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《1.2.2组合》教学案教学目标：知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合.明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题.过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数mn A 与组合数 之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算.情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力.教学重点：组合的概念和组合数公式教学难点：组合的概念和组合数公式教学过程：一、复习引入：1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++L种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m (m n ≤)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m (m n ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示5．排列数公式：(1)(2)(1)mn A n n n n m =---+L (,,m n N m n *∈≤)6．阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=． 7．排列数的另一个计算公式：mn A =!()!n n m -8．提出问题：示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？mnC示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合．二、讲解新课：1组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 例1．判断下列问题是组合还是排列(1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？(2)高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？(3)从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？(4)10个人互相通信一次，共写了多少封信？ (5)10个人互通电话一次，共多少个电话？ 问题：(1)1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？ (2)什么样的两个组合就叫相同的组合2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号mn C 表示．3．组合数公式的推导：(1)从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组 合 排列dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcddca cda adc dac cad acd acd dbabda adb dab bad abd abdcba bca acb cab bac abc abc ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→由此可知，每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ，所以，333434A A C =．(2)推广：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步： ① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数mn C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C mm A ⋅．(3)组合数的公式：(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+==L或)!(!!m n m n C mn -=),,(n m N m n ≤∈*且规定: 01n C =.三、讲解范例：例1．用计算器计算710C ． 解：由计算器可得例2．计算：(1)47C ； (2)710C ； (1)解： 4776544!C ⨯⨯⨯=＝35；(2)解法1：710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120．解法2：71010!10987!3!3!C ⨯⨯==＝120． 例3．求证：11+⋅-+=m n mn C mn m C ． 证明：∵)!(!!m n m n C mn -=111!(1)!(1)!m nm m n C n mn m m n m +++⋅=⋅--+-- ＝1!(1)!()(1)!m n m n m n m +⋅+---＝!!()!n m n m -∴11+⋅-+=m n mn C mn m C例4．设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值解：由题意可得：⎩⎨⎧-≥+-≥-321132x x x x ，解得24x ≤≤，∵x N +∈， ∴2x =或3x =或4x =，当2x =时原式值为7；当3x =时原式值为7；当4x =时原式值为11． ∴所求值为4或7或11．例5． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(l )这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？分析：对于(1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于( 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．解： (1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C ｝手＝ 12 376 (种) .(2)教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出 n 人组成上场小组，共有1117C 种选法； 第2步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有111C 种选法． 所以教练员做这件事情的方法数有1111711C C ⨯=136136(种).例6．(1)平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？ (2)平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？解：(1)以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有2101094512C⨯==⨯(条). (2)由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有21010990A =⨯=(条).例7．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .(1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？解：(1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有31001009998123C⨯⨯=⨯⨯= 161700 (种).(2)从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有12C 种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有298C 种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有12298C C ⋅=9506(种).(3)解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2 件次品两种情况．在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有12298C C ⋅种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有12298C C ⋅+21298C C ⋅=9 604 (种) .解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数，即3310098C C -=161 700-152 096 = 9 604 (种).说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解. 变式：按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？(1)甲、乙、丙三人必须当选； (2)甲、乙、丙三人不能当选； (3)甲必须当选，乙、丙不能当选； (4)甲、乙、丙三人只有一人当选； (5)甲、乙、丙三人至多2人当选； (6)甲、乙、丙三人至少1人当选； 四、组合数的两个性质组合数的性质1：mn n m n C C -=．一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n m 个元素的每一个组合一一对应，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n m 个元素的组合数，即：m n n m n C C -=．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C mn n -=---=-又 )!(!!m n m n C mn -=，∴mn n m n C C -=说明：①规定：10=n C ；②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标； ③此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算mn n C -，能够使运算简化. 例如20012002C ＝200120022002-C ＝12002C =2002；④yn x n C C =y x =⇒或n y x =+．2．组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m nC ．一般地，从121,,,+n a a a Λ这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是mn C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a Λ这n 个元素中取出m 1个元素与1a 组成的，共有1-m nC 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a Λ这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有mn C 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．证明：)]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n)!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n )!1(!)!1(+-+=m n m n m n C 1+= ∴mn C 1+＝mn C +1-m nC ．说明：①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；②此性质的作用：恒等变形，简化运算例8．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球， (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：(1)5638=C ，或=38C +27C 37C ，；(2)2127=C ；(3)3537=C ． 例9．(1)计算：69584737C C C C +++；(2)求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C ．解：(1)原式4565664889991010210C C C C C C C =++=+===；证明：(2)右边1121112()()n n n n n n nm m m m m m m C C C C C C C ----+++=+++=+==左边例13．解方程：(1)3213113-+=x x C C ；(2)解方程：333222101+-+-+=+x x x x x A C C ．解：(1)由原方程得123x x +=-或12313x x ++-=，∴4x =或5x =，又由111312313x x x N *⎧≤+≤⎪≤-≤⎨⎪∈⎩得28x ≤≤且x N *∈，∴原方程的解为4x =或5x =上述求解过程中的不等式组可以不解，直接把4x =和5x =代入检验，这样运算量小得多.(2)原方程可化为2333110x x x CA -++=，即5333110x x C A ++=，∴(3)!(3)!5!(2)!10!x x x x ++=-⋅，∴11120(2)!10(1)(2)!x x x x =-⋅-⋅-，∴2120x x --=，解得4x =或3x =-， 经检验：4x =是原方程的解 例10．证明：pn p m p m p n n m C C C C --⋅=⋅.证明：原式左端可看成一个班有m 个同学，从中选出n 个同学组成兴趣小组，在选出的n 个同学中，p 个同学参加数学兴趣小组，余下的p n -个同学参加物理兴趣小组的选法数.原式右端可看成直接在m 个同学中选出p 个同学参加数学兴趣小组，在余下的p m -个同学中选出p n -个同学参加物理兴趣小组的选法数.显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立.例11．证明：++-110m m n m m n C C C C …mn m m m n C C C +=+0(其中m n ≥).证明：设某班有n 个男同学、m 个女同学，从中选出m 个同学组成兴趣小组，可分为1+m 类：男同学0个，1个，…，m 个，则女同学分别为m 个，1-m 个，…，0个，共有选法数为++-110m m n m m n C C C C …0m m n C C +.又由组合定义知选法数为mn m C +，故等式成立.例12．证明：+++32132n n n C C C (1)2-=+n n n n nC .证明：左边=+++32132n n n C C C …n n nC +=+++313212111n n n C C C C C C …nn n C C 1+，其中in i C C 1可表示先在n 个元素里选i 个，再从i 个元素里选一个的组合数.设某班有n 个同学，选出若干人(至少1人)组成兴趣小组，并指定一人为组长.把这种选法按取到的人数i 分类(，，21=i …n ，)，则选法总数即为原式左边.现换一种选法，先选组长，有n 种选法，再决定剩下的1-n 人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有12-n 种，所以选法总数为12-n n 种.显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立.五、小结 ：组合的意义与组合数公式；解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理六、教学反思：排列组合问题联系实际生动有趣，题型多样新颖且贴近生活，解法灵活独到但不易掌握，许多学生面对较难问题时一筹莫展、无计可施，尤其当从正面入手情况复杂、不易解决时，可考虑换位思考将其等价转化，使问题变得简单、明朗.教科书在研究组合数的两个性质①m n n m n C C -=，②11-++=m n m n m n C C C 时，给出了组合数定义的解释证明，即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一个组合问题的两种计算方法，由组合个数相等证出要证明的组合等式.这种构造法证明构思精巧，把枯燥的公式还原为有趣的实例，能极大地激发学习兴趣.本文试给几例以说明.教学反思：1、注意区别“恰好”与“至少”2、特殊元素(或位置)优先安排3、“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”4、混合问题，先“组”后“排”5、分清排列、组合、等分的算法区别6、分类组合，隔板处理。
