高等传热学第2章

2-3 管槽内层流对流换热特征工程上存在大量的管槽内对流换热问题。

本节对管槽内层流强制对流换热的流动与换热特征进行分析。

一、流动特征当流体以截面均匀的流速0u 进入管道后，由于粘性，会在管壁上形成边界层。

边界层内相同r 处的轴向流速随δ的增加而降低，导致对管中心势流区的排挤作用，使势流区流速增加。

当边界层厚度δ达到管内半径时，势流区消失，边界层汇合于管轴线处，同时截面内速度分布不再变化。

u o将管入口截面至边界层汇合截面间的流动区域称为入口段，或称为未充分发展流、正在发展流。

该区域内，速度分布不断变化，(,)u u x r =，同时存在径向速度(,)v x r 。

边界层汇合截面以后的流动速度不再变化，()u u r =，而径向速度0v =，这段流动区域称为充发展段或充分发展流。

所以，管内流动存在特征不同的两个区域：入口段，充分发展段。

充分发展流动又分为：简单充分发展流、复杂充分发展流两种。

1). 简单充分发展流是指只存在轴向速度分量，而其它方向速度分量为零的充分发展流动。

对圆管： ()u u r =，0v w ==； 对矩形管道：(,)u u x y =，0v w ==。

简单充分发展流任意横截面上压力均匀，沿轴向线性变化，即dpconst dx=证明：对简单充分发展流，径向速度0v =，根据径向动量方程：222211()v v p v v v u v x r r r r x rνρ∂∂∂∂∂∂+=−+++∂∂∂∂∂∂ ⇒ 0p r ∂=∂，即任意横截面上压力均匀，压力仅沿轴向变化。

于是，轴向动量方程为：222211(u u dp u u uu v x r dx r r x rνρ∂∂∂∂∂+=−+++∂∂∂∂∂又发展流0ux∂=∂（速度分布不变，或由连续方程得出）⇒220ux∂=∂、()u u r =。

动量方程变为：221()dp u u dx r r rρν∂∂=+∂∂ 由于上式右端与与x 无关，所以必然有：dpdx=常数，而与x 无关，或说压力沿轴向线性分布。

5二. 带有内热源的一维稳态导热22,0V q d t x dxδλ≤≤=-1. 大平壁方程2122V q t x C x C λ=−++温度分布0,0,0x t x t δ====第一类齐次BC()2V q x t x δλ−=第一类BC120,,x t t x t t δ====211()2V t t t t x q x x δδλ−=+−+1012mx mxC e C eθ−=+hU m Aλ=肋高足够大，肋端过余温度很小，肋端热损失不计,0d x H dxθ==边界条件()()()()0m H x m H x mH mH ch m H x e e e ech mH θθ−−−−−⎡⎤+⎣⎦==+11肋端温度()H ch mH θθ=肋表面的散热量()00x d Q A hUqdx AhU th mH dx θλλθ=⎛⎞===⎜⎟⎝⎠∫H 0-()()0ch m H x ch mH θθ−⎡⎤⎣⎦=温度分布1212mx mxC e C eθ−=+hU m Aλ=边界条件20,,x d x H A h A dxθθθλθ===−=()[][]()[]220()()()()h m sh m ch m H x ch m H x h m sh mH H λθλθ−+⎡⎤⎣=+−⎦肋端温度温度分布()[]20()()H h m sh mH ch mH θθλ=+肋的热流量[][][]022()()1()()th m H Q Ah h m x h m t U h mH λθλλ−+=32Advanced Heat Transfer无限大介质中线热源和点热源的温度场•分析工程中的地下埋管的散热损失问题•把求解区域由半无限大介质扩展到无限大介质，设想在（0，y 0）处有一强度为q l 的线热源，在（0，-y 0）处有一强度为-q l 的线热源（热汇）110ln2l q r r θπλ=−220ln2l q r r θπλ=2121ln2l q r r θθθπλ=+=−•任意点P （x ，y ）22221020(),()r x y y r x y y =+−=++220220()(,)ln2()lx y y q x y x y y θπλ++=−+−00ln2l q rt t r πλ=−33Advanced Heat Transfer •分析地下埋管的散热损失问题•等温线方程220220()4exp ()l x y y C x y y q πλθ++==+−22200214()1(1)C C x y y y C C ++−=−−0,1,,+C r y x θ==→∞∞圆心在轴的处，对应的等温线是轴，即地表面•等温线00120,1(1)C Cx y y r y C C +===−−圆心,半径00,w w lt t y q θ=−确定和0041,1(1)w w w w C C H y d y C C +==−−14w w C H d C +=410w w H C C d−+=2221w H H C d d ⎛⎞=±−⎜⎟⎝⎠exp(4)w w l C q πλθ=取正值220220()(,)ln 2()l x y y q x y x y y θπλ++=−+−34•分析地下埋管的散热损失问题•散热量0022()2()222arcch ln 1w w l t t t t q H H H d d d πλπλ−−==⎛⎞⎛⎞⎜⎟+−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠1,arcch ln(2)ξξξ≈ 02(),4ln 21w l t t q H d dH πλ−≈。

2-1首先对铝导线进行分析求出铝导线的温度场，这是一个一维稳态有内热源的问题 在圆柱坐标系中建立其导热微分方程得10v d dt r q λ⎛⎫⎪⎝⎭+= (2.1)其中λ按常物性处理解导热微分方程得212ln 4v q t r c r c λ=-++ (2.2)把边界条件带入上式求解两个常数0r =，0tr∂=∂求得10c =，所以（2.2）式变为224v qt r c λ=-+(2.3)r R =，w t t =求得224v w q c t R λ=+(2.4)铝导线内温度场为()224v w q t t R r λ=+- (2.5)铝导线单位长度发热量： 222l v I Q q R R ρππ==，所以224v I q Rρπ=横截面积2A R π=，所以0.977R mm ===， 1.954D mm =1R R =为裸线直径；2R 为塑胶线的外径对于裸线：()12l w f Q h t t R π=-(2.6)12lw f Q t t h R π=+(2.7)把（2.7）式带入（2.5）式得()2211124l v f Q qt t R r h R πλ=++-(2.8)把lQ 、vq 带入得（2.8）式得()22221232411124f I I t t R r h R R ρρπλπ=++- (2.9)对于塑胶线：21221122ln w fl D D h R t t Q πλπ-=+ (2.10)222111ln 22w f l D t t Q h R D ππλ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2.11)把lQ 代入得222122111ln 22w f D I t t R h R D ρπππλ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2.12)把（2.12）式带入（2.5）式得 ()2222121221111ln 224v f q D I t t R r R h R D ρπππλλ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭即()2222212412211111ln 224f D I I t t R r R h R D R ρρπππλλπ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭ (2.13)设导线内部0r =时温度为0t ，根据题目要求导线内部最高温度与环境温度的温差不得超过 80℃，即080f t t -=℃时通过导线的电流取到最大值。

第2章边界层方程第一节Prandtl 边界层方程一.边界层简化的基本依据外：粘性和换热可忽略)(t δδ,l l t <<<<δδ或内：粘性和换热存在)(t δδ特征尺寸—l二.普朗特边界层方程常数性流体纵掠平板，层流的曲壁同样适用)。

δvlu ∞∞∞u lv v l u δδ~~，可见，0=∂∂+∂∂yv x u )()((x x R δ>>曲率半径yxuv∞∞T u ,wT ∞∞T u ,δl)(12222yu x u x p y u v x u u ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂νρδδ∞∞u u llu u ∞∞2l u ∞ν2δν∞u )(2lu ∞除以无因次化11Re12))(Re 1(δl因边界层那粘性项与惯性项均不能忽略，故项可忽略，且说明只有Re>>1时，上述简化才适用。

)(12222yv x v y p y v v x v u ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂νρ1~))(Re 1(2δllδ；可见2222xuy u ∂∂>>∂∂δδ1)(2∞u l l u lu /)(∞∞δ2/)(lu l ∞δν2/)(δδν∞u l ：除以lu 2∞)(Re 1lδ))(Re 1(δl lδ可见，各项均比u 方程对应项小得多可简化为于是u 方程压力梯度项可写为。

)(2222yTx T a y T v x T u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂,0=∂∂yp dxdpρ1-),(lδ乘了δθδwu l )(∞lu w θ∞2lawθ除以：lu w θ∞Pe/12)(/1δlPe 12δθwa 1)(∞-=T T w w θPr)Re (⋅====∞∞贝克列数—导热量对流热量w w p lk u c a l u Pe θθρ边界层方程：。

时或当可忽略可见，)1,1~)(1(222>>∂∂Pe l Pe x T a δ0=∂∂+∂∂yvx u )(12222yu x u x p y u v x u u ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂νρ)(2222yT x T a y T v x T u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂其中，压力的变化由主流速度的变化确定：,0=∴=∞dxdpdx du 对于平板，gf e d c b a y x yy xy xx =+++++φφφφφφ（主流柏努利方程）dxdu u dx dp ∞∞=ρ1（主流速度可按势流问题求解得到）二.普朗特边界层方程定义：对于二元二阶线性偏微分方程（a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 均为x ，y 的已知函数）当，称为双曲型的，（无粘超音速流问题）；当，称为抛物型的；当，称为椭圆型的。

第二章层流强制对流换热§2-1 层流对流换热边界层微分方程的物理数学性质 由于对流换热基本方程组的非线性与耦合性，求解异常困难，在19世纪，对粘性流动与换热进行求解几乎是不可能的。

自从1904年德国的著名力学家Prandtl提出边界层的理论后，借助于该理论对N-S 方程进行简化，在某些简单的情况下可进行理论求解，从而为现代流体力学的发展奠定了基础，同时也推动了对流换热理论的发展。

到目前为止，已获得了十几个层流对流换热问题的分析解。

下面介绍边界层理论的要点及边界层微分方程的数理性质。

一、边界层理论要点1.流动边界层绕流固体壁面的粘性流体流场可分为边界层区、主流区（势流区）两个特征不同的流动区域：(a). 壁面附近边界层：在垂直于壁面方向，速度变化剧烈，存在很大的速度梯度，粘性应力起重要作用。

速度分布，粘性(b). 离壁面较远的主流区：速度梯度很小，可以忽略粘性应力，视为理想流体的流动。

δ 。

(尺度)(c). 边界层厚度δ远比流过的距离L小得多，即L(d). 边界层内存在层流、湍流、过度流等不同流态。

（流态）2.热边界层(a). 壁面附近的热边界层：垂直于壁面方向，存在很大的温度梯度，沿壁面法向的导热起主要作用。

(b). 离壁面稍远的主流区：混合剧烈，温度梯度很小，可忽略导热。

δ 。

(c).热边界层厚度t L(d). tδ与δ的关系，起决于流体物性。

(r P数)(e). 热边界层的流动状态对换热起着决定性作用。

从物理本质上看，边界层是扩散效应(微观热运动)起主要或重要作用的区域；或者说是扩散效应的影响区域。

层流热边界层内：沿壁面法向的热流传递方式主要是导热。

湍流边界层内：粘性底层靠导热，湍流核心区的脉动对流占主要地位。

二、层流边界层对流换热的分析求解方法层流边界层对流换热的分析求解方法主要有两种：1). 建立边界层动量、能量积分方程— 近似解法。

2). 建立边界层微分方程— 相似解法。

边界层积分方程：是对包括整个边界层厚度的有限控制体应用守恒原理建立的，不能保证边界层内任意小的微元体满足守恒关系；同时，求解过程中需假定速度、温度分布函数，我们称其解为近似解。

§2-2 层流边界层对流换热相似解法及换热分析一、仿射相似以常物性、不可压牛顿流体绕流一般曲壁面的二维层流边界层为例，来说明仿射相似。

设来流速度为u∞，边界层内速度为(,)u x y，主流速度为U(x)，x是沿曲面的坐标。

一般来说，不同x处截面上的无量纲速度分布(,)()()u x yf yU x=随y的变化规律不同，如图(a)所示。

(a)若存在一个函数()h x ，当以()yh x η=为横坐标时，(,)()u x y U x 的分布对所有的x 截面都相同，即与x 无关，如图（b ）。

那么，这个边界层内的速度分布存在仿射相似性（相似性）。

()h x y η=称为相似变量，()h x 是不同截面速度分布的伸缩因子。

显然，若一个边界层内的速度分布存在相似性，那么其无量纲速度分布仅取决于相似变量η。

这样，以x 、y 为自变量的描述边界层内速度分布的偏微分方程，应可变换为一个关于η的常微分方程，使求解变得容易起来。

这即是相似解法的基本思想。

譬如，对绕流平壁的层流边界层，无量纲速度分布(,)f x y u ∞=。

对不同x 处截面，当y 从0变化到()x δ时，u 相应地从0变化到u ∞；各截面上，对应y 处的u u ∞不同，但对应位置()y x δ处的uu ∞相同。

这些()y x δ相同的点为相似点。

这里1()x δ即是速度分布的伸缩因子。

Blasius 正是基于这种分析得出了著名的Blasius 相似解。

二、相似解的存在性上面已介绍了仿射相似概念与相似解的基本思想。

那么，边界层流动是否一定存在相似解呢？若存在相似解，如何确定相似变量η呢？已有研究表明：（对一般性曲面的绕流边界层分析、推导证明） 1). 边界层流动并非一定存在相似解存在相似解的条件：主流区的速度分布呈幂函数规律或指数函数规律变化。

1()mU x c x u ∞= 或 2()nx U x c e u ∞= (2.2.1)实际上，主流区的速度分布()U x 的变化规律取决于所绕过壁面的几何形状。