北京邮电大学-考博随机过程-2007-2009真题和答案

湖南大学本科课程《随机过程》第6章习题及参考答案主讲教师：何松华 教授1. 给定实数x 和一个平稳随机过程()X t ，定义理想门限系统的特性为1()()0()X t xY t X t x≤⎧=⎨>⎩ 试证：(1) [()]()X E Y t F x =；(2) ()](,,)Y X R F x x ττ=证：(1) ()Y t 在任意时刻为只有两种取值1,0的随机变量，则[()]1{()1}0{()0}{()1}{()}(,)() ()X X E Y t P Y t P Y t P Y t P X t x F x t F x =⨯=+⨯====≤==根据平稳性(2)根据相关函数定义，有()][()()]11{()1,()1}01{()0,()1} 10{()1,()0}00{()0,()0}{()1,()1}{(),()}(,;,)(,;) ()Y X X R E Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P X t x X t x F x x t t F x x ττττττττττ=+=⨯⨯+==+⨯⨯+==+⨯⨯+==+⨯⨯+===+===+≤≤=+=根据平稳性2．设平方律检波器的传输特性为2y x =，在检波器输入端加入一窄带高斯随机过程()X t ，其概率密度函数为22()()}2X Xx a f x σ-=- 在检波器后联接一个理想低通滤波器，求低通滤波器输出过程的一维概率密度和均值；当0a =时结果有何变化。

解：根据题意，()X t 为非零均值的中频窄带随机过程，可以表示为：00()()cos()()sin()C S X t a A t t A t t ωω=+-其中()C A t 、()S A t 为零均值窄带随机过程的同向分量以及正交分量，都服从均值为0、方差为2X σ的正态分布，且在同一时刻互不相关，则检波器输出信号22002222200000()[()cos()()sin()]1111()()2()cos()()cos(2)()cos(2)2222 2()sin()()()sin(2)C S C S C C S S C S X t a A t t A t t a A t A t aA t t A t t A t t aA t t A t A t t ωωωωωωω=+-=++++--- 通过理想低通滤波后，滤波器输出信号为2221()[()()]2C S Z t a A t A t =++由于随机变量()C A t 、()S A t 为互不相关(正态分布情况与独立等价)的正态随机变量，则22122()()()C S XXA t A t Z t σσ=+服从自由度为2的卡方分布，即11121/22/211221()22(2/2)z z Z z ef z e ---==Γ 221()()2X Z t Z t a σ=+，2122[()]()[()]XZ t a Z t h Z t σ-==，根据随机变量函数的概率密度关系，()Z t 的一维概率密度分布函数为22122()1()[()] ()X z a Z Z Xdh z f z f h z e z a dz σσ--==≥2222222211[()]{[()()]}[]22C S X X X E Z t E a A t A t a a σσσ=++=++=+当0a =时，221() (0)X zZ Xf z e z σσ-=≥，2[()]X E Z t σ=。

exp
1
2 | B |
n j 1
n
|
k 1
B |jk
xj aj j
xk ak k
i1
其中，数学期望 ak = E[ξ(tk)]；方差 σ2k = E[ξ(tk) - ak]2；归一化协方差矩阵行列式
(2 - 15)
1 b12 | B | b21 1
b1n
b2n ,
E
bjk
(tj) aj (tk ) ak
5. 高斯过程 高斯过程又被称为正态随机过程。如果随机过程(t)的任意 n 维（n =1, 2, ...）分布均服从正态 分布，则称它为正态过程或高斯过程，其 n 维正态概率密度函数表示式为
fn (x1, x2,..., xn ; t1, t2,..., tn )
2π n/2
n
| B | i
2 f1(x, t)dx a2 (t)
(2 - 9)
也就是说，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻 t，对于均值 a(t)的偏
离程度。
随机过程 (t)的相关函数的定义如下：
R(t1,t2 ) E[ (t1) (t2 )]
x1x2 f2 (x1, x2;t1,t2 )dx1dx2
E o (t)
E
- h( )i (t
)d
-
h(
)
E
i
(t
)
d
- aih( )d ai
h( )d
-
aiH (0)
(2 - 23)
式中，H(0)是线性系统 H(f)在 f = 0 处的频率响应。由此可见，输出过程的均值是一个常数。 输出随机过程 ξo(t)的自相关函数为
Ro (t1, t1 ) E[o (t1)o (t1 )]

北京邮电大学2010——2011学年第2 学期3学时《概率论与随机过程》期末考试（A ）一． 填空题.1 设随机事件,A B 满足()( )P AB P A B =, 且()P A p =, 则()P B = 1-p2. 设每次实验中事件A 出现的概率为p ,在三次独立重复试验中, A 至少出现一次的概率为1927, 则p = 1/3 3. 随机变量X 服从参数为1的泊松分布(1)π,则2(())P X E X ==112e - 4. 设随机变量X 服从正态分布2(10,0.02)N ，记22()u xx du -Φ=⎰，且已知(2.5)0.9938Φ=，则((9.95,10.05))P x ∈= ０．９８７６5. 已知随机变量X 服从均匀分布(1,6)U ，则矩阵20001010A X⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的特征值全为实根的概率为 ４／５6. 已知随机变量X 的密度函数为||1(),2x f x e x -=-∞<<+∞，则(01)P X <<= 11(1)2e -- 7. 设连续型随机变量X 的分布函数为()F x ，则0y >时，2ln(())Y F X =-的概率密度函数()Y f y ＝ 212y e - 8. 已知随机变量X 服从均值为１的指数分布，则min{,2}Y X =的分布函数()F y ＝0,0,1,02,1, 2.xx e x x -≤⎧⎪-<<⎨⎪≥⎩9. 已知随机变量(,)X Y 服从二维正态分布22(1,2,1,2,0.5)，则21Z X Y =++的概率密度函数()f z 2(5)x --10. 设,X Y 的联合概率密度为(2)2,0,0,(,)0,x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它，, 则概率(1,2)P X Y ><=14(1)e e --- 11. 设随机过程2()X t X Yt Zt =++, 其中,,X Y Z 是相互独立的随机变量, 且均值都为零, 方差都为1, 则相关函数(,)X R s t = 221st s t ++12. 设{(),0}W t t ≤<+∞是参数为2σ的维纳过程, 则[((3)(1))((4)(1))]E W W W W --=22σ13. 设平稳高斯过程{().0}X t t ≥的均值为零, 相关函数为2||1()4X R e ττ-=, 则对任意固定的0t , 0()X t 的概率密度函数()f x 22x - 14. 设离散时间离散状态齐次马尔可夫链{}n X 的状态空间是{0,1,2},平稳分布为111,,244π⎧⎫=⎨⎬⎩⎭, 若000111(0),(1),(2)244P X P X P X ======, 则方差100()D X = 11/1615. 设}),({+∞<<-∞t t X 为平稳随机过程，功率谱密度为212)(ωω+=X S , 则其平均功率为 1二. （１5分）设某餐厅每天接待300名顾客, 并设每位顾客的销费额(元)服从均匀分布(40,100)U , 且顾 客的消费相互独立. 求:(1) 该餐厅的日营业额的期望和方差; (2) 平均每天有多少位顾客消费额超过50元;(3) 用中心极限定理估计该餐厅日营业额超过21750的概率. 解. (1) 设,1,2,...,300i X i =是第i 位顾客的消费额, 则由题意,1,40100,()600,ix X f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它， 设X表示该餐厅的日消费额, 则3001.ii X X ==∑ 因为 ()70i E X =, 则21300300(60/12)90000.DY DX =⨯==21000EX =(5’) (2 ) 设Y 是消费额超过50元的顾客数. 则1(300,(50))(300,5/6)YB P X B >=, 所以300(5/6)250.EY =⨯= (5’)(3) 由中心极限定理得12300(...21750)1(2.5)0.0062.P X X X P +++>⎛⎫=>=-Φ= (5’) 三．（１5分）设二维随机变量(,)X Y 具有概率密度(1), 0,0,(,)3x y k ex y f x y -+⎧>>⎪=⎨求(1)系数k ; (2)边缘概率密度(),()X Y f x f y ，并问,X Y 是否独立, 为什么? (3)求条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y . 解.(1) 0,01(,)3x Y f x y dxdy k >>=⇒=⎰⎰(3’)(2) (1)0,0,()(,)0,0,x y x X xedy e x f x f x y dy x +∞-+-+∞-∞⎧=>⎪==⎨⎪≤⎩⎰⎰(1)201,0,(1)()(,)0,0,x y Y xe dx y y f y f x y dx y +∞-++∞-∞⎧=>⎪+==⎨⎪≤⎩⎰⎰(6’)由于(,)()()X Y f x y f x f y ≠,所以不独立.(3) 当0x >时, (1)|(,)(|)()x y xy Y X xX f x y xe f y x xe f x e-+--===, 当0y >时, (1)2(1)|2(,)(|)(1)1()(1)x y x y X Y Y f x y xe f x y y xe f y y -+-+===++ (6’)四．（１5分）设齐次马氏链}0,{≥n X n 的状态空间为}2,1,0{=E ，一步转移概率矩阵为110221102211022P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 初始分布为0001{0}{1}{2}3P X P X P X ====== (1) 求124 {1,1,2}P X X X ===;(2) 求02,X X 的相关系数02X X ρ;(3) 证明马氏链}0,{≥n X n 具有遍历性，并求其极限分布．解 (1) 2111244111(2)424111442P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,124 {1,1,2}P X X X ====20111120()(2)0i i P X i p p p ===∑ (5’)(2) 2X 的分布率(2)(0)(2)(1/3,1/3,1/3)p p P ==02,X X 的联合分布率02021,2/3EX EX DX DX ==== 027/6EX X =1/4ρ== (5’)(3) 由P(2)知马氏链遍历,由01210,0,1,2,iP i ππππππ=⎧⎪++=⎨⎪≥=⎩得平稳分布为(1/3,1/3,1/3). (5’) 五．（１0分）设某线性系统的脉冲响应函数为22,0()0,0t e t h t t -⎧≥=⎨<⎩，将平稳过程{})()(∞+-∞∈，，t t X 输入到该系统后, 输出平稳过程{})()(∞+-∞∈，，t t Y 的谱密度为424()1336Y S ωωω=++，求：(1)输入平稳过程的{})()(∞+-∞∈，，t t X 的谱密度)(ωX S ； (2)自相关函数)(τX R ； (3)输入与输出的互谱密度)(ωXY S ．解： 2222,024()(),|()|240,0t e t h t H H i t ωωωω-⎧≥=↔==⎨++<⎩，(1) 22()1(),|()|(9)Y X S S H ωωωω==+ (4分) (2) 3||11()(),26i X X R S e d e ωτττωωπ+∞--∞==⎰ (3分) (3) 22()()()(2)(9)X Y X S H S i ωωωωω==++． (3分)。

o ( ) 11 北京邮电大学 2007-2008学 年第一学期期末试卷附答案一．选择填空（每空 1 分，共 18 分）从下面所列答案中选择出恰当的答案。

在答题纸上写上空格编号以及所选答案的英文字母编号。

每空格编号只能对应一个答案。

(a )1/t (b )离散的载频分量 (c )COSTAS 环提取载波 (d )大 (e )会引起码间干扰 (f )相干解调器 (g )5k(h )BCH (i )同步码分多址系统的地址码 (j )连续谱 (k )是 (l )平坦性衰落 (m )大于零(n )Z 变换 (o )不是 Mp 的移位序列 (p )频率选择性衰落 (q )恒为零 (r )20k(s )希尔伯特变换 (t )时分多址系统的地址码 (u )拉氏变换(v )40k(w )小 (x )卷积码 (y )不会引起码间干扰 (z )窄带滤波提取载波 (A )1 (π t ) (B )包络检波器 (D )10k(E )交织 (F )不是(G )瑞利衰落 (H )维特比 (J )仍是 Mp 的移位序列 (M )3k(N )80k (Q )阴影衰落(R )离散余弦变换(T )哈夫曼1. 在时间域，若复信号的虚部是其实部的 1 ，则它是解析信号；在频率域，若复信号的傅立叶变换在ω < 0 处，则它是解析信号。

♣- je - af2. 一个 -90 相移网络的 H f = lim ♦ f > 0 ，其冲激响应为 3 。

a →0+♥ jeaff < 03. 在模拟广播电视中，一个离散的大载波随同视频信号的残留边带调幅信号一起传输，其广播接收机用4解调视频信号。

4. 对一模拟基带信号进行 A 律 13 折线 PCM 编码，QPSK 调制，经带通信道传输，带通信道带宽为 120kHz ，整个系统的等效低通传输函数的升余弦滚降因子α = 0.5 。

若 系统不存在码间干扰，则该模拟基带信号的最高频率为符号速率为 6 波特。

（完整版）随机过程习题答案随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的⼀维概率密度、均值和相关函数。

解因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的⼀维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的⼀维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。

解对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的⼀维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X 2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷⼀枚均匀的硬币做实验，定义随机过程=时刻抛得反⾯时刻抛得正⾯t t t t t X ,2),cos()(π试求：（1）)(t X 的⼀维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的⼆维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，⽅差 )1(),(22X Xt σσ。

北京邮电大学《电子电路》真题2009年(总分：61.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：18，分数：40.00)1.(473)10的BCD码是______。

• A.010*********• B.111011010• C.110001110011• D.010*********（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：2.触发器的时钟输入的作用是______。

• A.复位• B.使输出状态取决于输入控制信号• C.置位• D.改变输出状态（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：3.一个8位移位寄存器的移位脉冲的频率是1MHz，将8位二进制数并行地移入这个移位寄存器需要______。

• A.经过8个触发器的传输延迟时间• B.8μs• C.经过1个触发器的传输延迟时间• D.1μs（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：4.在时序电路的状态转换表中，若状态数N=3，则状态变量数最少为______。

• A.16• B.4• C.8• D.2（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：5.已知，其中+ABCD=0，化简后的逻辑函数为______。

A．B． C． D．（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：6.如图所示正脉冲的脉冲宽度、脉冲重复频率、脉冲占空比为______。

• A.t p、1/T、t p/T• B.t p、1/T、t p/(T-t p)• C.t p、1/T、(T-t p)/r• D.t p、T、t p/(T-t p)（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：7.若用万用表测试图所示晶体管开关电路，当晶体管截止时，测得的基极和集电极电位应是______。

• A.u BE=0.6V，u CE=1.5V• B.u BE=0V，u cE=2.5V• C.u BE=0.7V，u CE=0.3V• D.u BE≤0V，u CE=3.2V（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：8.如图所示电路中，当波形E1、E2及E3为已知时，输出F的序列为______。

北方工业大学2007-2008学年第一学期研究生随机过程试题参考答案一、（15分）设随机变量X 服从区间[,]a b 上的均匀分布，求（1）X 的特征函数()g t ；（2）利用特征函数计算X 的数学期望及方差。

解：（1）特征函数 ()()()i t X i t x g t E e e d F x +∞-∞==⎰ 1()ibt iatb itx a e e e dx b a i b a t-==--⎰ 8分 （2）由()(0)()k k k g i E X =得011()(0)lim ()2t a b E X g g t i i →+''=== 22222011()(0)lim ()3t a ab b E X g g t i i →++''''=== 从而 222()()()()12b a D X E X EX -=-= 7分 二、（20分）试求随机相位余弦波()cos()X t a t ω=+Θ的均值函数，方差函数和自相关函数。

其中,a ω为常数，Θ服从(0,2)π上的均匀分布。

9分自相关函数为12(,)X R t t6分5分三、（20分）设粒子按平均率为每分钟4个的泊松过程到达某计数器，()N t 表示在[0,)t 内到达计数器的粒子个数，试求（1） 在第3分钟到第5分钟之间到达计数器的粒子个数的概率分布；（2） 在2分钟内至少有2个粒子到达计数器的概率。

解：（1）到达计数器的粒子个数的概率分布为88{(5)(3)}(0,1,)!k e P N N k k k --=== 10分 （2）所求概率为8108{(2)(0)2}1!k k e P N N k -=-≥=-∑ 819e -=- 10分四、（15分）设马氏链的转移矩阵为00.60.40000.30.710001000P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1） 求两步转移矩阵；（2） 求出各类的周期，并讨论其常返性。

2012-2013-北邮概率论研究生试题答案定稿D234若已知100100!1!(100)()!2k k k P A -=，则2f dP Ω=⎰ . 0210(),25502525kk kP A =+=∑4. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度2,01,0,(,)0,x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其他， 则[[|]]E E X Y = .2/35. 设随机过程,}{()cos X t X t t ω-∞<<+∞=，其中随机变量X 服从参数为1的指数分布，(0,/2)ωπ∈为常数，则（1）(1)X 的概率密度(;1)f x = ；（2）20(())E X t dt π=⎰ .,0,(;1)01,xcos x e cos f x ωω-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他，20(1())E X t dt πω=⎰ 6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2()0σσ>的维纳过程，令1()()X t W t=，则相关函数2(1,2)2X R σ=.7. 设齐次马氏链的状态空间为{1,2,3}E =,一步转移概率为0.50.500.50.500.20.30.5P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则（1）()11lim n n p→∞= ；（2）()33n n p ∞==∑ . 1/2,2 二. 概率题（共30分）51.(10分) 设(,)X Y 的概率密度为22122221(,)2x x f x y e σπσ+-=,令22,U X Y V Y =+=, （1）求(,)U V 的概率密度(,)g u v ；（2）求U 的边缘概率密度()U g u .解解.（1） 解方程22,,u x y v y ⎧=+⎨=⎩得22,|,,v u x u v y v ⎧⎪=⎨⎪⎩≤=- 所以雅可比行列式22222222201J u v u v u vv==---故222221||,(,)(,)||20,u e v u g u v f x y J u v σπσ-⎧≤⎪==⎨-⎪⎩其他. ……5分（2）对0u >，222221(,))2(u u U ug u e g u v d d u vv v σπσ-∞-∞-=-=⎰⎰2222222222u uu e e u v u u σσπσσ---==-⎰,故222,0,()20,.uU eu u g u σσ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他……10分2.（10分）设(,)U V 的概率密度6,0,0,(,)0,u e u v v g u v -⎧->>=⎨⎩其他，（1）求{1}|1()0V U E I >=，其中{1}{1,(}),10V V I ωω>∈>⎧=⎨⎩，其他，（2）(|)D V U .解 U 的边缘概率密度为00,0,,0,()(,)0,,0,,uu u uU e dv u e u u u v d u g v g --⎧⎧>>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他其他 所以条件概率密度|1,0,(,)(|)()0,V U U v u g u v v u ug g u ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他. ……4分（1）101{1}|10111()(1|10).102|10(|10)V V U E I P V U U v u g dv dv >===>====⎰⎰……7分（2）因为21(|)2D V U u u ==，所以2(|)12D U U V =。

3.3 平稳随机过程
• 平稳随机过程相关函数的性质
1 RX 0 E X 2 t ，是统计平均功率，与t无关 2 RX RX 需实随机过程 3 RX RX 0 4若X t T X t ，则RX T RX 5一般， 时，可以认为X t 和X t 相互独立，
所以若E
u
h
v
dudv
RX
u
v h u h v dudv
RY
3.5 平稳随机过程通过线性系统
• X(t)和Y(t)的互相关函数与互功率谱密度
RXY t1,t2 E X t1 Y t2
E
X
t1
h
u
X
t2
u
du
RX
u
h
u
du
RX
*
h
RXY
PXY f F RXY PX f H f
RXY t1, t2 mX t1 mY t2
3.2 随机过程的统计特性
• 不相关与独立 •
若两随机过程X t 和Y t 对任何t1,t2有 • 两随机过程C相XY互独t1立, t2，则必0定，不则相这关；两若随不相机关过，则程不不一相 定独关立
• 对于正态（高斯）随机过程，不相关与独立是等价的
• 系统框图
Y
t
X
t
*h
t
X
a
h
t
a
da
h
u
X
t
u du
3.5 平稳随机过程通过线性系统
• Y(t)为平稳随机过程
mY
t
E
Y
t
h
u
E
X
t
u
du
E
X
t

随机过程复习题（含答案）随机过程复习题一、填空题：1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有______}|{|lim =<-∞>-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。

2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ，，则1592}6)5(,4)3(,2)1({-??====eX X X P ,618}4)3(|6)5({-===eX X P1532623292!23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({}6)5(,4)3(,2)1({----??=?==-=-=-==-=-=-====eeeeX X P X X P X X P X X X X X X P X X X P66218!26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===eeX X P X X P3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 12141，=43410313131043411)(P ，则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P=4831481348436133616367164167165)1()2(2P P 167)2(12=P161314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{}2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ，)]()([)(π?δπ?δπω-++=X S6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。

北邮研究生概率论与随机过程-试题及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：23北京邮电大学2012——2013学年第1学期《概率论与随机过程》期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。

在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号!一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分）1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈⊂A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈⋯A,,,,则1n n A ∞=∈U A ;（D ）若12n A n =∈⋯A,,,,且123A A A ⊃⊃⊃L ,则1n n A ∞=∈I A .2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c（A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-；（B ）若12n A n =∈⋯F,,,,,且123A A A ⊃⊃⊃L ，则1li ()()m n n n n P A A P ∞→∞==I ；（C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++U U ； （D ）若12n A n =∈⋯F,,,,,且,i j A i j A =∅∀=/，11()()n n n n P P A A ∞∞===∑U .3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为1000()k A k f kI ω==∑，其中100,,i j n n i j A A A ==∅∀=Ω/=U ，则fdP Ω=⎰ ；4若已知100100!1!(100)()!2k k k P A -=，则2f dP Ω=⎰ . 0210(),25502525kk kP A =+=∑4. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度2,01,0,(,)0,x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其他， 则[[|]]E E X Y = .2/35. 设随机过程,}{()cos X t X t t ω-∞<<+∞=，其中随机变量X 服从参数为1的指数分布，(0,/2)ωπ∈为常数，则（1）(1)X 的概率密度(;1)f x = ；（2）20(())E X t dt π=⎰ .,0,(;1)01,xcos x e cos f x ωω-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他，20(1())E X t dt πω=⎰ 6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2()0σσ>的维纳过程，令1()()X t W t=，则相关函数2(1,2)2X R σ=.7. 设齐次马氏链的状态空间为{1,2,3}E =,一步转移概率为0.50.500.50.500.20.30.5P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则（1）()11lim n n p→∞= ；（2）()33n n p ∞==∑ . 1/2,2 二. 概率题（共30分）51.(10分) 设(,)X Y 的概率密度为22122221(,)2x x f x y e σπσ+-=,令22,U X Y V Y =+=, （1）求(,)U V 的概率密度(,)g u v ；（2）求U 的边缘概率密度()U g u .解解.（1） 解方程22,,u x y v y ⎧=+⎨=⎩得22,||,,v u x u v y v ⎧⎪=±⎨⎪⎩≤=- 所以雅可比行列式22222222201u uJ u v u v u vv±==±---m, 故222221,||,(,)(,)||20,u u e v u g u v f x y J u v σπσ-⎧≤⎪==⎨-⎪⎩其他. ……5分（2）对0u >，222221(,))2(u u U uu g u e g u v d d u vv v σπσ-∞-∞-=-=⎰⎰22222222212u uu ue dv e u v u u σσπσσ---==-⎰,故222,0,()20,.uU eu u g u σσ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他……10分2.（10分）设(,)U V 的概率密度6,0,0,(,)0,u e u v v g u v -⎧->>=⎨⎩其他，（1）求{1}|1()0V U E I >=，其中{1}{1,(}),10V V I ωω>∈>⎧=⎨⎩，其他，（2）(|)D V U .解 U 的边缘概率密度为00,0,,0,()(,)0,,0,,uu u uU e dv u e u u u v d u g v g --⎧⎧>>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他其他 所以条件概率密度|1,0,(,)(|)()0,V U U v u g u v v u ug g u ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他. ……4分（1）101{1}|1111()(1|10).102|10(|10)V V U E I P V U U v u g dv dv >===>====⎰⎰……7分（2）因为21(|)2D V U u u ==，所以2(|)12D U U V =。

六、（7分）设 n , n 1,2,是取值为0或1的独立随机变量序列，其分布为p1 1 n 和 七、（ 10分）给定一个随机变量 t 和任意实数x，定义另一个随机过程： 1 t x t 0 t x 证明 t 的均值函数和自相关函数分别为 t 的一维和二维分布函数。
九、 （7 分）已知某平稳过程的相关函数 R e a cos( 0 ) ，其中 a>0 , 0 为常数. 求该随机过程的谱密度函数。 十、 （9 分） 连续掷一骰子，以 Xn 记前 n 次投掷中出现的最大点数，则 {Xn ， n 1 } 为 Markov 链，试求其 n 步转移概率矩阵。 十一、 （10 分）设马氏链的状态空间 E ={1,2,3,4，5},转移概率矩阵为：
（1）求 X , Y 的边缘分布律； （2）判断 X 与 Y 是否相互独立； （3）求 X 2 时 Y 的条件分布律； （4）求 X 2 时 Y 的条件数学期望； （5）求 X 2 时 Y 的条件方差 四、 （12 分）设（X,Y）的联合密度函数为：
2 2 1 1 xy x y f ( x, y) 4 0
k q k p,0 p 1, q 1 p, k 0,1,2, ，则ξ的特征函数 2．设ξ服从分布： P
。 条件下，两个随机过程{X(t)，t∈T}，{Y(t)，t∈ T}相互正交； 条件下，两个随机过程互不相关。
三、 （10 分）设随机变量 ( X , Y ) 的联合分布律为： 0 1/4 1/16 0 1 0 1/4 1/16 2 0 0 1/16 3 1/16 1/4 0
x1 x n 当 n 时是否几乎处处收敛于 p？ n
1 八、 （ 8 分 ） 设 {Yn , n 1, 2, } 是 相 互 独 立 的 随 机 变 量 序 列 ， 且 P (Yn 1) , n 1 P (Yn 0) 1 。证明： Yn 均方收敛到 0。 n

庄伯金 bjzhuang@ 4
集合的基本概念

空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作。

定理：空集是任意集合的子集。

幂集：设A为集合，把A的全体子集构成的集合叫做A 的幂集，记作P(A)。

若A中有n个元素，则P(A)有2n个元素。

全集：在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某 个集合的子集，则称这个集合为全集，记作E。
庄伯金 bjzhuang@
18
| A1 A2 ... An || S | | Ai |
i 1 1i j k n
n
1i j n

| Ai A j |

| Ai A j Ak | ... (1) n | A1 ... An |
庄伯金 bjzhuang@
A∪=A A∩E=A A∪E=E A∩= A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)= (A∩B)∪(A∩C)
9

零律


分配律

庄伯金 bjzhuang@
集合的运算律

吸收律

A∩(A∪B)=A A∪(A∩B)=A (B)=B

双重否定律

乘法原理与加法原理

乘法原理：做一件事需要通过n个步骤依次完成，其中完成每 个步骤分别有ti种方法，则完成这件事总共有t1 ×t2 ×…×tn 种方法。

加法原理：做一件事分别有n类方法完成，其中每类方法分别 有ti种方法，则完成这件事总共有t1 +t2 +…+tn种方法。
庄伯金 bjzhuang@

A = E-A = {x|x∈E∧xA} = {x|xA}。

1 8 北京邮电大学 2006-2007学 年第一学期期末试卷附答案考试科目：通信原理(A 卷)请考生注意：所有答案一律写在答题纸上，否则不计成绩。

试卷最后有公式及其他计算提示一．选择填空（每空 1 分，共 16 分）从下面所列答案中选择出最合理的答案。

在．答．题．纸．上．写上空格编号以及你所选择的答案，每空格编号只能对应一个答案。

(a )自信息 (b )窄带 (c )宽带 (d )无码间干扰 (e )信息熵 (f )码间干扰 (g )频带利用率 (h )信源的冗余度 (i )信道容量 (j )多径 (k )不能 (l )增量调制 (m )大于 (n )线性 (o )能 (p )E b /N 0 (q )从频域解除相关性 (r )等于 (s )循环 (t )误码 (u )非线性 (v )不同 (w )互信息 (x )小于(y )从时域上解除相关性 (z )相同1. 在宽带无线数字通信系统中，有两个因素对系统的误码性能有重要影响，一是和发送功率相关的 1 ，另一是和信道的频率选择性衰落相 关的 2 。

将 增大 3 减小 2 。

2. 在加性白高斯噪声信道条件下，若给定信息速率、平均发送功率及噪声功率谱密度N 0值，当进制数M 增加时，对于MFSK 可使 4 性能得到改善，对于MPSK 可使 5 性能得到改善。

3. 在信源编码中，是信源编码和数据压缩的理论基础。

4. 在信源编码中，预测编码是 7 ，离散余弦变换编码是 。

5. 若信源的信息速率 9 信道容量，则存在一种编码方式，可保证通过616 b6. 循环码具有 11 性及 12 性。

7. 信道容量是指该信道的输入与输出的最大可能值。

8. 扩频通信能够有效抑制外系统引起的14 干扰和信道引起的 15 干扰，但它在抑制加性白高斯噪声方面的能力和非扩频系统是 的。

二．（12 分）已知下图所示的系统是在加性白高斯噪声干扰条件下，对某个脉冲 g (t ) 匹配的匹配滤波器。

北 京 交 通 大 学2007-2008学年第一学期《随机过程》期末考试试卷(B)学院_____________ 专业_______通信_____ 班级______05级______ 学号_______________ 姓名_____________1.（本题满分10分）已知随机变量X 服从参数为λ的指数分布，其密度函数为(),0x f x e x λλ-=≥ 求：（1）X 的矩母函数()X t Φ；（2）()E X ，()Var X2.（本题满分10分）设{(),0}i N t t ≥（1,2,,i n = ）是独立同强度λ的泊松过程。

记T 为在全部n 个过程中至少发生了一个随机事件的时刻，求T 的概率分布。

3. （本题满分10分）设马氏链n X 的状态空间{1,2}E =，其一步转移概率矩阵21331122P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦初始分布0(1)P X p ==，0(2)1P X p ==-，(01)p <<求：（1）2(1)n n P X X +=;(2)(1)n P X =;(3)是否具有遍历性？为什么？；（4）极限分布4.（本题满分10分）设马氏链{}n X 的状态空间{1,2,3,4}E =，转移矩阵123311144210000100000P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦分解此链，指出其基本常返闭集和非常返闭集，并说明常返闭集中的状态是否为正常返态。

5. （本题满分10分）设到达某路口的蓝、黑、灰色汽车的到达强度分别为123,,λλλ，且均为泊松过程，它们相互独立。

求（1）相邻两辆蓝色汽车到达时间间隔的概率密度；（2）相邻两辆汽车到达时间间隔的概率密度。

6. （本题满分10分）一书亭用邮寄订阅销售杂志，订阅的顾客是强度为6的一个泊松过程，每位顾客订阅1年、2年、3年的概率分别为111,,236，彼此如何订阅是相互独立的，每订阅一年，店主即获利5元。

设t Y 是(0,]t 内店主从订阅中获得的总收入，计算 （1）t EY ；（2）t VarY7. （本题满分10分）记i Z （1,2,i = ） 为一串独立同分布的离散随机变量，1()0k p Z k p ==≥（0,1,2,k = ），01k k p ∞==∑ 令1nn i i X Z ==∑（1,2,n = ）并约定00X=，证明：n X 为马氏链，并求一步转移概率矩阵。

北京邮电大学2013——2014学年第1学期《概率论与随机过程试题》期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。

在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号!一、 填空题：（每空3分，共30分）1．给定集合A ⊂Ω，则定义在Ω上的包含A 的最小σ-代数是 .{,,,}A A ΩΦ2．若12A ,A 是Ω上的两个非空集合类，i ν是i A (1,2)i =上的测度，若满足：（1） ;（2）112,()()A A A νν∀∈=有A ，则称2ν是1ν在2A 上的扩张。

12⊂A A3．某集代数包含了所有的左开右闭区间（实数集上的）. 该集代数上有一个测度P ，对于任意可测集(,]a b ，其中a b <，均有()(,]P a b b a =-.将该测度扩张到某σ-代数上记为μ.对单点集{}1，{}()1μ= . 04．设概率测度空间(),,F P Ω，,,A F B F AB ∈∈=Φ，()()11,23P A P B ==，两个简单函数()()()2A A f ωχωχω=+，()()()2B B g ωχωχω=+，则[]E f = ，[]E fg = .37,235． 设X 为定义某概率空间上的随机变量，若X 的分布函数为()F x ，则数学期望EX 的L-S 积分形式为 .()xdF x +∞-∞⎰6． 设三维随机变量(,,)X Y Z 服从正态分布(,)N a B ，其中()1,2,3a =，211121112B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则[[|]]E E X YZ =17．设随机过程{(),}t t X -∞<<+∞为平稳二阶矩过程，且均方连续.设该过程的均值函数为1μ=，相关函数(,)2t sR s t e --=，均方积分220()X t dt π⎰记为随机变量ξ. 则()E ξ= .π8．设()N t 为泊松过程,则条件概率((2)2|(3)3)P N N === .499. 设()W t 为参数为2σ的维纳过程,(0)0W =,则()cov (1),(2)W W = .2σ二.（8分）设A 是λ系，证明A 是单调类；若A 也是π系，证明A 是σ-代数。

北京邮电大学2009年考博英语7选5(填空式阅读)真题解析Directions:Directions:In the following text,some sentences have beenremoved.For Questions(41-45),choose the most suitable one from thelist A-G to fit into each of the numbered blank.There are two extrachoices,which do not fit in any of the gaps.Mark your answers onANSWER SHEET 1.(10points)Coinciding with the groundbreaking theory of biologicalevolution proposed by British naturalist Charles Darwin in the1860s,British social philosopher Herbert Spencer put forward his own theoryof biological and cultural evolution.Spencer argued that all worldlyphenomena,including human societies,changed over time,advancingtoward perfection.41.American social scientist Lewis Henry Morgan introducedanother theory of cultural evolution in the late1800s.Morgan,alongwith Taylor,was one of the founders of modern anthropology.In hiswork,he attempted to show how all aspects of culture changed togetherin the evolution of societies.42.In the early1900s in North America,German?born Americananthropologist Franz Boas developed a new theory of culture known ashistorical particularism.Historical particularism,which Geng duoyuan xiao zhen ti ji qi jie xi qing lian xi quan guo mian fei zi xundian hua:si ling ling liu liu ba liu jiu qi ba,huo jia zi xun qq:qi qi er liu qi ba wu san qi emphasized the uniqueness of all cultures,gave new direction to anthropology.43.Boas felt that the culture of any society must be understood as the result of a unique history and not as one of many cultures belonging to a broader evolutionary stage or type of culture.44.Historical particularism became a dominant approach to the study of culture in American anthropology,largely through the influence of many students of Boas.But a number of anthropologists in the early1900s also rejected the particularist theory of culture in favor of diffusionism.Some attributed virtually every important cultural achievement to the inventions of a few,especially gifted peoples that,according to diffusionists,then spread to other cultures.45.Also in the early1900s,French sociologist Emile Durkheim developed a theory of culture that would greatly influence anthropology.Durkheim proposed that religious beliefs functioned to reinforce social solidarity.An interest in the relationship between the function of society and culture-known as functionalism-became a major theme in European,and especially British,anthropology.[A]Other anthropologists believed that cultural innovations, such as inventions,had a single origin and passed from society to society.This theory was known as diffusionism.[B]In order to study particular cultures as completely as possible,Boas became skilled in linguistics,the study of languages, and in physical anthropology,the study of human biology and anatomy.[C]He argued that human evolution was characterized by a strugglehe called the"survival of the fittest,"in which weaker races and societies must eventually be replaced by stronger,more advanced races and societies.[D]They also focused on important rituals that appeared to preserve a people's social structure,such as initiation ceremonies that formally signify children's entrance into adulthood.[E]Thus,in his view,diverse aspects of culture,such as the structure of families,forms of marriage,categories of kinship, ownership of property,forms of government,technology,and systems of food production,all changed as societies evolved.[F]Supporters of the theory viewed as a collection of integrated parts that work together to keep a society functioning.[G]For example,British anthropologists Grafton Elliot Smith and W.J.Perry incorrectly suggested,on the basis of inadequate information,that farming,pottery making,and metallurgy all originated in ancient Egypt and diffused throughout the world.In fact, all of these cultural developments occurred separately at different times in many parts of the world.答案详解41.【解析】[C]本题可以使用词汇复现法。