高等数学 第六章 第7节 定积分的几何应用(中央财经大学)

定积分在几何上的应用
定积分就是求函数f(X）在区间[a,b]中图线下包围的面积。

即由y=0,x=a,x=b,y=f(X）所围成图形的面积。

这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

绕x轴旋转体体积公式是V=π∫[a,b]f(x)^2dx。

绕y轴旋转体积公式同理，将x，y互换即可，
V=π∫[a,b]φ(y)^2dy。

或者是V=2π∫[a，b]y*f(y)dy，也是绕x轴旋转体积。

绕x轴旋转体的侧面积为A=2π∫[a，b]y*(1+y'^2)^0.5dx，其中y'^2是y对x的导数的平方。

若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。

一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

几何，就是研究空间结构及性质的一门学科。

它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。

几何学发展历史悠长，内容丰富。

它和代数、分析、数论等等关系极其密切。

，杂平面图形面积的方法该过程告诉了我们求复. 形面积的定义同时，也告知了平面图想方法是：解决曲边梯形面积的思. 取极限—求和—代替—分划 处理的问题的结果，即通常人们把这类方法所. ],[ )( 上的定积分在区间这种极限值，称为函数b a x f定积分符号：. )(lim d )(10∑∫=→∆=n i i i b a x f x x f ξλ 定积分号；—∫b a 积分下限；—a积分上限；—b d )(被积表达式；—x x f )(被积函数；—x f d 积分变量；—中的x x. ],[积分区间—b a ) ( 积分变量的取值范围关于定积分定义的几点说明. ] ,[ )( , T ),( d )( )1(有关区间及只与的选择无关及点它与分法具体的数是一个极限值定积分b a x f x x f i ba ξ∫ . d )(d )(d )()2(⋯===∫∫∫ba b a b a t t f y y f x x f 号无关：定积分与积分变量的记喂!下面是几个关于函数可积性的定理.运用定积分的概念及定积分的几何意义, 由函数的极限运算性质容易证明它们, 所以我们在这里不进行证明.定理 1. ]),([)( ]),,([)( b a R x f b a C x f ∈∈则若, ],[ )( 上单调、有界在若b a x f. ]),([)( b a R x f ∈则)( , ],[ )(第一类且仅有有限个上有界在b a x f. ]),([)( ,b a R x f ∈则间断点定理 2O xya b c �. ]),([|)(| ]),,([)( b a R x f b a R x f ∈∈则若. 3 的逆不真定理⎩⎨⎧−= . 1, , 1 )( ,为无理数，为有理数例如x x x f 定理 3, ],[ ],[ ]),,([)( b a d c b a R x f ⊂∀∈则若. ]),([)(d c R x f ∈O xya b c d 定理 4]),,([)(),( 则若b a R x g x f ∈ . ]),([)()( ),()( ),(b a R x g x f x g x f x kf ∈⋅±定理 5为常数）k (三. 定积分的性质由于定积分是一种和式的极限, 所以极限的某些性质在定积分中将有所反映.在以下的叙述中, 假设所出现的函数均可积, 所出现的定积分均存在.: ,定积分反号交换积分上、下限. d )(d )(∫∫−=abbax x f x x f 1 性质)( 2 线性性质性质, d )(d )(d )]()([∫∫∫±=±ba b a b a x x g x x f x x g x f βαβα. ,为常数、式中βα)( 3 保号性性质. 0d )( ],,[ ,0)( ≥∈≥∫ba x x fb a x x f 则若(小于零的情形类似. )1 3 的推论性质. d )(d )( ,],[ )()( ∫∫≥∈≥babax x g x x f b a x x g x f 则若2 3 的推论性质∫∫≤babaxx f x x f d |)(| |d )(|证(f)( 4 对区间的可加性性质∫∫∫+=bcc abaxx f x x f x x f d )(d )(d )(. ,b c a <<其中注意：不论a, b, c 大小关系如何，上式仍然成立！)( 5 估值定理性质,, ],[ )( , 则最小值上的最大在分别为设b a x f m M. )(d )()(a b M x x f a b m ba −≤≤−∫. 0d )(=∫bax x f 时当补充规定：b a =证)( 6 积分中值定理性质使得则上保持符号不变在 , ],[ , ],[ b a b a ∈∃ξ. d )()(d )()(∫∫=babax x g f x x g x f ξ )( ]),,([)( ]),,([)( x g b a R x g b a C x f 且若∈∈解f t3。

2. 截面面积已知的几何体的体积设有立体如图 A( x 表示过点x的截面面
积， , 求此立体的体积 . (1 任取区间 x, x dx]， [ 落在该区间几何体的体积为V，Δ 可近似扁圆视为以A(x为底面积、dx 为高的柱体的体积, 则体积微元为利用定积分的微元法 A(x a x x+dx b x A( x dx，就是所求几何体的体积 V 在区间 a, b]作定积分， [ (2 以A( x dx为被积表达式， b a A( x dx.
例设有底圆半径为R的圆柱，被一与圆柱底面交成α且过底圆直径的平面所截，求截下的楔形体的体积。

解取该平面与圆柱体底面的交线为 x轴, 底面上过圆中心且垂直于 x轴的直线为轴, y R 则底圆方程为 x 2 y 2 R 2 , x 在
x( R x R处垂直于x轴作立体的截面 , 截面为直角三角形, 两条直角边分别为 y y 及y tan α , 即 R 2 x 2 及 R 2 x 2 tan α , R x 1 2 A( x ( R x 2 tan α , 截面面积 2 R 则立体体积 V 1 (R 2 x 2 tan αdx 2 R3 tan α . 2 R 3
小结一、定积分应用的微元法二、用定积分求平面图形的面积三、用定积分求体积 (1旋转体的体积 Vx V a b a π[ f ( x ] dx Vy 2 d c π[ ( y ] dy 2 (2截面面积已知的几何体的体积 b A( xdx
作业： P266 1（2），2（2）。