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线性代数期末考试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是线性代数的基本概念？A. 矩阵B. 向量C. 函数D. 行列式答案：C. 函数2. 矩阵A的转置记作A^T，则（A^T）^T等于A. AB. -AC. A^TD. 2A答案：A. A3. 对于矩阵A和B，满足AB = BA，则称A和B是A. 相似矩阵B. 对角矩阵C. 线性无关D. 对易矩阵答案：D. 对易矩阵4. 行列式的性质中，不能成立的是A. 行列式交换行B. 行列式某一行加上另一行不变C. 行列式等于数乘其中某一行对应的代数余子式的和D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变答案：D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变5. 给定矩阵A = [3, -1; 4, 2]，则A的秩为A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C. 2二、填空题1. 给定矩阵A = [2, 1; -3, 5]，则A的行列式为______答案：132. 设矩阵A的逆矩阵为A^-1，若AA^-1 = I，其中I是单位矩阵，则A的逆矩阵为______答案：I3. 若矩阵的秩为r，且矩阵的阶数为n，若r < n，则该矩阵为______矩阵答案：奇异三、简答题1. 解释什么是线性相关性和线性无关性？答案：若存在不全为零的数k1, k2，...，kn，使得方程组中的向量k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性相关；若该方程仅在k1 = k2 = ... = kn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性无关。
2. 如何判断一个矩阵是对称矩阵？答案：若矩阵A的转置等于自身，即A^T = A，则称矩阵A是对称矩阵。
四、计算题1. 给定矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求A的逆矩阵。
答案：A的逆矩阵为1/(-2)[4, -2; -3, 1]2. 求向量v = [1, 2, 3]的模长。
《线性代数》教学大纲32学时本课程是以矩阵为主要工具研究数量间的线性关系的基础理论课程，也是本科阶段关于离散量数学的最重要的课程。
本课程的目的是使学生熟悉线性代数的基本概念，掌握线性代数的基本理论和基本方法，提高其抽象思维、逻辑思维的能力，为用线性代数的理论解决实际问题打下基础。
教学内容和基本要求一．行列式1．理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算；12．知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响；3．了解n阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的n阶行列式；4．掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展开公式，了解行列式的乘法定理；5．掌握不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式的计算；6．理解Cramer法则，掌握用Cramer法则求方程组的解的方法。
二．矩阵1．理解矩阵的概念；2．理解矩阵的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算；3．理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质；4．理解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别方法，掌握逆矩阵的性质；5．了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵；26．了解分块矩阵的运算性质，掌握简单的分块矩阵的运算规则。
三．矩阵的初等变换与Gauss消元法1．理解矩阵的初等行变换与Gauss消元法的关系，理解矩阵的初等变换及矩阵的等价关系的概念；2．了解矩阵的等价标准形的概念，理解矩阵的初等变换与矩阵的乘法间的关系；3．了解可逆矩阵与初等矩阵间的关系，掌握用初等变换求逆矩阵的方法，会求简单的矩阵方程的解；4．理解矩阵的秩的概念，熟练掌握矩阵的秩的求法，理解矩阵运算前后的秩之间的关系；5．熟练掌握用矩阵的秩判断线性方程组的相容性及讨论解的情况的方法。
四．向量组的线性相关性1．理解向量的概念，理解线性组合和线性表示的概念；2．理解向量组的线性相关、线性无关的概念以及有关性质，掌握向量组的线性相关性的判别方法；3．理解向量组的秩的概念，理解向量组的秩与矩阵的秩间的关系，熟练掌握向量组的秩的性质；34．理解向量组的最大线性无关组的概念，理解向量组的最大线性无关组与向量组的秩间的关系，会求向量组的最大线性无关组；5．理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，熟练掌握基础解系的求法；6．理解非齐次线性方程组有解的充要条件，理解非齐次线性方程组与相应的齐次线性方程组的解之间的关系，熟练掌握非齐次线性方程组的通解的表达式的求法；7．知道向量空间、子空间、向量空间的基及维数的概念，会判断向两空间的子集是否构成子空间，会求由一向量组生成的子空间及一齐次线性方程组的解空间的基及它们的维数；8．知道坐标变换公式，会求两组基间的过渡矩阵。
共 5 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）一. 填空题1.设一平面过原点及点()6,3,2-,且与平面428x y z -+=垂直,则此平面的方程是 .2. 幂级数()()1112ln 1nn nn x n ∞=-+∑的收敛域为 . 3. 交换积分次序:()()122001d ,d d ,d y yy f x y x y f x y x -+=⎰⎰⎰⎰.4. 设曲线C 为圆周221x y +=,则曲线积分()223d Cxy x s +-=⎰ .二. 单项选择题1.曲面24e 3zxy z +-=在点()1,2,0处的法线与直线12112x y z --==-的夹角为 [ ] (A) 4π (B) 3π (C) 2π(D) 0 2．设区域D 由直线,y x y x ==-和1x =围成，1D 是D 位于第一象限的部分，则[ ] （A ）()()1sin d d 2d d DD xy y xy x y xy x y +=⎰⎰⎰⎰（B ）()()()1sin d d 2sin d d DD xy y xy x y y xy x y +=⎰⎰⎰⎰（C ）()()()()1sin d d 2sin d d DD xy y xy x y xy y xy x y +=+⎰⎰⎰⎰（D ）()()sin d d 0Dxy y xy x y +=⎰⎰3．设∑为上半球面z =，则曲面积分∑的值为 [ ]（A ）4π （B ）165π （C ）163π （D ）83π共 5 页 第 2 页4．二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ ] （A ） 充分而非必要条件 （B ）必要而非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 三. (本题共5小题，每小题7分，满分3 5分)1．设(),z z x y =是由方程()2223x z f y z -=-所确定的隐函数，其中f 可微，求23z zyx x y∂∂+∂∂ .2．将函数()()2ln 2f x x x =+-展成2x -的幂级数。
考试类别[学生填写]（□正考 □补考 □重修 □补修 □缓考 □其它）适用专业：全院理、工科各专业本试卷共九大题，100分一、单项选择题 (每小题3分, 共18分)1.设A ，B均是n 阶可逆矩阵，且1=A ，2=B ，则1-AB 等于（ ）．)(A21)(B 2 )(C 1 )(D 42.设A 、B 是n 阶方阵，下列式子中正确的是( ) ．)(A T A A = )(B A k kA = )(C TT T B A AB =)( )(D kk k B A AB =)(3.设非齐次线性方程组b x A n m =⨯的系数矩阵的秩m A R =)(，则（ ）．)(A b x A n m =⨯一定有解 )(B b x A n m =⨯可能无解)(C 0=⨯x A n m 只有零解 )(D 0=⨯x A n m 有非零解4.已知11Tk α=（，，）是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=211121112A 的特征向量，则 k = ( )．)(A 1或2 )(B -1或-2 )(C 1或-2 )(D -1或25.设A 是n 阶实对称矩阵，则下列哪个选项不是A 为正定矩阵的充要条件（ ）.)(A A 的特征值全大于0 )(B A 的二次型是正定二次型)(C ()n A r = )(D A 的顺序主子式全大于06.对二次曲面，下列说法不正确的是（ ）.)(A 方程2232y x z +=表示椭圆抛物面 )(B 方程132222=++z y x 表示椭球面 )(C 方程x y =2表示抛物柱面)(D 方程19141222=-+z y x 表示双叶双曲面二 、填空题(每小题3分, 共18分)1.若矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111111A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=421321B ,则=+B A 2 ．3.设向量组321,,ααα线性相关，而向量组432,,ααα线性无关，则向量组321,,ααα的 一个极大线性无关组是_____．4.设s ηηη,,,21 是非齐次线性方程组b Ax =的解，若s s k k k ηηη+++ 2211也是b Ax = 的解，则=+++s k k k 21_____．5.设二次型322123222144465x x x x x x x f --++=，则其矩阵A 为 ． 6.直线⎩⎨⎧=---=+++08330432z y x z y x 在xoy 面上的投影直线的方程为： ．线订装郑州轻工业学院2014—2015 学年 第 1学期 线性代数与空间解析几何 试卷A 卷专业年级及班级 姓名 学号三、（10分）计算行列式2111121*********=D ．四、(10分) 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=120021111A 的逆矩阵．五、(10分)问四个点)10,8,0(),7,5,1(),8,0,4(),6,1,3(D C B A 是否共面？ 若共面，求出该平面方程．六、(10分) 求向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=02112α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34123α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20114α的秩及其一个极大线性无关组．七、(10分) 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300021012A ，求正交矩阵P ，使1P AP -=Λ为对角矩阵．八、（10分）求下列非齐次线性方程组的通解：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+.32235,122,54321432121x x x x x x x x x x九、（4分）若1ξ,2ξ是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，211ξξη+=,212ξξη-=，试证明1η,2η也是0=Ax 的基础解系．线订 装郑州轻工业学院2014—2015 学年 第 1学期 线性代数与空间解析几何 试卷专业年级及班级 姓名 学号。
线性代数a期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 对角矩阵D. 奇异矩阵答案：B2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行的最大数目D. 矩阵中非零列的最大数目答案：C3. 如果一个矩阵A的行列式为0，则：A. A是可逆的B. A是不可逆的C. A是正定的D. A是负定的答案：B4. 以下哪个选项不是线性方程组解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 零解D. 非零解答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 矩阵的________是矩阵中所有元素的和。
答案：迹2. 如果一个向量组线性无关，则该向量组的________等于向量的个数。
答案：秩3. 对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=0，则称x为矩阵A的________。
答案：零空间4. 一个矩阵的________是指矩阵中所有行向量或列向量的最大线性无关组的个数。
答案：秩三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，求A的行列式。
答案：\[ \text{det}(A) = 1*4 - 2*3 = 4 - 6 = -2 \]2. 设A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，B=\[\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\]，求AB。
答案：\[ AB = \begin{pmatrix} 1*2 + 2*1 & 1*0 + 2*3 \\ 3*2 +4*1 & 3*0 + 4*3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} \]3. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\]，求A的特征值。
XXX 学年期末考试试卷《线性代数》期末考试题及详细答案（本科A 、B 试卷）A 卷一、填空题 （将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）。
1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12DD OO=_____________。
2、四阶方阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。
3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。
4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。
5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。
二、单项选择题 （每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，每小题2分，共20分）。
1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立，则x 是：课程代码： 适用班级：命题教师：任课教师：（A ）-2或3； （B ）-3或2； （C ）-2或-3； （D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为： （A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+； B ）()()22A B A+B =A B --； （C ）()()2A E=A E A+E --； （D ）()222AB =A B ； 3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A=？（A ）A E ； （B ）A ； （C ）nA A ； （D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵：（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭； （B ）100010011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭； （C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； （D ）010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是：（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=，则1,α2α，，m α 线性无关； （B ）向量组1,α2α，，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关； （D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。
线性代数期末考试试题及答案第一节：选择题1. 下列哪个向量不是矩阵A的特征向量？A. [2, 1, 0]B. [0, 1, 0]C. [1, 1, 1]D. [0, 0, 0]答案：D2. 线性变换T：R^n -> R^m 可逆的充分必要条件是？A. T是一个单射B. T是一个满射C. T是一个双射D. T是一个线性变换答案：C3. 设线性空间V的维数为n，下列哪个陈述是正确的？A. V中的任意n个线性无关的向量都可以作为V的基B. V中的任意n - 1个非零向量都可以扩充为V的基C. V中的任意n个非零向量都可以扩充为V的基D. V中的任意n - 1个非零向量都可以作为V的基答案：A4. 设A和B是n阶方阵，并且AB = 0，则下列哪个陈述是正确的？A. A = 0 或 B = 0B. A = 0 且 B = 0C. A ≠ 0 且 B = 0D. A = 0 且B ≠ 0答案：C第二节：计算题1. 计算矩阵乘法A = [1, 2; 3, 4]B = [5, 6; 7, 8]答案：AB = [19, 22; 43, 50]2. 计算矩阵的逆A = [1, 2; 3, 4]答案：A^(-1) = [-2, 1/2; 3/2, -1/2]3. 计算向量的内积u = [1, 2, 3]v = [4, 5, 6]答案：u ∙ v = 32第三节：证明题证明：对于任意向量x和y，成立下列关系式：(x + y) ∙ (x - y) = x ∙ x - y ∙ y证明：设x = [x1, x2, ..., xn]，y = [y1, y2, ..., yn]。
左边：(x + y) ∙ (x - y) = [x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn] ∙ [x1 - y1, x2 - y2, ..., xn - yn]= (x1 + y1)(x1 - y1) + (x2 + y2)(x2 - y2) + ... + (xn + yn)(xn - yn)= x1^2 - y1^2 + x2^2 - y2^2 + ... + xn^2 - yn^2= (x1^2 + x2^2 + ... + xn^2) - (y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)= x ∙ x - y ∙ y右边，由向量的内积定义可得：x ∙ x - y ∙ y = x1^2 + x2^2 + ... + xn^2 - (y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)综上，左边等于右边，证毕。
东南大学04-05学年第三学期线性代数期终考试试卷一． （27%）填空题1． 若矩阵45a A b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,2003B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且AB BA =，则,a b 的值分别为 ； 2． 设对任意列向量a X b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，23456a b c AX a b c ++⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则矩阵A = ； 3． 设３阶方阵()123A ααα=， ()2313123B αααααα=---若A 的行列式 3A =，则矩阵B 的行列式B = ；4． 设A 为n 阶可逆方阵，2n 阶矩阵E A B O A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的逆矩阵为 ； 5． 齐次线性方程组1233230x x x ++=的一个基础解系为 ；6． 若二次型2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的，则参数t 的取值范围是 ；7． 若矩阵2a b A c a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭是正交矩阵, 则参数,,a b c 的值分别为 ； 8． 假设３阶矩阵A 的特征值为2,1,1-。
则行列式1A A -+的值为 ；9． 若实二次型,f g 的矩阵分别为1012001012A a B b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、，则,f g 的正惯性指数相同，负惯性指数也相同的充分必要条件是参数,a b 满足 。
二（14%）假设n 阶矩阵A 满足223A A E O +-=。
1． 证明矩阵A 及A E +均可逆，并分别求1A -及1()A E -+；2． 证明：若A E ≠，矩阵3A E +肯定不可逆。
三（14%）假设矩阵111111A λλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，112b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭。
已知线性方程组Ax b =有无穷多组解。
试求参数λ的值，并求方程组的通解（要求用Ax b =的一特解及相应的齐次线性方程组的基础解系表示）。
四（15%）已知矩阵03401013A a ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似于对角阵。
001⎝⎭⎝⎭010(A ) 12PP (B ) 112P P - (C ) 21PP (D ) 121P P - 2．设A 是3阶矩阵，秩()2r A =，且21,αα是齐次线性方程组0AX =的两个不同的解向量，则0AX =的一个基础解系是 （ D ）(A ) 1α (B ) 2α (C ) 12αα+ (D ) 12αα-3．直线1:121x y z L ==-和⎩⎨⎧=+=-326:2z y y x L 的夹角为 （ B ） (A )2π (B )3π (C )4π (D )6π4．若向量组,,αβγ线性无关，,,αβδ线性相关，则 （ C ）(A )α必可由,,βγδ线性表示 (B ) α必不可由,,βγδ线性表示(C ) δ必可由,,αβγ线性表示 (D ) δ必不可由,,αβγ线性表示 5．n 阶实对称矩阵A 和B 相似的充分必要条件是 （ D ） （A ）A 与B 都有n 个线性无关的特征向量 （B ）A 与B 的秩相等（C ）A 与B 的主对角线上的元素的和相等 （D ）A 与B 的n 个特征值均相等三、(本题10分) 设n 阶矩阵A 和B 满足2A B AB +=，(1)证明：2A I -可逆，其中I 为单位阵；(2)已知110110002B ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵A .(1)证2A B AB +=,222AB B A I I ∴--+=, (2)()2A I B I I --=(2)2B IA I I -∴-⋅=，所以2A I -可逆. ……..4分 (2)2A B AB +=，()2A B I B ∴-=，01010110001B I -=-=≠，B I ∴-可逆，且12()A B B I -=-……3分()B I I -=010100100010001001⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭→100010010100001001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，11100102202()2110100220002001004A B B I ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪∴=-=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……3分四、(本题10分) 设向量组12(1,3,1,1),(1,1,1,3)T T αα=-=---，3(5,8,2,9)T α=-，4(1,1,3,1)T α=-, (1) 求向量组的秩；(2) 求它的一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示其余向量.解12343115111511002318102740170(,,,2112300040010139100000000αααα⎛⎫----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪→→⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭初等行变换初等行变换)=1234(,,,R αααα∴)=3，向量组124,,ααα是一个极大线性无关组，3123722ααα=-五、(本题10分) 求过点(1,1,2)M -与平面:32210x y z π+--=平行, 且与直线11:123x y zL +-==相交的直线方程. 解 设所求直线(,)l M s ， {,,}s a b c =已知平面π的法向量{3,2,2}n =-，由题意3220a b c +-= ………(1) ……3分 已知直线1(,)L P s ，(1,1,0)P -，1{1,2,3}s =，由题意1[,,]0PM s s =，得 5230a b c --+= ………(2) ……3分由(1),(2)得 ,22ab c a ==，……2分 取{2,1,4}s =，所求直线为112214x y z -+-== ……2分 另解 先求出过M 点平行于已知平面的平面与已知直线的交点(3,3,6)N ---六、(本题12分) 设1101011A λλλ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，11a b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，已知方程组AX b =有无穷多解，(1)求,a λ的值；(2)求方程组AX b =的通解. 解 (1)因为AX b =有无穷多解，所以(,)()3r A b r A =< ……2分由0A =得 2(1)(1)0λλ--=，所以1λ=± ……3分当1λ=时，111(,)00011111a A b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭→11100010001a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭，(,)()r A b r A ≠，故1λ≠……2分 当1λ=-时，111(,)02011111a A b -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭→11102010002a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪+⎝⎭，(,)()r A b r A =，2a ∴=- ……2分(2) 1λ=-，2a =-时，(,)A b →31012111210201010200000000⎛⎫----⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， A X b =的通解为31(1,0,1)(,,0)22TTx k -=+ ……3分七、(本题12分) 设二次型22212312313(,,)224f x x x x x x x x =+--，求一个正交变换112233x y x Q y x y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将二次型123(,,)f x x x 化成标准形，并指出123(,,)1f x x x =代表的二次曲面的名称.解 二次型的矩阵102020202A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭, 令0A I λ-=，即102020022λλλ---=---，得 1232,3λλλ===- ……4分 对122λλ==，解方程(2)0A I x -=，其中1021022000000204000A I --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，得()12,0,1Tξ=-， ()20,1,0Tξ=，两者正交.对33λ=-，解方程(3)0A I x +=，其中402100.53050010201000A I --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，得()31,0,2Tξ=， ……4分由于123,,ξξξ两两正交，取0001230(,,)0100Q ξξξ== ⎪， ……2分 则正交变换112233x y x Q y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将123(,,)f x x x 化成标准形222123223y y y +-……1分123(,,)1f x x x =代表单叶双曲面. ……1分八、（本题6分）设12,λλ为矩阵A 的不同特征值，对应12,λλ的特征向量分别为12,αα，试证明：112,()A ααα+线性无关的充分必要条件是20λ≠. 证 由题意12121122()A A A ααααλαλα+=+=+12λλ≠， 12,αα∴线性无关 ……2分112,()A ααα+线性无关⇔11212()0k k A ααα++=当且仅当120k k == 成立⇔1211222()0k k k λαλα++=当且仅当120k k == 成立⇔121220k k k λλ+=⎧⎨=⎩仅有零解⇔12100λλ≠⇔20λ≠ ……4分。
线性代数期末考试试题及答案线性代数期末考试试题及答案线性代数是一门重要的数学课程，广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学等。
期末考试是对学生对于线性代数知识的综合考察，下面将给出一些线性代数期末考试试题及答案，供大家参考。
一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A是一个3×3矩阵，若A的行列式值为0，则A的秩为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C2. 设A是一个3×3矩阵，若A的特征值为1，2，3，则A的特征向量个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D3. 设A是一个3×3矩阵，若A的秩为2，则A的零空间的维数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 设A是一个3×3矩阵，若A的行向量组线性无关，则A的列向量组是否线性无关？A. 是B. 否答案：A5. 设A是一个3×3矩阵，若A的行向量组线性相关，则A的列向量组是否线性相关？A. 是B. 否答案：A6. 设A是一个3×3矩阵，若A的秩为2，则A的行空间的维数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C7. 设A是一个2×2矩阵，若A的特征值为1，2，则A的特征向量个数为：A. 0B. 1C. 2答案：C8. 设A是一个2×2矩阵，若A的特征值为1，1，则A的特征向量个数为：A. 0B. 1C. 2答案：B9. 设A是一个2×2矩阵，若A的秩为1，则A的零空间的维数为：A. 0B. 1C. 2答案：B10. 设A是一个2×2矩阵，若A的秩为2，则A的行空间的维数为：A. 0B. 1C. 2答案：C二、填空题（每题3分，共30分）1. 设A是一个3×3矩阵，若A的行向量组线性无关，则A的秩为____。
答案：32. 设A是一个3×3矩阵，若A的列向量组线性无关，则A的秩为____。
答案：33. 设A是一个3×3矩阵，若A的行向量组线性相关，则A的秩为____。
东 南 大 学 考 试 卷 （ A 卷 ） 课程名称 线性代数 考试学期 得分 使用专业 考试形式 闭 卷 考试时间长度 120分钟 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 得分 一、（10%）选择题 1. 设3×2矩阵A =(A 1,A 2),B =(B 1,B 2)其中A 1,A 2,B 1,B 2是3维列向量. 若A 1,A 2线性无关, 则B 1,B 2线性无关的充要条件是( ). A.矩阵A 与B 等价 B. A 1,A 2能由B 1,B 2线性表示 C.向量组A 1,A 2与B 1,B 2等价 D. B 1,B 2能由A 1,A 2线性表示 2. 设A 为n 阶矩阵, E 为n 阶单位矩阵, 则下列叙述中, ( )是错误的. A. A 与E 合同的充分必要条件是A 正定 B. A 与E 相似的充分必要条件是A =E C. A 与E 相似的充分必要条件是行列式|A |=1 D. A 与E 等价的充分必要条件是行列式|A |≠0 3. 设A 为2×3矩阵, 交换A 的第一行和第二行得到矩阵B ,则( ). A. A (010100001)=B B. (010100001)A =B C. (0110)A =B D. A (0110)=B 4. 下列关于n 阶方阵A 的叙述中, 除了( )之外, 其余三个是相互等价的. A.齐次线性方程组Ax =0有非零解 B. A 的秩小于n C. A 是可逆矩阵 D.行列式|A |=0 5. 设A,B 都是m ×n 矩阵, 则下列矩阵中, ( )一定是对称矩阵.A. AB T +BA TB. A +BC. AB TD. AB T A二、（30%）判断题[ ] 6. (1234)的伴随矩阵为(4−3−21).[ ] 7. 设A,B 都是m ×n 矩阵, 则A 与B 等价的充分必要条件是它们的秩相等.[ ] 8. 设α1,α2,…,αs 为n 维列向量组, 若其中有一个向量αi 为零向量, 则α1,α2,…,αs 一定线性相关.[ ] 9. 若α,β为向量组α,β,γ的一个极大线性无关组, 而且β,γ也线性无关, 则β,γ也是学号姓名密封线α,β,γ的一个极大线性无关组.[ ] 10. 设A 为n 阶矩阵, 若对于任意的n 维列向量x , 有‖Ax ‖=‖x ‖则A 必为正交矩阵.[ ] 11. 设A 与B 都是n 阶正交矩阵, 则A +B 也是正交矩阵.[ ] 12. 设α与β都是非齐次线性方程组Ax =b 的解, 则α+β也是非齐次线性方程组Ax =b 的解.[ ] 13. 设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解, β是齐次线性方程组Ax =0的解, 则α,β线性无关.[ ] 14. 若矩阵A 与B 相似, 则A 2与B 2相似.[ ] 15．矩阵A 与B 相似的充分必要条件是A 2与B 2相似.[ ] 16. 若矩阵A 与B 具有相同的特征多项式, 则A 与B 相似.[ ] 17. 设A 与B 都是n 阶实对称矩阵, 若A 与B 具有相同的特征多项式, 则A 与B 相似.[ ] 18. 二次型f (x 1,x 2)=(x 1,x 2)(1203)(x 1x 2)的矩阵为(1203). [ ] 19. 二次型f (x 1,x 2)=(x 1,x 2)(1203)(x 1x 2)是正定的. [ ] 20. 设多项式f (x )=2x 3−5x +7, A 为三阶方阵, 则f (A )=2A 3−5A +7.三、填空题（10%）21. 设A 为3×2矩阵, B =AA T 则B 的行列式|B |= _______.22. 设向量α=(123)与β=(1−2a)正交, 则 a = _______.23. 设α为非零的3维列向量, A =ααT , 则A 的正惯性指数= ________.24. 设A 为3阶矩阵,E 为3阶单位矩阵. 若A 2=E ,则r (A −E )+r (A +E )= ________.(注: 这里r (A −E )表示A −E 的秩,r (A +E )表示A +E 的秩.)25. 若向量组α,β,γ线性无关, α+β,β−γ,α+kγ线性相关, 则k = ________.四、（10%）设A =(a 11a 11111111a 11a ). 计算行列式|A |, 并针对a 的不同取值, 求A 的秩.五、（10%）设A =(0210),B =(12103410). 求矩阵X , 使得AX =B +X.六、（10%）设A =(20011000a )与B =(100010002) 相似. 求a 以及可逆矩阵P 使得 P −1AP =B .七、（10%）已知4阶方阵A=(α1,α2,α3,α4),其中α1,α2,α3,α4均为 4 维列向量, α2,α3,α4线性无关, 且α1=α2+α3−2α4.如果b=α1−α2+α3−α4, 求线性方程组Ax=b的通解.八、（10%）设二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2+x3)2.请写出该二次形的矩阵A,并写出该二次型在正交变换下的标准形.(不必写出所用的正交变换)。
线性代数期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为：A. 1/2B. 1/4C. 2D. 4答案：B2. 向量α=(1,2,3)和向量β=(4,5,6)，则向量α和向量β的点积为：A. 32B. 22C. 14D. 0答案：A3. 设A为3×3矩阵，且A的秩为2，则A的行向量线性相关，下列说法正确的是：A. 正确B. 错误答案：A4. 若A为n阶方阵，且A^2=0，则A的秩为：A. nB. n-1C. 0D. 不确定答案：C5. 设A为3阶方阵，且A的特征值为1，2，3，则矩阵A的迹为：A. 6B. 1C. 2D. 3答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，则矩阵A的转置为\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}\]。
答案：\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}\]2. 设向量α=(2,3)，向量β=(4,6)，则向量α和向量β共线，其比例系数为2。
答案：23. 若矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 2 & 2\end{bmatrix}\]，则矩阵A的行列式为2。
答案：24. 设矩阵B=\[\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}\]，则矩阵B的逆矩阵为\[\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 &0\end{bmatrix}\]。
答案：\[\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\]5. 设矩阵C=\[\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}\]，则矩阵C的特征值为1和2。
01-02学年第二学期一（30%）填空题：1． 设(1,2)α=，(1,1)β=-，则T αβ= ；T αβ== ；100()Tαβ= ；2． 设矩阵120031130A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，234056007B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则行列式1AB -= ； 3． 若向量组123,,ααα线性无关，则当参数k 时，122331,,k αααααα---也线性无关； 4． 矩阵11110111001101A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭的伴随矩阵*A =⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 5． 设矩阵A 及A E +均可逆，则1()G E A E -=-+，且1G -= ； 6． 与向量(1,0,1)α=，(1,1,1)β=均正交的单位向量为 ；7． 四点(1,1,1),(1,1,),(2,1,1),(2,,3)A B x C D y 共面的充要条件为 ；8． 设实二次型22212312323(,,)2f x x x x kx x x x =+++，则当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是椭球面；当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是柱面。
二（8%）记1π为由曲线23z y x ⎧=-⎨=⎩绕z -轴旋转所产生的旋转曲面,2π为以1π与平面3:1x y z π++=的交线为准线，母线平行于z -轴的柱面。
试给出曲面12ππ及的方程，并画出13ππ被所截有界部分在x y -平面上的投影区域的草图（应标明区域边界与坐标轴的交点）。
三（8%）求经过直线2221x y z x y z+-=⎧⎨-+-=⎩且与x y -平面垂直的平面方程.四（12%）求矩阵方程2XA X B =+的解，其中，311101010,321003A B ⎛⎫-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎝⎭.五（12%）设线性方程组12341234234123403552232(3)1x x x x x x x x x px x q x x x p x +++=⎧⎪+++=⎪⎨-+-=⎪⎪++++=-⎩1． 问：当参数,p q 满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？ 2． 当方程组有无穷多解时，求出其通解。
