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非周期信号与频谱-傅立叶变换

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2.5信号的频域分析(非周期信号)2.6傅立叶变换的性质

2.5信号的频域分析(非周期信号)2.6傅立叶变换的性质


能 量 谱
由此最后得
E = ∫ x2 (t )dt =
−∞ ∞
1 ∞ 2 X(ω) dω 2π ∫−∞
(16)
式（15）亦称巴塞伐尔方程或 能量等式。它表示，一个非周 期信号x(t)在时域中的能量可由 它在频域中连续频谱的能量来 表示。 式（15）亦可写成
E= 1 ∞ 2 X(ω) dω 2π ∫−∞ 1 ∞ 2 = ∫ X(ω) dω = ∫ S(ω)dω
证明： 由欧拉公式
X (ω) = ∫ x(t)e
−∞
∞ −∞
∞
− jωt
dt
∞ −∞
X (ω) = ∫ x(t) cosωtdt − j∫ x(t) sin ωtdt
= Re X (ω) + j Im X (ω)
若x(t)为实函数
Re X (ω) = Re X (−ω) Im X (ω) = − Im X (−ω)
x(t) = Arect
(t − t0 )
T
图2.30 具有时移t0的矩形脉冲
X( f ) = AT sin c(πfT) sin c(πfT) > 0 − 2πt0 f , ϕ( f ) = − 2πt0 f ±π , sin c(πfT) < 0
测试技术
2.6傅里叶变换的性质 2.6傅里叶变换的性质
∫
∞
−∞
x(t) dt < ∞
但上述条件并非必要条件 必要条件。因为当引入广义函数概 必要条件 念之后，许多原本不满足绝对可积条件的函数也能进行傅 里叶变换。 若将上述变换公式中的角频率ω用频率f来替代，则由 于ω=2πf，式（5）和（6）分别变为
X( f ) = ∫ x(t)e− j 2πft dt
非周期信号的频谱分析第三节连续时间Fourier变换的课件.ppt

非周期信号的频谱分析第三节连续时间Fourier变换的课件.ppt


F( j)
πF (0)
()
若信号不存在直流分量即F(0)=0
则t
f
( )d
F
1
j
F( j)
18
例3 试利用积分特性求图示信号f(t)的频谱函数。
f(t) 1
y(t)=p(t0.5) 1
t
0
1
t
0
1
解： f (t) = t p(t 0.5)dt = t y(t)dt
由于 p(t 0.5) F Y ( j) = Sa (0.5)e j0.5
F F1 ( j)
1 Sa (0.5)e j0.5 j
利用修正的微分特性，可得
F( j) = π( f () f ()) () F1 ( j) j
= 3π () 1 Sa (0.5)ej0.5 j
与例4结果 一致！ 24
23
10. 频域微分积分特性
若f (t) F( j)
则( jt)n f (t) F (n) ( j)
由上式利用时域微分特性，得
2
F[ f '(t)] = (j)F(j) = A 2jsin( )
2
因此有
F( j) = 2A sin( ) = ASa( )
2
2
21
20
例6 试利用微分特性求图示信号f(t)的频谱函数。
f(t) 2 1
f '(t) 1
t
0
1
t
0
1
解： f '(t) = p(t 0.5) F Sa(0.5)e j0.5
f1(t) d n f (t
f )
2 (t) F F ( j)
1
2π n
[F1( j) F( j)
第七3章 非周期信号的傅里叶变换

第七3章 非周期信号的傅里叶变换


则
G( ) g (t )e jt dt 2 Ee jt dt
2

13
7-5典型信号的傅立叶变换
E sin 2 E Sa ( ) 2 2

表明单个门函数的傅立叶变换是一个抽样函数。 n ( n 1, 2, ) Sa ( )0 。 当 时， 2 2 2 n 1 G ( ) 取 ， 的第一个零点的频率为 c ， 定义 0 ~ c （或者 0 ~ fc ）之间的频率范围称为信号宽度。
这是傅立叶变换存在的充分条件，而不是必要条件， 因为有些不满足绝对可积条件的信号，但当引入了冲激函 数 ( ) 之后，就可以大大地扩展傅立叶变换的范围。
12
7-5典型信号的傅立叶变换
1 单个门函数 g (t )
g(t)
E


2
0

2
t
单个门函数
其幅度为E，宽度为

， F[ g (t )] G( )，
• 原来的离散量 n1 演变成连续量 。
• 离散求和 运算 变成连续积分
运算
，即
（ 1）
（2 ）
F ( )
1 f (t ) 2


f (t )e jt dt
F ( )e jt d



式（1）（2）是一对傅立叶变换对，式（2）称为非周 期信号 f (t ) 的傅立叶正变换或称为频谱密度函数.
2 ，用指数形式傅立 T 为周期，脉宽为 ，基频为 1 T 叶级数展开可得
1 T Fn 2T fT (t )e jn1t dt T 2
1 2 E jn1t Ee dt T 2 T
3.5-7 典型非周期信号的傅里叶变换

3.5-7 典型非周期信号的傅里叶变换

−1
X ( jω ) 称 为 x ( t )的 频 谱
ω +a
2
2
;
X ( jω ) = − tan ( ) a
2a ω 2 + a2
= EτSa(
ω
u (t ) ← X ( jω ) = →
( t ≤ τ2 ) ( t > τ2 )
← F( jω) →
ωτ
2
)=
sin(
ωτ
2
)
ωτ
2
补充:
1, sin Bt x(t ) = ← X ( jω ) → πt 0, | ω |< B | ω |> B
F( jω)
δ (t )
t
1
jω 单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说， 单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率 范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱” 范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱”或 白色频谱” “白色频谱”。 矩形方波演变成冲激函数.exe 单位冲激函数可矩形脉冲取极限 单位冲激函数.exe 其傅立叶变换也可类似推得. 得到 其傅立叶变换也可类似推得
∞
− jωt
dω = ∫−∞ F ( x)e
∞
− jxt
dx
2πf (−ω) = ∫−∞ F( x)e− jxω dx
∞ ∞ − jωt
x ⇒t
= ∫−∞ F(t )e dt ↔ F(t )
若f (t)为偶函数，则f (−ω) = f (ω)
所以有： 所以有：若
f (t ) ↔ F(ω)
则 F(t ) ↔2π f (ω)
为偶函数， 若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称。 为偶函数 则时域和频域完全对称。 直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子。 直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子。
非周期信号的频谱

非周期信号的频谱


(2) 若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则f(t)的频 谱函数F(jω)为ω的虚函数，且为ω的奇函数。
与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶变
换表示式改写成三角函数的形式，即
.
6
f(t)21
F(j)ejtd
21
F(j)ej[t()]d
2 1 F (j)co ts [()d ]
2
0
2
t
实偶
4
2
0
2
4
实偶
图 3.4-1 门函数及其频谱
一般而言，信号的频谱函数需要用幅度谱 F( j)和相位
谱 ( )两个图形才能将它完全表示出来。但如果频谱
函数是实函数或虚函数，那么只用一条曲线即可。
F(j) 为负代表相位为 ，
0
.
F(为j正) 代表相位为 。
11
由图可见，第一个零值的角频率为 2 （频率 1 ）。
为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的 概念。
令
F(j)T l i m 1F /n TT l i m FnT
称 F(j)为频谱密.度函数。
2
如何求频谱密度函数？ F(j)T l i m 1F /n TT l i m FnT
由式
f(t) Fnejnt
n
，Fn
1 T
T
2 T
2
f(t)ej ntd t可得
可知
'(t)ejtd tdejt j
dt t 0
即 ℱ 'tj
同理可得 ℱ [(n)(t). ](j)n
23
例3.4-6 求单位直流信号的频谱
f(t)1 - t
显然，该信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换
非周期信号的频谱

非周期信号的频谱


jnω1t
1 T2 − jnω1t Fn = F (nω1 ) = ∫−T f (t )e dt T 2
i
3.4 非周期信号的频谱
当 T → ∞ 时，
周期信号 离散谱
非周期信号 连续谱
表示频谱就不合适了， 再用 F ( nω1 ) 表示频谱就不合适了，虽然各频 谱幅度无限小，但相对大小仍有区别， 谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，所以我们 在这里引入频谱密度函数。 在这里引入频谱密度函数。 频谱密度函数
jωt
f ( t ) ↔ F ( jω )
3.4 非周期信号的频谱 三、典型信号的傅里叶变换
1.单位冲激信号的频谱 1.单位冲激信号的频谱
f (t ) = δ ( t )
F ( jω ) = ∫ δ ( t ) e− jωt dt = 1
−∞ ∞
即
δ (t ) ↔ 1
3.4 非周期信号的频谱
单位冲激信号的频谱图 单位冲激信号的频谱图 可见， 的频谱是常数1 可见 ， 冲激函数 δ(t) 的频谱是常数 1 。 也就 是说， 中包含了所有的频率分量， 是说 ， δ(t) 中包含了所有的频率分量 ， 而各频率 分量的频谱密度都相等。 显然， 分量的频谱密度都相等 。 显然 ， 信号 δ(t) 实际上 是无法实现的。 是无法实现的。
Fn T jnω1t f (t ) = lim fT (t ) = lim ∑ e T →∞ n =−∞ T
当 T → ∞ 时， Fn T = F ( jω )
i
∞
i
nω1 → ω
n =−∞
1 1 1 = ω1 → dω T 2π 2π
T →∞
lim
∑ →∫
jω t
∞
非周期信号的傅里叶变换

非周期信号的傅里叶变换

0
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
2.一般周期信号的傅立叶变换
x( t )
k
C
jk 0 t

k
e
jk 0 t
e
F [ x( t )]

j0t

2( 0 )
k
k
C
jk 0 t
F [e
] 2

k
c ( k
k

0
)
k
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
常数
试求 X ( w ) ( w ) 的傅立叶反变换
1 x( t ) 2 1 ( w )e dw 2
jwt
1
2
(w)
1 2 ( w ) A 2A ( w )
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
4.8 傅立叶级数与傅立叶变换的关系



x(t ) dt
1 2




X ( w )e jwt1 dw x( t1 )
jwt 2
若x(t)在t2点不连续,则: 1
2
X ( w )e
1 dw [ x( t 2 ) x( t 2 )] 2
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
三、常用信号的傅立叶变换 单边指数信号 信号表达式
X ( w )w0 lim C k lim T0 T0 2
X ( w )w0 jkw t 代入(1)式,得: x( t ) lim e T 2 k ~ x ( t ) x( t ) T0 时 0 d , k 0
0 0

1 x( t ) 2
非周期信号的频谱——傅里叶变换

非周期信号的频谱——傅里叶变换


(3.2-2)
•
式中, |F(ω)|是振幅谱密度函数， 简
称振幅谱； φ(ω)是相位谱密度函数， 简
称相位谱。 一般把式(3.2-1)与式(3.2-2)叫
做傅里叶变换对， 其中式(3.2-1)为傅里
叶变换， 式(3.2-2)为傅里叶反变换。 傅
里叶变换对关系也常用下述符号表示
F( j) F[ f (t)]
信号与系统
非周期信号的频谱——傅里叶变换
• 1.1 从傅里叶级数到傅里叶变换
•
若将非周期信号看作是周期信号
T→∞的极限情况， 非周期信号就可以表
示为
lim
T
fT (t)
f
(t)
• 以周期矩形脉冲为例， 当T→∞时， 周期信号就变成单脉冲信号的非周期信 号。 随着T的增大， 离散谱线间隔ω0就 变窄； 当T→∞， ω0→0， |Fn|→0时， 离 散谱就变成了连续谱。 虽然|Fn|→0， 但 其频谱分布规律依然存在， 它们之间的 相对值仍有差别。 为了表明这种振幅、 相位随频率变化的相对关系， 我们引入 频谱密度函数。
fT (t)
n
1 T
f
T
(
t
)e
jn0t
dt
e
jn
0t
fT (t)
n
0 2
fT (t)e jn0tdte jn0t
f (t)
1
2
fT (t)e j tdt e j td
f (t) 1 F ( j )e j td
2
(3.2-1)
F ( j ) F ( ) e j ( )
• 已知周期函数的傅里叶级
数为
fT (t)
非周期信号的频谱

非周期信号的频谱


F(j)称为 f(t) 的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱；
f(t) 称为F(j) 的傅里叶反变换或原函数。
也可简记为： F ( j )
f (t)
f (t)
1 F ( j)
或者： f (t ) F ( j )
频谱密度函数
F ( j ) 一般为复函数，可写为
F ( j) F ( j) ej () F ( ) e j ()
0,
2
A e j tdt
2
A e j t 2
j
2A sin 2
A Sa( )
2
2
t
2
t
2
8.矩形脉冲信号的频谱
f (t ) A
2π
F( j)
A
t 2 0 2
0 2π 4π
Ag (t)
A
Sa( )
2
傅里叶变换对 F ( j ) f ( t ) e j t d t
T
Fn
2Fn 1
Fn f1
T
2 T
f ( t ) e j n 1t d t
2
其中， Fn 或 Fn 表示单位频带上的频谱值，即频谱密度。
1
f1
对上式取极限 T ，各变量将相应改为 T
虽然 记作
Fn 0
F ( j)
，但
T
F
n 趋于一有限函数
1
2
T
d
n 1 n
F ( j )
et t 0
f (t) e t t 0
为 0的实数
F ( j) 0 eate jtdt eate jtdt j
2
0
2 a2
F (j) 2 2 a2
非周期信号的频谱分析

非周期信号的频谱分析


X
4．傅里叶变换对
F(
j )
f
(t)ej t
dt
F
f
(t)
正变换
f
(t)
1
2
F
j
e j
t
d
F
1 F
j
反变换
简写
f t F j
记做：
F f (t) F( j) F 1 F( j) f (t)
二、傅里叶反变换的物理意义——信号分解
f (t) 1 F j e j t d F j d e j t
π
2
O
π2
O π 2
注意：只有α＞0时傅里叶变换才存在， α＜0时f(t)不
满足绝对可积条件
8．升余弦脉冲信号（自学）
f
t
E 2
1
cos
π
t
0 t
f t
E
E
2
F j f t ejt d t
O
2
E 2
1
cos π t
e jt
dt
t
2
E
ejt d t E
2
(t)
Sa 2
(
w 2
)
1 f2τ△ (t)
注意对比两 者不同
F j
－τ 0 τ
t
2π O 2π 4π
X
第
五.非周期信号频谱的特点
34 页
1.连续性
特例：直流和阶跃信号的频谱含冲激。
2.收敛性
第 13 页
4）与周期信号傅立叶级数展开的收敛条件比较
f (t) d t （有限值或收敛）
T
傅里叶变换存在的条件与傅立叶级数展开的收敛条 件一样。 信号绝对可积； 任何有限区间里，只有有限个最大值和最小值； 任何有限区间里，有有限个不连续点，且不连续点有值。
§3-(3-4 )非周期信号的频谱分析 典型非周期信号的傅里叶变换

§3-(3-4 )非周期信号的频谱分析 典型非周期信号的傅里叶变换

E


2
2
t
2 2 3

由以上矩形波的频谱图可见，信号的能量主要集中在 主瓣所包含的频率范围之内：0~2π/τ，所以习惯上称此频 段范围是矩形波的频带宽度BΩ。
B 2
13
x (t )
E
X ( j )
E

2
2
t

2 2 3

以上频谱图，若分别画 振幅频谱图和相位频谱图如 下：
dt 2()
17
x (t )
七、符号函数信号
x ( t ) sgn( t )
1
0
t
1
显然，符号函数信号不满足绝对可积的条件，不能由 积分直接求得其傅里叶变换。但可以由奇对称双边指数信 号的傅里叶变换，取α→0求得。
X ( j )
x ( t ) sgn( t ) lim [ e u ( t ) e
2

Ee

2
j t
dt E
2
1 j
e
j t
|
2
2
E
e
e
sin( 2E
)
j
E Sa (
2
)
12
所以
E[u (t
) u (t )] ESa ( ) 2 2 2
FT



x (t )
E
X ( j )

1 j

1 j

2
2 2
0


7
2、奇对称
x (t ) e u ( t ) e

非周期信号的傅里叶变换


0
a j a j a2 2
ℱ[sgn(t)]
2 j 2
2
j
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统—signals and systems
4．阶跃函数
u(t) 1 1 sgn(t) 22
ℱ[u(t)] 1 2 1 2 1
2
2 j
j
F()
0
• u(t)含有直流分量，频谱中 含有冲激函数 • u(t)不是纯直流信号，频谱 中还出现其它频率分量
✓奇异信号的傅立叶变换 冲激信号、阶跃信号……
作业: 3-16(b)(c)，3-19
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
E
2 [cos(
)t cos(
)t]dt
0
0
sin( ) sin( )
E
2 E
2
cos
E[
2
cos
2
2 cos
]
E
(
)2
2
2
2E
cos
1
2
(
)
2
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信号与系统—signals and systems
[例2]：求下列Bf
频谱第一个零点对应的频率
1
te jt
2
(
1
)2 e jt
2
2
e jt
j
0 j
0 j
1 j
1 j
Sa
2
(
)e
j
2
2
ii) B 2 , Bf 1
平移不会改变信号的频带宽度
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信号与系统—signals and systems

§3.3 非周期信号的频谱---傅立叶变换


信号与系统
2. 周期信号的平均功率和功率谱 T
周期信号的平均功率为 P 1 2 f (t) 2 dt
T T
T2
T
根据傅立叶级数展开有 P
1 T
2 T
f 2 (t)dt
1 T
2 T
f
(t) Fne jnt0 dt
n
2
2
T
n
F n
1 T
2 T
f (t)e-jn0tdt
F nF n
根据前面的傅立叶系数公式知道：
an 是 n 的偶函数， bn 是 n 的奇函数。
An 是 n 的偶函数， n 是 n 的奇函数。
信号与系统
周期信号 f (t) ，周期为T
，角频率
0
2f
0
2
T
该信号可以展开为下式复指数形式的傅立叶级数。
f (t) Fne jnt0
n
T
其中
1
Fn T
2
f (t)e -jnt0 dt,
dt
2(w
w
)0
信号与系统
（6）常数函数（直流信号） f (t) = A
直流信号不满足绝对可积条件，可采用取极限的方法导出其傅立叶变换
。当矩形脉冲宽度 τ →∞ 时，矩形脉冲便趋于直流信号，因此直流信号的
傅立叶变换为矩形脉冲信号在 τ→∞ 时的傅立叶变换。
而矩形脉冲的傅立叶变换为
sin( )
F () A
变换的物理含义。对信号进行傅立叶变换和对信号进行频谱分
析具有同样含义，所谓求信号的频谱和求信号的傅立叶变换是
一回事。
信号与系统
非周期信号的频谱
F ( ) 一般为复函数，可以写为 F () F()e j() F () ~ 曲线称为非周期信号的幅度频谱

3.5 典型非周期信号的傅里叶变换



2
或B f
1


四、钟形脉冲信号

t
2
f (t) Ee
其傅里叶变换为：
F ()
e E
,
2
2

F
()

() 0
（正实函数）
e E

2
2
e f (t) E

t
2
E
e e j 2
j 2

.
2 2 j

E
sin
2
2
E Sa
2
幅度频谱： F E Sa 2
相位频谱：


0

4n
22n

22n 1

1 22n

2
j
符号函数的频谱图
sgnt
2
j2
2
j
e2
j
F





2 2


2


F 是偶函数
tg 1

2

0

/ 2, / 2,
0 0
F ( )
2
OFra bibliotek 2
O

2
是奇函数
2 2
0,

,
F E

F 0
相位频谱： tg1


0,
0
,


2

信号分析基础(非周期信号频域分析)

1 jwt x x ( t) ( t) e dt ejwt dw 2

频谱函数（相当于原来的Cn）为：
x (t ) 1 X ( ) e j t d 2 x ( t ) e j t dt X ( )
非周期信号的频谱 5.傅立叶变换的主要性质
(1).奇偶虚实性
X( jf) x(t)ej2ftdt

x(t)cos 2 f tdt j x(t)sin 2 f tdt



R e X( jf) jI mX( jf)
a.若x(t)是实函数，则X(jƒ)是复函数； b.若x(t)为实偶函数，则ImX(jƒ)=0，而X(jƒ)是实偶函数，即 X(jƒ)= ReX(jƒ)； c.若x(t)为实奇函数，则ReX(jƒ)=0，而X(jƒ)是虚奇函数，即 X(jƒ)＝-j ImX(jƒ)； d.若x(t)为虚偶函数，则ImX(jƒ)=0，而X(jƒ)是虚偶函数； e.若x(t)为虚奇函数，则ReX(jƒ)=0，而X(jƒ)是实奇函数。
1 j n t 0 C x ( t ) e dt n T 2
频谱图： Cn
2 π 2 π
T 2 T 2
0
N为偶数
N为奇数
n
2 7π
-7ω 0
2 5π
-5ω 0
2 3π
2 3π
2 5π
2 7π
-3ω 0
-ω 0
0ω
0
3ω 0
5ω 0
7ω 0
ω
非周期信号的频谱
矩形脉冲函数的频谱
S (t)
单 位 面 积 ＝ 1
lim S t) ( t) (

4.5非周期信号的连续时间傅里叶变换




R( ) R( ) X ( ) X ( )
是ω的偶函数 是ω的奇函数
F ( j) F ( j) e j ( )
| F ( j) |= R2 () + X 2 ()
R( ) = F ( j ) cos ( ) X ( ) = F ( j ) sin ( )
f (t) 为偶函数， 相位频谱为：
F ( j ) 为
且为

的实函数，
( ) 0
的偶函数。
4.4 连续时间信号傅里叶变换 例：利用双边指数信号求直流信号的傅立叶变换
f (t ) e
1 lim e
0
t
(a>0)
t
FT [1] lim F ( j )
0
2 lim 2 0 2

0
0 0
lim
2[

2 ( )
2 d( )
2
2 lim d 0 2 2
0
1 ( )2
( 2 )]
lim 2 arctan( ) 0
dt
e e
t

0
j t
dt e
0

t
e
j t
dt

1 j
1 j
2 2 2
4.4 连续时间信号傅里叶变换 双边指数信号一
f (t ) e
t
(a>0)
2 F ( j ) 2 2
其振幅频谱为：
2 F ( j ) 2 2
t0 t0
t0 t0
f (t ) sgn(t )

非周期信号的频谱分析傅里叶变换.


X( )
1
a j
a2
a
2
j a2 2
Re( )
lim
a0
a2
a
2
0
( 0)
Re( )
lim
a0
a2
a
2
( = 0)
lim
a0
Re( )d lim
a0
d( / a) 1 ( / a)2
lim arctan
a0
a
14
Im( )
lim
a0
a2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
1
Re() = δ()
Im() = –1/
X() = Re() + jIm()
= δ() – j1/
= δ() +1/ e j – /2
阶跃信号的频谱在存在一个冲激，因为含有直流分量， 此外，它不是纯直流信号，在t = 0处有跳变，所以频谱 中还出现其它高频分量。
15
2.3.3 傅里叶变换的性质 １、奇偶性
若x(t)为实函数，则有幅频|X()|为偶函数，相频()
零。 由于频谱幅度趋于0，因此仍采用原来的幅度频谱的
概念将产生困难。事实上，由于频谱已转变为连续谱， 因此说明频谱上某一点频率上的幅度有多少是不行的。
研究频谱密度的变化，即单位频带上频谱幅度的大小，
以X(n1) /1来表示，也是的函数，且与原来幅度谱具
有相似的图形。
T1 ，1 0，X(n1) 0，但X(n1) /1却相对 稳定，将趋于稳定的极限值，这个 的函数称为频谱密
T1增大频谱的谱线变密，谱线变短。
1
x(t) E
0
T1
t
x(t)
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( ) ~
幅度谱和相位谱都是频率 ω 的连续函数，在形状上与相应的周期信号 频谱包络线相同。 非周期信号的频谱有两个特点：密度谱、连续谱 。
信号与系统
傅立叶变换
由信号的频谱 因为
F ( ) 重建非周期信号 f (t ) 的表示式

F ( jn 0 ) jn 0t F ( jn 0 ) f T (t ) e 0 e jn 0t T 2 n n
2
t
0
1
0

信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
B 10a
同样地，信号的脉冲宽度和有效带宽也是成反比。
A
f ( t ) e at u ( t )
F ( )
( )

2
1/ a
0
2

0
a
t
10a
0
b
10a


c
信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
（3）双边指数信号
傅立变换为
f (t ) e

a t
,a0
信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
1 2 ( ) ，即直流信号的频谱是原 点的冲激函数是很直观的，因为直流信号只包含 0 的频率成分，而
从频谱的角度理解傅立叶变换对
不含其它频率成分，同时，因为傅立叶变换得到的频谱是一种密度谱，
所以直流信号在
0
f t
处的谱密度是无穷大。
F
信号与系统
3.3 非周期信号的频谱－ 傅立叶变换
信号与系统
一、从傅立叶级数到傅立叶变换
对周期信号 f T (t ) ，如果令 T 趋于无穷大，则周期信号将经过无穷大的 间隔才重复出现，周期信号因此变为非周期信号，即当 T 时，有
f T t
A
T
lim f T (t ) f (t )
上式称为非周期信号的能量公式或帕什瓦尔公式，该式说明在 时域中求得的信号能量和在频域中求得的信号能量相等。
信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
（1）矩形脉冲信号
A f (t ) 0

t t

2 2

2
或
G (t ) A t t 2 2
f (t )
1
F ( )
( )

2
0
1
t
a
0



0

2
b
c
信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
（5）单位冲激信号
(t )
F ( )

根据定义，单位冲激信号的频谱为
上述结果也可由矩形脉冲取极限得到。若 τ→0 ，且 Aτ＝1 ，这 时矩形脉冲就变成 (t了，其对应频谱必为常数 1。 ) 单位冲激函数的频谱在整个频率范围内均为1。
3. 同时，三角函数振幅 F ( j ) d 0 ，故用频谱不能直接画出，必须用 它的密度函数作出。 4. 最后必须指出，从理论上讲，FT也应满足类似狄氏条件。 即


f (t ) dt 绝对可积，但是是充分条件，而非必要条件。
信号与系统
二、非周期信号的能量谱
一般来说，非周期信号的能量是有限的，而平均功率等于零，所以 它只有能量频谱而无功率频谱，对非周期信号，有
0
F ( )

0

f (t )e-jt dt

e
a t
e-jt dt

at -jt at -jt e e d t e e dt 0

( a -j ) t ( a j ) t e d t e dt 0
1 1 2a = 2 a j a j a 2
在ω处的频谱密度分布情况，这就是信号的傅立叶变换的物理含义。对 信号进行傅立叶变换和对信号进行频谱分析具有同样含义，所谓求信号 的频谱和求信号的傅立叶变换是一回事。
信号与系统
傅立叶变换
F ( ) 一般为复函数，可以写为 F ( ) F ( ) e j ( )
F ( ) ~
曲线称为非周期信号的幅度频谱 曲线称为非周期信号的相位频谱

T
0

T
f T t
A

T
A

0
T
f t
T
当 T 增加时，基波频率变小、离 t 散谱线变密，频谱幅度变小，但 频谱的形状保持不变。 在极限情况下，周期T为无穷大， 其谱线间隔与幅度将会趋于无穷 小。这样，原来由许多谱线组成 t 的周期信号的离散频谱就会联成 一片，形成非周期信号的连续频 谱。
T→∞ 时，有
F ( jn0 ) f (t ) lim fT (t ) lim 0 e jn0t T T 2 n
1 1 jn0t lim F ( ) e 2 T n 2

F ( ) e j t d
这就是傅立叶反变换的公式。
信号与系统
傅立叶变换
一般用符号
F 表示取傅立叶变换 ，这样有

F ( ) F f t

f (t ) e jt dt
j t F ( ) e d
傅立叶正变换
1 -1 f (t ) F F ( ) 2
傅立叶反变换
f1 (t ) e
F1 ( )
因为
所以
a t
Sgn(t ) eat u(t ) e at u(t ), a 0
at -jt at -jt (-e )e d t e e dt = 0 0



f 1 (t )e -jt dt
2 j a2 2
ASa( ASa(

2 2
)0 )0
信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
由矩形脉冲信号波形和频谱图可知矩形脉冲的频谱是抽样函数，其大部 分能量集中在低频段。一般认为抽样脉冲形状的频谱的有效带宽是原点 到第一个零点的宽度，即矩形脉冲信号的有效带宽是
B
2

或 Bf
1

即矩形脉冲的脉宽和有效带宽是成反比的。
而矩形脉冲的傅立叶变换为
F ( ) A
根据极限关系
sin(

2
)

2
( ) lim
k
sin k

sin(

2
所以有 即

lim F ( ) lim A

)
1 2 ( )

2
2A lim
2
sin(

2
)


2A ( )
G t
F ( )
A
A


2
0

2
t
4
2
a


0
2
4 6
b




信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
（2）单边指数信号
f (t ) e at (t ), a 0

傅立叶变换为
F ( )


f (t )e-jt dt


at -jt e u ( t )e dt -(a+j ) t
相位谱
幅度谱
F ( )
2a a2 2
( ) 0
信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
沿用单边指数信号频谱带宽的定义，即幅度谱下降到 0.1 倍最大值时 的宽度为信号的有效带宽，则双边指数信号的有效带宽是
B 3 a
同样地，信号的脉冲宽度和有效带宽也是成反比的。
f t
1
2 a



1 j 2


F ( j ) sin t ( ) d
奇函数积分为零
1 F ( j ) cos t ( ) d 2 1 F ( j ) cos t ( ) d

0
信号与系统
T T
T

fT (t )e jn0t dt

或者是
2Fn Fn F ( ) lim TFn lim lim T 0 f 0 f

T 2


f (t )e j t dt
信号与系统
傅立叶变换
2Fn Fn F ( ) lim TFn lim lim T 0 f 0 f 可以看出，F ( ) 实际上表示了频率为 n 0分量的复振幅 Fn 与频率增 量 ∆f 的比值，因此可以理解为是一种密度频谱。即 F ( )表达了信号

上两式称为傅立叶变换对，其中第一式称为傅立叶正变换，简 称傅氏变换。而第二式称为傅立叶反变换，简称傅氏反变换。 并采用下列记号：
f (t ) F ( )
信号与系统
傅立叶变换
1 f (t ) 2 1 f (t ) 2 1 2



F ( j )e jt d 的三角函数形式 F ( j ) e j[(t ( )]d F ( j ) cos t ( ) d
sin(
F ( )


2
2
Ae-jt Ae dt j
-jt

2
A j 2 -j 2 (e -e ) A j

2
)

2
A Sa(