 具有“性质()2ψ”． （3）首先证明：12n n a a +-≥． 因为{}n a 具有“性质()4ψ”， 所以2124n n n a a a -+=． 当1n =时有2133a a ==．又因为212*,,N n n n a a a -∈且221n n a a ->，所以有221n n a a ≥+，2121n n a a -≤-， 进而有221121122n n n n a a a a +++≤≤-≤-， 所以()123n n a a +-≥，结合21*,N n n a a -∈可得：12n n a a +-≥．然后利用反证法证明：12n n a a +-≤． 假设数列{}n a 中存在相邻的两项之差大于，即存在*N k ∈满足：2123k k a a +-≥或22213k k a a ++-≥， 进而有()()()122212214k k k k k k a a a a a a +++--=+-+()()2222121k k k k a a a a ++-=-+-()()()()22212122122219k k k k k k k k a a a a a a a a ++++-=-+-+-+-≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦又因为*1N k k a a +-∈，所以13k k a a +-≥依次类推可得：213a a -≥，矛盾， 所以有12n n a a +-≤． 综上有：12n n a a +-=， 结合11a =可得21n a n =-，经验证，该通项公式满足2124n n n a a a -+=， 所以：21n a n =-． 【点睛】本题考查新定义数列问题，考查学生获取新知识、应用新知识的能力，难度较大.。

高考数学一模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.若函数在区间（1，e）上存在零点，则常数a的取值范围为（ ）A. 0＜a＜1B.C.D.2.下列函数是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增的是（ ）A. B. f（x）=|x|-2cos xC. D. f（x）=10|lg x|3.已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a、b、c不可能满足的是（ ）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面4.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：，-π＜φ＜π，下列判断错误的是（ ）A. 当a＞0，b＞0时，辅助角B. 当a＞0，b＜0时，辅助角C. 当a＜0，b＞0时，辅助角D. 当a＜0，b＜0时，辅助角二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=______．6.已知，则λ=______．7.函数y=3x-1（x≤1）的反函数是______．8.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有______场球赛．9.以抛物线y2=-6x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是______．10.在（1-x）5（1+x3）的展开式中，x3的系数为______．（结果用数值表示）11.不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6的解集是______．12.已知方程x2-kx+2=0（k∈R）的两个虚根为x1、x2，若|x1-x2|=2，则k=______．13.已知直线l过点（-1，0）且与直线2x-y=0垂直，则圆x2+y2-4x+8y=0与直线l相交所得的弦长为______．14.有一个空心钢球，质量为142g，测得外直径为5cm，则它的内直径是______cm（钢的密度为7.9g/cm3，精确到0.1cm）．15.已知{a n}、{b n}均是等差数列，c n=a n•b n，若{c n}前三项是7、9、9，则c10=______．16.已知a＞b＞0，那么，当代数式取最小值时，点P（a，b）的坐标为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，DD1=3，E是AB的中点．（1）求四棱锥C1-EBCD的体积；（2）求异面直线C1E和AD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18.已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若f（x）=a在区间上有两个解x1、x2，求a的取值范围及x1+x2的值．19.一家污水处理厂有A、B两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%．（1）A池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A、B两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定．（精确到1小时）20.已知直线l：x=t（0＜t＜2）与椭圆相交于A、B两点，其中A在第一象限，M是椭圆上一点．（1）记F1、F2是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB过F2，当M到F1的距离与到直线AB的距离相等时，求点M的横坐标；（2）若点M、A关于y轴对称，当△MAB的面积最大时，求直线MB的方程；（3）设直线MA和MB与x轴分别交于P、Q，证明：|OP|•|OQ|为定值．21.已知数列{a n}满足a1=1，a2=e（e是自然对数的底数），且，令b n=ln a n（n∈N*）．（1）证明：；（2）证明：是等比数列，且{b n}的通项公式是；（3）是否存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立？若存在，求t的取值范围，否则，说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：函数在区间（1，e）上为增函数，∵f（1）=ln1-1+a＜0，f（e）=ln e-+a＞0，可得＜a＜1故选：C．判断函数的单调性，利用零点判断定理求解即可．本题考查函数与方程的应用，函数的零点的判断，是基本知识的考查．2.【答案】A【解析】解：由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D错；A：f（-x）=log2（4-x+1）+x=log2+x=log2（4x+1）-log222x+x=log2（4x+1）-x=f（x）；f（x）=log2（4x+1）-x=log2=log2（2x+）≥log22=1，当且仅当2x=，即x=0时等号成立，故A正确；B：x＞0时，f（x）=x-2cos x，令f′（x）=1-2sin x＞0，得x∈（0，2kπ+）∪（2kπ+，2kπ+2π）（k∈N*），故B不正确；C：x≠0时，x2+≥2，当且仅当x2=，即x=±1时，等号成立，∴不满足在[0，+∞）上单调递增，故C不正确；故选：A．由偶函数的定义，及在[0，+∞）上单调即可求解；考查偶函数的定义，函数在特定区间上的单调性，属于低档题；3.【答案】B【解析】解：平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，所以直线a、b、c在三个平面内，不会是共面直线，所以：当直线两两平行时，a、b、c为共面直线．与已知条件整理出的结论不符．故选：B．直接利用直线和平面的位置关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：直线和平面之间的关系的应用，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题型．4.【答案】B【解析】解：因为cosφ=，sinφ=⇒tanφ=，对于A，因为a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限⇒0＜φ＜，因为＞0，φ=arctan＞0，故A选项正确；对于B，因为a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限⇒-＜φ＜0；，故φ=π-arctan（-）=π+arctan＞0，故B选项错误；对于C，因为a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限⇒⇒＜φ＜π；＜0，故φ═π-arctan（-）=π+arctan＞0，故C选项正确；对于D，因为a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限⇒-π＜φ＜-，＞0，故φ=arctan，又因为φ∈（-π，π]，故φ=arctan-π＜0，故D选项正确；故选：B．分别判断出a，b的值，对辅助角φ的影响．①a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限；②a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限；③a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限；④a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限．本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力；属于中档题．5.【答案】【解析】解：∵复数z满足z（1+i）=2i，∴（1-i）z（1+i）=2i（1-i），化为2z=2（i+1），∴z=1+i．∴|z|=．故答案为：．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．6.【答案】3【解析】解：=（λ-4）+2λ=5，解之得λ=3，故答案为：3．由行列式的公式化简求解．本题考查行列式，属于基础题．7.【答案】y=1+log3x，x∈（0，1]【解析】解：y=3x-1（x≤1），y∈（0，1]，得x-1=log3y，x，y对换，得y=1+log3x，x∈（0，1]，故答案为：y=1+log3x，x∈（0，1]，利用反函数的求法，先反解x，再对换x，y，求出即可．本题考查了反函数的求法，属于基础题．8.【答案】66【解析】解：根据题意利用组合数得．故答案为：66．直接利用组合数的应用求出结果．本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9.【答案】（x+）2+y2=9【解析】解：抛物线y2=-6x的焦点坐标为：（-，0）准线的方程为x=，所以叫点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：．故答案为：．首先求出抛物线的交点坐标和准现方程，进一步求出圆的方程．本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】6【解析】解：（1-x）5•（1+x）3=（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3=（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6）∴展开式中x3的系数为（-2）•（-3）=6．故答案为：6．把（1-x）5•（1+x）3化为（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3，再化为（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6），由此求出展开式中x3的系数．本题考查了二项式系数的性质与应用问题，解题时应根据多项式的运算法则合理地进行等价转化，是基础题目．11.【答案】（-4，+∞）【解析】解：不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6转换为不等式|x2-x+2|＞x2-3x-6，由于函数y=x2-x+2的图象在x轴上方，所以x2-x+2＞0恒成立，所以x2-x+2＞x2-3x-6，整理得x＞-4，故不等式的解集为（-4，+∞）．故答案为（-4，+∞）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.【答案】±2【解析】解：∵方程程x2-kx+2=0的两个虚根为x1、x2，可设x1=a+bi，x2=a-bi（a，b∈R）．∴x1+x2=2a=k，x1x2=a2+b2=2，∵|x1-x2|=2，∴|2bi|=2，联立解得：b=±1，a=±1．∴k=±2．故答案为：±2．由题意设x1=a+bi，x2=a-bi（a，b∈R），利用根与系数的关系结合|x1-x2|=2求得a与b 的值，则k可求．本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：由题意可得，l的方程为x+2y+1=0，∵x2+y2-4x+8y=0可化为（x-2）2+（y+4）2=20，圆心（2，-4），半径r=2，∴圆心（2，-4）到l的距离d==，∴AB=2=2=2．故答案为：2．先求出直线l的方程，再求出圆心C与半径r，计算圆心到直线l的距离d，由垂径定理求弦长|AB|．本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，是基础题．14.【答案】4.5【解析】解：设钢球的内半径为r，所以7.9××3.14×[-]=142，解得r≈2.25．故内直径为4.5cm．故答案为：4.5．直接利用球的体积公式和物理中的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.【答案】-47【解析】解：设c n=a n•b n=an2+bn+c，则，解得∴c10=-1×102+5×10+3=-47，故答案为：-47．{a n}、{b n}均是等差数列，故{c n}为二次函数，设c n=an2+bn+c，根据前3项，求出a，b ，c的值，即可得到c10．本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】（2，）【解析】解：因为a＞b＞0：∴b（a-b）≤=；所以≥a2+≥2=16．当且仅当⇒时取等号，此时P（a，b）的坐标为：（2，）．故答案为：（2，）．先根据基本不等式得到b（a-b）≤=；再利用一次基本不等式即可求解．本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题型．17.【答案】解：（1）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∵底面四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∴B到DC边的距离为，又E是AB的中点，∴BE=1，则．∵DD1=3，∴=；（2）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∵AD∥B1C1，∴∠B1C1E即为异面直线C1E和AD所成角，连接B1E，在△C1B1E中，B1C1=2，，=．∴cos∠B1C1E=，∴异面直线C1E和AD所成角的大小为arccos．【解析】（1）求解三角形求出底面梯形BCDE的面积，再由棱锥体积公式求解；（2）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，由题意可得AD∥B1C1，则∠B1C1E即为异面直线C1E和AD所成角，求解三角形得答案．本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18.【答案】解：（1）函数===．所以函数的最小正周期为，令（k∈Z），解得（k∈Z），所以函数的对称中心为（）（k∈Z）．（2）由于，所以，在区间上有两个解x1、x2，所以函数时，函数的图象有两个交点，故a的范围为[0，）．由于函数的图象在区间上关于x=对称，故．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数a的范围和x1+x2的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（1）A池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，剩余原来的90%，设A池要用t小时才能把污物的量减少一半，则0.9x=0.5，可得x=≈7，则A池要用7小时才能把污物的量减少一半；（2）设A、B两池同时工作，经过x小时后把两池水混合便符合环保规定，B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%，剩余原来的81%，可得=0.1，即0.92x+0.9x-0.2=0，可得0.9x=，可得x=≈17．则A、B两池同时工作，经过17小时后把两池水混合便符合环保规定．【解析】（1）由题意可得A池每小时剩余原来的90%，设A池要用t小时才能把污物的量减少一半，则0.9x=0.5，两边取对数，计算可得所求值；（2）设A、B两池同时工作，经过x小时后把两池水混合便符合环保规定，B池每小时剩余原来的81%，可得=0.1，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值．本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．20.【答案】解：（1）设M（x，y），-2≤x≤2，F1（-），F2（，0），直线AB 过F2，所以t=由题意得：=|x-|⇒y2=-4x，联立椭圆方程：+=1⇒y2=2-，解得x=-6+4，即M的横坐标是：-6+4．（2）设A（t，y1），B（t，-y1），M（-t，y1），则S△MAB=2t•|2y1|=2t•|y1|，而A在椭圆上，所以，+=1∴1≥2•⇒ty1≤，∴S△MAB≤2，当且仅当t=，即t=y1时取等号，∴t=，这时B（，-1），M（-，1），所以直线MB方程：y=-x；（3）设点A（t，y1），B（t，-y1），M（x0，y0），则直线MA：y=•（x-t）+y1，所以P的坐标（，0）同理直线MB：y=（x-t）-y1，所以Q的坐标（，0）所以|OP|•|OQ|=||，又因为A，M在椭圆上，所以y12=2-t2，y02=2-x02代入|OP|•|OQ|=||=4，恒为定值．【解析】（1）由题意可得焦点F1，F2的坐标，进而可求出A的坐标，设M的坐标，注意横坐标的范围[-2，2]，在椭圆上，又M到F1的距离与到直线AB的距离相等，可求出M的横坐标；（2）M，A，B3个点的位置关系，可设一个点坐标，写出其他两点的坐标，写出面积的表达式，根据均值不等式可求出横纵坐标的关系，又在椭圆上，进而求出具体的坐标，再求直线MB的方程；（3）设M，A的坐标，得出直线MA，MB的方程，进而求出两条直线与x轴的交点坐标，用M，A的坐标表示，而M，A又在椭圆上，进而求出结果．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难度题．21.【答案】（1）证明：由已知可得：a n＞1．∴ln a n+1+ln a n≥2，∴ln≥，∵，b n=ln a n（n∈N*）．∴ln a n+2≥，∴．（2）证明：设c n=b n+1-b n，∵，b n=ln a n（n∈N*）．∴====-．∴是等比数列，公比为-．首项b2-b1=1．∴b n+1-b n=．∴b n=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+……+（b n-b n-1）=0+1+++……+==．∴{b n}的通项公式是；（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．∴n=1时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，∵===1-．当n=2时，取得最小值，=．∴t≤．【解析】（1）由已知可得：a n＞1．利用基本不等式的性质可得：ln a n+1+ln a n≥2，可得ln≥，代入化简即可得出．（2）设c n=b n+1-b n，由，b n=ln a n（n∈N*）．可得==-．即可证明是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．n=1时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，利用单调性即可得出．本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等比数列的定义通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．高考数学三模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.关于三个不同平面α，β，γ与直线l，下列命题中的假命题是（ ）A. 若α⊥β，则α内一定存在直线平行于βB. 若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC. 若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γD. 若α⊥β，则α内所有直线垂直于β2.在一次化学测试中，高一某班50名学生成绩的平均分为82分，方差为8.2，则下列四个数中不可能是该班化学成绩的是（ ）A. 60B. 70C. 80D. 1003.已知双曲线：，过点作直线，使与有且仅有一个公共点，则满足上述条件的直线共有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条4.有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（）种A. 48B. 72C. 78D. 84二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.若全集为实数集R，，则∁R M=______6.抛物线的准线方程为______．7.关于x方程=0的解为______ ．8.函数f（x）=2sin x+1，的反函数f-1（x）=______9.函数的图象相邻的两条对称轴之间的距离是______10.若，则二项式（x-2a）10展开式的系数和是______11.某校要从名男生和名女生中选出人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的志愿者中,男、女都有的概率为______(结果用数值表示).12.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是______13.设实数x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则2a+3b的值为______14.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A、B两点，则线段AB的长是______15.定义在R上的偶函数f（x）对任意的x∈R有f（1+x）=f（1-x），且当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．若函数y=f（x）-log a x在（0，+∞）上有四个零点，则a的值为______ ．16.已知向量、满足，，则的取值范围是______三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，已知多面体ABC-A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sin A的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．19.某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后这x名员工他们平均每人创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整多少名员工从事第三产业？（2）设x≤400，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求a的最大值．20.如图，以椭圆=1（a＞1）的右焦点F2为圆心，1-c为半径作圆F2（其中c为已知椭圆的半焦距），过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T．（1）若a=，P为椭圆的右顶点，求切线长|PT|；（2）设圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若|PT|≥（a-c）恒成立，且OA⊥OB．求：①c的取值范围；②直线l被圆F2所截得弦长的最大值．21.给定数列{a n}，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，即A i=max{a1，a2，…，a i}；该数列后n-i项a i+1，a i+2，…，a n中的最小项为B i，即B i=min{a i+1，a i+2，…，a n}；d i=A i-B i（i=1，2，3，…，n-1）（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d1，d2，d3；（2）若S n是数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*，有，其中λ为实数，λ＞0且．①设，证明数列{b n}是等比数列；②若数列{a n}对应的d i满足d i+1＞d i对任意的正整数i=1，2，3，…，n-2恒成立，求实数λ的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：对于A，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故A正确；对于B，假设α内存在直线a垂直于β，则α⊥β，与题设矛盾，故假设错误，故B正确；对于C，设α∩γ=c，β∩γ=d，在γ内任取一点P，作PM⊥c于点M，PN⊥d于点N则PM⊥α，PN⊥β，且PM、PN不可能共线．又l⊂α，l⊂β，∴PM⊥l，PN⊥l．又PM∩PN=P，PM⊂γ，PN⊂γ，∴l⊥γ．故C正确．对于D，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故D错误．故选：D．根据空间线面位置关系的判定和性质判断或距离说明．本题主要考查了直线与平面位置关系的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．2.【答案】A【解析】解：高一某班50名学生成绩的平均分为82分，方差为8.2，根据平均数、方差的意义，可知60分不可能是该班化学成绩．故选A．根据平均数、方差的意义，可知结论．本题考查平均数、方差的意义，比较基础．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生数形结合和转化和化归的思想的运用，属于一般题.先确定双曲线的右顶点，进而根据图形可推断出当l垂直x轴时与C相切，与x轴不垂直且与C相切，与渐近线平行且与C较与1点（两种情况）满足l与C有且只有一个公共点．【解答】解：根据双曲线方程可知a=1，①当直线l斜率不存在时，直线l方程为：x=1，满足与曲线C只有一个公共点；②当直线l斜率存在时，设直线l方程为：y-1=k(x-1),即：y=k(x-1)+1，联立,整理可得：，当,即k=时，此时方程有且仅有一个实数根，∴直线l:与曲线C有且仅有一个公共点，当时，,解得：,∴直线l:与曲线C有且仅有一个公共点，综上所述：满足条件的直线l有4条．故选：D.4.【答案】A【解析】解：将五个球排成一行共有种不同的排法，当两个红色球相邻共有种不同的排法，当两个黄色球相邻共有种不同的排法，当两个黄色球、两个红色球分别相邻共有种不同的排法，则将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有--+=120-48-48+24=48（种），故选：A．由排列组合及简单的计数问题得：将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有--+=48（种），得解．本题考查了排列组合及简单的计数问题，属中档题．5.【答案】【解析】解：∵；∴．故答案为：．可以求出集合M，然后进行补集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，对数函数的单调性及对数函数的定义域，以及补集的运算．6.【答案】y=1【解析】解：由，得x2=-4y，∴2p=4，即p=2，则抛物线的准线方程为y==1．故答案为：y=1．化抛物线方程为标准式，求得p，则直线方程可求．本题考查抛物线的简单性质，是基础题．7.【答案】x=或x=，k∈Z【解析】解：由=0，得4sin x cosx-1=0，即sin2x=．∴2x=或x=，则x=或x=，k∈Z．故答案为：x=或x=，k∈Z．由已知可得sin2x=．求出2x的值，则原方程的解可求．本题考查二阶矩阵的应用，考查了三角函数值的求法，是基础题．8.【答案】，x∈[1，3]【解析】解：由y=2sin x+1，得sin x=，∵，∴x=，把x与y互换，可得f-1（x）=，x∈[1，3]．故答案为：，x∈[1，3]．由已知利用反正弦求得x，把x与y互换得答案．本题考查三角函数的反函数的求法，注意原函数的定义域是关键，是基础题．9.【答案】【解析】解：=（sin x+cos x）cos x==，所以f（x）的周期T=，所以f（x）的图象相邻的两条对称轴之间的距离为，故答案为：．化简f（x），然后根据f（x）图象相邻的两条对称轴之间的距离为即可得到结果．本题考查了三角函数的图象与性质，属基础题．10.【答案】1024【解析】解：由，知a≠1，∴===，∴a=，∴（x-2a）10=（x+1）10，∴其展开式系数之和为C100+C101+C102+…+C1010=210=1024，故答案为：1024．根据数列的极限求出a的值，然后代入二项式（x-2a）10中求其展开式的系数和即可．本题考查了数列的极限和二项式展开式系数和的求法，属基础题．11.【答案】【解析】【分析】本题考查等可能事件的概率计算，在求选出的志愿者中，男、女生都有的情况数目时，可以先求出只有男生、女生的数目，进而由排除法求得．根据题意，首先计算从2名男生和4名女生中选出4人数目，再分析选出的4人中只有男生、女生的数目，由排除法可得男、女生都有的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，从2名男生和4名女生中选出4人，有C64=15种取法，其中全部为女生的有C44=1种情况，没有全部为男生的情况，则选出的4名志愿者中，男、女生都有的情况有15-1=14种，则其概率为.故答案为.12.【答案】【解析】解：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），其底面积：S=×2×1+=，高h=3，故棱锥的体积V==，故答案为：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），代入锥体体积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，难度中档．13.【答案】1【解析】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-x+，∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率-＜0，作出不等式对应的平面区域如图：平移直线得y=-x+，由图象可知当直线y=-x+经过点B时，直线y=-x+的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（4，6），此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，即4a+6b=2，即2a+3b=1，故答案为：1．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，即可得到结论．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．14.【答案】【解析】解：由得x2+=1，将代入到x2+=1并整理得：t2+4t=0，设A，B对应的参数为t1，t2，则t1=0，t2=-，∴|t1-t2|=故答案为：．联立直线的参数方程与曲线C的普通方程，利用参数的几何意义可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．15.【答案】【解析】【分析】由已知中f（x+1）=f（1-x），故可能函数是以2为周期的周期函数，又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，结合当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．我们易得函数f（x）的图象，最后利用图象研究零点问题即可．本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，函数的周期性，考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化与数形结合的数学思想，属于中档题．【解答】解：由函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=f（1-x）成立，可得f（x+2）=f（-x）=f（x），∴函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．函数y=f（x）-log a x在（0，+∞）上的零点个数等于函数y=f（x）和函数y=log a x的图象在（0，+∞）上的交点个数，如图所示：当y=log a x的图象过点A（4，-1）时，函数y=f（x）-log a x在（0，+∞）上有四个零点，∴-1=log a4，∴a=．故答案为：．16.【答案】【解析】解：向量、满足，，由题意可设，=（0，1）、=（x，y）；、满足，，且x2+y2=4；则：+=（x，1+y）；-=（-x，1-y）；则=+转换成所求为点（x．y）到（0，-1）与点（0，1）的距离之和大小，且（x，y）可看成在x2+y2=4表示的圆周上的点；由数形结合法知即：当（x，y）在（2，0）或（-2，0）时，则值最小为3+1=4；当（x，y）在（0，2）或（0，-2）时，则值最大为2=2；则的取值范围是故答案为：．利用设向量、的坐标表示法，利用向量模长转换成函数求最值，利用数形结合法求转换后的最值即可．本题考查了向量模长应用的问题，采用数形结合法，分类讨论解题时应根据平面向量的线性运算法则进行化简．．17.【答案】（1）证明：由余弦定理得，所以，∵A1A⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AA1∥BB1，AB⊥BB1，∵AA1=4，BB1=2，AB=2，∴A1B1==2，又AB1==2，∴，∴AB1⊥A1B1，,,即即AB1⊥B1C1，又A1B1∩B1C1=B1，A1B1，B1C1平面A1B1C1，∴AB1⊥平面A1B1C1．（2）解：取AC中点O，过O作平面ABC的垂线OD，交A1C1于D，∵AB=BC，∴OB⊥OC，以O为原点，以OB，OC，OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则A（0，-，0），B（1，0，0），B1（1，0，2），C1（0，，1），∴=（1，，0），=（0，0，2），=（0，2，1），设平面ABB1的法向量为=（x，y，z），则，∴，令y=1可得=（-，1，0），∴cos===．设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ，则sinθ=|cos|=．∴直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为．【解析】本题主要考查了线面垂直的判定定理，线面角的计算与空间向量的应用，考查计算能力与空间想象能力，属于中档题．（1）利用勾股定理的逆定理证明AB1⊥A1B1，AB1⊥B1C1，从而可得AB1⊥平面A1B1C1；（2）以AC的中点为坐标原点建立空间坐标系，求出平面ABB1的法向量，计算与的夹角即可得出线面角的正弦值．18.【答案】解：（1）由题意可得=cos（A-B）cos B-sin（A-B）sin B=cos[（A-B）+B]=cos A=，∴sin A==；（2）由正弦定理可得，∴sin B===，∵a＞b，∴A＞B，∴B=，由余弦定理可得=，解得c=1，或c=-7（舍去），故向量在方向上的投影为cos B=c cos B=1×=．【解析】（1）由数量积的坐标表示和涉及函数的公式可得=cos A=，由同角三角函数的基本关系可得sin A；（2）由正弦定理可得sin B=，结合大边对大角可得B值，由余弦定理可得c值，由投影的定义可得．本题考查平面向量的数量积和两角和与差的三角函数公式，属中档题．19.【答案】解：（1）由题意得：10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，即x2-500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）由题意得：10x（a-）≤10（1000-x）（1+0.2x%），即ax≤+1000+x，因为x＞0，所以a≤在（0，400]恒成立，令f（x）=，则f（x）=≥2×2+1=5，当仅当时取等，此时x=500，但因为x≤400，且函数f（x）=在（0，500）上单调递减，所以x=400时，f（x）取最小值为f（400）=，所以a最大值为．【解析】本题考查函数的实际应用，涉及不等式、函数基本性质等知识点，属于中档题．（1）根据题意列出不等式10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，求出解集即可；（2）根据题意可列10x（a-）≤10（1000-x）（1+0.2x%），化成a≤在（0，400]恒成立，构造函数令f（x）=，利用对勾函数性质求出最值即可．20.【答案】解：（1）由a=，得c=，则当P为椭圆的右顶点时|PF2|=a-c=，故此时的切线长|PT|=；（2）①当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，而|PF2|min=a-c，由|PT|≥（a-c）恒成立，得≥（a-c），解得≤c＜1；②由题意Q点的坐标为（1，0），则直线l的方程为y=k（x-1），代入，得（a2k2+1）x2-2a2k2x+a2k2-a2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，，可得=，又OA⊥OB，则=0，得k=a．可得直线l的方程为ax-y-a=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离d=，半径r=1-c，则直线l被圆F2所截得弦长为L=2=，设1-c=t，则0＜t≤，又=，∴当t=时，的最小值为，。

2020年6月普通高考数学(上海卷)全真模拟卷(1)(解析版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2020年6月普通高考（上海卷）全真模拟卷（1）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：高中全部内容。

一、填空题：本题共12个小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分.1．设集合{1,2,3}A =，{|1}B x x =>，则A B =______【答案】{2,3}【解析】由交集定义可得：{}2,3A B ⋂=本题正确结果：{}2,32．已知11x yi i=-+，其中x y 、是实数,i 是虚数单位,则x yi +的共轭复数为_____. 【答案】2i -【解析】 由()()()=11211111122=2x x i x x xi yi yi yi x i i i y ⎧⎪-⎪=-⇒=-⇒-=-⇒⎨++-⎪⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩ 2x yi i ∴+=+，其共轭复数为2i -故答案为：2i -3．函数y = __________________.【答案】[1,2]【解析】因为函数02=≤≤y x ，那么利用二次函数的性质可知，对称轴为x=1，那么函数的单调递减区间是[1,2]，故答案为[1,2]。

4．函数2()log (1)1f x x =-+的反函数是________【答案】121()x y x R -=+∈.【解析】由()2log 11y x =-+，得()2log 11x y -=-，则有112y x --=，121y x -∴=+，因此，函数()()2log 11f x x =-+的反函数为()121x y x R -=+∈，故答案为：()121x y x R -=+∈.5．满足线性的约束条件02x x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩的目标函数2z x y =-的最大值为________【答案】1【解析】由2z x y =-，得2y x z =-，作出可行域，如图所示：平移直线2y x z =-，由图像知，当直线经过点C 时，截距最小，此时z 取得最大值。

上海市2020年〖人教版〗高考数学模拟试卷理科一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A.134石B.169石C.338石D.1365石2.（5分）i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A.iB.﹣iC.1D.﹣13.（5分）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A.212B.211C.210D.294.（5分）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（）A.P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B.P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）C.对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）D.对任意正数t，P （X≥t）≥P（Y≥t）5.（5分）设a1，a2，…，a n∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则（）A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6.（5分）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A.sgn[g（x）]=sgnxB.sgn[g（x）]=﹣sgnxC.sgn[g （x）]=sgn[f（x）]D.sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]7.（5分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y ≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（）A.P1＜P2＜P3B.P2＜P3＜P1C.P3＜P1＜P2D.P3＜P2＜P18.（5分）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b （a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A.对任意的a，b，e1＞e2B.当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C.对任意的a，b，e1＜e2D.当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e29.（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A.77B.49C.45D.3010.（5分）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A.3B.4C.5D.6二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11.（5分）已知向量⊥，||=3，则•=.12.（5分）函数f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln （x+1）|的零点个数为.13.（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m 后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=m.14.（5分）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2.（1）圆C的标准方程为；（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：①=；②﹣=2；③+=2.其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）选修4-1：几何证明选讲15.（5分）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则=.选修4-4：坐标系与参数方程16.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（ t为参数），l与C相交于A，B两点，则|AB|=.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（11分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ）05﹣50（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象.若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值.18.（12分）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100.（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n.19.（12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.（1）证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值. 20.（12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品.生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量.（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.21.（14分）一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB 内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.22.（14分）已知数列{a n}的各项均为正数，b n=n（1+）n a n（n∈N+），e为自然对数的底数.（1）求函数f（x）=1+x﹣e x的单调区间，并比较（1+）n与e 的大小；（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令c n=（a1a2…a n），数列{a n}，{c n}的前n项和分别记为S n，T n，证明：T n＜eS n.参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A.iB.﹣iC.1D.﹣1【分析】直接利用复数的单位的幂运算求解即可.【解答】解：i607=i604+3=i3=﹣i，它的共轭复数为：i.故选：A.【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查.2.（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A.134石B.169石C.338石D.1365石【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论.【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，故选：B.【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础.3.（5分）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A.212B.211C.210D.29【分析】直接利用二项式定理求出n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可.【解答】解：已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得，可得n=3+7=10.（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为：=29.故选：D.【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力.4.（5分）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（）A.P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B.P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）C.对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）D.对任意正数t，P （X≥t）≥P（Y≥t）【分析】直接利用正态分布曲线的特征，集合概率，直接判断即可.【解答】解：正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，所以μ1＜μ2，从图中容易得到P（X≤t）≥P（Y≤t）.故选：C.【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质.5.（5分）设a1，a2，…，a n∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则（）A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【分析】运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到.【解答】解：由a1，a2，…，a n∈R，n≥3.运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，若a1，a2，…，a n成等比数列，即有==…=，则（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，即由p推得q，但由q推不到p，比如a1=a2=a3=…=a n=0，则a1，a2，…，a n不成等比数列.故p是q的充分不必要条件.故选：A.【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查等比数列的定义，注意运用定义法和柯西不等式解题是关键.6.（5分）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A.sgn[g（x）]=sgnxB.sgn[g（x）]=﹣sgnxC.sgn[g （x）]=sgn[f（x）]D.sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]【分析】直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可.【解答】解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f （ax）（a＞1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[g（x）]=﹣sgnx.所以A不正确，B正确，sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[f（x）]=sgn（x+1）=；sgn[g（x）]=sgn（﹣x）=，﹣sgn[f（x）]=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；故选：B.【点评】本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题.7.（5分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y ≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（）A.P1＜P2＜P3B.P2＜P3＜P1C.P3＜P1＜P2D.P3＜P2＜P1【分析】作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算比较即可.【解答】解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：P1：D（0，），F（，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），则阴影部分的面积S1=1×1﹣=1﹣=，S2=1×1﹣2×=1﹣=，S3=1×+dx=+lnx|=﹣ln=+ln2，∴S2＜S3＜S1，即P2＜P3＜P1，故选：B.【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键.本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小.8.（5分）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b （a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A.对任意的a，b，e1＞e2B.当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C.对任意的a，b，e1＜e2D.当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2【分析】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论.【解答】解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=，∴=﹣=，∴当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2，故选：B.【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础.9.（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A.77B.49C.45D.30【分析】由题意可得，A={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}，根据定义可求【解答】解：解法一：∵A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}∵A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素；解法二：因为集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素，即图中圆中的整点，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，中有5×5=25个元素，即图中正方形ABCD中的整点，A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点（除去四个顶点），即7×7﹣4=45个.故选：C.【点评】本题以新定义为载体，主要考查了集合的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素.10.（5分）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A.3B.4C.5D.6【分析】由新定义可得t的范围，验证可得最大的正整数n为4.【解答】解：若[t]=1，则t∈[1，2），若[t2]=2，则t∈[，）（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），若[t3]=3，则t∈[，），若[t4]=4，则t∈[，），若[t5]=5，则t∈[，），其中≈1.732，≈1.587，≈1.495，≈1.431＜1.495，通过上述可以发现，当t=4时，可以找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）上，但当t=5时，无法找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）∩[，）上，∴正整数n的最大值4故选：B.【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题.二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11.（5分）已知向量⊥，||=3，则•= 9 .【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案.【解答】解：由⊥，得•=0，即•（）=0，∵||=3，∴.故答案为：9.【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题.12.（5分）函数f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln （x+1）|的零点个数为 2 .【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，求出函数的定义域，画出函数的图象，求出交点个数即可.【解答】解：函数f（x）的定义域为：{x|x＞﹣1}.f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|=2sinx﹣|ln（x+1）|=sin2x﹣|ln（x+1）|，分别画出函数y=sin2x，y=|ln（x+1）|的图象，由函数的图象可知，交点个数为2.所以函数的零点有2个.故答案为：2.【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用.13.（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m 后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= 100m.【分析】设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h.【解答】解：设此山高h（m），则BC=h，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600.根据正弦定理得=，解得h=100（m）故答案为：100.【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用.关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解. 14.（5分）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2.（1）圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2 ；（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：①=；②﹣=2；③+=2.其中正确结论的序号是①②③.（写出所有正确结论的序号）【分析】（1）取AB的中点E，通过圆C与x轴相切于点T，利用弦心距、半径与半弦长之间的关系，计算即可；（2）设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），计算出、、的值即可.【解答】解：（1）∵圆C与x轴相切于点T（1，0），∴圆心的横坐标x=1，取AB的中点E，∵|AB|=2，∴|BE|=1，则|BC|=，即圆的半径r=|BC|=，∴圆心C（1，），则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣）2=2.（2）∵圆心C（1，），∴E（0，），又∵|AB|=2，且E为AB中点，∴A（0，﹣1），B（0，+1），∵M、N在圆O：x2+y2=1上，∴可设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），∴|NA|=====，|NB|====，∴===，同理可得=，∴=，①成立，﹣=﹣（）=2，②正确.+=+（）=，③正确.故答案为：①②③.【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题.选修4-1：几何证明选讲15.（5分）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则=.【分析】利用切割线定理推出PA=2PB，利用相似三角形求出比值即可.【解答】解：由切割线定理可知：PA2=PB•PC，又BC=3PB，可得PA=2PB，在△PAB与△PAC中，∠P=∠P，∠PAB=∠PCA（同弧上的圆周角与弦切角相等），可得△PAB∽△PAC，∴==.故答案为：.【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力.选修4-4：坐标系与参数方程16.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（ t为参数），l与C相交于A，B两点，则|AB|=.【分析】化极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，联立直线方程和双曲线方程后求得交点坐标，由两点间的距离公式得答案.【解答】解：由ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，得y﹣3x=0，由C的参数方程为（ t为参数），两式平方作差得：x2﹣y2=﹣4.联立，得，即.∴A（），B（），∴|AB|=.故答案为：.【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（11分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ）05﹣50（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象.若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值.【分析】（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣.从而可补全数据，解得函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）.（2）由（Ⅰ）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得g （x）=5sin（2x+2θ﹣）.令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z.令=，解得θ=，k∈Z.由θ＞0可得解.【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣.数据补全如下表：ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ）050﹣50且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）.（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin （2x+2θ﹣）.因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z.令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z.由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z.由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值.【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查.18.（12分）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100.（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n.【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当d＞1时，由（1）知c n=，写出T n、T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可.【解答】解：（1）设a1=a，由题意可得，解得，或，当时，a n=2n﹣1，b n=2n﹣1；当时，a n=（2n+79），b n=9•；（2）当d＞1时，由（1）知a n=2n﹣1，b n=2n﹣1，∴c n==，∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，∴T n=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，∴T n=2+++++…+﹣（2n﹣1）•=3﹣，∴T n=6﹣.【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题.19.（12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.（1）证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值.【分析】解法1）（1）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF，即可判断DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，确定直角.（2）根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线.利用直线平面的垂直判断出DG⊥DF，DG⊥DB，根据平面角的定义得出∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可.解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，运用向量的数量积判断即可.2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量.根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案.【解答】解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD.而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE.又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC.而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE.又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF.由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.（2）如图1，在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线.由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG.又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG.而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD.所以DG⊥DF，DG⊥DB故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PD=DC=1，BC=λ，有BD=，在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPB=∠FDB=，则 tan=tan∠DPF===，解得.所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=.（解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设PD=DC=1，BC=λ，则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），=（λ1，﹣1），点E是PC的中点，所以E（0，，），=（0，，），于是=0，即PB⊥DE.又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF.因=（0，1，﹣1），=0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC.由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.（2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量.若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，则运用向量的数量积求解得出cos==，解得.所以所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=.【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题.20.（12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品.生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量.（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.【分析】（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，列出可行域，目标函数，通过当W=12时，当W=15时，当W=18时，分别求出目标函数的最大获利，然后得到Z的分布列.求出期望即可.（2）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可.【解答】（12分）解：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有，①如图1，目标函数为：z=1000x+1200y.当W=12时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A（0，0），B（2.4，4.8），C（6，0）.将z=1000x+1200y变形为，当x=2.4，y=4.8时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=2.4×1000+4.8×1200=8160.当W=15时，①表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（7.5，0）..将z=1000x+1200y变形为，当x=3，y=6时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=3×1000+6×1200=10200.当W=18时，①表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（6，4），D（9，0）.将z=1000x+1200y变形为：，当x=6，y=4时，直线l：y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=6×1000+4×1200=10800.故最大获利Z的分布列为：Z81601020010800P0.30.50.2因此，E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708（2）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率P1=P（Z＞10000）=0.5+0.2=0.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：.【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力.21.（14分）一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB 内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.【分析】（1）根据条件求出a，b即可求椭圆C的方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可.【解答】解：（1）设D（t，0），|t|≤2，N（x0，y0），M（x，y），由题意得=2，且||=||=1，∴（t﹣x，﹣y）=2（x0﹣t，y0），且，即，且t（t﹣2x0）=0，由于当点D不动时，点N也不动，∴t不恒等于0，于是t=2x0，故x0=，y0=﹣，代入x02+y02=1，得方程为.（2）①当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=﹣4，都有S△OPQ=，②直线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，（k），由消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4，①，由，可得P（，），同理得Q（，），原点O到直线PQ的距离d=和|PQ|=•|x P﹣x Q|，可得S△OPQ=|PQ|d=|m||x P﹣x Q|=|m|||=||②，将①代入②得S△OPQ=||=8||，当k2＞时，S△OPQ=8（）=8（1+）＞8，当0≤k2＜时，S△OPQ=8||=﹣8（）=8（﹣1+），∵0≤k2＜时，∴0＜1﹣4k2≤1，≥2，∴S△OPQ=8（﹣1+）≥8，当且仅当k=0时取等号，∴当k=0时，S△OPQ的最小值为8，综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8.【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键.综合性较强，运算量较大.22.（14分）已知数列{a n}的各项均为正数，b n=n（1+）n a n（n∈N+），e为自然对数的底数.（1）求函数f（x）=1+x﹣e x的单调区间，并比较（1+）n与e 的大小；（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令c n=（a1a2…a n），数列{a n}，{c n}的前n项和分别记为S n，T n，证明：T n＜eS n.【分析】（1）求出f（x）的定义域，利用导数求其最大值，得到1+x＜e x.取x=即可得到答案；（2）由b n=n（1+）n a n（n∈N+），变形求得，，，由此推测=（n+1）n.然后利用数学归纳法证明.（3）由c n的定义、=（n+1）n、算术﹣几何平均不等式、b n的定义及，利用放缩法证得T n＜eS n.【解答】（1）解：f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1﹣e x.当f′（x）＞0，即x＜0时，f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞0时，f（x）单调递减.故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）.当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，即1+x＜e x.令，得，即.①（2）解：；=；.由此推测：=（n+1）n.②下面用数学归纳法证明②.（1）当n=1时，左边=右边=2，②成立.（2）假设当n=k时，②成立，即.当n=k+1时，，由归纳假设可得=.∴当n=k+1时，②也成立.根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立.（3）证明：由c n的定义，②，算术﹣几何平均不等式，b n的定义及①得T n=c1+c2+…+c n=====＜ea1+ea2+…+ea n=eS n.即T n＜eS n.【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法证明数列不等式，是压轴题.创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校。

2020年上海市高考数学模拟试题第 I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合{|(1)(2)0}A x x x =-+>，集合{3,2,1,0,1,2}B =---，则A B 等于A. {0,1}B. }2,3{--C. }2,3{-D. {3,2,1,2}-- 【答案】C 【分值】5分【解析】因为集合),1()2,(+∞--∞= A ，}2,1,0,1,2,3{---=B ，所以}2,3{-=B A 【考查方向】本题考查集合的运算及一元二次不等式的解法，属于高考常考题型。

【易错点】1、容易忽略集合A 中的>看成≥，从而选择B 2、一元二次不等式的求解出错 【解题思路】1、先求出集合A 、B2、求出集合A 、B 中的公共元素2.已知i 是虚数单位，若复数22aiz i+=+在复平面内的对应的点在第四象限，则实数a 的值可以是 A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【分值】5分 【解析】因为复数()()()()i a a i i i ai iai z )22(4222222-++=-+-+=++=，在复数平面内对应的点（4+a,2a-2)在第四象限，可得⎩⎨⎧<->+02204a a ,得-4<a<1,【考查方向】本题考查复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，属于高考常考题型。

【易错点】1、复数的计算容易出错 2、复数的几何意义记不清【解题思路】1、首先将已知等式变形，复数的分母实数化，利用复数代数的形式乘除运算化简。

2、根据象限得出，实部大于0，虚部小于0，求出答案3.已知角θ的终边过点(2,3)，则tan()4πθ-等于A. 15-B. 15C. 5-D. 5 【答案】B 【分值】5分【解析】因为角θ的中变过点（2,3），所以tan θ=23,tan()4πθ-=θθtan 11tan +-=51【考查方向】本题考查的是任意角的三角函数定义、两角差的正切公式，属于高考常考题型。