第三章非周期信号的频谱

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§305 典型非周期信号的频谱

lim E
e j e j

j

E
lim

2
sin

2E
lim
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

sin
2E
F
2E
O

E 2E
时域无限宽，频带无限窄

lim

Sa

( )
X
四．符号函数
不满足绝对
e te j t dt
0

1
j

1
j

2
j2 2
F

lim
0
F1

lim
0

2
j2
2

2
j
X
频谱图
sgnt
2
j 2
2
j
e2
j
F

2

2

2

F 是偶函数
信号与系统
§3.5 典型非周期信号的频谱
X
主要内容
本节将讨论如下信号的频谱密度函数矩形脉冲单边指数信号直流信号符号函数
重点矩形脉冲的频谱密度函数难点不满足绝对可积条件信号的频谱
X
一．矩形脉冲信号
f t
E 2 0 2
F

2 2
Ee
j
t
dt

E
f
(t
)

第三节瞬变非周期信号与连续频谱

δ（t）。 δ函数也称为单位脉冲函数。
从函数值极限的角度看：
(t 0) (t ) 0(t 0)
从面积（通常也称其为δ函数的强度）的角度看：

(t )dt lim S (t )dt 1
0

（2）δ函数的性质
A、乘积特性
x(t ) (t ) x(0) (t )
C、δ函数为偶函数，即：
(t ) (t )
D、 δ函数与其它函数的卷积
x(t ) (t ) x(t )
x(t ) (t t 0 ) x(t t 0 )
（3）δ函数的频谱
将δ（t）进行傅立叶变换：

( ) (t )e

jt
z (t ) cos 0 t
因此被矩形窗函数截断的余弦函数可表示为：
x(t ) w(t ) z (t ) cos 0 t (T t T ) 0其它
其中：
W ( ) 2T sin c(T )
由于余弦函数不满足绝对可积条件，因此不能用傅立叶变换公式直接计算它的频谱密度函数，根据欧拉公式可知：
其中：
幅度频谱为：
X ( ) 1 a2 2
相位频谱为：
( ) arctg

a
|X(ω)|
0
ω
Φ(ω)

2
ω

2

例1-3
求被矩形窗函数截断的余弦函数的傅立叶变
换
解：根据图可将矩形窗函数和余弦函数分别表示
为：
1(T t T ) w(t ) 0其它
T称为窗宽
w（t）的频谱为：
W ( ) w(t )e jwt dt

§3-3 非周期信号的频谱分析

x(t)
E
T

2
2
T
t
x(t)
E
T

2
2
T
t
x(t)
E

2
2
t
TA k E
0 1
2

k1
TA k E
0 1
2

k1
TA k E
0
2

对应的傅里叶级数展开式
x(t)

Ak e jk1t
k

TAk e jk1t
我们将X(jΩ)表示非周期信号的频谱，即是傅里叶正变换

X ( j) x(t)e jt dt
式
x(t)
1

X ( j)e jt d
2
即是傅里叶反变换。上两式称作傅里叶变换对，常表示为
x(t) FT X ( j) ℱ x(t)
x(t) ℱ -1 X ( j)
k
1 T
1 2
TAk e jk1t
k

2 T
当T→∞的时候，
lim x(t)
T
1 2
TAk e
k
jk1t

2 T
lim
T
1 2
TAk e
k
jk1t
1

1

X ( j)e jt d
2
T
E
T

2
2
T
t
0 1
2

k1
x(t)
E
T

2
2

非周期信号的频谱

(2) 若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则f(t)的频谱函数F(jω)为ω的虚函数，且为ω的奇函数。
与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶变
换表示式改写成三角函数的形式，即
.
6
f(t)21
F(j)ejtd
21
F(j)ej[t()]d
2 1 F (j)co ts [()d ]
2
0
2
t
实偶
4
2
0
2
4
实偶
图 3.4-1 门函数及其频谱
一般而言，信号的频谱函数需要用幅度谱 F( j)和相位
谱 ( )两个图形才能将它完全表示出来。但如果频谱
函数是实函数或虚函数，那么只用一条曲线即可。
F(j) 为负代表相位为，
0
.
F(为j正) 代表相位为。
11
由图可见，第一个零值的角频率为 2 （频率 1 ）。
为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。
令
F(j)T l i m 1F /n TT l i m FnT
称 F(j)为频谱密.度函数。
2
如何求频谱密度函数？ F(j)T l i m 1F /n TT l i m FnT
由式
f(t) Fnejnt
n
，Fn
1 T
T
2 T
2
f(t)ej ntd t可得
可知
'(t)ejtd tdejt j
dt t 0
即 ℱ 'tj
同理可得 ℱ [(n)(t). ](j)n
23
例3.4-6 求单位直流信号的频谱
f(t)1 - t
显然，该信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换

非周期信号的频谱

jnω1t
1 T2 − jnω1t Fn = F (nω1 ) = ∫−T f (t )e dt T 2
i
3.4 非周期信号的频谱
当 T → ∞ 时，
周期信号离散谱
非周期信号连续谱
表示频谱就不合适了，再用 F ( nω1 ) 表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，所以我们在这里引入频谱密度函数。在这里引入频谱密度函数。频谱密度函数
jωt
f ( t ) ↔ F ( jω )
3.4 非周期信号的频谱三、典型信号的傅里叶变换
1.单位冲激信号的频谱 1.单位冲激信号的频谱
f (t ) = δ ( t )
F ( jω ) = ∫ δ ( t ) e− jωt dt = 1
−∞ ∞
即
δ (t ) ↔ 1
3.4 非周期信号的频谱
单位冲激信号的频谱图单位冲激信号的频谱图可见，的频谱是常数1 可见，冲激函数 δ(t) 的频谱是常数 1 。也就是说，中包含了所有的频率分量，是说， δ(t) 中包含了所有的频率分量，而各频率分量的频谱密度都相等。显然，分量的频谱密度都相等。显然，信号 δ(t) 实际上是无法实现的。是无法实现的。
Fn T jnω1t f (t ) = lim fT (t ) = lim ∑ e T →∞ n =−∞ T
当 T → ∞ 时， Fn T = F ( jω )
i
∞
i
nω1 → ω
n =−∞
1 1 1 = ω1 → dω T 2π 2π
T →∞
lim
∑ →∫
jω t
∞

非周期信号

第一章信号及其描述
因此： ① 离散谱就变成了连续谱。 ② 求和运算则可用积分运算代替。
∞
x (t ) =
∫
−∞
ω0 ( 2π
∫
∞
−∞
x ( t ) e − jn ω 0 t dt ) e
jn ω 0 t
因为 1/T=ω0/2π当 T→∞，ω0=△ω→dω，n ω0 →ω ∞ 1 ∞ − jω t jω t x (t ) = ∫ ( x ( t ) e dt ) e dω ∫ −∞ − ∞ 2π 令：
∫
∞
−∞ ∞
x ( t ) cos 2 π ftdt x ( t ) sin 2 π ftdt
∫
−∞
① 若：x(t) 为实的偶函数，则其富氏变换 x(f) 为：
R e x ( f ) = 2 ∫ x ( t ) cos 2π ftdt
0
∞
I m x( f ) = 0
故：x(f) 是 f 的偶函数又是实函数。即 Rex(f) = x(－f)
设复数 Z=a+bi.当 b≠0 时.z 就叫虚数.a=0,b≠0 时 z 叫纯虚数。
第一章信号及其描述
作用与定义：作用与定义：
∞ −∞
x( f ) =
∫
x ( t ) e − j 2 π ft dt = R e x ( f ) − jI m x ( f )
Re x( f ) = Im x( f ) =
1 x (ω ) = 2π
∫
∞
−∞
x ( t ) e − j ω t dt
jω t
FT
x (t ) =
∫
∞
−∞
x (ω ) e
dω
IFT

非周期信号的频谱——傅里叶变换

(3.2-2)
•
式中, |F(ω)|是振幅谱密度函数，简
称振幅谱； φ(ω)是相位谱密度函数，简
称相位谱。一般把式(3.2-1)与式(3.2-2)叫
做傅里叶变换对，其中式(3.2-1)为傅里
叶变换，式(3.2-2)为傅里叶反变换。傅
里叶变换对关系也常用下述符号表示
F( j) F[ f (t)]
信号与系统
非周期信号的频谱——傅里叶变换
• 1.1 从傅里叶级数到傅里叶变换
•
若将非周期信号看作是周期信号
T→∞的极限情况，非周期信号就可以表
示为
lim
T
fT (t)
f
(t)
• 以周期矩形脉冲为例，当T→∞时，周期信号就变成单脉冲信号的非周期信号。随着T的增大，离散谱线间隔ω0就变窄；当T→∞， ω0→0， |Fn|→0时，离散谱就变成了连续谱。虽然|Fn|→0，但其频谱分布规律依然存在，它们之间的相对值仍有差别。为了表明这种振幅、相位随频率变化的相对关系，我们引入频谱密度函数。
fT (t)
n
1 T
f
T
(
t
)e
jn0t
dt
e
jn
0t
fT (t)
n
0 2
fT (t)e jn0tdte jn0t
f (t)
1
2
fT (t)e j tdt e j td
f (t) 1 F ( j )e j td
2
(3.2-1)
F ( j ) F ( ) e j ( )
• 已知周期函数的傅里叶级
数为
fT (t)

非周期信号的频谱

F(j)称为 f(t) 的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱；
f(t) 称为F(j) 的傅里叶反变换或原函数。
也可简记为： F ( j )
f (t)
f (t)
1 F ( j)
或者： f (t ) F ( j )
频谱密度函数
F ( j ) 一般为复函数，可写为
F ( j) F ( j) ej () F ( ) e j ()
0,
2
A e j tdt
2
A e j t 2
j
2A sin 2
A Sa( )
2
2
t
2
t
2
8.矩形脉冲信号的频谱
f (t ) A
2π
F( j)
A
t 2 0 2
0 2π 4π
Ag (t)
A
Sa( )
2
傅里叶变换对 F ( j ) f ( t ) e j t d t
T
Fn
2Fn 1
Fn f1
T
2 T
f ( t ) e j n 1t d t
2
其中， Fn 或 Fn 表示单位频带上的频谱值，即频谱密度。
1
f1
对上式取极限 T ，各变量将相应改为 T
虽然记作
Fn 0
F ( j)
，但
T
F
n 趋于一有限函数
1
2
T
d
n 1 n
F ( j )
et t 0
f (t) e t t 0
为 0的实数
F ( j) 0 eate jtdt eate jtdt j
2
0
2 a2
F (j) 2 2 a2

信号与系统燕庆明(第二版)第3章_信号与系统的频域分析

2 2
jt
dt
sin( (

2 )
)

2
Sa (

2
)
2

信号带宽： f
1

2. 冲激函数( t )：
F ( ) (t )e jt dt 1
-
即：
(t ) 1
3. 直流信号：
1 2 ( )
4. 指数信号：
第3章
学习重点：
• • • • • •
信号与系统的频域分析
周期信号分解及其频谱的特点；非周期信号的频谱及频带宽度；傅氏变换的性质和应用；系统函数及不失真传输条件；取样定理及其应用；频分复用与时分复用。
傅里叶生平

1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出收敛条件拉格朗日反对发表 1822年首次发表在 “热的分析理论”一书中。
对称于坐标纵轴
4 T2 an f (t ) cos ntdt 0 T 0
bn 0
偶函数展开成傅立叶级数后，正弦项为零，直流分量和余弦项不为零。
（3）f(t)为奇谐函数
T f t f t 2
波形移动T/2后，
与原波形横轴对称。 f(t)的傅氏级数偶次谐波为零即a0 a2 a4 b2 b4 0
任意信号f(t)可分解为无穷多个幅度为无穷小的连续指数信号之和。任意信号f(t)可分解为实函数和虚函数之和。任意信号f(t)可分解为无穷多个幅度为无穷小的

连续余弦信号之和。
3.3.2 常用信号的频谱函数
1. 门函数：

§3.3 非周期信号的频谱---傅立叶变换

信号与系统
2. 周期信号的平均功率和功率谱 T
周期信号的平均功率为 P 1 2 f (t) 2 dt
T T
T2
T
根据傅立叶级数展开有 P
1 T
2 T
f 2 (t)dt
1 T
2 T
f
(t) Fne jnt0 dt
n
2
2
T
n
F n
1 T
2 T
f (t)e-jn0tdt
F nF n
根据前面的傅立叶系数公式知道：
an 是 n 的偶函数， bn 是 n 的奇函数。
An 是 n 的偶函数， n 是 n 的奇函数。
信号与系统
周期信号 f (t) ，周期为T
，角频率
0
2f
0
2
T
该信号可以展开为下式复指数形式的傅立叶级数。
f (t) Fne jnt0
n
T
其中
1
Fn T
2
f (t)e -jnt0 dt,
dt
2(w
w
)0
信号与系统
（6）常数函数（直流信号） f (t) = A
直流信号不满足绝对可积条件，可采用取极限的方法导出其傅立叶变换
。当矩形脉冲宽度 τ →∞ 时，矩形脉冲便趋于直流信号，因此直流信号的
傅立叶变换为矩形脉冲信号在 τ→∞ 时的傅立叶变换。
而矩形脉冲的傅立叶变换为
sin( )
F () A
变换的物理含义。对信号进行傅立叶变换和对信号进行频谱分
析具有同样含义，所谓求信号的频谱和求信号的傅立叶变换是
一回事。
信号与系统
非周期信号的频谱
F ( ) 一般为复函数，可以写为 F () F()e j() F () ~ 曲线称为非周期信号的幅度频谱

Signal_3_1_非周期信号的频谱

j ( )
Re( ) j Im( )
F ( ) ~ 幅频谱位相谱 f (t )
1 2 1 2

F ( ) e
j t
d d
( ) ~

F ( ) e
j ( t ( ))

F (n ) [ 2
]e
jn t
T1
~ lim f ( t ) lim
0
n

F (n ) 2
]e
jn t
lim
0
n

[
F ( ) 2
e
j t
]
f (t )
傅立叶逆变换
1 2

1、非周期信号的频谱分析
当周期信号的周期T1无限大时,就演变成了非周期信号的单脉冲信号
T1
频率也变成连续变量
1
2 T1 0
n 1
频谱演变的定性观察(见动画）
1
2 T1
F (n 1 )
-T/2
T/2
F (n 1 )
T/2
T/2
1

2
2

2、从周期信号FS推导非周期的FT

~ jn 1 t f ( t ). e .dt
傅立叶傅立叶变换变换
傅立叶的逆变换
T1
~ f (t )
1 0, 1 ,

n
n

Fn e
jn 1 t
n

[

3 非周期信号讲解

分析： ① 图中用斜线标明该函数所对应的是三角形。 ② 该函数的积分便是这个三角形的面积。
第一章信号及其描述
② 时域和频域的卷积
通过以上图解法可看出卷积的计算十分复杂，而利用卷积定理我们可以方便地用简单频域的乘积来代替时域的卷积，反之可用时域的乘积代替频域的卷积。
时域
频域卷积积分是一种数学方法，在信号与系统的理论研究中占有重要的地位。特别是关于信号的时间域与频率变换域分析，它是沟通时域－频域的一个桥梁。
sin ② 并定义它以 2π w 为周期并随 θ ↑ 幅值 w(f) 振荡衰减 ↓ (f ) T sin c( fT )为： sin c ③ sincθ 的函数值可通过专门数学表查得。
第一章信号及其描述
分析： ① 窗函数可作为时域中对其信号的截断。 ② 所得信号的频谱将是原信号频域函数与sinc函数的卷积即： ③ 频谱是连续的，频率无限延伸。特点： a）具有主瓣、旁瓣。 b）主瓣宽度为 2/T 与时域窗 T 成反比，即：当时域中 T↑

可改写为代入w(f)式
1 ( e jt e jt ) 2 1 sin( fT ) ( e jfT e jfT ) 2j sin t j
w( f ) T sin fT T sin c( fT ) (T为窗宽) fT
第一章信号及其描述
频谱图
特点 ① 该函数是偶函数，在nπ 为(n=±1,±2…)处其值为“0”且只有实部。幅值相位视其符号而定： A）当 sinc（πf T）为正值时相角为“ 0 ” B）当 sinc（πf T）为负值时相角为“π”
令：

x (t )e jt dt
FT

非周期信号的频谱

3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换
• 直流信号1可表示为： P110例3.4-6
f (t) 1 t
F( j)
1
e
jt
dt
（直接积分无法进行）
由傅立叶逆变换的定义式有： (t) 1
1
e
jt
d
令：t
2 () 1 1 e jt dt
2
冲激信号是偶函数： () () 1 1 e jt dt
F( j) F( j) e j() a() jb()
| F( j) | a2() b2()
() arctg b() a()
是ω的偶函数是ω的奇函数
F( j) F( j) () ()
a( j) a( j) b() b()
3.3.1 傅立叶变换
• 关于连续谱的说明具有离散频谱的信号，其能量集中在一些谐波分量中。
具有连续频谱的信号，其能量分布在所有的频率中，每一频率分量包含的能量则为无穷小量。
• 几个重要结论：
当 f (t) 是实函数时：
3.3.1 傅立叶变换
(1) 若 f(t)为t的偶函数，即 f(t) = f(-t)，
则 f(t)的频谱函数 F(jω) 为ω的实函数，且为ω的偶函数。
(2) 若f(t)为t的奇函数，即 f(-t) = -f(t)，则f(t)的频谱函数 F(jω) 为ω的虚函数，且为ω的奇函数。
2
f (t) Fne jn1t
T
n
Fn T
2 T
f (t)e jn1t dt
2
周期信号趋于非周期信号。
• 当 T 时：谱线无限密集，1 d
幅度 Fn 趋于无穷小， n1
令：F

信号分析基础(非周期信号频域分析)

1 jwt x x ( t) ( t) e dt ejwt dw 2

频谱函数（相当于原来的Cn）为：
x (t ) 1 X ( ) e j t d 2 x ( t ) e j t dt X ( )
非周期信号的频谱 5.傅立叶变换的主要性质
(1).奇偶虚实性
X( jf) x(t)ej2ftdt

x(t)cos 2 f tdt j x(t)sin 2 f tdt

R e X( jf) jI mX( jf)
a.若x(t)是实函数，则X(jƒ)是复函数； b.若x(t)为实偶函数，则ImX(jƒ)=0，而X(jƒ)是实偶函数，即 X(jƒ)= ReX(jƒ)； c.若x(t)为实奇函数，则ReX(jƒ)=0，而X(jƒ)是虚奇函数，即 X(jƒ)＝-j ImX(jƒ)； d.若x(t)为虚偶函数，则ImX(jƒ)=0，而X(jƒ)是虚偶函数； e.若x(t)为虚奇函数，则ReX(jƒ)=0，而X(jƒ)是实奇函数。
1 j n t 0 C x ( t ) e dt n T 2
频谱图： Cn
2 π 2 π
T 2 T 2
0
N为偶数
N为奇数
n
2 7π
-7ω 0
2 5π
-5ω 0
2 3π
2 3π
2 5π
2 7π
-3ω 0
-ω 0
0ω
0
3ω 0
5ω 0
7ω 0
ω
非周期信号的频谱
矩形脉冲函数的频谱
S (t)
单位面积＝ 1
lim S t) ( t) (

常见连续时间信号的频谱

2e-at ( sin t - a cos t) 2a
a2 2
0 a2 2
➢ 幅度频谱为 ➢ 相位频谱为
F( j) 2a a2 2
() 0
2024/1/6
4
一、常见非周期信号的频谱
3. 单位冲激信号d(t)
F[d
(t)]
-
f (t)e-jt dt
-
d
(t)e
-
jt
dt
1
d (t)
F ( j)
cos0t
1 (e j0t 2
e-j0t ) F π[d (
- 0 ) d (
0 )]
cos 0t
1
F( j)
(π)
(π)
t -0
0
0
余弦信号及其频谱函数
2024/1/6
12
二、常见周期信号的频谱密度
2. 正弦型信号
sin 0t
1 (e j0t 2j
- e-j0t ) F - jπ[d (
● 微分性质 [ f (n) (t)] ( j)n [ f (t)]
2024/1/6
19
1. 线性特性
若f1 (t) F F1 ( j)； f 2 (t) F F2 ( j)，则af1 (t) bf 2 (t) F aF1 ( j) bF2 ( j) 其中a和b均为常数。
2024/1/6f来自(t)e j0t]-1 2j
F[
f
(t)e - j0t
]
-
j 2
F[ j(
-
0
)]
j 2
F[ j(
0
)]
2024/1/6
30 13
例2 试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cos0 t相

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R() ftcotsdt X() ftsi ntdt
F(j) R2()X2()
()arctaXn() R()
是的偶函数。
是的奇函数。
结论：在f(t)
(1) 若f(t)为t的偶函数，即f(t)=f(-t)，则f(t)的频谱函数F(jω)为ω的实函数，且为ω的偶函数。
(2) 若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则f(t)的频谱函数F(jω)为ω的虚函数，且为ω的奇函数。
f(t)21F(j)co s[t()]d 10F(j)co s[t()]d
上式表明，非周期信号可看作是由不同频率的余弦“分量”所组成，它包含了频率从零到无限大的一切频率 “分
量”。由式可见，Fj d2Fjdf 相当于各
“分所量以”信的号振的幅频，谱它不是能无再穷用小幅量度。表示，而改用密度函数来表示。类似于物质的密度是单位体积的质量，函数
图 3.4-3 单边指数函数 e t t 0
例 3.4-3 求下图所示双边指数信号的频谱函数。
f1 (t)
1
et
e-t
0
t
解：上图所示的信号可表示为：
或者写为
f(t)et , 0 1
et , f1(t)et ,
t 0 t 0
将 f (t) 代入到式 1
F(j)f(t)ejtdt ，
可得其频谱函数为：
Fj 可看作是单位频率的振幅，称 Fj为频谱密度
函数。
二、典型信号的傅里叶变换例3.4-1 下图所示为门函数（或称矩形脉冲），用符号
g (t ) 表示，其宽度为，幅度为 1。求其频谱函数。
g t
1
2
0
2
t
解：如图所示的门函数可表示为其频谱函数为
g
t
1 ,
0
,
t
2
t
2
F(j ) f(t)ejtdt
e e dt t jt 0
1
j
0
这是一复函数,将它分为模和相角两部分：
F(j ) 1 j
1 2
ejarctan) (
2
F(j)ej()
幅度谱和相位谱分别为：
F(j) 1 2 2
频谱图如下图所示：
Fj
1/
()arctan)(
() / 2
0
(a) 振幅频谱
0
- / 2
(b) 相位频谱
F 1 (j
)0e te jtd t e te jtdt
0
11
j j
2 2 2
f1 (t)
1
et
e-t
0
t
实偶
其频谱图如下所示：
F1(j) 2/
0
F1(j)222
实偶
例3.4-4 求下图所示信号的频谱函数。
f2 (t)
1
e-t
0
t
-et
-1
解: 上图所示的信号可写为：
et, f2(t)et,
T
FnT
2 T
f(t)ejntdt
2
.
f(t)
n
FnTejnt
1 T
当周期 T 趋近于无限大时，趋近于无穷小，取其
为
d
，而
1
T 2
将趋近于
0 时，它是离散值，当
d
2
，n 是变量，当
趋近于无限小时，它
就成为连续变量，取为，求和符号改为积分。
T
于是当 T时，式
成为
FnT
2 T
f(t)ejntdt
Fj
(时域越窄,频域越宽)
4
2
0
2
4
例3.4-2 求下图所示的单边指数函数的频谱函数.
ett
1
0
t
图 3.4-2 单边指数函数 e t t 0
解: 将单边指数函数的表示式 et t 代入到式
F (j ) f(t)ejtdt中得：
F ( j )
f (t )e jt dt
复习
• 1、周期信号的频谱 • 2、周期信号频谱的特点 • 3、周期信号的功率谱
3.4 非周期信号的频谱
一、傅里叶变换
前已指出，当周期趋于无限大时，相邻谱线的间隔趋近于无穷小，从而信号的频谱密集成为连续频谱。同时，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍保持一定的比例关系。
为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。
令
F(j)T l i m 1F /n TT l i m FnT
称 F( j)为频谱密度函数。
如何求频谱密度函数？ F(j)T l i m 1F /n TT l i m FnT
由式 f(t) Fnejnt
n
，Fn
1 T
T
2 T
2
f(t)ejntdt可得
2
f(t)
n
FnTejnt
1 T
F (j ) T l i F m n T f(t)e j td t(1 )
def 1 f(t)
F (j
)ejtd(2)
2
（1）式称为函数 f (t) 的傅里叶变换。（2）式称为函数 F( j) 的傅里叶逆变换。
F(j)称为 f (t) 的频谱密度函数或频谱函数.
221ejtdtej2 j ej 2
2jsin
2
j
sin
2
2
S(a)2gຫໍສະໝຸດ tSa 2
g t
1
F jSa 2
2
0
2
t
实偶
4
2
0
2
4
实偶
图 3.4-1 门函数及其频谱
一般而言，信号的频谱函数需要用幅度谱 F( j) 和相位
谱()两个图形才能将它完全表示出来。但如果频谱
函数是实函数或虚函数，那么只用一条曲线即可。
f (t) 称为 F(j) 的原函数。
简记为 f(t) F(j)
ℱftF j
与周期信号的傅里叶级数相类似，在f(t)是实函
数时， F(ω)、φ(ω)与R(ω)、 X(ω)相互之间存在下列
关系：
F (j) F (j)e j( ) R () j( X )
F(j) f(t)ejtdt
f(t)costdtj ftsin tdt
F( j) 为负代表相位为， 0
F(为j正) 代表相位为。
由图可见，第一个零值的角频率为 2 （频率 1 ）。
当脉冲宽度减小时，第一个零值频率也相应增高。对于矩形脉冲，常取从零频率到第一个零值频率 ( 1 )
之间的频段为信号的频带宽度。
这样，门函数的带宽 f 1 ，脉冲宽度越窄，
其占有的频带越宽。
与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶变换表示式改写成三角函数的形式，即
f(t)21
F(j)ejtd
21
F(j)ej[t()]d
2 1 F (j)co ts [()d ]
j2 1 F (j)s i n t [( )d ]
0
ft2 1 F (j)co t s( [)d ]
t0
（其中 0)
t0
F(j 2
) f(t)ejtdt
0 etejtdt e e dt t jt
0
1 1
j j
2
j

第三章非周期信号的频谱

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§305 典型非周期信号的频谱

第三节瞬变非周期信号与连续频谱

§3-3 非周期信号的频谱分析

非周期信号的频谱

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非周期信号

非周期信号的频谱——傅里叶变换

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3 非周期信号讲解

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信号分析基础(非周期信号频域分析)

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