刍议在高三复习课上“玩概念”——以“距离”概念为例

【高考作文】2021高考作文题目预测及范文：距离距离距离，是人们常常在生活中遇到的一个概念。

距离可以是实际的物理距离，也可以是情感上的距离。

不论是物理距离还是情感距离，它们都在我们的生活中扮演着重要的角色。

物理距离是指地理上的距离。

现代交通工具的发展使得人们之间的距离变得越来越小，我们可以轻松地在一个城市到另一个城市之间来回穿梭。

人们的环保意识也不断增强，开始重视低碳出行。

距离虽然缩短了，但由于交通堵塞和拥挤的问题，人们常常花费很长时间才能到达目的地。

所以，距离对我们来说依然是一个与时间有关的问题。

距离还可以是情感上的距离。

现代社会的快节奏使得人们之间的交流变得浅薄而疏离。

我们有很多的社交媒体工具，通过它们我们可以轻松地与人们保持联系。

我们常常发现，就算是身边的人，我们也会感觉到一种情感的距离。

人们疏远的情感距离可能是因为工作压力、生活忙碌等原因所造成的。

这样的情感距离，对我们的人际关系和情感交流来说，无疑是一种挑战。

尽管存在物理距离和情感距离，但距离也并不完全是坏事。

物理距离可以给人们提供空间和隐私，让人们远离嘈杂的环境，享受自己独处的时间。

情感距离也可以让人们有更多的时间去思考和反思，从而更好地理解自己和他人。

距离也可以是一种心灵的奢侈，让我们感受到与自己和他人之间的真实连接。

要想弥补物理上的距离，我们可以通过加强交通基础设施建设，减少交通拥堵，提高出行效率。

我们也应该积极探索新的交流方式，鼓励人们面对面地交流，尽量减少通过社交媒体的虚拟交流。

而要弥补情感上的距离，我们应该注重与他人的情感沟通，关心身边的人，真实地表达自己的情感。

只有这样，我们才能减少情感的距离，增加互联互通的纽带。

距离是一把双刃剑，既有好处也有坏处。

我们可以利用它来创造更好的生活，也可以被它束缚而无法自拔。

面对距离，我们应该正确认识它，善于利用它，以实现个人和社会的发展。

题目第九章(B)直线、平面、简单几何体空间距离高考要求1理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念2会用求距离的常用方法（如：直接法、转化法、向量法对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算七种距离知识点归纳⊥，1点到平面的距离：已知点P是平面α外的任意一点，过点P作PAα垂足为A，则PA唯一，则PA是点P到平面α的距离即一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离结论：连结平面α外一点P与α内一点所得的线段中，垂线段PA最短异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线．3．公垂线唯一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线4．两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段；5．公垂线段最短：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条；6．两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度说明：两条异面直线的距离AB即为直线a到平面α的距离直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离7直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离)8．两个平行平面的公垂线、公垂线段：（1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线（2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段（3）两个平行平面的公垂线段都相等（4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长9．两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离10．七种距离：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求10用向量法求距离的公式：⑴异面直线,a b 之间的距离：||AB n d n ⋅= ，其中,,,n a n b A a B b ⊥⊥∈∈ ⑵直线a 与平面α之间的距离：||AB n d n ⋅= ，其中,A a B α∈∈n 是平面α的法向量 ⑶两平行平面,αβ之间的距离：||AB n d n ⋅= ，其中,A B αβ∈∈n 是平面α的法向量 ⑷点A 到平面α的距离：||AB n d n ⋅= ，其中B α∈，n 是平面α的法向量 另法：点000(,,),A x y z 平面0Ax By Cz D +++=则d =⑸点A 到直线a 的距离：d =B a ∈，a 是直线a 的方向向量⑹两平行直线,a b 之间的距离：d =,A a B b ∈∈，a 是a 的方向向量 题型讲解例1 设A （2,3,1），B （4,1,2），C （6,3,７），D （－５,－4,8），求D 到平面ABC 的距离解法一：∵A （2,3,1），B （4,1,2），C （6,3,７），D （－５,－4,8），∴(7,7,7)AD =--设平面ABC 的法向量n=（x ，y ，z ）， 则n ·AB =0，n ·AC =0，∴⎩⎨⎧=⋅=-⋅,0)6,0,4(),,(,0)1,2,2(),,(z y x z y x 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+-.,23064022z y z x z x z y x 令z =－2，则n =（3，2，－2）∴由点到平面的距离公式： ||AD n d n ⋅=1749∴点D 到平面ABC解法二：设平面ABC 的方程为：0Ax By Cz D +++=将A （2,3,1），B （4,1,2），C （6,3,７）的坐标代入，得3230242063705A B A B C D A B C D C B A B C D D B ⎧=⎪+++=⎧⎪⎪+++=⇒=-⎨⎨⎪⎪+++==-⎩⎪⎩，取B ＝2，则平面ABC 的法向量n =(A,B,C)=（3，2，－2）又因为 (7,7,7)AD =--∴由点到平面的距离公式： ||AD n d n ⋅=1749∴点D 到平面ABC点评： 求点到平面的距离除了根据定义及等积变换外，还可以借用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量n 的坐标(两种方法)，再求出已知点P 与平面内任一点M 构成的向量MP 的坐标，那么P 到平面的距离d =|MP ||cos 〈n ，MP 〉=例2 如图所求，已知四边形ABCD 、EADM和MDCF 都是边长为a 的正方形，点P 、Q 分别是ED 和AC 的中点 求：（1）PM 与FQ 所成的角；（2）P 点到平面EFB 的距离； （3）异面直线PM 与FQ 的距离解：建立空间直角坐标系，则D （0，0，0）、A （a ，0，0）、B （a ，a ，0）、C （0，a ，0）、M （0，0，a ）、E （a ，0，a ）、F （0，a ，a ）， 则由中点坐标公式得P （2a ，0，2a ）、Q （2a ，2a ，0） （1）∴PM =（－2a ，0，2a ），FQ =（2a ，－2a ，－a ）， PM ·FQ =（－2a ）×2a +0+2a ×（－a ）=－43a 2， 且|PM |= 22a ，|FQ |= 26a ∴cos 〈PM ，FQ 〉=||||PM FQ PM FQ ⋅ =a a a 2622432⨯-=故得两向量所成的角为150° （2）设n =（x ，y ，z ）是平面EFB 的法向量， 即|n |=1，n ⊥平面EFB ，∴n ⊥EF ，n ⊥BE又EF =（－a ，a ，0），EB =（0，a ，－a ），即有00ax ay x y z ay az -+=⎧⇒==⎨-=⎩，取1x =，则(1,1,1)n =∵ PE =（2a ，0，2a ）∴ 设所求距离为d ，则||PE n d n ⋅= = 33a （3）设m =（x 1，y 1，z 1）是两异面直线的公垂线的方向向量，则由PM =（－2a ，0，2a ），FQ =（2a ，－2a ，－a ），得11111111022022a a x z x z y a a x y az ⎧-+=⎪⎪⇒==-⎨⎪--=⎪⎩ 取1y ＝－1，则(1,1,1)m =-而MF =（0，a ，0）设所求距离为m ， 则||MF m m m ⋅= =33a 例3 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线BD 与B 1C 的距离分析：虽然此题中没有给出表示两异面直线距离的线段，但是容易建立直角坐标系，使它变为坐标系下的异面直线距离的问题，还是属于考试范围的问题解：建立空间直角坐标系（如图），则B （0，0，0），C （1，0，0），D （1，1，0） B 1（0，0，1），则111(1,1,0),(1,0,1),(0,0,1)BD B C BB ==-=设与1,BD B C 都垂直的向量为(,,)n x y z = ，则由0BD n x y ⋅=+= 和10,B C n x z ⋅=-= 1,x =令得1,1y z =-=，(1,1,1)n ∴=- ∴异面直线BD 与B 1C 的距离：111|||cos,|BB nd BB BB nn⋅=<>===小结：1用向量求点到平面的距离的步骤为：先确定平面的法向量，再求该点与平面内一点的连线在法向量上的射影长即得也就是若n是平面α的法向量，P为平面内的一点，则点P到平面α的距离为：00|cos,|PP nd PP PP nn⋅=<>=2求异面直线的距离方法很多，但考纲仅要求会求图中已给出表示异面直线间距离的线段，或在空间直角坐标系下的异面直线的距离，对于第一类问题要先找出这条线段，证明它是所求距离，然后求之；第二类问题的求解步骤是：先求出与两异面直线都垂直的一个向量，然后再求异面直线上两点连线在这个向量上的射影的长，即若n是与异面直线ba,都垂直的向量，点bFaE∈∈,，则异面直线与之间的距离：c o s|,E F nd E F E F nn⋅=<>=3两平面间的距离一般转化为点到平面或线到面的距离来求解学生练习1ABCD是边长为2的正方形，以BD为棱把它折成直二面角A—BD—C，E是CD的中点，则异面直线AE、BC的距离为D1 解析：易证CE是异面直线AE与BC的公垂线段，其长为所求易证CE=1∴选D答案：D2在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°，若△ABC所在平面α外一点P 到A、B、C的距离都是14，则P到α的距离是A13 B11 C9 D7解析：作PO⊥α于点O，连结OA、OB、OC，∵P A=PB=PC，∴OA=OB=OC∴O是△ABC的外心∴OA =BCA AB ∠sin 2=120sin 215∴PO =22OA PA -=11为所求∴选B 答案：B3在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点A 1到平面MBD 的距离是A 36aB 63aC 43a a 解析：A 到面MBD 的距离由等积变形可得 V A —MBD =V B —AMD 易求d =66a答案：D4平面α内的∠MON =60°，PO 是α的斜线，PO =3，∠POM =∠PON =4５°，那么点P 到平面α的距离是A 3 C 23 D 33 解析：cos ∠POM =cos ∠POH ·cos ∠MOH ，∴22= 23cos ∠POH ∴cos ∠POH sin ∠POH∴PH =PO ·sin ∠POH =3×31答案：A5正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E 是CC 1的中点，则E 到A 1B 的距离是 A 33a B 26a C 25a D 423a 解析：连结A 1E 、BE ，过E 作EH ⊥A 1B 于H ， 在△A 1BE 中易求EH =423a 答案：D6A 、B 是直线l 上的两点，AB =4，AC ⊥l 于A ，BD ⊥l 于B ，AC =BD =3，又AC 与BD 成60°的角，则C 、D 两点间的距离是_______解析：CD答案：5或43 7设P A ⊥Rt △ABC 所在的平面α，∠BAC =90°，PB 、PC 分别与α成45°和30°角，P A =2，则P A 与BC 的距离是_____________；点P 到BC 的距离是_____________解析：作AD ⊥BC 于点D ，∵P A ⊥面ABC ，∴P A ⊥AD ∴AD 是P A 与BC 的公垂线易得AB =2，AC =23，BC =4，AD =3，连结PD ，则PD ⊥BC ，P 到BC 的距离PD =7 答案：3 7 8已知l 1、l 2是两条异面直线，α、β、γ是三个互相平行的平面，l 1、l 2分别交α、β、γ于A 、B 、C 和D 、E 、F ，AB =4，BC =12，DF =10，又l 1与α成30°角，则β与γ的距离是__________；DE =__________解析：由直线与平面所成角的定义及平行平面距离定义易得β与γ间距离为6由面面平行的性质定理可得BC AB =EF DE ，∴BC AB AB +=EF DE DE +，即1244+DE ∴DE =25 答案：6 259已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的边长为a ，E 、F 分别是棱A 1B 1、CD 的中点（1）证明：截面C 1EAF ⊥平面ABC 1（2）求点B 到截面C 1EAF 的距离（1）证明：连结EF 、AC 1和BC 1，易知四边形EB 1CF 是平行四边形，从而EF ∥B 1C ，直线B 1C ⊥BC 1且B 1C ⊥AB ，则直线B 1C ⊥平面ABC 1，得EF ⊥平面ABC 1而EF ⊂平面C 1EAF ，得平面C 1EAF ⊥平面ABC 1（2）解：在平面ABC 1内，过B 作BH ，使BH ⊥AC 1，H 为垂足，则BH 的长就是点B 到平面C 1EAF 的距离，在直角三角形中，BH =11AC BC AB ⋅=aa a 32=另法：建立坐标系(略)10已知直线l 上有两定点A 、B ，线段AC ⊥l ，BD ⊥l ，AC =BD =a 且AC 与BD 成120°角，求AB 与CD 间的距离解法一：在面ABC 内过B 作BE ⊥l 于B ，且BE =AC ，则ABEC 为矩形∴AB ∥CE∴AB ∥平面CDE则AB 与CD 的距离即为B 到DE 的距离过B 作BF ⊥DE 于F ，易求BF =21a 解法二：建系如图，则A （0，0，b ），C （－21a ，23a ，a ），D （a ，0，0）， 设AB 与CD 的公垂线的一个方向向量n =（x ，y ，z ），利用n ·AB =0，n ·CD =0，求出n ，则d =||||n BD n =21a 课前后备注。

空间距离高三数学知识点在高三数学中，空间距离是一个重要的知识点，它涉及到三维空间中点、直线、平面之间的距离计算。

掌握了空间距离的概念和计算方法，可以帮助我们解决实际问题，进一步理解几何关系。

一、点到点的距离计算在三维空间中，我们通过坐标来表示点的位置。

假设有点A(x₁, y₁, z₁)和点B(x₂, y₂, z₂)，我们可以用勾股定理来计算点A到点B的距离。

距离公式如下：AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²]通过这个公式，我们可以计算两个任意点之间的距离，进而帮助解决空间几何中的问题。

二、点到直线的距离计算在三维空间中，直线的方程可以以参数形式给出。

如果我们有一个点P(x₀, y₀, z₀)和直线L的参数方程为：x = x₁ + aty = y₁ + btz = z₁ + ct其中a、b、c为实数，t为参数。

我们可以通过点P到直线L 的距离公式来计算：d = |(x₀ - x₁, y₀ - y₁, z₀ - z₁) · (a, b, c)| / √(a² + b² + c²)这里的|·|表示向量的模，·表示向量的内积。

通过这个公式，我们可以计算出点到直线的距离。

三、点到平面的距离计算在三维空间中，平面的方程可以以一般式给出。

如果我们有一个点P(x₀, y₀, z₀)和平面的一般式方程为：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C、D为常数。

我们可以通过点P到平面的距离公式计算：d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)这里的|·|表示绝对值。

通过这个公式，我们可以计算出点到平面的距离。

四、直线与直线的距离计算在三维空间中，我们可以通过两直线的方向向量来计算它们之间的距离。

高三数学第一轮复习讲义 空间距离【知识归纳】1、空间距离的求解思路：立体几何中有关距离的计算，要遵循“一作，二证，三计算”的原则）2、空间距离的类型：（1）异面直线的距离：①直接找公垂线段而求之；②转化为求直线到平面的距离，即过其中一条直线作平面和另一条直线平行。

③转化为求平面到平面的距离，即过两直线分别作相互平行的两个平面。

（2）点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线再求解（3）点到平面的距离：①垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；②体积法：转化为求三棱锥的高；③等价转移法。

（4）直线与平面的距离：前提是直线与平面平行，利用直线上任意一点到平面的距离都相等，转化为求点到平面的距离。

（5）两平行平面之间的距离：转化为求点到平面的距离。

（6）球面距离（球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度）：求球面上两点A 、B 间的距离的步骤：① 计算线段AB 的长；② 计算球心角∠AOB 的弧度数；③ 用弧长公式计算劣弧AB 的长。

【基础训练】（1）已知正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则异面直线BD 与B 1C 的距离为___ __。

（2）等边三角形ABC 的边长为22，AD 是BC 边上的高，将ABD ∆沿AD 折起，使之与ACD ∆所在平面成︒120的二面角，这时A 点到BC 的距离是___ __；（3）点P 是120°的二面角α-l -β内的一点，点P 到α、β的距离分别是3、4，则P 到l 的距离为 _____ __；（4）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到棱A 1B 1与棱BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为___ ____。

（5）长方体1111D C B A ABCD -的棱cm AA cm AD AB 2,41===，则点1A 到平面11D AB 的距离等于____ __；（6）在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则A 1到平面MBD 的距离为__ ____。

2019-2020年高三数学第一轮复习 第64课时—空间中的距离教案一．复习目标：1．理解点到直线的距离的概念，掌握两条直线的距离，点到平面的距离，直线和平面的距离，两平行平面间的距离；2．掌握求空间距离的常用方法和各距离之间的相互转化．二．知识要点：1．点到平面的距离： ． 2．直线到平面的距离： ． 3．两个平面的距离： ． 4．异面直线间的距离： ． 三．课前预习：1．在ABC ∆中，9,15,120AB AC BAC ==∠=，ABC ∆所在平面外一点P 到三顶点,,A B C 的距离都是14，则P 到平面ABC 的距离是 （ B ） ()A 6 ()B 7 ()C 9 ()D 132．在四面体P ABC -中，,,PA PB PC 两两垂直，M 是面ABC 内一点，M 到三个面 ,,PAB PBC PCA 的距离分别是2,3,6，则M 到P 的距离是 （ A ） ()A 7 ()B 8 ()C 9 ()D 103．已知⊥PA 矩形ABCD 所在平面，cm AB 3=，cm PA cm BC 4,4==，则P 到CD，P 到BD 的距离为cm ． 4．已知二面角βα--l 为60，平面α内一点A 到平面β的距离为4AB =，则B 到平面α的距离为 2 ．四．例题分析：例1．已知二面角PQ αβ--为60，点A 和B 分别在平面α和平面β内，点C 在棱PQ 上30=∠=∠BCP ACP ，a CB CA ==，（1）求证：PQ AB ⊥；（2）求点B 到平面α的距离；（3）设R 是线段CA 上的一点，直线BR 与平面α所成的角为45，求CR 的长 （1）证明：作BM PQ ⊥于M ，连接AM ，∵30=∠=∠BCP ACP ，a CB CA ==， ∴MBC MAC ∆≅∆，∴AM PQ ⊥，PQ ⊥平面ABM ，AB ⊂平面ABM ， ∴PQ AB ⊥．解：（2）作BN AM ⊥于N ，∵PQ ⊥平面ABM ，∴BN PQ ⊥，∴BN α⊥，BN 是点B 到平面α的距离，由（1）知60BMA ∠=，∴3sin 60sin 30sin 60a BN BM CB ===．∴点B 到平面α．（2）连接,NR BR ，∵BN α⊥，BR 与平面α所成的角为45BRN ∠=，RN BN ==，3cos30a CM BC ==， ∴12RN CM =，∵60BMA ∠=，BM AM =，BMA ∆为正三角形， N 是BM 中点，∴R 是CB 中点，∴2aCR =．小结：求点B 到平面α的距离关键是寻找点B 到α的垂线段．例2．在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，90=∠ACB ，侧棱21=AA ，E D ,分别是1CC ，与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G ，（1）求B A 1与平面ABD 所成角的正弦值；（2）求点1A 到平面ABD 的距离．解：建立如图的空间直角坐标系，设1(,0,0)A a ，则1(0,,0)B a ，(,0,2)A a ，(0,,2)B a ，(0,0,2)C ，∵E D ,分别是1CC ，与B A 1的中点，∴(0,0,1),(,,1)22a a D E ，∵G 是ABD ∆的重心， 5(,,)333a a G ，∴2(,,)663a a EG =-，(,,0)AB a a =-， (0,,1)AD a =--，∵EG ⊥平面ABD ，,,EG AB EG AD ⊥⊥得2a =，且B A 1与平面ABD 所成角EBG ∠，6||EG =，112BE BA ==，sin 3EG EBG BE ∠==， （2）E 是B A 1的中点，1A 到平面ABD 的距离等于E 到平面ABD 的距离的两倍， ∵EG ⊥平面ABD ，1A 到平面ABD 的距离等于262||3EG =． 小结：根据线段B A 1和平面ABD 的关系，求点1A 到平面ABD 的距离可转化为求E 到平面ABD 的距离的两倍．例3．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -,11,2,AB AA ==点E 为1CC 的中点，点F 为1BD 的中点，（1）证明:EF 为异面直线11BD CC 与的公垂线；（2）求点1D 到平面BDE 的距离．解：（1）以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立坐标系，则(1,1,0)B ，1(0,0,2)D ，(0,1,1)E ，11(,,1)22F ，11(,,0)22EF =-，1(0,0,2)CC =，1(1,1,2)BD =-，∴110,0EF BD EF CC ⋅=⋅=，∴EF 为异面直线11BD CC 与的公垂线．（2）设(1,,)n x y =是平面BDE 的法向量，∵(1,1,0)DB =，(0,1,1)DE = ∴10n DB x ⋅=+=，0n DE x y ⋅=+=，(1,1,1)n =-， 点1D 到平面BDE 的距离1||||BD n d n ⋅==． 小结：由平面的法向量能求出点到这个平面的距离．FE1111D C B A DCBAG E D C 1B 1A 1C B A z 1五．课后作业： 班级 学号 姓名 1．已知PD ⊥正方形ABCD 所在平面，1PD AD ==，点C 到平面PAB 的距离为1d ， 点B 到平面PAC 的距离为2d ，则（）()A 121d d << ()B 121d d << ()C 121d d << ()D 211d d <<2．把边长为a 的正三角形ABC 沿高线AD 折成60的二面角，点A 到BC 的距离是（ ）()A a ()B 2 ()C 3 ()D 43．四面体ABCD 的棱长都是1，,P Q 两点分别在棱,AB CD 上，则P 与Q 的最短距离是（）()A 2()B 32 ()C 56 ()D 674．已知二面角βα--l 为45， 30,,成与l AB B l A α∈∈角，5=AB ，则B 到平面β的距离为 ．5．已知长方体1111D C B A ABCD -中，12,51==AB AA ，那么直线11C B 到平面11BCD A 的距离是 ．6．如图，已知ABCD 是边长为a 的正方形，,E F 分别是AD AB ,的中点，CG ABCD ⊥面，CG a =，（1）求证：//BD EFG ；（2）求点B 到面GEF 的距离．OGFEDCBA7．在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD 中，（1）求：点A 到平面1BD 的距离；（2）求点1A 到平面11D AB 的距离； （3）求平面11D AB 与平面D BC 1的距离；（4）求直线AB 到11B CDA 的距离．。

【高考作文】2021高考作文题目预测及范文：距离预测题目：距离范文：距离是人类生活中普遍存在的概念，它既可以是指物理空间上的距离，也可以是指心理上的距离。

不论是物理距离还是心理距离，它们都对人们的生活产生着深远的影响。

物理距离对人们的生活起着重要作用。

物理距离可以带来便利，也可以带来困扰。

在人们日常的交往中，物理距离的远近常常会影响到人与人之间的联系和沟通。

如果人与人之间的距离过远，可能会造成交流的困难，甚至产生隔阂。

而在现代社会，交通工具的发达使得人们之间的物理距离大大缩短，这使得人们可以更加方便地交流和互动，促进了社会的发展和进步。

心理距离对人们的生活也具有重要意义。

心理距离是指人们之间感情和思想上的亲近程度或疏远程度。

心理距离的远近直接影响着人们的相互理解和真实沟通。

当人们之间心理距离较近时，他们更容易互相产生共鸣和理解，更容易传递真实的情感。

而当人们之间心理距离较远时，可能产生误解和隔阂，导致彼此之间的交往困难。

我们应该不断地努力缩短心理距离，增进人与人之间的理解和互动。

在现代社会中，我们面临着越来越多的挑战和困扰，其中就包括距离的问题。

有时候，我们感到与身边人越来越远，心理距离越来越大。

这时候，我们需要主动采取行动来改变现状。

我们可以多参加社交活动，加强与他人之间的交流和互动，增进彼此之间的了解。

我们还可以借助现代科技手段，如社交媒体和通讯工具，来打破时空的限制，与远方的人保持联系。

只有积极地跨越距离，增进人与人之间的了解和互动，我们才能够创造出一个更加和谐和温暖的社会。

距离无论是物理距离还是心理距离，都对人们的生活产生着重要的影响。

我们应该积极跨越距离，加强人与人之间的联系和互动，促进社会的发展和进步。

只有通过改变自己，我们才能改变周围的环境和社会，创造出一个更加美好的未来。

芯衣州星海市涌泉学校§间隔【复习目的】1． 掌握空间中各种间隔的概念，能运用这些概念进展论证和解决有关问题；2． 空间间隔向平面间隔的转化过程中，重点是确定垂足，作出辅助图形解三角形；3． “体积变换〞是求点面间隔的重要的间接方法，结合简单几何体的性质应纯熟掌握。

【课前预习】1． 空间的间隔分类：2． α、β是两个平行平面,a ⊂α、b ⊂β,a 与b 之间的间隔为d1,α与β之间的间隔为d2,那么A ．d1=d2B ．d1＞d2C ．d1＜d2D ．d1≥d2〔〕 3． △ABC 中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，△ABC 所在平面外一点P 到三个顶点A 、B 、C 的间隔都是14，那么P 到平面α的间隔为〔〕A ．7B ．9C ．11D ．134． 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AA1=3,AD=1,那么点C1到直线A1B 的间隔为.5． Rt△ABC 的直角顶点C 在平面α内，斜边AB∥α，AB=26，AC 、BC 分别和平面α成45°和30°角，那么AB 到平面α的间隔为.6． 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a ，M 是AA1的中点，那么点A1到平面MBD的间隔是。

7． 如图，四棱锥P-ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD=AD=1，设点C到平面PAB 的间隔为1d ，点B 到平面PAC 的间隔为2d ，BC 到平面PAD 的间隔为3d ，那么有〔〕 B D PA ．312d d d <<B ．123d d d << C ．132d d d <<D ．213d d d <<【典型例题】例1在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求：（1） 点A 到平面BD1的间隔；（2） 点A1到平面AB1D1的间隔；（3） 平面AB1D1与平面BC1D 的间隔；（4） 直线AB 与平面CDA1B1的间隔。

高中数学空间距离专题讲授方法探讨空间距离是立体几何的重要内容，常常在考试中出现，该种题目的难度一般在中等难度之上，在解题时常常需要与其他的证明现结合，因此，空间距离的教学效果对于数学教学效果有着直接的影响。

本文主要探讨通过对例题的分析来探讨高中数学空间距离专题讲授方法。

标签：高中数学；空间距离；专题讲授方法空间距离是立体几何的重要内容，常常在考试中出现，该种题目的难度一般在中等难度之上，在解题时常常需要与其他的证明现结合，因此，空间距离的教学效果对于数学教学效果有着直接的影响。

本文以《空间距离》为例，探讨高中数学空间距离的专题讲授方法。

1 教学目标的确定空间距离的教学目标包括以下几个方面：首先，传授距离的概念，培养学生的分析能力、转化能力、空间想象能力和观察能力；其次，培养学生的立体感，提高学生学习立体几何的兴趣，同时，要精心的设计练习题，帮助学生对空间距离的知识进行梳理，并将学到的知识融合到自身的数学知识体系之中。

2 教学方法的设计空间距离的内容较多，包括点与点之间的距离、点与线之间的距离、点与面之间的距离、平行线之间的距离、异面直线之间的距离、平面中平行线与平面之间的距离、两个平行平面的距离。

在以上几种内容之中，点与面之间距离的求解是教学中的重点，异面之间直线距离的求解是教学中的难点，以下就以几道题目为例，探讨空间距离的求解方式。

例1 如图1 ，ABCD为空间四边形，AB=AC=BC=CD=BD=a，其中，E、F 为AB和CD的中点。

求AB到CD间的距离，证明EF是AB和CD的公垂线。

图1解答：连接AF、BF，可知AF=BF，由于AE=BE，因此，FE⊥AB交AB 与点E，同理，EF⊥DC交DC于F，因此，EF为AB和CD的公垂线。

在Rt△BEF中，BE=1/2a，BF= /2a，因此，EF?=BF?-BE?=1/2a，那个EF= /2a，因此，EF为AB、CD的公垂线，AB到CD间距离为/2a。

以距离为话题作文
距离。

距离，是一种物理上的概念，也是一种心理上的感受。

在物理上，距离是指两个物体之间的空间间隔，可以用长度来度量；在心理上，距离是指人与人之间的情感和心理上的隔阂。

无论是物理上的距离还是心理上的距离，都是人们生活中不可或缺的一部分。

物理上的距离，可以通过各种手段来度量和缩短。

例如，交通工具的发展使得人们可以在短时间内穿越千里，拉近了人与人之间的物理距离。

另外，通讯技术的进步也使得人们可以通过电话、互联网等方式进行即时交流，弥补了物理距离带来的隔阂。

然而，物理距离的缩短并不总是带来好处，有时候也会让人们忽视了真正的情感交流，导致心理上的距离越来越远。

心理上的距离，是人们在情感上产生的一种隔阂感。

这种距离可以是由于人与人之间的矛盾和误解所产生的，也可以是由于长时间的分离和无法沟通所带来的。

无论是哪种情况，心理上的距离都会给人们的生活带来诸多困扰。

在这种情况下，人们需要通过沟通和理解来弥合心理上的距离，使得彼此之间的情感更加紧密。

距离，既是一种物理上的概念，也是一种心理上的感受。

在现代社会，人们需要通过各种方式来缩短物理上的距离，同时也需要通过沟通和理解来弥合心理上的距离。

只有这样，人与人之间的关系才能更加紧密，生活才能更加美好。

高三第一轮复习数学---空间的距离（1）一、教学目标：1．理解点到直线的距离的概念，掌握两条直线的距离，；2．掌握求空间距离的常用方法和各距离之间的相互转化．二、教学重点：求异面直线间的距离．以及巧用转移方法求距离．三、教学过程：（一）主要知识：(1) 点到直线的距离：点P 到直线a 的距离为点Ｐ到直线a 的垂线段的长，常先找或作直线a 所在平面的垂线，得垂足为A ，过A 作a 的垂线，垂足为B 连PB ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线a 的距离．在直角三角形PAB 中求出PB 的长即可．(2)异面直线间的距离：异面直线a,b 间的距离为a,b 间的公垂线段的长．常有求法①先证线段AB 为异面直线a,b 的公垂线段，然后求出AB 的长即可．②找或作出过b 且与a 平行的平面，则直线a 到平面的距离就是异面直线a,b 间的距离．③找或作出分别过a,b 且与b,a 分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线a,b 间的距离．④(垂面法)a 垂直于过 b 的平面，再过垂足作b 的垂线。

⑤利用异面直线两点间的距离公式。

⑥利用向量中的射影求距离思维方式：发散的思维和空间思维．大胆的设想，严密的推理．特别注意：严密的逻辑推理，而不是单凭感觉和估计．（二）例题分析：例1：（１）棱长为a 的正四面体的对棱间的距离为_____；顶点到对面边的距离为____；高为_____；体积为______；外接球半径为_______;内接球半径为___;（２）把边长为a 的正△ABC 沿高线AD 折成600的二面角，则点A 到BC 的距离是（ ） Ａ．a Ｂ．a 26 Ｃ．a 33 Ｄ．a 415 解：（１）a 22，a 23，a 36，3122a ；（２）Ｄ；[思维点拔]在翻折中注意什么变了，而什么没有变．例２：在平面β内有△ABC ，在平面外有点S ，斜线SA ⊥AC ，SB ⊥BC ，且斜线SA ，SB 与平面β所成的角相等，点S 到平面β的距离为4cm ，AC ⊥BC ，且AB ＝６cm ，求点S 与直线AB 的距离解：如图，过S 作SD ⊥平面β于Ｄ点，连结DA ，DB ，则∠SAD ，∠SBD 分别为SA ，SB 和平面β所成的角，∵∠SAD=∠SBD ，从而，Rt △SAD ≌Rt △SBD ，∴SA=SB ，ΘSA ⊥AC ，SB ⊥BC ，∴∠SAC=∠SBC =900．又SC=SC ，∴Rt △SAC ≌Rt △SBC ，∴AC=BC ，取AB 的中点Ｏ，连结SO ，则由于SA=SB ，所以SO ⊥AB ．从而线段SO 的长就是S 点到直线AB 的距离．ΘSD ⊥β，∴DA 是SA 在平面β上的射影．又SA ⊥AC ，由三垂线定理的逆定理，得DA ⊥AC ．同理DB ⊥BC ．又AC ⊥BC ，AC=BC ，∴四边形ABCD 是正方形．∵Ｏ是对角线AB 的中点， OD ＝1/2ＡＢ＝３．在Rt △SOD 中，SD=4，OD=3，SO ＝22OD SD +＝５．即S 到直线AB 的距离等于５cm 。

【导语】“雾失楼台,⽉迷津渡,桃源望断⽆寻处”是咫尺的距离;“寄蜉游于天地,渺沧海之⼀粟”是天涯的距离。

为⼤家提供《⾼中距离议论⽂800字三篇》，欢迎阅读。

【篇⼀】⾼中距离议论⽂800字 尼采说：每个⼈距离⾃⼰最远。

戴尔说：⼈类是能使⾃⼰变得神经不正常的动物，同时他们否认⾃⼰⾸先是动物的事实。

我们不能不承认，我们看到和抨击的都是⼈类的表象，是外在的东西，绝⼤多数时候，我们灵魂深处没有⼀盏明灯，⽆法照亮也⽆法让别⼈洞察⾃⼰的灵魂深处。

⽏庸置疑，我们灵魂深处之所以⿊暗，是因为⼈为设障的缘故，我们不屑敞开⼼扉，为什么？是害怕？害怕灵魂深处的⾃⾼⾃⼤与邪恶设计⼀旦⼤⽩于天下⽽形象⾃然受损，⼈便难为⼈了！ ⼈⾃封为天下之灵，凌驾于所有⽣灵之上，认为⾃⼰有可以控制和把握⼀切的⼒量，⽽实际上，这只是⼈们的⼀厢情愿。

⼈类在动物和植物⾯前，在⾃然界⾥，⼤多数时候，滑稽可笑⽽且⽆能为⼒。

这⼀点，井底之蛙看不到，⾃⼤夜郎看不到，贪婪⾃私者看不到，阴险狡诈者看不到。

⾃然界⾥，⼈们往往扮演的就是井底之蛙和夜郎⾃⼤的⾓⾊，扮演的是⼈⼼不⾜蛇吞象的⾓⾊，扮演的是穷凶极恶的掩⽿盗铃⾓⾊。

⼈们太⾃负，也太盲⽬⽆知了，⼈们太贪欲，也太愚昧可笑了。

因为⾃负和⽆知，因为贪欲和愚昧，⼈类遭受到了⼤⾃然的⽆情嘲弄——⽔⼟流失，江河泛滥，雾霾肆虐，冰雹如弹，⼭裂地崩陷，草原变沙漠；⼈类品尝了⾃酿的⽆尽恶果——北⽅⼲旱，南⽅暴⾬，海上台风，⼤陆地震…… 因果报应，⼈啊太有必要重新认知和审视⾃⼰到底距离⾃⼰有多远！ 中国⼈说：栽⽠得⽠，种⾖得⾖。

外国⼈说：认识⾃我，定准坐标。

善待你的对⼿吧！千万别把它当成“敌⼈”，⽽应该把它当做朋友，把它给⼈们的馈赠当做⼀剂清醒药，⼀副推进器，⼀条警策鞭…… 警醒⾃⼰，定位⾃⼰，弄清楚在地球上该如何合情合理合规的利⽤⼤⾃然赐赠的资源，弄清楚利⽤之余如何循环利⽤，如何保护地球，让地球⽣命常青，与⾃然和谐相处。

作文距离800字高中优秀范文赏析距离是我们生活中不可避免的一部分，从两人的相遇到分别，从一个地方到另一个地方的移动，都离不开距离的概念。

下面就让我们来探讨距离的不同表现。

首先，体验距离的感知方式也不尽相同。

在西方文化中，距离的感知以空间为主，人们习惯用尺寸、长度等等指标来衡量距离。

但在东方文化中，人们更强调情感距离，以关系为基础来体验距离。

在日本，人们通过称呼、礼节等信号来表达人与人之间的距离状态，非常注重维护情感距离。

因此，了解文化差异对距离的认知是非常重要的。

其次，时间也是距离的表现形式之一。

在身处不同地方的两个人之间，时间的差异是必然的，这也为两人之间的情感和联系带来了很多考验。

例如，异地恋情侣需要仔细计算时差，通过各种通讯方式维系感情。

一段时空上的距离，也许会阻挡两个人真爱相依的步伐。

但作为经历过距离考验的人来说，距离也是他们爱情的见证。

最后，看待距离，还需要明确距离的用途和作用。

在科技的高速发展中，人与人之间的距离已经变得不再是障碍，而成为联系和交流的桥梁。

网络时代的出现让人们不论是在家中还是远在他乡，都可以进行即时沟通和交流。

这样一来，距离的限制被降低，互动的方式也发生了翻天覆地的变化。

但另一方面，距离的消失也让人们容易陷入虚拟世界的漩涡，忽视了真实社交的重要性。

因此，距离既是桥梁，也是障碍，我们需要学会如何在新时代下，科学地面对距离的存在。

在各种不同的情境下，距离以不同的形式表现出来，这也体现了距离的多维性。

我们需要灵活地根据情况加以对应，充分利用距离，克服它所带来的困难。

正如上文中所述，西方文化和东方文化之间有着不同的距离感知方式，时空距离也随着网络时代的到来而有了不同的表现。

而所有这些的变化和变形，也展示了人类社会在大数据时代下探索距离的深度和广度。

对于个人而言，距离往往会给人带来不同的情绪和感受。

当离某个人或地方很远时，我们可能会感到孤独、无助或无聊。

但当离开一个压抑或让人失望的环境时，距离可以带来一种解脱和轻松的感觉。

高中高三数学说课稿范文：距离的优秀说课稿范文高中高三数学说课稿范文：距离的优秀说课稿范文
【摘要】高中学生在学习中或多或少有一些困惑，的编辑为大家总结了高中高三数学说课稿范文：距离的优秀说课稿范文，各位考生可以参考。

1. 教材分析
1&not;-1 教学内容及包含的知识点
(1) 本课内容是高中数学第二册第七章第三节《两条直线的位置关系》的最后一个内容
(2) 包含知识点：点到直线的距离公式和两平行线的距离公式
1-2 教材所处地位、作用和前后联系
本节课是两条直线位置关系的最后一个内容，在此之前，有对两线位置关系的定性刻画：平行、垂直，以及对相交两线的定量刻画：夹角、交点。

在此之后，有圆锥曲线方程，因而本节既是对前面两线垂直、两线交点的复习，又是为后面计算点线距离(在直线和圆锥曲线构成的组合图形中)提供一套工具。

高三关于距离的议论文【三篇】高三关于距离的议论文距离是一种奇妙的概念，它既能分隔我们，又能拉近我们。

在不同的场合下，距离的意义也有所不同。

在我们的日常生活中，距离常常被用来描述两个事物之间的距离，而在人与人之间，距离则意味着情感、思想和文化的差异。

距离在科学领域的应用是很广泛的。

在物理学中，我们常常用距离来衡量两个物体之间的位置。

任何物体之间的距离都可以被测量出来，无论是地球和月亮，还是两个小的粒子之间的距离。

在数学上，距离是指在一个度量空间中，两个元素之间的实际距离。

它是一个算法，能计算两个空间位置的差异，并用数字来表示它们之间的分离程度。

距离在电脑技术的应用领域也非常普及，例如地图软件、卫星图像，距离计算等等。

在人与人之间，距离的意义更加复杂。

在世界范围内，距离意味着文化、历史和语言的障碍。

不同的国家和民族之间因为距离的制约表现出不同的文化特征和习惯。

即使是海外华人，他们与在国内的同胞相比，也会在思想上和文化上产生距离感。

这不仅体现出不同的人种和风俗习惯，而且也反映出国家之间的巨大差异。

与此同时，距离也可以让我们产生情感上的隔阂。

家人、朋友之间由于距离的原因不能常常在一起，也很容易产生情感上的隔阂。

如今，随着交通工具的快速发展，人们之间的距离已经不是最大的问题。

然而，无论如何，这种距离成为人们之间情感上的障碍仍然存在。

太平洋上有的父母已经有5年没有亲眼看见儿女了，即使通过视频和语音可以听到彼此的声音和看到彼此的面容，但他们的距离依然在心灵上造成了极大的隔阂。

距离在人际关系中是复杂的，也是不可避免的。

在某些时刻，离得近可能会让人们感到压抑或者无处安放，而离得远则可能会使人们感到孤独。

距离还可以对人们的思想产生巨大的影响。

在一个同质化严重的社会中，不同文化、不同观点的交流可以扩大人们的眼界、让思想开阔。

同时，距离也可以在人们之间形成不同的立场和意见，这些意见可能会在不同的空间和时间条件下发生变化。

距离的议论文引言距离是人们生活中重要的概念之一。

它不仅仅指二维或三维空间的物理距离，还可以是时间、心理、经济等方面的距离。

距离在各种不同的领域中都起着重要的作用，如地理学、社交学、心理学、经济学等。

因此，本文将探讨距离的概念、不同类型的距离以及距离对人们生活的影响和意义。

距离的定义与分类距离是指事物之间的空间或非空间的间隔。

根据具体的应用领域，距离可以有不同的定义和分类。

空间距离空间距离是最为常见和熟知的距离概念。

它指的是物体之间在二维或三维空间中的距离。

在地理学中，我们用经纬度来度量两个地点之间的距离，而在几何学中，我们用欧几里得距离来衡量两点之间的距离。

时间距离时间距离描述的是不同时间点之间的间隔。

它可以是小时、分钟、秒等单位，用于衡量事件之间的时间差。

时间距离在物流、交通等领域有广泛的应用，能够帮助规划和优化时间资源。

心理距离心理距离是指个体之间在心理上的差异程度。

它包括认知、情感、文化等方面的差异。

心理距离在社交学和心理学中经常被用来解释人与人之间的亲疏关系，对人与人之间的交流和互动有重要影响。

经济距离经济距离是用来衡量不同经济体之间的相互关系和联系的量度。

经济距离可以通过货币、贸易、产业等方面的差异来衡量。

它是国际贸易、投资和经济发展研究中的重要概念。

距离对人们生活的影响和意义距离对人们的生活有着深远的影响和重要的意义。

它不仅影响着我们的行动和决策，还影响着我们的感知和情感。

首先，距离影响着人们的行动。

比如，当两地距离较近时，人们更容易进行面对面的交流和合作，而当距离较远时，人们更可能采取间接的沟通方式，如电话、邮件等。

距离的远近也会影响到人们的出行方式和速度选择。

除了行动方面，距离还影响着人们的决策。

研究表明，人们更倾向于与其距离较近的人建立合作关系，而对于距离较远的人，人们更容易感到不信任和陌生。

距离也会影响到人们的购买决策，比如人们更喜欢购买离自己较近的商店的商品。

此外，距离还对人们的感知和情感产生影响。

高二数学（下）复习讲义（2）距离一、知识与方法要点：1．两条异面直线的距离是指两条异面直线的公垂线段的长度，求两条异面直线的距离的基本方法是找出或作出两条异面直线的公垂线段并计算其长度。

两条异面直线a 、b 的距离也等于a 到过b 且平行a 的平面的距离．2．求点到平面的距离的方法有：（1）求点到平面的垂线段的长；（2）利用三棱锥的体积；利用平面的法向量：若AB 是平面α的斜线段（B 为斜足），n 是平面α的任意一个法向量，则点A 到平面α的距离|||||cos ,|||AB n d AB AB n n ⋅=⋅<>=． 3．直线到与它平行平面的距离、两个平行平面的距离，转化为点到平面的距离．二．例题分析：例1．如图，直角梯形OABC 中，2COA OAB π∠=∠=，2OC =，1OA AB ==，SO ⊥平面OABC ，1SO =，以,,OC OA OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系O xyz -，（Ⅰ）求SC 与OB 的夹角α的大小（用反三角函数表示）； （Ⅱ）设(1,,)n p q =，满足n ⊥平面SBC ，求：①n 的坐标；②OA 与平面SBC 的夹角β；③O 到平面SBC 的距离； （Ⅲ）设(1,,)k r s =满足k SC ⊥，且k OB ⊥为 ；②异面直线SC 、OB 例2．已知斜三棱柱111ABC A B C -的侧面11A ACC 90ABC ∠=，2BC =，AC =1AA ⊥（1）求侧棱1A A 与底面ABC 所成角的大小；（2）求侧面11A ABB 与底面ABC 所成二面角的大小；（3）求顶点C 到侧面11A ABB 的距离．例3．在长方体1111ABCD A B C D -中，20AB =，15AD =，110AA =，两动点,P Q 在线段11B D 上，点P 在Q 、1B 之间，异面直线DP 和CQ 恰好互相垂直，如图所示，建立空间直角坐标系，（1）若测得4PQ =，求点P 的坐标；（2）求||PQ 的最小值．三．课后作业：1．按照斜二测画，可能改变的是（ ） A ．两线段的平行性 B ．平行于x 轴、y 轴的线段的长度C ．同方向上两线段的比D ．角的大小2．棱长为1的正四面体在一平面α上的投影为S ，则S 的最大值是（ ）A ．1B ．21C ．23D ．433．设平面α过ABC ∆的重心，且,B C 两点在α的同侧，A 点在α的另一侧，记,,A B C 三点到平面α的距离分别为,,a b c ，对任意满足上述条件的平面α，写出,,a b c 之间的关系的一个等式 ．4．如图，直三棱柱111ABC A B C -的侧棱和底面边长都是a ，截面 1AB C 与截面11A BC 相交于DE ，四面体1BB DE 的体积为_________．5．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，棱长3AB =，11AA =， 截面11ABC D 为正方形，（Ⅰ）求直线11B D 与平面11ABC D 所成的角； （Ⅱ）求二面角11B AC B --的正弦值。