数列中的创新题型

高三数学 二轮复习 数列创新题型在高考数学中，创新题是一类非常重要的题型，并且经常作为压轴题出现在选择、填空、甚至解答的最后一题，让很多同学望而生畏： 短时间内不仅要学会一个新知识或性质，还需要利用它来解决问题。

常常感觉到无从下手。

高考数学中的创新题具有情景新颖，内涵深刻，负有一定的创造性，这类题目以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“应用”为目的，旨在考查学生对数学问题的观察、理解、探究、概括、类比、归纳等诸多方面的综合能力。

可以形象地概括为“现学现卖”，如何处理好高考中的创新题？是数学学习和应用能力等综合素质的集中体现。

这一讲我们主要来看一下数列中的部分创新题。

实际上这一类题型呢也有它们自身的特点和规律，要做好这一类题型，首先要提高“眼力”：善于观察和总结新知识本身的特点和性质，要与已掌握相关知识点联系。

要敢于大胆尝试和猜测归纳。

先来看一个小问题热热身：杰克正看着安妮，而安妮正看着乔治。

杰克已婚，乔治未婚。

请问是否有一位已婚人士正在看着一位未婚人士？A 、是B 、不是C 、无法确定 你知道哪个选项正确吗？为什么？题干中没有给出我们明确的答案，但题目中又又蕴含着正确答案，需要我们主动去探究，去发现。

这就是创新题的特点。

一、创新定义型解题时应将阅读信息与所学知识结合起来，侧重考查信息加工能力。

例：已知数列)}({*N n a n ∈满足：)()2(log *1N n n a n n∈+=+，定义使12...k a a a ⋅⋅⋅为整数的数*()k k N ∈叫做期盼数，则区间[1,2015]内的所有期盼数的和M = 。

对于一个有限数列()12n P P P P =L ，，，，P 的蔡查罗和（蔡查罗为一数学家）定义为()121n S S S n+++L ，其中()121k k S P P P k n =+++≤≤L ，若一个99项的数列()1299P P P L ，，，的蔡查罗和为1000，那么100项数列()12991P P P L ，，，，的蔡查罗和为（ ）A ．991对于各项均为整数的数列{}n a ，如果(1,2,3,)i a i i +=⋅⋅⋅为完全平方数，则称数列{}n a 具有“P 性质”，如果数列{}n a 不具有“P 性质”，只要存在与{}n a 不是同一数列的{}n b ，且{}n b 同时满足下面两个条件：①123,,,,n b b b b ⋅⋅⋅是123,,,,n a a a a ⋅⋅⋅的一个排列；②数列{}n b 具有“P 性质”，则称数列{}n a 具有“变换P 性质”，下面三个数列：①数列1，2，3，4，5； ②数列1，2，3， ，11,12； ③数列{}n a 的前n 项和为2(1)3n n S n =-. 其中具有“P 性质”或“变换P 性质”的有( ) A ．③ B ．①③ C ．①② D ．①②③如果有穷数列123,,,,m a a a a L （m 为正整数）满足1m a a =，21m a a -=，…，1m a a =．即1i m i a a -+=（1,2,,i m =L ），我们称其为“对称数列”．例如数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．设{}n b 是项数为2m （1m >，*m N ∈）的“对称数列”，并使得2311,2,2,2,,2m -L 依次为该数列中连续的前m 项，则数列{}n b 的前2010项和2010S 可以是：（1）201021-；（2）100622-；（3）122010221m m +---． 其中正确命题的序号是__________________．若数列{}n a 满足：对任意的n N *∈，只有有限个正整数m 使得m a n ＜成立，记这样的m 的个数为()n a *，则得到一个新数列{}()n a *．例如，若数列{}n a 是1,2,3,n …，…，则数列{}()n a *是0,1,2,1,n -…，…．已知对任意的N n *∈，2nan =，则5()a *= ，(())n a **= ．二、性质探求型例：把数列{}12+n 依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43）…则第104个括号内各数之和为B.2048例：已知数列{a n }满足a n+1=a n –a n –1（n ≥2），a 1=a ，a 2=b ，记S n =a 1+a 2+a 3+…+a n ，则下列结论正确的是A ．a 2008= – a ，S 2008=2b – aB ．a 2008= – b ，S 2008=2b – aC ．a 2008= – b ，S 2008=b – aD ．a 2008= – a ，S 2008=b – a已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于1,2,3,n =L ，有1135,,2n n n n n n k a a a a a k a +++⎧⎪=⎨⎪⎩奇偶，，其中使奇的正整，为数为数为为数数当111a =时，100a =______；若存在*m ∈N ，当m n >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为________．在数列{}n a 中，*n ∈N ，若211n n n na a k a a +++-=-（k 为常数），则称{}n a 为“等差比数列”. 下列是对“等差比数列”的判断： ①k 不可能为0②等差数列一定是等差比数列 ③等比数列一定是等差比数列④等差比数列中可以有无数项为0其中正确的判断是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④定义：在数列{}n a 中，若22*1,(2,,)n n a a p n n N p --=≥∈为常数，则称{}n a 为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的有关判断：①若{}n a 是“等方差数列”，则数列1na 是等差数列；②{(2)}n-是“等方差数列”；③若{}n a 是“等方差数列”，则数列*{}(,)kn a k N k ∈为常数也是“等方差数列”； ④若{}n a 既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数数列．其中正确的命题为 ．（写出所有正确命题的序号）4.在数列{}n a 中，若对任意的*n ∈N ，都有211n n n na a t a a +++-=（t 为常数），则称数列{}n a 为比等差数列，t 称为比公差．现给出以下命题：①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；②若数列{}n a 满足122n n a n-=，则数列{}n a 是比等差数列，且比公差12t =；③若数列{}n c 满足11c =，21c =，12n n n c c c --=+（3n ≥），则该数列不是比等差数列；④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列． 其中所有真命题的序号是 ．若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，现给出以下命题： ①若34a =，则m 可以取3个不同的值②若m ={}n a 是周期为3的数列③T ∀∈*N 且2T ≥，存在1m >，{}n a 是周期为T 的数列④Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列.其中所有真命题的序号是 .我们知道，如果定义在某区间上的函数()f x 满足对该区间上的任意两个数1x 、2x ，总有不等式1212()()()22f x f x x xf ++≤成立，则称函数()f x 为该区间上的向上凸函数（简称上凸）． 类比上述定义，对于数列{}n a ，如果对任意正整数n ，总有不等式：212n n n a a a +++≤成立，则称数列{}n a 为向上凸数列（简称上凸数列）． 现有数列{}n a 满足如下两个条件： （1）数列{}n a 为上凸数列，且1101,28a a ==；（2）对正整数n （*,101N n n ∈<≤），都有20n n a b -≤，其中2610n b n n =-+． 则数列{}n a 中的第五项5a 的取值范围为 ．3．已知数列{}n a 满足(,01)n n a n k n k *=⋅∈<<N 下面说法正确的是（ ） ①当12k =时，数列{}n a 为递减数列； ②当112k <<时，数列{}n a 不一定有最大项； ③当102k <<时，数列{}n a 为递减数列； ④当1kk-为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项． A ．①② B ．②④ C ．③④ D ．②③三、规律发现型将自然数不清，2，3，4……排成数陈（如右图），在2处转第一个弯，在3转第二个弯，在5转第三个弯，….，则第2005个转弯处的数为____________。

数列创新题的基本类型及求解策略高考创新题，始终是高考试题中最为亮丽的风景线．这类问题着重考查观看发觉，类比转化以及运用数学学问，分析和解决数学问题的力气．当然数列创新题是高考创新题重点考查的一种类型．下举例谈谈数列创新题的基本类型及求解策略． 一、创新定义型例1．已知数列{}n a 满足1log (2)n n a n +=+（n *∈N ），定义使123k a a a a ⋅⋅⋅⋅为整数的数叫做企盼数，则区间[1,2005]内全部的企盼数的和M =________．解：∵1log (2)n n a n +=+（n *∈N ），∴1232312......log 3log 4log (2)log (2)k k a a a a k k +=⋅⋅⋅+=+．要使2log (2)k +为正整数，可设1()22n k n ++=，即1()22n k n +=-（n *∈N ）．令11222005n +-≤≤⇒19n ≤≤（n *∈N ）．则区间[1,2005]内全部企盼数的和9912341011()(22)(22)(22)(22) (22)n n n M k n +====-=-+-+-++-∑∑29234102(21)(222.......2)2918205621-=+++++⨯=-=-，∴2056M =．评析：精确 理解企盼数的定义是求解关键．解题时应将阅读信息与所学学问结合起来，侧重考查信息加工力气．二、性质探求型例2．已知数列{}n a 满足31,2,3,4,5,67n n n n a a n +=⎧=⎨-⎩≥，则2005a =______．解：由3n n a a +=-，7n ≥知，63n n n a a a ++=-=．从而当n ≥6时，有6n n a a +=，于是知20053346111a a a ⨯+===．评析：本题主要通过对数列形式的挖掘得出数列特有的性质，从而达到化归转化解决问题的目的．其中性质探求是关键．三、学问关联型例3．设是椭圆22176x y +=的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点(1,2,3,)i P i =，使123,,,PF PF PF 组成公差为的等差数列，则的取值范围为_______．解析：由椭圆其次定义知eii iPF PP ='e i i iPF PP '⇒=，这些线段长度的最小值为右焦点到右顶点的距离即11FP =，最大值为右焦点到左顶点的距离即211PF =+，故若公差0d >，11(1)n d +=-+-，∴2121n d >+≥，∴1010d <≤．同理，若公差0d <，则可求得1010d -<≤． 评析： 本题很好地将数列与椭圆的有关性质结合在一起，形式新颖，内容深遂，有确定的难度，可见命题设计者的良苦认真．解决的关键是确定该数列的最大项、最小项，然后依据数列的通项公求出公差的取值范围． 四、类比联想型例4．若数列{}()n a n *∈N 是等差数列，则有数列123nn a a a a b n ++++=()n *∈N 也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{}n c 是等比数列，且0n c >，则有数列n d =_______也是等比数列．解析：由已知“等差数列前n 项的算术平均值是等差数列”可类比联想“等比数列前n 项的几何平均值也应当是等比数列”不难得到3n nd c =也是等比数列．评析：本题只须由已知条件的特征从形式和结构上对比猜想不难挖掘问题的突破口． 五、规律发觉型例5．将自然数1,2,3,4,排成数陈（如右图），在处转第一个弯，在转其次个弯，在转第三个弯，…．，则第2005个转弯处的数为____________． 21―22 ―23―24―25－26| | 20 7 ― 8 ―9 ―10 27 | | | 19 6 1 ―2 11 …… | | | | 18 5 ― 4 ―3 12 | | 17―16 ―15―14 ―13解：观看由起每一个转弯时递增的数字可发觉为“1,1,2,2,3,3,4,4,”．故在第2005个转弯处的数为：12(1231002)10031006010++++++=．评析：本题求解的关键是对图表转弯处数字特征规律的发觉．具体解题时需要较强的观看力气及快速探求规律的力气．因此，它在高考中具有较强的选拔功能． 六、图表信息型例6．下表给出一个“等差数阵”：。

数学创新试题数列经典题选析2013年考前必练数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.一、等差数列与等比数列例1．A ＝{递增等比数列的公比}，B ＝{递减等比数列的公比}，求A ∩B ． 解：设q ∈A ，则可知q>0（否则数列为摆动数列）．由a n ＋1－a n ＝a 1·q n －a 1·q n －1＝a 1·q n －1(q －1)>0，得 当a 1＞0时，那么q ＞1；当a 1＜0时，则0＜q ＜1． 从而可知 A ＝{q | 0<q<1或q>1}．若q ∈A ，同样可知q>0．由a n ＋1－a n ＝a 1·q n －a 1·q n －1＝a 1·q n －1(q －1)＜0，得 当a 1＞0时，那么0＜q ＜1；当a 1＜0时，则q ＞1． 亦可知 B ＝{q | 0<q<1或q>1}． 故知A ∩B ＝{q | 0<q<1或q>1}．说明：貌似无法求解的问题，通过数列的基本量，很快就找到了问题的突破口！例2．求数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，……，(1＋2＋22＋……＋2n －1)，……前n 项的和．分析：要求得数列的和，当务之急是要求得数列的通项，并从中发现一定规律．而通项又是一等比数列的和．设数列的通项为a n ，则a n ＝1＋2＋22＋……＋2n －1＝1·(1－2n)1－2＝2n －1．从而该数列前n 项的和S n ＝(2－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)＝(2＋22＋23＋ (2))－n ＝2·(1－2n)1－2－n ＝2n ＋1－n －2．说明：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n 5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n 常用的数列求和方法有：利用常用求和公式求和；错位相减法求和；反序相加法求和；分组法求和；裂项法求和；合并法求和；利用数列的通项求和等等。

聚焦有理数创新题一、归纳猜想型例 1.（南京中考题）有规律排列的一列数：2，4，6，8，10，12，…它的每一项可用式子2n （n 是正整数）来表示．有规律排列的一列数：1，-2，3，- 4，5，-6，7，-8，… (1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？ (2)它的第100个数是多少？(3) 2006是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？ 析解：（1）观察数列可以发现：如果不考虑符号，这是一个连续整数组，同时，它的奇数项为正，偶数项为负，所以它的每一项可用式子n n 1)1(+-来表示（n 是正整数）来表示.（2）它的第100个数是-100.（3）2006不是这列数中的数，因为这列数中的偶数全是负数.（或正数全是奇数） 例 2.（临安中考题）已知：3223222⨯=+，8338332⨯=+，154415442⨯=+，245524552⨯=+，…，若ab a b ⨯=+21010 符合前面式子的规律，则 a + b= ．析解：观察已知的四个等式我们发现：等式的左边是一个整数与分数的和，且整数与分数的分子相同，分数的分母等于整数的平方减1；等式的右边是左边的整数的平方与左边的分数的积，从上述规律可以得到式子aba b ⨯=+21010中，10=b ，991102=-=a ，所以109=+b a 。

评注：这些试题形式多样，不易于理解，具有较强的探索性，求解过程反映了课程标准所倡导的数学活动方式———观察、实验、猜测、推理等。

因此既要重视基础知识的学习，又要加强此种题型的训练和研究，切实提高分析问题、解决问题的能力。

二、阅读理解型例3.（攀枝花中考题）先阅读下列材料，再解答后面的问题材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘：nn a a a a 记为个⋅。

如23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为()38log 8log 22=即。

一般地，若()0,10>≠>=b a a b a n且，则n叫做以a 为底b 的对数，记为()813.log log 4==如即n b b a a ，则4叫做以3为底81的对数，记为)481log (81log 33=即。