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1 n
E
Nn
s
Nn
t
ntE
Fn
s
nsE
Fn
t
nst
1 E[E n
Nn
s
Nn
t
Nn
t
]
nst
1 n
E[Nn
t E
Nn s Nn t ] nst
1 n
E[ N n
t
s t
Nn
t
]
nst
1 n
s t
nt n(n 1)t 2
nst
s 1 t
所以当n→∞时，
n (s),0 s 1
均值函数
mBge
(t)=E[exp(Bt, 2
)]=exp{( +
2
2
)t},
t 0
相关函数
RBge
(s,t
)=e
(t
+s
)e2
2
s
2
e2
(t
-s
)
,
s,t 0
股票价格服从几何布朗运动的证明 谢惠扬
m B
ge
(t
)=E[exp(Bt
,
2
)]
= e + t+ x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
的极限过程即为布朗桥过程。
一般的，设X1,X2, …Xn, …独立同分布，F(x) 为分布函数，则随机变量F(Xi)~U(0,1)。记
n
Nn s IF Xi s i 1
类似可讨论 n sup Fn X F X 的极限分
布。
x
过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）
Btge =exp(Bt,2 ) t 0, R, 2 >0
, t 0
mBre (t)=E[ W(t) ]
+
=x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
=
2t
- x2 +
( -e 2t )
2 t
0
= 2t , t 0
过程6：奥恩斯坦-乌伦贝克过程
Btou =e -t W ( (t)） t 0， >0
其中 (t)= t e2sds= 1 (e2t -1)
则称 Bbr ={Btbr , t [0,1]} 为从0到0的布朗桥 均值函数 mBbr (t)=E[W (t)-tW (1)]=0, t [0,1] 相关函数 RBbr (s,t)=min{s,t}-st, s,t [0,1]
性质，从0到0的布朗桥是高斯过程
例 设常数 a,b R, 定义从a到b的布朗桥：
0
2
均值函数
mBou (t)=E[e-tW( (t)）]=0, t 0
相关函数
RBou (s,t)=min{ (s), (t)}e-(s+t), s,t 0
补充： 随机变量序列或随机过程 均方极限 均方连续 均方可导 均方可积
1．均方极限的定义
定义 设 X , X n H , n 1, 2,L 如果
Bab t
=a+(b-a)t
+Btbr
t [0,1]
证明 ： (1)
B0ab =a,
B a b 1
=b
(2) 从a到b的布朗桥是高斯过程,且
mab (t)=a+(b-a)t t [0,1]
Cab (s,t)=E[(Bsab -mab (s))(Btab -mab (t))
= min{s,t}-st
t [0,1]
=e Ee (s+t) [W (s)+(W (t )-W (s))+W (s)]
=e Ee E (s+t ) 2W (s) [W (t )-W (s)]
=e
(t
+s
)e2
2s
2
e2
(t
-s
)
,
s,t
0
过程5：反射布朗运动
Btre = W (t) t 0
均值函数
2t
mBre (t)=E[ W (t) ]=
显然Nn(s)~B(n,s)，由强大数定理有
P
lim
n
Fn
s
s
1
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果，
P
lim
n
sup
0s1
Fn
s s
0 1
即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
令n s n Fn s s, 则
E n s n EFn s s 0
Dn s
n 2 D( Nn s) s(1 s)
R, >0
相关函数
R B
,
2
(s,t
)=
2
st
+
2
min
(s,t
)
性质 (, 2 ) 布朗运动是一个高斯过程
带漂移的布朗运动的民用航空发动机实时性能可 靠性预测，航空动力学报 2009，Vol.1,No.12.任淑红
证明 (, 2 ) 布朗运动是一个高斯过程
对任意自然数 n 2, 不是一般性，取n个不同
的时间指标 0=t0 <t1<L <tn <, 定义增量
=B -B , , 2 , 2
k
tk
tk -1
k=1,L ,n
则 k ~N ((tk -tk -1), 2 (tk -tk -1))
(Bt1 , 2 ,L ,Btn , 2 )=(1,L ,n ) Mnn
过程3：布朗桥
Btbr =W (t)-tW (1) t [0,1]
n
x,
lim P
n
n
s
x
1
2 s 1 s
e du x
u2 2 s (1 s )
所以 n s,0 s 1 的极限过程是一正态过程。 可以证明 n s,n t 的联合分布趋于二维正
态分布。
0 s t 1
covn s,n t E n sn t nE Fn s sFn t t
lim E
n
Xn
X
2
0
则称{Xn,n=1,2,…}均方收敛于X,
或称 X 为{Xn,n=1,2,…}的均方极限，记为
l.i.m
n
Xn
X
2 均方连续
1. 均方连续定义
设{X(t), t∈T}是二阶矩过程, t0∈T, 若
l.i.m
t t0
X
(t)
X
(t0 )
则称{X(t), t ∈T}在t0处均方连续
补充 ：布朗桥在统计中的应用
布朗桥在研究经验分布函数中起着非常重要的 作用。设X1,X2, …Xn, …独立同分布，Xn~U(0,1) ， 对0<s<1,记
n
Nn s I Xi s i 1
Nn(s)表示前n个X1,X2, …Xn 中取值不超过s的个数，
Fn
s
1 n
Nn
s
称Fn(s)为经验分布函数。
§2. 与布朗运动有关的随机过程
过程1：d维布朗运动
若 W 1(t),W 2 (t),L ,W n (t) 是 d SBM，则称
W=(W 1(t),L ,W d (t))
是 d 维标准布朗运动.
个相互独立的
过程2：(, 2 ) 布朗运动
Bt, 2 =t+W (t), t 0
均值函数
m B
,
2
(t)=t
=et + -
1
- x2 -2t x
e 2t dx
2 t
=et + -
1 -(x-t )2 (t )2源自e e dx 2t2t
2 t
=exp{(+ 2 )t}, t 0
2
RBge (s,t)=Ees+W (s)et+W (t) =Ee(s+t)+ (W (s)+W (t)) =e Ee (s+t) (W (s)+W (t))
