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《线性代数》教学大纲32学时本课程是以矩阵为主要工具研究数量间的线性关系的基础理论课程，也是本科阶段关于离散量数学的最重要的课程。
本课程的目的是使学生熟悉线性代数的基本概念，掌握线性代数的基本理论和基本方法，提高其抽象思维、逻辑思维的能力，为用线性代数的理论解决实际问题打下基础。
教学内容和基本要求一．行列式1．理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算；12．知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响；3．了解n阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的n阶行列式；4．掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展开公式，了解行列式的乘法定理；5．掌握不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式的计算；6．理解Cramer法则，掌握用Cramer法则求方程组的解的方法。
二．矩阵1．理解矩阵的概念；2．理解矩阵的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算；3．理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质；4．理解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别方法，掌握逆矩阵的性质；5．了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵；26．了解分块矩阵的运算性质，掌握简单的分块矩阵的运算规则。
三．矩阵的初等变换与Gauss消元法1．理解矩阵的初等行变换与Gauss消元法的关系，理解矩阵的初等变换及矩阵的等价关系的概念；2．了解矩阵的等价标准形的概念，理解矩阵的初等变换与矩阵的乘法间的关系；3．了解可逆矩阵与初等矩阵间的关系，掌握用初等变换求逆矩阵的方法，会求简单的矩阵方程的解；4．理解矩阵的秩的概念，熟练掌握矩阵的秩的求法，理解矩阵运算前后的秩之间的关系；5．熟练掌握用矩阵的秩判断线性方程组的相容性及讨论解的情况的方法。
四．向量组的线性相关性1．理解向量的概念，理解线性组合和线性表示的概念；2．理解向量组的线性相关、线性无关的概念以及有关性质，掌握向量组的线性相关性的判别方法；3．理解向量组的秩的概念，理解向量组的秩与矩阵的秩间的关系，熟练掌握向量组的秩的性质；34．理解向量组的最大线性无关组的概念，理解向量组的最大线性无关组与向量组的秩间的关系，会求向量组的最大线性无关组；5．理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，熟练掌握基础解系的求法；6．理解非齐次线性方程组有解的充要条件，理解非齐次线性方程组与相应的齐次线性方程组的解之间的关系，熟练掌握非齐次线性方程组的通解的表达式的求法；7．知道向量空间、子空间、向量空间的基及维数的概念，会判断向两空间的子集是否构成子空间，会求由一向量组生成的子空间及一齐次线性方程组的解空间的基及它们的维数；8．知道坐标变换公式，会求两组基间的过渡矩阵。
东南大学成贤学院考试卷 （A 卷）课程名称 高等数学B(下)期中 适 用 专 业 工科各专业考试学期 10 - 11 - 3 考 试 形 式 闭 卷 考 试 时 间 长 度 120 分钟 学 号 姓 名 得 分题 号 一二三四五得 分一、选择题(每题 3 分,共 5 题)1、点 M (−3,−7,− 1) 关于（ ）的对称点是 M ′ 3(,7,− 1)。
（A ） 原点 O ； （B ） Oxy 平面； （C ） z 轴； （D ）平面 x + y − z = 0。
2、直线 = = 与直线 = = 的夹角是（ ）。
1 − 4 12 − 2 − 1 （A ） ； 6 （B ） ； 4 （C ） ；3 （D ） 。
43、为使二元函数 f (x , y ) = 当 (x , y ) 沿着某一特殊路线趋于 0(,0) 时的极限为 2， 这条路x − y线应选择（ ）。
（A ） y = ；（B ） y = ；（C ） y =4、二元函数 z = 3(x + y ) − x 3 − y 3 的极值点是（（A ） 1(,− 1)； （B ） (− 1,1)； （C ） (− 1,− 1)；； （D ） y = 。
）（D ） 0(,0)。
5、设 D = {(x , y ) 1≤ x ≤ 2 , 3 ≤ y ≤ 4 }，则积分的值为（ ）。
4（A ） ln ；3 （B ） ln ； 2 （C ） ln ； 3（D ） ln 。
二、填空题(每题 3 分,共 5 题)1、直线 = = 在 Oxy 平面上的投影直线为 。
- 1 -x = 0 sin(xy )(x ,y )→0(,0)2 −。
4、设z = x y ，则 dz 1(,1) = 。
5、交换积分次序： ∫dy∫yf (x , y )dx = 。
三、计算题(每题 7 分,共 5 题)1、已知某球面的中心在 3(,−5,2) 且与平面 2x − y +3z = 3相切，求球面方程。
共 4 页 第 页东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）课程名称 几何与代数B 考试学期09-10-2得分适用专业电类专业考试形式闭卷考试时间长度 120分钟一. （30%）填空题1. 若101,110a A B b ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且222()AB A B =，则,a b 满足条件 a b =；2. 设2阶方阵(,)A αβ=，()2,3B αβαβ=-+，若B AC =，则矩阵C = 2113⎛⎫⎪-⎝⎭；3. 直线3221x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩的一个方向向量为 (5,4,3) ；4. 点(1,1,1)P 到平面223x y z -+=的距离是23；5. 如果向量组1111,,21a a a αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关，则参数a 满足条件 1a =；6. 向量12η⎛⎫= ⎪⎝⎭在2R 的基13,12αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭下的坐标是 41⎛⎫ ⎪-⎝⎭；7. 如果11⎛⎫ ⎪⎝⎭是矩阵211a ⎛⎫⎪⎝⎭的属于特征值b 的特征向量，则 (,)a b = (0,2) ； 8. 假设A 是22⨯矩阵，若可逆矩阵(,)P αβ=满足11002P AP -⎛⎫=⎪⎝⎭，(),Q βα=，则1Q AQ -= 2001⎛⎫⎪⎝⎭；9.(1)r n ≤≤的特征多项式是 (1)n r r λλ--。
共 4 页 第 页二. （10%）设211101111A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111012B -⎛⎫= ⎪⎝⎭。
已知XA B X =+ ，求 X 。
解：()X A E B -=，1()X B A E -=-， (4)111111110A E ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，1122111221()0101A E --⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭， (4)51220102X ⎛⎫= ⎪--⎝⎭……………………………………………………………………2 三. （14%）设线性方程组12342341234123412123435(6)5x x x x x x x x x ax x b x x x a x + + +=⎧⎪ - +=⎪⎨+ + +=⎪⎪+ +++=⎩。
03-04学年第二学期《空间解析几何与线性代数》期终试题解答一 (24%) 填空题:1. 若向量k j a i -+=α, k j i b ++=β,k =γ共面, 则参数a , b 满足ab = 1.2. 过点P (1, 2, 1)且包含x 轴的平面方程为y - 2z = 0.3. 已知矩阵A 满足A 2 + 2A - 3I = O , 其中I 表示单位矩阵, 则A 的逆矩阵A -1 = )2(31I A +. 4. 设矩阵A =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡031130021, B =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡700650432, 则行列式|A 2B -1| = 1/70 . 5. 设向量组α1 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡321, α2 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡123, α3 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-11k , 则当参数k =0时, α1, α2, α3线性相关. 6. 向量空间R 2中向量η = (2, 3)在R 2的基,与α = (1, 1) β = (0, 1)下的坐标为(2, 1).7. 满足下述三个条件的一个向量组为(-2, 1, 0), (1, 0, -1), 这三个条件是: ①它们是线性无关的; ②其中的每个向量均与α = (1, 2, 1)正交; ③凡与α正交的向量均可由它们线性表示.8. 已知2×2矩阵A = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a , 若对任意的2维列向量η有ηT A η = 0, 则abcd 满足条件 a = d = 0, b = -c .二 (12%) 假设矩阵A , B 满足A - B = AB , 其中A =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---021021020, 求B . 解: (法一) 由A - B = AB 得 (A +I )B = A , 其中I 表示单位矩阵. A +I = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---121011021. A +I 的行列式|A +I | = 1, 伴随矩阵(A +I )* = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--101011021. 因而(A +I )-1 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--101011021. 于是B = (A +I ) -1A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--101011021⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---021021020 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--001001022. (注意B 未必等于A (A +I ) -1 !)(法二) 由A - B = AB 得 (A +I )B = A , 其中I 表示单位矩阵. A +I = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---121011021. [A +I , A ] =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡------021021020 121011021 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--001001022 100010001= [I , (A +I ) -1A ] 初等行变换于是B = (A +I ) -1A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--001001022. 三 (15%) 设向量α1 = (a , 2, 10)T , α2 = (-2, 1, 5)T , α3 = (-1, 2, 4)T , β = (2, b , c )T , 问当参数a , b ,c 满足什么条件时1. β能用α1, α2, α3唯一线性表示?2. β不能用α1, α2, α3线性表示?3. β能用α1, α2, α3线性表示, 但表示方法不唯一? 求这时β用α1, α2, α3线性表示的一般表达式.解: 令A = [α3, α2, α1] = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--105421221a , (注: 这里把α3放在第一列纯粹是为了方便) [A , β] = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--c b a 2 105421221 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+-++--442 2800223021b c b a a a = ]~ ,~[βA 1. 当参数a ≠ -4时, 秩(A ) = 3, 此时β能用α1, α2, α3唯一线性表示.2. 当参数a = -4, 而b - c ≠ 4时, 秩(A ) =2, 秩(A , β) = 3, 此时β不能用α1, α2, α3线性表示.3. 当参数a = -4, 且b - c = 4时, 秩(A ) = 秩(A , β) = 2, 此时β能用α1, α2, α3线性表示, 但表示方法不唯一.这时]~ ,~[βA = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+---042 000630421b ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-03/)1(22 000210001b 由此可得Ax = β的通解⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=333213/)1(222x x b x x x , 其中x 3为自由未知量.因而β用α1, α2, α3线性表示的一般表达式为β = t α1 + [-2t + 2(b +1)/3]α2 -2α3其中t 为任意数.四 (8%) 设实二次型f (x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 + 2axy + 2ayz . 问: 实数a 满足什么条件时, 方程f (x , y , z ) = 1表示直角坐标系中的椭球面?解: 实二次型f (x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 + 2axy + 2ayz 的矩阵A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10101a a a a . A 的顺序主子式a 11 = 1 > 0; 22211211a a a a = 1 - a 2; |A | = 1 - 2a 2. f (x , y , z ) = 1表示直角坐标系中的椭球面当且仅当A 正定, 当且仅当A 的顺序主子式全为正数, 即a 2 < 1/2.五 (12%) 设3阶方阵A 的特征值为2, -2, 1, 矩阵B = aA 3 - 4aA + I .1. 求参数a 的值, 使得矩阵B 不可逆.2. 问矩阵B 是否相似于对角阵? 请说明你的理由.解: 1. 因为3阶方阵A 有3个不同的特征值2, -2, 1, 所以存在可逆矩阵P , 使得P -1AP = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-100020002. 初等行变换 初等行变换于是P -1BP = P -1(aA 3 - 4aA + I )P = a (P -1AP )3 - 4a (P -1AP ) + I = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-a 3100010001. 因而矩阵B 不可逆当且仅当|B | = 0, 而|B | = |P -1BP | = 1 -3a .所以当a = 1/3时, 矩阵B 不可逆.2. 由1可知矩阵B 相似于对角阵. 六 (12%) 已知二次曲面S 1的方程为z = 3x 2 + y 2, S 2的方程为z = 1 - x 2.1. 问: S 1与S 2分别属于哪一类二次曲面?2. 求S 1与S 2的交线在xOy 平面上的投影曲线方程;3. 画出由S 1与S 2所围成的立体的草图.解: 1. S 1与S 2分别属于椭圆抛物面和抛物柱面.2. 由z = 3x 2 + y 2和z = 1 - x 2消去z 得S 1与S 2的交线在xOy 平面上的投影曲线方程:⎩⎨⎧==+01422z y x 3. 由S 1与S 2所围成的立体的草图如右图所示: 七 (10%) 设3×3实对称矩阵A 的秩为2, 并且AB = C , 其中B = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-110011与C =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-110011. 求A 的所有特征值及相应的特征向量; 并求矩阵A 及A 9999.解: 因为A 是3阶矩阵, 且秩为2, 所以|A | = 0, 因而有一个特征值为0.又因为AB = C , 其中B = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-110011与C =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-110011, 令p 1 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-101, p 2 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡101, 则Ap 1 = -p 1, Ap 2 = p 2, 可见p 1, p 2分别是A 的对应于λ = -1和λ = 1的特征向量. 由于A 是3×3的实对称矩阵, 所以对应于特征值0的特征向量与p 1, p 2正交,由此可得对应于特征值0的一个特征向量p 3 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡010. 令P = [p 1, p 2, p 3], 则P -1AP = Λ = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-000010001. 故A = P ΛP -1 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-011100011⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-000010001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-0102/102/12/102/1= ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡001000100. A 9999 = (P ΛP -1)9999 = P Λ9999P -1 = P ΛP -1 = A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡001000100. 八 (7%) 证明题:1. 设η1, η2, …, ηt 是齐次线性方程组Ax = θ的线性无关的解向量, β不是其解向量. 证明: β, β+η1, β+η2, …, β+ηt 也线性无关.证明: 因为η1, η2, …, ηt 是齐次线性方程组Ax = θ的线性无关的解向量, β不是其解向量.所以β, η1, η2, …, ηt 线性无关, 否则β能由η1, η2, …, ηt 线性表示, 从而是线性方程组Ax = θ的解, 矛盾!假若k 1β + k 2(β+η1) + k 3(β+η2) + … + k t +1(β+ηt )= θ,则(k 1 + k 2 + k 3 + … + k t +1)β + k 2η1 + k 3η2 + … + k t +1ηt = θ. 于是(k 1 + k 2 + k 3 + … + k t +1) = k 2 = k 3 = … = k t +1 = 0,即k 1 = k 2 = k 3 = … = k t +1 = 0.所以β, β+η1, β+η2, …, β+ηt 线性无关.2. 设A 是n 阶正定矩阵, 证明: |I +A | > 1, 其中I 是n 阶单位矩阵. 证明: 因为A 是n 阶正定矩阵, 所以A 的特征值λ1, λ2, …, λn 都是正数.于是存在可逆矩阵P , 使得P -1AP = Λ = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ 00000021. 因而|I +A | = |P -1||I +A ||P | = |P -1(I +A )P | = |I + P -1AP | = nλλλ+++1000100121 = (1+λ1)(1+λ2)…(1+λn ) > 1.生活的辩证法就是这样：当苦难压来时，只有具备善良的愿望，坚定信念的人；只有不计回报，只求奉献的人；只有坚强不屈，不折不挠的人，才有希望趟过苦难，收获甘甜。
东南大学高数（上）至年期末考试（附答案）作者:日期:x 3.一、单项选择题 1.设函数03〜10级高等数学 2003级高等数学（ （每小题 4分，共16分） y （x ）由方程1"dt （A ）（上册）期末试卷A ）（上）期末试卷x 确定，则 (C)e-1(A)e 1；(B)1-e;(D)2e .（A ） y （C ） y * 二、填空题 Acos2x;Ax cos2x Bxsin2x;(B) (D)1. x m 0(e x2.（每小题 1X)x 2arcta n— x 3分，共18 分）e f 仏x），其中f 可导，则dydx .1 、八 一、 x sin-, 设 f(x) x0, Axcos2x; Asi n2x若导函数f （X ）在x 0处连续，则 的取值范围是4.若 f (x)x 2t 4_ 3 dt,则f (x)的单增区间为,单减区间为5•曲线y xe X 的拐点是6.微分方程 y 4y 4y 0的通解为y三、计算下列各题(每小题 6分，共36 分)dx计算积分一dx一2 cosx5.设f(x)连续，在x 0处可导，且f (0)x 0(t t f(u)du)dt0, f (0) 4，求 lim —一 ------------x 0x sinx1计算积分arcta n x . —dxx 2)2 (1.计算积分5COS x寸223.计算积分x 3e x dx4.6.求微分方程2xydy (x22y2)dx 0的通解四.（8分）求微分方程3y 2y 2xe x满足条件y0的特解xo 0,y五.（8分）设平面图形x2y22x与y x所确定，试求D绕直线x 2旋转一周所生成的旋转体的体积。
x5t 2 （7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线 C::y t2a[a, a]，使得 a f (x)dx七.（7分）设函数f （X ）在［a,a ］上有连续的二阶导数，且 f （0） 0,证明：至少存在一t与X 轴所围成，试求其质量m2t1. 2. 3. 4. 5. .填空题 函数f 已知F 设函数2004级高等数学（A ）（上）期末试卷（每小题4分，共20分）1X ——1—的间断点 X 是第 类间断点.x 是f X 的一个原函数，且f X 0,则 f X 1 X 2X 2005 e x e x dxSint/—U 4du dt ,则 f 0 2xdt 。
东南大学04-05学年第二学期几何与代数期终考试试卷一、 (24%)填空题1． 以(1,1,2)A ，(2,1,1)B --，(1,1,1)C --为顶点的三角形的面积为 ；2． 设3阶矩阵123(,,)A ααα=，23131(,2,)B ααααα=+-。
若A 的行列式3A =，则B 的行列式B = ；3． 若向量(1,0,1)α=，(2,1,1)β=-，(1,1,)k γ=-共面，则参数k = ；4． 若A 为n 阶方阵，则方阵2I O B A I ⎛⎫= ⎪⎝⎭的逆矩阵1B -= ； 5． 已知向量111η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是矩阵11201122a A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的特征向量，则参数a = ，相应的特征值等于 ；6． 假设矩阵1000A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则在实矩阵11001110,,,,11021101B C D E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1300F ⎛⎫= ⎪⎝⎭中，与A 相抵的有 ；与A 相似的有 ；与A 相合的有 ． 二、 （8%）计算行列式121111x x x x xx x x x x ．三、 （10%）假设200110102A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，121210B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭， 求矩阵方程3X B XA =+的解．四、 （14%）假设矩阵1101011A λλλ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，000θ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，11a b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．1． 已知齐次线性方程组Ax θ=的基础解系中有两个线性无关的解向量．试确定这时参数λ的值，并求这时Ax θ=的一个基础解系．2． 若在非齐次线性方程组Ax b =的解集中，存在两个线性无关的解向量，但不存在更多的线性无关的解向量，试确定这时参数λ及a 的值，并求Ax b =的通解．五、 （10%）已知直线l 过点(1,1,1)P ，与平面:1x y z π+-=平行，且与直线1121xy z λ- ==： 相交。
中国计量学院2011 ~ 2012学年第 2 学期《高等代数》(2)课程试卷（A ）参考答案及评分标准一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.D2.B3.D4.C5.A二、填空题(每小题3分，共15分)1.1111⎛⎫ ⎪-⎝⎭；2. __1，-3__；3.100010011⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭； 4. 20x y +-= 5.222x y pz +=．三、计算题1．(12分)设A 是3P 中的线性变换，且A 在基)1,1,1(1-=η,)1,0,1(2-=η,)1,1,0(3=η下的矩阵为101110121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭求A 在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===下的矩阵.解 因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111101011， 所以 (1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=(1η,2η,3η)X ，-------------4分故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为B =X 1-AX=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111101011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--203022211 -------------12分2．(12分)求λ矩阵222211λλλλλλλλλλ()A ⎛⎫-⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭的标准形、不变因子、行列式因子、初等因子．解 对-λ矩阵作初等变换,有A =)(λ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--222211λλλλλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--222101λλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--)1(00001λλλλ → )()1(0000001λλλλD =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+ 标准形为: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=)1(000001)(λλλλD ；----------------------6分 不变因子为：)1()(,)(,1)(321+===λλλλλλd d d ；----------------------8分 行列式因子为：)1()(,)(,1)(2321+===λλλλλλD D D ；----------------------10分 初等因子为：1,,2+λλλ.----------------------12分3．(12分) 设二次型()222123123121323,,22448f x x x x x x x x x x x x =---++ ，求一正交变换 x Ty =，将二次型化为标准形. 解 二次型对应的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=242422221A ，----------------------2分且A 的特征多项式为 2)2)(7(-+=-λλλA E ，特征值为2,7321==-=λλλ．---------------------4分 相应的特征向量为 ()()()1,0,2,0,1,2,2,2,1321=-=-=ααα，---------------------6分正交化,可得()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-=1,54,52,0,1,2,2,2,1321βββ， 再单位化,有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=535,534,532,0,51,52,32,32,31321ηηη， ----------------------8分令X=TY ，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=53503253451325325231T ，----------------------10分 则 232221'227y y y AX X ++-=．----------------------12分4.(12分) 求顶点在原点，准线为01,0122=+-=+-z y z x 的锥面方程. 解 设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为：z Zy Y x X ==----------------------3分 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,， -----------6分 将它们代入准线方程，并消去参数t ，得：0)()(222=-+--y z y z z x即：0222=-+z y x此为所要求的锥面方程. ----------------------12分5. (12分)求过双曲抛物面z y x =-41622上的点（2,1,0）的直母线方程. 解：双曲抛物面z y x =-41622的两族直母线为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x u uy x )24(24 及 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-z yx v v yx 24(24----------------------6分将点（2,1,0）分别代入上面两族直母线的方程，求得,1==v u----------------------10分因此，所求的直母线方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x yx 24124 及 ⎪⎩⎪⎨⎧==-024z y x ----------------------12分四、证明题((每小题5分，共10分)1.在2R 中，定义变换(,)(2,2)x y x y x y σ=++． （1）证明：σ是2R 的线性变换.（2）取2R 的一组基：12(1,0),(0,1)εε==，求σ的值域2()σR 及2()σR 的一组基.证明(1)设1221x x A y y σξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，σ是2R 到R 的映射，且2,,k αβ∀=∈∀∈R R ，有()()k l A k l kA lA σαβαβαβ+=+=+，所以σ是线性变换；-----------------3分(2) 对于2R 的基：12(1,0),(0,1)εε==，有12()(1,2),()(2,1)σεσε==，易知12(),()σεσε线性无关，于是它们构成2()σR 的一组基，且值域为 12()((),())((1,2),(2,1))L L σσεσε==3R .-----------------5分 2.欧氏空间V 中的线性变换A 称为反对称的，如果对任意α，β∈V ，有（A α，β）= —（α，A β）． 证明：如果V 1是反对称线性变换A —子空间，则V 1⊥也是A —子空间．证明 任取∈αV 1⊥，可证A ∈αV 1⊥，即A ∈αV 1，事实上，任取β∈V 1，由于V 1是A 子空间，因此A β1V ∈，而∈αV 1⊥，故（α，A β）=0．----------------------3分再由题设，A 是反对称的，知（A α，β）= —（α，A β）=0，----------------------4分由β的任意性，即证A ∈αV 1 ．从而V 1⊥也是A —子空间．----------------------5分。
东南大学2011-2012学年第二学期《高等数学（上）》期中考试试卷课程名称髙■歎爭AB （上）期中考试学期_11炬_ 得分请用专业_用学而-AB够亳*坐考试形式闭慝考试时间长度120分钟一、填空題（本題共8小题，每小裁4分，共32分）1.设当了t 0时，sin（2z） - 2ainf与i"是同阶无穷小，则n *■\2,函数f（x） = Jim （n € N+）的冋断点的坐标地y = ―_,是第__类间断点tX < 0mum疝。
'若血在顷姓可导m数z常数石5函旳满足寸⑴表则《）= —5.曲线” = ln（l+产*工）在工*=；处的切鏡方程为________6,设/（Z）= HE礼则=.. -一；7,设卩工/（血时/・\（了 A。
）,其中/可徹.则徹分勤=8,极限lini（l - 5 Lai?工）；血=.二' 计算下列各融（本題共S小題，毎小題H分，满分40分）1.求极限lim y/n(^n—1).Z82.求极限io 1 — cosx + sin x3.求函数y =】n(e，+ /TE)的导数敦ax4.设v = |/(x)是由方程冊-cscy + g3 = 0所确定的隐函数’求票.(1 +色，求祟及典|匕y = arctan t ctr dx三、（本题满分7分）证明多项式f（x） = / - 3工+ Q在区间［0,1］上不可能有两个零点，为使/（》）在区间［0,1］ ±存在零点，a应当满足怎样的条件？四' （本题满分7分）设u = |,环*］ = £羿,（n = l,2,…），利用单调有界收敛准则证明数列｛%｝收敛，并求lim %.五、（本題满分7分）试证：当於0时，W +脂六、（本虢满分7分）设函数/在［a,51±存在三阶导数，且满足/（«） = f（b） = r（a） = r（b） = r（a） = r（b） = O ,证明存在ee（a,6）,使得/何）=r（o .10-11-2高等数学（A, B ）期中试卷参考答案一.填空a （毎小睽4分，本理満分32分）1. 3 :2. 1,1}3. 1,1（或跳跃）：4. ~2 :5. 7. f '伽+ /(Inx)/Xx) k'⑴虫；8. e^. V x *,— , J二.计耳我（每小題8分.本题満分40分）Jl + e"&咯喜=沽时3分噜滞,"乱， IT?三(7分).解/,(x)»3(x J -l)<0, x€(0,l), /(x)在(0,1)±严格単减.所以/(x)在［0,1］上不可能有两个零点（4分）./（0） = a . /（I ） = a-2,故必须满足a （a-2）M0,SP0SoS2 （3分）（注：若缺了等号，扣1分）1 1 +必四.（7分）解己知X, =-＜!»设払＜1，则》2=—7丄＜1，由归纳法知与＜质=1,2,…，且显见x fl ＞0,于是捋冷二乂“, {x“}单增且有上界,故低｝收敛，(5分)令lim%=/,得/ =半，解得7 = 1，即limx B =l (2分)^ = ln2--| x- 21ten 1.解】im Jn(y/n -1) = lim 、们 e ” 1 = lim l n n—=0 (2*3*3 分) —Vnln(l + x) + ln(J-x) = Hm 2.解 lim --------------- 7-j ------- — --------------- . 2 1 — cos x + sm x 1 -cosx + sm x lim -------------- -------- - *■*« 1 -cosx sin x 3x 2x 1 （3分）（2分） （3分〉4.解 2’In2+ ycotNC$cy+ 3_y'y = 0 ・ y 12'ln2 方2(8分) cot*cscy+3>，五(7 分)证设/(x) = >^+71n(l+x)-x,x>0 (1 分)尸(工)=二=fln(l + x) + —-2岳員(2 分) 设此=瓦(心+着-2后，加=十訐-<0, x>0,故应单2V1+X减，而g(0) = 0,故当x>0时，g(x)<0 (2分)，即/'(x)<0,从而/'(x)单减，故X当x20时，/(x)</(0) = 0,即ln(l + x)<-7=,x^0 (2分) Vl + x六(7 分)证设g(x) = e-x(/(x)+/(x) + f r(x)), (4 分)g(x)在［a,如上连续且可导，g(a) = g0) = O,由Rolle定理知存在^e(a,b),使得g'(f) = 0,即次(尸©)-/(为)=0,而『JO,所以广© = f© <3分)。
共 8 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称高等数学A 期末考试学期 09-10-3得分适用专业 选修高数A 的各专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 150分钟一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分) 1. 将22222d ()d x y f x y z z -++⎰⎰（其中()f t 为连续函数）写成球面坐标系下的三次积分 ；2. 球面22230x y z x ++-=在点(1,1,1)处的切平面方程为 ；3. 设1,0()2,0x f x x x ππ-<≤⎧=⎨<≤⎩，且以2π为周期，()S x 为()f x 的Fourier 级数的和函数，则(3)S π= ，(2)S π-= ；4. 已知3222(cos )d (1sin 3)d axy y x x by x x y y -+++为某个二元函数(,)f x y 的全微分，则____,____a b ==；5. 设C 为圆周2z =，取逆时针方向，则1d (i)(4)C z zz =+-⎰ ；6. 留数ln(12)Res ,01cos z z +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；7. 设{,,},x y z r ===r r div(e )r =r ；8.设∑是锥面1)z z =≤≤下侧，则3d d 2d d (1)d d x y z y z x z x y ∑∧+∧+-∧=⎰⎰ ；9. 设()(,)d d x y tF t f x y x y +≤=⎰⎰，其中2,0(,)0,x y x x f xy ⎧≥≥=⎨⎩且其它，则(2)F = . 二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)共 8 页 第 2 页10．设 (,)z z x y =是由方程e e e z y xz x y =+所确定的隐函数，求,z z x y∂∂∂∂. 11．计算22222d ed d d yy x y x y x y x ----+⎰⎰⎰.12．判断级数111(1)!179n n n n n-∞-=-⎛⎫⎪⎝⎭∑的敛散性.13. 求幂级数ln 12n nn x n∞=∑的收敛域. （注：级数若在收敛区间的端点处收敛，须说明是绝对收敛还是条件收敛.）共 8 页 第 3 页三（14）．（本题满分7分）设1,022()0,2x f x x πππ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩在[0,]π上展开成正弦级数，并写出它的和函数.四（15）。
