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自我检测 基础达标 一、选择题1.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为( ) A.3400米 B.33400米 C.2003米 D.200米 解析:如图所示,设塔高为x m.由已知条件得BC=23200=33400,∵∠CBD=30°,∠BDC=120°,∴︒30sin x =︒120sin 33400. ∴x=3400. 答案:A2.如图,有长100 m 的斜坡AB,它的倾斜角是40°,现在要把斜坡的倾斜角改为25°,则伸长的坡底BD 的长大约为( )A.64 mB.63 mC.62 mD.61 m 解析:在Rt △ABC 中,AC=ABsin40°≈100×0.642 8=64.28, BC=AB·cos40°≈76.6. 在Rt △ADC 中,CD=︒25tan AC ≈4663.028.64≈137.8.∴BD=DC-BC≈61(m),即伸长的坡底BD 的长约为61 m . 答案:D3.两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等,灯塔A 在观察站C 北偏东40°,灯塔B 在观察站C 的南偏东60°,则灯塔A 在灯塔B 的( ) A.北偏东40° B.北偏西10° C.南偏东10° D.南偏西10° 解析:如图所示.自B 处观察A,则目标方向线为BA.由已知可得A 在灯塔B 的北偏西10°. 答案:B4.如图,在山脚A 处测得山顶S 的仰角为45°,沿倾斜角为15°的斜坡向上走100米到B,又测得S 的仰角为75°,则山高为__________________米.( )A.50B.502C.503D.506 解析:在△ABS 中,由条件得∠BAS=30°,∠SBA=120°. 由正弦定理得︒120sin SA =︒30sin 100,∴SA=1003.在Rt △ADS 中,SD=sin45°×SA=22×1003=506. 答案:D5.某人先向正东方向走了x km,然后他向右转150°,向新的方向走了3 km,结果他离出发点恰好为3 km,那么x 的值为( )A.3B.23C.23或3D.3 解析:画出示意图后,由余弦定理有(3)2=x 2+32-2·x·3·cos30°, 解得x=23或x=3.答案:C6.在一座20 m 高的观测台顶测得对面一水塔塔顶的仰角为60°,塔底的俯角为45°,那么这座水塔的高是( ) A.20(1+33) m B.20(1+3) m C.10(6+2) m D.20(6+2) m 解析:h=20+20·tan60°=20(1+3).答案:B7.一船自西向东航行,上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处,则这只船航行的速度为________________海里/时.( ) A.2617 B.346 C.2217 D.342 解析:如图所示,由题意知∠APM=75°,∠APN=45°,∠ANP=45°,在△MPN 中,︒45sin 68=)4575sin(︒+︒MN ,∴MN=346(海里),这只船航行的速度为4634=2617(海里/时). 答案:A8.如图,B 、C 、D 三点在地面同一直线上,DC=a,从C 、D 两点测得A 点的仰角分别为β、α(α<β),则A 点离地面的高AB 等于()A.)sin(sin sin αββα-a B.)cos(sin sin αββα-aC.)sin(cos sin αββα-a D.)cos(cos cos αββα-a解析:tanα=BC a AB +,tanβ=BCAB,联立两式解得AB=αββαtan tan tan tan -a=ααβββαβαcos sin cos sin cos cos sin sin -a -αβαββαsin cos cos sin sin sin -a =)sin(sin sin αββα-a . 答案:A 二、填空题9.有一长为1 km 的斜坡,它的倾斜角为20°,现要将倾斜角改为10°,则坡底要加长______km..解析:如图,AC=ABsin20°=sin20°,BC=AB·cos20°=cos20°,DC=︒10tan AC=2cos 210°.∴DB=DC-BC=1. 答案:110.外国船只除特许外,不得进入离我国海岸线d 海里以内的区域,如图所示,设A 及B 是我们的观测站,A 与B 之间的距离为s 海里,海岸线是过A 、B 的直线,一外国船只在P 点,在A 站测得∠BAP=α,同时在B 站测得∠ABP=β,则α与β满足的三角不等式为_____________时,就应当向此未经特许的外国船只发出警告,命令其退出我国海域.解析:在△ABC 中,)sin(βαπ--s =βsin AP .AP=)sin(sin βαβ+∙s .在Rt △APM 中,h=sinα·AP=sinα·)sin(sin βαβ+∙s =)sin(sin sin βαβα+∙s . 答案:d≥)sin(sin sin βαβα+∙s三、解答题11.一舰艇在海上巡逻,沿岸自西向东航行,在A 处见岸边一灯塔C 在船的北偏东60°,一小时后在B 处见灯塔在船的北偏东30°.若舰艇每小时航行30海里.当舰艇至D 点处,可见灯塔在船的西北方向,求舰艇从A 到D 的航行距离.解法一:在△ABC 中, ∠CAB=30°,∠ABC=90°+30°=120°, ∴∠ACB=180°-120°-30°=30°. ∵AB=30×1=30,∴BC=AB=30. 在△BDC 中,∠CBD=90°-30°=60°, ∴∠BCD=180°-60°-45°=75°. 由正弦定理有︒45sin BC =︒75sin BD.∴BD=2sin75°·BC=302·sin75°≈40.98. ∴AD=AB+DB=30+40.98=70.98(海里). 解法二:在△ACD 中,易知AC=303,∠ACD=180°-30°-45°=105°, 由正弦定理,得︒105sin AD =︒45sin AC,∴AD=2×303sin105° =306sin105°≈70.98(海里）.答:A 、D 两地相距约70.98海里.12.如图,在一个山坡上的一点A,测得山顶上一个微波塔顶端C 对于山坡的坡度的斜度为20°,向山顶前进80米后的B 点,又测得斜度为40°,设塔高为60米,求此山对于地面的倾角θ的余弦值.解:在△ABC 中,∠BAC=20°,∠ABC=180°-40°=140°,AB=80, ∴∠ACB=20°. 由正弦定理,得︒20sin 80=︒20sin BC,∴BC=80.在△BDC 中,∠BDC=90°+θ,∠DBC=40°, ∴由正弦定理,得︒40sin 60=)90sin(80θ+︒.∴cosθ=68sin40°≈0.857.答:此山对于地面的倾角θ的余弦值约为0.857.更上一层1.在海岸A 处,发现北偏东45°方向,距A 为(3-1)海里的B 处有一艘走私船,在A 处北偏西75°方向,距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向可最快追上走私船?并求出所需要的时间.解:如图所示,设缉私船追上走私船的时间为t h,则有CD=103t,BD=10t,在△ABC 中,∵AB=3-1,AC=2,∠BAC=45°+75°=120°.∴BC=︒-∙∙-+-120cos )13(222)13(22=6. 根据正弦定理可得sin ∠ABC=BC AC ︒∙120sin =22.∴∠ABC=45°,而∠CBD=90°+30°=120°. 又sin ∠BCD=CD CBD BD ∠∙sin =21.∴∠BCD=30°,∠BDC=30°. ∴BD=BC=6,则有10t=6,t=106=0.245(h)=14.7(min). ∴缉私船沿北偏东60°方向,需14.7 min 能追上走私船.2.在一大河边上高a m 处的A 点,测得对岸一铁塔顶点M 的仰角为θ,而在河中铁塔倒影的俯角为φ,求铁塔的高度.解:如图所示,设直线A′M′在河面上,点N 是塔顶点M 在水中的倒影,M′是MN 与A′M′的交点,由于塔顶点M 与它在河中的倒影关于河面对称,故MN ⊥A′M′,且MM′=M′N. 由点A 向MN 作垂线,设垂足为B,且设AB=x, 则由题设条件知∠MAB=θ,∠BAN=φ. 于是在Rt △ABM 中,MB=xtanθ, 由于A′A=a,且MM′=M′N,∴由BN-MB=2a,可得xtanφ-xtanθ=2a. ∴x=θϕαtan tan 2-.∴MB=xtanθ=θϕθαtan tan tan 2-.∴BN=xtanφ=θϕϕαtan tan tan 2-.∴塔高M′M=2BNMB + =)sin()sin(θϕϕθ-+a .。
数学人教B 必修5第一章解三角形知识建构综合应用专题一判断三角形的形状正弦定理、余弦定理是反映三角形中边角关系的重要定理，是处理有关三角形问题的有力工具，要注意两定理的变形运用及实际应用．判断三角形的形状，其常用方法是：将已知式子都化为角的式子或边的式子再判断．通常利用正弦定理的变形如a ＝2R ·sin A 将边化角，b 2＋c 2－a 2a 利用余弦定理的推论如cos A ＝把角的余弦化边，或利用sin A ＝把角的正弦化2bc 2R边，然后利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简，从而得出结论．常见结论有：设a ，b ，c 是△ABC 的角∠A ，∠B ，∠C 的对边，①若a 2＋b 2＝c 2，则∠C ＝90°；②若a 2＋b 2＞c 2，则∠C ＜90°；③若a 2＋b 2＜c 2，则∠C ＞90°；π④若sin 2A ＝sin 2B ，则∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝.2应用1在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则该三角形是__________三角形．提示：考虑到已知条件是三个角正弦的比值，可用正弦定理得出三边的关系，再利用余弦定理判断最大角的大小即可．应用2在△ABC 中，若∠B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．提示：已知条件中等式只有边，故结合其特点，可选择利用正弦定理化边为角，再结合三角函数关系化简求解；本题也可利用∠B ＝60°这一条件，用余弦定理，找出边之间的关系来判断．专题二恒等式的证明证明有关三角形中边角关系的恒等式，若出现边角混合关系式，通常情况下，有两种方法：化边为角，将已知条件统一用角表示；化角为边，将已知条件用边表示，然后利用角的关系或边的关系进行求解，从而使问题得到解决．应用1在△ABC 中，求证：a 2＋b 2sin 2A ＋sin 2B (1)2＝；c sin 2C(2)a 2＋b 2＋c 2＝2(bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C )．提示：本题(1)可从左边证到右边，利用正弦定理将边的关系转化为角的关系；本题(2)可从右边证到左边，利用余弦定理将角的关系转化为边的关系．应用2已知在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S .a 2＋b 2＋c 2求证：cot A ＋cot B ＋cot C ＝.4S提示：解本题的关键是化切为弦，再结合余弦定理变形．专题三三角形的面积问题求三角形面积与正弦定理、余弦定理、三角函数、函数的有关知识紧密地联系在一起，是高考中的常见题型．常用三角形面积公式：111(1)S △ABC ＝ah a ＝bh b ＝ch c .222111(2)S △ABC ＝ab sin C ＝bc sin A ＝ac sin B ．222a ＋b ＋c (3)S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )(其中p ＝)．2应用在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，AC ＝2，AB ＝3，求tan A 的值和△ABC 的面积．2提示：由已知可把角A 算出来，再求tan A ，并求出sin A ，直接代入面积公式即可求面积．专题四正、余弦定理的综合应用以三角形为载体，以正、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段来考查解三角形问题是近几年高考中一类热点题型．在具体解题中，除了熟练使用正弦、余弦定理这个工具外，也要根据条件，合理选用三角函数公式，达到简化解题的目的．cos C 2a －c 应用1在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且＝.cos B b(1)求cos B 的值；(2)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．提示：(1)先利用正弦定理化简，再用三角变换整理即得．(2)利用余弦定理及面积公式，再注意整体求ac 的技巧．应用2在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ．(1)确定角C 的大小；33(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为，求a ＋b 的值．2提示：(1)利用正弦定理将边转化为角即可；(2)利用余弦定理和面积公式列出关于a ，b 的方程求解，注意整体技巧．专题五正、余弦定理在实际问题中的应用解决有关三角形的应用问题时，首先要认真分析题意，找出各量之间的关系，根据题意画出示意图，将要求的问题抽象为三角形模型，然后利用正弦定理、余弦定理求解，最后将结果还原为实际问题，这一程序可用框图表示为：实际问题――→解三角形问题――→三角形问题的解――→实际问题的解概括演算应用1如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧抽象推理还原远处一山顶D 在西偏北15°的方向上，行驶5 km 后到达B 处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD ．提示：要测出高CD ，只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长即可．根据已知条件，可以计算出BC 的长．应用2如图，某巡逻艇在A 处发现北偏东45°相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才能追赶上该走私船？提示：在求解三角形中，可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．真题放送1．(2011·天津高考)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为()．A ．3366B ．C ．D ．36362．(2011·福建高考)若△ABC 的面积为3，BC ＝2，∠C ＝60°，则边AB 的长度等于__________．→→3．(2011·上海高考)在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点．若AB ＝3，BD ＝1，则AB ·AD＝______.4．(2011·湖南高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C ．(1)求角C 的大小；π(2)求3sin A －cos(B ＋)的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．45．(2011·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b1＝2，cos C ＝.4(1)求△ABC 的周长；(2)求cos(A －C )的值．6．(2011·辽宁高考)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .b (1)求；a(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求∠B ．7．(2011·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C1＝p sin B (p ∈R )，且ac ＝b 2.45(1)当p ＝，b ＝1时，求a ，c 的值；4(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．答案：综合应用专题一应用1：钝角∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，根据正弦定理，得a ∶b ∶c ＝2∶3∶4.设a ＝2m ，b ＝3m ，c ＝4m (m ＞0),∵c ＞b ＞a ，∴∠C ＞∠B ＞∠A .a 2＋b 2－c 24m 2＋9m 2－16m 21∴cos C ＝＝＝－＜0.2ab 42×2m ×3m∴∠C 是钝角.∴△ABC 是钝角三角形．应用2：解：解法一：由正弦定理，得2sin B ＝sin A ＋sin C .∵∠B ＝60°，∴∠A ＋∠C ＝120°.∴∠A ＝120°－∠C ，代入上式，得2sin 60°＝sin (120°－C )＋sin C ，31展开，整理得sin C ＋cos C ＝1.22∴sin(C ＋30°)＝1.∴∠C ＋30°＝90°.∴∠C ＝60°.故∠A ＝60°.∴△ABC 为等边三角形．解法二：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .a ＋c ∵∠B ＝60°，b ＝，2a ＋c 2∴()＝a 2＋c 2－2ac cos 60°.2整理，得(a －c )2＝0，∴a ＝c .从而a ＝b ＝c .∴△ABC 为等边三角形．专题二a b c 应用1：证明：(1)由正弦定理，设＝＝＝k ，sin A sin B sin Ck 2sin 2A ＋k 2sin 2B sin 2A ＋sin 2B 显然k ≠0，所以，左边＝＝＝右边，即原等式成立．k 2sin 2C sin 2Cb 2＋c 2－a 2c 2＋a 2－b 2a 2＋b 2－c 2(2)根据余弦定理，右边＝2(bc ·＋ca ·＋ab ·)＝(b 2＋c 2－a 2)2bc 2ca 2ab222222222＋(c ＋a －b )＋(a ＋b －c )＝a ＋b ＋c ＝左边，即原等式成立．222b 2＋c 2－a 2cos A b ＋c －a 应用2：证明：由余弦定理，得cos A ＝，所以cot A ＝＝＝2bc sin A 2bc sin Ab 2＋c 2－a 2a 2＋c 2－b 2a 2＋b 2－c 2，同理可得cot B ＝，cot C ＝，所以cot A ＋cot B ＋cot C ＝4S 4S 4Sb 2＋c 2－a 2a 2＋c 2－b 2a 2＋b 2－c 2a 2＋b 2＋c 2＋＋＝.4S 4S 4S 4S专题三2应用：解：∵sin A ＋cos A ＝2cos (A －45°)＝，21∴cos (A －45°)＝.2又∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝105°.tan 45°＋tan 60°∴tan A ＝tan (45°＋60°)＝＝－2－3，1－tan 45°tan 60°2＋6sin A ＝sin (45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝.4又∵AC ＝2，AB ＝3，2＋6311∴S △ABC ＝AC ·AB ·sin A ＝×2×3×＝(2＋6)．2244专题四cos C 2a －c 2sin A －sin C 应用1：解：(1)由＝＝，得cos B b sin Bcos C ·sin B ＝2sin A ·cos B －cos B ·sin C .∴2sin A ·cos B ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C＝sin (B ＋C )＝sin (π－A )＝sin A .1∵sin A ≠0，∴cos B ＝.2(2)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝7，又a ＋c ＝4，∴(a ＋c )2－3ac ＝7.∴ac ＝3.11333∴S △ABC ＝ac sin B ＝×3×＝.2224应用2：解：(1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理，得a 2sin A sin A ＝＝.c sin C 33∵sin A ≠0，∴sin C ＝.2∵△ABC 是锐角三角形，π∴∠C ＝.3π(2)∵c ＝7，∠C ＝.由面积公式，得31π33ab sin ＝，∴ab ＝6.①232π由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②3由①②，得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5.专题五应用1：解：在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠ACB ＝25°－15°＝10°.根据正弦定理，AB sin ∠BAC 5sin 15°得BC ＝＝≈7.452 4(km)，sin 10°sin ∠ACBCD ＝BC tan ∠DBC ＝BC ×tan 8°≈1.047 (km)．答：山的高度约为1.047 km.应用2：解：设该巡逻艇沿AB 方向经过x 小时后在B 处追上走私船，则CB ＝10x ，AB ＝14x ，AC ＝9，∠ACB ＝75°＋45°＝120°，222∴(14x )＝9＋(10x )－2×9×10x cos 120°，2化简，得32x －30x －27＝0.39解得x ＝或x ＝－(舍去)．216∴BC ＝10x ＝15，AB ＝14x ＝21.BC sin 120°15353又∵sin ∠BAC ＝＝×＝，AB 21214∴∠BAC ＝38°13′或∠BAC ＝141°47′(钝角不合题意，舍去)．∴38°13′＋45°＝83°13′.答：巡逻艇应该沿北偏东83°13′方向去追，经过1.5小时才能追赶上该走私船．真题放送31．D 设BD ＝a ，则BC ＝2a ，AB ＝AD ＝a .2在△ABD 中，由余弦定理，得33(a )2＋(a )2－a 222222AB ＋AD －BD 1cos A ＝＝＝.2AB ·AD 3332×a ·a 2222又∵∠A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝.3BC AB 在△ABC 中，由正弦定理，得＝.sin A sin C3a 222AB 6∴sin C ＝·sin A ＝·＝.BC 2a 361132．2在△ABC 中，由面积公式得S ＝BC ·CA ·sin C ＝×2·AC ·sin60°＝AC ＝3，∴AC 2221＝2.再由余弦定理，得AB 2＝BC 2＋AC 2－2·AC ·BC ·cos C ＝22＋22－2×2×2×＝4.∴AB ＝2.23．15如图，在△ABD 中，由余弦定理得2AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos 60°＝9＋1－2×3×cos 60°＝7，∴AD ＝7，AB 2＋AD 2－BD 29＋7－15∴cos ∠BAD ＝＝＝.2AB ·AD 2×3×727515于是，AB ·AD ＝|AB ||AD |cos ∠BAD ＝3×7×＝.2724．解：(1)因为c sin A ＝a cos C ，由正弦定理，得sin C sin A ＝sin A cos C .因为0＜A ＜π，所以sin A ＞0.从而sin C ＝cos C .π又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则∠C ＝.43π(2)由(1)知，B ＝－A .于是4π3sin A －cos(B ＋)4＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos Aπ＝2sin(A ＋)．63πππ11π因为0＜A ＜，所以＜A ＋＜.46612ππππ从而当A ＋＝，即A ＝时，2sin(A ＋)取最大值2.6236ππ5π综上所述，3sin A －cos(B ＋)的最大值为2，此时∠A ＝，∠B ＝.431215．解：(1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×＝4，4∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.1(2)∵cos C ＝，4115∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－()2＝.44154a sin C 15∴sin A ＝＝＝.c 28∵a ＜c ，∴∠A ＜∠C .故∠A 为锐角．1527)＝.88∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C71151511＝×＋×＝.8484166．解：(1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .b 故sin B ＝2sin A ，所以＝ 2.a(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，(1＋3)a 得cos B ＝.2c由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.12可得cos 2B ＝，又cos B ＞0，故cos B ＝，22所以∠B ＝45°.5a ＋c ＝，47．解：(1)由题设和正弦定理，得1ac ＝，4∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－(⎧⎨⎩1a ＝1，⎧⎧⎪⎪a ＝4，解得⎨1或⎨c ＝，⎪⎪⎩4⎩c ＝1.11(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝p 2b 2－b 2－b 2cos B ，2231即p2＝＋cos B，223因为0＜cos B＜1，得p2∈(，2)．2由题设知p＞0，所以6＜p＜ 2. 2。
最新高中数学必修5《应用举例》教案高中数学必修5《应用举例》教案【一】教学准备教学目标解三角形及应用举例教学重难点解三角形及应用举例教学过程一. 基础知识精讲掌握三角形有关的定理利用正弦定理，可以解决以下两类问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角);利用余弦定理，可以解决以下两类问题：(1)已知三边，求三角;(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
掌握正弦定理、余弦定理及其变形形式，利用三角公式解一些有关三角形中的三角函数问题.二.问题讨论思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的讨论.思维点拨：：三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理.在求值时，要利用三角函数的有关性质.例6：在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300 km的海面P处，并以20 km / h的速度向西偏北的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭。
一. 小结：1.利用正弦定理，可以解决以下两类问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角);2。
利用余弦定理，可以解决以下两类问题：(1) 已知三边，求三角;(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
3.边角互化是解三角形问题常用的手段.三.作业：P80 闯关训练高中数学必修5《应用举例》教案【二】教学准备教学目标1、应用正弦余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路(1)分析，(2)建模，(3)求解，(4)检验;2、实际问题中的有关术语、名称：(1)仰角与俯角：均是指视线与水平线所成的角;(2)方位角：是指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角;(3)方向角：常见的如：正东方向、东南方向、北偏东、南偏西等;3、用正弦余弦定理解实际问题的常见题型有：.com测量距离、测量高度、测量角度、计算面积、航海问题、物理问题等;教学重难点1、应用正弦余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路(1)分析，(2)建模，(3)求解，(4)检验;2、实际问题中的有关术语、名称：(1)仰角与俯角：均是指视线与水平线所成的角;(2)方位角：是指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角;(3)方向角：常见的如：正东方向、东南方向、北偏东、南偏西等;3、用正弦余弦定理解实际问题的常见题型有：测量距离、测量高度、测量角度、计算面积、航海问题、物理问题等;教学过程一、知识归纳1、应用正弦余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路(1)分析，(2)建模，(3)求解，(4)检验;2、实际问题中的有关术语、名称：(1)仰角与俯角：均是指视线与水平线所成的角;(2)方位角：是指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角;(3)方向角：常见的如：正东方向、东南方向、北偏东、南偏西等;3、用正弦余弦定理解实际问题的常见题型有：测量距离、测量高度、测量角度、计算面积、航海问题、物理问题等;二、例题讨论一)利用方向角构造三角形四)测量角度问题例4、在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东。
《海伦——秦九韶公式》教案【教学内容】人教A版普通高中课程标准试验教科书必修5 第一章“阅读与思考”海伦与秦九韶.【教学对象】高一学生.【教材分析】本节内容选自高中数学必修五的第一章，是阅读与思考部分的内容，在《高中数学新课程标准》中并没有做要求，教材中只占用一篇幅叙述了海伦公式与秦九韶公式（“三斜求积”公式）的记载历史，并未给出证明和应用.本节内容之前学生已经学习了解三角形，从而这节课是三角形面积公式的延续与拓展.本节课的主要设计对象为数学学习程度较好的学生——在完成《高中数学新课程标准》中要求的学习之后仍有余力的学生，意在引领学生了解数学文化史，同时启发学生运用所学知识由“三斜求积”公推导海伦公式，并让学生从中体会数学之美.【学情分析】高一学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的三角形面积公式，余弦定理的推论，同角三角函数的平方关系以及平方差公式和完全平方公式.【教学目标】∙知识与技能：（1）会推导秦九韶公式与海伦公式，并理解海伦公式的本质；（2）理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同.（3）会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题.∙过程与方法：（1）经历推导秦九韶公式与海伦公式的全过程，培养学生严谨的的数学逻辑思维；（2）提高学生会应用海伦公式解决涉及到三角形三边与面积之间关系问题的能力.∙情感态度与价值观：（1）体会公式书写的简洁美；（2）体会数学以不变应万变的魅力.【教学重点】秦九韶公式与海伦公式的推导及其应用.【教学难点】秦九韶公式与海伦公式的本质.【教学方法】引导探究、实力应用.【教学过程】（一）旧知回顾1.三角形的面积公式：（1）ah S ABC 21=∆（h 为边a 上的高）； （2）==∆C ab S ABC sin 21 = . 2.余弦定理的推论：bca cb A 2cos 222-+=；=B cos ；=C cos . 3.同角三角函数的平方关系：+α2sin 1=.[师生活动]通过提问，让学生回答出本节课涉及到的已经学习过的公式.(二)新课引入【引例】问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。
1.2 应用举例【课题】：1.2.3解三角形在三角形面积计算上的应用【学情分析】:在学习本节之前学生能解决直角三角形以及已知三角形的一边和这边上的高的三角形面积计算问题。
学生学了正弦定理和余弦定理并积累了一些解三角形的知识后，对三角形的面积的计算就可以向学生提出更高的要求了。
因此，在学生已掌握了正弦定理、余弦定理的基础上，让学生探讨解决“已知二边及夹角和已知三边求三角形面积”的问题，就有了可能。
【教学目标】：（1）知识与技能:使学生掌握在“已知二边及夹角”和“已知三边”的条件下求三角形面积的方法；提高计算和使用计算工具的能力；进一步领会方程的思想，提高解决问题尤其是实际问题的能力（2）过程与方法：通过合作与探究，加深对正弦定理、余弦定理的理解，提高方程思想在实际中的运用能力（3）情态与价值：体验探求的乐趣，体会正弦定理、余弦定理的结构美，激发并提高学生学习数学的热情和兴趣【教学重点】：（1）公式的发现和它的灵活应用（2）方程思想的运用【教学难点】：在不同的条件下灵活的应用公式【课前准备】：Powerpoint或投影片【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图创设情景问题1：在三角形ABC中，a=4，b=3，C = 60°，则ABCS∆=______ 生：求出对应边上的高，再利用12S a h=⋅求解∵AC=b，BC=a，作AD⊥BC，则AD为三角形BC边上的高∴AD=bsinC1sin2ABCS ab C=创设情景，引出问题，让学生主动学习，积极思考，由浅入深，寻求答案，灵活应用例1：在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm2）(1)已知a=14.8cm，c=23.5cm， B=148.50；(2)已知B=62.70，C=65.80，b=3.16cm；(3)已知三边的长分别为a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm.例2：如图，在某市进行环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边分别为68cm ,88cm，127cm，这个区域的面积是多少？(精确到0.1cm2)例3：在△ABC中，求证：（1）222222sin sinsina b A Bc C++=（2）2222(cos cos cos)a b c bc A ca B ab C++=++例1，2是在不同条件下求三角形的面积问题，归根到底是灵活运用正弦定理和余弦定理，应让学生归纳总结方法并提高计算能力，例3是边化角或角化边思想的体现练一练1.在△ABC中，A=600，b=1，3ABCS=，则△ABC外接圆的半径是_________________.2. 在△ABC中，已知B=600，cosC=13,AC=36，则△ABC的面积是____3．在ABC∆中，193,32,222==++=acbbccba，求ABC∆的面积4.在△ABC中，2sin cos2A A+=，AC=2，AB=3，则△ABC的面积是_________________.通过练习进一步熟悉公式，灵活地针对不同的条件解决问题，从而增加学生学好数学的兴趣和信心基础练习：1、在△ABC 中，a=2，A=030，C=045，则△ABC 的面积是_________________ 解：由正弦定理sin sin a bA B=有sin 2sin1051)sin sin 30a B b A === ∴11sin 21)1222ABC S ab C ∆==⋅⋅= 2、在△ABC 中，a,b,c 分别为A ，B ，C的对边，且tan tan tan A B A B +=⋅，a=4，b+c=5，则△ABC 的面积为________________________35. 3 C.D.222A 解：由tan tan tan A B A B ++=⋅得tan tan 1tan tan A BA B+=-⋅∴ A+B=23π C=3π又 ∵ 22222cos 1645c a b ab C b bb c ⎧=+-=+-⎨+=⎩∴ b=32113sin 4sin 2223ABCS ab C π==⋅⋅⋅=∴选C3、在△ABC 中，已知a 比b 长2，b 比c 长2，且最大角的正弦是32，则△ABC 的面积是____________________解：由已知可知A 是最大角，所以3sin 2A =A=0060120或 又222(4)(2)2(2)cos c c c c c A +=++-⋅⋅+当A=0120时，上式化为260c c --=，解得c=3或c=-2（舍去） 当A=060时，上式无意义∴ 113153sin 532224ABCSbc A ==⋅⋅⋅= 4、在△ABC 中，a,b,c 分别为A ，B ，C 的对边的长，S 是△ABC 的面积，若a=4，b=5,S=53,求c 的长度。
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）§1.2 应用举例(一)课时目标 1.了解数学建模的思想.2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题．1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．2．方位角：指从正北方向线按________方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A 点的方位角为α.3．计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一．一、选择题1．若点P 在点Q 的北偏西45°10′方向上，则点Q 在点P 的( ) A ．南偏西45°10′ B ．南偏西44°50′ C ．南偏东45°10′ D ．南偏东44°50′2．已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( ) A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km3．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．10 3 n mile B.1063n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile4．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m5．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(6＋2) 海里/小时B ．20(6－2) 海里/小时C ．20(6＋3) 海里/小时D ．20(6－3) 海里/小时6．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( ) A.1507 分钟 B.157小时 C ．21.5 分钟 D ．2.15 分钟二、填空题7．如图，A 、B 两点间的距离为________．8．如图，A 、N 两点之间的距离为________．9．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为______．10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.三、解答题11．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°方向上，求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．12．如图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离．能力提升13．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为() A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时14．如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？1．解三角形应用问题的基本思路是：实际问题――→画图数学问题――→解三角形数学问题的解――→检验实际问题的解．2．测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度．§1.2 应用举例(一)答案知识梳理2．顺时针 作业设计 1．C2．B [∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝a ，由余弦定理得AB ＝3a .]3．D [在△ABC 中，∠C ＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理得：BC sin A ＝AB sin B∴BC sin 60°＝10sin 45°解得BC ＝5 6.] 4．A [由题意知∠ABC ＝30°，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB ，∴AB ＝AC ·sin ∠ACBsin ∠ABC＝50×2212＝50 2 (m)．]5．B [由题意，∠SMN ＝45°，∠SNM ＝105°，∠NSM ＝30°. 由正弦定理得MN sin 30°＝MS sin 105°.∴MN ＝MS sin 30°sin 105°＝106＋24＝10(6－2)．则v 货＝20(6－2) 海里/小时．]6．A [设行驶x 小时后甲到点C ，乙到点D ， 两船相距y km ， 则∠DBC ＝180°－60°＝120°.∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120° ＝28x 2－20x ＋100＝28(x 2－57x )＋100＝28⎝⎛⎭⎫x －5142－257＋100∴当x ＝514(小时)＝1507(分钟)时，y 2有最小值．∴y 最小．] 7．32－ 28．40 39．60 m解析 在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°， ∴∠ACB ＝75°.∠ACB ＝∠ABC . ∴AC ＝AB ＝120 m.作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度． 由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD ，∴120sin 90°＝CD sin 30°， ∴CD ＝60(m)∴河的宽度为60 m. 10.36解析如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°， ∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1 km. 由正弦定理得， BC sin ∠CAB ＝ABsin ∠ACB，∴BC ＝1sin 60°·sin 15°＝6－223(km)．设C 到直线AB 的距离为d ， 则d ＝BC ·sin 75°＝6－223·6＋24＝36 (km)．11．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，∠B ＝45°，由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB ＝126×2232＝24(n mile)．(2)在△ADC 中，由余弦定理得，CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 30°，解得CD ＝83≈14(n mile)．即A 处与D 处的距离为24 n mile ， 灯塔C 与D 处的距离约为14 n mile. 12．解 在△BDC 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得BC sin 30°＝CD sin 45°，则BC ＝CD sin 30°sin 45°＝64(km)．在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD 为正三角形． ∴AC ＝CD ＝32(km)． 在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 45°＝34＋616－2×32×64×22＝38，∴AB ＝64(km)． 答 河对岸A 、B 两点间距离为64km. 13．B [设t 小时时，B 市恰好处于危险区， 则由余弦定理得：(20t )2＋402－2×20t ×40·cos 45°＝302. 化简得：4t 2－82t ＋7＝0， ∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝1.] 14．解 如图所示，连结A 1B 2， 由已知A 2B 2＝102， A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2， 又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2. 由已知，A 1B 1＝20， ∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200. ∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船速度的大小为10220×60＝302(海里/小时)．答 乙船每小时航行302海里．。
