高二数学课件 (文)集合与函数概念复习课件人教版_高二

1．集合的基本概念 ⑴集合的概念一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素．元素与集合的关系有且仅有两种：属于（用符∈表示）和不属于（用符∉表示） ⑵集合中元素的特征①确定性：集合中的元素必须是确定的②互异性：集合中的任意两个元素必须是不同的③无序性：集合与组成它的元素的顺序无关 ⑶集合的分类（按元素个数的多少） 有限集；无限集．特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做∅，空集归入有限集． <教师备案>对于空集要处处设防，时刻提高警惕．警防0{0}=，{0}=∅，{}∅=∅的错误； 2．集合间的关系子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集．记做A B ⊆ 真子集：若A B ⊆，且B 中至少有一个元素不属于A ，则集合A 叫做集合B 的真子集．记做A B Ü 对于任何集合A ，规定A ∅⊆． <教师备案>子集关系具有如下性质： ①A A ⊆②若A B ⊆，B A ⊆，则A B =③若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆3．集合的运算⑴{}|A B x x A x B =∈∈且，{}|A B x x A x B =∈∈或 ⑵用维恩图表示交集与并集<教师备案>A B A A B =⇔⊆，A B A B A =⇔⊆ ⑶全集与补集全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用U 表示．3.1 集合知识点睛第3讲集合与函数概论补集：如果给定A U ⊆，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记做U A ð． <教师备案>若A U ⊆，则{}|U A x x U x A =∈∉且ð性质：()U U A A =痧；A U ⊆，U A U ⊆ð；U U =∅ð，U U ∅=ð．考点：集合的概念与分类【例1】 ⑴ 已知集合{}(11)22M =--，，，，则集合M 中元素个数为____个； ⑵ 下列命题中，正确的为________①集合N 中的最小正数是1； ②若a ∈N ，则a -∉N ；③全体高个子同学构成一个集合； ④小于1的正整数构成一个集合 ⑤6x x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭Q N 是有限集⑶ 下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ）A ．{}|1x x =B ．{}2|(1)0y y -= C ．{}1x = D ．{}1 ⑷ 下面几种表示法，能正确表示方程组2030x y x y +=⎧⎨-+=⎩的解集的是_________．①{}12x y =-=，；②()12x x y y ⎧⎫=-⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎩⎪⎪⎩⎭，，，；③{}12-，；④()12-，；【解析】 ⑴ 3；⑵ ①④；②中当0a =时，a -∈N ， ⑶ C ．选项A ，B ，D 中集合的元素都是数，C 中集合的元素是方程．⑷ ②①表示两个方程；③表示两个数；④表示开区间或表示一个坐标．考点：集合之间的关系与运算【例2】 ⑴ 下列命题中，正确的是________①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③任何一个集合都有两个或两个以上的子集④如果集合A B ⊆，那么若元素a B ∉，则a 必定不属于A⑵ 设集合{}13A a =，，，{}211B a a =-+，，且B A ⊆，则a 的取值集合为_________；⑶ 设U 为全集，集合A ，B 满足A B U 苘，则下列集合中，一定为空集的是（ ）A ．()UAB ð B ．()UB A ðC ．()()UUA B 痧 D ．A B⑷ 已知全集{}20小于的质数U =，如果M ，P 是U 的两个子集，且满足(){}35UM P =，ð，(){}719UM P =，ð，()(){}217UUM P =，痧，求M ，P ．【解析】 ⑴ ④；⑵ {}12-，经典精讲若213a a -+=，则1a =-或2； 若21a a a -+=，则1a =，矛盾 ⑶ A画出维恩图可知A 选项为空集．⑷ {}235711131719U =，，，，，，，，画维恩图如下：则{}3,5,11,13M =，{}7,11,13,19P =．尖子班学案1【拓1】 ⑴ 设{}1lg()A y xy =，，，{}0B x y =，，，且A B =，则x =_________，y =___________⑵ 已知全集*I =N ，集合{}*|2,A x x n n ==∈N ，{}*|4,B x x n n ==∈N ，则（ ） A ．I AB = B ．()I I A B =ð C ．()I I AB =ðD ．()()I II A B =痧【解析】 ⑴ 1-，1-对比两个集合的元素，有1x =且()lg 0xy =，则1x y ==-． ⑵ CB A Ü，，画维恩图可知()IAB I =ð．目标班学案1【拓2】 ⑴ 已知集合{},,2A a b =，{}22,,2B b a =，且A B A B =，则a = .⑵ 设集合124k M x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，142k N x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则下列选项中正确的是（ ）A ．M N =B ．M N ÜC ．M N ÝD ．M N =∅【解析】 ⑴ 0或14由A B A B =知A B =, 又根据集合元素的互异性,所以有22a a b b a b =⎧⎪=⎨⎪≠⎩或22a b b a a b⎧=⎪=⎨⎪≠⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故0a =或14.⑵ B121244k k ++=，12424k k ++= 考虑分子，21k +取遍奇数，2k +取遍所有整数．【例3】 全集U =R ，{|2}A x a x =∈R ≤≤，不等式组213320≤x x x ++⎧⎨+>⎩的解集为B ．⑴若1a =，求AB ，()U A B ð；⑵若B A ⊆，求实数a 的取值范围；⑶设集合B 的整数解组成集合M ，{}|,,N x x m n m M n M ==+∈∈，试用列举法写出集合N ．【解析】 ⑴ 当1a =时，[]12A =，；223B ⎛⎤=- ⎥⎝⎦，，此时223A B ⎛⎤=- ⎥⎝⎦，，()213U A B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ð；⑵ 由于223B ⎛⎤=- ⎥⎝⎦，，[]2A a =，，且B A ⊆，所以23a -≤；⑶ {}012M =，，，则{}01234N =，，，，．【备选】设全集(){}|U x y x y =∈R ，，，集合()312y M x y x ⎧-⎫==⎨⎬-⎩⎭，，集合(){}|1N x y y x =≠+，，那么()U M N =ð___________【解析】 (){}23，集合M 为直线1y x =+上除点()23，之外的所有点， 集合N 为直角坐标平面上直线1y x =+外的所有点， 所以()(){}23U MN =，ð．22a a b b a b ，，，，，构成集合M ，则M 中元素的个数最多是_____个，元素个数最少的集合M =_____．【解析】 4；{}1或{}0当a b ≠且22a b ≠时，元素个数最多 当0a b ==或1时元素个数最少1．函数的概念定义：设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作()y f x x A =∈，定义域：其中x 叫做自变量，自变量取值的范围（数集A ）叫做这个函数的定义域． 值域：如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作()y f a =或|x a y =，所有函数值构成的集合{}|()y y f x x A =∈，叫做这个函数的值域．<教师备案>① 因为函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定，所以确定一个函数就只需两个要素：定义域和对应法则② 在函数关系式的表述中，函数的定义域有时可以省略，这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合．③ 在实际应用中，函数的定义域还要受到自变量实际意义的制约．2．映射3.2函数概念知识点睛映射：设A ，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中有一个且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 映射． 象：称y 是x 在映射f 下的象，记作()f x 原象：x 称作y 的原象．映射f 也可以记为：:()f A Bx f x →→．其中A 叫做映射f 的定义域，由所有象()f x 构成的集合叫做映射f 的值域，通常记作()f A ． <教师备案>映射是函数概念的推广，或者说：函数是一种特殊的映射．A 到B 的映射，集合B 不一定是值域．一一映射：如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的任意一个元素，在集合A 中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A 到集合B 的一一映射．考点：函数概念的理解 尖子班学案2【铺1】 ⑴ 已知函数20()10x x f x x x ⎧=⎨->⎩，≤，，，若1()2f a =，则实数a =____________；⑵ 若函数()y f x =的定义域为{}|22M x x =-≤≤，值域为{}|02N y y =≤≤，则函数()y f x =的图象可能是（ ）DCBA【解析】 ⑴ 1-或32 若122x =，解得1x =-，满足题意；若112x -=，解得32x =，也满足题意，所以实数a 的值为1-或32．⑵ B【例4】 ⑴在下列函数：①3y =；②y =2y =；④32x y x=中，与y x =表示同一函数的是__________； ⑵ 已知2(1)2f x x x -=-，则f=__________．⑶ 已知函数210()20x x f x x x ⎧+=⎨->⎩，≤，，若()10f a =，则a 的值为______________；⑷ 下列y 和x 的关系式不能构成从x y →的函数的是________．①y =②()lg 2y x =-； ③6xy =；经典精讲④221x y +=； ⑤()()2121x y x -=-+【解析】 ⑴ ①⑵ 1令1x -1x =+，则21)1)1f =-=． ⑶ 3-若0a ≤，则2110a +=，解得3a =（舍）或3a =-， 若0a >，则210a -=，解得5a =-（舍）， ∴3a =-． ⑷ ②④由定义域和对应法则确定了一个函数，②需满足10≥x -，且20x ->，定义域为空集，所以不能构成函数， ④中一个x 对应两个y ，不是函数．目标班学案2【拓2】 ⑴ 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．0()f x x =，()1g x = B ．2()f x x =，3()x g x x=C．()f x =()||g x x = D．()f x =()g x =⑵ 已知函数2log 0()40x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩，，≤，若1()2f a =，则实数a =_______【解析】 ⑴ C选项A 、B 、D 中两个函数的定义域均不相同．⑵12-若0a >，则21log 2a =，解得a =若0a ≤，则142a =，解得12a =-．【例5】 ⑴函数y 的定义域是____________； 【例6】 ⑵函数y =的定义域是_____________；⑶函数y ____；函数y =________．【解析】 ⑴ 3|22x x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭且≥32302202x x x x ⎧-⎧⎪⇒⎨⎨-≠⎩⎪≠⎩≥≥⑵ {}|0x x x >或≤-11100x x ⎧+⎪⎨⎪≠⎩≥，即100x x x +⎧⎪⎨⎪≠⎩≥，解得1x -≤或0x >，⑶ {}|13x x -≤≤；{}|4x x ≥ 223130xx ---≥，即22302313230xx x x --=⇔--≤≤，即13x -≤≤．2l o g 20x -≥，即2log 2x ≥，解得4x ≥． 【点评】关于定义域，常考形式：分母不为零；偶次根下非负；对数的真数为正；指数，对数的底数大于0且不为1．尖子班学案3【拓1】 ⑴函数y =的定义域是_____________；⑵ 函数51log (21)y x =-的定义域是____________．【解析】 ⑴ {}|13x x -≤≤101303x x x x +-⎧⎧⇒⎨⎨-⎩⎩≥≥≥≤⑵ 1|12x x x ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭且5210l o g (21)0x x ->⎧⎨-≠⎩，解得121x x ⎧>⎪⎨⎪≠⎩目标班学案3【拓2】 ⑴函数2()lg(31)f x x =++的定义域是____________；⑵函数y ___________．【解析】 ⑴ 1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭需满足10310x x ->⎧⎨+>⎩，解得1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．⑵ 1|04x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤需满足120log 20x x >⎧⎪⎨-⎪⎩≥，解得014x x >⎧⎪⎨⎪⎩≤【例7】 ⑴ 下列函数中值域是(0)+∞，的是（ ）A ．21y x =+，0x >B ．2y x =C ．2y x =D．y = ⑵ 函数2()235f x x x =-+，[]11，x ∈-的值域为__________； ⑶ 函数12()1xf x x -=-的值域为_________； ⑷ 已知{}425B =，，则能构成以B 为值域且对应法则为2()f x x =的函数关系有______个． 【解析】 ⑴ D⑵ 31108，⎡⎤⎢⎥⎣⎦对称轴为34x =，所以该函数的最大值为2(1)2(1)3(1)510f -=⨯--⨯-+=， 最小值为2333312354448f ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以值域为31108，⎡⎤⎢⎥⎣⎦．⑶ ()()22，，-∞--+∞函数1212(1)1()2111x x f x x x x ----===-----， 所以函数值域为()()22，，-∞--+∞．⑷ 9设定义域为A ，则A 中必须至少包含22-，和55-，中的各一个所以集合A 可以为{}25，，{}25-，，{}25-，，{}25--，；{}225-，，，{}225--，，，{}255--，，，{}255--，，；{}2255--，，，．共9个目标班学案4【拓2】 ⑴ 函数2()log (31)x f x =+的值域为__________；⑵ 函数y =_______________．【解析】 ⑴ ()0+∞，因为311x +>，则()22log 31log 10x +>=．⑵ 1⎡⎣法一：2111(1)2y x x =+++-=≤，又y 非负．所以1y ⎡∈⎣法二：因为y =01≤≤x ，且221+=，sin α=，π02，α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则πsin cos 4y ααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由于π02，α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ3π444，α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，πsin 14α⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以1y ⎡∈⎣。