高考数学数列创新题的基本类型分析

数列新题型剖析近几年高考中，有关数列的新情境、新信息、新定义的问题多次出现，现以典型题目为例，简单介绍一下其中的方法和数学思想.常见的主要新题型： 一、与新定义有关的新题型： 例1、对于有限数列()123,,,,n A a a a a =，设n S 为其前n 项和，定义12nS S S n+++为A 的“凯森和”， 有99项的数列()12399,,,,a a a a 的“凯森和”为1000，则有100项的数列()123100,,,,a a a a 的“凯森和”为（ ）A 、1001B 、991C 、999D 、990 解析：记n S 为数列()12399,,,,a a a a 前n 项和，有99项的数列()12399,,,,a a a a 的“凯森和”的和为1000，根据“凯森和”的定义得1299100099S S S +++=，则129999000S S S +++=；记n S '为数列()123991,,,,,a a a a 的和，则其“凯森和”为()()()1299121001111100100S S S S S S +++++++'''+++=()129910010099000991100100S S S +++++===，所以答案选B.二、与信息、算法有关的数列新题型：例2、一种计算机装置，有一个数据入口A 和一个数据出口B ，执行下述程序： ⑴当从A 口输入自然数1时，从B 口得到实数13，记为()113f =； ⑵当从A 口输入自然数()2n n ≥时，在B 口得到的结果()f n 是前一结果()1f n -的()()211213n n ---+倍.则当从A 口输入3时，从B 口得到 ，要想从B 口得到12303，则应从A 口输入自然数 . 解析：由()113f =，欲求()3f ，需要求()2f ，因为()()()()2111213n f n f n n --=-⋅-+， 即()()23121n f n f n n -=-⋅+，则()()()()113121,32535735f f f f =⨯==⨯=⨯， 把()1f 理解为()1113f =⨯，则由()1113f =⨯，()()112,33557f f ==⨯⨯，可以猜想当2n ≥时，()()()12121f n n n =-+，事实上，()()()()()()232511,12,,2121215n n f n f n f n f n f f n n --=-⋅-=-⋅=⨯+-，上述等式相乘，可得()()135252315792121n n f n f n n --=⨯⨯⨯⨯⨯⨯-+ 由()113f =，有()()()12121f n n n =-+，令()()()1121212303f n n n ==-+，解得24n =，故答案为135，24.。

高中数学数列试题的解题方法与技巧分析
数列通常用来解决组合现象，广泛应用于数学实际问题中。

高中数学中，常用数列题
来考察学生对求和公式、等差数列、等比数列规律以及相关技巧的掌握程度。

下面讲解一
下高中数学数列试题的解题方法和技巧分析：
1、确定数列类型：当我们遇到一个数列试题时，首先要弄清楚该序列是等差数列还
是等比数列，因为这两种类型的数列的解法是不一样的。

在观察数列时要注意每项与它的
相邻项的差值是否相等，即等差数列；在观察数列时要注意每项与它的相邻项的比值是否
相等，即等比数列。

2、推导公式：既然确定了数列的类型，接下来就要推导出该类型数列的通项公式。

如果是等差数列，就要找出头项、公差和项数之间的关系；如果是等比数列，就要找出头项、公比和项数之间的关系。

3、求出指定项：当推出了相应数列的通项公式后，就可以求出指定项的值了。

如果
是等差数列，就要通过位移法；如果是等比数列，就可以通过乘幂法求出指定项的值。

4、计算总和：如果试题要求求解数列的总和，这时要用到求和公式。

对于等差数列，有Sn=n(a1+an)/2；对于等比数列，有Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

需要特别注意的是，求和公
式在求解数列总和时只有在数列的末项为无穷项时才能使用，否则就要使用暴力求和的方法。

以上就是高中数学数列试题的解题方法和技巧分析，熟练掌握这些方法和技巧，可以
让我们在数学考试中更加容易把握试题，轻松拿下高分。

数列创新试题分类解析对考生的创新意识和创新能力的考查是当前高考不变的主题，此类题型立意新颖、构思精巧，富有时代气息，有科学依据，切合实际，贴近生活，具有相当深度和明确导向，要求考生“对新的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题”，下面就数列创新试题进行分类解析.一、定义新概念型新定义型信息题迁移题，是指给出阅读材料，设计一个陌生的数学情景，新定义一个数学问题（新概念或新性质或新运算），并给出已定义的新概念或新性质或新运算所满足的条件，要求解题者应用所学的数学知识和方法迁移到这段材料中从而使问题得到解决的一类题.例1定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项和它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列.这个常数叫做等积数列的公积.已知{a n }是等积数列,且a 1＝1，公积为2，则这个数列的前n 项的和S n ＝_____⎩⎪⎨⎪⎧ 3n 2(n 是正偶数)3n-12(n 是正奇数)__. 解析：由条件知等积数列{a n }为：1，2，1，2，1，2，1，2，……，所以，当n 为正偶数时，其前n 项和为n 2个1与n 2个2的和，即S n ＝n 2×1＋n 2×2＝3n 2；当n 为正奇数时，其前n 项和为n ＋12个1与n ﹣12个2的和，S n ＝n ＋12×1＋n ﹣12×2＝3n ﹣12. 点拨：解这类题的策略是：仔细阅读分析材料，捕捉相关信息，紧扣定义，围绕定义与条件，结合所学的数学知识和方法，通过归纳、探索、推理，发现解题方法，然后解决问题.如本题的“相邻两项积都为同一个常数”，再结合a 1＝1，公积为2确定出了数列的所有项.求和时的分类讨论也就随之清楚了.二、类比推广型所谓类比是根据两个对象之间的相似性，要求解题者运用发散思维去联想，类比、推广、转化，找出类似的命题、推广的命题、深入的命题，把信息从一个对象转移到另一个对象，或者根据一些特殊的数据，特殊的情况去归纳出一般的规律.例2有如下真命题：“若数列{a n }是一个公差为d 的等差数列，则数列{a n ＋a n ＋1＋a n ＋2}是公差为3d 的等差数列.”把上述命题类比到等比数列中，可得真命题是“__________________________.”(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形.)解析：根据课本上的等差数列与等比数列的通项公式与前n 项和公式易知等比数列体现为高一级的运算，而等差数列体现为低一级的运算，因此，只须将等差数列的相应的公式与结论，由和变为积、减变为商、乘变为乘方、除变为开方即可变为等比数列的相应的公式与结论.因此，本题可填：若{a n }是公比为q 的等比数列，则{b n ·b n ＋1·b n ＋2}是公比为q 3的等比数列；或填为：若{a n }是公比为q 的等比数列，则数列{b n ＋b n ＋1＋b n ＋2}是公比为q 的等比数列.等等.点拨：此类题型主要涉及两个模型：一个是已知的，为我们熟悉的模型；而另一个是需要我们重新建立的模型.为此要导出新模型，必须抓住已知模型的本质特征，分析与要重新建立的新模型的相似性，同时关注其差异性和发展性，进而作出正确的类比迁移.三、开放性型所谓的开放型试题是指那些条件不完整，结论不确定的数学问题，或是条件开放、结论开放、策略开放的问题。

高三数学 二轮复习 数列创新题型在高考数学中，创新题是一类非常重要的题型，并且经常作为压轴题出现在选择、填空、甚至解答的最后一题，让很多同学望而生畏： 短时间内不仅要学会一个新知识或性质，还需要利用它来解决问题。

常常感觉到无从下手。

高考数学中的创新题具有情景新颖，内涵深刻，负有一定的创造性，这类题目以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“应用”为目的，旨在考查学生对数学问题的观察、理解、探究、概括、类比、归纳等诸多方面的综合能力。

可以形象地概括为“现学现卖”，如何处理好高考中的创新题？是数学学习和应用能力等综合素质的集中体现。

这一讲我们主要来看一下数列中的部分创新题。

实际上这一类题型呢也有它们自身的特点和规律，要做好这一类题型，首先要提高“眼力”：善于观察和总结新知识本身的特点和性质，要与已掌握相关知识点联系。

要敢于大胆尝试和猜测归纳。

先来看一个小问题热热身：杰克正看着安妮，而安妮正看着乔治。

杰克已婚，乔治未婚。

请问是否有一位已婚人士正在看着一位未婚人士？A 、是B 、不是C 、无法确定 你知道哪个选项正确吗？为什么？题干中没有给出我们明确的答案，但题目中又又蕴含着正确答案，需要我们主动去探究，去发现。

这就是创新题的特点。

一、创新定义型解题时应将阅读信息与所学知识结合起来，侧重考查信息加工能力。

例：已知数列)}({*N n a n ∈满足：)()2(log *1N n n a n n∈+=+，定义使12...k a a a ⋅⋅⋅为整数的数*()k k N ∈叫做期盼数，则区间[1,2015]内的所有期盼数的和M = 。

对于一个有限数列()12n P P P P =L ，，，，P 的蔡查罗和（蔡查罗为一数学家）定义为()121n S S S n+++L ，其中()121k k S P P P k n =+++≤≤L ，若一个99项的数列()1299P P P L ，，，的蔡查罗和为1000，那么100项数列()12991P P P L ，，，，的蔡查罗和为（ ）A ．991对于各项均为整数的数列{}n a ，如果(1,2,3,)i a i i +=⋅⋅⋅为完全平方数，则称数列{}n a 具有“P 性质”，如果数列{}n a 不具有“P 性质”，只要存在与{}n a 不是同一数列的{}n b ，且{}n b 同时满足下面两个条件：①123,,,,n b b b b ⋅⋅⋅是123,,,,n a a a a ⋅⋅⋅的一个排列；②数列{}n b 具有“P 性质”，则称数列{}n a 具有“变换P 性质”，下面三个数列：①数列1，2，3，4，5； ②数列1，2，3， ，11,12； ③数列{}n a 的前n 项和为2(1)3n n S n =-. 其中具有“P 性质”或“变换P 性质”的有( ) A ．③ B ．①③ C ．①② D ．①②③如果有穷数列123,,,,m a a a a L （m 为正整数）满足1m a a =，21m a a -=，…，1m a a =．即1i m i a a -+=（1,2,,i m =L ），我们称其为“对称数列”．例如数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．设{}n b 是项数为2m （1m >，*m N ∈）的“对称数列”，并使得2311,2,2,2,,2m -L 依次为该数列中连续的前m 项，则数列{}n b 的前2010项和2010S 可以是：（1）201021-；（2）100622-；（3）122010221m m +---． 其中正确命题的序号是__________________．若数列{}n a 满足：对任意的n N *∈，只有有限个正整数m 使得m a n ＜成立，记这样的m 的个数为()n a *，则得到一个新数列{}()n a *．例如，若数列{}n a 是1,2,3,n …，…，则数列{}()n a *是0,1,2,1,n -…，…．已知对任意的N n *∈，2nan =，则5()a *= ，(())n a **= ．二、性质探求型例：把数列{}12+n 依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43）…则第104个括号内各数之和为B.2048例：已知数列{a n }满足a n+1=a n –a n –1（n ≥2），a 1=a ，a 2=b ，记S n =a 1+a 2+a 3+…+a n ，则下列结论正确的是A ．a 2008= – a ，S 2008=2b – aB ．a 2008= – b ，S 2008=2b – aC ．a 2008= – b ，S 2008=b – aD ．a 2008= – a ，S 2008=b – a已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于1,2,3,n =L ，有1135,,2n n n n n n k a a a a a k a +++⎧⎪=⎨⎪⎩奇偶，，其中使奇的正整，为数为数为为数数当111a =时，100a =______；若存在*m ∈N ，当m n >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为________．在数列{}n a 中，*n ∈N ，若211n n n na a k a a +++-=-（k 为常数），则称{}n a 为“等差比数列”. 下列是对“等差比数列”的判断： ①k 不可能为0②等差数列一定是等差比数列 ③等比数列一定是等差比数列④等差比数列中可以有无数项为0其中正确的判断是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④定义：在数列{}n a 中，若22*1,(2,,)n n a a p n n N p --=≥∈为常数，则称{}n a 为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的有关判断：①若{}n a 是“等方差数列”，则数列1na 是等差数列；②{(2)}n-是“等方差数列”；③若{}n a 是“等方差数列”，则数列*{}(,)kn a k N k ∈为常数也是“等方差数列”； ④若{}n a 既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数数列．其中正确的命题为 ．（写出所有正确命题的序号）4.在数列{}n a 中，若对任意的*n ∈N ，都有211n n n na a t a a +++-=（t 为常数），则称数列{}n a 为比等差数列，t 称为比公差．现给出以下命题：①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；②若数列{}n a 满足122n n a n-=，则数列{}n a 是比等差数列，且比公差12t =；③若数列{}n c 满足11c =，21c =，12n n n c c c --=+（3n ≥），则该数列不是比等差数列；④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列． 其中所有真命题的序号是 ．若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，现给出以下命题： ①若34a =，则m 可以取3个不同的值②若m ={}n a 是周期为3的数列③T ∀∈*N 且2T ≥，存在1m >，{}n a 是周期为T 的数列④Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列.其中所有真命题的序号是 .我们知道，如果定义在某区间上的函数()f x 满足对该区间上的任意两个数1x 、2x ，总有不等式1212()()()22f x f x x xf ++≤成立，则称函数()f x 为该区间上的向上凸函数（简称上凸）． 类比上述定义，对于数列{}n a ，如果对任意正整数n ，总有不等式：212n n n a a a +++≤成立，则称数列{}n a 为向上凸数列（简称上凸数列）． 现有数列{}n a 满足如下两个条件： （1）数列{}n a 为上凸数列，且1101,28a a ==；（2）对正整数n （*,101N n n ∈<≤），都有20n n a b -≤，其中2610n b n n =-+． 则数列{}n a 中的第五项5a 的取值范围为 ．3．已知数列{}n a 满足(,01)n n a n k n k *=⋅∈<<N 下面说法正确的是（ ） ①当12k =时，数列{}n a 为递减数列； ②当112k <<时，数列{}n a 不一定有最大项； ③当102k <<时，数列{}n a 为递减数列； ④当1kk-为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项． A ．①② B ．②④ C ．③④ D ．②③三、规律发现型将自然数不清，2，3，4……排成数陈（如右图），在2处转第一个弯，在3转第二个弯，在5转第三个弯，….，则第2005个转弯处的数为____________。

（原创、首发、专投稿，适合高二、高三年级11月份用，同意删改）高考数学创新题分类探究贵州省龙里中学 洪其强（551200）一、建构数列型：数列作为特殊的函数，在高考数学中占有相当重要的位置，主要涉及增长率、银行信贷等．解答这一类问题，要充分应用观察、归纳、猜想的手段，建立起等差、等比、或递推数列的模型来解题．例1 （2003年朝阳区高三统一练习（二））2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化.（Ⅰ）设该县的总面积为1，2002年底绿化面积为1041=a ，经过n 年后绿化的面积为,1+n a 试用n a 表示1+n a ；（Ⅱ）求数列}{n a 的第1+n 项1+n a ；解析 （Ⅰ）设现有非绿化面积为1b ，经过n 年后非绿化面积为.1+n b 于是.1,111=+=+n n b a b a 依题意：1+n a 是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积n a 减去被非绿化部分n a 1002后剩余的面积n a 10098，另一部分是新绿化的面积.1008n b 于 是1+n a =n a 10098+.1008n b =n a 10098+.252109)1(1008+=-n n a a （Ⅱ）1+n a =,252109+n a 1+n a －54=－).54(109-n a , 数列}54{-n a 是公比为,109首项5254104541-=-=-a 的等比数列. n n a )109)(52(541-+=∴+二、信息迁移型：信息迁移题指的是不便于直接运用所学数学知识解决问题，而需要从所给材料中获取信息，并用于新问题解决的一类问题．这一类问题，往往出现在一个较新的背景之下，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体．信息迁移型题可分为定义信息型、图表信息型、 图形图像信息型等. 1．定义信息型 例1 定义运算a c ad bcb d =-，复数z 满足11z ii i=+，则复数在的模为A ．1+．1-解析 由11z i i i=+得1212izi i i z i i +-=+⇒==-，∴z ==，故选C 。

新课标高考数列题分类导析近年来，随着教育的改革，新课标高考将数列这一数学知识点纳入考试中，并且针对此考题进行了分类。

本文拟对新课标高考中数列题的分类以及对应的特点进行导析。

一、新课标高考数列题的分类新课标高考数列题主要分为等差数列、等比数列、实数数列、三角形数列和斐波那契数列五类。

1、等差数列：等差数列是指内含有公差相等的连续数字构成的数列，其中公差d可以为整数、负数、分数或分数的形式，常见的有等差等比数列、等比等差数列、等差比例数列等。

2、等比数列：等比数列是指内含有公比相等的连续数字构成的数列，其中公比q可以为正数、负数或介于-1与1之间的分数、小数，常见的有等比等差数列、等差等比数列、等比比例数列等。

3、实数数列：实数数列是指内含有实数的连续数列，其中实数可以为有理数、无理数等，常见的有实数连续数列、实数加减数列、实数乘除数列等。

4、三角形数列：三角形数列是指内含有三角形按照确定规律连续数列，其中三角形是指三角形的一顶点既是三角形角既不是三角形边的一线段。

5、斐波那契数列：斐波那契数列是指内含有按照一定规律连续数字构成的数列，其规律是每一项都是前两项之和。

二、新课标高考数列题的特点1、题型灵活：新课标高考数列题不仅包括了单项选择题、简答题和完型题，还包括了解答题、考查数学思维素质的建模题等，涵盖了多种题型。

2、内容丰富：新课标高考数列题涉及到有关数列的概念、定义、性质、公式等，可以从数列的各个方面检验学生的数学思维能力。

3、知识点全面：新课标高考数列题不仅聚焦于基本的等差数列、等比数列以及实数数列，还涉及到三角形数列和斐波那契数列等知识点，考查的知识点更加全面。

三、新课标高考数列题的技巧1、采用推理法：新课标高考数列题多为综合性考题，考生可以采用推理法，从具体问题出发，进行推理求解，从而掌握分析和解决数列问题的基本技巧。

2、采用公式法：新课标高考数列题中包括了许多关于数列公式的考题，考生可以根据公式进行求解，正确理解和掌握各类数列相应的公式，有利于学生顺利解决考题。

数学创新试题数列经典题选析2013年考前必练数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.一、等差数列与等比数列例1．A ＝{递增等比数列的公比}，B ＝{递减等比数列的公比}，求A ∩B ． 解：设q ∈A ，则可知q>0（否则数列为摆动数列）．由a n ＋1－a n ＝a 1·q n －a 1·q n －1＝a 1·q n －1(q －1)>0，得 当a 1＞0时，那么q ＞1；当a 1＜0时，则0＜q ＜1． 从而可知 A ＝{q | 0<q<1或q>1}．若q ∈A ，同样可知q>0．由a n ＋1－a n ＝a 1·q n －a 1·q n －1＝a 1·q n －1(q －1)＜0，得 当a 1＞0时，那么0＜q ＜1；当a 1＜0时，则q ＞1． 亦可知 B ＝{q | 0<q<1或q>1}． 故知A ∩B ＝{q | 0<q<1或q>1}．说明：貌似无法求解的问题，通过数列的基本量，很快就找到了问题的突破口！例2．求数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，……，(1＋2＋22＋……＋2n －1)，……前n 项的和．分析：要求得数列的和，当务之急是要求得数列的通项，并从中发现一定规律．而通项又是一等比数列的和．设数列的通项为a n ，则a n ＝1＋2＋22＋……＋2n －1＝1·(1－2n)1－2＝2n －1．从而该数列前n 项的和S n ＝(2－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)＝(2＋22＋23＋ (2))－n ＝2·(1－2n)1－2－n ＝2n ＋1－n －2．说明：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n 5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n 常用的数列求和方法有：利用常用求和公式求和；错位相减法求和；反序相加法求和；分组法求和；裂项法求和；合并法求和；利用数列的通项求和等等。

高考数学题型分析之数列题型解题方法题型归纳高考数学题型分析之数列题型解题方法数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。

高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。

有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。

探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。

本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。

近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。

(2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。

(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。

试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。

知识整合1.在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题;2.在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力。

3.培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法。

数列中的创新题析数列作为高考考查的重点，几乎每年高考题中都推出一些题意新颖，构思精巧，具有明确导向的创新题型使高考数学充满活力和魅力。

在今后的考题中创新题型将越来越受到关注，本文以数列中的创新题进行分类解析，以抛砖引玉。

一、定义新概念或新运算型 新信息题成为高考试题改革的一个新的亮点，通过给出一个新概念，或约定一种新运 算，或给出几个新的模型等创设一种全新的问题情境，主要考查学生独立提取信息、加工信息的学习能力，要求考生在阅读理解的基础上，紧扣条件，抓住关键的信息，实现信息的转化，达到灵活解题的目的。

例1、在)2(≥m m 个不同数的排列n p p p 21中，若m j i ≤≤≤1时j i p p >（即前面某数大于后面某数），则称i p 与j p 构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数，记排列（n ＋1）n （n －1）…321的逆序数为n a ，如排列21的逆序数1a ＝1，排列321的逆序数32=a ，排列4321的逆序数.63=a（1） 求4a 、5a ，并写出n a 的表达式； （2） 令nn n n n a aa ab 11+++=，证明32221+<+++<n b b b n n ，n ＝1，2，…. 解：（1）由已知得4a ＝10，5a ＝15n a .2)1(12)1(+=+++-+=n n n n （2）因为nn n n n a a a a b 11+++=222222=+⋅+>+++=n n n n n n n n ，n ＝1，2，…， 所以.221n b b b n >+++ 又因为n b 222222+-+=+++=n n n n n n ，n ＝1，2，…， 所以)]211()4121()3111[(2221+-++-+-+=+++n n n b b b n.32221232+<+-+-+=n n n n综上32221+<+++<n b b b n n ，n ＝1，2，…. 点评：主要考查数列通项求和的方法。