第三章 泊松过程3.1 泊松过程的定义和例子定义3.1 称随机过程}0),({≥t t N 为计数过程,若N(t)表示到时刻t 为止已发生的事件A 的总数,且N(t)满足下列条件:(1)0)(≥t N ;(2)N(t)取整数值;(3)若s<t,则);()(t N t N ≤(4)当s<t 时,N(t)-N(s)等于区间],(t s 中发生的事件A 的次数.如果计数过程N(t)在不相重叠的时间间隔内,事件A 发生的次数是相互独立的即若4321`t t t t <≤<,则在],(21t t 内事件A 发生的次数)()(12t N t N -与在],(43t t 内事件A 发生的次数)()(34t N t N -相互独立,此时计数过程N(t)是独立增量过程. 若计数过程N(t) 在],(s t t +内(s>0),事件A 发生的次数N(t+s)-N(t)仅与时间差s 有关,而与t 无关,则计数过程N(t)是平稳增量过程.泊松过程是计数过程的最重要的类型之一,其定义如下:定义3.2 称计数过程}0),({≥t t X 为具有参数0>λ的泊松过程,若它满足下列条件 (1) X(是独立增量过程;(3)在任一长度为t 的区间中,事件A 发生的次数服从0>λ的泊松分布,即对任意0,≥t s 有 ,...,2,1,0,!)(})()({===-+-n n t en s X s t X P ntλλ (3.1) 从条件(3)知泊松过程是平稳增量过程且t t X E λ=)]([.t t X E /)([=λ表示单位时间内事件A 发生率平均个数,故称0>λ为此过程的速率或强度. 条件(3)的检测是非常困难的.为此给出泊松过程的另一个定义.定义3.3 称计数过程}0),({≥t t X 为具有参数0>λ的泊松过程,若它满足下列条件:(1)X(是独立平稳增量过程;(3)X(t)满足下列两式:),(}1)()({h o h t X h t X P +==-+λ),(}2)()({h o t X h t X P =≥-+ (3.2)定义中的条件(3)说明,在充分小的时间间隔内,最多有一个事件发生,而不能有两个或两个以上事件同时发生,这种假设对于许多物理现象较容易得到满足.定理3.1定义3.2与定义3.3是等价的.例3.1考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼唤,令X(t)表示电话交换台在],0(t 内收到的呼唤次数,则}0),({≥t t X 满足定义3.3的条件,故该随机过程是一个泊松过程.例3.2考虑来到某火车站售票处购买车票的旅客.若记X(t)为在时间[0,t]内到达售票处窗口的旅客数,则}0),({≥t t X 为一个泊松过程.例3.3考虑机器在],(h t t +内发生故障这一事件.若机器发生故障,立即修理后继续工作,则在],(h t t +内机器发生故障而停止工作的事件数构成一个随机过程,它可以用泊松过程进行描述. 3.2 泊松过程的基本性质 一,数字特征根据泊松过程的定义,我们可以导出泊松过程的几数字特征. 设}0),({≥t t X 是泊松过程,对任意的),0[,∞∈s t ,且s<t,有 ),()]()([)]()([s t s X t X D s X t X E -=-=-λ 由于X(0)=0,故,)]0()([)]([)(t X t X E t X E t m X λ=-== (3.4),)]0()([)]([)(2t X t X D t X D t X λσ=-==)]()([),(t X s X E t s R X ==)]}()()()[({s X s X t X s X E +- =2)]([)]()()][0()([s X E s X t X X s X E +--=2)]}([{)]([)]()([)]0()([s X E s X D s X t X E X s X E ++--=).1()()(2+=++-t s s s s t s λλλλλλ.)()(),(),(s t m s m t s R t s B X X X X λ=-= (3.5) 特征函数为)].1(exp[][)()(-==iu t iuX X e t e E u g λ (3.6) 二,时间间隔与等待时间的分布设}0),({≥t t X 是泊松过程,令X(t)表示t 时刻事件A 发生(顾客出现)的次数,,...,,21W W 分别表示第一次,第二次,…事件A 发生的时间,)1(,≥n T n 表示从第(n-1)次事件A 发生到第n 次事件A 发生的时间间隔,(如图3.1所示)._________________12211→-----→←→←→←-n n n W T W W T W T图3.1通常,称n W 为第n 次事件A 出现的时刻或第n 次事件A 的等待时间,n T 是第n 个时间间隔,它们都是随机变量.定理3.2设}0),({≥t t X 是具有参数λ的泊松分布, )1(,≥n T n 是对应的时间间隔序列,则随机变量)1(,≥n T n 是独立同分布的均值为λ1的指数分布.证明 首先注意到事件}{1t T >发生当且仅当泊松过程在区间[0,t]内没有事件发生,因而,}0)({}{1t e t X P t T P λ-===>,1}{1}{)(111t T e t T P t T P t F λ--=>-=≤=所以1T 是服从均值为λ1的指数分布,利用泊松过程独立,平稳增量性质,有],{(}{12t s s P s T t T P +==>内没有事件发生}1s T = =],{(t s s P +内没有事件发生}=}0)()({=-+s X s t X P=t e X t X P λ-==-}0)0()({,1}{1}{)(222t T e t T P t T P t F λ--=>-=≤= 所以2T 也是服从均值为λ1的指数分布.对于任意,0,...,,,,1121≥≥-n s s s t n 有}0...()...({},...,{1111111=++-+++===>----n n n n n s s X s s t X P s T s T t T P=t e X t X P λ-==-}0)0()({,1}{1}{)(t n n T e t T P t T P t F n λ--=>-=≤= 所以对任n T 也是服从均值为λ1的指数分布. {,,0,0,0,1}{)(<≥-=≤=-t t e t T P t F t n T n λ其概率密度为 ⎩⎨⎧<≥=-.0,0,0,t t e f t T n λλ因为 ∑==nk k n T W 1由定理 3.2知,n W 是相互独立的指数分布随机变量之和,故用特征函数方法,立即可得如下定理:定理3.3设}1,{≥n W n 是与}0),({≥t t X 对应的一个等待时间序列,则n W 服从参数为n 与λ的Γ分布,其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=--.0,0,0,)!1()()(1t t n t e t f n t W n λλλ (3.7) 定理3.3的另一证明.注意到第n 个事件在时刻t 或之前发生当且当到时间t 已发生事件的数目至少是n,即.)(t W n t X n ≤⇔≥因此 !)(})({}(j t en t X P t W P jn j tn λλ∑∞=-=≥=≤. 对上式求导,得n W 的概率密度是 !)()(j t et f jn j tW n λλλ∑∞=--=. =.)!1()(1-=--n t en tλλλ 三,到达时间的条件分布假设在[0,t]内事件A 已经发生一次,我们要确定这一事件到达时间1W .的分布.因为泊松过程有平稳独立增量,故有理由认为[0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相同.换言之,这个事件的到达时间应在[0,t]上服从均匀分布.事实上,对s<t, 有}1)({}1)(,{}1)({11==≤==≤t X P t X s W P t X s W P}1)({}0)()(,1)({==-==t X P s X t X s X P }1)({}0)()(,1)({==-==t X P s X t X s X P =,)(t ste e se t s t s =----λλλλλ 即分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<==;,1,0,,0,0)(1)(1t s t s t s s s F t X W定理3.4设}0),({≥t t X 是泊松过程,已知在[0,t]内事件A 发生n 次,则这n 次到达时间n W W W <<<...,21与相应于n 个[0,t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布.证明 令,....0121t t t t n =<<≤+且取i h 充分小使得1+<+i i i t h t (i=1,2,…,n),则在给定X(t)=n 的条件下,我们有})(,...,{1111n t X h t W t h t W t P n n n n =+≤≤+≤≤ =})({],0[,,...2,1,],{[n t X P t n i h t t P i i i ==+的别处无事件中有一事件=,...!!/)(...21)...(111n n nt h h t h n h h h h tn n t e e e h e h nn=-------λλλλλλλ 因此ni i i i h h n t X n i h t W t P ...})(,....,1,{1==+≤≤=.!n t n 令0→i h ,我们得到n W W ,...,1在已知X(t)=n 的条件下的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥<≤==.0;,0,0,1)(1)(1s t s t s ts f t X W⎪⎩⎪⎨⎧<<<=,,0,...0,!),...,(11其它n n n t t t n t t f例 3.4设在[0,t]内事件A 已经发生n 次,且,0t s <<对于,0n k <<求}.)()({n t X k s X P ==解 利用条件概率及泊松分布得})({})(,)({})()({n t X P n t X k s X P n t X k s X P =======})({})()(,)({n t X P k n s X t X k s X P =-=-==!)()!()]([!)()(n t e k n s t ek s entkn s t k tλλλλλλ-------=.)1()(k n kk n t s t s C -- 这是一个参数为n 和s/t 的二项分布.例3.5设在[0,t]内事件A 已经发生n 次,求第k(k<n)次事件A 发生的时间k W 的条件概率密度函数解 先求条件概率},)({n t X h s W s P s =+≤<再对s 求导. 当h 充分小时,有==+≤<})({n t X h s W s P s=})({/)(,{n t X P n t X h s W s P s ==+≤<=!)(})()(,{n t e k n h s X t X h s W s P n t s --=+-+≤<λλ =!)(})()({}{n t e k n h s X t X P h s W s P n t s --=+-+≤<λλ将上式两边除以h,并令0→h 取极限,得到 hn t X h s W s P n s f k h t x W k})({lim )(0)(=+≤<=→=!)(})()({)(n t e k n s X t X P s f n t W k --=-λλ=.)1()!()!1(11kn kk ts t s k n k n -----其中利用了定理3.3的结论.例3.6 设}0),({1≥t t X 和}0),({2≥t t X 是两个相互独立的泊松过程,它们在单位时间内平均出现的事件数分别为21,λλ.记)1(k W 为过程}0),({1≥t t X 的第k 次事件到达时间,)2(1W 为过程}0),({2≥t t X 的第一次事件到达时间,求}{)2(1)1(W W P k <,即第一个泊松过程的第k 次事件发生比第二个泊松过程的第1次事件发生早的概率.解 设)1(k W 的取值为x, )2(1W 的取值为y,由(3.7)式⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=--.0,0,0,)!1()()(1111)1((x x k x e x f k x W kλλλ⎩⎨⎧<≥=-.0,0,0,)(2)2(12y y e y f y W λλ则⎰⎰=<Dk dxdy y x f W W P ),(}{)2(1)1(其中D 为由y=x 与y 轴所围区域,f(x,y)为)1(k W 与)2(1W 的联合概率密度.由于两个随机过程相互独立,因此),()(),()2(1)1(y f x f y x f W W k=所以 ⎰⎰=<Dk dxdy y x f W W P ),(}{)2(1)1(=dydx e k x ey n xx2121101)!1()(λλλλλ---∞∞-⎰⎰=.)(211k λλλ+例3.7 仪器受到振动而引起损伤.如果震动是按照强度为λ的泊松过程发生,第k 次震动引起的损伤为k D ,,...,21D D 是独立同分布随机变量序列,且和}0),({≥t t N 独立,其中N(t)是表示[0,t]时间段仪器受到震动次数,又假设仪器受到震动而引起的损伤随时间按指数减少,即如果震动的初始损伤为D 则震动之后经过时间t 后减少为).0(>-ααt De 设损伤是可叠加的,即在时刻t 的损伤可表示为))()(1)(k t t t N k ke D t D --=∑=α,其中k t 为仪器受到第k 次震动的时刻,求E[D(t)].解 E[D(t)]=][)(1)(∑=--t N k t t k k eD E α =)},(][{)(1)(t N e D E E t N k t t k k ∑=--α由于==∑=--})(]{[)(1)(n t N eD E t N k t t k k α})(]{[1)(n t N e D E nk t t k k =∑=--α=])([)(11n t N e E eD E nk t tk =∑=-αα由定理3.4知(U(k)是[0,t]上相互独立的均匀随机变量的顺序统计量) ]1[1][][])([0)(1)(1-=====⎰∑∑==tt x k U nk k U nk t e tn dx e t nEe n e E n t N eE kαααααα, 因此).1()()]([),(]1[)()]()([11t t e D E t D E D E e tt N t N t D E αααλα---=-=3.3非齐次泊松过程定义3,4称计数过程}0),({≥t t X 为具有跳跃强度函数)(t λ的非齐次泊松过程,如果它满足下列条件; (1) X(0)=0;(2) X(t)是独立增量过程;(3)).(}2)()({),()(}1)()({h o t X h t X P h o h t t X h t X P =≥-++==-+λ显然根据强度的物理意义,非齐次泊松过程的均值函数为⎰=tX ds s t m 0)()(λ (3.9)概率分布由下面定理给出.定理3.5 设}0),({≥t t X 是具有均值函数⎰=tX ds s t m 0)()(λ的非齐次泊松过程,则有})()({n t X s t X P =-+=)0()]},()([exp{!)]()([≥-+--+n t m s t m n t m s t m X X nX X 例3.8 设}0),({≥t t X 是具有跳跃强度)cos 1(21)(wt t +=λ的非齐次泊松过程 )0(≠w ,求E[X(t)]和D[X(t)].解 由(3.9)E[X(t)]=D[X(t)]=).sin 1(21)cos 1(210wt wt ds ws t+=+⎰ 3.4 复合泊松过程定义3.5 称计数过程}0),({≥t t N 为具有跳跃强度函数λ齐次泊松过程,},...,2,1,{=k Y k 是一列独立同分布的随机变量,且与}0),({≥t t N 独立,令,0,)()(1≥=∑=t Y t X t N k k则称}0),({≥t t X 为复合泊松过程.例3.10设N(t)是在时间段],0(t 内到达某商店的顾客数, }0),({≥t t N 是泊松过程.若k Y 是第k 个顾客在商店所花的钱数,则},...,2,1,{=k Y k 是独立同分布随机变量序列,且与}0),({≥t t N 独立,记X(t)为该商店在],0(t 时间段内的营业额,则,0,)()(1≥=∑=t Y t X t N k k 是一个复合泊松过程.定理3.6 设,0,)()(1≥=∑=t Y t X t N k k 是复合泊松过程,则(1) }0),({≥t t X 是独立增量过程;(2) X(t)特征函数]},1)({exp{)()(-=u g t u g Y t X λ其中)(u g Y 是随机变量1Y 的特征函数;λ是事件的到达率;(3)若,)(21∞<Y E 则].[)]([],[)]([211Y tE t X D Y tE t X E λλ== 证明 (1)令,....0210m t t t t <<<≤则.,...,2,1,)()()(1)(11mk Y t X t X k k t N t N i ik k ==-∑+=-- 由条件,不难验证X(t)具有独立增量性.(2) 因为=)()(u g t X ][)(t i u X eE =})({])([)(0n t N P n t N e E t iuX n ==∑∞==1)(])([1n t en t N eE ntY iun nk kλλ-∞==∑=∑=!)(][1n t eeE ntY iun nk kλλ-∞=∑=∑=!)()]([0n t eu g ntn Y n λλ-∞=∑=exp{]}.1)([-u g t Y λ (3) 由条件期望的性质E[X(t)]=E{E[X(t))]}(t N ,由假设知 ==])()([n t N t X E ==∑=])([)(1n t N Y E t N i i ==∑=])([1n t N Y E ni i),(][11Y nE Y E ni i ==∑=所以E[X(t)]=E{E[X(t))]}(t N =E[N(t)])(1Y E =).(1Y tE λ 类似地],[)()]()([1Y D t N t N t X D =)({)]([t N E t X D =D[1Y ]}+D{N(t)E[]}1Y =.)()()(21211Y tE EY t Y tD λλλ=+。
