随机过程布朗运动共45页

显然 P(B(t) ≥ a|Ta > t) = 0, 由 BM 的对称性可得
P(B(t) ≥ a|Ta ≤ t) = P(B(t) < a|Ta ≤ t) = 1/2
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定理：设 B(t) 是标准 BM，任给定 n 个时刻 0 < t1 < t2 · · · tn,，若用
ft1t2···tn(x1, x2 · · · xn) 记 (B(t1), B(t2), · · · , B(tn)) 的联合分布密度，则
ft1t2···tn(x1, x2 · · · xn) = pt1(x1)pt2−t1(x2 − x1) · · · ptn−tn−1(xn − xn−1)
因为 Bx(t) = B(t) + x, 有
P{max Bx(s) ≥ 0} = P(max{B(s) + x ≥ 0}) = P(max{B(s)} ≥ −x)
0≤s≤t
0≤s≤t
0≤s≤t
= 2P(B(t) ≥ −x)
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仍然是标准 BM.
定义：(B1(t), · · · , Bn(t)) 被称作标准的 n 维 BM，如果 B1(t), · · · , Bn(t)
都是独立的标准一维 BM(σ2 = 1).
BM 的性质
性质 1：BM 的几乎每条样本轨道是连续的，对几乎每条样本轨道上的 任意一点，其导数都不存在；而且在任何区间上 都不是单调的，但是

3、温度越高，越剧烈。微粒越小，越剧烈。
三、分子的热运动 由扩散现象、布朗运动
温度越高，分子运动越剧烈
热运动：分子的运动与温度有关，分子运动叫做热运动。
热运动 = 分子运动
布朗运动不 是一种热运动，它可以反映热运动。 四、分子的动能 所有运动的物体都具有 能不同
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2019/5/24
9-2.分子的热运动
一、物体内的分子总是做永不停息的无规则运动。 例证一：扩散现象 例证二：布朗运动
二、布朗运动 现象：用显微镜观察到微粒（由大量分子组成） 在液体中做永不停息无规则运动。 成因：微粒在液体中受到分子对它不平衡的撞击力。 在这一无规则的作用力下，微粒作无规则运动。 特点：1、布朗运动本质上是一种微粒（不是分子）运动 它生动地反映了液体分子是运动的。 2、布朗运动是一种永不停息的无规运动。
平均动能
温度 决定 平均动能 温度是分子平均动能的标志
五、热力学第三定律： 在宇宙中温度的下限：—273.15℃
热力学温标: T= 273.15 + t (K)
热力学零度不可达到(热力学第三定律)
总结
铅
铅
几年后
金
金
固体的扩散
分子是运动的
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POWERPOINT
2019/5/24

1 n
E
Nn
s
Nn
t
ntE
Fn
s
nsE
Fn
t
nst
1 E[E n
Nn
s
Nn
t
Nn
t
]
nst
1 n
E[Nn
t E
Nn s Nn t ] nst
1 n
E[ N n
t
s t
Nn
t
]
nst
1 n
s t
nt n(n 1)t 2
nst
s 1 t
优选
8
所以当n→∞时，
n(s),0 s 1
显然Nn(s)~B(n,s)，由强优大选 数定理有
6
P
lim
n
Fn
s
s
1
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果，
P
lim
n
sup
0s1
Fn s s
0 1
即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
令n s n Fn s s, 则
E n s n EFn s s 0
Dn s
n
2
D(
的极限过程即为布朗桥过程。
一般的，设X1,X2, …Xn, …独立同分布，F(x) 为分布函数，则随机变量F(Xi)~U(0,1)。记
n
Nn s IF Xi s i 1
类似可讨论 n sup Fn X F X 的极限分
布。
x
优选
9
过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）
Btge =exp(Bt,2 ) t 0, R, 2 >0
)=t
R, >0
相关函数

如果＝1，则称为标准布朗运动。
注：第(1)条并不是必须的。如果B(0)＝x，则称{B(t),t≥0}为 始于x的布朗运动，记为Bx(t) 。
Brown运动的另一种定义
Brown运动是具有如下性质的随机过程 {B(t), t≥0}： （1）正态增量性：B(t ) B(s) ~ N (0, t s), t s （2）独立增量性：B(t)-B(s)独立于过程的 过去状态B(u), 0≤u≤s。 （3）路径的连续性: B(t)是t的连续函数。
( y x )2 2t
ft ( y x)
P{B(t1 ) x1 , , B(tn ) xn } P{B(tn ) xn | B(ti ) xi ,1 i n 1}P{B(ti ) xi ,1 i n 1} P{B(tn ) xn | B(tn 1 ) xn 1 ) P{B(tn 1 ) xn 1 | B(ti ) xi ,1 i n 2} P{B(ti ) xi ,1 i n 2} P{B(tn ) xn | B(tn 1 ) xn 1 ) P{B(tn 1 ) xn 1 | B(tn 2 ) xn 2 ) P{B(t2 ) x2 | B(t1 ) x1}P( B(t1 ) x1 ) pt1 (0, y1 )dy1 pt2 t1 ( x1 , y2 )dy2 ptn tn1 ( xn 1 , yn )dyn
Brown运动
随机游动
设一个粒子在直线上做随机游动，每隔Dt时间内 等可能的向左或向右移动Dx的距离。若记X(t) 记时刻t粒子的位置，则
X (t ) Dx( X1 X[t / Dt ] )
其中
1 如果第i步向右 Xi ， X i 相互独立 1 如果第i步向左 1 P( X i 1) P( X i 1) , E ( X i ) 0, var( X i ) 1 2

介质处于平衡状态，因此质点在一小区间上 位移的统计规律只与区间长度有关，而与开始 观察的时刻无关
由于分子运动的独立性和无规则性，认为质点 在不同时间内受到的碰撞是独立的，故所产生的 位移也是独立的
二. 布朗运动的定义
（Brown motion）ＢＭ
称实S.P.{W(t),t≥0}是Wiener过程,如果 (1) W (0) x R
W t1,L ,W tn 的联合密度函数为
f x1, x2,L , xn ft1 (x1) ft2t1 (x2 x1)L ftn tn1 (xn xn1)
其中
ft x
1
x2
e 2t
2 t
由此可以看出 W t1 , ,W tn 服 从n维正态分布。
这是因为在W(t1)=x1的条件下，W(t2)的条件密度
(2) 由(1)易知有
mW (t) 0, DW (t) 2t, t 0
对s≥0, t ≥0,不妨设 s≤t,则
RW (s,t) E[W (s)W (t)] E[(W (s) W (0))(W (t) W (s) W (s))]
独立性 E[(W (s) W (0))(W (t) W (s))] E[W (s)]2 0 E[W (s)]2 D[W (s)] (E[W (s)])2
其中
X (t) x( X1 L X[t t] )
1, 如果步长为△x的第i步向右 Xi 1, 如果步长为△x的第i步向左
且Xi相互独立。
P{ X i
1}
P{X i
1}
1 2
因为
EXi 0,Var( Xi ) 1
所以 E[ X (t)] 0,Var( X (t)) (x)2[t t]
三 Brown运动的数字特征

2 1
⎛1 ⎜ ⎜0 − Bt n −1） 0 ⎜ ⎜ ⎜M ⎜0 ⎝
1 L 1⎞ ⎟ 1 L 1⎟ 0 L 1⎟ ⎟ M L M⎟ 0 L 1⎟ ⎠
所以 ( Bt 1 , Bt 2 ,L , Bt n ) 是n维正态变量.
所以， ,σ )-布朗运动是一个正态过程 (µ
2
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
ϕ (t1 ,L , tn ; u1 , u2 ,..., un ) = e
1 ( jmX ( tk ) uT − uCuT ) 2
=e
1 j uk m X ( tk ) − uk ul C X ( tk ,tl ) 2 k =1 l =1 k =1
∑
n
∑∑
n
n
称为正态过程X的特征函数，其中CX(⋅,)为协方差函数. ⋅
第三章 布朗运动（维纳过程）
1. 1827年植物学家布朗观察到现象 2. 1905 爱因斯坦由物理定律导出其数学描述 3. 1918后维纳提出其简明的数学公式——维纳过程
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
布朗运动内容
布朗运动定义 布朗运动的一些性质 与布朗运动的相关的随机过程
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
re
=∫
+∞
−∞
y ϕt ( y )dy = 2 ∫ y ϕt ( y )dy
0
+∞
= 2∫
+∞
0
y (令 z= ) t
2 = 2π
∫
y2 +∞ − 2t 0
1 y e 2πt
y2 − 2t
dy
e
y dy t
2 +∞ − 2 2t = ∫0 e z tdz = π 2π

均值函数
mBge
(t)=E[exp(Bt, 2
)]=exp{( +
2
2
)t},
t 0
相关函数
RBge
(s,t
)=e
(tΒιβλιοθήκη +s)e22
s
2
e2
(t
-s
)
,
s,t 0
股票价格服从几何布朗运动的证明 谢惠扬
10
m B
ge
(t
)=E[exp(Bt
,
2
)]
= e + t+ x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
显然Nn(s)~B(n,s)，由强大数定理有
6
P
lim
n
Fn
s
s
1
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果，
P
lim
n
sup
0s1
Fn
s s
0 1
即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
令n s n Fn s s, 则
E n s n EFn s s 0
Dn s
n 2 D( Nn s) s(1 s)
, t 0
13
mBre (t)=E[ W(t) ]
+
=x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
=
2t
- x2 +
( -e 2t )
2 t
0
= 2t , t 0
14
过程6：奥恩斯坦-乌伦贝克过程
Btou =e -t W ( (t)） t 0， >0
其中 (t)= t e2sds= 1 (e2t -1)

a P{布朗运动在下降 b之前上升a} ab
作业：1. P142 1,2,4 2. 写本章小结
2010-7-30
理学院 施三支
2
2010-7-30
理学院 施三支
7.6
一、布朗桥
布朗运动的几种变化
定义7.6.1 设 B (t ), t 0 是一个布朗运动，令
B * (t ) B (t ) tB (1) ， 0 t 1 * * 则称随机过程 B {B (t ),0 t 1} 为布朗桥(Brown Bridge)
2 P{Y (t ) y} 2t

y

e

u2 2t
du 1， y 0
2010-7-30
理学院 施三支
四、几何布朗运动
设 {B (t ), t 0} 是一个布朗运动，令 X (t ) e
B (t )
, t 0 则称
{ X (t ), t 0} 为几何布朗运动。
注：
例7.2.1 B (t ) 是布朗运动，求：(1) B (1) B ( 2) B (3) B ( 4) 的
分 布 ； (2)
1
1 1 3 B ( ) B ( ) B ( ) B (1) 的 分 布 ； (3) 4 2 4
理学院 施三支
2 P{ B (t ) dt }。 0 3 2010-7-30
注：
布朗桥是高斯过程。且对任何 0 s t 1 ，有
EB * (t ) 0 EB * ( s ) B * (t ) s (1 t )
由定义可知， B * (0) B * (1) 0
2010-7-30 理学院 施三支
二、有吸收值的布朗运动

定
义
性 ������ ������2 − ������ ������1 (������1 < ������2)的概率密度函数为 质
推 广
������ ������; ������2 − ������1 =
1
������−2(������2������−2 ������1)
2������(������2 − ������1)
布朗运动又称维纳过程；
性 • 是具有连续时间参数和连续状态空间的一类随机过程； 质
• 在金融领域的证券市场中（如债券、期权等），有着极其 重要的应用。将布朗运动与股票价格行为联系在一起，进
推 而建立起维纳过程的数学模型是本世纪的一项具有重要意 广 义的金融创新，在现代金融数学中占有重要地位。
中南民族大学经济学院
当������1 > ������2时， ������ ������1, ������2 = ������2������2
推 ∴ ������ ������1, ������2 = ������2 min ������1, ������2 广
∴ ������������������������ ������1, ������2 = ������ ������1, ������2 − ������ ������ ������1 ������ ������ ������2 = ������2 min ������1, ������2
中南民族大学经济学院
5
《随机过程》第5章-布朗运动
1 基本概念
有限维联合分布
背 设*������ ������ , ������ ≥ 0+为标准布朗运动，对∀0 = ������0 < ������1 < ⋯ < ������ ������������ )的联合概率密度函数为

解：B(2) ~ N (0, 2) P{B(2) 0} 0.5，则
PB(t) 0,t 1, 2 PB(1) 0, B(2) 0
PB(1) 0, B(1) B(2) B(1) 0
PB(1) 0, B(2) B(1) B(1)
5
布朗运动定义2：随机过程{B(t)，t≥0}为布朗运动，如果满足： 1）（正态增量）B(t)-B(s)~N(0,t-s) ； 2）（独立增量）B(t)-B(s)独立于过去的状态B(v)，0≤v ≤ s； 3）（轨道连续） {B(t)，t≥0}的轨道是t的连续函数。
注：并未强调B(0)=0，如果B(0)=x，可用B(t)-x进行变换。 定理：设{B(t)，t≥0}是正态过程，轨道连续，B(0)=0，对任意的s， t>0，有EB(t)=0，E[B(s)B(t)]=min(s,t)，则{B(t)，t≥0}为布朗运动， 反之亦然。
2）设Y0=0，{Yn， n≥0}是随机变量序列， E|Yn|<∞， EYn= μn≠0， n≥1， 定义X0=0，则Xn =Y1Y2…Yn/ μ1 μ2… μn是鞅。
n
解：1)E | X n | | Yk | ，n 1, 2 k 1
E X n+1 | Yn Y0 E X n Yn+1 | Yn Y0
6
证： 1）充分性 若B(t),t 0是布朗运动，则其为正态过程。
设0 s t，则：
E B(s)B(t) E B(s)B(t) B(s) B(s) E B(s)B(t) B(s) E B(s)B(s) s
2）必要性，当B(t),t 0为正态过程，且 E B(s)B(t) min(s,t)，则多s,t 0，有 E B(t) B(s) 0; E B(t) B(s)2 EB2(t) EB2(s) 2E B(t)B(s)

马尔可夫过程的定义与性质
马尔可夫过程是一种重要的随机过程，具有马尔可夫性质，即未来状态只与当前状态有关。本部分将详 细介绍马尔可夫过程的定义和特性。
马尔可夫过程的应用
马尔可夫过程在很多领域都有广泛的应用，如金融风险评估、自然语言处理和社交网络分析等。我们将 义与性质
《随机过程》PPT课件
随机过程是一个重要的数学概念，本课件将深入介绍随机过程的定义、分类 以及常见例子，帮助您全面理解随机过程的本质。
随机过程的定义与随机变量的区别
了解随机过程和随机变量的不同之处对于理解随机过程的基本概念至关重要，本部分将详细讨论它们的 区别及其意义。
随机过程的分类及常见例子
随机过程可以根据其性质和特征进行分类，例如马尔可夫过程、泊松过程、布朗运动等。我们将介绍每 种类型的定义和常见应用。
布朗运动在金融和物理领域的 应用
布朗运动在金融领域和物理领域有着广泛的应用，如金融市场模型和粒子扩 散模型。我们将介绍一些相关的应用场景。
随机过程在数据分析中的应用
频率分析
利用随机过程的特性进行频率域信号分析， 如功率谱估计和频谱分析。
信号处理
利用随机过程的随机性和噪声模型进行信号 处理和滤波。
泊松过程是一种重要的随机过程，具有独立增量和平稳增量的特性。本部分 将详细介绍泊松过程的定义以及其它一些重要的性质。
泊松过程的应用
泊松过程在很多实际问题中具有重要的应用，如事件发生的模拟、人流和交通流量的预测等。我们将分 享一些实际案例。
布朗运动的定义与性质
布朗运动是一种连续时间的随机过程，具有随机漂移和随机扩散的特性。本部分将详细探讨布朗运动的 定义和一些重要的性质。
时域分析
通过对随机过程的统计特性进行分析，如均 值、方差和自相关函数。

Y(t)可以有效地用方差参数为 2 的布朗运动建模。求： （1）如果在赛道的中点，内道竞赛者领先 胜的概率是多少？ （2）如果内道竞赛者在竞赛中领先 秒获胜，问他在竞赛

秒，问他取
中点领先概率是多少？

LOGO
解：（1）
P{Y (1) 0 | Y (1 / 2) } P{Y (1) Y (1 / 2) | Y (1 / 2) } P{Y (1) Y (1 / 2) } P{Y (1 / 2) } Y (1 / 2) P{ 2} ( 2 ) 0.9213 / 2
2
（2）{X (t ),t 0}有独立增量（因为随机 游动在不重叠时间内变 化独立） （3）
{X (t ), t 0}有平稳增量（因为随机游动任一时间区间内变化分布只依赖于区间长度）

LOGO
ห้องสมุดไป่ตู้

LOGO
LOGO
因此，P{Y (1/ 2) 0 | Y (1) } P{N ( / 2, 2 / 4) 0} (1) 0.8413
显然，条件分布是正态分布，均值和方差为
E[ X (s) | X (t ) B] Bs / t Var ( X (s) | X (t ) B) s(t s) / t

LOGO
例3：在有两人比赛的自行车赛中，以Y(t)记当100t％的竞
赛完成时，从内道出发的竞赛者领先的时间秒数，且假设
E( X i ) 0,Var( X i ) 1
若令Δx Δt ,可得
t E ( X (t )) 0, Var ( X (t )) (x) [ ] t
2
E(X(t)) 0, Var(X(t)) 2t

七.布朗运动的导数过程
定义 设{W (t),t 0}是参数为 2的Wiener过程. 如果存在实随机过程以 2 (s t) 为其相关函数，
则称该过程为Wiener 过程 {W (t),t 0} 的导数过 程．记为{W (t),t 0}. 从而
RW (s,t) 2 (s t), s,t 0. 称参数为 2的Wiener过程 {W (t),t 0}的导数过程 {W(t),t 0} 为参数为 2 的白噪声过程或白噪声.
Nn
s
Nn
t
Nn
t
]
nst

1 n
E[Nn
t E
Nn s Nn t ] nst

1 n
E[ N n
t

s t
Nn
t
]

nst

1 n
s t
nt n(n 1)t 2
nst
s 1 t
所以当n→∞时，
n (s),0 s 1
过程3：布朗桥
Btbr =W (t)-tW (1) t [0,1]
则称 Bbr ={Btbr , t [0,1]} 为从0到0的布朗桥 均值函数 mBbr (t)=E[W (t)-tW (1)]=0, t [0,1] 相关函数 RBbr (s,t)=min{s,t}-st, s,t [0,1]
(2) 导数过程{X (t),t T} 和原过程{X (t),t T}的
互相关函数 RXX (s,t) 等于原过程 {X (t),t T}的
相关函数RX (s,t) 关于s的偏导数，即
RX
X
(s,
t
)

s
RX

数字特征 设 {Wt,t≥0}是标准布朗运动.则
mW (t ) = 0, DW (t ) = t , t ≥ 0, RW ( s, t ) = CW ( s, t ) = min( s, t ), s, t , ≥ 0
证明
由定义易知有
mW (t ) = 0, DW (t ) = t , t ≥ 0
令ξ = Wt1 , η = Wt 2 − Wt1 ,则ξ 服从N(0, t 1 )分布，η 服从N(0, t 2 − t 1 )分布 所以 F(t 1 ,t 2 ; x 1 , x 2 ) = P( ξ ≤ x 1 , ξ + η ≤ x 2 )
= ∫ P(η ≤x 2 -y )P(ξ ∈ dy )
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
¾ 自相似性 即对任意常数a>0固定的t>0， 有 a1/2Wt Wat
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
¾ 时间逆转性 即对固定的T>0，定义: Bt =WT –WT-t 0≤t ≤ T 则B ={Bt 0≤t ≤ T}也是标准布朗运动. (称为W的时间逆转过程).
¾ 布朗运动{W(t),t≥0} 的轨道是不可微的
事实上，有
∆W t P ( lim > x) = 1 ∆t → 0 ∆ t
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
与布朗运动的相关的随机过程 设W= {Wt,t≥0}是标准布朗运动， 1. d-维标准布朗运动 如果W1,…,Wd,是d个相互独立的标准布朗运动， 则称(W1,…,Wd)是d-维标准布朗运动.
例1 验证布朗运动是正态过程 证明 设 W={Wt,t≥0}是参数为σ2的布朗运动，则由 0 ≤ t1 < t 2 < L < t n 定义，对任意的n≥1,及任意的

(4) 导数过程 {X (t),t T} 的 相关函数RX(s,t) 等于原过程 {X (t),t T} 的 相关函数 RX (s,t)
的二阶混合偏导数，即
2
2
RX (s,t) st RX (s,t) 优t选s RX (s,t), s,t T.
23
七.布朗运动的导数过程
定义 设{W (t),t 0}是参数为 2的Wiener过程. 如果存在实随机过程以 2 (s t) 为其相关函数，
优选
20
且此极限不依懒于对[a,b]的分法及 tk 的取法,则称 { f (t,u)X (t),t [a,b]}在[a,b]上均方可积.
该均方极限值Y(u)称为
{ f (t,u)X (t),t [a,b]}在[a,b]上的均方积分.
记为
b
a f (t,u) X (t)dt,
b
Y (u) a f (t,u)X (t)dt,
§2. 与布朗运动有关的随机过程
过程1：d维布朗运动
若 W 1(t),W 2 (t), ,W n (t) 是 d SBM，则称
W=(W 1(t), ,W d (t))
是 d 维标准布朗运动.
个相互独立的
优选
1
过程2：(, 2 ) 布朗运动
Bt, 2 =t+W (t), t 0
均值函数
m B
,
2
(t
0
2
均值函数
mBou (t)=E[e-tW( (t)）]=0, t 0
相关函数
RBou (s,t)=min{ (s), (t)}e-(s+t), s,t 0
优选
15
补充： 随机变量序列或随机过程 均方极限 均方连续 均方可导 均方可积