高中数学《导数及其应用》同步练习题（含答案）
1. 一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（）
A.米/秒
B.米/秒
C.米/秒
D.米/秒
2. 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3. 若关于的不等式的解集为，且，则整数的最大值是（）
A. B. C. D.
4. 定义在上的函数满足：，，是的导函数，则不等式
（其中为自然对数的底数）的解集为（）
A.
B.
C.或
D.或
5. 一质点做直线运动，由始点经过后的距离为，则速度为的时刻是（）
A. B.
C.与
D.与
6. 曲线在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
7. 函数的图象上一点处的切线的斜率为（）
A. B. C. D.
8. 函数，若，则
A. B. C. D.
9. 已知函数＝的图象在点（）处的切线方程是，则的值等于（）
A. B. C. D.
10. 若曲线与轴相切，则，之间的关系满足（）
A. B.
C. D.
11. 已知函数，则________．12. 已知函数，则________．
13. 定义在上的函数满足：，，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为________．
14. 在处的导数值是________．
15. 已知，则________．
16. 函数的单调递减区间是________．
17. 已知函数，其中，则函数的单调增区间________.
18. 若函数，则________．
19. 若函数＝的极大值为，则的极小值为________．
20. 若函数＝在＝处取得极值，则实数的值为________．
21. 已知定义在上的函数.
若，求的极值；
若在区间内单调，求实数的取值范围.
22. 已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，函数的图象恒不在轴的上方，求实数的取值范围．
23. 已知函数()．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对于任意的，且，都有，求实数的取值范围．24. 已知函数的图象在点处的切线方程为.
求，的值并求函数的单调区间；
求在的最值.
25. 设和是函数的两个极值点．
（1）求和的值；
（2）求的单调区间．
26. 已知函数．
（1）若在处取得极值为，求、的值；（2）若在上是增函数，求实数的取值范围．
27. 已知函数与函数在处有公共的切线.
求实数的值；
记，求的极植.
28. 已知函敦，其中，求函数有极值时，、满足的条件．
29. 已知函数有绝对值相等，符号相反的极大值和极小值，试确定常数的值．
30. 已知函数，若的图象上任意不同两点连线的斜率均大于，求实数的取值范围．
参考答案
一、选择题
1.C
2.A
3.B
4.A
5.C
6.B
7.D
8.B
9.C 10.B
二、填空题
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.
18. 19. 20.
三、解答题
21.解：时，，
令，即，解得或
下面分两种情况讨论：
当，即或时；
当，即时.
当变化时，的变化情况如下表：
因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，
有极小值，并且极小值为.
的图象是开口向上的抛物线，对称轴是直线
当，即时，
且在上单调递增，
∴在内恒成立，
∴在上单调递增，即时满足题意.
当，即时，
且在上单调递减，∴在内恒成立，∴在上单调递减.
即时满足题意.
当即时，若，则，只需即，
此时在内恒成立.即在上单调递减.
∴时满足题意.
若，则，此时只需，
解得，
即时，在内恒成立.
即时在上单调递增.
综上，若在区间内单调，实数的取值范围是
22.解：（1）由题意得函数的定义域是．
∵，∴．
当时，，函数在定义域上是增函数；
当时，令，当时，，函数在上是减函数，当时，，函数在上是增函数．
∴当时，的单调递增区间是；
当时，的单调递增区间是，单调递减区间是．
（2）当时，函数的图象恒不在轴的上方等价于（）．
由，得．
令，则．
①若，则，故在上单调递增，
∴，即，∴在上单调递增，
∴，从而，不符合题意；
②若，当时，，故在上单调递增，
∴，即，∴在上单调递增，
∴，
从而，不符合题意；
③若，则在上恒成立，∴在上单调递减，
∴，即，
∴在上单调递减，∴，从而恒成立．
综上，实数的取值范围是．
23.解：（1）由题意知，
∵，，∴，∴在单调递增．
（）不妨设，则，
由（1）知，
∴．
设，，易知在上单调递减，
∴在恒成立在恒成立在恒成立，
易知在上单调递增，其最大值为．
∵，∴，
∴实数的取值范围为．
24.解：函数的导数为，图象在点处的切线方程为，
可得，
解得.
由的导数为，
可令，可得或，
，可得，
则函数单调递增区间为，单调递减区间为.
由，可得或，
则，
可得在的最小值为，最大值为.
25.解：（1）因为
由假设知：，
解得
（2）由（1）知
当时，
当时，
因此的单调增区间是，，
的单调减区间是，
26.解：（1）根据题意得：
，
．
（2）
当，，在上递增，满足题意；
当
∴，∴
∴综上，的取值范围是．
27.解：，，
由题意得：，，
∴，；
，
，
令，解得：，
令，解得：，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴极大值，无极小值.
28. 解：∵函敦，其中，
∴的定义域为，
．
∵函数有极值，
∴有解，
即有解．
∴即，两根为，（舍去），在处取得极值．
∴只需即可．
29.
解：，
∴，
令，得，
由题意，该方程必定有不相等两实根，可分别设为，，则，，
∴
∴或或．
30.
解：由题意得，，
因为的图象上任意不同两点连线的斜率均大于，
所以恒成立，即，
则，解得，
所以实数的取值范围是．
（人教B版）高中数学必修一（全册）同步练习汇总 1．下列所给对象不能构成集合的是()． A．平面内的所宥点 B．直角坐标系中第一、三象限的角平分线上的所宥点 C．清华大学附中高三年级全体学生 D．所宥高大的树 2．下列语句中正确的个数是()． ①0∈N＋；②π∈Q；③由3,4,4,5,5,6构成的集合含宥6个元素；④数轴上1到1.01间的线段包括端点的点集是宥限集；⑤某时刻地球上所宥人的集合是无限集．A．0B．1C．2D．3 3．(易错题)由a2,2－a,4组成一个集合A, A中含宥3个元素, 则实数a的取值可以是()． A．1 B．－2 C．6 D．2 -.其中正确的个数是4．给出以下关系式: 2∈R, ②2.5∈Q, ③0∈?, ④3N ()．
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．以实数x , － x , 2x , |x |, －|x |, 2x -, 33x -, 3 3x 爲元素所构成的集合中最多 含宥( )． A ．2个元素 B ．7个元素 C ．4个元素 D ．5个元素 6．已知x , y , z 是非零实数, 代数式xyz x y z x y z xyz +++ 的值所组成的集合爲M , 则M 中宥________个元素． 7．对于集合A ＝{2,4,6}, 若a ∈A , 则6－a ∈A , 那么a 的值是________． 8．用符号∈和?填空． (1)设集合A 是正整数的集合, 则0________A , 2________A , (－1)0________A ； (2)设集合B 是小于11的所宥实数的集合, 则23________B,1＋2________B ； (3)设集合C 是满足方程x ＝n 2＋1(其中n 爲正整数)的实数x 的集合, 则3________C,5________C ； (4)设集合D 是满足方程y ＝x 2的宥序实数对(x , y )的集合, 则－1________D , (－1,1)________D . 9．关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0且a , b , c ∈R ), 当a , b , c 满足什么条件时, 以实数解构成的集合分别爲空集、含一个元素、含两个元素? 10.数集M 满足条件: 若a ∈M , 则11a M a +∈-(a ≠± 1, 且a ≠0), 已知3∈M , 试把由此确定的M 的元素求出来．
§1.1空间几何体的结构 第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征 学习目标 1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构和有关计算． 知识点一空间几何体的定义、分类及相关概念 思考构成空间几何体的基本元素是什么？常见的几何体可以分成哪几类？ 答案构成空间几何体的基本元素是：点、线、面．常见几何体可以分为多面体和旋转体．梳理 类别多面体旋转体 定义由若干个平面多边形围成的几何体由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体 图形 相关概念面：围成多面体的各个多边形 棱：相邻两个面的公共边 顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转体所绕的定直线
知识点二棱柱的结构特征 名称定义图形及表示相关概念分类 棱柱有两个面互相平 行，其余各面都是 四边形，并且每相 邻两个四边形的 公共边都互相平 行，由这些面所围 成的多面体叫做 棱柱 如图可记作：棱柱 ABCDEF— A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相平 行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共 边 顶点：侧面与底面的公 共顶点 按底面多 边形的边 数分：三 棱柱、四 棱 柱、…… 知识点三棱锥的结构特征 名称定义图形及表示相关概念分类 棱锥有一个面是多边 形，其余各面都 是有一个公共顶 点的三角形，由 这些面所围成的 多面体叫做棱锥 如图可记作：棱锥 S—ABCD 底面(底)：多边形 面 侧面：有公共顶点 的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的 公共边 顶点：各侧面的公 共顶点 按底面多边形的边 数分：三棱锥、四 棱锥、…… 知识点四棱台的结构特征及棱柱、棱锥、棱台之间的关系 1．棱台的结构特征 名称定义图形及表示相关概念分类 棱台用一个平行 于棱锥底面 的平面去截 棱锥，底面 与截面之间 的部分叫做 如图可记作：棱台 ABCD—A′B′C′D′ 上底面：平行于棱锥底 面的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共 边 由三棱锥、四 棱锥、五棱 锥…… 截得的棱台 分别叫做三 棱台、四棱
高中数学 1.2.1、2课后练习同步导学新人教A版选修11 (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分又不必要条件 解析：若a＝1，则有|a|＝1是真命题，即a＝1?|a|＝1，由|a|＝1可得a＝±1，所以若|a|＝1，则有a＝1是假命题，即|a|＝1?a＝1不成立，所以a＝1是|a|＝1的充分而不必要条件，故选A. 答案： A 2．设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1
高中数学必修1课后习题答案 第一章 集合与函数概念 1．1集合 1．1．1集合的含义与表示 练习（第5页） 1．用符号“∈”或“?”填空： （1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A ，美国_______A ， 印度_______A ，英国_______A ； （2）若2 {|}A x x x ==，则1-_______A ； （3）若2{|60}B x x x =+-=，则3_______B ； （4）若{|110}C x N x =∈≤≤，则8_______C ，9.1_______C ． 1．（1）中国∈A ，美国?A ，印度∈A ，英国?A ； 中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲． （2）1-?A 2 {|}{0,1}A x x x ===． （3）3?B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-． （4）8∈C ，9.1?C 9.1N ?． 2．试选择适当的方法表示下列集合： （1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合； （2）由小于8的所有素数组成的集合； （3）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （4）不等式453x -<的解集． 2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=， 所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-； （2）因为小于8的素数为2,3,5,7， 所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}； （3）由326y x y x =+??=-+?，得14x y =??=? ， 即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，
微专题突破五 应对三角恒等变换的几个小技巧 三角函数题是高考的热点，素以“小而活”著称．除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧．下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助． 一、灵活降幂 例1 3－sin 70°2－cos 210° ＝________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用降幂公式化简求值 答案 2 解析 3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝3－cos 20°3－cos 20°2 ＝2. 点评 常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1进行降幂：如cos 4θ ＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ＝1－12 sin 22θ等． 二、化平方式 例2 化简求值： 12－12 12＋12 cos 2α????α∈????3π2，2π. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 解 因为α∈????3π2，2π，所以α2∈????3π4，π，所以cos α>0，sin α2 >0， 故原式＝12－12 1＋cos 2α2＝12－12cos α＝sin 2α2＝sin α2 . 点评 一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α，1－cos 2α，1＋sin 2α，1－sin 2α常常化为平方式：2cos 2α，2sin 2α，(sin α＋cos α)2，(sin α－cos α)2. 三、灵活变角 例3 已知sin ????π6－α＝13，则cos ??? ?2π3＋2α＝________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值 答案 －79
第三章归纳总结 知识结构 知识梳理 一、不等关系 1.不等关系体现在日常生活中的方方面面，在数学意义上，不等关系可以体现： （1）常量与常量之间的不等关系； （2）变量与变量之间的不等关系； （3）函数与函数之间的不等关系； （4）一组变量之间的不等关系. 2.实数比较大小的方法：作差法 （1）a-b>0?a>b; （2）a-b=0?a=b; （3）a-b<0?a
（5）a >b,c >d ?a+c >b+d ; （6）a >b >0,c >d >0?ac >bd ; （7）a >b >0?a n >b n (n ∈N +且n >1); （8）a >b >0?n a >n b (n ∈N +且n >1). 对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件放宽和加强后，结论是否发生了变化；运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，切不可用“似乎”、“是”、“很显然”的理由代替不等式的性质. 二、一元二次不等式 1.一元二次不等式的解与一元二次不等式的解集： 一般地，使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个一元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集. 2.解一元二次不等式的步骤： 常用数形结合法解一元二次不等式，步骤： （1）当a >0时，解形如ax 2 +bx+c >0(≥0)或ax 2 +bx+c <0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步： ①确定方程ax 2 +bx+c ＝0的解； ②画出对应函数y=ax 2 +bx+c 的简图； ③借助于图像的直观性写出不等式的解集. （2）特别地，若a <0时，还可先运用不等式的性质将其化成正数，再解不等式. 3.一元二次不等式的解法技巧： （1）解一元二次不等式ax 2 +bx+c >0(或<0)，当a >0时，若相应一元二次方程的判别式Δ>0，则求两根或分解因式，根据“大于在两边，小于夹中间”写出解；若Δ＝0或Δ<0，这是特殊情形，利用相应一元二次函数的图像写出不等式的解集. （2）对于含参不等式，在求解过程中，注意不要忽视对其中的参数恰当地分类讨论，尤其是涉及形式上看似二次不等式，而其中的二次项系数中又含有参变量时，往往需要针对这个系数是否为零进行分类讨论，并且如果对应的二次方程有两个不等的实根且根的表达式中又含有参变量时，还要再次针对这两根的大小进行分类讨论. 4.分式不等式与一元二次不等式的关系 设a 0等价于(x-a )(x-b )>0, b x a x --<0等价于(x-a )(x-b )<0, (x-a )(x-b )≥0 b x a x --≥0等价于 x-b ≠0 (x-a )(x-b )≤0 a x -≤0等价于
高中数学必修一同步练习 1.1.1 集合的含义与表示 课后作业· 练习案 【基础过关】 1．若集合中只含一个元素1，则下列格式正确的是 A.1= B.0 C.1 D.1 2．集合的另一种表示形式是 A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5} 3．下列说法正确的有 ①集合，用列举法表示为{1,0,l}； ②实数集可以表示为或; ③方程组的解集为. A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 4．直角坐标系中，坐标轴上点的集合可表示为 A. B. C.
D. 5．若集合含有两个元素1，2，集合含有两个元素1，，且，相等，则____. 6．已知集合，，且，则为 . 7．设方程的根组成的集合为，若只含有一个元素，求的值. 8．用适当的方法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数； (2)满足方程的所有x的值构成的集合B. 【能力提升】 集合，，，设，则与集合有什么关系？
详细答案 【基础过关】 1．D 【解析】元素与集合之间只存在“∈”与“?”的关系，故1∈A正确. 2．B 【解析】由x－2＜3得x＜5，又，所以x＝1，2，3，4，即集合的另一种表示形式是{1，2，3，4}. 3．D 【解析】对于①，由于x∈N，而－1?N，故①错误；对于②，由于“{ }”本身就具有“全部”、“所有”的意思，而且实数集不能表示为{R}，故②错误；对于③，方程组的解集是点集而非数集，故③错误. 4．C 【解析】坐标轴上的点分为x轴、y轴上的点，在x轴上的点纵坐标为0，在y轴上的点横坐标为0. 5． 【解析】由于P，Q相等，故，从而. 6．(2，5) 【解析】∵a∈A且a∈B， ∴a是方程组的解， 解方程组，得∴a为(2，5).
江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷 （江西师大附中使用）高三理科数学分析 一、整体解读 试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。 1．回归教材，注重基础 试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。 2．适当设置题目难度与区分度 选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。 3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察 在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。 二、亮点试题分析 1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC → → =，则A BA C →→ ?的最小值为（ ） A ．1 4- B ．12- C ．34- D ．1-
学习目标] 1．理解充要条件的意义． 2．会判断、证明充要条件． 3．通过学习，使学生明白对充要条件的判定应该归结为判断命题的真假． 知识链接] 已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数． 请判断：p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？ 答：p是q的充分条件，p是q的必要条件． 预习导引] 充要条件 要点一充要条件的判断 例1 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数； (2)p：x＞0，y＞0，q：xy＞0； (3)p：a＞b，q：a＋c＞b＋c； (4)p：x＞5，q：x＞10 (5)p：a＞b，q：a2＞b2 分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p.
A．ab＝0 B．ab>0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2>0 (2)“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是________． 答案(1)D (2)a<－1 解析(1)a2＋b2>0，则a、b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0. (2)函数没有零点，即方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a< －1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根，即函数没有零点．要点二充要条件的证明 例2 求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k<－2. 设方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根为x1，x2. 则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝k2＋2k－1＋1＝k(k＋2)>0. 又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2＝－(2k－1)－2＝－2k－1>0， ∴x1－1>0，x2－1>0.∴x1>1，x2>1. 综上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k<－2. 规律方法一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q?p；证明必要性时则是以p 为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p?q. 跟踪演练2 求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．解(1)当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；
2017-2018学年高一数学必修1 全册同步课时作业 目录
1.1.1-1集合与函数概念 1.1.1-2集合的含义与表示 1.1.1-3集合的含义与表示 1.1.2集合间的包含关系 1.1.3-1集合的基本运算（第1课时）1.1.3-2集合的基本运算（第2课时）1.1习题课 1.2.1函数及其表示 1.2.2-1函数的表示法（第1课时）1.2.2-2函数的表示法（第2课时）1.2.2-3函数的表示法（第3课时）1.2习题课 1.3.1-1单调性与最大（小）值（第1课时） 1.3.1-2单调性与最大（小）值（第2课时） 1.3.1-3单调性与最大（小）值（第3课时） 1.3.1-4单调性与最大（小）值（第4课时） 1.3.2-1函数的奇偶性（第1课时）1.3.2-2函数的奇偶性（第2课时）函数的值域专题研究 第一章单元检测试卷A 第一章单元检测试卷B 2.1.1-1基本初等函数（Ⅰ） 2.1.1-2指数与指数幂的运算（第2课时） 2.1.2-1指数函数及其性质（第1课时）2.1.2-2指数函数及其性质（第2课时）2.1.2-3对数与对数运算（第3课时）2.2.1-1对数与对数运算（第1课时）2.2.1-2对数与对数运算（第2课时）2.2.1-3对数与对数运算（第3课时）2.2.2-1对数函数及其性质（第1课时）2.2.2-2对数函数的图像与性质（第2课时） 2.2.2-3对数函数的图像与性质 2.3 幂函数 图像变换专题研究 第二章单元检测试卷A 第二章单元检测试卷B 3.1.1函数的应用 3.1.2用二分法求方程的近似解 3.2.1函数模型及其应用 3.2.2函数模型的应用实例 第三章单元检测试卷A 第三章单元检测试卷B 全册综合检测试题模块A 全册综合检测试题模块B 1.1.1-1集合与函数概念课时作业 1.下列说法中正确的是() A.联合国所有常任理事国组成一个集合 B.衡水中学年龄较小的学生组成一个集合 C.{1，2，3}与{2，1，3}是不同的集合 D.由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素 答案 A 解析根据集合中元素的性质判断.
集合基本概念及题型分类学生用讲义 一、基本知识 1.1.1 集合的相关概念 (1) 集合、元素的含义：一般地把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就是这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）。构成集合的每个对象叫做集合的元素。 (2) 元素用小写字母Λ,,,c b a 表示；集合用大写字母Λ,,,C B A 表示。 (3) 不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ。空集是一个特殊又很重要的集合，很多问题的考虑，要注意空集的情况，这是容易忽略的问题，在学习中还要记住常用集合的记法，在今后的学习中使用频率较高，如实数集和整数集的记号，正整数集和自然数集的记号。 (4) 集合的分类： ①按照集合中元素个数的多少，可分为???无限集 有限集集合； ②按照集合中元素形式的不同，可分为? ??点集数集集合； ③集合还可以分为???集 不可列集可列集合。 (5) 元素的性质： ①确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可。也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在不在集合中就确定了。例如，“山东的地级市”构成一个集合，济南、青岛、烟台、临沂在这个集合中，北京、南京……不在这个集合中；“比较大的数”不能构成一个集合，因为组成它的元素是不确定的。 ②互异性：集合中的元素是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个，也就是说集合中的元素是不重复出现的。例如：good 中的字母构成的集合为},,{d o g ，而不是},,,{d o o g 。集合的三个特性中，互异性往往是我们考虑不周的地方，如含字母的集合中，求出字母的值，要代回原来的集合中检验。 ③无序性：集合中的元素是无次序的，也就是说只要两个集合中的元素相同，这两个集合就相等。例如：},,{},,{},,{a b c c a b c b a ==。 (6) 常见集合的表示 1.1.2 集合与元素的关系 元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?”两种，如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于A ，记作A a ∈，a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于A ，记作A a ?。 1.1.3 集合的表示法 a) 例举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法 例如：方程062=--x x 的解的集合，可表示为}3,2{-，也可以表示为}2,3{-；又如方程组?? ?=-=+0 2y x y x
4.1 圆的方程 【基础知识填空】： 1.圆的标准方程：圆心为C （a,b ）,半径为r 的圆的标准方程是__________________________. 2.圆的一般方程：__________________________,其圆心坐标为_________,半径为_____________. 【基础训练】： 1. 点A （2，3）与圆x 2+(y-1)2=7的位置关系是（ ） A.在圆内 B.在圆上 C. 在圆外 D.不确定 2. 若方程x 2+y 2+2a x+2a 2-2a -3=0表示圆，则a 的取值范围是（ ） A.a <-1或a >3 B.-31 3. 圆x 2+y 2-6x+8y+24=0关于直线y=0对称的圆的方程是( ) A.(x+3)2+(y-4)2=1 B.(x+3)2+(y+4)2 =1 C.(x+4)2+(y-3)2=1 D.(x-3)2+(y-4)2=1 4、（2015北京文）圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ） A ．()()22111x y -+-= B ．()()22 111x y +++= C ．()()22112x y +++= D ．()()22 112x y -+-= 5.(2014福建文)已知直线l 过圆()2 2 34x y +-=的圆心,且与直线10x y ++=垂直,则l 的方程是( ) .20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+= 6.(2013重庆文) 设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2 ＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的 最小值为( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 7.(2012辽宁文) 将圆x 2+y 2 -2x-4y+1=0平分的直线是（ ） （A ）x+y-1=0 （B ） x+y+3=0 （C ）x-y+1=0 （D ）x-y+3=0 8．(2009重庆文)圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ） A.2 2 (2)1x y +-= B.22(2)1x y ++= C.22 (1)(3)1x y -+-= D.2 2 (3)1x y +-= 9．(2009上海春招)过点)1,0(P 与圆03222=--+x y x 相交的所有直线中，被圆截得的弦 最长时的直线方程是 ( ) （A ）0=x . （B ）1=y . （C ）01=-+y x . （D ）01=+-y x . 10．（2005重庆文、理）圆5)2(2 2 =++y x 关于原点（0，0）对称的圆的方程为（ ） A.5)2(2 2 =+-y x B.5)2(2 2 =-+y x C.5)2()2(2 2 =+++y x D.5)2(2 2 =++y x 11.(2004全国卷Ⅱ文、理)已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2 ＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为( ) （A ）(x ＋1)2＋y 2＝1 （B ）x 2＋y 2＝1 （C ）x 2＋(y ＋1)2＝1 （D ）x 2＋(y －1)2 ＝1
【人教A 版】8.2 立体图形的直观图 同步讲义 1、直观图 定义：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图． 画法：斜二测画法和正等测画法． 2、斜二测画法规则 （1）在已知图形中取互相垂直的x 轴或y 轴，两轴相交于点O 。画直观图时，把它们画成对应的x '轴与y '轴，两轴相交于点O '，且使 45='''∠y O x （或 135），它们确定的平面表示水平面 （2）已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴与y '轴的线段 （3）已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，在直观图中长度为原来的一半 题型一 直观图的步骤 例 1 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（ ） A ．原来相交的仍相交 B ．原来垂直的仍垂直 C ．原来平行的仍平行 D ．原来共点的仍共点 【答案】B 【分析】 根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，可得结论． 【详解】 解：根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与x 轴平行的线段长度不变，与y 轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜45?，故原来垂直线段不一定垂直了； 故选：B ． 知识典例 知识梳理
巩固练习 利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是（） A．①②B．①C．③④D．①②③④ 【答案】A 【分析】 根据斜二测画法的规则，平行关系不变，平行x轴的线段长度不变，平行y轴的线段长度减半，直角变为45或135判断. 【详解】 由斜二测画法的规则可知： 因为平行关系不变，所以①正确； 因为平行关系不变，所以②是正确； 因为直角变为45或135，所以正方形的直观图是平行四边形，所以③错误； 因为平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴的线段长度不变，所以④是错误， 故选：A. 题型二画直观图 . 例2画出图中水平放置的四边形ABCD的直观图 【分析】 在四边形ABCD中，过A作出x轴的垂直确定坐标，进而利用斜二测画法画出直观图. 【详解】
第2章 2.1 第1课时 (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．已知数列的通项公式：a n ＝????? 3n ＋1 (n 为奇数)， 2n －2 (n 为偶数)，则a 2·a 3等于( ) A ．70 B ．28 C ．20 D ．8 解析： a 2＝2×2－2＝2 a 3＝3×3＋1＝10 a 2·a 3＝20.故选C. 答案： C 2．已知a n ＝n 2＋n ，那么( ) A ．0是数列中的项 B ．20是数列中的项 C ．3是数列中的项 D ．930不是数列中的项 解析： 令n 2＋n ＝0，得n ＝0或n ＝－1，∵n ?N *，故A 错． 令n 2＋n ＝20，即n 2＋n －20＝0，∴n ＝4或n ＝－5(舍)， ∴a 4＝20.故B 正确． 令n 2＋n ＝3，即n 2＋n －3＝0. ∴Δ＝1－4×(－3)＝13，故无有理根，C 错． 令n 2＋n ＝930，即(n ＋31)(n －30)＝0， ∴n ＝30或n ＝－31(舍)，∴a 30＝930，故D 错． 答案： B 3．设数列2，5，22，11，…则25是这个数列的( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第8项 D ．第9项 解析： 该数列通项公式为a n ＝3n －1. 令3n －1＝25，得n ＝7. 答案： B 4．数列－1，43，－95，167，…的一个通项公式是( )
A ．a n ＝(－1)n n 2 2n －1 B ．a n ＝(－1)n n (n ＋1)2n －1 C ．a n ＝(－1)n n 2 2n ＋1 D ．a n ＝(－1)n n 3－2n 2n －1 解析： 分子为1、4、9、16、…、n 2.分母为1、3、5、7、…、(2n －1)，又奇数项为负，偶数项为正，故选A. 答案： A 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．数列35，12，511，37 ，…的一个通项公式是________． 解析： 数列可写为：35，48，511，614 ，…， 分子满足：3＝1＋2,4＝2＋2,5＝3＋2,6＝4＋2，…， 分母满足：5＝3×1＋2,8＝3×2＋2,11＝3×3＋2,14＝3×4＋2，…， 故通项公式为a n ＝n ＋23n ＋2 . 答案： n ＋23n ＋2 6．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第______项． 解析： 令n －2n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0， 即(2n －5)(n －10)＝0. 解得n ＝10或n ＝52 (舍)． ∴a 10＝0.08. 答案： 10 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．已知有限数列45，910，1617，2526，…，m 2 m 2＋1 (m ≥7)． (1)指出这个数列的一个通项公式； (2)判断0.98是不是这个数列中的项？若是，是第几项？ 解析： (1)由观察知数列的通项公式不是m 2 m 2＋1 . 又∵数列的分子依次为4,9,16,25，…可看成与项数n 的关系式为(n ＋1)2，而每一项的分母恰好比分子大1， ∴通项公式的分母可以为(n ＋1)2＋1.
（湘教版）高中数学必修一（全册）同步练习汇总 1．1．1 集合的含义和表示 1．下列集合中有限集的个数是()． ①不超过π的正整数构成的集合；②平方后等于自身的数构成的集合；③高一(2)班中体重在55 kg以上的同学构成的集合；④所有小于2的整数构成的集合．A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列说法正确的个数是()． ①集合N中最小的数是1； ②－a不属于N＋，则a∈N＋； ③所有小的正数构成一个集合； ④方程x2－4x＋4＝0的解的集合中有且只有两个元素． A．0 B．1 C．2 D．3 3．下列选项正确的是()． A．x－5∈N＋B．π?R C．1?Q D．5∈Z 4．已知集合S中含有三个元素且为△ABC的三边长，那么△ABC一定不是()．
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形 5．由a2,2－a,4组成一个集合M，M中含有3个元素，则实数a的取值可以是()．A．1 B．－2 C．6 D．2 6．若集合M中只有2个元素，它们是1和a2－3，则a的取值范围是__________．7．关于集合有下列说法： ①大于6的所有整数构成一个集合； ②参加2010年亚运会的著名运动员构成一个集合； ③平面上到原点O的距离等于1的点构成一个集合； ④若a∈N，则－a?N； ⑤若x＝2，则x?Q. 其中正确说法的序号是__________． 8．由方程x2－3x＋2＝0的解和方程x2－4x＋4＝0的解构成的集合中一共有__________个元素． 9．若所有形如3a(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断6-+ 是 不是集合A中的元素． 10．数集M满足条件：若a∈M，则1 1 a a + - ∈M(a≠±1，且a≠0)，已知3∈M，试把由 此确定的M的元素求出来．
【人教A 版】高中数学重点难点突破：导数的概念 同步讲义 （学生版） 【重难点知识点网络】： 一、平均变化率 1.变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2.平均变化率 一般地，函数f(x)在区间[]21,x x 上的平均变化率为： 2121 ()() f x f x x x -- 3.如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出21()()y f x f x ?=-和21x x x ?=- ②作商：对所求得的差作商，即 2121 ()()f x f x y x x x -?=?-。 二、导数的概念 定义：函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?0000lim lim ，我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作() 或0x f '即 0 x x y ='()()()x x f x x f x y x f x x ?-?+=??'→?→?00000lim lim ＝ 三、求导数的方法： 求导数值的一般步骤： ① 求函数的增量：00()()y f x x f x ?=+?-；
② 求平均变化率： 00()() f x x f x y x x +?-?= ??； ③ 求极限，得导数：00000()()'()lim lim x x f x x f x y f x x x ?→?→+?-?==??。 也可称为三步法求导数。 【重难点题型突破】： 一、平均变化率与瞬时变化率 函数(x)f 在某点()00x ,(x )f 处的导数()()00' 000(x )lim lim x x f x x f x y f x x →→+-???? == ? ????? 例1．（1）设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x +Δx 时，函数的增量Δy 为（ ） A ．0()f x x +? B ．0()f x x +? C ．0()f x x ?? D ．00()()f x x f x +?- （2）若函数f （x ）=2x 2 －1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δx ，1+Δy ），则 x y ??等于 A.4 B.4x C.4+2Δx D.4+2Δx 2 例2.函数()y f x == 在区间[1，1+Δx]内的平均变化率为________。 例3.求函数y=2x 2+5在区间[2，2+Δx]上的平均变化率；并计算当1 2 x ?=时，平均变化率的值。
第1章 1.2节 (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) 一、选择题(每题5分，共20分) 1．两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( ) A ．a km B.2a km C ．2a km D.3a km 【解析】 由题意△ABC 中∠C ＝120°， CA ＝CB ＝a ，由余弦定理 AB 2＝a 2＋a 2－2a 2cos120°＝3a 2 ∴AB ＝3a 【答案】 D 2．有一长为10 m 的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸( ) A ．5 m B ．10 m C ．10 2 m D ．10 3 m 【解析】 由题设得△ABC 中， AB ＝10 m ，∠ACB ＝30°，∠BAC ＝45°， 由正弦定理为BC ＝10 sin45°sin 30° ＝102(m) 【答案】 C 3．一船向正北航行，看见正西方有相距10 n mile 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°的方向上，另一灯塔在船的南偏西75°的方向上，则这只船的速度是每小时( ) A ．5 n mile B ．5 3 n mile C ．10 n mile D ．10 3 n mile 【解析】 如图所示，AB ＝10，∠CBA ＝∠ACB ＝15°， ∴AC ＝10.又OC AC ＝sin 30°，∴OC ＝5.
∴速度v ＝5 0.5＝10(n mile/h)． 【答案】 C 4．在一幢20 m 高的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔的高是( ) A ．20? ?? ??1＋ 33m B ．20(1＋3)m C ．10(6＋2)m D ．20(6＋2)m 【解析】 如图所示， 则AE ＝DE ＝AB ＝20， ∴CE ＝AE ·tan 60°＝20 3. ∴CD ＝CE ＋ED ＝20(3＋1)m. 【答案】 B 二、填空题(每题5分，共10分) 5．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝________. 【解析】 在△ABC 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°， 由正弦定理：CD sin ∠CBD ＝BC sin ∠BDC ， BC ＝ 30·sin30° sin135° ＝152，在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan60°＝152×3＝156米． 【答案】 156米 6．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°的方向上，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°的方向上，这时船与灯塔的距离为________km. 【解析】 由题意知，在△ABC 中，AC ＝60 km ∠BAC ＝30°，∠ABC ＝45°，由正弦定理得 BC sin ∠BAC ＝ AC sin ∠ABC ∴BC ＝AC ·sin∠BAC sin ∠ABC ＝ 60×sin 30° sin 45° ＝30 2 km. 【答案】 30 2
（苏教版）高中数学必修一（全册）课时同 步练习汇总 第1章集合 1.1 集合的含义及其表示 A级基础巩固 1．下列关系正确的是() ①0∈N；②2∈Q；③1 2?R；④－2?Z. A．③④B．①③C．②④D．① 解析：①正确，因为0是自然数，所以0∈N； ②不正确，因为2是无理数，所以2?Q； ③不正确，因为1 2是实数，所以 1 2∈R； ④不正确，因为－2是整数，所以－2∈Z.
答案：D 2．若一个集合中的三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，则此三角形一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 解析：根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形． 答案：D 3．集合M ＝{(x ，y )|xy <0，x ∈R ，y ∈R}是( ) A ．第一象限内的点集 B ．第三象限内的点集 C ．第四象限内的点集 D ．第二、第四象限内的点集 解析：集合M 为点集，且横、纵坐标异号，故是第二、第四象限内的点集． 答案：D 4．已知集合A 含有三个元素2，4，6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，则a 为( ) A ．2 B ．2或4 C ．4 D ．0 解析：若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ；或a ＝4∈A ，则6－a ＝2∈A ；若a ＝6∈A ，则6－a ＝0?A . 答案：B 5．方程组? ????x ＋y ＝2，x －2y ＝－1的解集是( ) A ．{x ＝1，y ＝1} B ．{1} C ．{(1，1)} D ．(1，1) 解析：方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A 、B ，而D 不是集合的形式，排除D. 答案：C
高一数学思维导图 (0)＝01、函数在某个区间递增(或减)与单调区间是某个区间的含义不同； 2、证明单调性：作差（商）； 3、复合函数的单调性最值二次函数、基本不等式、双钩（耐克）函数、三角函数有界性、数形结合、导数、幂函数对数函数三角函数基本初等函数抽象函数复合函数赋值法、典型的函数函数与方程二分法、图象法、二次及三次方程根的分布零点函数的应用建立函数模型使解析式有意义函数表示方法换元法求解析式分段函数注意应用函数的单调性求值域周期为T的奇函数→f (T)＝f ()＝f (0)＝0复合函数的单调性：同增异减一次、二次函数、反比例函数指数函数图象、性质和应用平移变换对称变换翻折变换伸缩变换图象及其变换必修二 立体几何点与线空间点、线、面的位置关系点在直线上点在直线外点与面点在面内点在面外线与线共面直线异面直线相交平行没有公共点只有一个公共点线与面平行相交有公共点没有公共点直线在平面外直线在平面内面与面平行相交平行关系的相互转化垂直关系的相互转化线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直空间的角异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角范围：(0，90]范围：[0，90]范围：[0，180]点到面的距离直线与平面的距离平行平面之间的距离相互之间的转化空间的距
离空间几何体柱体棱柱圆柱正棱柱、长方体、正方体台体棱台圆台锥体棱锥圆锥球三棱锥、四面体、正四面体直观图侧面积、表面积三视图体积长对正高平齐宽相等必修二 解析几何倾斜角和斜率直线的方程位置关系直线方程的形式倾斜角的变化与斜率的变化重合平行相交垂直A1B2－A2B1＝0A1B2－A2B1≠0A1A2＋B1B2＝0点斜式：y－y0＝k(x－x0)斜截式：y＝kx＋b两点式：＝截距式：＋＝1一般式：Ax＋By＋C＝0注意各种形式的转化和运用范围、两直线的交点距离点到线的距离：d＝，平行线间距离：d＝圆的方程圆的标准方程圆的一般方程直线与圆的位置关系两圆的位置关系相离相切相交D＜0，或d＞rD＝0，或d＝rD＞0，或d＜r截距注意：截距可正、可负，也可为0、必修三 统计、概率、算法统计随机抽样抽签法随机数表法简单随机抽样系统抽样分层抽样共同特点：抽样过程中每个个体被抽到的可能性（概率）相等用样本估计总体样本频率分布估计总体总体密度曲线频率分布表和频率分布直方图茎叶图样本数字特征估计总体众数、中位数、平均数方差、标准差变量间的相关关系两个变量的线性相关散点图回归直线概率概率的基本性质互斥事件对立事件古典概型几何概型P(A＋B)＝P(A)＋P(B)P(`A)＝1－P(A)概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性顺序结构条件结构循环结构算法语言算法的特征程序框图基本算法语言算法案例辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、进位制必修四