233平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示考点一：平面向量的坐标表示1.平面向量的正交分解：在不共线的两个向量中，垂直是一种特殊的形式，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。

2.已知起点和终点求向量的坐标在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a＝x i＋y j.我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示.显然：i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).例1：如图，分别用基底i,j(i,j分别为x轴，y轴正方向的单位向量)表示a,b,并求它们的坐标。

变式1：⑴如图，已知A(4,2),B(1,4),试求→AB的坐标。

⑵已知直角坐标系x0y中，向量a,b,c的模分别为2，3，4，方向如图所示，分别求它们的坐标。

⑶已知O是坐标原点，点A在第一象限，∣OA∣=43，∠x0A=60°,求向量→OA的坐标。

⑷在平面直角坐标系x0y中，向量a的模为3，方向如图所示，求a的坐标。

考点二：相等向量的坐标表示例2：向量a=(x+3,x2－3x－4)与→AB相等，其中A(1,2),B(3,2),则x=______.变式2：⑴已知向量a=(x2+3x，2)，b(2x,y-4),且a=b,则x=_______,y=_______.⑵已知向量a=(5,2),b=(x2+y2，xy)，且a=b,则x=_______,y=_______.⑶已知向量i =(1,0),j =(0,1)，a =(3i+3j),则a 的坐标是______.⑷在平面直角坐标系中，已知O(0,0),A(1,2),B(-3,4),则向量→OA 的坐标是______,向量→OB 的坐标是______,向量→AB 的坐标是______.⑸已知O 是坐标原点，点M 在第二象限，∣OM ∣=4，∠M0y=30°,则向量→OM 的坐标是_______.⑹已知向量→AB =(22246,3m m n -+-),向量→CD=(22,3n+7),向量→EF=(m,n),且→AB=→CD ，求向量→EF 的坐标。

2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算．3.2&2.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算预习课本P94～98，思考并完成以下问题怎样分解一个向量才为正交分解？如何由a，b的坐标求a＋b，a－b，λa的坐标？[新知初探]．平面向量正交分解的定义把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量．．平面向量的坐标表示基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序实数对叫做向量a的坐标．坐标表示：a＝．特殊向量的坐标：i＝，j＝，0＝．[点睛] 平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2，其中a＝，b＝．．平面向量的坐标运算设向量a＝，b＝，λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a－b＝数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标λa＝重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A，B，则＝[点睛] 向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．[小试身手]．判断下列命题是否正确．相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．两向量差的坐标与两向量的顺序无关．点的坐标与向量的坐标相同．答案：√√××．若a＝，b＝，则3a＋2b的坐标是A．B．c．D．答案：c．若向量＝，＝，则＝A．B．c．D．答案：A．若点，点N，用坐标表示向量＝______.答案：平面向量的坐标表示[典例]如图，在边长为1的正方形ABcD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标．[解] 由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B，D．由三角函数的定义，得x1＝cos30°＝32，y1＝sin30°＝12，∴B32，12.x2＝cos120°＝－12，y2＝sin120°＝32，∴D－12，32.∴＝32，12，＝－12，32.求点和向量坐标的常用方法求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．[活学活用]已知o是坐标原点，点A在象限，||＝43，∠xoA＝60°，求向量的坐标；若B，求的坐标．解：设点A，则x＝43cos60°＝23，y＝43sin60°＝6，即A，＝．＝－＝.平面向量的坐标运算[典例] 已知三点A，B，c，则向量3＋2＝________，－2＝________.已知向量a，b的坐标分别是，，求a＋b，a－b,3a,2a ＋3b的坐标．[解析] ∵A，B，c，∴＝，＝，＝．∴3＋2＝3＋2＝＝．－2＝－2＝＝．[答案]解：a＋b＝＋＝，a－b＝－＝，a＝3＝，a＋3b＝2＋3＝＋＝．平面向量坐标运算的技巧若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．[活学活用]．设平面向量a＝，b＝，则a－2b＝A．B．c．D．解析：选A ∵2b＝2＝，∴a－2b＝－＝．．已知，N，＝12，则P点坐标为______．解析：设P，＝，＝，∴＝12＝12＝－4，12，∴x－3＝－4，y＋2＝12.∴x＝－1，y＝－32.答案：－1，－32向量坐标运算的综合应用[典例] 已知点o，A，B及＝＋t，t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？[解] 因为＝＋t＝＋t＝，若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－23.若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－13.若点P在第二象限，则1＋3t＜0，2＋3t＞0，所以－23＜t＜－13.[一题多变]．[变条件]本例中条件“点P在x轴上，点P在y轴上，点P在第二象限”若换为“B为线段AP的中点”试求t的值．解：由典例知P，则1＋1＋3t2＝4，2＋2＋3t2＝5，解得t＝2.．[变设问]本例条件不变，试问四边形oABP能为平行四边形吗？若能，求出t值；若不能，说明理由．解：＝，＝．若四边形oABP为平行四边形，则＝，所以3－3t＝1，3－3t＝2，该方程组无解．故四边形oABP不能成为平行四边形．向量中含参数问题的求解向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程，解这个方程，就能达到解题的目的．层级一学业水平达标．如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A，B，则可以表示为A．2i＋3jB．4i＋2jc．2i－jD．－2i＋j解析：选c 记o为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－．已知＝a，且A12，4，B14，2，又λ＝12，则λa等于A．－18，－1B．14，3c．18，1D．－14，－3解析：选A ∵a＝＝14，2－12，4＝－14，－2，∴λa＝12a＝－18，－1.．已知向量a＝，2a＋b＝，则b＝A．B．c．D．解析：选A b＝－2a＝－＝．．在平行四边形ABcD中，Ac为一条对角线，＝，＝，则＝A．B．c．D．解析：选c ＝－＝－＝－＝．．已知，N，点P是线段N上的点，且＝－2，则P点的坐标为A．B．c．D．解析：选D 设P，则＝，＝，由＝－2得10－x＝4＋2x，－2－y＝－14＋2y，所以x ＝2，y＝4.．已知向量a＝，b＝，若a＋nb＝，则－n的值为________．解析：∵a＋nb＝＝，∴2＋n＝9，－2n＝－8，∴＝2，n＝5，∴－n＝2－5＝－3.答案：－3．若A，B，c，则＋2＝________.解析：∵A，B，c，∴＝，＝．∴＋2＝＋2＝＋＝．答案：．已知o是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xoA ＝150°，向量的坐标为________．解析：设点A，则x＝||cos150°＝6cos150°＝－33，y＝||sin150°＝6sin150°＝3，即A，所以＝．答案：．已知a＝，B点坐标为，b＝，c＝，且a＝3b－2c，求点A的坐标．解：∵b＝，c＝，∴3b－2c＝3－2＝－＝，即a＝＝.又B，设A点坐标为，则＝＝，∴1－x＝－7，0－y＝10⇒x＝8，y＝－10，即A点坐标为．0．已知向量＝，＝，点A．求线段BD的中点的坐标．若点P满足＝λ，求λ与y的值．解：设B，因为＝，A，所以＝，所以x1＋1＝4，y1＋2＝3，所以x1＝3，y1＝1，所以B．同理可得D，设BD的中点，则x2＝3－42＝－12，y2＝1－32＝－1，所以－12，－1.由＝－＝，＝－＝，又＝λ，所以＝λ＝，所以1＝－7λ，1－y＝－4λ，所以λ＝－17，y＝37. 层级二应试能力达标．已知向量＝，＝，则12＝A．B．c．D．解析：选D 12＝12＝12＝，故选D.．已知向量a＝，b＝，c＝，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为A．－2,1B．1，－2c．2，－1D．－1,2解析：选D ∵c＝λ1a＋λ2b，∴＝λ1＋λ2＝，∴λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.．已知四边形ABcD的三个顶点A，B，c，且＝2，则顶点D的坐标为A．2，72B．2，－12c．D．解析：选A 设点D，则由题意得＝2＝，故2＝4，2n －4＝3，解得＝2，n＝72，即点D2，72，故选A.．对于任意的两个向量＝，n nn＝．设f f f等于A．B．c．D．解析：选B 由⊗f＝，得p－2q＝5，2p＋q＝0，解得p＝1，q＝－2，所以f f．已知向量i＝，j＝，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝；②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝≠，则x1≠x2，且y1≠y2；③若x，y∈R，a＝，且a≠0，则a的起点是原点o；④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是，则a＝．其中，正确结论有________个．解析：由平面向量基本定理，可知①正确；例如，a＝≠，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝与a 的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是时，a＝是以a的起点是原点为前提的，故④错误．答案：1．已知A，B，o为坐标原点，点c在∠AoB内，|oc|＝22，且∠Aoc＝π4.设＝λ＋，则λ＝________.解析：过c作cE⊥x轴于点E，由∠Aoc＝π4知，|oE|＝|cE|＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以＝λ，故λ＝23.答案：23．在△ABc中，已知A，B，c，，N，D分别是AB，Ac，Bc的中点，且N与AD交于点F，求的坐标．解：∵A，B，c，∴＝＝，＝＝．∵D是Bc的中点，∴＝12＝12＝12＝－72，－4.∵，N分别为AB，Ac的中点，∴F为AD的中点．∴＝－＝－12＝－12－72，－4＝74，2.．在直角坐标系xoy中，已知点A，B，c，若＋＋＝0，求的坐标．若＝＋n，且点P在函数y＝x＋1的图象上，求－n. 解：设点P的坐标为，因为＋＋＝0，又＋＋＝＋＋＝．所以6－3x＝0，6－3y＝0，解得x＝2，y＝2.所以点P的坐标为，故＝．设点P的坐标为，因为A，B，c，所以＝－＝，＝－＝，因为＝＋n，所以＝＋n＝，所以x0＝＋2n，y0＝2＋n，两式相减得－n＝y0－x0，又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，所以y0－x0＝1，所以－n＝1.。

2.3.2平⾯向量的正交分解及坐标表⽰2.3.2 平⾯向量的正交分解及坐标表⽰2.3.3 平⾯向量的坐标运算课标要求1.理解平⾯向量的坐标的概念,会写出给定向量的坐标.2.掌握平⾯向量的坐标运算,能准确运⽤向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进⾏有关的运算. 重点:(1)平⾯向量的坐标表⽰;(2)平⾯向量的坐标运算.难点:对平⾯向量的坐标表⽰的理解.想⼀想(1)实例中的⼒和速度都是既有⼤⼩,⼜有⽅向的量,类⽐⼒和速度的分解,⼀向量能否⽤两个不共线的向量表⽰?(能,依据是平⾯向量基本定理)(2)平⾯内任⼀向量能否⽤互相垂直的两向量表⽰?(能,互相垂直的两向量可以作为⼀组基底)知识探究——⾃主梳理思考辨析1.平⾯向量的正交分解把⼀个向量分解为两个的向量,叫做把向量正交分解.2.平⾯向量的坐标表⽰在平⾯直⾓坐标系中,分别取与x轴、y轴⽅向相同的两个单位向量i、j作为基底,对于平⾯内的⼀个向量a,由平⾯向量基本定理可知,有且只有⼀对实数x、y,使得a=x i+yj,我们把有序数对叫做向量a 的坐标,记作a= ,其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.显然,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).思考1:在平⾯直⾓坐标系中,以原点为起点的向量OA的坐标与终点A的坐标⼀致吗?(⼀致,都是(x,y))3.平⾯向量的坐标运算已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则(1)a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).(2)λa=(λx1,λy1)(λ∈R),即实数与向量的积的坐标等于⽤这个实数乘原来向量的相应坐标.(3)若A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2),O为坐标原点,则OA=(x1,y1),OB=(x2,y2),AB=OB-OA =(x 2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).即⼀个向量的坐标等于表⽰此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.思考2:若AB=CD,则这两向量的坐标相等吗?两向量的具体位置相同吗?(若AB=CD,则这两向量的坐标必相等,但它们的具体位置,即起点、终点不⼀定相同,因为向量可以平⾏移动)题型探究——典例剖析举⼀反三题型⼀向量的坐标表⽰【例1】已知O是坐标原点,点A在第⼀象限,|OA,∠xOA=60°,求向量OA的坐标.解:如图所⽰,利⽤三⾓函数的定义,可得sin 60°=yOA,cos 60°=xOA,所以y=|OA|2sin 60°=6,x=|OA |2cos 60°12∴,6),∴OA题后反思始点为坐标原点的向量的坐标由终点的坐标决定.⼀般可以借助三⾓函数的定义来确定点的坐标,此时需明确点所在的象限,点到原点的距离,点与原点的连线与x 轴正⽅向的夹⾓.跟踪训练11:如图所⽰,正⽅形ABCD 的中⼼为坐标原点O,已知A(-1,-1),分别⽤基底i ,j 表⽰OA ,OB ,OC , CD ,BC ,并求出它们的坐标.解:由题意得B(1,-1),C(1,1),D(-1,1),所以OA =-i -j =(-1,-1), OB =i -j =(1,-1), OC =i +j =(1,1),|CD|=|CB|=2且CD 、CB 分别与x 轴、y 轴平⾏, 所以CD =-2i =(-2,0),BC =2j =(0,2).题型⼆平⾯向量的坐标运算【例2】设向量a 、b 的坐标分别是(-1,2)、(3,-5),求a +b ,a -b ,3a ,2a +3b 的坐标. 解:a +b =(-1,2)+(3,-5)=(-1+3,2-5)=(2,-3);a -b =(-1,2)-(3,-5)=(-1-3,2+5)=(-4,7);3a=3(-1,2)=(-3,6);2a +3b =2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-15)=(-2+9,4-15)=(7,-11).题后反思向量的坐标运算的依据是加、减、数乘运算法则.向量的坐标运算可以类⽐实数的运算进⾏,也可以先化简再计算.【例1】已知向量a =(x 2+y 2,xy),b =(5,2),若a =b ,则x+y= .解析:因为a =b ,所以225,2.x y xy ?+=?=?解得1,2,x y =??=?或2,1,x y =??=?或1,2,x y =-??=-?或2,1.x y =-??=-? 所以x+y=3或x+y=-3.答案:±3【例2】如图,已知边长为12的等边△ABC 中,点D 是边AC 上靠近点A 的边AC 的⼀个三等分点,求点D 和BD 的坐标.解:依题意可得),B(-6,0),C(6,0).设点D 的坐标为(x,y),则CD =(x-6,y),CA因为CD =23CA ,所以(x-6,y)=23 所以64,x y -=-=?? 解得2,x y ==??所以,点D 的坐标为),所以BD达标检测——反馈矫正及时总结1.若向量AB =(1,2),BC =(3,4),则AC 等于( A )(A)(4,6) (B)(-4,-6)(C)(-2,-2) (D)(2,2)解析:本⼩题主要考查向量加法的坐标运算,由AC =AB +BC =(1,2)+(3,4)=(4,6).故选A.2.(2013年⾼考辽宁卷)已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量AB 同⽅向的单位向量为( A )(A)（35,-45） (B)（45,-35） (C)（-35,45） (D)（-45,35）解析:AB =(3,-4),则与AB 同⽅向的单位向量为AB AB =15(3,-4)=（ 35,- 45）.故选A. 3.在平⾯直⾓坐标系中,|a |=2014,a 与x 轴⾮负半轴的夹⾓为π3,a 始点与原点重合,终点在第⼀象限.则向量a 的坐标是( C )) ,1007)解析:设a =(x,y),则x=2014cosπ3=1007,y=2014sin π3故a 故选C. 4.已知向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等,其中A(1,2),B(3,2),则x= . 解析:易得AB =(2,0),由a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等得 232,340,x x x +=??--=?∴x=-1.答案:-12.3.4 平⾯向量共线的坐标表⽰课标要求1.通过实例了解如何⽤坐标表⽰两个共线向量.2.理解⽤坐标表⽰的平⾯向量共线的条件.3.会根据平⾯向量的坐标判断向量是否共线.重点难点重点:(1)⽤坐标表⽰两向量共线.(2)根据平⾯向量的坐标判断向量共线.难点:根据平⾯向量的坐标判断向量共线.想⼀想 a ∥b 的充要条件是a =λb (b ≠0),该条件能否⽤坐标表⽰?(能)知识探究——⾃主梳理思考辨析平⾯向量共线的坐标表⽰设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠0,当且仅当时,a ∥b .思考:如何记忆平⾯向量共线的坐标表⽰?(坐标交叉相乘,差为零)题型探究——典例剖析举⼀反三题型⼀向量共线的判定【例1】已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判断AB 与CD 是否共线?如果共线,它们的⽅向相同还是相反? 解: AB =(0,4)-(2,1)=(-2,3), CD =(5,-3)-(1,3)=(4,-6),∵(-2)3(-6)-334=0,∴AB ,CD 共线,⼜CD =-2AB ,∴AB ,CD ⽅向相反,综上,AB 与CD 共线且⽅向相反.题后反思判定两向量共线的常⽤⽅法:(1)向量共线定理,由b =λa (a ≠0)得a ∥b .(2)向量共线的坐标表⽰:对a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),由x 1y 2-x 2y 1=0得a ∥b . 跟踪训练11:下列各组向量中平⾏的是 (填序号).①a =(1,2),b =(-2,-4)②c =(1,0),d =(-3,0)③e =(2,3),f =(0,1)④g =(3,5),h =(24,40)解析:①中因为b =-2a ,所以b 与a 共线;②中因为d =-3c ,所以d 与c 共线;③因为e =(2,3),f =(0,1),231-330=2≠0,所以e 与f 不共线;④因为g =(3,5),h =(24,40),所以g =18h ,所以g 与h 共线. 答案:①②④题型⼆由向量共线求参数的值【例2】若向量a =(1,2),b =(x,1), u =a +2b ,v =2a -b ,且u ∥v ,求向量b 的坐标.名师导引:先由向量坐标的线性运算求出向量u ,v 的坐标,再利⽤两向量平⾏的坐标表⽰求出x,从⽽写出向量b 的坐标.解:法⼀ u =(1,2)+2(x,1)=(1,2)+(2x,2)=(2x+1,4),v =2(1,2)-(x,1)=(2,4)-(x,1)=(2-x,3),由u ∥v ,则⼀定存在λ∈R ,使u =λv ,则有(2x+1,4)=((2-x)λ,3λ)()212,43,x x λλ?+=-??=??解得4,31.2x λ?==??所以b =（12,1）. 法⼆ u =(1,2)+2(x,1)=(1,2)+(2x,2)=(2x+1,4),v =2(1,2)-(x,1)=(2,4)-(x,1)=(2-x,3),由向量平⾏的坐标表⽰,得3(2x+1)-4(2-x)=0,解得x=12.所以b =（12,1）. 题后反思解决由向量u ,v 共线求参数问题常有两种思路:(1)表⽰出向量u 、v 的坐标,设u =λv ,由相等向量的坐标表⽰列⽅程组求出参数.(2)表⽰出向量u 、v 的坐标,利⽤向量共线的坐标表⽰求参数值.题型三三点共线问题【例3】设向量OA =(k,12),OB =(4,5),OC =(10,k),求当k 为何值时,A 、B 、C 三点共线.名师导引:由A 、B 、C 三点共线可知AB ∥AC .求出AB 、AC 的坐标.由向量共线的坐标表⽰求k 值. 解:法⼀ A 、B 、C 三点共线,即AB 、AC 共线,则存在实数λ,使得AB =λAC ,∵AB =OB -OA =(4-k,-7),AC =OC -OA =(10-k,k-12).∴(4-k,-7)=λ(10-k,k-12),即,4(10),7(12)k k k λλ-=-??-=-?解得k=-2或k=11. 法⼆由题意知AB 、AC 共线,∵AB =OB -OA =(4-k,-7), AC =OC -OA =(10-k,k-12),∴(4-k)(k-12)+7(10-k)=0,∴k 2-9k-22=0, 解得k=-2或k=11.题后反思 (1)三点共线问题的实质是向量共线,因此解决三点共线问题的关键是将其转化为向量共线问题.(2)证明三点共线的解题思路.先由三点确定两个向量,然后证明这两向量共线,最后说明这两向量有⼀个公共点.跟踪训练31:已知OA =(3,4),OB =(7,12), OC =(9,16),求证:点A 、B 、C 共线.证明:AB =OB - OA =(4,8),AC =OC -OA=(6,12),∵4312-836=0,∴AB与AC共线.⼜∵AB与AC有公共点A,∴点A、B、C共线.备选例题【例1】如图所⽰,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标.解:设P(x,y),则OP=(x,y),OB=(4,4).∵OP,OB共线,∴4x-4y=0, ①⼜CP=(x-2,y-6),CA=(2,-6),且向量CP,CA共线,∴-6(x-2)+2(6-y)=0, ②解①②组成的⽅程组,得x=3,y=3,∴点P的坐标为(3,3).【例2】已知向量a=(1,2),b=(-2,1),x=a+(t2+1)b,y=-1ka+1b,问是否存在正实数k,t,使x∥y,若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.解:因为a=(1,2),b=(-2,1),所以x=a+(t2+1)b=(1,2)+(t2+1)(-2,1)=(-2t2-1,t2+3),y=-1ka+1tb达标检测——反馈矫正及时总结1.下列满⾜平⾏的⼀组向量是( A)(A)a=(1,-4),b=(503,-2012)(B)a=(2,3),b=(4,-6)(C)a=(1,2),b=(-1006,2012)(D)a=(-1,4),b=(3,12)2.若三点P(1,1),A(2,-4),B(x,-9)共线,则( B)(A)x=-1 (B)x=3 (C)x=92(D)x=51解析:PA=(1,-5),PB=(x-1,-10),由三点P、A、B共线知PA∥PB,所以-10+5(x-1)=0,x=3.故选B.3.已知向量a=(4,2),b=(x,3),且a∥b,则2a+3b= .解析:∵a∥b,∴4×3-2x=0,∴x=6.∴b=(6,3).∴2a+3b=(8,4)+(18,9)=(26,13).答案:(26,13)4.如果向量a=(k,1)与b=(6,k+1)共线且⽅向相反,那么k的值为. 解析:由a∥b知k(k+1)-6=0,得k=-3或k=2.当k=-3时a=(-3,1),b=(6,-2)=-2a,a与b共线且⽅向相反.当k=2时,a=(2,1),b=(6,3)=3a,显然a、b共线且⽅向相同,不符合题意舍去.答案:-3课堂⼩结1.已知向量a=(x1),b=(x2,y2).若a∥b,则(1)a=λb(b≠0).(2)x1y2-x2y1=0.2.向量共线的坐标表⽰有两⽅⾯应⽤(1)由两个向量的坐标表⽰判定两向量共线或联系平⾯⼏何知识证明三点共线或直线平⾏等.(2)由两个向量共线,求点或向量的坐标,求参数的值,求轨迹⽅程,要注意⽅程思想的应⽤,向量共线的条件,向量相等的条件等都可作为列⽅程(组)的依据.。

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅……日期：2022年二月八日。

2．3.3 平面向量的坐标运算一、根底过关1． 平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，那么向量12a －32b 等于 ( ) A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)2． a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，那么a 等于 ( ) A ．(－2，－2)B ．(2,2)C ．(－2,2)D ．(2，－2)3． 向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，那么λ1，λ2的值分别为 ( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,24． M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12MN →，那么点P 的坐标为 ( ) A ．(－8,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32 D ．(8，－1)5． 平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，那么12AC →－14BC →的坐标是________． 6． A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，那么x ＋y ＝________.7． 设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．假设表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d .8． a ＝(2,1)，b ＝(－1,3)，c ＝(1,2)，求p ＝2a ＋3b ＋c ，并用基底a 、b 表示p .二、才能提升9． 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．假设AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，那么BD →等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)10．向量AB →＝(7，－5)，将AB →按向量a ＝(3,6)平移后得向量A ′B ′→，那么A ′B ′→的坐标形式为( )A ．(10,1)B ．(4，－11)C ．(7，－5)D ．(3,6) 11．四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1,2)，那么顶点D 的坐标为________．12．点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)．假设AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )．(1)试求λ为何值时，点P 在第一、三象限的角平分线上？(2)试求λ为何值时，点P 在第三象限内？三、探究与拓展13. 在直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向和长度如下图，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别求它们的坐标．答案1．D 2.D 3.D 4.C 5.(－3,6) 6.112 7．d ＝(－2，－6) 8．p ＝(2,13)，p ＝197a ＋247b 9．B 10.C 11.(7，－6)12．解 ∵AP →＝AB →＋λAC →，∴OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋AB →＋λAC →＝OB →＋λAC →＝(5,4)＋λ(5,7)＝(5＋5λ，4＋7λ)．(1)由5＋5λ＝4＋7λ解得λ＝12， 所以当λ＝12时，点P 在第一、三象限的角平分线上． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋5λ<04＋7λ<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ<－1λ<－47，∴λ<－1.所以当λ<－1时，点P 在第三象限内．13．解 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)，那么a 1＝|a |cos 45°＝2×22＝2， a 2＝|a |sin 45°＝2×22＝2； b 1＝|b |cos 120°＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32， b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332； c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23，c 2＝|c |sin(－30°)＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2. 因此a ＝(2，2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332， c ＝(23，－2)．制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

2.3.2~2.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算课后篇巩固探究1.已知MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3),则点N 位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.不确定M 的位置不确定,所以点N 的位置也不确定.2.已知点A (-1,-5),向量a =(-1,0),b =(1,-1),当AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +2b 时,点B 的坐标为() A.(2,7) B.(0,-7)C.(3,-6)D.(-4,5)a =(-1,0),b =(1,-1),∴a +2b =(-1,0)+2(1,-1)=(1,-2).设点B 的坐标为(x ,y ),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+1,y+5),∴由已知得(x+1,y+5)=(1,-2),∴{x +1=1,y +5=-2,解得{x =0,y =-7. ∴点B 的坐标为(0,-7).3.已知a =(-5,6),b =(-3,2),c =(x ,y ),若a -3b +2c =0,则c 等于( )A.(-2,6)B.(-4,0)C.(7,6)D.(-2,0)a -3b +2c =0, ∴(-5,6)-(-9,6)+(2x ,2y )=(0,0),即{2x -5+9=0,2y +6-6=0,∴{x =-2,y =0, 即c =(-2,0).故选D .4.已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2),B (-1,-2),C (3,1),且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则顶点D 的坐标为( )A.(2,72) B.(2,-12) C.(3,2) D.(1,3)D 的坐标为(x ,y ),因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,3),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y-2),且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以{2x =4,2y -4=3,所以{x =2,y =72,所以选A .5.在△ABC 中,点P 在边BC 上,且BP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,Q 是AC 的中点,若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,3),PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,5),则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.(-2,7)B.(-6,21)C.(2,-7)D.(6,-21),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(2PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −PA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=6PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ -3PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,30)-(12,9)=(-6,21).6.设向量a =(1,-3),b =(-2,4),c =(-1,-2),若表示向量4a ,4b-2c ,2(a-c ),d 的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d =( )A.(2,6)B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6)d =(x ,y ),由题意知4a =(4,-12),4b-2c =(-6,20),2(a-c )=(4,-2),易知4a +4b -2c +2(a-c )+d =0,解得x=-2,y=-6,所以d =(-2,-6).7.设向量a =(a 1,b 1),b =(a 2,b 2),定义一种运算“ ”,向量a b =(a 1,b 1) (a 2,b 2)=(a 2b 1,a 1b 2).已知m =(2,12),n =(π3,0),点P (x ,y )在y=sin x 的图象上运动,点Q 在y=f (x )的图象上运动且满足OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +n (其中O 为坐标原点),则y=f (x )的最小值为 ( )A.-1B.-2C.2D.12,点P 的坐标为(x ,sin x ),则OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +n =(12x ,2sinx)+(π3,0)=(12x +π3,2sinx).又因为点Q 在y=f (x )的图象上运动,所以点Q 的坐标满足y=f (x )的解析式,即y=2sin (12x +π3).所以函数y=f (x )的最小值为-2.8.若A (2,-1),B (4,2),C (1,5),则AB⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = .A (2,-1),B (4,2),C (1,5),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,3).∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)+2(-3,3)=(2,3)+(-6,6)=(-4,9).-4,9)9.已知A (3,-5),B (-1,3),点C 在线段AB 上,且AC⃗⃗⃗⃗⃗ =3CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点C 的坐标是 .C (x ,y ),则AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-3,y+5), 3CB⃗⃗⃗⃗⃗ =3(-1-x ,3-y )=(-3-3x ,9-3y ). ∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴{x -3=-3-3x ,y +5=9-3y ,解得x=0,y=1,即点C 的坐标是(0,1).10.已知向量a =(1,2),b =(3,1),c =(11,7),若c =k a +l b ,则k ,l 的值分别为 .a =(1,2),b =(3,1),c =(11,7),∴(11,7)=k (1,2)+l (3,1),即{11=k +3l ,7=2k +l ,解得k=2,l=3.11.设向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 逆时针旋转π2得向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,9),且向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ = .OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m ,n ),则OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-n ,m ),所以2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2m-n ,2n+m )=(7,9),即{2m -n =7,m +2n =9,解得{m =235,n =115.因此OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-115,235).-115,235)12.平面上有A (2,-1),B (1,4),D (4,-3)三点,点C 在直线AB 上,且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,连接DC 延长至E ,使|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=14|ED ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则点E 的坐标为 .C (x 1,y 1),依题意有(x 1-2,y 1+1)=12(x 1-1,y 1-4),解得{x 1=3,y 1=-6,即C (3,-6). 又依题意可得CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =14DE ⃗⃗⃗⃗⃗ , 设E (x 0,y 0),所以(x 0-3,y 0+6)=14(x 0-4,y 0+3), 解得{x 0=83,y 0=-7,故点E 坐标为(83,-7). (83,-7) 13.若α,β是一组基底,γ=x α+y β(x ,y ∈R ),则称(x ,y )为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a 在基底p =(1,-1),q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则a 在另一组基底m =(-1,1),n =(1,2)下的坐标为 .a 在基底p =(1,-1),q =(2,1)下的坐标为(-2,2),所以有a =-2(1,-1)+2(2,1)=(2,4),设a =x (-1,1)+y (1,2),则有{-x +y =2,x +2y =4,解得{x =0,y =2.14.已知点A (-1,2),B (2,8),及AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求点C ,D 和CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.C ,D 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1-2),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,6),DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-x 2,2-y 2),BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-6). ∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-1BA ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(x 1+1,y 1-2)=13(3,6),(-1-x 2,2-y 2)=-13(-3,-6),即(x 1+1,y 1-2)=(1,2),(-1-x 2,2-y 2)=(1,2).∴{x 1+1=1,y 1-2=2,{-1-x 2=1,2-y 2=2.∴{x 1=0,y 1=4,{x 2=-2,y 2=0.∴点C ,D 的坐标分别为(0,4)和(-2,0).故CD⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-4). 15.已知点O 是△ABC 内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC⃗⃗⃗⃗⃗ =c 且|a |=2,|b |=1,|c |=3,求向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.,以点O 为原点,OA⃗⃗⃗⃗⃗ 所在直线为x 轴的非负半轴,建立平面直角坐标系.∵|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,∠AOB=150°,∴B (-cos 30°,sin 30°),∴B (-√32,12).∵|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,∴C (-3sin 30°,-3cos 30°), 即C (-32,-32√3). 又A (2,0),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1)-(2,0)=(-√3-2,1), BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-32,-32√3)−(-√32,12)=(√3-32,-3√3-12). 16.已知A (-2,4),B (3,-1),C (-3,-4).设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,且CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3c ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2b .(1)求3a+b-3c ;(2)求满足a =m b +n c 的实数m ,n ;(3)求M ,N 的坐标及MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.=AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,-5),b =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6,-3),c =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,8). (1)3a+b-3c =3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)∵a =m b +n c , ∴(5,-5)=m (-6,-3)+n (1,8). ∴{5=-6m +n ,-5=-3m +8n ,∴{m =-1,n =-1.(3)设M (x 1,y 1),由CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3c , 得(x 1+3,y 1+4)=3(1,8), ∴{x 1+3=3,y 1+4=24.∴x 1=0,y 1=20.∴M (0,20). 同理,设N (x 2,y 2),由CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2b , 得(x 2+3,y 2+4)=-2(-6,-3). ∴{x 2+3=12,y 2+4=6,解得{x 2=9,y 2=2.∴N (9,2).∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(9,-18).。