随机过程(十四)-布朗运动共45页文档

分数布朗运动分数布朗运动，又称分数阶布朗运动，是一种具有分数阶微积分的随机过程。

它与经典的布朗运动相比，具有更多的自由度和能够刻画更加复杂的现象。

在实际中，分数布朗运动被广泛应用于金融、物理、生物等领域，成为研究非平稳性现象的重要工具。

首先，我们来介绍一下经典的布朗运动。

布朗运动是一种随机过程，其特点在于其轨迹是随机的、连续的，但具有不可导的性质。

根据中心极限定理，对于布朗运动的任何时刻$t$，其增量 $\Delta B_t$ 满足正态分布，即 $\Delta B_t \sim N(0, \sqrt{t})$。

其中，$N$ 表示正态分布，$\sqrt{t}$ 表示时间步长。

布朗运动在物理、化学、金融等领域广泛应用，例如股票价格波动、大气颗粒的扩散以及分子的随机运动。

然而，经典的布朗运动假设了时间序列的增量是具有零均值和方差的正态分布，这远远不足以刻画很多实际现象的复杂性。

例如，金融市场中的波动往往包含许多长尾，这远远不符合正态分布的假设。

另一方面，物理、生物领域中，很多过程都表现出非稳定性的特点，例如非马尔可夫性和长记忆性，传统的布朗运动无法很好地刻画这些复杂特性。

分数布朗运动的出现，解决了以上问题。

其轨迹可以看作具有随机长程依赖的平稳过程，其增量可以写成如下形式：$\Delta B_t =\frac{1}{\Gamma(\alpha +\frac{1}{2})}\int_{-\infty}^{\infty}(B_{t+x}-B_t)\frac{dx}{|x|^{\alpha + \frac{3}{2}}}$。

其中，$\Gamma$ 表示欧拉-伽马函数，$\alpha$ 表示分数阶参数，$B_t$ 表示分数布朗运动的轨迹。

这个式子中的积分，描述了长时刻间的记忆和信号的依赖性。

分数布朗运动的一个重要特点，就是具有长记忆性和非马尔可夫性。

长记忆性表示，过去的状态会对当前的状态产生影响，这是由分数阶微积分导致的。

一、 随机过程简介随机过程这一学科最早起源于对物理学的研究，如吉布斯（美国物理化学家、数学物理学家）、玻尔兹曼（奥地利物理学家）、庞加莱（法国数学家）等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳(Wiener ，美国数学家，控制论的创始人)、莱维(Levy ，法国数学家)等人对布朗运动的开创性工作。

1907年前后，马尔可夫(Markov)研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。

1923年维纳给出布朗运动的数学定义，直到今日这一过程仍是重要的研究课题。

随机过程一般理论的研究通常认为开始于20世纪30年代。

1931年，柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，1934年辛饮发表了《平稳过程的相关理论》，这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。

1953年，杜布出版了名著《随机过程论》，系统且严格地叙述了随机过程基本理论。

一般认为，随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫（K olmogorov ）和杜布(Doob)奠定的。

第一章随机过程的基本概念一、随机过程的定义例1：医院登记新生儿性别，0表示男，1表示女，X n 表示第n 次登记的数字，得到一个序列X 1 ， X 2 ， ···，记为{X n ，n=1,2, ···}，则X n 是随机变量，而{X n ，n=1,2, ···}是随机过程。

例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。

令X n 表示第n 次统计所得的值，则X n 是随机变量。

为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程{X n ，n=1,2, ···}的统计规律性。

例3：一个醉汉在路上行走，以概率p 前进一步，以概率1-p 后退一步（假设步长相同）。

以X(t)记他t 时刻在路上的位置，则{X(t), t ≥0}就是（直线上的）随机游动。

布朗运动函数
布朗运动函数是一种随机过程，描述了微小颗粒在液体或气体中的运动轨迹。

它是一个连续的随机函数，其取值在每个时间点都是不确定的。

布朗运动函数是在数学、物理、化学等领域中广泛应用的重要工具，可以用来描述粒子在溶液中的扩散行为、股票价格的波动等各种现象。

布朗运动函数最初由英国植物学家罗伯特·布朗于1827年发现。

他观察到花粉在水中的运动轨迹是不规则的，呈现出随机性，这启发他研究颗粒在液体中的扩散行为。

布朗运动函数的数学描述是一个随机过程，它满足下列条件：
1. 在任意时刻，它的取值是一个随机变量，且取值范围为实数集。

2. 它是一个连续的函数，在任意时间点都是定义良好的。

3. 它的取值在任意时间段内是无限可分的，即可以看成是独立随机变量的和。

4. 它的取值在任意时间段内的平均值为0，方差为时间间隔的函数。

布朗运动函数的数学模型是随机微分方程。

此方程描述了颗粒在液体中的运动轨迹，其中的随机项表示了分子的碰撞和其他随机因素的影响。

布朗运动函数在物理化学、金融等领域中有广泛的应用，如扩散方程、随机微积分和随机微分方程等。

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布朗运动是悬浮在液体（如液体或气体）中的颗粒的随机运动，是由颗粒与液体分子的碰撞造成的。

它是由植物学家罗伯特-布朗于1827年首次描述的。

布朗运动的数学描述是基于随机过程的概念，其中粒子的位置被建模为一个随时间变化的随机变量。

该运动可以用一个偏微分方程（称为朗文方程）来描述粒子的速度和位置随时间的演变。

一般来说，朗格文方程的精确解不能用分析法确定。

然而，它可以使用数值方法或蒙特卡洛模拟进行近似计算。

这些模拟可以用来计算运动的统计属性，如平均位移和位置随时间变化的方差。

总的来说，布朗运动的数学描述为理解粒子在流体中的扩散提供了基础，并在金融、物理、化学和生物等广泛领域有重要应用。