上海市金山中学09-10学年高一下学期阶段质量检测(数学含答桉)

上海市金山中学2014-2015学年高一上学期9月质检数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．若全集U={1，2，3，4，5，6}，P={1，2，5}，Q={2，3，4，5}，则∁U（P∪Q）的所有元素的和为．2．已知集合A={y|y=x2}，B={y|y=﹣2x2+3}，则A∩B=．3．x≠1或y≠2是x+y≠3的条件．4．已知=，则2A+3B=．5．已知：直线l：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0，不论m为何实数，直线l恒过一定点M，则点M的坐标．6．满足条件{1，2}⊊A⊆{1，2，3，4}的集合A有个．7．命题“若x2﹣3x+2＞0，则x≠1且x≠2”的逆否命题是若x=1或x=2则．8．将图中阴影部分可用交、并、补运算表示为．9．某个命题与自然数n有关，如果当n=k（k∈N）时该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立．那么当n= 时，该命题不成立，可推n=5时该命题也不成立．10．下面有四个说法：（1）a＜1且b＜1⇒a+b＜2且ab＜1；（2）a＜1且b＜1⇒ab﹣a﹣b+1＜0且ab＜1；（3）a＞|b|⇒a2＞b2；（4）x＞1⇒≤1其中正确的是．11．一元二次方程kx2+3kx+k﹣3=0有一个正根和一个负根，则实数k的取值范围为．12．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣2，3），则关于x的不等式cx+b+a＜0的解集为．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分.13．下列各式中正确的个数是（）①0∈{0}；②0∈∅；③∅⊊{0}④∅={0}．A．1个B．2个C．3个D．4个14．不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．[﹣2，2] C．（﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2）15．若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．D．a|c|＞b|c|16．若数集A={x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A⊆B成立的所有a的集合是（）A．{a|1≤a≤9}B．{a|6≤a≤9}C．{a|a≤9}D．∅三、解答题（共5小题，满分52分）17．已知集合M={2，3，m2+4m+2}，P={0，7，m2+4m﹣2，2﹣m}，若M∩P={3，7}，求实数m 的值和集合P∪M．18．已知命题p：2≤x＜4，命题q：3m﹣1≤x≤﹣m，且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．19．当k取什么值时，一元二次不等式对一切实数x都成立？20．已知集合A={x|﹣2＜x＜﹣1或x＞），B={x|x2+ax+b≤0）且A∪B={x|x+2＞0}，A∩B={x|＜x≤3}，求a，b的值．21．已知函数f（x）=ax﹣bx2（1）当b＞0时，若对任意x∈R都有f（x）≤1求证a≤2．（2）当b＞1时，求证；对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要条件是b﹣1≤a≤2．上海市金山中学2014-2015学年高一上学期9月质检数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．若全集U={1，2，3，4，5，6}，P={1，2，5}，Q={2，3，4，5}，则∁U（P∪Q）的所有元素的和为6．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：进而结合集合交集，并集，补集的定义，可得答案．解答：解：∵P={1，2，5}，Q={2，3，4，5}，∴P∪Q={1，2，3，4，5}，又∵全集U={1，2，3，4，5，6}，∴∁U（P∪Q）={6}，故∁U（P∪Q）的所有元素的和为6，故答案为：6点评：本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集及其运算，难度不大，属于基础题．2．已知集合A={y|y=x2}，B={y|y=﹣2x2+3}，则A∩B=[0，3]．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A与B中y的范围，分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．解答：解：由A中y=x2≥0，得到A=[0，+∞）；由B中y=﹣2x2+3≤3，得到B=（﹣∞，3]，则A∩B=[0，3]．故答案为：[0，3]点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．x≠1或y≠2是x+y≠3的必要非充分条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：根据逆否命题的等价性，只需要判断x+y=3与x=1且y=2的条件关系即可．若x=0，y=3时，满足x+y=3，但此时x=1且y=2，不成立，即充分性不成立．若x=1，y=2时，则x+y=3成立，即必要性成立．即x+y=3是x=1且y=2的必要不充分条件，即“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件，故答案为：必要非充分点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．4．已知=，则2A+3B=20．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：利用多项式的计算与恒等式的性质即可得出．解答：解：∵=，∴==，∴，解得A=1，B=6．∴2A+3B=2+3×6=20．故答案为：20．点评：本题考查了多项式的计算与恒等式的性质，属于基础题．5．已知：直线l：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0，不论m为何实数，直线l恒过一定点M，则点M的坐标（﹣1，﹣2）．考点：恒过定点的直线．专题：直线与圆．分析：直线的方程即（x+y+4）+m（x﹣2y﹣3）=0，不论m为何实数，直线l恒过直线2x+y+4=0 和直线x﹣2y﹣3=0的交点M，解方程组求得M的坐标．解答：解：直线l：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0，即（2x+y+4）+m（x﹣2y﹣3）=0，不论m为何实数，直线l恒过直线2x+y+4=0 和直线x﹣2y﹣3=0的交点M，则由，求得点M的坐标为（﹣1，﹣2），故答案为：（﹣1，﹣2）．点评：本题主要考查直线过定点问题，令参数m的系数等于零，求得x和y的值，即可得到定点的坐标，属于基础题．6．满足条件{1，2}⊊A⊆{1，2，3，4}的集合A有3个．考点：子集与真子集．专题：计算题；集合．分析：利用集合间的关系可知：集合A中除了含有1，2两个元素以外，至少必须含有另外一个元素，据此即可求出．解答：解：∵{1，2}⊊A⊆{1，2，3，4}，∴集合A中除了含有1，2两个元素以外，至少必须含有另外一个元素，因此满足条件的集合A为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共3个．故答案为：3．点评：本题给出集合的包含关系，求满足条件集合M的个数．考查了集合的包含关系的理解和子集的概念等知识，属于基础题．7．命题“若x2﹣3x+2＞0，则x≠1且x≠2”的逆否命题是若x=1或x=2则x2﹣3x+2≤0．考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，直接写出它的逆否命题即可．解答：解：命题“若x2﹣3x+2＞0，则x≠1且x≠2”的逆否命题是“若x=1或x=2，则x2﹣3x+2≤0”．故答案为：x2﹣3x+2≤0．点评：本题考查了命题与它的逆否命题之间的关系，解题时应明确四种命题之间的关系是什么，是基础题目．8．将图中阴影部分可用交、并、补运算表示为（A∪C）∩（C U B）．考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：集合．分析：由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足“是A的元素或C的元素，且不是B 的元素”，由韦恩图与集合之间的关系易得答案．解答：解：由已知中阴影部分所表示的集合元素满足，是A的元素或C的元素，且不是B的元素，即是A的元素或C的元素，且是B的补集的元素，故阴影部分所表示的集合是（A∪C）∩（C U B），故答案为：（A∪C）∩（C U B）．点评：本题考查利用韦恩图求集合、考查韦恩图在解决集合间的关系时是重要的工具．9．某个命题与自然数n有关，如果当n=k（k∈N）时该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立．那么当n=6 时，该命题不成立，可推n=5时该命题也不成立．考点：数学归纳法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：如果当n=k（k∈N）时该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立，利用原命题与其逆否命题的等价性可得答案．解答：解：如果当n=k（k∈N）时该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立，其逆否命题为：当n=k+1时该命题不成立，则当n=k（k∈N）时该命题也不成立．所以，当n=6时该命题不成立，可推n=5时该命题也不成立，故答案为：6．点评：本题考查数学归纳法，熟练应用原命题与其逆否命题的等价性是关键，属于中档题．10．下面有四个说法：（1）a＜1且b＜1⇒a+b＜2且ab＜1；（2）a＜1且b＜1⇒ab﹣a﹣b+1＜0且ab＜1；（3）a＞|b|⇒a2＞b2；（4）x＞1⇒≤1其中正确的是（3）（4）．考点：不等式的基本性质．专题：探究型；不等式的解法及应用．分析：分别利用不等式的性质进行判断，即可得出结论．解答：解：（1）若a=﹣2，b=﹣2，满足a＜1且b＜1，但ab=4＜1不成立，所以（1）错误．（2）因为ab﹣a﹣b+1=（a﹣1）（b﹣1），所以若a＜1且b＜1，则a﹣1＜0，b﹣1＜0，所以ab﹣a﹣b+1＞0，所以（2）错误．（3）因为a＞|b|，所以a＞0，所以a2＞b2；成立．（4）由x＞1，得到0＜＜1，所以≤1成立．故答案为：（3）（4）．点评：本题主要考查不等式性质的应用，不成立的不等式们可以考虑使用特殊值法．11．一元二次方程kx2+3kx+k﹣3=0有一个正根和一个负根，则实数k的取值范围为0＜k＜3．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：函数的性质及应用．分析：依题意，可得①或②，分别解之，取并即可．解答：解：令f（x）=kx2+3kx+k﹣3，∵一元二次方程kx2+3kx+k﹣3=0有一个正根和一个负根，∴①或②，∵f（0）=k﹣3，∴由①得：0＜k＜3；由②得：x∈∅，∴实数k的取值范围为：0＜k＜3．故答案为：0＜k＜3．点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．12．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣2，3），则关于x的不等式cx+b+a＜0的解集为[0，）．考点：一元二次不等式的应用；一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：利用一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是（﹣2，3）构造解集为（﹣2，3）和ax2+bx+c ＞0是同解不等式然后可得出a，b，c，再代入求cx+b+＜0的解集即可．解答：解：∵（x+2）（x﹣3）＜0的解集为（﹣2，3）则﹣x2+x+6＞0与ax2+bx+c＞0是同解不等式，∴a=﹣1，b=1，c=6则关于x的不等式cx+b+a＜0的解集即为6x+﹣1＜0的解集∴6+﹣1＜0即（2+1）（3﹣1）＜0解得0≤x＜故关于x的不等式cx+b+a＜0的解集为[0，）故答案为：[0，）点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法．解题的关键是要利用解集构造出同解不等式，属于基础题．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分.13．下列各式中正确的个数是（）①0∈{0}；②0∈∅；③∅⊊{0}④∅={0}．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：明确0与空集的不同、元素与集合的关系，对四个命题分别分析解答．解答：解：①元素0在集合{0}中，故正确；②∅是没有任何元素的集合，因此②错误；③空集是任何集合的子集，所以正确；④根据空集的定义，空集中没有任何元素，所以④错误；故选：B．点评：本题考查了元素与集合的关系以及空集与集合{0}的关系；明确概念是解答的关键．14．不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．[﹣2，2] C．（﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2）考点：函数恒成立问题．分析：这是一道类似二次不等式在x∈R恒成立求参数的问题，应首先考虑a﹣2是否为零．解答：解：①当a=2时，不等式恒成立．故a=2成立②当a≠2时，要求解得：a∈（﹣2，2）综合①②可知：a∈（﹣2，2]故选C．点评：本题考查类似二次函数在R上的恒成立问题，容易忘记考虑系数为零的情况．15．若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．D．a|c|＞b|c|考点：不等关系与不等式．专题：计算题．分析：本选择题利用取特殊值法解决，即取符合条件的特殊的a，b的值，可一一验证A，B，D不成立，而由不等式的基本性质知C成立，从而解决问题．解答：解：对于A，取a=1，b=﹣1，即知不成立，故错；对于B，取a=1，b=﹣1，即知不成立，故错；对于D，取c=0，即知不成立，故错；对于C，由于c2+1＞0，由不等式基本性质即知成立，故对；故选C．点评：本小题主要考查不等关系与不等式、不等关系与不等式的应用、不等式的基本性质等基础知识，属于基础题．16．若数集A={x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A⊆B成立的所有a的集合是（）A．{a|1≤a≤9}B．{a|6≤a≤9}C．{a|a≤9}D．∅考点：集合的包含关系判断及应用．专题：探究型．分析：利用A⊆B，建立不等关系即可求解，注意当A=∅时，也成立．解答：解：若A=∅，即2a+1＞3a﹣5，解得a＜6时，满足A⊆B．若A≠∅，即a≥6时，要使A⊆B成立，则，即，解得1≤a≤9，此时6≤a≤9．综上a≤9．故选C．点评：本题主要考查利用集合关系求参数取值问题，注意对集合A为空集时也成立，注意端点取值等号的取舍问题．三、解答题（共5小题，满分52分）17．已知集合M={2，3，m2+4m+2}，P={0，7，m2+4m﹣2，2﹣m}，若M∩P={3，7}，求实数m 的值和集合P∪M．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：根据集合关系确定元素关系，即可得到结论．解答：解：∵M∩P={3，7}，∴m2+4m+2=7，即m2+4m﹣5=0，解得m=1或m=﹣5，当m=1时，M={2，3，7}，P={0，7，3，1}，满足条件M∩P={3，7}，当m=﹣5时，M={2，3，7}，P={0，7，3，7}，集合B不成立，故m=1．此时P∪M={0，1，2，3，7}．点评：本题主要考查集合的基本元素，根据交集确定元素，注意要进行检验．18．已知命题p：2≤x＜4，命题q：3m﹣1≤x≤﹣m，且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式之间的关系，利用充分必要条件的定义即可得到结论．解答：解：设p对应的集合为A=[2，4），q对应的集合为B=[3m﹣1，﹣m]，若p是q的充分条件，则A⊆B，∴，即，解得：m≤﹣4．∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣4]．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式之间的关系即可得到结论．19．当k取什么值时，一元二次不等式对一切实数x都成立？考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：先分类讨论：当k=0，有﹣＜0恒成立；当k≠0，利用二次函数的性质求解，令y=，要y＜0恒成立，则开口向下，抛物线与x轴没公共点，即k＜0，且△＜0，解不等式即可得到k的取值范围．解答：解：当k=0，有﹣＜0恒成立；当k≠0，令y=，∵y＜0恒成立，∴开口向下，抛物线与x轴没公共点，即k＜0，且△=k2+3k＜0，解得﹣3＜k＜0；综上所述，k的取值范围为﹣3＜k≤0．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了分类讨论思想的运用和利用二次函数图象解一元二次不等的方法．20．已知集合A={x|﹣2＜x＜﹣1或x＞），B={x|x2+ax+b≤0）且A∪B={x|x+2＞0}，A∩B={x|＜x≤3}，求a，b的值．考点：交集及其运算；并集及其运算．专题：集合．分析：求出A与B的并集中不等式的解集确定出并集，由A，B，以及A与B的并集、交集确定出a与b的值即可．解答：解：∵A={x|﹣2＜x＜﹣1或x＞），B={x|x2+ax+b≤0），且A∪B={x|x+2＞0}={x|x＞﹣2}，A∩B={x|＜x≤3}，∴B={x|﹣1＜x≤3}，即﹣1，3为x2+ax+b=0的解，∴﹣1+3=﹣a，﹣1×3=b，解得：a=﹣2，b=﹣3．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．21．已知函数f（x）=ax﹣bx2（1）当b＞0时，若对任意x∈R都有f（x）≤1求证a≤2．（2）当b＞1时，求证；对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要条件是b﹣1≤a≤2．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题；简易逻辑．分析：（1）由题意可得bx2﹣ax+1≥0恒成立，利用判别式即；（2）对任意x∈[0，1]，由|f（x）|≤1推出其等价条件即可．解答：证明：（1）∵对任意x∈R都有f（x）≤1，∴bx2﹣ax+1≥0恒成立，∴△=a2﹣4b≤0，∴．（2）∵|f（x）|≤1⇔﹣1≤ax﹣bx2≤1，且，∴．点评：本题考查了恒成立问题的处理及充要条件的证明，恒成立问题可用判别式法处理，充要条件注意推等价关系，属于中档题．11。

2012-2013学年上海市金山中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为 1 cm2．考点：扇形面积公式．专题：三角函数的求值．分析：利用扇形的面积S==，即可求得结论．解答：解：∵扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，∴扇形的面积S===1cm2，故答案为：1点评：本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．2．（3分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：先求出角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为 r，再利用任意角的三角函数的定义cosα=求出结果．解答：解：角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为 r=13，由任意角的三角函数的定义得cosα==﹣．故答案为﹣．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用．3．（3分）已知，则sin2α=﹣．考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：由sin（π﹣α）=求得sinα，根据同角三角函数的平方关系及求得cosα，再用二倍角的正弦公式可得答案．解答：解：由sin（π﹣α）=得，sinα=，因为，所以cosα=﹣=﹣=﹣，所以sin2α=2sinαcosα=2×=﹣，故答案为：﹣．点评：本题考查二倍角的正弦、同角三角函数间的关系及诱导公式的应用，考查学生的运算能力，属中档题．4．（3分）已知α是锐角，则= ﹣2 ．考点：对数的运算性质；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：先利用同角三角函数的基本关系化简，然后由对数的运算性质得出结果．解答：解：=log cosα（1+）=log cosα（）=log cosα（）=﹣2故答案为：﹣2．点评：此题考查了对数的运算性质以及同角三角函数的基本关系，属于基础题．5．（3分）化简：= ﹣1 ．诱导公式的作用．考点：计算题；三角函数的求值．专题：由题意，直接利用诱导公式化简，即可得到代数的化简结果分析：解：由题意解答：=故答案为﹣1点本题考查利用诱导公式化简求值，解答的关键是熟练记忆诱导公式并能准确利用诱导公评：式化简6．（3分）若α是第三象限角，且，则= ．考点：两角和与差的正弦函数；半角的三角函数．专题：三角函数的求值．分析：由，可求得sinα，进而可得tan，根据α是第三象限角，可得的范围，由此可求答案．解答：解：由，得sin[（α+β）﹣β]=sinα=﹣，则sinα=2sin cos==﹣，解得tan=﹣或﹣，由α是第三象限角，所以，则，所以tan=﹣，故答案为：﹣．点评：本题考查两角和与差的正弦函数、倍角公式，考查学生灵活运用公式解决问题的能力．7．（3分）（2012•浦东新区二模）在△ABC中，若b=1，，，则S△ABC= ．考点：正弦定理的应用．专题：计算题．分析：由正弦定理求出sinB的值，可得B的值，再由三角形的内角和公式求出C的值，再由S△ABC=运算求得结果．解答：解：由于在△ABC中，若b=1，，，由正弦定理可得=，∴sinB=．再由大边对大角可得 B=＜A，∴C=π﹣A﹣B=．∴则S△ABC==，故答案为．点评：本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，大边对大角，属于中档题．8．（3分）隔河测算A，B两目标的距离，在岸边取C，D两点，测得CD=200m，∠ADC=105°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∠ACD=30°，则A，B间的距离m．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：依题意，利用正弦定理可求得AD，BD，再利用余弦定理即可求得AB．解答：解：作图如下：∵CD=200m，∠ADC=105°，∠ACD=30°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∠BDA=90°；∴在△ACD中，由正弦定理=，即=，∴AD=100；在△BCD中，同理可求BD=100．在直角三角形BDA中，由勾股定理得AB===．故A，B间的距离为200m．故答案为200．点评：本题考查正弦定理与余弦定理，求得AD，BD是关键，考查作图与运算能力，属于中档题．9．（3分）定义，则函数（x∈R）的值域为[﹣4，4] ．考点：二阶行列式的定义；正弦函数的定义域和值域．专题：新定义；三角函数的图像与性质．分析：利用新定义，展开f（x）利用同角三角函数化为一个角的一个三角函数的二次函数的形式，根据余弦函数的值域求解即可．解答：解：由题意=sin2x+4cosx=﹣cos2x+4cosx+1=﹣（cosx﹣2）2+5∈[﹣4，4]．故答案为：[﹣4，4]．点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，新定义的应用，考查计算能力．10．（3分）（2010•江苏）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．考点：余弦函数的图象；正切函数的图象．专题：计算题．分析：先将求P1P2的长转化为求sinx的值，再由x满足6cosx=5tanx可求出sinx的值，从而得到答案．解答：解：线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=．线段P1P2的长为故答案为．点评：考查三角函数的图象、数形结合思想．11．（3分）已知函数f（x）=2x2﹣ax+1，存在，使得f（sinϕ）=f（cosϕ），则实数a的取值范围是．考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：利用条件化简可得2（sinφ+cosφ）=a，利用辅助角公式及角的范围，即可求实数a 的取值范围．解答：解：根据题意：2sin2φ﹣asinφ+1=2cos2φ﹣acosφ+1，即：2（sin2φ﹣cos2φ）=a （sinφ﹣cosφ）即：2（sinφ+cosφ）（sinφ﹣cosφ）=a（sinφ﹣cosφ），因为：φ∈（），所以sinφ﹣cosφ≠0故：2（sinφ+cosφ）=a，即：a=2sin（）由φ∈（）得：∈（π/2，3π/4），也就是：sin（）∈（，1）所以：a=2sin （）∈（2，2）故答案为：点评：本题考查三角函数的化简，考查函数与方程的综合运用，考查辅助角公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（3分）设函数（x∈[﹣π，π]）的最大值为M，最小值为m，则M+m= 4 ．考点：函数最值的应用．专题：函数的性质及应用．分析：将函数化简，构造新函数g（x）=（x∈[﹣π，π]），判断其为奇函数，可得g（x）max+g（x）min=0，从而可得结论．解答：解：==2+令g（x）=（x∈[﹣π，π]），则g（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是奇函数∴g（x）max+g（x）min=0∴M+m=4+g（x）max+g（x）min=4故答案为：4点评：本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、选择题（每小题4分，共16分）13．（4分）已知k∈Z，下列各组角的集合中，终边相同的角是（）A．与B．2kπ+π与4kπ±πC．与D．与考点：终边相同的角．专题：计算题．分析：把数学符号语言转化为文字语言，结合终边相同的角的表示方法，做出判断．解答：解：由于表示的整数倍，而kπ±=（2k±1）表示的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角，故A不满足条件．（4k±1）π 也表示π的奇数倍，故（2k+1）π与（4k±1）（2k+1）π 表示π的奇数倍，π（k∈Z）是终边相同的角，故B满足条件．kπ+=（k+）π表示π的（k+）倍，而2kπ±=（2k±）π表示π的（2k±）倍，故两个角不是终边相同的角，故C不满足条件．由于表示整数倍，而kπ+=（3k+1）表示非3的整数倍，故这两个角不是终边相同的角，故D不满足条件．故选：B．点评：本题考查终边相同的角的表示方法，把数学符号语言转化为文字语言，以及式子所表示的意义．14．（4分）在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则此三角形一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．形状不确定考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：先将条件等价于cos（A+B）＞0，从而可知C为钝角，故可判断．解答：解：由题意，∵cosAcosB＞sinAsinB∴cos（A+B）＞0∴cosC＜0∴C为钝角故选A．点评：本题以三角函数为载体，考查三角形的形状判断，关键是利用和角的余弦公式，求得C为钝角．15．（4分）（2007•山东）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f （y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx考点：指数函数与对数函数的关系．分析：依据指、对数函数的性质可以发现A，C满足其中的一个等式，而D满足，B不满足其中任何一个等式解答：解：f（x）=3x是指数函数满足f（xy）=f（x）+f（y），排除A．f（x）=log2x是对数函数满足f（x+y）=f（x）f（y），排除Cf（x）=tanx满足，排除D．故选B点评：本题主要考查指数函数和对数函数以及正切函数的性质．16．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，则下列不等式关系中正确的是（）A．f（sinα）＞f （cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C．f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶函数的性质和条件判断出在[2，3]上是增函数，再由f（2﹣x）=f（x）和偶函数的定义得f（x）=f（x+2），求出函数的周期，再判断出在[0，1]上是增函数，根据α和β的范围以及余弦函数的单调性，判断出对应余弦值的大小和范围，再由函数f（x）的单调性进行判断．解答：解：∵偶函数f（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数，∴f（x）在[2，3]上是增函数，又∵偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），∴f（x）=f（x﹣2），即f（x+2）=f（x），函数的周期T=2，∴f（x）在[0，1]上是增函数，∵α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，∴根据余弦函数在（0，π）上递减得，0＜cosβ＜cosα＜1，则f（cosα）＞f（cosβ）．故选C．点评：本题以余弦函数为载体，考查了余弦函数的单调性、抽象函数的周期性和奇偶性的应用，即根据周期函数的性质和奇偶性对应的关系式，将自变量进行转化，转化到已知范围内求解，考查了转化思想．三、解答题（本大题共48分）17．（6分）若，求的值．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：利用，可求tanA的值，再利用和角的正切公式，即可得到结论．解答：解：∵，∴tanA=﹣∴===∴=2．点评：本题考查和角的正切公式，考查学生的计算能力，属于基础题．18．（8分）（2011•湖北）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（I）求△ABC的周长；（II）求cos（A﹣C）的值．考点：余弦定理；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC的周长；（II）根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a，c 及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c得到A小于C，即A为锐角，则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA 的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值．解答：解：（I）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，∴c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．（II）∵cosC=，∴sinC===．∴sinA===．∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．点评：本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是一道基础题．19．（10分）已知函数f（x）=2．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）利用二倍角的正弦与余弦及三角函数间的关系可将f（x）=2sinxcosx+2cos2x ﹣1化为：f（x）=2sin（2x+），从而可求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）由（1）知，f（x0）=2sin（2x0+）=，可求得sin（2x0+）=，继而可求得cos（2x0+）=﹣，而2x0=（2x0+）﹣，利用两角差的余弦即可求得cos2x0．解答：解：（1）由数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1，得f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），所以函数f（x）的最小正周期为π；∵2kπ﹣＜2x+＜2kπ+，k∈Z∴x∈（kπ﹣，kπ+），k∈Z又x∈[0，]，f（x）=2sin（2x+）在[0，]上的单调递增区间为（0，）；（2）由（1）知，f（x0）=2sin（2x0+），∵f（x0）=，∴sin（2x0+）=，由x0∈[，]，得2x0+∈[，]．从而cos（2x0+）=﹣=﹣∴cos2x0=cos[（2x0+）﹣]=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=．点评：本题考查二倍角的正弦与余弦及三角函数间的关系，考查正弦函数的单调性及周期性，考查两角差的余弦，属于中档题．20．（10分）（2011•福建模拟）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交与点A，与钝角α的终边OB交于点B（x B，y B），设∠BAO=β．（1）用β表示α；（2）如果，求点B（x B，y B）的坐标；（3）求x B﹣y B的最小值．任意角的三角函数的定义；基本不等式；圆方程的综合应用．考点：综合题．专题：分（1）作出图形，结合图形由，能求出．析：（2）由，r=1，得=．由此能求出点B（x B，y B）的坐标；（3）【法一】，由此能求出x B﹣y B的最小值．【法二】由α为钝角，知x B＜0，y B＞0，x B2+y B2=1，x B﹣y B=﹣（﹣x B+y B），（﹣x B+y B）2≤2（x B2+y B2）=2，由此能求出x B﹣y B的最小值．解解：（1）如图，∵，答：∴．4分（2）由，又r=1，得=．7分由钝角α，知，∴.9分（3）【法一】，又，，∴x B﹣y B的最小值为13分【法二】α为钝角，∴x B＜0，y B＞0，x B2+y B2=1，x B﹣y B=﹣（﹣x B+y B），（﹣x B+y B）2≤2（x B2+y B2）=2，∴，∴x B﹣y B的最小值为．13分点评：本题考查三角函数的性质和应用，综合性强，是高考的常见题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等变换的灵活运用．21．（14分）（2011•黄浦区二模）已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x 的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a＞1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）时，函数值组成的集合为[1，+∞），求实数a、b 的值．考点：对数函数的单调性与特殊点；对数函数的值域与最值．专题：综合题；转化思想．分析：（1）由奇函数的性质，可得f（x）+f（﹣x）=0，代入函数的解析式，转化为方程f （x）+f（﹣x）=0在区间D上恒成立，进而求解；（2）令，先求出该函数在定义域D内的单调性，然后利用复合函数的单调性，求出f（x）的单调性．（3）首先由A⊆D，求出a、b的范围，进而结合（2）中的结论，确定函数f（x）的单调性，然后利用函数的单调性确定函数的最值，结合已知，解方程求出a，排除b ＜1的情况，最终确定b的值．解答：解（1）∵y=f（x）是奇函数，∴对任意x∈D，有f（x）+f（﹣x）=0，即．（2分）化简此式，得（m2﹣1）x2﹣（2m﹣1）2+1=0．又此方程有无穷多解（D是区间），必有，解得m=1．（4分）∴．（5分）（2）当a＞1时，函数上是单调减函数．理由：令．易知1+x在D=（﹣1，1）上是随x增大而增大，在D=（﹣1，1）上是随x增大而减小，（6分）故在D=（﹣1，1）上是随x增大而减小．（8分）于是，当a＞1时，函数上是单调减函数．（10分）（3）∵A=[a，b）⊆D，∴0＜a＜1，a＜b≤1．（11分）∴依据（2）的道理，当0＜a＜1时，函数上是增函数，（12分）即，解得．（14分）若b＜1，则f（x）在A上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是[1，+∞）的要求．（也可利用函数的变化趋势分析，得出b=1）∴必有b=1．（16分）因此，所求实数a、b的值是．点评：本题主要考查对数函数的单调性和奇偶性、求函数值域、恒成立等知识，以及运算求解能力．在解答过程当中，分析问题的能力、运算的能力、问题转换的能力以及分类讨论的能力都得到了充分的体现，值得同学们体会反思．。

上海市金山中学2024-2025学年高一数学上学期期中试题一．填空题（本大题共有12小题，满分54分）.1不等式21<-x 的解集为_______..2集合{}N x x x A ∈<≤-=,41可用列举法表示为__________. .3设{}{}y x y x B y x y x A =-=-==21),(,52),(，则_____=B A ..4方程631=+x 的解为_____=x ..5“0=a ”是“关于x 的方程b ax =无解”的_________条件. .6满意{}4321,,,a a a a A ⊆⊂φ的集合A 有__________个. .7已知a =2log 3，则______96log 2=.（用a 的代数式表示）.8已知1lg lg =+b a ，则b a +2的最小值为_________..9已知21,,0x x a >为方程022=++a x x 的两个实数根，则2111x x +的取值范围为______. .10已知集合{}{}9,02322=+-==+-=a ax x x B x x x A ，且A B A = ，则实属a 的全部取值组成的集合为___________..11设集合集合,21⎭⎬⎫⎩⎨⎧==-x y x M ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤--+-+-==21),2)(1()1)(111(x x m x m y y N ，若M N ⊆,则实数m 的取值范围是_________..12若对于两个实数集合,,Y X 集合的运算Y X ⊕定义为：{}Y y X x y x Y X ∈∈+=⊕,，集合的运算Y X ⊗的定义为：{}Y y X x y x Y X ∈∈⋅=⊗,.已知实数集合{}{}Q b Q a b a x x Y Q b Q a b a x x X ∈∈+==∈∈+==,,3,,,2，试写出一个实数m ，使得Y X m ⊗∈但Y X m ⊕∈,则_____=m 二．选择题（本大题共有4题，满分20分）.13设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件 .14若R b a ∈,，且0>ab 。

上海金山中学2024届数学高一第二学期期末联考试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A ．7a =，3b =，30B = B ．6b =，52c =，45B = C ．10a =，15b =，120A = D ．6b =，63c =，60C =2．已知直线1:310l mx y m --+=与2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y +++=的一条动弦，且23AB =，则PA PB +的最小值是（ ）A ．22B ．42C ．222-D ．422-3．一个三棱锥A BCD -内接于球O ，且3AD BC ==，4AC BD ==，13AB CD ==则球心O 到平面ABC 的距离是（ ）A ．152B ．153C ．154D ．1564． “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A ．2B ．3C ．10D ．155．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin cos 0b A a B +=，则B =（ ）A ．135︒B ．60︒C ．45︒D ．90︒6．已知函数()sin()(,0)f x x x R ωϕω=+∈>相邻两个零点之间的距离为2π，将()y =f x 的图象向右平移8π个单位长度，所得的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的一个值可能是（ ） A ．πB ．2π C ．4π D ．4π-7．设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ,且6C π=，12a b +=，面积的最大值为（） A ．6B ．8C ．7D ．98．已知函数()()03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()()122f x f x ⋅=-，则12x x -的最小值为（ ）A ．2πB ．3π C ．πD ．4π 9．若变量,x y 满足约束条件20,{0,220,x y x y x y +≥-≤-+≥则2z x y =-的最小值等于 （ ）A ．52-B ．2-C ．32-D ．210．己知向量()1,2OA =-，()3,OB m =.若OA ⊥AB ，则m 的值为( ) A ．32B ．4C ．-32D ．-4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

上海市金山中学【精品】高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若2016α=︒，则α在第__________象限．2．已知扇形所在圆的半径为8，弧长为16，则其圆心角的弧度数为________． 3．已知tan 2α=，则sin cos sin 2cos αααα-=+____________．4．已知4(,),cos 25πθπθ∈=-，则sin 2θ=___________． 5．在△ABC 中，若cos cos a B b A =，则△ABC 的形状是_______． 6．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（,0,0,2x R A πωϕ∈>><）的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是___________.7．已知函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的最小正周期为π，则方程()1f x =在(0,]π上的解集为___________．8．已知锐角α、β满足sin α=，cos β=，则αβ+=________.9．函数cos 2sin ,[0,]y x x x π=+∈的最大值是___________． 10．设x cos α=，且3,44⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππα，则arcsin x 的取值范围是______. 11．某班设计了一个“水滴状”班徽（如图），徽章由等腰三角形ABC ，及以弦BC 和劣弧BC 所围成的弓形所组成，劣弧BC 所在的圆为三角形的外接圆，若,(0,)2A παα∠=∈，外接圆半径为1，则该图形的面积为____________．12．对于函数()f x ，在使()f x M ≥成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数()f x 的“下确界”，则函数22()sin sin csc csc f x x x x x =-+-的“下确界”为___________．二、单选题13．已知函数()22cos sin f x x x =-，下列说法错误的是（ ）A ．()cos2f x x =B ．函数()f x 的图象关于直线0x =对称C ．()f x 的最小值正周期为πD ．()f x 的对称中心为()0k k Z π∈，， 14．在ABC 中，3,2,3a c B π===，则b =（ ）A ．19B ．7C D15．已知cos 6x m π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos cos 3x x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ （ ）A ．2mB ．2m ±CD ．16．将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的，，有，则ϕ=（ ）A ．512πB ．3π C ．4π D ．6π三、解答题 17．已知tan()22απ+=，求cos()2πα+的值．18．已知函数f （x ）＝2sin xcos x cos2x ． （1）求f （x ）的最小正周期和单调递增区间； （2）当x ∈时，求函数f （x ）的最大值和最小值．19．如图，A B 、是单位圆O 上的动点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，设COA α∠=．（1）当点A 的坐标为34(,)55时，求sin 21cos 2αα+的值；（2）若03πα≤≤且当点A B 、在圆上沿逆时针方向移动时，总有3AOB π∠=，试求BC的取值范围．20．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,,cos 4210CAD AC ADB π∠==∠=-.（1）求sin C ∠的值；（2）若5BD =，求ABD ∆的面积.21．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD 的池底水平铺设污水净化管道（Rt FHE ∆三条边，H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口H 是AB 的中点，,E F 分别落在线段,BC AD 上，已知20AB =米，AD =BHE θ∠=.(1)试将污水净化管道的总长度L （即Rt FHE ∆的周长）表示为θ的函数，并求出定义域；(2)问θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.参考答案1．三 【解析】 【分析】将α表示为360k β⋅+的形式，从而确定α所在象限. 【详解】解：20165360216α=︒=⨯+， 因为180216270<<， 所以216的终边在第三象限， 故α在第三象限， 故答案为：三. 【点睛】本题考查终边角，将已知角先转化为0︒到360︒范围内，易知其在第几象限，是基础题. 2．2 【分析】设这个扇形的圆心角的弧度数为α，根据弧长公式，求解即可． 【详解】解：设这个扇形的圆心角的弧度数为α， 根据题意得1628α==， 即这个扇形的圆心角的弧度数为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题． 3．14【分析】分子分母同时除以cos α，将式子转化为用tan α表示，代入tan α的值即可. 【详解】解：由已知sin cos tan 1211sin 2cos tan 2224αααααα---===+++，故答案为：14.【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，将同角的正弦余弦齐次式转化为用正切来表示，是基础题.4【分析】利用公式2cos 12sin 2θθ=-，列方程求解．【详解】 解：(,),(,)2242πθππθπ∈∴∈， 所以sin02θ>，24cos 12sin 52θθ∴=-=-，解得s in2θ=． 【点睛】本题考查倍角公式的应用，是基础题． 5．等腰 【解析】利用正弦定理边化角得：sin cos sin cos sin (=0A B B A A B =⇒-）故A=B 所以△ABC 的形状是等腰 6．()2sin 6f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：由图可知2A =，15114632T =-=，得2T =，从而ωπ=，所以()()2sin f x x πϕ=+，然后将1,23⎛⎫⎪⎝⎭代入，得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又2πϕ<，得6πϕ=，因此，()2sin 6f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，注意最后确定ϕ的值时，一定要代入1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭，而不是5,06⎛⎫ ⎪⎝⎭，否则会产生增根.考点：三角函数的图象与性质. 7．11,412ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】由已知及周期公式可求ω，可解得：1sin()32x πω+=，由(0,]x π∈，可得72,333x πππ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，从而解得()1f x =在(0,]π上的解集． 【详解】解：∵由题意可得：2ππω=，解得：2ω=，()2sin(2)13f x x π∴=+=，可解得：1sin(2)32x π+=，∵(0,]x π∈，72,333x πππ⎛⎤∴+∈ ⎥⎝⎦， 5236x ππ∴+=或136π，即：11,412x ππ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭． 故答案为：11,412ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭． 【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质的简单应用，三角函数周期性及其求法，属于基础题． 8．4π. 【解析】 试题分析：由题意cos )cos ?cos sin ?sin αβαβαβαβ==+=-=+4παβ=.考点：三角函数运算. 9．98【分析】利用二倍角公式化简函数y ，根据正弦函数的值域与二次函数的性质即可求出函数y 的最大值． 【详解】解：2cos 2si 2sin sin 1n y x x x x =-+++=， 设sin t x =，[0,]x π∈，则01t ≤≤，原函数可转化为221212948y t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当14t =时，函数的最大值为98， 故答案为：98． 【点睛】本题考查了二倍角公式与正弦函数和二次函数的应用问题，是基础题目． 10．,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】通过cos α可求得x 的取值范围，接着利用反正弦函数的定义可得arcsin x 的取值范围. 【详解】3cos ,,44ππαα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦x ，cos 12α∴-，即12-x .由反正弦函数的定义可得arcsin 42ππ-x，即arcsin x 的取值范围为,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为： ,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查余弦函数的定义域和值域，反正弦函数的定义，属于基础题. 11．sin αα+ 【分析】分别求出扇形BOC 的面积，ABCS ，BOCS，进而可求出图形的面积．【详解】 解：如图：因为,A α∠=所以2,BOC α∠= 扇形BOC 的面积为21212αα⨯⨯=， 12sin (1cos )sin (1cos )2ABCS αααα=⨯⨯+=+， 111sin 2sin cos 2BOCSααα=⨯⨯⨯=， 则题中图形面积为sin (1cos )sin cos sin ααααααα++-=+， 故答案为：sin αα+． 【点睛】本题考查扇形的面积公式的应用，是基础题． 12．0 【分析】化简函数的表达式，然后换元，结合题意求出函数的下确界即可． 【详解】解：222211si (n sin sin sin )sin sin csc csc x x x f x x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝-+-⎭=211sin sin 2sin sin x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令1sin sin t x x=+， 则 2t ≥或 2t ≤-， 由题意2f ()2min((2),(2))0t t t f f =--≥-=， 所以()f t 有下界0，且0能够取到（在sin 1x =时取到）， 所以下确界就是0， 故答案为：0． 【点睛】本题是中档题，考查新定义的理解与应用，考查换元法的应用，正确应用定义是解题的关键，考查计算能力． 13．D 【分析】根据二倍角公式可知()22cos sin cos2f x x x x =-=，由余弦型函数的图象与性质可判定选项. 【详解】因为()22cos sin cos2f x x x x =-=，故A 正确；当0x =时，(0)1f =，所以函数()f x 的图象关于直线0x =对称，故B 正确；由22T ππ==,可知()f x 的最小值正周期为π，故C 正确；当x k π=时，()cos 21f k k ππ==，所以()f x 的对称中心不是()0k k Z π∈，，，故D 错误. 故选D 【点睛】本题主要考查了余弦型函数的图象与性质，余弦的二倍角公式，属于中档题. 14．D 【分析】根据题意，将,,a c B 的值代入余弦定理2222cos b a c ac B =+-中，可得2b 的值，进而可得b 的值，即可得答案． 【详解】解：根据题意，ABC 中，3,2,3a c B π===， 则2222cos 9467b a c ac B =+-=+-=，即b =故选：D ．【点睛】本题考查余弦定理的应用，熟练运用余弦定理是解题的关键．15．C【分析】 先利用两角和公式把cos 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭展开后加上cos x 整理，进而利用余弦的两角和公式化简，把cos 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭的值代入即可求得答案． 【详解】解：cos cos 31cos cos 22x x x x x π⎛⎫+-=++ ⎪⎝⎭1sin 26x x x π⎫⎛⎫=+=-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了利用两角和与差的余弦化简整理，考查了学生对三角函数基础公式的熟练应用．16．D【解析】试题分析：向右平移个单位后，得到，又∵，∴不妨，，∴，又∵，∴，故选D.考点：三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等. 17．45- 【分析】 先求出tan2α，再将cos()2πα+用tan 2α表示出来，代入tan 2α的值即可． 【详解】 解：由已知tan tan 222ααπ⎛⎫+== ⎪⎝⎭， 2222sin cos 2tan 224222cos sin 2415sin cos tan 1222αααααααπα⨯⎛⎫∴+=-=-=-=-=- ⎪+⎝⎭++． 【点睛】本题考查诱导公式，考查同角三角函数基本关系，重点是将正弦余弦转化为切来表示，是基础题． 18．（1）最小正周期为π，单调增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z （2）()max 2f x =，()min f x =【解析】试题分析：（1）由()2sin cos 2f x x x x =，观察函数解析式，可联想二倍角公式及两角和差公式进行恒等变形，得：2sin(2)3y x π=-，可分别求出函数的周期和单调区间. （2）有x ∈时：可求出：22333x πππ-≤-≤的取值范围．利用三角函数图像可得，函数的最值.试题解析：（1）cos2x=2sin(2x-3π) ∴ T=π由-2π+2kπ≦2x-3π≦2π+2kπ， -12π+kπ≦x ≦512π+kπ ∴ f(x)的单调增区间为：5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k z ∈ （2）02x π≤≤∴22333x πππ-≤-≤sin 213x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭∴()()max min 2,f x f x == 考点：1.三角函数的恒等变形及函数性质（整体思想）；2.三角函数的性质.19．（1）43；（2）1||BC ≤≤【分析】（1）根据三角函数定义以及点A 的坐标，求出sin ,cos αα，再根据二倍角公式，分别求出sin 2,cos 2αα，代入计算即可；（2）先表示出点B 的坐标，根据点与点的距离公式，根据三角函数的图象和性质即可求出，BC 的取值范围．【详解】解：（1）因为当点A 的坐标为34(,)55， 43sin ,cos 55αα∴==， 2724cos 22cos 1,sin 22sin cos 2525ααααα∴=-=-==， 24sin 22571cos 224531αα∴==+-； （2）cos ,sin 33B ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(1,0)C ， 222||cos 1sin 22cos 333BC πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，03πα≤≤，2333πππα∴≤+≤， 11cos 232πα⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭， 122cos 33πα⎛⎫∴≤-+≤ ⎪⎝⎭，1||BC ∴≤≤【点睛】本题考查了三角函数的定义，二倍角的计算，以及点与点的距离公式和三角函数的图象与性质，属于基础题．20．（1）45；（2）7. 【详解】试题分析：（1）先由cos ADB ∠=sin ADB ∠=再利用两角差的正弦公式将sin sin 4C ADB π⎛⎫∠=∠- ⎪⎝⎭展开，代入求值即可；（2）由正弦定理sin sin AD AC C ADC =∠∠得到AD 的值，再利用三角形面积公式即可.试题解析：（1）因为cos 10ADB ∠=-，所以sin 10ADB ∠=. 又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-.所以4sin sin sin cos cos sin 4441021025C ADB ADB ADB πππ⎛⎫∠=∠-=∠⋅-∠⋅=+= ⎪⎝⎭.（2）在ACD ∆中，由sin sin AD AC C ADC=∠∠，得74sin sin 10AC C AD ADC ⨯⋅∠===∠所以11sin 572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⨯⨯=. 考点：1、两角差的正弦余弦公式；2、正弦定理及三角形面积公式.21．（1）sin θcos θ1L 10sin θcos θ++=⨯⋅，ππθ,.63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； （2）πθ6=或πθ3=时，L 取得最大值为)201米．. 【分析】（1）解直角三角形求得得EH 、FH 、EF 的解析式，再由 L=EH +FH +EF 得到污水净化管道的长度L 的函数解析式，并注明θ的范围．（2）设sinθ+cosθ=t ，根据函数 L=201t - 在[12]上是单调减函数，可求得L 的最大值．所以当t =πθ6= 或πθ3= 时，L 取得最大值为)201+米． 【详解】 ()1由题意可得10EH cos θ=，10FH sin θ=，10EF sin θcos θ=，由于 BE 10tan θ=≤10AF tan θ=≤tan θ≤≤ππθ,63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 101010L cos θsin θsin θcos θ∴=++，ππθ,.63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即sin θcos θ1L 10sin θcos θ++=⨯⋅，ππθ,.63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ()2设sin θcos θt +=，则2t 1sin θcos θ2-=，由于ππθ,63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π1sin θcos θt θ.42+⎛⎫∴+==+∈ ⎪⎝⎭⎣由于20L t 1=-在⎣上是单调减函数，∴当t =时，即πθ6=或πθ3=时，L 取得最大值为)201米． 【点睛】三角函数值域得不同求法：1.利用sin x 和cos x 的值域直接求2.把所有的三角函数式变换成()sin y A x ωϕ=+ (),0A ω≠的形式求值域3.通过换元，转化成其他类型函数求值域。

上海市金山中学2013-2014学年高一数学下学期期末考试试题一．填空题（本大题满分36分，每小题3分） 1．计算=++∞→212limn n n 。

2．在等差数列{}n a 中，若10154=+a a ，则前18项的和=18S _________。

3．已知tan 2θ=，θ是第三象限角，则sec θ= 。

4. 在等比数列}{n a 中，121=+a a ，854=+a a ，则=+1110a a ____________。

5. 已知32)tan(=+βα，71)4tan(=-πβ，则=+)4tan(πα___________。

6．函数()3tan log 21-=x y 定义域为_____________________。

7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，236n n S S +-=，则=n _____。

8．等差数列}{n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为________。

9．在数列{}n a 中，已知11a =，()11sin 2n n n a a π++-=，记nS为数列{}n a 的前n 项和，则2014S =__________。

10．若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q )1(-≠q ，则==∞→}lim|{2nnn S S x x _________。

11．有以下四个命题： ① 在ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件；② “ac b =”是“c b a ,,成等比数列”的必要非充分条件；③ 在n 无限增大的变化过程中，如果无穷数列}{n a 中的项n a 越来越接近于某个常数c ，那么称c 是数列}{n a 的极限；④函数],0[,cos π∈=x x y 的反函数叫做反余弦函数，记作]1,1[,arccos -∈=x x y 。

其中正确命题的序号为__________________。

2022-2023学年上海市金山中学高一下学期3月素养检测（一）数学试题一、填空题1．与角终边相同的最小正角为__________（用弧度数表示）．560-︒【答案】##89π8π9【分析】根据终边相同的角的概念即可直接得出结果.【详解】与角终边相同的最小正角为，即．560-︒5603602160︒︒-=-⨯+︒89π故答案为：.89π2．已知________．sin cos αα-=sin 2α=【答案】79【分析】平方，结合同角三角函数平方关系即正弦二倍角公式求解.sin cos αα-=【详解】两边平方得：sin cos αα-=，()22sin cos 12sin cos 1sin 29ααααα-=-=-=解得：.7sin 29α=故答案为：793．已知是第二象限角，则终边在第__________象限.α2α【答案】一或三【分析】根据象限角的范围即可求出结果.【详解】由题意知，π2ππ2π,Z 2k k k α+<<+∈则，ππππ,Z422k k k α+<<+∈当时，，2,Z k n n =∈ππ2π2π,Z422n n n α+<<+∈此时终边在第一象限，2α当时，，21,Z k n n =+∈5π3π2π2π,Z422n n n α+<<+∈此时终边在第三象限.2α所以终边在第一和三象限.2α故答案为：一或三.4．在中，若，，______．ABC 3b =2c =sin C =B =【答案】或π43π4【分析】根据正弦定理即可求解.【详解】根据正弦定理可得：sin sin b c B C=3sin B =sin B ，且，或0πB << b c >π4B ∴=3π4B =故答案为：或π43π45在内的解集__________.()31x =π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】3π11π,412⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】根据正弦函数图像性质即可求出结果.【详解】()()31,sin 3x x =∴=，或，π32π4x k ∴=+3π32π4x k =+，或π2π123k x ∴=+π2π,43k x =+.π3π11π,π,,2412x x ⎛⎫⎧⎫∈∴∈⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭ 故答案为：.3π11π,412⎧⎫⎨⎬⎩⎭6．已知，那么__________.()πsin 21,0,2f x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭πcos 5f ⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】3π15+【分析】根据诱导公式代入即可得结果.【详解】，πππ3π3π3πcos sin sin 21152510105f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：.3π15+7．已知函数是定义在上的奇函数，对任意，有，若()f x R 12,(0,)x x ∈+∞()()12120f x f x x x ->-，则的解集为________．()10f =()0f x >【答案】()()1,01,-⋃+∞【分析】根据函数为奇函数,由已知得函数在上单调递增，则函数在上单()f x ()0,∞+()f x (),0∞-调递增，又，可得函数大致图象，结合图象即可得解集.()()110f f -=-=【详解】已知是定义在上的奇函数，则，且()f x R ()()f x f x =--()00f =又对任意且，都有，12,(0,)x x ∈+∞12x x ≠()()12120f x f x x x ->-不妨设，则，所以，即，120x x <<120x x -<()()120f x f x -<()()12f x f x <所以函数在上单调递增，则函数在上单调递增，()f x ()0,∞+()f x (),0∞-又，所以，()10f=()()110f f -=-=则函数的大致图象如下图：()f x 根据图象可得不等式的解集为：.()0f x >()()1,01,-⋃+∞故答案为：.()()1,01,-⋃+∞8．在中，、、分别为角的对边，且满足，则角AABC a b c 、、A B C 274cos cos 2()22A B C -+=的大小是______. 【答案】##π360︒【分析】根据题意结合三角恒等变换运算求解即可得答案.【详解】由，即，故πA B C ++=πB C A +=-()22π2B C A+=-则()()2221cos 4cos cos 2()4cos 2π222cos cos 222cos 2cos 12cos 2cos 22A ABC A A A A A A A +-+=⨯--=+-=+--=-++，可得，解得，24cos 4cos 10A A -+=1cos 2A =因为，所以.0πA <<π3A =故答案为：.π39．已知，则的值为____________．πsin cos 6αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】13-【分析】化简得到，，计算得到答案.π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭7ππsin sin 66αα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】π13sin cos sin sin sin 622ααααααα⎛⎫+-=++==⎪⎝⎭即，.π6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭7ππ1sin sin 663αα⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：13-10．已知函数若，且，则的取值范围()12,02,0x x x f x x +⎧-≥=⎨<⎩123x x x <<()()()123f x f x f x ==()2123x f x x x +是____________．【答案】10,4⎛⎤⎥⎝⎦【分析】画出函数的图象，并根据方程根的个数确定每个根对应的取值范围，即可求得表达()f x 式的取值范围()2123x f x x x +【详解】画出函数的图象如下：()f x观察图象由对称性可得，即2322x x +=234x x +=又，，202x <<()()12f x f x =则()()()()2212222222232024442x f x x f x x x x x x x x -===-+<<+令，由二次函数图象可知，()2202(),4x xg x x =-<<+，，max 111()(1)424g x g ==-+=()(0)0g x g >=∴的取值范围为.()2123x f x x x +10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦故答案为：10,4⎛⎤⎥⎝⎦11．已知是边长为2的等边三角形.如图，将的顶点与原点重合，在轴上，然ABC ABC A AB x 后将三角形沿着顺时针滚刓，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一x Ax A 个周期”，给出以下四个结论：①一个周期是6；②完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆；③完成一个周期，顶点的轨迹A A 长度是；④完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是；其中说法正确的是8π3A x 8π3__________.【答案】①③【分析】根据题目分析出图像的运动情况，画出简图，可以得到一个周期为6，可以判断①正确：根据运动情况完成一个周期，顶点的轨迹是两段曲线，不是半圆，可以判断②错误；利用弧长A 公式可以判断③正确；利用面积公式可以判断④错误.【详解】如下图：沿着轴顺时针滚动完成一个周期的过程如下：ABC x 第一步，绕点顺时针旋转至线段落到轴上位置，ABC B BC x 11B C 得到，此时顶点的轨迹是以为圆心，111A B C △A B 为半径的一段圆弧，AB即顶点由原点沿运动至位置；A O1AA 1A 第二步，绕点顺时针旋转至线段落在轴上位置，111A B C △1C 11C A x 22C A 得到，此时顶点的轨迹是以为圆心，222A B C △A 1C 为半行的一段圆弧，11C A 即顶点由沿运动至位置，落到轴，完成一个周期.A 1A 12A A 2A x 对于①，，11222AB B C C A === 所以一个周期，故①正确：26AA =对于②，完成一个周期，顶点的轨迹是和组成的曲线，A 1AA12A A 不是半圆，故②错误；对于③，由已知，111111π3A B C A C B ∠=∠=11122π3A BA A C A ∴∠=∠=的㧓长，1AA ∴114π3l A BA BC =∠⋅=的弧长，12A A 2112114π3l A C A C A =∠⋅=完成一个周期，顶点的轨迹长度为，∴A 4π4π8π333+=故③正确；如图④，完成一个周期，顶点的轨迹与软围成的图形为扇形A x 1BAA ，扇形与的面积和，112C A A 111A B C △，11122π3A BA A C A ∠=∠= ，1112212π4π2233BAA C A A S S ∴==⨯⨯=扇形扇形等边边长为1112,A B C S ∴=扇形完成个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是：∴A x，4π4π8π333+=故④错误.故答案为：①③.12．已知，，则的最大值为________.,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()sin 22sin αββ+=tanβ【分析】依题意利用和差角公式将其变形为，整理可得，tan tan 3tan 1tan tan αβααβ+=-⋅22tan tan 13tan αβα=+再利用基本不等式计算可得.【详解】解：，，,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ()sin 22sin αββ+=，，，()()sin 2sin αβααβα⎡⎤⎡⎤∴++=+-⎣⎦⎣⎦tan 0α>tan 0β>，()()()()sin cos cos sin 2sin cos cos sin αβααβααβααβα⎡⎤∴+++=+-+⎣⎦即，()()3cos sin sin cos αβααβα+=+，即，()tan 3tan αβα∴+=()tan tan tan 3tan 1tan tan αβαβααβ++==-⋅所以，22tan 2tan 113tan 3tan tan αβααα==≤=++当且，即，等号成立，．13tan tan αα=tan α=tan β二、单选题13．下列说法正确是（ ）A ．角60和角600是终边相同的角B ．第三象限角的集合为3ππ2π2π,Z 2k k k αα⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭∣C ．终边在轴上角的集合为y ππ,Z 2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭∣D ．第二象限角大于第一象限角【答案】C【分析】根据终终边相同角的表示，可以判断A 错误，C 正确；根据象限角的表示可以判断B 错误；举特例可以判断D 错误.【详解】，与终边不相，故A 错误；600360240︒=︒+︒60︒第三象限角的集合为，故B 错误；3ππ2π2π,Z 2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭∣终边在轴上角的集合为，y π3π2π,Z 2π,Z 22n n n n αααα⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭ ∣∣即，ππ2π,Z (21)π,Z 22n n n n αααα⎧⎫⎧⎫=+∈=++∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭ ∣∣即，故C 正确；ππ,Z 2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭∣是第二象限角，第一象限角，，120︒390︒120390︒<︒故D 错误；故选：C.14．已知，其中，则（ ）()cos sin x x A x β+=-()0,0,2πA β>∈β=A ．B ．C ．D ．2π35π67π64π3【答案】C【分析】利用辅助角公式化简即可求出结果.【详解】()15πcos 2cos 2sin sin 26x x x x x A x β⎛⎫⎛⎫+=+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5π2π6k β∴-=+，()0,2πβ∈.7π6β∴=故选:C.15．在平面直角坐标系中，为第四象限角，的终边与以2为半径的圆交于点，xOy ααO ()00,P x y 若，则（ ）π4cos 65α⎛⎫+=⎪⎝⎭0x =A B C D 【答案】A【分析】由三角函数的定义知，因为，所以利用两角差的余弦02cos x α=ππcos cos 66αα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦公式可求.【详解】在平面直角坐标系中，为第四象限角，xOy α角的终边与半径为2的圆交于点，()00,P x y 02cos x α∴=ππππ2π,2π,2π,2π,Z2636k k k k k αα⎛⎫⎛⎫∈-∴+∈-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,π4cos 65α⎛⎫+=< ⎪⎝⎭ 22ππcos sin 166αα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,ππ2π,2π,Z 63k k k α⎛⎫∴+∈-∈ ⎪⎝⎭π3sin 65α⎛⎫∴+=-⎪⎝⎭0ππππ2cos 2cos 2cos cos 2sin sin 6666x αααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.0x =故选:A16．已知，，，，满足，，，有以下个a b αβ∈R sin cos a αβ+=cos sin b αβ+=2204a b <+≤2结论：①存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数；a b ∈R ()sin αβ+②存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数.b a ∈R ()cos αβ-下列说法正确的是（ ）A ．结论①、②都成立B ．结论①不成立、②成立C ．结论①成立、②不成立D ．结论①、②都不成立【答案】B【分析】根据三角恒等变换的知识，分别将和用，表示即可.()sin αβ+()cos αβ-a b 【详解】对于结论①，∵，，sin cos a αβ+=cos sin b αβ+=∴，，222sin 2sin cos cos a ααββ=++222cos 2cos sin sin b ααββ=++∴，()2222sin cos 2cos sin 22sin a b αβαβαβ+=++=++∴，()222sin 2a b αβ+-+=∴当为常数，时，不是一个常数，故结论①不成立；a b ∈R ()222sin 2a b αβ+-+=对于结论②，方法一：∵()()sin cos cos sin ab αβαβ=++sin cos sin sin cos cos sin cos αααβαβββ=+++()cos sin cos sin cos αβααββ=-++又∵()()sin cos αβαβ+-()()sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβαβαβ=++2222sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin ααβαββαββααβ=+++()()2222sin cos sin cos sin cos sin cos ββααααββ=+++sin cos sin cos ααββ=+∴()cos sin cos sin cos ab αβααββ=-++()()()cos sin cos αβαβαβ=-++-()()22cos cos 22a b αβαβ+-=-+-化简得，()222cos ab a b αβ-=+∴存在常数，对任意的实数，使得，故结论②成立.0b =a ∈R ()cos 0αβ-=方法二：（特值法）当时，，π2αβ=+cos sin cos sin sin π2sin 0b βαββββ +⎛⎫=+=+=-+=⎪⎝⎭∴，∴.π2αβ-=()cos cos 0π2αβ-==∴存在常数，对任意的实数，使得，故结论②成立.0b =a ∈R ()cos 0αβ-=故选：B.【点睛】本题中结论②的判断，使用常规三角恒等变换的方法运算量较大，对于存在性结论，使用特值法可以有效验证其正确性，减少运算量.三、解答题17．已知，求：sin 2cos αα=(1)化简；()()πcos 2sin 2πcos 2π5πsin 2αααα⎛⎫- ⎪⎝⎭--⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)求的值.2sin2sin sin cos cos21ααααα+--【答案】(1)45(2)1【分析】（1）利用平方关系和诱导公式即可求出结果；（2）根据商数关系结合齐次式即可求出结果.【详解】（1）因为，，sin 2cos αα=22sin cos 1αα+=所以，即，22sin sin 12αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭24sin 5α=.()()2πcos sin 42sin 2πcos 2πsin cos sin 5πcos 5sin 2ααααααααα⎛⎫- ⎪⎝⎭--===⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2），sin tan 2cos ααα== 2sin2sin sin cos cos21ααααα∴+--()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+---222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+-.222tan tan tan 2221222ααα=+-⨯==+-18．已知，，，.π02α<<π02β-<<tan 7α=sin β=(1)求的值；()cos αβ-(2)求的值，并确定的大小.tan(2)αβ-2αβ-【答案】(1)(2)，1-3π4【分析】（1）由解得，由求出，利用两角差的余弦公式求解tan αsin ,cos ααsin βcos β的值；()cos αβ-（2）由，求出，再求，利用两角差的正切公式计算的值，并得sin βcos βtan βtan 2βtan(2)αβ-到的大小.2αβ-【详解】（1），由，，π02α<< 22sin tan 7cos sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩sin α∴cos α=又，，，π02β-<< sin β=cos β∴=cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴-=+==（2）由（1）可知，，，1tan 2β=-22tan 4tan 231tan βββ∴==--，tan tan 2tan(2)11tan tan 2αβαβαβ-∴-==-+，.3π022αβ<-< 3π24αβ∴-=19．如图，点是锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得逆时针旋转得0P α0OP 3π11,OP OP 3π逆时针旋转得.21,,n OP OP -⋯3πn OP (1)若的坐标为，求点的横坐标；0P 34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭1P (2)若点的横坐标是，求的值.()*31n P n +∈N 452tan 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(2)247±【分析】（1）根据三角函数定义结合和差公式可得；（2）根据三角函数定义和诱导公式，分类可求得，然后由平方关系和二倍角公式可得.πcos(3α+【详解】（1）因为点，根据三角函数的定义可得，034,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭43sin ,cos 55αα==根据题意可知点的横坐标为：1Pπππ314cos cos cos sin sin 333525ααα⎛⎫+=-=⨯-= ⎪⎝⎭（2）根掂题意可知点的横坐标为，31n P +()31ππ4cos cos 335n n απα⎛⎫+⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ5π,336α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭当为奇数时，有，所以，n π4cos 035α⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭ππ5π,326α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭π3sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以，π3tan 34α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以.2π2tan 2ππ243tan 2tan 2π3371tan 3αααα⎛⎫+ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=+==- ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦-+ ⎪⎝⎭当为偶数时，有，所以，n π4cos 035α⎛⎫+=> ⎪⎝⎭πππ,332α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭π3sin()35α+=所以，π3tan 34α⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以.2π2tan 2ππ243tan 2tan 2π3371tan 3αααα⎛⎫+ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=+== ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦-+ ⎪⎝⎭20．如图所示是某斜拉式大桥图片，为了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图（1）所示的模型，其中桥塔与桥面垂直，通过测量得AB CD ､AC 知，当为中点时，.50m,50m AB AC ==P AC 45BPD ∠=︒(1)求的长；CD (2)设，写出与的函数关系式；AP x =tan BPD ∠x (3)已知命题：函数在内为严格增函数；求证该命题为真命题，并用该命题求解tan y x =π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭在线段的何处时，达到最大，最大值为多少？P AC BPD ∠【答案】(1)75m(2)()225100tan ,050503750x BPD x x x +∠=<<-+(3)证明见解析，时，最大值为100AP =-BPD∠【分析】(1)利用两角和的正切公式结合条件即得；(2)利用两角和的正切公式即可求出结果；(3)利用函数单调性定义即可进行证明；再结合基本不等式求出结果.【详解】（1）设，,,BPA DPC CD h ∠α∠β===则，tan 2,tan 25hαβ==由，()()225tan tan 1804511225hh αβ++==︒-︒=--⋅解得m ；75CD h ==（2）设，则，(050)AP x x =<<5075tan ,tan 50x x αβ==-所以.()()250752510050tan tan ,0505075503750150x x x BPD x x x x x αβ++-∠=-+==<<-+-⋅-（3）任取，且，12π,0,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭12x x <，()1212122112121212sin sin sin sin cos sin cos tan tan 0cos cos cos cos cos cos x x x x x x x x x x x x x x x x ---=-==<所以命题成立.因为，所以，即为锐角，25037500x x -+>tan BPD ∠BPD ∠令，则，()100100,150t x =+∈100x t =-所以，()222525tan (100)50100507525018750t t BPD t t t t ∠==---+⨯-+所以，25tan 50375250BPD t t ∠=≤=⨯+-当且仅当时，即，18750t t =()100,150t =所以时，最大,最大值为100AP =BPD ∠21．已知函数，其中为常数.()245f x x ax =-+a(1)该函数在严格单调，求的取值范围；[]1,1x ∈-a (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围；()1,2,1212x f x ⎡⎤∈≤≤⎢⎥⎣⎦a (3)若方程在内有且仅有三个互异实数解，求实数的取值范围.()2sin 0f x =5π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭a 【答案】(1)(][),88,∞∞--⋃+(2)[]0,8(3)219,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据二次函数的单调性即可求出结果；（2）分离参数转化为求函数的最大值，即可求出结果；（3）令，然后对根的情况进行分类讨论即可得出结果.2sin t x =【详解】（1）由题意知或，解得或，18a ≥18a ≤-8a ≥8a ≤-所以的取值范围为.a (][),88,∞∞--⋃+（2）任意的恒成立，()1,2,1212x f x ⎡⎤∈≤≤⎢⎥⎣⎦即对任意的恒成立16444x a x x x -≤≤+1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因办在上单调递增，()164g x x x =-1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，()max ()20g x g ==令，由基本不等式可知，当且仅当时取等号，()44h x x x =+448x x +≥1x =所以，min ()8h x =所以，即实数的取值范围是.08a ≤≤a []0,8（3）令，则方程，即，2sin t x =()2sin 0f x =2450t at -+=设是方程的两根，()1212,t t t t <2450t at -+=1254t t =根据在的图像可知，2sin t x =5π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭方程在内有且只有三个实数解等价于且.()2sin 0f x =5π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭11t =212t <<或且，或且，101t <<212t <<112t <<22t =令，对称轴为，且.()245m t t at =-+8a t =1254t t =①当且时，11t =212t <<()()219022120128Δ800m a m a a a ⎧⎪⎪=-=⎪⎪=->⎨⎪⎪<<⎪⎪=->⎩解得；9a =②当且时，101t <<212t <<，()()()0519022120m m a m a ⎧=⎪=-<⎨⎪=->⎩解得；2192a <<③当且时，与相矛盾，不合题意.112t <<22t =1254t t =综上，实数的取值范围.a 219,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．。

上海金山中学2024届高一数学第二学期期末考试模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知10a -<< ，则三个数3a 、13a 、3a 由小到大的顺序是（ ） A ．1333a a a << B ．1333a a a << C ．1333aa a <<D ．1333a a a <<2．若实数a 、b 满足条件a b >，则下列不等式一定成立的是( ) A ．11a b< B ．22a b > C ．2ab b > D ．33a b >3．已知l ，m 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥ B ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ C ．若//l m ，m α⊂，则//l α D ．若//l α，m α⊂，则//l m4．已知2()sin(),36f x x x N ππ=+∈，则()f x 的值域为 A ．11,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．11,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭C ．1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．11,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭5．如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是（ ） A ．11<a bB ．2ab<bC ．22ac <bcD ．22a ab b >>6．已知直线a b ，，平面α，且a α⊥，下列条件中能推出a b ∥的是（ ） A ．b αB ．b α⊂C ．b α⊥D ．b 与α相交7．若m 是2与8的等比中项，则m 等于( ) A ．12B ．4±C ．4-D ．328．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22S =，46S =，则6S =（） A ．14B ．18C ．36D ．609．若{}n a 是等比数列，下列结论中不正确的是（ ）A ．{}3n a 一定是等比数列；B ．21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是等比数列；C ．{}1n n a a ++一定是等比数列；D ．{}3n n a a +一定是等比数列10．正项等比数列{}n a 与等差数列{}n b 满足11a b =，77a b =，17a a ≠，则44ab ，的大小关系为（ ） A ．44a b =B ．44<a bC ．44a b >D ．不确定二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

上海市金山中学2012-2013学年高一数学下学期阶段检测试题沪教版考试时间 90分钟 满分100分一、填空题（共12小题，每小题3分，共36分） 1、如果αcos ＝35，且α是第四象限的角，那么αsin ＝ ． 2、函数31xy =+(0)x ≥的反函数是 ．3、函数)12arcsin(-=x y 的定义域为__________．4、幂函数()f x 的图像经过(2,4)，则(3)f = ________．5、方程1139x -=的解是 ． 6、已知函数121)(+-=xa x f ，且)(x f 为奇函数，则=a ． 7、已知3sin 5α=-,732ππα<<，则tan 2α的值为___________．8、已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<），它的一个对称中心到最近的对称轴之间的距离为4π，且函数()f x 的图像过点(,0)6π-，则()f x 的解析式为 ．9、定义运算 a b m am bn c d n cm dn +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭．已知11sin 20cos u v αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则函数1()2y u v =+的最大值为_________．10x 的方程()f x k =有3个不同的实根，则实数k 的取值范围是_________________． 11、已知函数3()sin tan,(1,1)2xf x x x x =++∈-，则满足不等式(1)(21)0f a f a -+-<的实数a 的取值范围是__________________． 121的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块与桌面成30o角，则点A 走过的路程是_______________．二、选择题（共4小题，每小题3分，共12分）13、在直角坐标系xOy 中，点A 是单位圆O 与x 轴正半轴的交点，射线OP 交单位圆O 于点P ，若AOP θ∠=，则点P 的坐标是………………………………………………… ( ） A ．()cos ,sin θθ B ．()cos ,sin θθ-C ．()sin ,cos θθD ．()sin ,cos θθ-14、已知tan α、tan β是方程04332=++x x 的两根，且)2,2(,ππβα-∈，则=+βα……………………………………………………………………………………( ) A ．3π或32π- B ．3π-或32π C ．32π- D ．3π15、下列命题中正确的是 …………………………………………………………………( ） ①存在实数α，使等式23cos sin =+αα成立；②函数()tan f x x =有无数个零点；③函数)23sin(x y +=π是偶函数；④方程1tan 3x =的解集是12arctan ,3x x k k Z π⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；⑤把函数()2sin 2f x x =的图像沿x 轴方向向左平移⑥在同一坐标系中，函数sin y x =的图像和函数y x =的图像只有1个公共点．A ．②③④B ．③⑤⑥C ．①③⑤D ．②③⑥16、定义函数D x x f y ∈=)(（定义域），若存在常数C ，对于任意D x ∈1，存在唯一的D x ∈2，则称函数)(x f 在D 上的“均值”为C ．已知x x f lg )(=，]100,10[∈x ，则函数)(x f 在]100,10[上的均值为……………………………………（ ）A B ．10三、解答题（第17题8分，第18题10分，第19题10分，第20题12分，第21题12分，共52分）17、解方程222log (4)log (1)1log (1)x x x ++-=++．18、在ABC ∆中，3,sin 2sin BC AC C A ===． (1)求边长AB 的值； (2)求ABC ∆的面积．19、已知函数()f x =2)sin()2cos 12x x x ππ-++-.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.20、已知函数2()sin cos f x x a x a =++，a ∈R . (1)当1a =时，求函数()f x 的最大值；(2)上的任意一个x ，都有()1f x ≤成立，求a 的取值范围.21、定义区间(),m n ，[],m n ，(],m n ，[),m n 的长度均为n m -，其中n m >． （1）求关于x 的不等式34270x x +-+<的解集构成的区间的长度；（2）若关于x 的不等式221230ax x -->，求实数a 的值；（3）已知关于x 的不等式2sin cos 0x x x b ++>，[]0,x π∈的解集构成的各区间的长度和超过3π，求实数b 的取值范围．2012学年第二学期阶段检测试卷高一年级 数学学科考试时间 90分钟 满分100分一、填空题（共12小题，每小题3分，共36分） 1、如果αcos ＝35，且α是第四象限的角，那么αsin ＝ 45- ． 2、函数31xy =+(0)x ≥的反函数是 3log (1)y x =- (2)x ≥ ．3、函数)12arcsin(-=x y 的定义域为___[0,1]x ∈_______．4、幂函数()f x 的图像经过(2,4)，则(3)f = ____9____．5、方程1139x -=的解是 1x =- ． 6、已知函数121)(+-=x a x f ，且)(x f 为奇函数，则=a 12 ． 7、已知3sin 5α=-, 732ππα<<,则tan 2α的值为______3-_____．8、已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<），它的一个对称中心到最近的对称轴之间的距离为4π，且函数()f x 的图像过点(,0)6π-，则()f x 的解析式为()sin(2)3f x x π=+ ．9、定义运算 a b m am bn c d n cm dn +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，已知11sin 20cos u v αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则函数1()2y u v =+的最大值为． 10x 的方程()f x k =有3个不同的实根，则实数k 的取值范围是______(1,2]___________．11、已知函数3()sin tan,(1,1)2xf x x x x =++∈-，则满足不等式(1)(21)0f a f a -+-<的实数a 的取值范围是_______2(0,)3___________．121的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块与桌面成30o角，则点A 走过的路程是_323π+______________．二、选择题（共4小题，每小题3分，共12分）13、在直角坐标系xOy 中，点A 是单位圆O 与x 轴正半轴的交点，射线OP 交单位圆O 于点P ，若AOP θ∠=，则点P 的坐标是………………………………………………………( A ） A ．()cos ,sin θθ B ．()cos ,sin θθ- C．()sin ,cos θθD ．()sin ,cos θθ-14、已知βαtan ,tan 是方程04332=++x x 的两根,且)2,2(,ππβα-∈，则=+βα……………………………………………………………………………………( C ) A ．3π或32π- B ．3π-或32π C ．32π- D ．3π15、下列命题中正确的是： …………………………………………………………………( D ）①存在实数α，使等式23cos sin =+αα成立； ②函数()tan f x x =有无数个零点； ③函数)23sin(x y +=π是偶函数；④方程1tan 3x =的解集是12arctan ,3x x k k Z π⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；⑤把函数()2sin 2f x x =的图像沿xsin y x =的图像和函数y x =的图像只有1个公共点．A ．②③④B ．③⑤⑥C ．①③⑤D ．②③⑥16、定义函数D x x f y ∈=)(（定义域），若存在常数C ，对于任意D x ∈1，存在唯一的D x ∈2，使则称函数)(x f 在D 上的“均值”为C ．已知xx f lg )(=，]100,10[∈x ，则函数)(x f 在]100,10[上的均值为……………………………………（ C ）A B ．10三、解答题（第17题8分，第18题10分，第19题10分，第20题12分，第21题12分，共52分）17、解方程222log (4)log (1)1log (1)x x x ++-=++．解：因为401010(4)(1)22x x x x x x +>⎧⎪->⎪⎨+>⎪⎪+-=+⎩所以2x =……………………………………8分增根未舍扣2分 18、在ABC ∆中，3,sin 2sin BC AC C A ===． (1)求边长AB 的值； (2)求ABC ∆的面积． 解：（ 1）由正弦定理 sin sin AB BC C A =得sin 2sin 2sin sin BC C BC AAB BC A A====5分（2）由余弦定理cos 5C ==……………………………………7分sin 5C =………………………………8分所以132ABC S ∆==………………………………10分 19、已知函数()f x=2)sin()2cos 12x x x ππ-++-.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.解：（1）()f x =2)sin()2cos 12x x x ππ-++-2cos 2x x +=2sin(2)6x π+………………2分所以函数()f x 的周期T π=………………………………………………………………3分 单调递增区间是,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦………………………………………… 5分（2） 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以 72666x πππ≤+≤，所以1sin(2)126x π-≤+≤………6分 所以， 当7266x ππ+=，即2x π=时，[]min ()1f x =- ……………………8分 当262x ππ+=，即6x π=时，[]max ()2f x = ………………10分20、已知函数2()sin cos f x x a x a =++，a ∈R . (1)当1a =时，求函数()f x 的最大值；(2)上的任意一个x ，都有()1f x ≤成立，求a 的取值范围. 解（1）当1a =时，2219()cos cos 2(cos )24f x x x x =-++=--+ cos [1,1]x ∈-，所以当1cos ,2x =即2()3x k k Z ππ=±∈时，[]max 9()4f x =…5分 （2）依题得 2sin cos 1x a x a ++≤ 即2sin (cos 1)1x a x ++≤对任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立而1cos 12x ≤+≤ 所以2cos cos 1x a x ≤+对任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立……………7分令cos 1t x =+，则12t ≤≤，所以22(1)2112t t t a t t t t--+≤==+-对任意12t ≤≤恒成立，于是min 1(2)a t t≤+-…………………………………………………………………9分 又因为 120t t+-≥，当且仅当 1t =，即2x π=时取等号所以0a ≤…………………………………………………………………………………12分 （其他方法，酌情给分）21、定义区间(),m n ，[],m n ，(],m n ，[),m n 的长度均为n m -，其中n m >．（1）求关于x 的不等式34270x x +-+<的解集构成的区间的长度；（2）若关于x 的不等式221230ax x -->，求实数a 的值；（3）已知关于x 的不等式2sin cos 0x x x b ++>，[]0,x π∈的解集构成的各区间的长度和超过3π，求实数b 的取值范围； 解（1）不等式34270xx +-+<的解是2(0,log 7)所以区间的长度是2log 7…………………………………………… …………3分（2）当0a =时，不符合题意………………………………………… ……………………4分 当0a ≠时，221230ax x --=的两根设为12,x x ，且0a < 结合韦达定理知 2212121223666||()4x x x x x x a a=-=+-=+ 解得2a =-（3a =舍）………………………………………………………………7分（3）21sin cos sin 2(1cos 2)22x x x b x x b ++=+++=sin(2)3x b π+++设()sin(2)3f x x π=+，原不等式等价于 ()f x b >-， []0,x π∈…… ……9分 因为函数()f x 的最小正周期是π，[]0,π长度恰为函数的一个正周期所以12b -<时，()f x b >， []0,x π∈的解集构成的各区间的长度和超过3π即实数b 的取值范围是1()2+-+∞……………………… ……………………12分。

2023-2024学年上海市金山中学高一年级下学期5月月考数学试卷2024.5一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.已知集合，则______.2.已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为______.3.不等式的解集为______.4.函数的最小正周期为______.5.在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点，，则的值为______.6.已知复数为虚数单位，若的模为20，实数的值为______.7.方程的解______.8.已知复数满足，为虚数单位，则的最小值为______.9.若函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围是______.10.已知点，将绕坐标原点逆时针方向旋转至，再将延长至，使，则点的坐标为______.11.已知正的边长为2，所在平面内有一动点，满足，则的最小值为______.12.函数的最大值为______.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.方程的一个根为，其中为虚数单位，则实数的值为 A ．B ．10C ．6D ．814.已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，（ ）A.B. C.D.[]()3,4,0,5A B =-=A B = 302x x+-…tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ABCD E BC B AE AB AD λμ=+λμ()()()3213,12mi i z i i +-=-z m 3log (94)1x x -=+x =z |12|1z i -+=i ||z 231xy m =---m ()3,4A OA O 3πOB OB OC 2OC OB =C ABC ∆ABC ∆P 1CP =AP BP ⋅ 22sin y x x x =++260x x a -+=3x i =+i a ()10-()y f x =R (),0x ∈-∞()21xf x x e =-+()0,x ∈+∞()f x =21xx e -+21xx e-++21xx e--+21xx e--+-15.已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则 A．B ．C ．D ．16.已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）B.C.2三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知向量与的夹角为，且（1）求的值（2）若，求实数的值18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知复数为虚数单位，其中是实数（1）若是实数，求的值（2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围。

上海市金山中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷一、填空题1．已知集合{}{}|2,,|0,A x x x B x x x =<∈=>∈Z Z ，则A B =I .2．若扇形的弧长和半径都是3，则扇形的面积为.3．计算123i i +∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑．4．设1x >，则函数151y x x =++-的最小值为 5．设3,sin 2a α⎛⎫= ⎪⎝⎭v ，1cos ,3b α⎛⎫= ⎪⎝⎭v ，且//a b v v ，则cos2=α． 6．设 i 是虚数单位，复数12ai i+-为纯虚数，则实数a 为 7．数列{}n a 是等比数列，4a 和2016a 是方程2310x x ++=的两根，则1010a =.8．已知函数()sin 2cos f x x x =-在x θ=时取得最大值，则πtan 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 9．已知a r 、b r 满足4a =r ，b r 在a r 方向上的数量投影为2-，则3a b -r r 的最小值为．10．设,x y 为锐角，且3sin 2sin ,3cos 2cos 3x y x y =+=，则()cos x y +=.11．为了研究问题方便，有时候余弦公式会写成：2222cos a ab C b c -+=，利用这个结构解决如下问题：如果三个正实数x y z ､､满足：222225,144x xy y y yz z ++=++=，22169z zx x ++=，则xy yz zx ++=.12．已知平面向量1e u r 、2e u u r 是不共线的单位向量，记1e u r 、2e u u r 的夹角为θ，若平面向量a r 满足12a =r ，且对于任意的正实数k ，1214a e ke -+≥r u r u u r 恒成立，则cos θ的最大值为.二、单选题13．“sin 0α<”是“α为第三、四象限角”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．下列命题为假命题的是（ ）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若0a b >>且0c <，则22c c a b >D ．若a b >且11a b>，则0ab < 15．设ABC V 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且3co s c o s 5a B b A c -=，则t a n c o t A B 的值（ ）A ．2B ．4C ．6D ．以上都不对16．已知()2π12cos (0)3f x x ωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，下列结论错误的个数是（ ） ①若()()121,1f x f x ==-，且12x x -的最小值为π，则2ω=；②存在()0,2ω∈，使得()f x 的图像向右平移π6个单位长度后得到的图像关于y 轴对称；③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围是4147,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4三、解答题17．已知集合(){}22log 2log 0A x x x =⋅≤.（1）求集合A ；（2）求函数()2144x x y x A +=+∈的值域.18．已知12,z z 是关于x 的方程20(,R)x mx n m n ++=∈的两个虚根，i 为虚数单位.(1)当12i z =+时，求实数,m n 的值.(2)当2m =，且12z z -=n 的值.19．设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知37S =，且1233a a +､､34a +构成等差数列，令231log n n b a +=.(1)求数列{}{}n n a b ､的通项公式；(2)令21n n n c a b -=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .20．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ≤）的图象如图所示．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作()y g x =．①求函数()()2x h x f g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小值； ②若函数()2()()2F x g x mg x m R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在(0,4)π内恰有6个零点，求m 的值． 21．已知[0,)θπ∈，向量(cos ,sin )a θθ=r ，(1,0)b =r ，1P 、2P 、3P 是坐标平面上的三点，使得()1122OP OP a OP a ⎡⎤=-⋅⎣⎦u u u r u u u r u u u r r r ，()3222OP OP b OP b ⎡⎤=-⋅⎣⎦u u u r u u u r u u u r r r ． （1）若2πθ=，1P 的坐标为(20,21)，求3OP u u u r ；（2）若23πθ=，16OP =u u u r ，求3OP u u u r 的最大值； （3）若存在[0,)απ∈，使得当1(cos ,sin )OP αα=u u u r时，△123PP P 为等边三角形，求θ的所有可能值．。

上海金山中学2009学年高一第二学期阶段质量检测试卷数学考试时间：90分钟 满分100分一、填空题：（每题3分,共36分）⒈ 若4sin ,(,)52πααπ=∈，则αcos =____________________．⒉ 已知21)tan(=+απ，则α2sin =____________________． ⒊ 方程515log (1)log (3)1x x +--=的解是____________________．⒋ 函数)3cos()23cos(x x y --=ππ最小正周期是_________________． ⒌ 将函数x y 2sin 3=的图像向左平移8π个单位得到图像的解析式为____________________．⒍ 函数x x y cos 3sin -=的的单调递增区间为____________________．⒎ 已知()f x 是定义在(4,4)-上的偶函数，当04x <≤时，()f x 的图像如图所示。

那么()sin 0f x x ⋅>的解集是____________________．4321O yx第7题图 第8题图 ⒏ 已知函数sin(),(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+ > > <的图像如图所示，则该函数的解析式为____________．⒐ 如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正 方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，α直角三角形中较小的锐角为α，tan2α=________．⒑ 已知函数x x x f sin 2sin21)(2+-=，若)43,4(0ππ∈x ，且523)(0=x f ，则)3(0π+x f =____________．⒒ 如图，半径为1的圆与直线l 相交于A 、B 两个不同的点，设x AOB =∠，当直 线l 平行移动时，则圆被直线扫过部分（图中阴影部分）的面积s 关于x 的函数)(x s =____________________．⒓ 教科书中有如下的对数运算性质：log ()log log a a a MN M N =+(0,1,0,0)a a M N >≠>>．已知()f x 、()g x 互为反函数)(R x ∈，若函数)(x g 有性质：对于任意的实数n m ,，有)()()(n g m g mn g +=，通过类比的思想，猜想函数)(x f 性质：___________________________________________．二、选择题：（每题4分,共16分） ⒔若角α是第二象限的角，则2α是（ ）（A ）第一象限或第二象限的角 （B ）第一象限或第三象限的角 （C ）第二象限或第四象限的角 （D ）第一象限或第四象限的角 ⒕“2()4k k Z παπ=+ ∈”是“tan 1α=”成立的（ ）(A) 既不充分也不必要条件 （B ） 必要非充分条件 （C ） 充要条件 （D ）充分非必要条件⒖ 已知函数x x g 2sin )(=，21)21()(||+-=x x h ， 则]2,2[),()()(ππ-∈+=x x h x g x s 的最大值、最小值为 （ ）lBAO x（A ）最大值为22123π⎪⎭⎫ ⎝⎛-、最小值为21- （B ）最大值为22123π⎪⎭⎫ ⎝⎛-、最小值为π223- （C ）最大值为21-、最小值为π223- （D ）最大值为4211π⎪⎭⎫ ⎝⎛-、最小值为21-⒗ 设函数x y sin =定义域为],[b a ，值域为]21,1[-，则以下四个结论正确的是 （ ）①a b -的最小值为32π; ②a b -的最大值为34π; ③a 不可能等于)(62Z k k ∈-ππ; ④b 不可能等于)(62Z k k ∈-ππ.（A ）①、②、③、④ (B) ②、③、④ （C ）①、②、③ (D) ①、②、④三、解答题（本大题共48分） ⒘ （8分）已知3cos()45πα-=， (,)2παπ∈，求cos2α的值．⒙ （8分）已知函数)(log )(xa ka a x f -=（其中0,1>>k a ），且函数)(x f 的定义域是集合}1|{≤x x 的子集，求实数k 的取值范围．⒚ （8分）已知ABC ∆的外接圆半径为25，且3cos cos cos 5a Bb A C +=，求c 边的长．⒛ （10分）某船在海面A 处测得灯塔D 与A 相距30方向；测得灯塔B 与A 相距海里，且在北偏西75方向，船由A 向正北方向航行到C 处，测得灯塔B 在南偏西60方向，这时灯塔D 与C 相距多少海里？D 在C 的什么方向？东DCAB21．（14分）已知函数)2sin 2sin1(log )(42xx x f a -+=，其中10<<a ． ⑴ 判定函数)(x f 的奇偶性；⑵ 函数)(x f 是否周期函数？若是，最小正周期是多少？ ⑶ 试写出函数)(x f 的单调区间和最大值、最小值； ⑷ 当21=a 时，试研究关于x 的方程b x f =)(在]43,2[ππ-上的解的个数．2009学年第二学期阶段质量检测试卷高一数学答案及评分标准一、填空题：（每小题3分，满分36分）二、选择题：（每小题4分，满分16分）三、解答题：（本题满分48分，解答本题必须写出必要步骤，且在规定处答题）17、（本题满分8分） 解法一：),2(ππα∈ ， )4,43(4ππαπ--∈-∴34cos(),sin()4545ππαα-=∴-=- 2分)]4(2sin[)]4(22cos[2cos απαππα-=--=∴ 2分=)4cos()4sin(2απαπ-- 2分=252453)54(2-=⨯-⨯ 2分解法二：53)cos (sin 22)4cos(=+=-αααπ2分 523cos sin =+∴αα 257cos sin 22sin -==∴ααα0< ),2(ππα∈∴，524cos sin 21sin cos -=--=-∴αααα 2分 )sin (cos )sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα+⋅-=-=∴ 2分=2524523)524(-=⨯-2分19、（本题满分8分）解：设ABC ∆的外接圆半径为R ，则B R b A R a sin 2,sin 2==C B A B A R cos 53)sin cos cos (sin 2=+∴ 2分C R B A cos 5321)sin(⨯=+=C sin C R cos 5321⨯ 2分 043103tan >==R C 1分 53sin =C 1分∴2512sin 2==C R c 2分函数)(x f 的单调递减区间为Z k k k ∈+],)21(,[ππ(注:区间两端开或闭均可, Z k ∈不扣分 ) 1分函数)(x f 的最大值为0； 1分 函数)(x f 的最小值为45log a1分 （4）由数形结合得，当0>b 或45log 21<b 时，方程无解； 1分 当0=b 时方程有一个解； 1分 当45log 21=b 或)0,89(log 21∈b 时方程有2个解; 1分 当]89log ,45(log 2121∈b 时方程有3个解. 1分 (注:以上区间的开闭错或讨论不全,均不给分)。

金山中学2018学年第二学期高一年级数学学科期末考试—、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分。

1.在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为_ ． 【答案】2 【解析】试题分析：由题意可得：．考点：扇形的面积公式．2.在数列{n a }中，12a =，13n na a +=则3a =____. 【答案】18 【解析】 【分析】直接利用等比数列的通项公式得答案．【详解】解：在等比数列{}n a 中，由12a =，公比13n na q a +==，得22312318a a q ==⨯=． 故答案为：18．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础题．3.已知角α的终边上一点P 的坐标为(3,4)(>0)t t t -，则2sin cos αα+=____. 【答案】1- 【解析】 【分析】由已知先求=r=5t OP ，再由三角函数的定义可得sin ,αcos α即可得解． 【详解】解：由题意可得点P 到原点的距离22(3)(4)5r t t t =+-=Q 0t >，5r t ∴=，由三角函数的定义可得，4sin 5y r α==-，3cos 5x r α==，此时2sin cos 1αα+=-； 故答案为：1-．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4.在△ABC 中，若222sin sin <sin C A B +，则△ABC 的形状是 ____. 【答案】钝角三角形 【解析】 【分析】由222sin sin sin A B C +<，结合正弦定理可得，222a b c +<，由余弦定理可得222cos 2a b c C ab+-=可判断C 的取值范围 【详解】解：222sin sin sin A B C +<Q ， 由正弦定理可得，222a b c +<由余弦定理可得222cos 02a b c C ab +-=<∴2C ππ<<ABC ∆∴是钝角三角形故答案为：钝角三角形．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础题5.若4sin()5πα+=-，其中α是第二象限角，则cos(2)πα-=____. 【答案】35- 【解析】 分析】首先要用诱导公式得到角的正弦值，根据角是第二象限的角得到角的余弦值，再用诱导公式即可得到结果．【详解】解：4sin()5a π+=-Q 4sin 5α∴-=- 4sin 5α∴=，又α是第二象限角故3cos 5α=-，3cos(2)cos 5a πα∴-==-故答案为：35-． 【点睛】本题考查同角的三角函数的关系，本题解题的关键是诱导公式的应用，熟练应用诱导公式是解决三角函数问题的必备技能，属于基础题．6.设sin 2sin ,(,)2παααπ=-∈,则tan(2)πα-的值是____.【解析】 【分析】根据二倍角公式得出tan α= 【详解】解：由题意知：sin 22sin cos sin αααα==-(,)2παπ∈Q sin 0α∴≠故2cos 1α=-，∴1cos 2α=-即sin α=tan α=()tan 2tan παα∴-=-=【点睛】本题考查了二倍角公式和诱导公式的应用，属于基础题。

上海市金山中学09-10学年高一下学期阶段质量检测（化学）考试时间：90分钟 满分100分相对原子质量：H-1；N-14；O-16；S-32；Na-23；Mg-24；Fe-56；Cu-64； 一、选择题（每题只有一个正确答案，共40分）1．联合国气候变化大会于2009年12月7~18日在哥本哈根召开。

中国政府承诺，到2020年，单位GDP 二氧化碳排放比2005年下降40%~45%。

有效“减碳”的手段之一是节能。

下列制氢方法最节能的是 A ．电解水制氢：2H 2通直流电2H 2↑＋O 2↑ B ．高温使水分解制氢：2H 2高温2H 2↑＋O 2↑C ．太阳光催化分解水制氢：2H 2O 2H 2↑＋O 2↑D ．天然气制氢：CH 4＋H 2OCO ＋3H 22．下列反应不是自然固氮的是A ．N 2与H 2反应生成NH 3B ．N 2与O 2反应生成NO 气体C ．NH 3经催化氧化生成NOD ．由NH 3制碳酸氢铵和硫酸铵3．酸雨给人类带来了种种灾祸，严重地威胁着地球生命生存的生态环境，下列有关减少或者防止酸雨形成的措施中可行的是：①对燃煤进行脱硫；②对含SO 2、NO 2等工业废气进行无害处理后，再排放到大气中；③人工收集雷电作用所产生的氮的氧化物；④飞机、汽车等交通工具采用清洁燃料，如天然气、甲醇等。

A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．①③④4．下列有关化学用语正确的是A ．次氯酸分子的电子式：B ．质量数为137的钡原子：Ba56137C ． NH 4Cl 电子式：D ． Cl 离子的结构示意图：5．在下列反应中，浓硫酸既表现强氧化性，又表现酸性的是A ．H 2S+H 2SO 4(浓)B ．Cu+H 2SO 4(浓)C ．C+ H 2SO 4 (浓)D ．CuO+ H 2SO 4 (浓) 6．检验某未知溶液中是否含有SO 42-的下列操作中最合理的是A ．加入盐酸酸化了的硝酸钡溶液B ．先加硝酸酸化，再加硝酸钡溶液C ．加入盐酸酸化的氯化钡溶液D ．先加盐酸酸化，再加氯化钡溶液 7．能使石蕊试液变红，又能使酸性KMnO 4试液变为无色澄清溶液，还能使溴水褪色的是A ．SO 2B ．H 2SC ．Cl 2D ．CO 8．在接触法制硫酸的有关问题中，下列叙述不正确的是A．燃烧黄铁矿制取SO2的化学方程式是B．含SO2的炉气在进行氧化反应前必须净化，其目的就是为了除尘、以防催化剂中毒C．用98.3％的浓H2SO4吸收SO3制取发烟硫酸，用稀H2SO4吸收SO3制较浓的H2SO4D．SO2氧化时必须使用催化剂(例如V2O5等)，催化剂的作用是提高SO2的氧化速率，缩短到达平衡所需的时间，但使用催化剂不会提高SO2的转化率9．将汽车尾气中的有毒气体处理为无污染的气体，其反应的微观示意图（未配平，不同颜色的球代表不同的原子）。

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金山中学2015学年度第二学期高一年级数学学科期中考试卷（考试时间：90分钟 满分：100分 ）一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得3分，否则一律得零分。

1． 若2016α=︒，则α在第__________象限．2． 已知扇形所在圆的半径为8，弧长为16，则其圆心角的弧度数为________．3． 已知tan 2α=，则sin cos sin 2cos αααα-=+____________．4． 已知54cos ),,2(-=∈θππθ,则=2sin θ___________．5． 在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是_____________三角形。

6． 已知函数()sin()(00)2f x A x x A ωϕωϕπ=+∈>><R ，，，的 图像（部分）如图所示，则()f x 的解析式是_____________．7．已知函数()2sin()(0)3f x x πϖϖ=+>的最小正周期为π，则方程()1f x =在(0,]π上的解集为___________．8． 设锐角βα、满足5310sin ,cos αβ==，则αβ+=__________．9. 函数cos2sin ,[0,]y x x x π=+∈的最大值是___________． 10． 设cos x α=，且3[,]44ππα∈-,则arcsin x 的取值范围是____________．11． 某班设计了一个“水滴状"班徽（如图)，徽章由等腰三角形ABC ，及以弦BC 和劣弧BC 所围成的弓形所组成,劣弧BC 所在的圆为三角形的外接圆，若,(0,)2A παα∠=∈，外接圆半径为1,则该图形的面积为____________．－2xyO 231 65 第6题第11题12．对于函数)(x f ,在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数)(x f 的“下确界”，则函数x x x x x f csc csc sin sin )(22-+-=的“下确界"为___________．二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分。