高中数学新课程创新教学设计案例50篇__44_数列

40 平面向量的数量积教材分析两个向量的数量积是中学代数以往内容中从未遇到过的一种新的乘法，它区别于数的乘法．这篇案例从学生熟知的功的概念出发，引出平面向量数量积的概念和性质及其几何意义，介绍向量数量积的运算律及坐标表示．向量的数量积把向量的长度和三角函数联系在一起，这为解决三角形的有关问题提供了方便，特别是能有效解决线段的垂直等问题．这节内容是整个向量部分的重要内容之一，对它的理解与掌握将直接影响向量其他内容的学习．这节内容的教学难点是对平面向量数量积的定义及运算律的理解和对平面向量数量积的应用．教学目标1. 理解并掌握平面向量的数量积、几何意义和数量积的坐标表示，会初步使用平面向量的数量积来处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．2. 通过对数量积的引入和应用，初步体会知识发生、发展的过程和运用过程，培养学生的科学思维习惯．任务分析两个向量的数量积从形式和实质上都与数的乘法有区别，这就给理解和掌握这个概念带来了一些困难．在学习时，要充分让学生理解、明白两个向量的数量积是一个数量，而不是向量．两个向量的数量积的值是这两个向量的模与两个向量夹角余弦的乘积，其符号由夹角余弦值的正负而确定．两向量的数量积“a·b”不同于两实数之积“ab”．通过实例理解a·b＝b·c与a＝c的关系，a·b＝0与a＝0或b＝0的关系，以及（a·b）c＝a（b·c）与（ab）c＝a（bc）的不同．教学设计一、问题情景如图40-1所示，一个力f作用于一个物体，使该物体发生了位移s，如何计算这个力所做的功．由于图示的力f的方向与前进方向有一个夹角θ，真正使物体前进的力是f在物体前进方向上的分力，这个分力与物体位移的乘积才是力f做的功．即力f使物体位移x所做的功W可用下式计算．W＝｜s｜｜f｜cosθ．其中｜f｜cosθ就是f在物体前进方向上的分量，也就是力f在物体前进方向上正射影的数量．问题：像功这样的数量值，它由力和位移两个向量来确定．我们能否从中得到启发，把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？二、建立模型1. 引导学生从“功”的模型中得到如下概念：已知两个非零向量a与b，把数量｜a｜｜b｜cosθ叫a与b的数量积（内积），记作a·b ＝｜a｜｜b｜cosθ．其中θ是a与b夹角，｜a｜cosθ（｜b｜cosθ）叫a在b方向上（b在a 方向上）的投影．规定0与任一向量的数量积为０．由上述定义可知，两个向量ａ与ｂ的数量积是一个实数．说明：向量a与b的夹角θ是指把a，b起点平移到一起所成的夹角，其中0≤θ≤π．当θ＝时，称a和b垂直，记作a⊥b．为方便起见，a与b的夹角记作〈a，b〉．2. 引导学生思考讨论根据向量数量积的定义，可以得出（1）设e是单位向量，a·e＝｜a｜cos〈a，e〉．（2）设a·b是非零向量，则a⊥b a·b＝0．（3）a·a＝｜a｜2，于是｜a｜＝.（4）cos〈a，b〉＝.（5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（这与实数｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）．三、解释应用［例题］已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，〈a，b〉＝120°，求a·b．解：a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉＝5×4×cos120°＝－10．［练习］1. 已知｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影为－2，求：（1）a·ｂ．（2）a在b上的投影．2. 已知：在△ABC中，a＝5，b＝8，c＝60°，求·．四、建立向量数量积的运算律1. 出示问题：从数学的角度考虑，我们希望向量的数量积运算，也能像数量乘法那样满足某些运算律，这样数量积运算才更富有意义．回忆实数的运算律，你能类比和归纳出向量数量积的一些运算律吗？它们成立吗？为什么？2. 运算律及其推导已知：向量a，b，c和λ∈R，则（1）a·b＝b·a（交换律）．证明：左＝｜a｜｜b｜cosθ＝右．（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（数乘结合律）．证明：设a，b夹角为θ，当λ＞0时，λa与b的夹角为θ，∴（λa）·b＝（λa）·｜b｜cosθ＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）；当λ＜0时，λa与b的夹角为（π－θ），∴（λa）·b＝｜λa｜｜b｜cos（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）；当λ＝0时，（λa）·b＝0·b＝0＝λ（a·b）．总之，（λa）·b＝λ（a·b）；同理a·（λb）＝λ（a·b）．（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（乘法对加法的分配律）．证明：如图40-2，任取一点O，作＝a，＝ｂ，＝c．∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即｜a＋b｜cosθ＝｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2，∴｜c｜｜a＋b｜cosθ＝｜c｜（｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2）＝｜c｜｜a｜cosθ1＋｜c｜｜b｜cosθ2＝c·a＋c·b，∴（a＋b）·c＝a·c＋b·c．思考：（1）向量的数量积满足结合律，即（a·b）c＝a（b·c）吗？（2）向量的数量积满足消去律，即如果a·b＝c·b，那么a＝c吗？五、应用与深化［例题］1. 对实数a，b，有（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，（a＋b）（a－b）＝a2－b2．类似地，对任意向量a，b，也有类似结论吗？为什么？解：类比完全平方和公式与平方差公式，有（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2，（a＋b）·（a－b）＝a2－b2．其证明是：（a＋b）2＝（a＋b）·（a＋b）＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2a·b＋b2，（a＋b）·（a－b）＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝a2－b2．∴有类似结论．2. 已知｜a｜＝6，｜b｜＝4，〈a，b〉＝60°，求（a＋2b）·（a－3b）．解：（a＋2b）·（a－3b）＝a2－3a·b＋2b·a－6b2＝｜a｜2－｜a｜｜b｜cos60°－6｜b｜2＝－72．3. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a与b不共线．当k为何值时，（a＋kb）⊥（a－kb）？解：（a＋kb）⊥（a－kb），即（a＋kb）·（a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0，即9－k2×16＝0，k＝±．因此，当k＝±时，有（a＋kb）⊥（a－kb）．4. 已知：正方形ABCD的边长为1，并且＝a，＝b，＝c，求｜a＋b＋c｜．解法1：∵a＋b＋c＝＋＋＝2，∴｜a＋b＋c｜＝2＝2．解法2：｜a＋b＋c｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋2＋2×1×1×cos90°＋2×1××＋2×1××＝8，∴｜a＋b＋c｜＝2．［练习］1. ｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61，求a与b的夹角θ．2. 在边长为2的正三角形ABC中，求·＋·＋·．六、拓展延伸1. 当向量a，b的夹角为锐角时，你能说明a·b的几何意义吗？如图40-3，a·b，即以b在a上射影的长和ａ的长为两邻边的矩形面积（OA＝OA1）．2. 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图40-4，＝＋，＝－．试说明平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系．3. 三个单位向量a，b，c有相同终点且a＋b＋c＝0，问：它们的起点连成怎样的三角形？解法1：如图40-5，∵｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴（a＋b）2＝（－c）2，∴a2＋b2＋2a·b＝c2，∴2｜a｜·｜b｜cos∠AOC＝－1，cos∠AOC＝，∠AOC＝120°．同理∠BOC＝∠AOC＝120°，故△AOB，△BOC，△BOC全等，∴AB＝AC＝BC，即该△ABC为等边三角形．解法2：如图40-6，＝c，＝－a，＝－b，由a＋b＋c＝0，即＝＋．∵｜a｜＝｜b｜＝1，∴OADB为菱形．又｜｜＝1，∴∠AOB＝120°．同理∠AOC＝∠BOC＝120°，…4. 在△ABC中，·＝·＝·，问：O点在△ABC的什么位置？解：由·＝·，即·（－）＝0，即·＝0，∴⊥，同理⊥，⊥．故O是△ABC的垂心．41 两角和与差的余弦教材分析这节内容是在掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角和与差的三角函数．这些内容在高等数学、电功学、力学、机械设计与制造等方面有着广泛的应用，因此要求学生切实学好，并能熟练的应用，以便为今后的学习打下良好的基础．“两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时成立．对于α，β为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究．同时，补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性．这节课的重点是两角差的余弦公式的推导，难点是把公式中的α，β角推广到任意角．教学目标1. 通过对两角差的余弦公式的探究过程，培养学生通过交流，探索，发现和获得新知识的能力．2. 通过两角差的余弦公式的推导，体会知识的发生、发展的过程和初步的应用过程，培养学生科学的思维方法和勇于探索的科学精神．3. 能正确运用两角差的余弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明．任务分析这节内容以问题情景中的问题作为教学的出发点，利用单位圆中的三角函数线和平面向量的数量积的概念推导出结论，并不断补充推导过程中的不严谨之处．推导过程采用了从特殊到一般逐层递进的思维方法，学生易于接受．整个过程始终结合单位圆，以强调其直观性．对于公式中的α和β角要强调其任意性．数学中要注意运用启发式，切忌把结果直接告诉学生，尽量让学生通过观察、思考和探索，自己发现公式，使学生充分体会到成功的喜悦，进一步激发学生的学习兴趣，调动他们学习的积极性，从而使其自觉主动地学习．教学过程一、问题情景我们已经学过诱导公式，如可以这样来认识以上公式：把角α转动，则所得角α＋的正弦、余弦分别等于cosα和－sinα．把角α转动π，则所得角α＋π的正弦、余弦分别等于－sinα和－cosα．由此，使我们想到一个一般性的问题：如果把角α的终边转动β（度或弧度），那么所得角α＋β的正弦、余弦如何用α或β的正弦、余弦来表示呢？出示一个实际问题：右图41-1是架在小河边的一座吊桥的示意图．吊桥长AB＝ａ（m），A是支点，在河的左岸．点C在河的右岸，地势比A点高．AD表示水平线，∠DAC＝α，α为定值．∠CAB ＝β，β随吊桥的起降而变化．在吊桥起降的过程中，如何确定点B离开水平线AD的高度BE？由图可知BE＝asin（α＋β）．我们的问题是：如何用α和β的三角函数来表示sin（α＋β）．如果α＋β为锐角，你能由α，β的正弦、余弦求出sin（α＋β）吗？引导学生分析：事实上，我们在研究三角函数的变形或计算时，经常提出这样的问题：能否用α，β的三角函数去表示α±β的三角函数？为了解决这类问题，本节首先来探索α－β的余弦与α，β的函数关系式．更一般地说，对于任意角α，β，能不能用α，β的三角函数值把α＋β或α－β的三角函数值表示出来呢？二、建立模型1. 探究（1）猜想：cos（α－β）＝cosα－cosβ．（2）引导学生通过特例否定这一猜想．例如，α＝60°，β＝30°，可以发现，左边＝cos（60°－30°）＝cos30°＝，右边＝cos60°－cos30°＝－．显然，对任意角α，β，cos（α－β）＝cosα－cosβ不成立．（3）再引导学生从道理上否定这一猜想．不妨设α，β，α－β均为锐角，则α－β＜α，则cos（α－β）＞cosα．又cosβ＞０，所以cos（α－β）＞cosα－cosβ．2. 分析讨论（1）如何把α，β，α－β角的三角函数值之间建立起关系？要获得相应的表达式需要哪些已学过的知识？（2）由三角函数线的定义可知，这些角的三角函数值都与单位圆中的某些有向线段有关系，那么，这些有向线段之间是否有关系呢？3. 教师明晰通过学生的讨论，教师引导学生作出以下推理：设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么，OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝cosβcosα＋sinβsinα．4. 提出问题，组织学生讨论（1）当α，β，α－β为任意角时，上述推导过程还能成立吗？若要说明此结果是否对任意角α，β都成立，还要做不少推广工作，可引导学生独立思考．事实上，根据诱导公式，总可以把α，β的三角函数化为（0，）内的三角函数，再根据cos（－β）＝cosβ，把α－β的余弦，化为锐角的余弦．因此，三、解释应用［例题］1. 求cos15°及cos105°的值．分析：本题关键是将15°角分成45°与30°的差或者分解成60°与45°的差，再利用两角差的余弦公式即可求解．对于cos105°，可进行类似地处理，cos105°＝cos（60°＋45°）．2. 已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝－，且β是第三象限的角，求cos（α＋β）的值．与本题已知条件应先计算出cosα，cosβ，再代入公式求值．求cosα，分析：观察公式Cα＋βcosβ的值可借助于同角三角函数的平方关系，并注意α，β的取值范围来求解．［练习］1. （1）求sin75°的值．（2）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°的值．（3）化简cos（A＋B）cosB＋sin（A＋B）sinB．（4）求cos215°－sin215°的值．分析：对于（1），可先用诱导公式化sin75°为cos15°，再用例题1中的结果即可．对于（2），逆向使用公式Cα-β，即可将原式化为cos30°．对于（3），可以把A＋B角看成一个整体，去替换Cα-β中的α角，用B角替换β角．2. （1）求证：cos（－α）＝sinα．（2）已知sinθ＝，且θ为第二象限角，求cos（θ－）的值．（3）已知sin（30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cosα．分析：（1）和（差）公式可看成诱导公式的推广，诱导公式是和（差）公式的特例．（2）在三角函数求值问题中，变角是一种常用的技巧，α＝（30°＋α）－30°，这样可充分利用题中已知的三角函数值．3. 化简cos（36°＋α）cos（α－54°）＋sin（36°＋α）sin（α－54°）．分析：这里可以把角36°＋α与α－54°均看成单角，进而直接运用公式Cα-β，不必将各式展开后再计算．分析：本题是一道综合题，由于cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，欲求cos（α－β）的值，只须将已知两式平方相加求出cosαcosβ＋sinαsinβ即可．四、拓展延伸1. 由任意角三角函数定义，可知角α，β的终边与单位圆交点的坐标均可用α，β的三角函数表示，即α－β角与，两向量的夹角有关，那么能否用向量的有关知识来推导公式Cα-β呢？教师引导学生分析：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ）．由向量数量积的概念，有·＝｜｜｜｜cos（α－β）＝cos（α－β）．由向量的数量积的坐标表示，有·＝cosαcosβ＋sinαsinβ．于是，有cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ．依据向量数量积的概念，角α－β必须符合０≤α－β≤π，即在此条件下，以上推导才是正确的．由于α，β都是任意角，α－β也是任意角，因此，须研究α－β为任意角时，以上推导是否正确．当α－β为任意角时，由诱导公式总可以找到一个角θ，θ∈［0，2π），使cosθ＝cos（α－β）．若θ∈［0，π］，则·＝cosθ＝cos（α－β）；若θ∈［π，2π］，则2π－θ∈［0，π］，且·＝cos（2π－θ）＝cosθ＝cos（α－β）．于是，对于任意角α，β都有2. 教师提出进一步拓展性问题：本节问题情景中，涉及如何用s inα，sinβ，cosα，cosβ来表示sin（α＋β）的问题，试探索与研究sin（α＋β）的表达式．42 两角和与差的正弦教材分析在这节内容中，公式较多，一旦处理不当，将成为学生学习的一种负担．针对这个特点，应充分揭示公式的内在联系，使学生理解公式的形成过程及其使用条件，在公式体系中掌握相关的公式．同时，通过练习使学生能够熟练地运用这些公式．当然，这些公式的基础是两角和差的余弦公式．通过诱导公式sin（－α）＝sinα，sinπ（－α ）＝cosα（α为任意角），可以实现正、余弦函数间的转换，也可推广为sin（α＋β）＝ｃｏｓ［－（α＋β）］＝cos［（－α）－β］，sin（α－β）＝［－（α－β）］＝cos［（－α）＋β］.借助于Cα+β和Cα-β即可推导出公式Sα+β和Sα-β．Cα+β，Cα-β，Sα+β和Sα-β四个公式的左边均为两角和与差的正、余弦，右边均为单角α，β的正、余弦形式．不同点为公式Sα+β，Sα-β两边的运算符号相同，Cα+β与Cα-β两边的运算符号相反．Sα+β与Sα-β中右边是两单角异名三角函数的乘积，而Cα-β与Cα+β的右边是两单角同名三角函数的乘积．任务分析这节课计划采用启发引导和讲练结合的教学方式，对三角函数中的每一个公式要求学生会推导，会使用，要求不但掌握公式的原形，还应掌握它们的变形公式，会把“asinｘ＋bcos ｘ”类型的三角函数化成一个角的三角函数．在课堂教学中，将采用循序渐进的原则，设计有一定梯度的题目，以利于培养学生通过观察、类比的方法去分析问题和解决问题的能力，培养学生良好的思维习惯．在教学中，及时提醒学生分析、探索、化归、换元、类比等常用的基本方法在三角变换中的作用．这节课的重点是准确、熟练、灵活地运用两角和差的正、余弦公式进行三角函数式的求值、化简和证明，难点是公式的变形使用和逆向使用．教学目标1. 能用两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，两角和差的正弦公式，并了解各个公式之间的内在联系．2. 能运用两角和差的正、余弦公式进行三角函数式的化简、求值和证明．3. 通过公式的推导过程，培养学生的逻辑思维能力，同时渗透数学中常用的换元、整体代换等思想方法．教学过程一、问题情景如图42-1，为了保持在道路拐弯处的电线杆OB的稳固性，要加一根固定钢丝绳，要求钢丝绳与地面成75°角．已知电线杆的高度为5m，问：至少要准备多长的钢丝绳？设电线杆与地面接触点为B，顶端为O，钢丝绳与地面接触点为A．在Rt△AOB中，如果能求出sin75°的值，那么即可求出钢丝绳的长度．75°角可表示成两个特殊角45°与30°的和，那么sin75°的值能否用这两特殊角的三角函数值来表示呢？二、建立模型1. 探究已知cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，则sin（α＋β），sin（α－β）中的角及函数名与cos（α＋β）和cos（α－β）有何关系？通过诱导公式可实现正、余弦函数的转换，即sin（α＋β）＝推导以上公式的方法并不是唯一的，其他推导方法由学生课后自己探索．3. 分析公式的结构特征Sα+β与Sα-β中两边的加减运算符号相同，右边为α与β角的异名三角函数的乘积．应特别注意公式两边符号的差异．三、解释应用［例题一］已知sinα＝－，且α为第四象限角，求sin（－α）cos（＋α）的值．分析：本题主要训练公式Sα-β与Sα+β的使用．由sinα＝－及α为第四象限角，可求出cosα＝，再代入公式求值．［练习一］分析：1. （1）强调公式的直接运用，寻找所求角与已知角之间的关系，α＝（30°＋α）－30°，再利用已知条件求出cos（30°＋α）．2. 应注意三角形的内角之间的关系，C＝π－（A＋B），再由诱导公式cos（π－α）＝－cosα，要求cosＣ即转化为求－cos（A＋B）．3. 应注意分析角之间的关系，2β＝（α＋β）－（α－β），因此，求cos2β还应求出sin （α－β）和cos（α＋β）．解此题时，先把α＋β与α－β看成单角，然后把2β用这两个单角来表示．4. 该题是在已有知识的基础上进一步深化，引导学生分三步进行：（1）求出α＋β角的某个三角函数值．（2）确定角的范围．（3）确定角的值．其中，求α＋β的某个三角函数值时，应分清是求cos（α－β）还是求sin（α－β）．已知向量＝（3，4），若将其绕原点旋转45°到′→的位置，求点P′（x′，y′）的坐标．解：设∠ｘOP＝α，∵｜OP｜＝5，∴cosα＝，sinα＝．∵x′＝5cos（α＋45°）＝5（cosαcos45°－sinαsin45°）＝－，y′＝5sin（α＋45°）＝5（sinαcos45°＋cosαsin45°）＝，∴P′ －，．已知向量＝（4，3），若将其绕原点旋转60°，－135°到1，2的位置，求点P1，P2的坐标．［例题三］求下列函数的最大值和最小值．（1）y＝cosｘ－sinx．（2）y＝3sinx＋4cosx．（3）y＝asinx＋bcosx，（ａｂ≠０）．注：（1），（2）为一般性问题，是为（3）作铺垫，推导时，要关注解题过程，以便让学生充分理解辅助角φ满足的条件．（3）解：考查以（ａ，ｂ）为坐标的点P（ａ，ｂ），设以OP为终边的一个角为φ，则［练习三］求下列函数的最大值和最小值．（1）y＝cosx－sinx．（2）y＝sinx－sin（x＋）（3）已知两个电流瞬时值函数式分别是I1＝12sin（ωt－45°），I2＝10sin（ωt＋30°），求合成的正弦波I＝I1＋I2的函数式．四、拓展延伸出示两道延伸性问题，引导学生独立思考，然后师生共同解决．1. 已知三个电流瞬时值的函数式分别为I1＝5sinωt，I2＝6sin（ωt－60°），I3＝10sin（ωt ＋60°），求它们合成后的电流瞬时值的函数式I＝I1＋I2＋I3，并指出这个函数的振幅、初相和周期．2. 已知点P（x，y），与原点的距离保持不变绕原点旋转θ角到点P′（x′，y′）（如图42-2），求证：43 三角形边和角关系的探索教材分析初中已研究过解直角三角形，这节所研究的正、余弦定理是解直角三角形知识的延伸与推广，它们都反映了三角形边、角之间的等量关系，并且应用正、余弦定理和三角形内角和定理，可以解斜三角形．正弦定理的推证运用了从特殊到一般的方法，把直角三角形中得到的边角关系式推广到锐角三角形，再推广到钝角三角形，进而得出一般性的结论．余弦定理的推证采用向量的数量积做工具，将向量的长度与三角形的边长、向量的夹角与三角形的内角联系起来．对于正、余弦定理的推论，除了这节课的证法之外，还有其他的一些推证方法．教材中还要求，在证明了正、余弦定理之后，让学生尝试用文字语言叙述两个定理，以便理解其实质．当然，就知识而言，正弦定理有三个等式，可视为三个方程；余弦定理的三个式子也可看成三个方程，每个方程中均有四个量，知道其中任意三个量便可求第四个量．这节课的重点是正、余弦定理的证明，以及用正、余弦定理解斜三角形，难点是发现定理、推证定理以及用定理解决实际问题．任务分析这节内容是在初中对三角形有了初步认识的基础上，进一步研究三角形的边、角之间的等量关系．对正弦定理的推导，教材中采用了从特殊到一般的方法，逐层递进，学生易于接受，而余弦定理的证明采用了向量的方法．应用两个定理解三角形时，要分清它们的使用条件．将正、余弦定理结合起来应用，经常能很好地解决三角形中的有关问题．教学目标1. 理解正、余弦定理的推证方法，并掌握两个定理．2. 能运用正、余弦定理解斜三角形．3. 理解并初步运用数学建模的思想，结合解三角形的知识，解决生产、生活中的简单问题．教学设计一、问题情景1. A，B两地相距2558m，从A，B两处发出的两束探照灯光照射在上方一架飞机的机身上（如图43-1），问：飞机离两探照灯的距离分别是多少？2. 如图43-2，自动卸货汽车的车厢采用液压机构，设计时应计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平的夹角为6°20′，AC长为1.40m，计算BC的长．（精确到0.01m）问题：（1）图中涉及怎样的三角形？（2）在三角形中已知什么？求什么？二、建立模型1. 教师引导学生分析讨论在问题情景（1）中，已知在△ABC中，∠A＝72.3°，∠B＝76.5°，AB＝2558m．求AC，BC的长．组织学生讨论如何利用已知条件求出AC，BC的长度．（让学生思考，允许有不同的解法）结论：如图40-3，作AD⊥BC，垂足为D．由三角函数的定义，知AD＝AC·sinC，AD ＝AB·sinB．由此可得AC·sinC＝AB·sinB．又由∠A，∠B的度数可求∠C的度数，代入上式即可求出AC的长度，同理可求BC 的长度．教师明晰：（1）当△ABC为直角三角形时，由正弦函数的定义，得（2）当△ABC为锐角三角形时，设AB边上的高为CD，根据三角函数的定义，得CD＝asinB＝bsinA，所以，同理.（3）当△ABC为钝角三角形时，结论是否仍然成立？引导学生自己推出．（详细给出解答过程）事实上，当∠A为钝角时，由（2）易知.设BC边上的高为CD，则由三角函数的定义，得CD＝asinB＝bsin（180°－A）．根据诱导公式，知sin（180°－A）＝sinA，∴asinB＝bsinA，即.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.正弦定理指出了任意三角形中三条边与它对应角的正弦之间的一个关系式，描述了任意三角形中边、角之间的一种数量关系．思考：正弦定理可以解决有关三角形的哪些问题？2. 组织学生讨论问题情景（2）这一实际问题可化归为：已知△ABC的边AB＝1.95，AC＝1.4，夹角为6°20′，求BC 的长．组织学生讨论：能用什么方法求出BC？（学生有可能有多种不同的解法）教师明晰：如果已知三角形的两边和夹角，这个三角形为确定的三角形，那么怎样去计算它的第三边呢？由于涉及边长及夹角的问题，故可以考虑用平面向量的数量积．（也可用两点间的距离公式）如图，设＝a，＝b，＝c，则c＝a－b．∵｜c｜2＝c·c＝（a－b）·（a－b）＝ａ2＋ｂ2－2abcosC，∴c2＝ａ2＋b2－2abcosC．同理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB．于是得到以下定理：余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．思考：余弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题？3. 进一步的问题勾股定理指出了直角三角形中三边之间的等量关系，余弦定理则指出了一般三角形三边之间的等量关系，那么这两个定理之间存在怎样的关系？如何利用余弦定理来判断三角形是锐角三角形还是钝角三角形？三、解释应用［例题］1. （1）已知：在△ABC中，A＝32.0°，B＝81.8°，ａ＝42.9cm，解三角形．（2）已知：在△ABC中，ａ＝20cm，ｂ＝28cm，A＝40°，解三角形．（角精确到1°，边长精确到1cm）分析：（1）本题为给出三角形的两角和一边解三角形问题，可由三角形内角和定理先求出第三个角，再两次利用正弦定理分别求出另两边．（2）本题给出了三角形的两边及其中一边的对角，于是可用正弦定理求出b边的对角B的正弦，sinB≈0.8999，但0＜B＜π，故Ｂ角有两个值（如图43-8），从而C角与c边的取值也有两种可能．学生在解题时容易丢掉一组解，应引导学生从图形上寻找漏掉的解．2. （1）已知：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，A＝41°，解三角形．（角精确到1°，边长精确到1cm）（2）已知：在△ABC中，ａ＝134.6cm，ｂ＝87.8cm，ｃ＝161.7cm，解三角形．（角精确到1′）．分析：本例中的（1）题，给出了两边及其夹角，可先用余弦定理求出第三边，求其他两角时既可用余弦定理也可用正弦定理．（2）题给出了三边长，可先用余弦定理求出其中一角，然后同样既可用正弦定理，也可用余弦定理求出其他两角．3. AB是底部B不可到达的建筑物，A为建筑物的最高点．设计一种测量建筑物高度AB的方法．分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高．由解直角三角形的知识，只要能知道一点C到建筑物顶部A的距离CA，并能测出由点C观察A 的仰角，就可以计算出建筑物的高．为了求出CA的长，可选择一条水平基线HG（如图43-9），使H，G，B三点在同一条直线上．在G，H两点用测角仪器测得A的仰角分别为α，β，设CD＝ａ，测角仪器的高为ｈ，则在△ACD中，由正弦定理，得，sin（α－β），从而可求得AB＝AE＋h＝ACsinα＋h＝＋h．［练习］1. 在△ABC中，已知下列条件，解三角形．（角精确到1°，边长精确到1cm）（1）A＝45°，C＝30°，ｃ＝10cm．（2）A＝60°，B＝45°，ｃ＝20cm．（3）ａ＝20cm，ｂ＝11cm，B＝30°．（4）ｃ＝54cm，ｂ＝39cm，ｃ＝115°．2. 在△ABC中，已知下列条件，解三角形．（角精确到0.1°，边长精确到0.1cm）（1）ａ＝2.7cm，ｂ＝3.696cm，C＝82.2°．（2）ｂ＝12.9cm，ｃ＝15.4cm，A＝42.3°．（3）ａ＝7cm，ｂ＝10cm，ｃ＝6cm．四、拓展延伸1. 在△ABC中，有正弦定理这涉及比值的连等式．请探索并研究是一个什么样的量，并加以证明．2. 在△ABC中，已知三边的长为ａ，ｂ，ｃ，如何判定△ABC的形状？3. 已知：在△ABC中，ａ＝60，ｂ＝50，Ａ＝38°，求B．（精确到1°）分析：.∵0°＜B＜180°，∴B≈31°或B≈149°，但当B≈149°时，A＋B＝187°，这与A，B为三角形内角矛盾，故B角只能取31°．由此题与例1中的（2）题的分析可以发现，在已知三角形两边及其一边对角解三角形时，在某些条件下会出现一解或两解的情形，那么会不会出现无解的情形呢？（1）当A为钝角或直角，必须满足ａ＞ｂ才有解（ａ≤ｂ无解），并且由sinB＝计算B时，只能取锐角，因此，只有一解，如图43-10．（2）当A为锐角时，①若ａ＞ｂ或ａ＝ｂ，则由sinB＝计算B时，只能取锐角的值，因此，只有一解，如图40-11．②若ａ＜ｂsinA，则由sinB＝，得sinB＞1，因此，无解．如图43-12．③若ａ＝bsinA，则由sinB＝，得sinB＝1，即Ｂ为直角，故只有一解，如图43-13．④若ｂ＞ａ＞bsinA，则sinB＜1，故B可取一个锐角和一个钝角的值，如图43-14．。

数列教材分析这一节课主要研究数列的有关定义，运用概念去解决有关问题，其中，对数列概念的理解及应用，是教学的重点，也是教学的难点。

教学目标1、知识与技能：理解数列及数列的通项公式等有关概念，会根据一个数列的有限项写出这个数列的一个通项公式。

2.、过程与方法：了解递推数列，并会由递推公式写出此数列的若干项。

3、情感态度与价值观：进一步培养学生观察、归纳和猜想的能力。

教学设计一、问题情景传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们研究过1，3，6，10，…由于这些数都能够表示成三角形（如图44-1），他们就将其称为三角形数．类似地，1，4，9，16，…能够表示成正方形（如图44-2），他们就将其称为正方形数。

二、建立模型1.引导学生观察、分析数列的顺序要求，设法用自己的语言描述出数列的定义及有穷数列、无穷数列、递增数列、摆动数列等有关概念像1，4，9，16，…等按照一定规律排列的一列数，就叫作数列。

数列的概念： 按一定顺序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项,通常也叫做首项,排在第二位的数称为这个数列的第2项,…,排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。

注: 从数列定义可以看出,数列的数是按一定次序排列的,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么他们就不是同一数列,显然数列和数集有本质的区别。

2.数列的记法数列的一般形式可以写成:,,,,21n a a a ,可简记为}{n a .其中n a 是数列的第n 项。

3.数列的通项公式如果数列}{n a 的第n 项n a 与序号n 之间的关系可以用一个公式)(n f a n =来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

注: (1)一个数列的通项公式有时不唯一。

如 ,0,1,0,1,0,1,0,1, 它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ,也可以是|21cos |π+=n a n 。

说课稿高中数学数列教案一、教学目标：1. 知识与技能：了解数列的概念和性质，掌握等差数列、等比数列的求和公式，能够应用数列相关知识解决实际问题。

2. 过程与方法：通过探究的方式引导学生理解数列的概念和性质，激发学生的思维能力和数学兴趣。

3. 情感态度：培养学生对数学的兴趣和自信心，培养学生合作学习和探究精神。

二、教学重点和难点：1. 教学重点：数列的概念和性质，等差数列、等比数列的求和公式。

2. 教学难点：解决实际问题时如何选取合适的数列模型。

三、教学准备：1. 教材：高中数学教材相关章节。

2. 工具：黑板、彩色粉笔、数学练习册等。

3. 具体内容：数列的概念和分类、等差数列、等比数列的求和公式及实际应用等。

四、教学过程：1. 导入：通过一个生活中的例子引入数列的概念，让学生了解数列的应用和重要性。

2. 探究：引导学生通过观察、探讨和实验等方式理解数列的概念和性质，并引导学生探索等差数列、等比数列的规律。

3. 知识总结：总结数列的分类和特点，讲解等差数列、等比数列的求和公式及应用方法。

4. 锻炼与运用：让学生通过练习题巩固所学知识，并通过实际问题的解决来提高学生的应用能力。

5. 反馈与评价：对学生的课堂表现进行总结评价，激发学生对数学学习的兴趣和信心。

六、板书设计：数列：概念、分类等差数列：性质、求和公式等比数列：性质、求和公式七、教学反思：本节课通过探究和练习相结合的方式，引导学生理解数列的概念和性质，激发学生的学习兴趣和思维能力。

在教学过程中，学生表现积极，能够积极参与到课堂讨论和练习中，但在实际问题的解决过程中，还需要引导学生更加灵活地运用数列知识，提高解决问题的能力。

希望在以后的教学中，能够更好地帮助学生掌握数列相关知识，提高他们的数学水平和运用能力。

高中数学新课程创新教学设计案例50篇46等差数列的前n项和教材剖析等差数列的前ｎ项和是数列的重要内容，也是数列研讨的基本效果．在理想生活中，等差数列的求和是经常遇到的一类效果．等差数列的求和公式，为我们求等差数列的前ｎ项和提供了一种重要方法．教材首先经过详细的事例，探求归结出等差数列前ｎ项和的求法，接着推行到普通状况，推导出等差数列的前ｎ项和公式．为深化对公式的了解，经过对详细例子的研讨，弄清等差数列的前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系，并能熟练地运用等差数列的前ｎ项和公式处置效果．这节内容重点是探求掌握等差数列的前ｎ项和公式，并能运用公式处置一些实践效果，难点是前ｎ项和公式推导思绪的构成．教学目的1. 经过等差数列前ｎ项和公式的推导，让先生体验数学公式发生、构成的进程，培育先生笼统概括才干．2. 了解和掌握等差数列的前ｎ项和公式，体会等差数列的前ｎ项和与二次函数之间的联络，并能用公式处置一些实践效果，培育先生对数学的了解才干和逻辑推理才干．3. 在研讨公式的构成进程中，培育先生的探求才干、创新才干和迷信的思想方法．义务剖析这节内容主要触及等差数列的前ｎ项公式及其运用．对公式的推导，为便于先生了解，采取从特殊到普通的研讨方法比拟适宜，如从历史上有名的求和例子1＋2＋3＋……＋100的高斯算法动身，一方面引发先生对等差数列求和效果的兴味，另一方面引导先生发现等差数列中恣意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和等于首项与末项的和这个规律，进而发现求等差数列前ｎ项和的普通方法，这样自然地过渡到普通等差数列的求和效果．对等差数列的求和公式，要引导先生看法公式自身的结构特征，弄清前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系．为加深对公式的了解和运用，要强化对实例的教学，并经过对详细实例的剖析，引导先生学会处置效果的方法．特别是对实践效果，要引导先生从实践情境中发现等差数列的模型，恰中选择公式．关于等差数列前ｎ项和公式和二次函数之间的联络，可引导先生拓展延伸．教学设计一、效果情形1. 在200多年前，有个10岁的名叫高斯的孩子，在教员提出效果：〝1＋2＋3＋…＋100＝？〞时，很快地就算出了却果．他是怎样算出来的呢？他发现1＋100＝2＋99＝3＋97＝…＝50＋51＝101，于是1＋2＋…＋100＝101×50＝5050．2. 受高斯算法启示，你能否求出1＋2＋3＋…＋ｎ的和．3. 高斯的方法妙在哪里呢？这种方法能否推行到求普通等差数列的前ｎ项和？二、树立模型1. 数列的前ｎ项和定义关于数列｛ａn｝，我们称ａ1＋ａ2＋…＋ａn为数列｛ａn｝的前ｎ项和，用S n表示，即S n＝ａ1＋ａ2＋…＋ａn．2. 等差数列的求和公式〔1〕如何用高斯算法来推导等差数列的前ｎ项和公式？关于公差为ｄ的等差数列｛ａn｝：S n＝ａ1＋〔ａ1＋ｄ〕＋〔ａ1＋2ｄ〕＋…＋［ａ1＋〔ｎ—1〕ｄ］，①依据高斯算法，将S n表示为S n＝ａn＋〔ａn—ｄ〕＋〔ａn—2ｄ〕＋…＋［ａn—〔ｎ—1〕ｄ］．②由此失掉等差数列的前ｎ项和公式小结：这种方法称为反序相加法，是数列求和的一种常用方法．〔2〕结合通项公式ａn＝ａ1＋〔ｎ—1〕ｄ，又能得怎样的公式？〔３〕两个公式有什么相反点和不同点，各反映了等差数列的什么性质？先生讨论后，教员总结：相反点是应用二者求和都须知道首项ａ1和项数ｎ；不同点是前者还需要知道ａn，后者还需要知道ｄ．因此，在运用时要依据条件适宜地选取公式．公式自身也反映了等差数列的性质：前者反映了等差数列的恣意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和都等于首、末两项之和，后者反映了等差数的前ｎ项和是关于ｎ的没有常数项的〝二次函数〞．三、解释运用［例题］1. 依据以下各题中的条件，求相应的等差数列｛ａn｝的前ｎ项和S n．〔1〕ａ1＝—4，ａ8＝—18，ｎ＝8．〔2〕ａ1＝14．5，ｄ＝0.7，ａn＝32．注：恰中选用公式停止计算．2. 一个等差数列｛ａn｝前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的前ｎ项和的公式吗？剖析：将条件代入等差数列前ｎ项和的公式后，可失掉两个关于ａ1与ｄ的关系式，它们都是关于ａ1与ｄ的二元一次方程，由此可以求得ａ1与ｄ，从而失掉所求前ｎ项和的公式．解：由题意知注：〔1〕教员引导先生看法到等差数列前ｎ项和公式，就是一个关于ａn，ａ1，ｎ或许ａ1，ｎ，ｄ的方程，使先生能把方程思想和前ｎ项和公式相结合，再结合通项公式，对ａ1，ｄ，ｎ，ａn及S n这五个量知其三便可求其二．〔2〕此题的解法还有很多，教学时可鼓舞先生探求其他的解法．例如，3. 2000年11月14日教育部下发了«关于在中小学实施〝校校通〞工程的通知»．某市据此提出了实施〝校校通〞工程的总目的：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同规范的校园网．据测算，2001年该市用于〝校校通〞工程的经费500万元．为了保证工程的顺利实施，方案每年投入的资金都比上一年添加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在〝校校通〞工程中的总投入是多少？教员引先生剖析：每年〝校校通〞工程的经费数构成公差为５０的等差数列．效果实质是求该数列的前10项的和．解：依据题意，从2001～2020年，该市每年投入〝校校通〞工程的经费都比上一年添加50万元．所以，可以树立一个等差数列｛ａn｝，表示从2001年起各年投入的资金，其中，ａ1＝500，ｄ＝50．那么，到2020年〔ｎ＝10〕，投入的资金总额为答：从2001～2020年，该市在〝校校通〞工程中的总投入是7250万元．注：教员引导先生规范运用题的解题步骤．4. 数列｛ａn｝的前ｎ项和S n＝ｎ2＋ｎ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？假设是，它的首项与公差区分是什么？解：依据由此可知，数列｛ａn｝是一个首项为，公差为2的等差数列．思索：普通地，数列｛ａn｝前ｎ项和S n＝Aｎ2＋Bｎ〔A≠０〕，这时｛ａn｝是等差数列吗？为什么？［练习］1. 一名技术人员方案用下面的方法测试一种赛车：从时速10ｋｍ／ｈ末尾，每隔2ｓ速度提高20ｋｍ／ｈ．假设测试时间是30ｓ，测试距离是多长？2. 数列｛ａn｝的前ｎ项的和为S n＝ｎ2＋ｎ＋4，求这个数列的通项公式．3. 求集合M＝｛ｍ｜ｍ＝2ｎ—1，ｎ∈N*，且ｍ＜60｝的元素个数，并求这些元素的和．四、拓展延伸1. 数列｛ａn｝前ｎ项和S n为S n＝pn2＋qn＋ｒ〔ｐ，ｑ，ｒ为常数且ｐ≠０〕，那么｛ａ｝成等差数列的条件是什么？n2. 等差数列5，4，3，…的前ｎ项和为S n，求使S n最大的序号ｎ的值．剖析1：等差数列的前ｎ项和公式可以写成S n＝ｎ2＋〔ａ1－〕ｎ，所以S n可以看成函数ｙ＝x2＋〔ａ1－〕ｘ〔ｘ∈N*〕．当ｘ＝ｎ时的函数值．另一方面，容易知道S n关于ｎ的图像是一条抛物线上的一些点．因此，我们可以应用二次函数来求ｎ的值．解：由题意知，等差数列5，4，3，…的公差为－，所以于是，当ｎ取与最接近的整数即7或8时，S n取最大值．剖析2：由于公差ｄ＝－＜０，所以此数列为递减数列，假设知道从哪一项末尾它后边的项全为负的，而它之前的项是正的或许是零，那么就知道前多少项的和最大了．即使然后从中求出ｎ．点评这篇案例从详细的实例动身，引出等差数列的求和效果，在设计上，设计者留意激起先生的学习兴味和探求愿望，经过等差数列求和公式的探求进程，培育先生观察、探求、发现规律、处置效果的才干．对例题、练习的布置，这篇案例留意由浅入深，完整，片面．拓展延伸的设计有新意，有深度，契合先生的看法规律，有利于先生了解、掌握这节内容．就总体而言，这篇案例表达了新课程的基本理念，尤其关注培育先生的数学思想才干和创新才干．另外，这篇案例关于承袭传统教学设计注重〝双基〞、关注先生的落实，同时留意着眼于先生的片面开展，有比拟好的表达。

3 逻辑联结词教材分析在初中阶段，学生已接触了一些简单命题，对简单的推理方法有了一定程度的了解．在此基础上，这节课首先从简单命题出发，给出含有“或”、“且”、“非”的复合命题的概念，然后借助真值表，给出判断复合命题的真假的方法．在高中数学中，逻辑联结词是学习、掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的出发点．因此，在教学过程中，除了关注和初中知识密切的联系之外，还应借助实际生活中的具体例子，以便于学生理解和掌握逻辑联结词．教学重点是判断复合命题真假的方法，难点是对“或”的含义的理解．教学目标1. 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，了解“或”、“且”、“非”的复合命题的构成．2. 能熟练判断一些复合命题的真假性．3. 通过逻辑联结词的学习，使学生初步体会数学语言的严密性，准确性，并在今后数学学习和交流中，能够准确运用逻辑联结词．任务分析在初中数学中，学生已经学习了一些关于命题的初步知识，但是，对命题和开语句的区别往往搞不清．因此，应首先让学生弄懂命题的含义，以便其掌握复合命题．由于逻辑中的“或”、“且”、“非”与日常用语中的“或”、“且”、“非”的意义不完全相同，故要直接讲清楚它们的意义，比较困难．因此，开始时，不必深讲，可以在学习了有关复合命题的真值表之后，再要求学生根据复合命题的真值表，对“或”、“且”、“非”加以理解，这样处理有利于掌握重点，突破难点．为了加深对“或”、“且”、“非”的理解，最后应设计一系列的习题加以巩固、深化对知识的认识程度．教学设计一、问题情境生活中，我们要经常用到许多有自动控制功能的电器．例如，洗衣机在甩干时，如果“到达预定的时间”或“机盖被打开”，就会停机，即当两个条件至少有一个满足时，就会停机．与此对应的电路，就叫或门电路．又如，电子保险门在“钥匙插入”且“密码正确”两个条件都满足时，才会开启．与此对应的电路，就叫与门电路．随着高科技的发展，诸多科学领域均离不开类似以上的逻辑问题．因此，我们有必要对简易逻辑加以研究．二、建立模型在初中，我们已学过命题，知道可以判断真假的语句叫作命题．试分析以下8个语句，说出哪些是命题，哪些不是命题，哪些是真命题，哪些是假命题．（1）12＞5．（2）3是12的约数．（3）是整数．（4）是整数吗？（5）x＞．（6）10可以被2或5整除．（7）菱形的对角线互相垂直且平分．（8）不是整数．（可以让学生回答，教师给出点评）我们可以看出，（1）（2）是真命题；（3）是假命题；因为（4）不涉及真假；（5）不能判断真假，所以（4）（5）都不是命题；（6）（7）（8）是真命题．其中，“或”、“且”、“非”这些词叫作逻辑联结词．像（1）（2）（3）这样的命题，不含逻辑联结词，叫简单命题；像（6）（7）（8）这样，由简单命题与逻辑联结词构成的命题，叫复合命题．如果用小写的拉丁字母p，q，r，s，…来表示命题（这里应明确（6）（7）（8）三个命题中p，q分别代表什么），则上述复合命题（6）（7）（8）的构成形式分别是p或q，p且q，非p．其中，非p也叫作命题p的否定．对于以上三种复合命题，如何判断其真假呢？下面要求学生自己设计或真或假的命题来填下面表格：结合学生回答情况，将上面的表格补充完整，并给出真值表的定义．要求学生对每一真值表用一句话总结：（1）“非p”形式的复合命题的真假与p的真假相反．（2）“p且q”形式的复合命题当p与q同为真时为真，其他情况时为假．（3）“p或q”形式的复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．三、解释应用［例题］1. 分别指出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题的真假．（1）p：2＋2＝5，q：3＞2．（2）p：9是质数，q：8是12的约数．（3）p：1∈｛1，2｝，q：｛1｝｛1，2｝．（4）p：｛0｝，q：＝｛0｝．注：引导学生进一步熟悉真值表．2. 说出下列复合命题的形式，并判断其真假．（1）5≥5．（2）5≥1．解：（1）p或q形式．其中，p：5＞5，q：5＝5．p假，q真，∴p或q为真，即5≥5为真命题．（2）p或q形式．其中，p：5＞4，q：5＝4，p真，q假，∴p或q为真，即5≥4为真命题．［练习］1. 命题：方程x2－1＝0的解是x＝±1，使用逻辑联结词的情况是（）．A. 没用使用逻辑联结词B. 使用逻辑联结词“且”C. 使用逻辑联结词“或”D. 使用逻辑联结词“非”（C）2. 由下列命题构成的“p或q”、“p且q”形式的复合命题均为真命题的是（）．A. p：4＋4＝9，q：7＞4B. p：a∈｛a，b，c｝，q：｛a｝｛ａ，ｂ，ｃ｝C. p：15是质数，q：4是12的约数D. p：2是偶数，q：2不是质数（B）四、拓展延伸在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”、“且”、“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，从而解决问题．例：小李参加全国数学联赛，有三名同学对他作如下猜测：甲：小李非第一名，也非第二名；乙：小李非第一名，而是第三名；丙：小李非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，问：小李得了第几名？由上可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知是丙是真命题，因此小李得了第一名．还有一些逻辑问题，应从命题与命题之间关系去寻找解题思路．例：曾经在校园内发生过这样一件事：甲、乙、丙、丁四名同学在教室前的空地上踢足球，忽然足球飞向了教室的一扇窗户，听到响声后，李主任走了过来，看着一地碎玻璃，问道：“玻璃是谁打破的？”甲：是乙打破的；乙：不是我，是丁打破的；丙：肯定不是我打破的；丁：乙在撒谎．现在只知道有一个人说了真话，请你帮李主任分析：谁打破了玻璃，谁说了真话．分析此题关键在于找清乙说的与丁说的是“p”与“非p”形式，因此说真话者可能是乙，也可能不是乙，是丁．由此分析可知，是丙打破的玻璃．点评这篇案例的突出特点是对知识的认知由浅入深，层层渐进．这篇案例的所有例子均结合学生的数学水平取自学生掌握的知识范围之内或者直接源于现实生活，这有利于学生对问题的实质的理解和掌握．如果在“建立模型”的结束时及时给出相关的例子，使学生正确区分哪些是简单命题，哪些是复合命题，学生的印象会更深．。

30 几何概型教材分析和古典概型一样，在特定情形下，我们可以用几何概型来计算事件发生的概率．它也是一种等可能概型．教材首先通过实例对比概念给予描述，然后通过均匀随机数随机模拟的方法的介绍，给出了几何概型的一种常用计算方法．与本课开始介绍的P（A）的公式计算方法前后对应，使几何概型这一知识板块更加系统和完整．这节内容中的例题既通俗易懂，又具有代表性，有利于我们的教与学生的学．教学重点是几何概型的计算方法，尤其是设计模型运用随机模拟方法估计未知量；教学难点是突出用样本估计总体的统计思想，把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题．教学目标1. 通过这节内容学习，让学生了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用．2. 通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力．3. 通过学习，让学生体会试验结果的随机性与规律性，培养学生的科学思维方法，提高学生对自然界的认知水平．任务分析在这节内容中，介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，因此，教学重点是随机模拟部分．这节内容的教学需要一些实物模型作为教具，如教科书中的转盘模型、例2中的随机撒豆子的模型等．教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果．随机模拟的教学中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数，进行模拟活动．有条件的学校可以让学生用一种统计软件统计模拟的结果．教学设计一、问题情境如图，有两个转盘．甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向Ｂ区域时，甲获胜，否则乙获胜．问题：在下列两种情况下分别求甲获胜的概率．二、建立模型1. 提出问题首先引导学生分析几何图形和甲获胜是否有关系，若有关系，和几何体图形的什么表面特征有关系？学生凭直觉，可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积有关．即：字母B 所在扇形弧长（或面积）与整个圆弧长（或面积）的比．接着提出这样的问题：变换图中B 与N的顺序，结果是否发生变化？（教师还可做出其他变换后的图形，以示决定几何概率的因素的确定性）．题中甲获胜的概率只与图中几何因素有关，我们就说它是几何概型．注意：（1）这里“只”非常重要，如果没有“只”字，那么就意味着几何概型的概率可能还与其他因素有关，这是错误的．（2）正确理解“几何因素”，一般说来指区域长度（或面积或体积）．2. 引导学生讨论归纳几何概型定义，教师明晰———抽象概括如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：3. 再次提出问题，并组织学生讨论（1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？（2）在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率．（3）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10min的概率．通过以上问题的研讨，进一步明确几何概型的意义及基本计算方法．三、解释应用［例题］1. 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少．分析：我们有两种方法计算事件的概率．（1）利用几何概型的公式．（2）利用随机模拟的方法．解法1：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间，纵坐标表示父亲离开家去工作的时间．假设随机试验落在方形内任一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A 发生，所以解法2：设X，Y是0～1之间的均匀随机数．X＋6.5表示送报人送到报纸的时间，Y ＋7表示父亲离开家去工作的时间．如果Y＋7＞X＋6.5，即Y＞X－0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸．用计算机做多次试验，即可得到P（A）．教师引导学生独立解答，充分调动学生自主设计随机模拟方法，并组织学生展示自己的解答过程，要求学生说明解答的依据．教师总结，并明晰用计算机（或计算器）产生随机数的模拟试验．强调：这里采用随机数模拟方法，是用频率去估计概率，因此，试验次数越多，频率越接近概率．2. 如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率的值．解：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即假设正方形的边长为2，则由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以这样就得到了π的近似值．另外，我们也可以用计算器或计算机模拟，步骤如下：（1）产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；（2）经平移和伸缩变换，a＝（a1－0.5）*2，b＝（b1－0.5）*2；（3）数出落在圆内a2＋b2＜1的豆子数N1，计算（N代表落在正方形中的豆子数）．可以发现，随着试验次数的增加，得到π的近似值的精度会越来越高．本例启发我们，利用几何概型，并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积．［练习］1. 如图30-4，如果你向靶子上射200镖，你期望多少镖落在黑色区域．2. 利用随机模拟方法计算图30-5中阴影部分（y＝1和y＝x2围成的部分）的面积．3. 画一椭圆，让学生设计方案，求此椭圆的面积．四、拓展延伸1. “概率为数…0‟的事件是不可能事件，概率为1的事件是必然事件”，这句话从几何概型的角度还能成立吗？2. 你能说一说古典概型和几何概型的区别与联系吗？3. 你能说说频率和概率的关系吗？点评这篇案例设计完整，整体上按知识难易逐渐深入，同时充分调动了学生的积极性，以学生之间互动为主，教师引导为辅．例题既有深化所学知识的，又有应用所学知识的．“拓展延伸”既培养了学生的思维能力，又有利于学生从总体上把握这节课所学的知识．。

47 等比数列教学内容分析这节课是在等差数列的基础上，运用同样的研究方法和研究步骤，研究另一种特殊数列———等比数列．重点是等比数列的定义和通项公式的发现过程及应用，难点是应用．教学目标1. 熟练掌握等比数列的定义、通项公式等基本知识，并熟练加以运用．2. 进一步培养学生的类比、推理、抽象、概括、归纳、猜想能力．3. 感受等比数列丰富的现实背景，进一步培养学生对数学学习的积极情感．任务分析这节内容由于是在等差数列的基础上，运用同样的方法和步骤，研究类似的问题，学生接受起来较为容易，所以应多放手让学生思考，并注意运用类比思想，这样不仅有利于学生分清等差和等比数列的区别，而且可以锻炼学生从多角度、多层次分析和解决问题的能力．另外，与等差数列相比等比数列须要注意的细节较多，如没有零项、ｑ≠0等，在教学中应注意加以比较．教学设计一、问题情景在前面我们学习了等差数列，在现实生活中，我们还会遇到下面的特殊数列：1. 在现实生活中，经常会遇到下面一类特殊数列．下图是某种细胞分裂的模型．细胞分裂个数可以组成下面的数列：1，2，4，8，…2. 一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄，通过电子函件进行传播．如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，函件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推．假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么，在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是1，20，202，203，…（3）除了单利，银行还有一种支付利息的方式———复利，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”．按照复利计算本利和的公式是本利和＝本金×（1＋利率）存期例如，现在存入银行10000元钱，年利率是1.98%，那么按照复利，5年内各年末得到的本利和分别是（计算时精确到小数点后2位）：表47-1时间年初本金（元）年末本利和（元）第1年10000 10000×1.0198第2年10000×1.0198 10000×1.01982第3年10000×1.0198210000×1.01983第4年10000×1.0198310000×1.01984第5年10000×1.0198410000×1.01985各年末的本利和（单位：元）组成了下面的数列：１００００×１０１９８，１００００×１０１９８２，１００００×１０１９８３，１００００×１０１９８４，１００００×１０１９８５．问题：回忆等差数列的研究方法，我们对这些数列应作如何研究？二、建立模型结合等差数列的研究方法，引导学生运用从特殊到一般的思想方法分析和探究，发现这些数列的共同特点，从而归纳出等比数列的定义及符号表示：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示（ｑ≠0）．即［问题］1. ｑ可以为0吗？有没有既是等差，又是等比的数列？2. 运用类比的思想可以发现，等比数列的定义是把等差数列的定义中的“差”换成了“比”，同样，你能类比得出等比数列的通项公式吗？如果能得出，试用以上例子加以检验．对于2，引导学生运用类比的方法：等差数列通项公式为ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ，即ａ１与（ｎ－１）个ｄ的和，等比数列的通项公式应为ａｎ等于ａ１与（ｎ－１）个ｑ的乘积，即ａｎ＝ａ１ｑｎ－１．上面的几个例子都满足通项公式．3. 你如何论证上述公式的正确性．证法1：同等差数列———归纳法．证法2：类比等差数列，累乘可得，即各式相乘，得ａn＝ａ1ｑn－1．归纳特点：（1）ａn是关于ｎ的指数形式．（2）和等差数列类似，通项公式中有ａn，ａ1，ｑ，ｎ四个量，知道其中三个量可求另一个量．三、解释应用［例题］1. 某种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%，问：这种物质的半衰期为多长？解：设这种物质最初的质量是1，经过ｎ年，剩留量是ａn．由已知条件，得数列｛ａn｝是一个等比数列，其中ａ1＝0.84，ｑ＝0.84．设ａn＝0.5，则0.84n＝0.5．两边取对数，得ｎｌｇ0.84＝ｌｇ0.5．用计算器计算，得ｎ≈4．答：这种物质的半衰期大约为4年．2. 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项与第2项．解：设这个等比数列的第1项是ａ1，公比是ｑ，那么注：例1、例2体现了方程思想的应用，这也是有关等差、等比数列运算中常用的思想方法．3. 已知数列｛ａn｝，｛b n｝是项数相同的等比数列，那么｛ａn b n｝是否为等比数列？如果是，证明你的结论；如果不是，说明理由．解：可以得到：如果｛ａn｝，｛b n｝是项数相同的等比数列，那么｛ａn·b n｝也是等比数列．证明如下：设数列｛ａn｝的公比为ｐ，｛b n｝的公比为ｑ，那么数列｛ａn·b n｝的第n项与第n＋1项分别为ａ1ｐn－1·ｂ1ｑn－1与ａ1ｐn·ｂ1ｑn，即ａ1ｂ1（ｐｑ）n－1与ａ1ｂ1（ｐｑ）n．两项相比，得显然，它是一个与ｎ无关的常数，所以｛ａn·b n｝是一个以ｐｑ为公比的等比数列．特别地，如果｛ａn｝是等比数列，ｃ是不等于0的常数，那么数列｛ｃ·ａn｝也是等比数列．［练习］1. 在等比数列｛ａn｝中，（1）ａ5＝４，ａ7＝６，求ａ9．（2）ａ5－ａ1＝１５，ａ4－ａ2＝６，求ａ3．2. 设｛ａn｝是正项等比数列，问：是等比数列吗？为什么？3. 三个数成等比数列，并且它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数．4. 设等比数列｛ａn｝，｛b n｝的公比分别是ｐ，ｑ．（1）如果ｐ＝ｑ，那么｛ａn＋b n｝是等比数列吗？（2）如果ｐ≠ｑ，那么｛ａn＋b n｝是等比数列吗？四、拓展延伸引导学生分析思考如下三个问题：（1）如果三个数ａ，G，ｂ成等比数列，则G叫作ａ，ｂ的等比中项，那么如何用ａ，ｂ表示G呢？这个式子是三个数ａ，G，ｂ成等比数列的什么条件？（2）在直角坐标系中，画出通项公式为ａn＝2n的数列的图像和函数y＝2x－1的图像．对比一下，你发现了什么？（3）已知数列｛ａn｝满足ａn－ａn－1＝2n（ｎ≥2），数列｛b n｝满足，你会求它们的通项公式吗？五、回顾反思1. 在这节课上，你有哪些收获？2. 你能用几个概念、几个公式来概括等比数列的有关内容吗？试试看．点评这是一节典型的类比教学的案例，这节课的内容与等差数列的内容和研究方法非常相似，但设计者从类比入手，让学生亲自去发现，猜想，解决，无论从问题的提出，还是在解决方式、细节的处理上，和上节均有较大不同．相信这节课除了使学生可以更加熟练地掌握等差数列、等比数列的有关知识及常用的解题思想方法外，对类比思想的运用还会有所感悟和体会．美中不足的是，等比数列的现实模型比较多，而这篇案例在对比方面的运用略显单薄．。

4 四种命题教材分析在初中，学生接触的简单的逻辑推理及命题间关系（原命题和逆命题）主要来源于几何知识，有很强的几何直观性，便于掌握．高中学生要面对大量代数命题，因此，很有必要学习四种命题及四者之间的关系，以适应高中数学学习的需要，这节课的主要教学目的就在于此．同时，这节课又是学习和运用反证法这种基本解题方法的基础．这节课的重点是四种命题间的关系．学生现有的认知水平虽然脱离了初中阶段的简单几何知识，但是新的知识体系并未形成，因此，随着学生对概念理解的深入，这节课的例题将逐步引导学生理解几何命题，进而理解代数命题．这种处理方式符合学生的认知规律．教学目标通过这节课的教与学，应使学生初步理解四种命题及其关系，进而使学生掌握简单的推理技能，发展学生的思维能力．同时，帮助学生从几何推理向代数推理过渡．任务分析在这节课的教学过程中，要注意控制教学要求，即只研究比较简单的命题，而且命题的条件和结论比较明显；不研究含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题的逆命题、否命题和逆否命题．这节中“若p则q”形式的命题中的“p”，“q”可以都是命题，也可以不都是命题，不能等同于前面的复合命题．教学设计一、问题情境在以前的数学学习中，有这样的知识：菱形的对角线相互垂直．那么，这一真命题变一下形式是否真命题呢？如：“如果一个四边形对角线相互垂直，那么它是菱形”，再如：“对角线不相互垂直的四边形不是菱形”．这些变形后的命题的真假是否和原命题有关呢？为解决这一问题，这节课我们就来学习“四种命题”．二、问题解决首先让学生回忆初中学习过的有关命题的定义：互逆命题、原命题、逆命题．（学生回答，教师补充完整）例：如果原命题是（1）同位角相等，两直线平行．让学生说出它的逆命题．（2）两直线平行，同位角相等．再看下面的两个命题：（3）同位角不相等，两直线不平行．（4）两直线不平行，同位角不相等．在命题（1）与命题（3）中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫作互否命题．把其中一个命题叫作原命题，另一个就叫作原命题的否命题．在命题（1）与命题（4）中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫作互为逆否命题．把其中一个命题叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆否命题．换句话说：（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题．（2）同时否定原命题的条件和结论，所得命题是否命题．（3）交换原命题的条件和结论，并同时否定，所得命题是逆否命题．一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p和q的否定．于是，四种命题的形式就是：原命题：若p则q．逆命题：若q则p．否命题：若非p则非q．逆否命题：若非q而非p．下面让学生考虑这样一个问题：四种命题之间，任意两个是什么关系？（学生回答，教师补充，最后出示下图）给出一个命题：“若a＝0，则ab＝0．”让学生写出其他三种命题，并判断四个命题的真假，然后考虑其他三种命题的真假是否与原命题的真假有某种关系．不难发现如下关系：（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真．（2）原命题为真，它的否命题不一定为真．（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真．三、解释应用［例题］1. 把下列命题先改写成“若p则q”的形式，再写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．（1）负数的平方是正数．（2）正方形的四条边相等．分析：关键是找出原命题的条件p与结论q．解：（1）原命题可以写成：若一个数是负数，则它的平方是正数．逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．逆命题为假．否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．否命题为假．逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．逆否命题为真．（2）原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．逆命题为假．否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等．否命题为假．逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．逆否命题为真．2. 设原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．分析：“当c＞0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a＞b，结论是ac＞bc．解：逆命题：当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b．逆命题为真．否命题：当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc．否命题为真．逆否命题：当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b．逆否命题为真．［练习］1. 命题“若a＞b，则ac2＞bc2，（a，b，c∈R）”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题个数为（）．A. 3B. 2C. 1D. 0（B）2. 在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则｛x｜ax2＋bx＋c＜0｝≠ ”的逆命题、否命题、逆否命题中，下列结论成立的是（）．A. 三命题都真B. 三命题都假C. 否命题真D. 逆否命题真（D）四、拓展延伸在对某一命题的条件和结论否定时，有些问题，学生易出错．例如，对如下词语的否定：“任意的”、“所有的”、“都是”和“全是”等．下面以“全是”为例进行说明：所谓“否定”，即其对立面，显然“全是”的对立面中除了“全不是”之外，还有“部分也是”这一部分．因此，“全是”的对立面（即否定）应是“不全是”，而不是“全不是”．同样，“任意的”否定应是“某个”，“所有的”否定应是“存在一个”或“存在一些”，“都是”的否定是“不都是”．例如，命题：若x2＋y2＝0，则x，y全是0．其否命题是：若x2＋y2≠0，则x，y不全是0．点评这篇案例涉及两个问题：一个是定义，一个是规律，即四种命题间的关系．为了加深学生的认识，这篇案例突出了“学生参与”，即让学生通过例子认识定义，在活动中自己归纳、总结规律．同时，这篇案例又设计了适量的例题和练习，以巩固学生在课堂活动中掌握的知识．再者，这篇案例中所有例子都十分简单，但又极具有代表性，易于学生接受和理解，这也是学生能积极地参与到课堂活动中去的一个必要条件．美中不足的是，这篇案例的个别环节对“反例”的运用稍显单薄．。

数列中的创新型问题命题点1数学文化情境下的数列应用例1[2021新高考卷Ⅰ]某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm ×12dm 的长方形纸，对折1次共可以得到10dm ×12dm ，20dm ×6dm 两种规格的图形，它们的面积之和S 1＝240dm 2，对折2次共可以得到5dm ×12dm ，10dm ×6dm ，20dm ×3dm 三种规格的图形，它们的面积之和S 2＝180dm 2，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5；如果对折n 次，那么∑J1S k ＝240（3－r32）dm 2.解析依题意得，S 1＝120×2＝240（dm 2）；S 2＝60×3＝180（dm 2）；当n ＝3时，共可以得到5dm ×6dm ，52dm ×12dm ，10dm ×3dm ，20dm ×32dm 四种规格的图形，且面积均为30dm 2，所以S 3＝30×4＝120（dm 2）；当n ＝4时，共可以得到5dm ×3dm ，52dm ×6dm ，54dm ×12dm ，10dm ×32dm ，20dm ×34dm 五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且面积均为15dm 2，所以S 4＝15×5＝75（dm 2）；……所以可归纳S k ＝2402×（k ＋1）＝240（r1）2.所以∑J1S k ＝240（1＋322＋423＋…＋2－1＋r12）①，所以12×∑J1S k ＝240（222＋323＋424＋…＋2＋r12r1）②，由①－②得，12×∑J1S k ＝240（1＋122＋123＋124＋…＋12－r12r1）＝240{1＋122[1－（12）－1]1－12－r12r1}＝240（32－r32r1），所以∑J1S k ＝240（3－r32）（dm 2）.方法技巧通过数学建模解决数学文化问题的步骤读懂题意会“脱去”题目中的背景，提取关键信息.构造模型由题意构建等差数列、等比数列或递推关系式的模型.“解模”把问题转化为与数列有关的问题，如求指定项、公差（或公比）、项数、通项公式或前n 项和等.训练1[2023安徽名校联考]“物不知数”原载于《孙子算经》，它的系统解法是南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中给出的.“大衍求一术”是中国古算中最具独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题.现有一道同余式组问题：将正整数中，被4除余1且被6除余3的数，按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，记{a n }的前n 项和为S n ，则S 10＝（C）A.495B.522C.630D.730解析由题知，被4除余1且被6除余3的数中，最小的正整数是9，则满足条件的数列{a n }是以9为首项，12为公差的等差数列，则a n ＝12n －3（n ∈N *），所以S 10＝10×（9+117）2＝630.故选C.命题点2现代生活情境下的数列应用例2某市抗洪指挥部接到最新雨情预报，未来24h 城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位，因此需要紧急抽调工程机械加高加固拦洪坝.经测算，加高加固拦洪坝工程需要调用20辆某型号翻斗车，平均每辆翻斗车需要工作24h.而抗洪指挥部目前只有一辆翻斗车可立即投入施工，其余翻斗车需要从其他施工现场抽调.若抽调的翻斗车每隔20min 才有一辆到达施工现场投入工作，要在24h 内完成拦洪坝加高加固工程，指挥部至少还需要抽调这种型号翻斗车（C）A.25辆 B.24辆C.23辆D.22辆解析由题意可知，一辆翻斗车需要20×24＝480（h ）才能完成拦洪坝的加高加固工程，设至少需要n 辆这种型号的翻斗车才能在24h 内完成该工程，这n 辆翻斗车的工作时间（单位：h ）按从大到小排列依次记为a 1，a 2，…，a n ，则数列{a n }是公差为－13的等差数列，所以a 1＝24，记{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋（－1）2×（－13）＝24n －16n （n －1），当n ＝23时，S n ≈467.7＜480，当n ＝24时，S n ＝484＞480，故n 的值为24，至少需要24辆翻斗车，所以至少还需要抽调23辆翻斗车，故选C.训练2[多选]如图所示，这是小朋友们喜欢玩的彩虹塔叠叠乐玩具.某数学兴趣小组利用该玩具制订如下玩法：在2号杆中自下而上串有由大到小的n （n ∈N *）个彩虹圈，将2号杆中的彩虹圈全部移动到1号杆中，3号杆可以作为过渡使用；每次只能移动一个彩虹圈，且无论在哪个杆中，小的彩虹圈必须放置在大的上方；将一个彩虹圈从一个杆移动到另一个杆中记为移动1次，记a n 为2号杆中n 个彩虹圈全部移动到1号杆所需要的最少移动次数，设b n ＝a n ＋1－n ，则下面结论正确的是（ABD ）A.a 3＝7B.a n ＋1＝2a n ＋1C.b n ＝2n ＋n －1D.∑i=1i＋ii i+1＝12－12r2－－2解析由题意易得，a 1＝1，a 2＝3.易知将n ＋1个彩虹圈全部移动到1号杆中所需要的最少次数为a n ＋1，若要将2号杆中的n ＋1个彩虹圈全部移动到1号杆中，则第一步，将除了最大的彩虹圈的n 个彩虹圈全部移动到3号杆中，所需要移动的最少次数为a n ；第二步，将最大的彩虹圈移动到1号杆中，最少需要移动1次；第三步，将3号杆中的n 个彩虹圈全部移动到1号杆中，需要移动的最少次数为a n ，所以a n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＋1＋1＝2（a n ＋1）.又a 1＋1＝2，所以数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2n ，a n ＝2n －1，a 3＝7，所以选项A ，B 均正确；因为b n ＝a n ＋1－n ，所以b n ＝2n ＋1－1－n ，所以选项C 错误；因为＋r1＝1－1r1，所以∑i=1i ＋ii i+1＝11－12＋12－13＋13－14＋…＋1－1r1＝11－1r1＝12－12r2－－2，所以选项D 正确.综上，选ABD.命题点3数列中的新定义问题例3我们把形如F n ＝22＋1（n ∈N ）的数叫做“费马数”，设a n ＝log 2（F n －1），n ∈N *，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则使不等式2212＋2323＋…＋2r1r1＜63127成立的最大正整数n 的值是（A ）A.5B.6C.7D.8解析因为F n ＝22＋1（n ∈N ），所以当n ∈N *时，a n ＝log 2（F n －1）＝log 2（22＋1－1）＝2n，所以S n ＝2×（1－2）1－2＝2n ＋1－2.而2r1r1＝2r1（2r1－2)(2r2－2）＝12r1－2－12r2－2，所以2212＋2323＋…＋2r1r1＝122－2－123－2＋123－2－124－2＋…＋12r1－2－12r2－2＝12－12r2－2.若12－12r2－2＜63127，则12r2－2＞1254，即2n ＋2＜256，解得n ＜6，故选A.训练3函数y ＝[x ]称为高斯函数，[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.已知数列{a n }满足a 3＝3，且a n ＝n （a n ＋1－a n ），若b n ＝[lg a n ]，则数列{b n }的前2025项和为4968.解析由a n ＝n （a n ＋1－a n ），得（n ＋1）a n ＝na n ＋1，即r1＝r1，利用累乘法（或r1r1＝＝33＝1），可得a n ＝n .记{b n }的前n 项和为T n ，当1≤n ≤9时，0≤lg a n ＜1，b n ＝[lg a n ]＝0；当10≤n ≤99时，1≤lg a n ＜2，b n ＝1；当100≤n ≤999时，2≤lg a n ＜3，b n ＝2；当1000≤n ≤2025时，3≤lg a n ＜4，b n ＝3.所以T 2025＝（b 1＋…＋b 9）＋（b 10＋…＋b 99）＋（b 100＋…＋b 999）＋（b 1000＋…＋b 2025）＝9×0＋90×1＋900×2＋1026×3＝4968.1.[命题点1/2023河南郑州一模]我国古代有这样一个数学问题：今有男子善走，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？其大意是：现有一个善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走d 里，九天他一共行走了一千二百六十里，求d 的值.关于该问题，下列结论错误的是（A）A.d ＝15B.此人第三天行走了一百二十里C.此人前七天一共行走了九百一十里D.此人前八天一共行走了一千零八十里解析设此人第n（n∈N*）天走a n里，则数列{a n}是公差为d的等差数列，记数列{a n}的前n项和为S n，由题意可得1=100，9=91+36=1260，解得d＝10，A错.a3＝a1＋2d＝120，B对.S7＝7a1＋6×72d＝910，C对.S8＝8a1＋7×82d＝1080，D对.故选A.2.[命题点2/2023江西清江中学期末]现某药厂打算投入一条新的药品生产线，已知该生产线连续生产n年的累计年产量（单位：万件）为T（n）＝14n（n＋1）（n＋3），如果年产量超过60万件，可能出现产量过剩，产生药物浪费.从避免药物浪费和环境保护的角度出发，这条生产线的最大生产期限应拟定为（B）A.7年B.8年C.9年D.10年解析设第n年年产量为a n，则第一年年产量为a1＝T1＝2，以后各年年产量为a n＝T（n）－T（n－1）＝14n（3n＋5）（n≥2，n∈N*），a1＝2也符合上式，所以a n＝14n（3n＋5）（n∈N*）.令14n（3n＋5）≤60，得3n2＋5n－240≤0.设f（x）＝3x2＋5x－240，其图象的对称轴为直线x＝－56，则当x＞0时，f（x）单调递增.又f（8）＝3×82＋5×8－240＝－8＜0，f（9）＝3×92＋5×9－240＝48＞0，所以3n2＋5n－240≤0的最大正整数解为8，则这条生产线的最大生产期限应拟定为8年.故选B.3.[命题点3/多选/2023北京师范大学第二附属中学期中]若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称这个数列为“m积特征列”，若各项均为正数的等比数列{a n}为“6积特征列”，且a1＞1，则当{a n}的前n项之积最大时，n的值为（CD）A.5B.4C.3D.2解析由{a n}是等比数列，得a n＝a1q n－1，其中q为数列{a n}的公比.因为数列{a n}是“6积特征列”，所以a6＝a1a2a3a4a5a6，所以15q10＝1，所以a1q2＝1，所以a1＝q－2.因为数列{a n}各项均为正数，a1＞1，所以0＜q＜1.设数列{a n}的前n项之积为P n，则有P n＝a1a2…a n＝1q1＋2＋3＋…＋（n－1）＝2－52.因为0＜q＜1，所以当2－52最小时，P n最大.结合二次函数的图象及n∈N*知当n＝2或n＝3时，2－52最小，P n最大.故选CD.学生用书·练习帮P3151.[2023武汉市5月模拟]将1，2，…，n 按照某种顺序排成一列得到数列{a n }，对任意1≤i ＜j ≤n ，如果a i ＞a j ，那么称数对（a i ，a j ）构成数列{a n }的一个逆序对.若n ＝4，则恰有2个逆序对的数列{a n }的个数为（B）A.4B.5C.6D.7解析由题知数列{a n }中的项都是正整数，当n ＝4时，1≤i ＜j ≤4，将1，2，3，4按照某种顺序排成一列，则用列举法列出所有恰有2个逆序对的数列的组合为{1，4，2，3}，{1，3，4，2}，{2，1，4，3}，{2，3，1，4}，{3，1，2，4}，共5个，故选B.2.[2024湖南名校联考]南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列{a n }本身不是等差数列，但从数列{a n }中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{b n }（称数列{a n }为一阶等差数列），或者{b n }仍旧不是等差数列，但从数列{b n }中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{c n }（称数列{a n }为二阶等差数列）……以此类推，得到高阶等差数列.类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列{a n }：1，1，3，27，729，…是一阶等比数列，则∑J110log 3a n 的值为（参考公式：12＋22＋…＋n 2＝6（n ＋1）（2n ＋1））（B ）A.60B.120C.240D.480解析由题意知，数列{a n }为一阶等比数列.设b n ＝r1，则{b n }为等比数列，其中b 1＝1，b 2＝3，公比为q ＝21＝3，所以b n ＝3n －1.故a n ＝b n －1b n －2…b 1·a 1＝31＋2＋3＋…＋（n －2）＝3（－1)(－2）2，n ≥2，a 1＝1，也适合上式，所以log 3a n ＝log 33（－1)(－2）2＝（－1)(－2）2＝12（n 2－3n ＋2）.所以∑J110log 3a n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 10＝12×[（12＋22＋…＋102）－3×（1＋2＋…＋10）＋2×10]＝12×[（16×10×11×21）－3×（1+10）×102＋2×10]＝120.故选B.3.[2023昆明市模拟]Farey 序列是指把在0到1之间的所有分母不超过n （n ∈N *）的最简分数及0（视为01）和1（视为11）按从小到大的顺序排列起来所形成的数列，记作F －n ，例如F －4就是01，14，13，12，23，34，11.则F －7的项数为19.解析F －7中分子为1的有17，16，15，14，13，12；分子为2的有27，25，23；分子为3的有37，35，34；分子为4的有47，45；分子为5的有57，56；分子为6的有67；再加上01和11两项，共有19项.4.对于数列{a n }，使数列{a n }的前k 项和为正整数的k 的值叫做“幸福数”.已知a n ＝log 4r1，则数列{a n }在区间[1，2025]内的所有“幸福数”的个数为5.解析a n ＝log 4r1＝log 4（n ＋1）－log 4n ，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝log 42－log 41＋log 43－log 42＋…＋log 4（n ＋1）－log 4n ＝log 4（n ＋1）.根据题意得S k 为正整数，设S k ＝m （m ∈N *），则log 4（k ＋1）＝m ，所以k ＋1＝4m ，令1≤k ≤2025，则1≤4m －1≤2025，故m 可取1，2，3，4，5，共5个数，所以所求“幸福数”有5个，故答案为5.5.我国古人将一年分为二十四个节气，如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，冬至的晷长最长，夏至的晷长最短，周而复始.已知冬至的晷长为13.5尺，芒种的晷长为2.5尺，则一年中夏至到大雪的晷长的和为84尺.解析依题意，冬至的晷长为13.5尺，记为a 1＝13.5，芒种的晷长为2.5尺，记为a 12＝2.5，因为相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，所以从冬至到芒种的晷长可构成等差数列{a n }，n ∈N *，n ≤12，则数列{a n }的公差d ＝12－112－1＝2.5－13.512－1＝－1.因为夏至与芒种相邻，且夏至的晷长最短，所以夏至的晷长为a 12＋d ＝1.5（尺），又大雪与冬至相邻，且冬至的晷长最长，所以大雪的晷长为a 1＋d ＝12.5（尺）.显然夏至到大雪的晷长可构成一个递增的等差数列，其首项为1.5，末项为12.5，共12项，所以一年中夏至到大雪的晷长的和为1.5+12.52×12＝84（尺）.6.某项测试有10道必答题，甲和乙参加该测试，分别用数列{a n }和{b n }记录他们的成绩.若第k 题甲答对，则a k ＝k ，若第k 题甲答错，则a k ＝－k ；若第k 题乙答对，则b k ＝2k －1，若第k 题乙答错，则b k ＝－2k －1.已知b 1＋b 2＋…＋b 10＝767，a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a 10b 10＝9217，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝39.解析由题意可知｜a k ｜＝k ，｜b k ｜＝2k －1，记T ＝∑i=110｜a i ｜｜b i ｜＝1×20＋2×21＋…＋10×29，则2T ＝1×21＋2×22＋…＋10×210，两式相减得T ＝－（20＋21＋…＋29）＋10×210＝－1－2101－2＋10×210＝1＋9×210＝9217，所以∑i=110｜a i ｜｜b i ｜＝∑i=110a ib i ，该式表明对于10道题中的每一道题，甲和乙同时答对或者同时答错.由题意可知，乙的成绩为∑i=110b i ＝767，若乙10道题全部答对，则其获得的总成绩应为20＋21＋22＋…＋29＝1－2101－2＝1023，令1023－7672＝2m －1，解得m ＝8，所以乙除第8题答错外，其余题均答对，所以甲除第8题答错外，其余题均答对，所以∑i=110a i ＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7－8＋9＋10＝39.7.[2023上海华东师范大学第二附属中学期末改编]某工厂在2023年上半年施行“减员增效”措施，对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年工资的23领取工资.该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可在工资的基础上额外获得b 元收入，从第三年起每人每年的额外收入可在上一年的基础上增加50％.假设某人分流前工资收入为每年a 元，分流后进入新经济实体，第n 年的年收入为a n 元.（1）求{a n }的通项公式.（2）当b ＝827时，这个人哪一年的年收入最少？最少为多少元？（3）当b ≥38时，是否能保证这个人分流一年后的年收入永远超过分流前的年收入？解析（1）由题意得，当n ＝1时，a 1＝a ，当n ≥2时，a n ＝（23）n －1a ＋（32）n －2b .所以a n ＝，=1，（23）－1＋（32）－2，≥2.（2）b ＝827，当n ≥2时，a n ＝（23）n －1a ＋827（32）n －2≥3×27＝89，当且仅当（23）n －1a ＝827（32）n －2时，上式的等号成立，即（23）2n －3＝（23）3，解得n ＝3，此时a n ＝a 3＝89.又a 1＝a ＞89，所以这个人分流后第三年的年收入最少，最少为89元.（3）当n ≥2时，a n ＝（2）n －1a ＋（32）n －2b ≥（23）n －1a ＋38（32）n－2≥2a ，当且仅当b ＝38且n ＝log 2313时，上式等号成立，又n ≥2且n ∈N *，因此等号不能取到，所以当n ≥2时，a n ＞a .故当b ≥38时，能保证这个人分流一年后的年收入永远超过分流前的年收入.。

数学教资高中教案设计
课题：数列的概念与性质
教学内容：数列的概念与性质
教学目标：通过本节课的学习，学生能够了解数列的概念，掌握数列的常见性质，并能够运用数列的概念和性质解决实际问题。

教学重点：数列的概念与性质
教学难点：数列性质的证明
教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 教师介绍本节课的内容和目标，引导学生思考数列的概念。

2. 展示一些常见的数列，让学生描述数列的规律和特点。

二、概念讲解（15分钟）
1. 介绍数列的概念，给出数列的定义和符号表示。

2. 讲解数列的分类，如等差数列、等比数列等。

三、性质讲解（20分钟）
1. 讲解数列的性质，如有界性、递增性、递减性等。

2. 举例说明不同数列的性质。

四、练习与讨论（15分钟）
1. 布置练习题，让学生尝试解答。

2. 讲解练习题解答，让学生互相讨论交流。

五、作业布置（5分钟）
1. 布置课后作业，巩固本节课所学内容。

2. 提醒学生复习数列的概念和性质。

教学反思：本节课主要是对数列的概念和性质进行系统的讲解，帮助学生建立起对数列的理解和认知。

在教学过程中，要注重引导学生思考和灵活运用数列的知识解决问题，激发
学生学习的主动性和兴趣。

同时，要提供丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学内容。

在教学结束后，要及时总结反思，发现问题并做出改进，提高教学效果。

高中数学教学设计案例【精彩9篇】高中数学教学设计案例篇一一、指导思想：贯彻教育部的有关教育教学计划，在学校、年级组的直接领导下，认真执行学校的各项教育教学制度和要求，认真完成各项任务。

教学的宗旨是使学生在获得作为一个现代公民所必须的基本数学知识和技能的同时，在情感、态度、价值观和一般能力等方面都能获得充分的发展，为学生的终身学习、终身受益奠定良好的基础。

二。

学情分析：上学期期末考学生的数学成绩相对于高一期末考有进步，但还不是很理想，理科生数学学习的难度本学期将增大，加上学业水平考试，所以本学期学生面临的压力将更大，任务艰巨。

三。

教学目的任务要求分析：本学期教学的主要任务是数学选修2-2，2-3和学考复习。

(1)认真把握“标准”的教学要求。

(2)通过建立相关知识的联系，渗透“数形结合”等思想方法。

(3)关注现代信息技术的运用。

(4)把握学考大纲复习标准四、主要措施1、明确一个观念：高考好才是真的好。

平时不好高考肯定不好，但平时红旗飘飘高考时未必红旗不倒。

这就要求我们在日常工作中在照顾到学生实际的前提下起点要高，注意培养后劲，从整体上把握好的自己的教学。

2、以老师的精心备课与充满激情的教学，换取学生学习高效率。

3.将学校和教研组安排的有关工作落到实处。

高中数学教学设计案例篇二1.把握菱形的判定。

2.通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力。

3.通过教具的演示培养学生的学习爱好。

4.根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想。

二、教法设计观察分析讨论相结合的方法三、重点·难点·疑点及解决办法1.教学重点：菱形的判定方法。

2.教学难点：菱形判定方法的综合应用。

四、课时安排1课时五、教具学具预备教具(做一个短边可以运动的平行四边形)、投影仪和胶片，常用画图工具六、师生互动活动设计教师演示教具、创设情境，引入新课，学生观察讨论；学生分析论证方法，教师适时点拨七、教学步骤复习提问1.叙述菱形的定义与性质。

8 函数的单调性教材分析函数的单调性是函数的重要特性之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性地联系在一起．在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．这节内容的重点是理解函数单调性的概念以及利用函数的单调性的概念证明函数的单调性，难点是理解函数单调性的概念．教学目标1. 通过对增函数、减函数概念的归纳、抽象和概括，体验数学概念的产生和形成过程，培养学生从特殊到一般的抽象概括能力．2. 掌握增函数、减函数等函数单调性的概念，理解函数增减性的几何意义，并能初步运用所学知识判断或证明一些简单函数的单调性，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力．3. 通过对函数单调性的学习，初步体会知识发生、发展、运用的过程，培养学生形成科学的思维．任务分析这节内容学生在初中已有了较为粗略的认识，即主要根据观察图像得出结论．这节函数增减性的定义，是运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，学生接受起来可能比较困难．在引入定义时，要始终结合具体函数的图像来进行，以增强直观性，采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，便于学生理解．对于定义，要注意对区间上所取两点x1，x2的“任意性”的理解，多给学生操作与思考的时间和空间．教学设计一、问题情境1. 如图为某市一天内的气温变化图：（1）观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况．（2）怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？2. 分别作出下列函数的图像：（1）y＝2x．（2）y＝－x＋2．（3）y＝x2．根据三个函数图像，分别指出当x∈（－∞，＋∞）时，图像的变化趋势？二、建立模型1. 首先引导学生对问题2进行探讨———观察分析观察函数y＝2x，y＝－x＋2，y＝x2图像，可以发现：y＝2x在（－∞，＋∞）上、y＝x2在（０，＋∞）上的图像由左向右都是上升的；y＝－x＋2在（－∞，＋∞）上、y＝x2在（－∞，０）上的图像由左向右都是下降的．函数图像的“上升”或“下降”反映了函数的一个基本性质———单调性．那么，如何描述函数图像“上升”或“下降”这个图像特征呢？以函数y＝x2，x∈（－∞，０）为例，图像由左向右下降，意味着“随着x的增大，相应的函数值y＝f（x）反而减小”，如何量化呢？取自变量的两个不同的值，如x1＝－5，x2＝－3，这时有x1＜x2，f（x1）＞f（x2），但是这种量化并不精确．因此，x1，x2应具有“任意性”．所以，在区间（－∞，0）上，任取两个x1，x2得到f（x1）＝，f（x2）＝．当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）．这时，我们就说f（x）＝x2在区间（－∞，0）上是减函数．注意：在这里，要提示学生如何由直观图像的变化规律，转化为数学语言，即自变量ｘ变化时对函数值y的影响．必要时，对x，y可举出具体数值，进行引导、归纳和总结．这里的“都有”是对应于“任意”的．2. 在学生讨论归纳函数单调性定义的基础上，教师明晰———抽象概括设函数f（x）的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f （x1）＜f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是增函数［如图8-2（1）］．如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f （x1）＞f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是减函数［如图8-2（2）］．如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么我们就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫作y＝f（x）的单调区间．3. 提出问题，组织学生讨论（1）定义在R上的函数f（x），满足f（2）＞f（1），能否判断函数f（x）在R是增函数？（2）定义在R上函数f（x）在区间（－∞，0］上是增函数，在区间（0，＋∞）上也是增函数，判断函数f（s）在R上是否为增函数．（3）观察问题情境1中气温变化图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．强调：定义中x1，x2是区间D上的任意两个自变量；函数的单调性是相对于某一区间而言的．三、解释应用［例题］1. 证明函数f（x）＝2x＋1，在（－∞，＋∞）是增函数．注：要规范解题格式．2. 证明函数f（x）＝，在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数．思考：能否说，函数f（x）＝在定义域（－∞，0）∪（0，＋∞）上是减函数？3. 设函数y＝f（x）在区间D上保号（恒正或恒负），且f（x）在区间D上为增函数，求证：f（x）＝在区间D上为减函数．证明：设x1，x2∈Ｄ，且x1＜x2，∵f（x）在区间D上保号，∴f（x1）f（x2）＞0．又f（x）在区间D上为增函数，∴f（x1）－f（x2）＜0，从而g（x1）－g（x2）＞0，∴g（x）在D上为减函数．［练习］1. 证明：（1）函数f（x）＝在（0，＋∞）上是增函数．（2）函数f（x）＝x2－x在（－∞，］上是减函数．2. 判断函数的单调性，并写出相应的单调区间．3. 如果函数y＝f（x）是R上的增函数，判断g（x）＝kf（x），（k≠0）在R上的单调性．四、拓展延伸1. 根据图像，简要说明近150年来人类消耗能源的结构变化情况，并对未来100年能源结构的变化趋势作出预测．2. 判断二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）的单调性，并用定义加以证明．3. 如果自变量的改变量Δx＝x2－x1＜0，函数值的改变量Δy＝f（x2）－f（x1）＞0，那么函数f（x）在区间D上是增函数还是减函数？4. 函数值的改变量与自变量的改变量的比叫作函数f（x）在x1，x2之间的平均变化率．（1）根据函数的平均变化率判断y＝f（x）在区间D上是增函数还是减函数．（2）比值的大小与函数值增长的快慢有什么关系？点评这篇案例设计完整，思路清晰．案例首先通过实例阐述了函数单调性产生的背景，归纳、抽象概括出了增函数、减函数的定义，充分体现了数学教学的本质是数学思维过程的教学，符合新课程标准的精神．例题与练习由浅入深，完整，全面．“拓展延伸”的设计有新意，有深度，为学生数学思维能力、创造能力的培养提供了平台．这篇案例的突出特点，体现在如下几个方面：1. 强调对基本概念和基本思想的理解和掌握由于数学高度抽象的特点，注重体现基本概念的来龙去脉．在数学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质．2. 注重联系，提高对数学整体的认识数学的发展既有内在的动力，也有外在的动力．在高中数学的教学中，要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系，数学与其他学科的联系．例如，通过研讨本节课“拓展延伸”中的第1个问题，可以大大提高了学生学习的积极性和主动性．3. 注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力在数学教学中，应注重发展学生的应用意识；通过丰富的实例引入数学知识，引导学生应用数学知识解决实际问题，经历探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值，帮助学生认识到：数学与我有关，与实际生活有关；数学是有用的，我要用数学，我能用数学．。

高中数学教学设计案例精选_高中数学教学设计案例（最新4篇）高中数学教学案例反思篇一本人任教高中数学新课程已有三年，通过实践，对高中新课程的教学理念有了进一步的了解，对新课标下的"具体教学实施有了一些经验或想法。

以下就是自己在新课改背景下，对一些教学内容所做的思考与体会。

一、将数学教学内容的学术形态转化为学生易于接受的教育形态在弧度制的教学中，教材在介绍了弧度制的概念时，直接给出“1弧度的角” 的定义，然而学生难以接受，常常不解地问：“怎么想到要把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角？”如果老师照本宣科，学生便更加感到乏味：“弧度，弧度，越学越糊涂。

”“弧度制”这类学生在生活与社会实践中从未碰到过的概念，直接给出它的定义，学生会很难理解。

在课堂教学中，可采用如下设计的教学过程。

1、创设故事情境一个生病的小男孩得知自己的体温是“102”时，十分忧伤地独自一个人躺在床上“等死”。

而他的爸爸对此却一无所知，他以为儿子是想休息，所以才没有陪伴他，等他从外面打猎回来，发现儿子不见好转时，才发现儿子没有吃药。

一问才知道，他儿子在学校里听同学说一个人的体温是“44”度时就不能活。

当爸爸告诉他就像英里和千米一样，有两种不同的体温测量标准，一种37度是正常，而另一种98度是正常时，他才一下子放松下来，委屈的泪水哗哗地流下来。

在生活、生产和科学研究中，一个量可以有几种不同的计量单位（老师可以让学生说出如长度、面积、质量等一些量的不同计量单位），并指出对于“角”仅用“度”做单位就很不方便。

因此，我们要学习角的另一种计量单位�D�D弧度。

如此引入很。

自然引出或鼓励学生猜测“角”还有没有其他度量方式，从而开启思维的闸门。

2、探索角新的度量方法可从两种度量实质上的一致之处开始探索：拿两个量角器拼成一个圆，可以看出圆周被分成360份，其中每一份所对的圆心角的度数就是1度，然后提出问题“拿”圆上不同的圆弧，度量圆周时，得到的数值是否一样？为了探索这个问题，把学生分成若干小组，思考下列问题：① 1度的角是如何规定的？②用一个圆心角所对的弧长来度量一个圆心角的大小是否可行？同一个圆心角在半径不等的圆中所对弧长相等吗？③用一个圆的半径来度量该圆一个圆心角的大小是否可行？其值会不会由于圆半径的变化而变化？④如何定义圆心角的大小？说明这种度量的好处。

最新高中数学教学设计案例优秀8篇作为一位杰出的老师，常常要根据教学需要编写教案，教案是保证教学取得成功、提高教学质量的基本条件。

那么大家知道正规的教案是怎么写的吗？这次牛牛范文为您整理了8篇最新高中数学教学设计案例，亲的肯定与分享是对我们最大的鼓励。

高中数学教学设计案例篇一( 1)教材的地位与作用：《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学( 5)，是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

(2)从知识的体系来看：“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫( 1)学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。

( 2)教学对象：高二理科班的学生，学习兴趣比较浓，表现欲较强，逻辑思维能力也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。

(3)从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。

不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。

根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律，本节课的教学目标确定为：(1)知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题。

(2)过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力。

㊀㊀㊀㊀１２８㊀基于学科大概念的高中数学大单元教学设计基于学科大概念的高中数学大单元教学设计㊀㊀㊀ 以 数列 为例Һ张㊀萌㊀马㊀万㊀（宁夏师范学院，宁夏回族自治区㊀固原㊀７５６０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ新一轮课程改革将培养学生的学科核心素养作为首要任务，并提出要以学科大概念为核心，使课程内容结构化．在此背景下，以学科大概念为核心的单元教学成为落实学科核心素养的有效途径．为此，文章以 数列 单元内容为例，对以学科大概念为核心的大单元教学设计进行了探究，并以 解析课程标准，确定大概念 重整单元内容，制订教学目标 明确评价任务，设计单元学习活动 为单元教学设计流程，以期为一些一线高中数学教师基于大概念理念进行大单元教学设计提供参考．ʌ关键词ɔ学科大概念；单元教学设计；高中数学；数列ʌ基金项目ɔ宁夏科技厅重点研发计划项目（引才专项）项目编号：２０１９ＢＥＢ０４００３引㊀言大概念是由美国学者布鲁纳提出的．大概念并非指某一知识的具体概念，而是指具体知识背后更为本质㊁更为核心的思想或看法，它是对概念间关系的抽象表述，是对事物的性质㊁特征以及事物间的内在关系及规律的高度概括．围绕大概念进行大单元教学，能帮助学生系统地梳理知识㊁重整数学内容结构，有助于学生对知识的深入学习和建构，也有助于发生学习迁移．同时能提高学生的抽象概括能力和思维水平，并在学习过程中逐渐落实学科核心素养．因此，文章以高中数学 数列 单元为例，探讨基于学科大概念的高中数学单元教学设计．一㊁解析课程标准，确定大概念‘普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）“中 数列 被安排在选择性必修课程 函数 主题下，并指出 数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，是研究其他类型函数的基本工具，在日常生活中也有着广泛的应用 ．而函数是刻画客观世界的重要模型，所以 数列 单元的大概念可以确定为 数列是刻画客观世界的重要模型 ．因此可以从函数视角来学习数列，用函数的思想方法研究数列，将函数思想渗透到数列的学习中，让学生真真切切地感受到数列是一类特殊的函数，既能加深对函数的认识，又能将数列统一到函数中，完成知识的整合，同时能培养学生的数学抽象㊁逻辑推理等能力，进而落实学生学科核心素养的培养．二㊁重整单元内容，制订教学目标（一）教材分析数列是普通高中数学教科书选择性必修第二册人教Ａ版第四章的内容，也是高考的重点考查知识之一．１．学科性质数列是刻画客观世界的重要模型，所以数列是一类特殊的函数，是反映自然规律的数学概念．数列本身也是数学的研究对象之一．它不仅有着广泛的实际应用，而且是学习计算机㊁高等数学的基础知识之一．２．知识的上下位关系数列是整个高中数学知识的汇合点，许多高考知识都与数列有着非常密切的联系．在本单元学习之前，学生在义务教育阶段就已经学习掌握了数㊁式㊁方程㊁变量基础知识（变量的概念与图像㊁一次函数㊁二次函数㊁反比例函数）之外，在高中也已经系统学习了集合㊁函数的概念及表示方法㊁函数的基本性质㊁基本初等函数等内容．而在本单元学习之后，数列内容又为后续学生学习一元函数导数㊁数列的极限等内容奠定了基础．３．单元蕴含的数学思想方法数列单元蕴含着非常丰富的数学思想方法，如在数列概念的探究过程中渗透着数学归纳法和特殊到一般的思想；在等差数列㊁等比数列的通项公式的推导过程中渗透着函数思想与方程思想；在运用等差㊁等比数列求解实际问题中渗透着分类讨论㊁转化㊁数形结合等思想．教材中本单元内容如图１所示．但是采用这样的单元设计就容易忽略各个知识体系间固有的内在联系，如数列㊁等差数列㊁等比数列的通项公式之间存在着怎样的联系，等差数列与等比数列的求和公式之间又存在着怎样的联系等．㊀㊀㊀１２９㊀㊀图１㊀教材内容流程图所以通过对 数列 教材内容的分析梳理和确定的大概念，对本章内容进行重新整合，主要由三部分组成：数列基础知识㊁两类特殊数列㊁单元总结与拓展．（二）学情分析１．学生的认知基础在义务教育阶段，学生已经学习了数㊁方程㊁一次函数㊁二次函数等内容，对数的特征和规律有一定的了解，所以可以通过一些生活实例，理解数列的概念以及通项公式．在高中阶段，学生也学习了方程㊁函数㊁不等式等内容，他们能运用方程与函数思想学习数列知识，并能解决一些简单的数列问题．并且对于高中学生来说，他们已经具备一定的数学运算㊁逻辑推理等数学素养，为学习本单元的知识打下良好的基础．２．学生的认知困难虽然学生在之前就已经学了函数㊁方程㊁数与代数等知识，具有一定的知识基础和学习能力，但是学生在学习本单元内容时，仍有如下四点困难：①学生对所学知识只是简单的记忆和理解，缺乏对知识的整合和迁移能力；②学生的数学抽象能力较弱，在学习数列的概念时有一定的难度；③学生运用函数思想解决问题的能力较弱；④学生的数学运算素养较低，而数列这一章涉及较多的计算问题，这就要求学生要有良好的计算能力．（三）单元教学目标单元目标①通过学习生活中简单实例，了解数列的概念性质和表示方法，了解数列是一类特殊的函数；②类比函数的定义㊁表示方法㊁性质等，理解数列的概念和探究数列的函数属性，如表示方法㊁单调性等．③理解等差㊁等比数列的概念以及通项公式，探究并掌握等差㊁等比数列的前ｎ项和公式．④通过观察等差㊁等比数列的通项公式与前ｎ项和公式，体会等差㊁等比数列与函数间的关系．⑤能运用数列知识解决实际问题，并建立数学模型进行求解，感受数学模型在实际生活中的应用和意义．⑥体验通过数学抽象获得数列概念的过程，通过数学运算㊁逻辑推理㊁数学抽象等研究数列相关知识的过程和方法，通过建立数学模型求解实际问题的过程，提高学生解决问题的能力．⑦通过本单元的学习，体会数列是一类特殊的函数，感受数列与函数的共性与差异．续㊀表㊀课时目标课时１ ２ 数列基础知识课时３ ９ 两类特殊数列课时１０ １２ 单元总结与拓展①通过一些日常生活中和一些数学领域中常见的数学实例，了解数列的有关概念；②类比函数的定义，理解数列的序号与项之间的对应关系，从而认识数列是一类特殊的函数；③类比函数的表示方法㊁单调性，掌握数列的三种基本表示方法（图像㊁列表㊁通项公式）及递增（递减）数列以及常数列；④探究数列的递推公式，认识递推公式和通项公式的区别与联系．①通过生活中的实例，理解等差㊁等比数列的概念及通项公式；②理解用倒序相加法 推导等差数列的前ｎ项和公式的过程，并能类比等差数列的前ｎ项和公式的推导方法，用 错位相减法 推导等比数列的前ｎ项和公式；③体会等差数列与一元一次函数的关系；等比数列与指数函数之间的关系；④运用等差㊁等比数列解决实际问题．①引导学生以思维导图或板报的形式，将本单元的内容以大概念为核心进行知识梳理；②发现生活中的数列问题，将其转化为数学问题进行求解；③查阅相关的资料，了解斐波那契数列㊁古代数学家求数列和的方法．三㊁明确评价任务，设计单元学习活动笔者借鉴美国学者威金斯与麦克泰格围绕大概念提出的逆向教学设计，在设计学习活动之前，先考虑通过什么样的评价任务使学生达到教学目标，再设计学生的学习活动．评价任务主要有表现性任务和其他任务．表现性任务是学生通过展示他们的知识能力水平的学习和评价活动，能够产生学习作品或学生表现作为学生学习的证据，例如，绘图作品㊁列表㊁博客文章㊁小论文㊁口头汇报㊁辩论㊁表演等；其他任务主要有：课堂提问㊁观察与交流㊁小组讨论㊁随堂检测㊁单元检测．在具体设计学生单元学习活动时，要始终以学生为主体，紧扣㊀㊀㊀㊀１３０㊀单元主题大概念，合理科学设计组织教学活动，引导学生进行积极㊁主动自觉地探索获取知识，最终落实课程教学的基本目标，发展学生的核心素养．主要呈现 数列 单元的评价任务，具体如下表所示．评价任务表现性任务①根据数学史 一尺之锤，日取其半，万世不竭 ，理解等比数列．②判断古印度国王能否实现他的诺言（给棋盘发明者奖励的麦粒数），体会等差数列的前ｎ项和公式在实际生活中的应用．③通过学习两类特殊的数列 等差数列与等比数列，学生能够快速完成如下表格．等差数列等比数列定义通项公式前ｎ项和公式性质函数特征基本思想方法④收集本单元有关求数列通项公式和前ｎ项和公式的习题（１０道题），尝试利用数列知识和函数（一次函数㊁二次函数以及指数函数）知识分别解答，比较两种知识解决问题的优缺点．⑤通过实际问题，如旅游收入问题㊁机动车保有量问题㊁城市建设问题，建立数学模型，并得出实际解决方案．⑥搜集㊁查阅数列相关资料，写一篇关于数列发展史或对数列发展作出杰出贡献的人物传记（不少于３０００字），并在班级进行汇报展示．⑦小组分工，查阅斐波那契数列与古代数学家求数列和的方法的相关资料，进一步理解斐波那契数列与古代数学家求数列和的方法，每组讲解一个相关的知识．⑧梳理本章的知识，可以是思维导图，也可以以知识线索（本单元的大概念）编制一个故事（漫画），也可以是手抄报的形式．⑨小组合作讨论如何用数学归纳法验证等差㊁等比数列的通项公式和前ｎ项和公式，将学习成果及时在小组伙伴间分享交流．续㊀表㊀常规任务①课堂提问：教师在实施每一课时教学时，可以通过课堂提问的方式，了解学生对知识的掌握程度．②小组讨论：教师将较有难度的问题，以小组讨论的形式让学生自主完成，通过小组完成的情况来检测学生对知识的掌握程度．③随堂检测：在课堂中教师采用练习题的形式，来检测学生对本节内容的掌握程度．④单元能力检测：学习完每一单元的知识后，教师会采用单元测试卷的方式，了解学生对整个单元知识体系的总体掌握程度．结㊀语上文基于大概念理念，对高中数学 数列 内容进行的单元课程设计．该设计有助于教师系统地梳理知识结构，挖掘数学学科本质，把握教学的重难点，合理安排单元教学主题，设计相应的评价活动和学习活动，促进学生核心素养的发展，也有助于教师提升自身的教学设计能力．ʌ参考文献ɔ［１］何彩霞．化学学科核心素养导向的大概念单元教学探讨［Ｊ］．化学教学，２０１９（１１）：４４－４８．［２］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２２年修订）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０２１：４．［３］朱恒元．‘全日制普通高级中学教科书（必修）㊃数学“第一册（上）第三章 数列 的结构特点和教学体会［Ｊ］．中小学教材教学，２００４（１５）：２－７．［４］格兰特．威金斯，杰伊㊃麦克泰格．追求理解的教学设计（第二版）［Ｍ］．闫寒冰，宋雪莲，赖平，译．上海：华东师范大学出版社，２０１７．［５］雷丽珠．表现性评价：劳动课程评价的实践与思考［Ｊ］．福建教育，２０２３（０９）：３２－３５．［６］郭亮，刘文静，吴桂俊，等．高中数学单元整体设计的教学与实践［Ｊ］．新智慧，２０３３（１７）：７－９．［７］杜忠辉．指向核心素养培育的高中数学单元教学设计与实践［Ｊ］．数理天地（高中版），２０２３（９）：４８－５０．［８］杨成兴．数学单元教学设计的基本原理与实施策略探究［Ｊ］．当代家庭教育，２０２３（２）：２３９－２４１．［９］杜志伟．基于大概念的高中数学单元整合教学设计 以复数乘法为例［Ｊ］．中学数学教学，２０２０（６）：１－４．。

高中数学必修五数列教案
主题：数列的概念和性质
目标：通过本课的学习，学生能够掌握数列的定义、常见数列的性质和求解方法，提高数学思维和解题能力。

一、引入
1. 引导学生回顾数列的定义和简单性质，如等差数列、等比数列等。

2. 提出问题：在日常生活中，你认为还有哪些是数列的例子呢？
二、展示
1. 介绍数列的定义：数列是按照一定规律排列的数的集合。

2. 介绍常见的数列及其性质：等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

3. 分别讲解等差数列和等比数列的概念、通项公式、前n项和的公式等。

三、练习
1. 练习一：已知等差数列的前项和为50，公差为2，求该数列的第10个项。

2. 练习二：已知等比数列的前三项分别是2，6，18，求该数列的通项公式。

3. 练习三：给出一个数列，让学生判断其是等差数列还是等比数列，并求出其通项公式。

四、拓展
1. 拓展讨论：引导学生思考其他更为复杂的数列形式，如递推数列、调和数列等。

2. 拓展练习：设计一些应用题，让学生巩固对数列的理解和应用能力。

五、总结
1. 总结本课的重点内容和知识点，强调数列的重要性和应用价值。

2. 鼓励学生多进行数列相关练习和思考，提高数学解题能力和建模能力。

六、作业
1. 完成课堂练习题和拓展练习题。

2. 撰写一篇总结本课学习内容的感想。

以上为数列教案范本，希望能够对您的教学工作有所帮助。

数列教材分析这一节课主要研究数列的有关定义，运用概念去解决有关问题，其中，对数列概念的理解及应用，是教学的重点，也是教学的难点。

教学目标1、知识与技能：理解数列及数列的通项公式等有关概念，会根据一个数列的有限项写出这个数列的一个通项公式。

2.、过程与方法：了解递推数列，并会由递推公式写出此数列的若干项。

3、情感态度与价值观：进一步培养学生观察、归纳和猜想的能力。

教学设计一、问题情景传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们研究过1，3，6，10，…由于这些数都能够表示成三角形（如图44-1），他们就将其称为三角形数．类似地，1，4，9，16，…能够表示成正方形（如图44-2），他们就将其称为正方形数。

二、建立模型1.引导学生观察、分析数列的顺序要求，设法用自己的语言描述出数列的定义及有穷数列、无穷数列、递增数列、摆动数列等有关概念像1，4，9，16，…等按照一定规律排列的一列数，就叫作数列。

数列的概念： 按一定顺序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项,通常也叫做首项,排在第二位的数称为这个数列的第2项,…,排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。

注: 从数列定义可以看出,数列的数是按一定次序排列的,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么他们就不是同一数列,显然数列和数集有本质的区别。

2.数列的记法数列的一般形式可以写成:,,,,21n a a a ,可简记为}{n a .其中n a 是数列的第n 项。

3.数列的通项公式如果数列}{n a 的第n 项n a 与序号n 之间的关系可以用一个公式)(n f a n =来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

注: (1)一个数列的通项公式有时不唯一。

如 ,0,1,0,1,0,1,0,1, 它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ,也可以是|21cos |π+=n a n 。

数列教案优秀3篇数列教案篇一在本节课教学设计中，以学生身边的一个事例为背景，创设一个数学情境，激发了学生的学习兴趣和探究热情，体现了“人人学有价值的数学”的教学理念。

教师引进著名数学家高斯十岁时所做的一道计算题，通过此题的解法让学生发现规律，从而探索出等差数列的前n项和公式的推导过程。

这个过程反映了数学思维方法的灵活性，从学生丰富多彩的解答中，我们看到了“不同的人在数学上得到不同的发展”。

【教学背景】所授班级为普通班，学生的数学认知水平高低不一，所以，教师在问题探究的设置上要体现出知识的层次，力求使所有学生都能参与各种问题的探究。

【教学设计】一、教材分析1.教学内容“等差数列的前n项和”为苏教版必修5第二章第二节的第一课时，主要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单应用。

2.地位与作用本节对“等差数列的前n项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步研究等差数列，其实学生已掌握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。

对本节的研究，为学习数列求和提供了一种重要的思想方法――倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用。

二、目标分析1.教学目标（1）掌握等差数列的前n项和公式及推导过程。

（2）会简单运用等差数列的前n项和公式。

（3）结合具体模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣，并通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。

2.教学重点、难点（1）重点：等差数列前n项和公式的推导和应用。

（2）难点：等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。

三、教学模式与教法、学法本课采用“探究―发现”教学模式。

教师的教法：突出活动的组织设计与方法的引导。

学生的学法：突出探究、发现与交流。

四、教学活动设计1.新课引入创设情境：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支。

这个V形架上共放着多少支铅笔？问题就是（板书）“1+2+3+4+…+100=？”设计意图：利用实际，生活引入新课，形象直观。