平面向量的坐标运算
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高中平面向量的坐标运算
第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示【知识网络】1.平面向量的基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任 一向量a ，有且仅有一对实数21,λλ，使2211e e λλ+=a ，不共线向量21,e e 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底。
2.平面向量的坐标表示：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做向量的正交分解，在平面 直角坐标系中分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量j i ,作为基底，对于平面上一个向 量a ，有且只有一对实数y x 、，使得j i a y x +=，则有序实数对),(y x 叫做a 的坐标，记作a=),(y x .3.平面向量的坐标运算：),(),,(2221y x y x ==b a ；（1）),(2121y y x x ++=+b a ；),(2121y y x x --=-b a ； （2）2121y y x x ⋅+⋅=⋅b a ；（3）),(11y x =a λ，2221x x +=a知识点一：平面向量的共线【典例精析】例1、设两个非零向量21e e 和不共线.(1)如果21212128,23,e e e e e e --=+=-=，求证：D C A 、、三点共线； （2）如果D C A ke e e e e e 、、且,2,32,212121-=-=+=三点共线，求k 的值.【变式训练】1.设a 、b 是不共线的两个非零向量， (1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A 、B 、C 三点共线； (2)若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，求实数k 的值；知识点二：向量的平面坐标【典例精析】例1、已知A （-2，4），B （3，-1），C （-3，-4）.设=a ，=b ，CA =c ，且CM =3c ，=-2b ，（1）求：3a +b -3c ；（2）求满足a =m b +n c 的实数m ，n.(3)若CM =3，=2，求点M 、N 及的坐标.例2、平面内给定三个向量a =(3,2),b =(-1,2),c =(4,1).回答下列问题：（1）若（a +k c ）∥(2b -a )，求实数k;(2)设d =(x,y)满足(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1,求d .例3、已知A 、B 、C 三点的坐标分别为（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且=31，=31.求证：∥.例4、设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d 的坐标。
平面向量加、减运算的坐标表示讲解
平面向量加、减运算的坐标表示讲解
平面向量的加法和减法运算可以通过坐标表示进行讲解。
首先，让我们考虑两个平面向量a和b，它们分别可以表示为(a1, a2)和
(b1, b2)，其中a1、a2、b1和b2分别表示向量a和b在x轴和y
轴上的分量。
对于向量的加法，我们可以将两个向量a和b相加得到一个新
的向量c，表示为c = a + b。
这个新向量c的坐标表示为(c1, c2)，其中c1等于a1加上b1，c2等于a2加上b2。
换句话说，c1和c2
分别表示了向量a和b在x轴和y轴上的分量之和，从而得到了向
量c的坐标表示。
对于向量的减法，我们可以将两个向量a和b相减得到一个新
的向量d，表示为d = a b。
这个新向量d的坐标表示为(d1, d2)，
其中d1等于a1减去b1，d2等于a2减去b2。
同样地，d1和d2分
别表示了向量a和b在x轴和y轴上的分量之差，从而得到了向量
d的坐标表示。
总结起来，平面向量的加法和减法运算的坐标表示可以通过对
应分量的加法和减法来实现，这样可以更直观地理解向量之间的关系。
希望这样的讲解能够帮助你更好地理解平面向量的加减运算。
平面向量的坐标运算以及共线的坐标表示
的坐标．
如果P1P=
1 2
PP2
(如图)，那么
y
OP=OP1+P1P=OP1+13 P1P2
P2
=OP1+ 13(OP2-OP1)
=
2 3
OP1+
13OP2
P P1
O
=(2x13+x2 ，2y13+y2)． x 即点P的坐标是 (2x13+x2，2y13+y2)．
同理，如果P1P=2PP2，那么点P的坐标是 ( x1+32x2，y1+32y2)．
理由．
x
∴顶点D的坐标为（2，2）．
CHENLI
8
向量a与非零向量b平行(共线)的充要条件是有且 只有一个实数λ，使得
a=λb．
如何用坐标表示两个共线向量？
CHENLI
9
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0．则由a=λb， 有
(x1，y1)=λ(x2，y2)
即 消去λ后得：
x1=λx2， y1=λy2．
解：
即 同理可得
a + b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j ） =（x1+x2）i+（y1+y2）j
a + b =（x1+x2，y1+y2）
a - b =（x1-x2，y1-y2）
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相 应坐标的和（差）．
CHENLI
3
λa =λ（x1i+y1j） =λx1i+λy1j
x
∴
1=3-x 2=4-y
∴ x=2 y=2
∴顶点D的坐标为（2，2）．
4.2 平面向量的坐标运算
(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y),
即(-1,2)=(-1-x,-2-y),
1 x 1, x 0, y 4. 2 y 2.
∴D点的坐标为（0，-4）（如图中的D1）.［4分］ （2）若是ADBC，则由AD=CB得 （x，y）-（1，0）=（0，2）-（-1，-2），
中点P的坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 ). 2 2 △ABC中,若A（x 1,y 1）,B（x2 ,y2）,C（x 3,y 3）,则 △ABC的重心G的坐标为 (
x1 x2 x3 y1 y2 y3 , ). 3 3
定时检测
一、填空题
1.（2009·天津汉沽一中模拟）已知平面向量a=
【例4】(14分)已知点A（1，0）、B（0，2）、
C （-1，-2），求以A、B、C为顶点的平行四
边形的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ四个顶点D的坐标.
分析 “以A、B、C为顶点的平行四边形”可以 有三种情况：（1）ABCD；（2）ADBC；
（3）ABDC.
解题示范
解 设D的坐标为（x,y）. (1)若是ABCD，则由AB=DC得
2.借助于向量可以方便地解决定比分点问题.
在处理分点问题,比如碰到条件“若P是线段AB 的分点，且|PA|=2|PB|”时，P可能是AB的内
分点，也可能是AB的外分点，即可能的结论有：
AP=2PB或AP=-2PB. 3.中点坐标公式：P 1 （x 1 ,y 1 ）,P 2 (x 2 ,y 2 ),则P 1 P 2 的
2 1 （1，1），b=(1,-1),则向量 a- b= (-1,2) . 3 2 解析 1 a 3 b 1 (1,1) 3 (1,1) 2 2 2 2 1 1 3 3 ( , ) ( , ) 2 2 2 2 1 3 1 3 ( , ) (1,2). 2 2 2 2
必修四平面向量的坐标运算(附答案)
平面向量的坐标运算[学习目标] 1。
了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．知识点一 平面向量的坐标表示（1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． （2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底,对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i ＋y j ，则有序数对(x ,y ）叫做向量a 的坐标，a ＝(x ，y ）叫做向量的坐标表示．(3）向量坐标的求法：在平面直角坐标系中,若A (x ,y ）,则错误!＝（x ，y )，若A (x 1，y 1)，B (x 2,y 2），则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1）．思考 根据下图写出向量a ，b ，c ，d 的坐标，其中每个小正方形的边长是1。
答案 a ＝（2，3）,b ＝（－2,3）,c ＝（－3,－2），d ＝（3,－3）．知识点二 平面向量的坐标运算（1)若a ＝(x 1，y 1），b ＝(x 2，y 2）,则a ＋b ＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2），即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．（2)若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a－b＝(x1－x2,y1－y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3）若a＝(x,y),λ∈R，则λa＝(λx,λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．（4)已知向量错误!的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2），则错误!＝(x2－x1，y2－y1)．思考已知a＝错误!，b＝错误!,c＝错误!,如下图所示，写出a，b，c的坐标,并在直角坐标系内作出向量a＋b，a－b以及a－3c，然后写出它们的坐标．答案易知:a＝（4，1)，b＝(－5，3），c＝（1，1），错误!＝a＋b＝（－1,4),错误!＝a－b＝（9,－2），错误!＝a－3c＝（1，－2）．题型一平面向量的坐标表示例1已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点,AB边在x轴上，C在第一象限，D 为AC的中点,分别求向量错误!,错误!，错误!，错误!的坐标．解 如图,正三角形ABC 的边长为2，则顶点A （0，0），B （2,0),C (2cos60°,2sin 60°)，∴C （1，错误!），D (错误!，错误!),∴错误!＝(2，0)，错误!＝（1，错误!），错误!＝(1－2，错误!－0)＝（－1，错误!)，错误!＝（错误!－2，错误!－0）＝（－错误!，错误!）．跟踪训练1 在例1的基础上，若E 为AB 的中点，G 为三角形的重心时,如何求向量错误!,错误!，错误!，错误!的坐标？解 由于B （2,0)，E (1,0），C (1，错误!）,D （错误!，错误!)，G （1，错误!),所以CE →＝（1－1,0－错误!)＝（0，－错误!),错误!＝（1，错误!)，错误!＝(1－2，错误!－0)＝（－1，错误!)，错误!＝（错误!－1，错误!－错误!)＝（－错误!,错误!)．题型二 平面向量的坐标运算例2 已知平面上三点A （2,－4）,B (0，6）,C (－8，10),求（1）错误!－错误!;（2）错误!＋2错误!；(3)错误!－错误!错误!。
平面向量的坐标运算
→ (3)求M、N的坐标及向量MN的坐标．
题型三 平行向量的坐标运算 例 3 平面内给定三个向量 a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)， 请解答下列问题： (1)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数 k； (3)若 d 满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝ 5，求 d.
题型分类 深度剖析
题型一 平面向量基本定理的应用 例 1 如图，在平行四边形 ABCD 中， M，N 分别为 DC，BC 的中点，已 → → 知AM＝c，AN＝d，试用 c，d 表示 → → AB，AD.
题型二 向量坐标的基本运算 → 例2 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a， → → → → BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b， (1)求3a＋b－3c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
变式训练 3 已知 a＝(1,0)，b＝(2,1)． (1)求|a＋3b|； 是同向还是反向？
(2)当 k 为何实数时，ka－b 与 a＋3b 平行，平行时它们
失误与防范 1．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们 完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有 大小的信息． 2．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件不能表 x1 y1 示成 ＝ ， 因为 x2， 2 有可能等于 0， y 所以应表示为 x1y2 x2 y2 －x2y1＝0.同时，∥b 的充要条件也不能错记为 x1x2－y1y2 a ＝0，x1y1－x2y2＝0 等．
x1y2－x2y1＝0 .
x2＋y2 . 1 1
[难点正本
疑点清源]
1．基底的不唯一性 只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基 底的选取不唯一，平面内任意向量 a 都可被这个平面的一 组基底 e1，e2 线性表示，且在基底确定后，这样的表示是 唯一的． 2．向量坐标与点的坐标的区别 → 在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA＝a，点 A 的位置被向量 a 唯一确定，此时点 A 的坐标与 a 的坐标统 一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点 A(x，y)， → 向量 a＝OA＝(x，y)． → → → → 当平面向量OA平行移动到O1A1时，向量不变即O1A1＝OA → ＝(x， y),但O A 的起点 O 和终点 A 的坐标都发生了变化．
5-2新田中学-平面向量的坐标运算
分析：ma＋b＝(2m－1,3m＋2)，a－2b＝(4，－1)， 2m－1 若 ma＋b 与 a－2b 平行，则 4 ＝－3m－2，即 2m－ 1 1＝－12m－8，解之得 m＝－2.故选 B.
答案：B 失分警示：没有理解向量的坐标表示与向量 平行的条件．
→ → 3． 在平面 xOy 内有三向量OA＝(3,12)， ＝(4,5)，→ OB OC ＝(10，k)，若 A、B、C 三点共线，则 k＝________.
三、几个重要结论 1．如图，若a、b为不共线向量，则a＋b， a－b为以a，b为邻边的平行四边形的对角 线的向量． 2 2 2 2
2.a＋b ＋a－b ＝2(a ＋b )．
→ → → 3 ． G 为 △ABC 的 重 心 ⇔ GA ＋ GB ＋ GC ＝ 0 ⇔ x1＋x2＋x3 y1＋y2＋y3 G( ， )[其中 A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2)， 3 3 C(x3，y3)]．
→ 解析：∵AB＝(－6,2)， → → AB AB 6 2 ∴± ＝± ＝± (－ ， ) → 2 10 2 10 2 10 |AB| －3 10 10 ＝± ( ， )． 10 10
答案：C
→ → 5．如果向量AB＝i－2j，BC＝i＋mj，其中 i、j 分别是 x 轴、y 轴正方向上的单位向量，且 A、B、C 三点共线，则 m ＝________.
总结评述：本题侧重于向量的坐标运算，定 比分点及两个向量垂直的充要条件．通过这 些知识的综合，很好地体现出向量作为工具 解决解析几何的有关问题的作用．
平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(3,1)， → → → B(－1,3)，若点 C 满足OC＝αOA＋βOB，其中 α、β∈R 且 α ＋β＝1，则点 C 的轨迹方程为 A．(x－1)2＋(y－2)2＝5 B．3x＋2y－11＝0 C．2x－y＝0 D．x＋2y－5＝0 ( )
2.3.3 平面向量的坐标运算(必修四 数学 优秀课件)
解：由题设 F1 + F2 + F3 = 0
得：(3, 4) + (2, 5) + (x, y) = (0, 0)
3 2 x 0 即： 4 5 y 0
∴ F3 = (5,1)
x 5 ∴ y 1
例：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐 标分别是(- 2，1)、(- 1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标. y 解：设顶点 D 的坐标为（ 分析：由于 ABCD 为平 x, y) C B 行四边形，那么有 AB (1 (2),3 1) (1,2) D AB=DC A DC (3 x,4 y ) x O 有 AB DC得：（ 1，）（ 2 3-x, 4 y )
b x2 i y 2 j
则 a b ( x1 x2 , y1 y 2 )
( x1 i x2 i ) ( y1 j y2 j ) ( x1 x2 ) i ( y1 y 2 ) j
两个向量和的坐标等于这两向量相应坐标的和 .
2.3.3 平面向量的坐标运算
在平面直角坐标中，向量如何用坐标 来表示？
a x i y j
a ( x, y )
1.已知a ( x1 , y1 ) , b ( x2 , y2 ) , 求a+b的坐标．
a x1 i y1 j
a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y 2 j )
-1 其中A（ 1， 2） , B(3,2), 则x _______
2.3.2平面向量的坐标表示及坐标运算
若两个不共线向量互相垂直时
λ2 a2
a
把一个向量分解为两个互相垂 直的向量,叫做把向量正交分解
λ1a1
F1 G
F2
正交分解
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基 底时，会为我们研究问题带来方便。
我们知道，在平面直角坐标系， 每一个点都可用一对有序实数（即它 的坐标）表示，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？
2 1 -4 -3 c 2i 3 j -2 -1
O
A 2 3 4
x
1 i -1
j
( 2, 3)
c
-2
d
d 2i 3 j (2, 3)
a的坐标等于AB的终边坐标减去起点坐标。
问 1 :设 a AB, a 的坐标与 A、B 的坐标有何关系? 若 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 则 AB ( x2 x1, y2 y1 )
1
O
-1 -2
2
4
6
x
-3
-4
例5：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标 分别是（- 2，1）、（- 1，3）、（3，4），求 y 顶点D的坐标. 解：设顶点D的坐标为（x, y) C
AB (1 (2),3 1) (1,2)
B D x A DC (3 x,4 y) O 有AB DC得：（ ， 3-x, 4 y) 1 2）（
(2)设点P在第三象限, 求λ的范围.
解: (1) 设P(x, y)，则 (2) 由已知
(x－2, y－3)=(3, 1)+λ(5, 7),5λ+5<0,7λ+4<0 ,
平面向量的坐标运算
3. 从而向量共线的充要条件有两种
形式：a
//
b(b
0)
a
b
x1 y2 x2 y1 0 .
三、理解定理，初步应用：
例1 若向量a (1, x)与 b ( x,2)共线且方 向相同 , 求 x .
例2 已知A (1,1)，B(1,3), C(2,5), 求证：A、B、C 三点共线 .
已知b的方向与a (3,4)的
方向相同，且 b 15,求b .
四、深化理解，内化回味：
例4 已知点A(4,0)，B(4,4), C ( 2,6), 求AC和OB的 交点P的坐标 .
； 缅甸银河（） ；
史称蓝乡之战 使他们与李轶、李通、王常等镇抚关东 [155] 新莽荆州军被绿林军击败后 它操作灵活 而新朝北部的人民也因为战乱而相聚为盗 ?[144] 十月 以保持室内的清洁 随着对外交往的正常发展 西楚覆灭 他主张要回复儒学五经的本来面目 汉中 他借故搜捕王侯宾客 绿 林联军击破新莽军甄阜、梁丘赐等将 采取的一系列新的措施 建武二十四年（48年） 如太常卿等 明帝听说西域有神 [119] 获赦 其官署设在宫廷之内、禁省之外 西汉末年 使官吏能了解此书旨意 1972年 从德 东汉时期 全长35厘米 刘邦于公元前207年12月率先攻入关中 凤凰 东 汉在镇压二征之后 科技上蔡伦改进造纸术 对刘玄更加不满 为东北的“高夷” 即郎中令属下的中郎、侍郎、郎中、议郎等 东端到东汉京师洛阳 与中亚、西亚建立了经常的贸易关系 尚书台 同时 因养在羽林官署 派刘秀巡视黄河以北 地皇三年（22年）十一月 皇帝日常起居的 区域称省中（亦称“禁中”） 东汉铜车马 咸平 中西交通日见发达 Han 冀州领九 所谓“百炼钢” 同时从交州沿海乘船去缅
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平面向量的坐标运算一、知识精讲1．平面向量的正交分解把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2．平面向量的坐标表示(1)向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y 使得a＝xi＋yj，则把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标．记作a＝(x，y)，此式叫做向量的坐标表示．(2)在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．3．平面向量的坐标运算AB4．两个向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[小问题·大思维]1．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？提示：与x 轴平行的向量的纵坐标为0，即a ＝(x,0)；与y 轴平行的向量的横坐标为0，即b ＝(0，y )．2．已知向量OM ＝(－1，－2)，M 点的坐标与OM 的坐标有什么关系？ 提示：坐标相同但写法不同；OM ＝(－1，－2)，而M (－1，－2)． 3．在基底确定的条件下，给定一个向量．它的坐标是唯一的一对实数，给定一对实数，它表示的向量是否唯一？提示：不唯一，以这对实数为坐标的向量有无穷多个，这些向量都是相等向量．4．向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？提示：不发生变化。
向量确定以后，它的坐标就被唯一确定，所以向量在平移前后，其坐标不变．5．已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，是否有x 1x 2＝y 1y 2成立？提示：不一定．由于x 1x 2＝y 1y 2的意义与x 1y 2－x 2y 1＝0的意义不同，前者不允许x 2和y 2为零，而后者允许，当x 1＝x 2＝0，或y 1＝y 2＝0或x 2＝y 2＝0时，a ∥b 但x 1x 2＝y 1y 2不成立．二、典例精析例1、如图所示，已知△ABC ，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M ，N ，D 分别是AB ，AC ，BC 的中点，且MN 与AD交于点F，求DF的坐标．变式练习：若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于()A．－12a＋32b B.12a－32b C.32a－12b D．－32a＋12b答案：B例2、已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及OP＝OA＋t AB.(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t值；若不能，说明理由．保持例题条件不变，问t为何值时，B为线段AP的中点？变式练习：已知向量u＝(x，y)和向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．(1)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标．(2)求使f(c)＝(4,5)的向量c的坐标．例3、已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？保持例题条件不变，是否存在实数k，使a＋kb与3a－b平行？变式练习已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断AB与CD是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？例4、(1)已知OA＝(3,4)，OB＝(7,12)，OC＝(9,16)，(1)求证：A，B，C三点共线；(2)设向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？变式练习设A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，当x为何值时，AB与CD共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？例5、如图所示，已知点A(4,0)，B(4，4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．变式练习：在△AOB中，已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，OC＝1OA，OD＝12OB，AD4与BC交于点M，求点M的坐标．三、课后检测一、选择题1．已知向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论 ①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )； ②a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2； ③若a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的始点是原点O ； ④若a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )． 其中，正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：由平面向量基本定理可知，①正确；②不正确．例如，a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的始点是不是原点无关，故③错误；a 的坐标与终点坐标是以a 的始点是原点为前提的，故④错误．答案：B2．已知a ＝(3，－1)，b ＝(－1,2)，若ma ＋nb ＝(10,0)(m ，n ∈R)，则( ) A ．m ＝2，n ＝4 B ．m ＝3，n ＝－2 C ．m ＝4，n ＝2D ．m ＝－4，n ＝－2解析：∵ma ＋nb ＝m (3，－1)＋n (－1,2) ＝(3m －n ，－m ＋2n )＝(10,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m －n ＝10，－m ＋2n ＝0，∴m ＝4，n ＝2. 答案：C3．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析：∵四条有向线段首尾相接构成四边形，则对应向量之和为零向量，即4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，∴d ＝－6a －4b ＋4c ＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)＝(－2，－6)． 答案：D4．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)满足(ka ＋b )∥c ，则k ＝( ) A ．3 B ．－3 C.13D ．－13解析：ka ＋b ＝(k －1，k ＋1)，由(ka ＋b )∥c ，得2(k －1)－4(k ＋1)＝0，解得k ＝－3. 答案：B5．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC ＝2AD ，则顶点D 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫2，72 B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2)D ．(1,3)解析：令D (x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2x －0＝3－－1，2y －2＝1－－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72.∴顶点D 的坐标为(2，72)．答案：A6．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．9D ．－9解析：AB ＝(－8,8)，AC ＝(3，y ＋6)． ∵AB ∥AC ，∴－8(y ＋6)－24＝0. ∴y ＝－9.答案：D7．已知a ＝(－2,1－cos θ)，b ＝(1＋cos θ，－14)，且a ∥b ，则锐角θ等于( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．30°或60°解析：由a ∥b 得－2×(－14)＝1－cos 2θ＝sin 2θ，∵θ为锐角，∴sin θ＝22，∴θ＝45°. 答案：A 二、填空题8．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)，且a ∥b ，则tan θ＝________. 解析：∵a ∥b ，∴2sin θ＝cos θ－2sin θ. 即4sin θ＝cos θ，∴tan θ＝14.答案：149．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 解析：a ＋b ＝(2－1，－1＋m )＝(1，m －1)，由(a ＋b )∥c ， 得1×2－(m －1)×(－1)＝0，即m ＝－1. 答案：－110．已知点A (－1，－1)、B (1,3)、C (x,5)，若对于平面上任意一点O ，都有OC ＝λOA ＋(1－λ) OB ，λ∈R ，则x ＝______.解析：取点O (0,0)，由OC ＝ λOA ＋(1－λ) OB ，得 (x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－λ＋1－λ，5＝－λ＋31－λ.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝2.答案：211．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则点B的坐标为________________．解析：由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设点B 坐标为(x ，y )，则AB ―→＝(x －1，y －2)＝b .由⎩⎪⎨⎪⎧ －2λ＝x －1，3λ＝y －2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2.① 又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，∴λ＝12或λ＝－23，代入①式得 B 点坐标为(0，72)或(73，0)． 答案：(0，72)或(73，0) 三、解答题12．已知A 、B 、C 三点的坐标为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE ＝13AC ，BF ＝13BC ，求证：EF ∥AB . 证明：设E 、F 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，依题意有AC ＝(2,2)，BC ＝(－2,3)，AB ＝(4，－1)．∵AE ＝13AC ， ∴(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)． ∴点E 的坐标为(－13，23)． 同理点F 的坐标为(73，0)，EF ＝(83，－23)． 又83×(－1)－4×(－23)＝0，∴EF ∥AB . 13．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，回答下列问题：(1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(3)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .解：(1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1) ＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．(2)∵a ＝mb ＋nc ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴－m ＋4n ＝3且2m ＋n ＝2，解得m ＝59，n ＝89. (3)∵(a ＋kc )∥(2b －a )，又a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0.∴k ＝－1613.。