卢正新《随机过程》第五章 布朗运动与鞅-全

min(t , s ) min(t, s)
例：设{B(t)，t≥0} 为标准布朗运动，计算P{B(2) ≤ 0}及P{B(t) ≤ 0， t=1,2} 。
解：B(2) ~ N (0, 2) P{B(2) 0} 0.5，则
PB(t) 0,t 1, 2 PB(1) 0, B(2) 0
n
解：1)E | X n | | Yk | ，n 1, 2L k 1
E X n+1 | Yn L Y0 E X n Yn+1 | Yn L Y0
X n E Yn+1 | Yn L Y0 X n E Yn+1 X n
n
2)E | X n | | Yk | ，n 1, 2L k 1
n
f ( y1, y2 L yn )
i 1
2
1 (ti
ti 1 )
exp
2(ti
yi2 ti1)
由随机变量函数的概率密度公式，得：
g(x1, x2 L xn ;t1, t2 L tn ) f ( y1, y2 L yn ) J
1 0
1 1
J 1 1
L
1 0 1 1
J 1
4）B(t0 s) B(t0 ), 0 s t0, t0 0
9
1）B(t ) B( ),t 0, 0;
证：B(t)为正态过程，则B(t ) B( )为正态过程，且 B(0 ) B( )=0
对t 0，E B(t ) B( ) 0
对s,t 0，有
E B(t ) B( )B(s ) B( )
布朗运动的轨道
从时刻0到时刻T对布朗运动的一次观察称为布朗运动在区间[0,T]上的一条轨 道或路径。
轨道的基本性质
1）是t的连续函数； 2）在任何点都不可微
定理：固定t 0，设0 t0 t0 L tn， = m1kaxn(tk -tk1),则有
n
lim
0 k 1
B(tk ) B(tk1) 2 t
概率密度函数为：
g( y1 y2 K
yn
)
f 0
(
x1x2
K
xn )
J
若y1y2 K yn是gi (i 1, 2K n)的值域
xi hi ( y1 y2 K yn )
x1
y1
J K
xn
y1
x1 K y2 KK xn K y2
x1
yn
K
xn
yn
定理：设B(t),t 0为标准布朗运动，令x0 0，t0 0，则 当B(0) 0时，对0 t0 t1 L tn，B(t1), B(t2 ),L B(tn )的
第五章：布朗运动与鞅
❖ 布朗运动的定义与基本性质 ❖ 鞅的定义与例
1
随机游动与布朗运动
考虑在直线上的无限随机游动：质点每经过Δt时间，随机地以概 率p=0.5向右移动Δx>0；以概率q=0.5向左移动Δx，且每次移动相 互独立。令
1，第i次质点向右移动 Xi -1，第i次质点向左移动
则质点在时刻t的位置X(t)可表示为：
E X mk | Ym L Y0 X m 2）EX n E E( X n | Y0 ) EX 0
18
例：独立随机变量之和与积
1）设Y0=0，{Yn， n≥0}是独立的中心化随机变量序列， E|Yn|<∞，定义 X0=0，则Xn =Y1+…+Yn是鞅；
2）设Y0=0，{Yn， n≥0}是随机变量序列， E|Yn|<∞， EYn= μn≠0， n≥1， 定义X0=0，则Xn =Y1Y2…Yn/ μ1 μ2… μn是鞅。
联合概率密度为：
其中
n
g(x1, x2 ,L xn;t1, t2 ,L tn ) p(xi xi1;ti ti1) i 1
1
x2
p(x;t)
2 t
exp
2t
13
证明：令Y1 B(t1)，Yi B(ti1) B(ti )，1 i n，则
i
B(ti ) Yk k 1
由布朗运动性质，Y1,Y2 L Yn相互独立，Yi ~N (0, ti ti1)，则
E
X n+1 | Yn L Y0
E Xn
Yn +1
n
| Yn L
Y0
X
n
E
Yn +1
n
| Yn L
Y0
X
n
E
Yn +1
n
Xn
a.s.
思路：
n
1）
lim E
0 k 1
B(tk ) B(tk1) 2 t
2）
lim
0
E
n k 1
B(tk )
B(tk 1 )
2
t
2
0
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鞅的定义与例
博弈问题：博弈者进行一序列博弈（轮盘赌），每次博弈输和赢的概率相同， 每次的下注额自定。问博弈者采用何种下注方式赢面大？ 定义：随机过程{Xn，n≥0}称为关于{Yn，n≥0}的下鞅，如果对n≥0， Xn是 {Y0, …,Yn}的函数，EXn<∞，且E[Xn+1| Y0, …,Yn] ≥Xn。 定义：随机过程{Xn，n≥0}称为关于{Yn，n≥0}的上鞅，如果对n≥0， Xn是 {Y0, …,Yn}的函数，EXn<∞，且E[Xn+1| Y0, …,Yn] ≤Xn。 若 {Xn，n≥0}同时是关于{Yn，n≥0}的上鞅和下鞅，则称之为关于Yn的鞅。 鞅描述的是“公平”的博弈，下鞅和上鞅则是“有利”和“无利”的博弈。
X (t) x X1 X 2 L
X
t t
,
其均值和方差为：
[]：向下取整运算
EX i
0，DX i
EX
2 i
1；EX
(t)
0，DX (T )
(x)2
t t
2
Δt和Δx的取值： 使得DX(t)在Δt和Δx趋于零时，极限有意义。 如： Δt = Δx，当Δt->0， DX(t)->0，则X(t)=0，a.s. 若取Δt = Δx3 ，当Δt->0， DX(t)->∞，不合理。
定理：设{Xn，n≥0}是关于{Yn，n≥0}的鞅，则 1）对任意的0<m<n，有E[Xn| Ym, …,Y0] =Xm ； 2）对任意n，EXn=EX0
证： 1）用归纳法，当n - m 1时，即n=m+1时，显然成立。 设n - m k时成立，则
E X mk1 | Ym L Y0 E E X mk1 | Ymk L Y0 | Ym L Y0
4
布朗运动定义1：随机过程{W(t)，t≥0}，如果满足： 1）W(0)=0； 2）W(t)是独立、平稳增量过程； 3）对任意t>0，W(t)服从正态分布N(0, σ2t)。
则称{W(t)，t≥0}为维纳过程，或称为布朗运动（B(t)， t≥0 ）。 如果σ=1，称为标准布朗运动。 一般布朗运动可用{W(t)/σ，t≥0}变换成标准布朗运动，后面我们 假定都是标准布朗运动。
n
X n =X 0 biYi i 1
则第n 1次博弈后，其平均赌资为：
E
X n1 | Y1 L Yn
E
X
0
n1
bi yi
i 1
| Y1L
Yn
E X n bn1Yn1 | Y1L Yn
E X n | Y1L Yn bn1E Yn1 | Y1L Yn
X n bn1E Yn1 X n
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博弈问题解答：
解：用Yn , n 1表示每次博弈的输赢，则Yn为独立同分布的随机
变量，P{Yn 1} P{Yn 1} 0.5。Yn 1表示赢，Yn -1为输。 博弈者的下注策略依赖于前面的博弈结果，可用
bn bn (Y1L Yn1)，n 2来描述 bn为第n次的赌注，若赢则获利bn，输则输掉bn 设X 0为博弈者的起始赌资，则第n次博弈后的赌资为：
一般情况下，有 x t 此时：
lim
t 0
DX
(t)
lim (x)2
t 0
t t
lim
t 0
2t
t t
2t
3
X(t)为独立同分布的随机变量之和，由中心极限定理，可得： 1）X(t)~N(0, σ2t);
随机游动的值在不相重叠的时间区段内相互独立，得 2）X(t)是独立增量过程；
在任一时间区间随机游动的值仅与时长有关，得 3）X(t)是平稳增量过程
t s min(s, t) t s 即 B(t) B(s) ~ N (0, t s )
而对s1 t1 s2 t2，有
E B(t1) BБайду номын сангаасs1)B(t2 ) B(s2 ) t1 t1 s1 s1 0
即B(t1) B(s1)与B(t2 ) B(s2 )； 由正态过程性质（独立即相关）知：
多维随机变量函数的概率密度：
设X X1, X 2 L X n为n维随机向量，f (x1x2 K xn )为其概率密度，
设Yi gi (x1x2 K xn ) (i 1, 2K n)是X的函数，且存在唯一的反函数
xi hi ( y1 y2 K yn )，如果gi、hi有连续偏导数，则Y Y1,Y2 L Yn的
6
证： 1）充分性 若B(t),t 0是布朗运动，则其为正态过程。
设0 s t，则：
E B(s)B(t) E B(s)B(t) B(s) B(s) E B(s)B(t) B(s) E B(s)B(s) s
2）必要性，当B(t),t 0为正态过程，且 E B(s)B(t) min(s,t)，则多s,t 0，有 E B(t) B(s) 0; E B(t) B(s)2 EB2(t) EB2(s) 2E B(t)B(s)