1、引言布朗运动的数学模型就是维纳过程。
布朗运动就是指悬浮粒子受到碰撞一直在做着不规则的运动。
我们现在用)(t W 来表示运动中一个微小粒子从时刻0=t 到时刻0>t 的位移的横坐标，并令0)0(=W 。
根据Einstein 的理论，我们可以知道微粒之所以做这种运动，是因为在每一瞬间，粒子都会受到其他粒子对它的冲撞，而每次冲撞时粒子所受到的瞬时冲力的大小和方向都不同，又粒子的冲撞是永不停息的，所以粒子一直在做着无规则的运动。
故粒子在时间段],(t s 上的位移，我们可把它看成是多个小位移的总和。
我们根据中心极限定理，假设位移)()(s W t W -服从正态分布，那么在不相重叠的时间段内，粒子碰撞时受到的冲力的方向和大小都可认为是互不影响的，这就说明位移)(t W 具有独立的增量。
此时微粒在某一个时段上位移的概率分布，我们便能认为其仅仅与这一时间段的区间长度有关，而与初始时刻没有关系，也就是说)(t W 具有平稳增量。
2.维纳过程2.1独立增量过程维纳过程是典型的随机过程，属于所谓的独立增量过程，在随机过程的理论和应用中起着很重要的作用。
现在我们就来介绍独立增量过程。
定义：}0),({≥t t X 是二阶矩过程， 那么我们就称t s s X t X <≤-0),()(为随机过程在区间],(t s 上的增量。
若对任意的n )(+∈N n 和任意的n t t t <<<≤Λ100，n 个增量)()(,),()(),()(11201----n n t X t X t X t X t X t X Λ是相互独立的，那么我们就称}0),({≥t t X 为独立增量过程。
我们可以证明出在0)0(=X 的条件下，独立增量过程的有限维分布函数族可由增量)0(),()(t s s X t X <≤-的分布所确定。
如果对R h ∈和)()(,0h s X h t X h t h s +-++<+≤与)()(s X t X -的分布是相同的，我们就称增量具有平稳性。
那么这个时候，增量)()(s X t X -的分布函数只与时间差)0(t s s t <≤-有关，而与t 和s 无关(令s h -=便可得出)。
值得注意的是，我们称独立增量过程是齐次的，此时的增量具有平稳性。
给定二阶矩过程{0),(≥t t W }，若满足(i) 具有独立增量；(ii) 对∀t>0≥s ,有增量0)),(,0(~)()(2>--σσ且s t N s W t W ；(iii) 0)0(=W ，则称此过程是维纳过程。
由（ii ）我们可得出维纳过程增量的分布只依赖于时间差，故维纳过程是齐次的独立增量过程，并且也服从正态过程。
事实上对任意)1(≥n n 个时刻n t t t <<<<...021（记00=t ），把)(k t W 写成)],()([)(11-=-=∑i ki i k t W t W t W ,,,2,1n k ⋅⋅⋅=我们由（i ）—（iii ）知，它们都是独立的正态随机变量的和，由n 维正态变量的性质可得出))(,),(),((21n t W t W t W ⋅⋅⋅是n 维正态变量，即}0),({≥t t W 是正态过程。
所以其分布依赖于它的期望函数和自协方差函数。
由（ii ），（iii ）可知，),0(~)(2t N t W σ,故维纳过程的期望与方差函数为0)]([=t W E ，t t D w 2)(σ=，上式中2σ叫做维纳过程的参数，我们通过做实验得出数据值可估计出其大小。
得自协方差函数为},min{),(),(2t s t s R t s C W W σ== 0,≥t s2.3维纳过程的特点（i ）它是一个Markov (马尔科夫)过程。
故未来推测所需的数据信息就是该过程的当前数据值；（ii ）维纳过程具有独立增量。
即该过程在任意一个时间区间上变化的概率分布，与其在其他的时间区间上变化的概率无关；（iii ）在任何有限时间上，维纳过程的变化服从正态分布，其方差随时间区间长度的增长而呈线性增加。
（1）基本性质对+∈∀R t , 一维维纳过程在t 时刻是一个随机变量，其概率密度函数是： t x w e t x f t 2/221)(-=π这是因为根据维纳过程的定义得出当0=s 时，能推出)(t W 的分布：),0(~0t N W W W t t -=它的数学期望是零：0)(=t W E 它的方差是t ：t W E W E W E W E W Var t t t t t ==-=-=)(0)()()()(2222在维纳过程的独立增量的定义中，令t t =2，t s t s <==12，01=s ，那么),0(~11s N W W W s t s -=和),0(~22s t N W W W W s t s t --=-都是相互独立的随机变量，并且s W E W W E W E W W t t s s t s =-⋅-=))](())([(),cov(故在两不同时刻的协方差和相关系数是与s t W W t s ,,0≤：∆∆∆),,min(),cov(t s W W t s = ),max(),min(),min(),cov(),(t s t s stt s W W W W corr t s w w t s t s ===σσ 3.维纳过程的应用3.1股票价格的行为模式➢ 我们经常应用的假设是股价服从扩散过程，且大部分情况下都是几何布朗运动。
➢ 在此条件下，任一时期的复合收益率是服从正态分布的。
➢ 由于正态分布满足加法的封闭性，所以不管股票的套利组合是什么样的，它都依然服从正态分布。
➢ 如果我们假设风险行为减到零，那么股票收益率的分布同样也是服从正态分布的。
(i)经典的假设理论我们先来介绍随机游走模型，其表达式为：t t t S S ε+=-1 （1）其中：t S ，1-t S 表示t 时刻和1-t 时刻的股票价格，),0(~2σεN t 表示均值为0，方差为2σ的独立正态分布。
股票价格模型我们一般情况下用维纳过程来表达，而随机游走模型所解释的股价波动走势，从本质上来说，其实就是一个漂移率为0的扩散过程。
如果我们令S 是股价关于时间的函数，那么得随机游走模型：)()(t dZ t dS σ= （2） 上式中)(t Z 表示标准维纳过程。
然而，事实上它仅解释了股价的波动率，仅仅是我们理想情形下的模型。
漂移率为0也就是说，在未来任何一个时刻，股价的均值等于其当前值。
如果我们设时间区间长度为1年，在前一年的股价条件不发生变化的情形下，那么该年度的股价就等于前一年度的股价均值，在此种情况下，持股人就很难做到持股时间大于1年，这显然与现实生活中的情况不相符。
况且我们有充分理由认为，由于上市公司在不断的经营扩大，所赚取的利润也在不断的增长，所以从长远来看，公司的股价应该呈现出逐渐增长的走势，故漂移率是不可能为零的。
那么我们通过一个一般化的维纳过程就能来解释股票的价格行为（当然该一般化的维纳过程的期望漂移率和方差率是定值），然而由于持股人想要来自股票的期望百分比收益不依赖于股票价格，因此假设期望漂移率为一个常数也是不合乎常理的。
现在我们假设期望漂移率为股票价格的比例，并且其为一个定值，也就是说股价的期望漂移率为S α，α恒等于一个自然数，在几何条件下，它的解释就是股票的期望收益率。
在此假设下，经过t ∆时间后，S 的增长均值为t S ∆α，即t S S E ∆=∆α)(，其中)(⋅E 表示期望算子。
当方差率为0时，则微分形式的模型：Sdt dS α=可得t e S S α0=，式中的0S 表示股票的最初价格，由此可看出，当方差率为0时，股价的利率为α，以连续复利的方式增长。
然而现实生活中，股价的方差率一般是不可能为零的，因此合乎常理的假设应该是股票的百分比收益率的方差不发生变化。
若我们令股价比例变化的方差率为2σ，经过t∆后，股价比例变化的方差为t ∆2σ，那么事实上股价真正变化的方差为t S ∆22σ，所以得到股价波动走势的模型：SdZ Sdt dS σα+= （3） 上式中Z 表示标准维纳过程。
我们用随机分析的理论来说，这就是ΛO IT 过程。
其中，S α称作漂移系数，S σ称作扩散系数。
方程)3(能够在一定程度上描述股票价格行为。
我们常把σ称为股价波动率，把α称为股价的预期收益率。
下面我们先来介绍一下随机分析理论中的ΛO IT 引理：设),(t S F 是关于S 两次连续可导，关于t 一次可导的函数，S 为满足随机微分方程)3(的扩散过程，故可得到随机变量函数的ΛO IT 微分形式（4） 如果我们定义S t S F ln ),(=，由21,,0SFF F SS S t -===则有 （5） 上式说明S ln 服从一般化的维纳过程，当变量表示股价时，我们可看出股价服从对数正态分布。
现在我们将式)5(写成增量形式，则有股票收益过程为t t t t Z S S R σσα+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-)21(ln 21 (6) 并且令221σαμ-=，t R 表示股票的t 期收益率，)1,0(~N Z t 为独立的维纳过程，在此条件下），（2~σμN R t 是独立的。
若0S 表示股票的初始价格，则有 t t Z t S S σμ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0ln （7） 那么这时候),0(~t N Z t ，于是有),(ln ~ln 20t t S N S t σμ+。
综上所述，股价的分布和收益率的分布是同步的，因此我们想到利用收益率的分布形式来描述股价的波动过程。
我们通过研究发现股市上高频数据的分布，发现它们要么是波动聚集的,要么是有偏的，要么是尖峰肥尾的。
正态分布模型由资本市场假设理论得到证券价格是遵循维纳扩散过程的，其收益率满足正态分布。
