专题09 等差数列、等比数列(押题专练) 2018年高考文科数学二轮复习Word版含答案(教师用)

大题规范练(二)(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2a n＋(－1)n·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)∵{a n }为等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝4a 1＋4×32d ＝24S 7＝7a 1＋7×62d ＝63⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝2⇒a n ＝2n ＋1.(2)∵b n ＝2a n＋(－1)n ·a n ＝22n ＋1＋(－1)n·(2n ＋1)＝2×4n ＋(－1)n·(2n ＋1)，∴T n ＝2×(41＋42＋ (4))＋[－3＋5－7＋9－…＋(－1)n(2n ＋1)]＝n－3＋G n .当n ＝2k (k ∈N *)时，G n ＝2×n2＝n ，∴T n ＝n－3＋n ；当n ＝2k －1(k ∈N *)时，G n ＝2×n －12－(2n ＋1)＝－n －2，∴T n ＝n－3－n －2，∴T n＝⎩⎪⎨⎪⎧n－3＋n n ＝2k ，k ∈N *n－3－n －n ＝2k －1，k ∈N *2．(本小题满分12分)已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．(1)若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；(2)分别统计这10名职工的体重(单位：kg)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；(3)在(2)的条件下，从这10名职工的体重不轻于73 kg(≥73 kg)的职工中随机抽取2名，求体重为76 kg 的职工被抽取到的概率．解：(1)由题意，第5组抽出的号码为22.因为2＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码为2，抽出的10名职工的号码分别为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.(2)因为10名职工的平均体重为x ＝110×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，所以样本方差为s 2＝110×(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52.(3)从10名职工中的体重不轻于73 kg 的职工中随机抽取2名，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．设A 表示“抽到体重为76 kg 的职工”，则A 包含的基本事件有4个：(73,76)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，故所求概率为P (A )＝410＝25.3．(本小题满分12分)如图1，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，M ，N 分别为AB ，CF 的中点，现沿AE ，AF ，EF 折叠，使B ，C ，D 三点重合于点B ，构成一个三棱锥(如图2)．(1)证明：MN ∥平面AEF ； (2)证明：平面ABE ⊥平面BEF .证明：(1)∵翻折后B ，C ，D 重合于B 点，∴MN 是△ABF 的一条中位线， ∴MN ∥AF .又∵MN ⊄平面AEF ，AF ⊂平面AEF ， ∴MN ∥平面AEF .(2)∵AB ⊥BE ，AB ⊥BF ，且BE ∩BF ＝B ， ∴AB ⊥平面BEF ，而AB ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面BEF .4．(本小题满分12分)已知椭圆C 1的焦点在x 轴上，中心在坐标原点；抛物线C 2的焦点在y 轴上，顶点在坐标原点．在C 1，C 2上各取两个点，将其坐标记录于表格中：(1)求C 1，C 2(2)已知定点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18，P 为抛物线C 2上一动点，过点P 作抛物线C 2的切线交椭圆C 1于A ，B 两点，求△ABC 面积的最大值．解：(1)设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意知，点(－2,0)一定在椭圆上，则点⎝⎛⎭⎪⎫2，22也在椭圆上，分别将其代入，得4a 2＝1，2a 2＋12b2＝1，解得a 2＝4，b 2＝1，∴C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.设C 2：x 2＝2py (p ＞0)，依题意知，点(4,8)在抛物线上，代入抛物线C 2的方程，得p ＝1， ∴C 2的标准方程为x 2＝2y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12t 2， 由y ＝12x 2知y ′＝x ，故直线AB 的方程为y －12t 2＝t (x －t )，即y ＝tx －12t 2，代入椭圆C 1的方程，整理得(1＋4t 2)x 2－4t 3x ＋t 4－4＝0，Δ＝16t 6－4(1＋4t 2)(t 4－4)＝4(－t 4＋16t 2＋4)＞0， x 1＋x 2＝4t 31＋4t 2，x 1x 2＝t 4－41＋4t 2，∴|AB |＝1＋t216t6＋4t22－t 4－＋4t2＋4t22＝21＋t2－t 4＋16t 2＋41＋4t2， 设点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18到直线AB 的距离为d ，则d ＝|－18－12t 2|1＋t 2＝18·|1＋4t 2|1＋t2， ∴S △ABC ＝12×|AB |×d ＝12×21＋t 2－t 4＋16t 2＋41＋4t 2×18×|1＋4t 2|1＋t 2＝18－t 4＋16t 2＋4＝ 18－t 2－2＋68≤1868＝174，当且仅当t ＝±22时，取等号，此时满足Δ＞0. 综上，△ABC 面积的最大值为174. 5．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x－12ax 2(x ＞0，e 为自然对数的底数)，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)当a ＝2时，求证：f (x )＞1；(2)是否存在正整数a ，使得f ′(x )≥x 2ln x 对一切x ＞0恒成立？若存在，求出a 的最大值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：当a ＝2时，f (x )＝e x－x 2，则f ′(x )＝e x－2x ， 令f 1(x )＝f ′(x )＝e x－2x ，则f ′1(x )＝e x－2，令f ′1(x )＝0，得x ＝ln 2，又0＜x ＜ln 2时，f ′1(x )＜0，x ＞ln 2时，f ′1(x )＞0， ∴f 1(x )＝f ′(x )在x ＝ln 2时取得极小值，也是最小值． ∵f ′(ln 2)＝2－2ln 2＞0，∴f ′(x )＞0在(0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数． ∴f (x )＞f (0)＝1.(2)由已知，得f ′(x )＝e x－ax ，由f ′(x )≥x 2ln x ，得e x －ax ≥x 2ln x 对一切x ＞0恒成立，当x ＝1时，可得a ≤e ，∴若存在，则正整数a 的值只能取1,2.下面证明当a ＝2时，不等式恒成立， 设g (x )＝e xx2－2x－ln x ，则g ′(x )＝x －xx3＋2x 2－1x ＝x －x－xx 3，由(1)得e x＞x 2＋1≥2x ＞x ，∴e x－x ＞0(x ＞0)， ∴当0＜x ＜2时，g ′(x )＜0；当x ＞2时，g ′(x )＞0. ∴g (x )在(0,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．∴g (x )≥g (2)＝14(e 2－4－4ln 2)＞14×(2.72－4－4ln 2)＞14(3－ln 16)＞0，∴当a ＝2时，不等式f ′(x )≥x 2ln x 对一切x ＞0恒成立， 故a 的最大值是2.请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 6．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12ty ＝3＋3t(t 为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为sin θ－3ρcos 2θ＝0.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)写出直线l 与曲线C 交点的一个极坐标．解：(1)∵sin θ－3ρcos 2θ＝0，∴ρsin θ－3ρ2cos 2θ＝0， 即y －3x 2＝0. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12ty ＝3＋3t代入y －3x 2＝0得，3＋3t －3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝0，即t ＝0，从而，交点坐标为(1，3)，∴直线l 与曲线C 交点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.7．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －m |－|x ＋3m |(m ＞0)． (1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥1的解集；(2)对于任意实数x ，t ，不等式f (x )＜|2＋t |＋|t －1|恒成立；求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝|x －m |－|x ＋3m | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4m ，x ≥m －2x －2m ，－3m ＜x ＜m .4m ，x ≤－3m当m ＝1时，由⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2≥1－3＜x ＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧4≥1x ≤－3，或⎩⎪⎨⎪⎧－4≥1x ≥1(无解)得x ≤－32，∴不等式f (x )≥1的解集为{x |x ≤－32}．(2)不等式f (x )＜|2＋t |＋|t －1|对任意的实数t ，x 恒成立，等价于对任意的实数x ，f (x )＜(|2＋t |＋|t －1|)min 恒成立，即[f (x )]ma x ＜(|2＋t |＋|t －1|)min ，∵f (x )＝|x －m |－|x ＋3m |≤|(x －m )－(x ＋3m )|＝4m ， |2＋t |＋|t －1|≥|(2＋t )－(t －1)|＝3， ∴4m ＜3，又m ＞0，∴0＜m ＜34.。

等差（比）数列问题1．已知等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，223a S =，且1S ，2S ，4S 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）记15943n n T a a a a -=++++ ，求n T ．2．已知{}n a 为等差数列，且满足138a a +=，2412a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记{}n a 的前n 项和为n S ，若3a ，1k a +，k S 成等比数列，求正整数k 的值．3．已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4427a b +=，4410S b -=． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记1121n n n n T a b a b a b -=+++ ，n ∈*N ，证明：12(2)10n n n T a n b +=-+∈*N ．4．已知{}n a 是等差数列，14a =，416a =，数列{}n b 满足15b =，424b =，且{}nn b a -是等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和．5．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，112n n a S ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知在数列{}n b 中，11b a =，当2n ≥时，n b 是n n a 与11n n a ++的等差中项，求数列{}n b 的前n 项和n T ．6．已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+．（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）令．求数列{}n c 的前n 项和n T ．7．已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （2）若，求λ．8．已知在等比数列{}n a 中，首项13a =，公比1q >，且213100()()n n n n a a a ++-=∈+*N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13{}n n b a +是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S ．9．已知正项等比数列{}n a 的首项13a =，且3a 是13a -和2a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记22log 6log n n b a =-，求数列{}n n a b +的前n 项和n T ．10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列1{}()2nnS n +⋅的前n 项和n T ．11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足11a b =，222a b =，2213S T +=，332S b =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设2nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n C ．12．已知数列{}n a 满足：22()n n n S a =∈-*N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令(1)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．13．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且32=b ，93=b ，11b a =，414b a =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n b a c +=，求数列}{n c 的前n 项和．14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知24S =，121n n a S +=+，n ∈*N ． （1）求通项公式n a ； （2）求数列的前n 项和．15． n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记=[lg ]n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[lg 99]=1．（1）求1b ，11b ，101b ；（2）求数列{}n b 的前1 000项和．参考答案1．【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由223a S =得2223a a =，故20a =或23a =．由1S ，2S ，4S 成等比数列得2214S S S =． 又12S a d =-，222S a d =-，4242S a d =+， 故2222()()42(2)a d a d a d -=-+．若20a =，则222d d =-，解得0d =，不符合题意．若23a =，则263122()()()d d d -=-+，解得2d =或0d =(不符合题意，舍去)． 因此数列{}n a 的通项公式为2(2)21n a a n d n =+-=-． （2）由（1）知4387n a n -=-，故数列43{}n a -是首项为1，公差为8的等差数列． 从而2143()()864322n n n nT a a n n n -=+=-=-． 【名师点睛】高考对数列的考查主要有三种形式：①等差、等比数列的通项公式以及求和公式的灵活应用；②运用各种方法对数列求和，如公式法、错位相减法、分组求和法等；③数列的综合应用． 2．【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意可得112282412a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12a =，2d =，所以1()122(1)2n a a n d n n =+-=+-=， 即数列{}n a 的通项公式为2n a n =． （2）由（1）可得21()(22)122()n n a a n n nS n n n n ++===+=+， 所以3236a =⨯=，12()1k a k +=+，2k S k k =+．又3a ，1k a +，k S 成等比数列，所以213k k a a S +=，从而22(226)()k k k +=+，即220k k --=，*k ∈N ，解得2k =或1k =-(舍去)， 所以2k =．3．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由112a b ==，得423a d =+，342b q =，486S d =+，故3323227,86210,d q d q ⎧++=⎨+-=⎩解得3,2.d q =⎧⎨=⎩ 所以31n a n =-，2nn b =，n ∈*N ．（2）由（1）得231212222nn n n n T a a a a --=++++ ①，23112122222n n n n n T a a a a +-=++++ ②，由②－①，得32122()12(122313232322262102610)12,n n n n n n T n n n -++-=-=--+⨯+⨯++⨯++-+=⨯--而21012231102121()02610nnn n a b n n -+-=--+⨯-=⨯--， 所以12210n n n T a b +=-+，n ∈*N ．4【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41164433a a d --===， 所以1(1)4()n a a n d n n =+-=∈*N ， 设等比数列{}nn b a -的公比为q ，由题意得344112416854b a q b a --===--，解得2q =．所以1111()2n n n n b a b a q---=-=，从而142()n n b n n -=+∈*N ．（2）由（1）知，142()n n b n n -=+∈*N ，数列{4}n 的前n 项和为2(1)n n +，数列1{2}n -的前n 项和为1212112nn -⨯=--，所以数列{}n b 的前n 项和为2(1)21n n n ++-．5【解析】（1）由112n n a S ++= ①，可得当2n ≥时，112n n a S -+= ②， ①－②得112(2)n n n n n a a S S a +--=-=，即13n n a a +=，故13(2)n na n a +=≥．当1n =时，21121213a S a =-=-=，此时21332a a =≠， 故数列{}n a 从第2项起构成公比为3q =的等比数列， 所以当2n ≥时，2212333n n n n a a q ---==⨯=．故12,132n n n n a -=⎧⎨≥⎩=,． （2）当2n ≥时，由已知得，11111141()()223323n n n nn n n n n n n b a a -++++=+=+=⨯， 故2141223n nn b n n =⎧⎪=+⎨≥⎪⨯⎩,,．当1n =时，112T b ==；当2n ≥时，12312314214314(1)141223232323n n n n nn n T b b b b b --⨯+⨯+-++=+++++=+++++⨯⨯⨯⨯ ①， 1224214314(1)1413623232323n n n n n T --⨯+⨯+-++=+++++⨯⨯⨯⨯ ②， ②－①得，2194441246232323n n n n T -+=++++-⨯⨯⨯ 211134142()22333n nn -+=-++++⨯ 2211[111()]33421123231n nn -+=-⨯-+-⨯ 1111412321()33n n n -+=+--⨯ 3547623nn +=-⨯， 故当2n ≥时，35471243n nn T +=-⨯． 显然，当1n =时，135********T ⨯+=-=⨯，上式也成立． 所以35471243n n n T +=-⨯． 6．【解析】（1）由题意当1=n 时，1111==S a ； 当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ，又161511a =⨯+=，所以56+=n a n ()n ∈*N ． 设等差数列{}n b 的公差为d ，由，即，解得14b =，3d =，所以13+=n b n ．（2）由（1）知11(66)3(1)2(33)n n n nn c n n +++==+⋅+， 又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，即23413[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++，所以345223[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++，以上两式两边相减得，所以223+⋅=n n n T ．7．【解析】（1）由题意得1111a S a λ+==， 故1≠λ，，01≠a ．由n n a S λ+=1，111+++=n n a S λ得n n n a a a λλ-=++11，即n n a a λλ=-+)1(1． 由01≠a ，0≠λ得0≠n a ，所以．因此}{n a 是首项为，公比为的等比数列，所以．（2）由（1）得，由得，即，解得1λ=-．8．【解析】（1）因为213100()()n n n n a a a ++-=∈+*N ， 所以2()3100n n n a q a a q +-=，即231030q q -+=． 由公比1q >，解得3q =．又首项13a =，所以等比数列{}n a 的通项公式为3nn a =．（2）因为13{}n n b a +是首项为1，公差为2的等差数列， 所以112(3)1n n b a n +=+-．所以数列{}n b 的通项公式为1213n n b n -=--，从而212()[31133313212()]n n n S n n --=-++++++++-=-+ ．9．【解析】（1）因为正项等比数列{}n a 的首项13a =，所以可设13n n a q -=，公比0q ≠， 又3a 是13a -和2a 的等差中项，所以31223a a a =-+，即223333q q ⨯=-+， 解得0q =(舍去)或12q =， 故数列{}n a 的通项公式为132n n a -=． （2）由（1）知132n n a -=， 因为222213log 6log log 6log 2n n n b a n -=-=-=， 所以132n n n a b n -+=+， 故1122()()()n n n T a b a b a b =++++++1212()()n n b b b a a a =+++++++012111111233((2222))n n -=+++++++++ 2161)22(n n n +-=+216322n n n -++-=，所以数列{}n n a b +的前n 项和212362n n n n T -++-=．10．【解析】（1）因为2n S n n =+，所以21(2)n S n n n -=-≥， 所以12(2)n n n a S S n n -=-=≥， 当1n =时，112a S ==也满足上式， 所以2n a n =． （2）由（1）知()2212()n n n S n n +==+， 所以(1)(1)2(1)22n n n n S n n nn n +==+⋅+⋅，所以2311232222n n nT =++++ ①，所以2341112322222n n nT +=++++ ②， ①－②得12311111(112)111122112222222212n n n n n n T n n n +++-=+++++-=-=-- ，所以222n n nT +=-．【名师点睛】数列是高考的热点内容，但是无论怎样命题，肯定少不了考查数列(包括等差数列与等比数列)的基本概念、基本公式，如通项公式、前n 项和公式(公式法、错位相减法、裂项相消法)的理解与记忆，与函数、不等式、方程等知识交汇仍然是这类问题的常见命题规律，万变不离其宗，考生在复习备考中只要把数列部分的基础知识落实好，就能在高考中游刃有余，解题时得心应手．11【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则11111112112()2132(33)a b a d b q a d b b q a d b q=⎧⎪+=⎪⎨+++=⎪⎪+=⎩，解得112213a b d q =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，故1n a n =+，123n n b -=⨯．（2）由（1）知，1213n n n n a n c b -+==， 故1221111234(1)333n n n C c c c n -++++⨯+⨯+=++⨯= ①， 211323314(1)33n n C n -=⨯+⨯+⨯+++⨯ ②，②－①得：221111127(1)3333n n n C n --+++⋅⋅⋅+-+⨯=1111()1337(1)1313n n n ---=+-+⨯-2111117()(1)2233n n n ---+⨯=+-11525223n n -+=-⋅， 所以11525443n n n C -+=-⋅． 12．【解析】（1）当1n =时，1122S a =-，解得12a =， 由22n n S a =-，可得1122n n S a ++=-， 上述两式相减可得1122n n n a a a ++=-，所以12n na a +=，120a =≠， 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2n n a =．（2）由（1）可知(1)22n n n n b n a n =-=⋅-，所以123123(1222322)(2222)n n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅-++++ ， 令1231222322n M n =⨯+⨯+⨯++⋅ ①，则234121222322n M n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ②，①－②得123112(12)222222(22)2212n n n n n M n n n ++--=++++-⋅=-⋅=-⋅-- ， 所以(22)22n M n =-⋅+， 所以12(12)(22)22(2)2412n nn n T n n +-=-⋅+-=-+-． 13．【解析】（1）因为等比数列{}n b 的公比，所以，4327b b q ==．设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为111a b ==，14427a b ==，所以11327d +=，即2d =，所以21()n a n n =-∈*N ．（2）由（1）知，21n a n =-，13n n b -=，因此1213n n n n c a b n -=+=-+．从而数列{}n c 的前n 项和．14．【解析】（1）由题意得，解得，又当2n ≥时，由11(21)(21)2n n n n n a a S S a +--=+-+=，得13n n a a +=， 所以数列{}n a 的通项公式为13n n a -=，n ∈*N ． （2）设1|32|n n b n -=--，n ∈*N ，12b =，21b =．当3n ≥时，由于132n n ->+，故132n n b n -=--，3n ≥．设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则12T =，23T =．当3n ≥时，， 又23T =也符合上式，所以． 15．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，由已知可得72128d +=，解得1d =， 所以等差数列{}n a 的通项公式为n a n =．又=[lg ]n n b a ，所以1[lg1]0b ==，11[lg11]1b ==，101[lg101]2b ==． （2）因为，所以数列{}n b 的前1000项和为1902900311893.⨯+⨯+⨯=。

1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 5＝8，则S 7＝( )A ．28B ．32C ．56D ．242．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S 4＝S 5＋S 6，则数列{a n }的公比q 的值为( )A ．－2或1B ．－1或2C ．－2D ．13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．124．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．75．已知等比数列{a n }的各项都是正数，且3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7＝( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．96．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S n ＝15，则项数n 为( )A ．12B ．14C ．15D ．167．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( )A ．5 2B ．7C ．6D ．4 28．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．39．已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)10．数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N *，都有a n ＋m a m＝a n ，则a 3＝________；{a n }的前n 项和S n ＝________.11．已知数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n (n ∈N *)．若存在正实数λ使得数列{a n ＋1＋λa n }为等比数列，则λ＝________.12．各项均不为零的等差数列{a n }中，a 1＝2，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则S 2 016＝________．13．设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．14．已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n ∈N *，均有a n ，S n ，a 2n 成等差数列，则a n ＝________．15．已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列； (3)求数列{a n }的通项公式．17．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n （a n ＋1）2(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝1S n，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n . 18．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.19．已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上．在数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{b n }是等比数列；(3)若c n ＝a n b n ，求证：c n ＋1<c n .20．在等比数列{a n }中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，a 1，a 5的等比中项为16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n<k 对任意n ∈N *恒成立？若存在，求出正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由．。

第一讲 等差数列、等比数列限时规范训练一、选择题 1.已知数列｛a n ｝，若点（n , a n ）（ n € N ）在经过点（8,4）的定直线I 上，则数列｛a n ｝的前15项和S s=( ) A. 12 D. 120解析：T 点（n , a n ）在定直线上，数列｛a n ｝是等差数列，且a 8= 4, 答案：C2. 已知各项不为0的等差数列｛a n ｝满足a 4— 2a 2+ 3a *= 0,数列｛b n ｝是等比数列，且b ?= a ，则b 2b 8bn 等于() A. 1 B . 2 C. 4D. 8解析：T a 4 — 2a 7+ 3a 8= 0,「. 2a ?= a 4 + 3a 8,「. 2a ?= a 5+ a ?+ 2a $ = a 5 + a ?+ a ?+ a 9,即卩 2a ?= 4a ?, •- a 7 = 2, • b 7 = 2,又T b 2b 8b1= b 6b 8“= b 7b 7= (b 7) 3= 8，故选 D. 答案：D 3.在等差数列｛a n ｝中，a n >0，且a 1+ a 2+-+ a 10= 30,贝U a 5 • a 6的最大值等于( )A. 3 B . 6 C. 9D. 36解析：T a 1 + a 2+…+ a 10= 30,得 a 5 + a 6 = = 6,又 a n >0,「. a 5 • a 6<5 答案：C 4.设等差数列｛a n ｝满足a 2 = 7, a 4= 3, S 是数列｛a n ｝的前n 项和，则使得 S>0的最大的自然数 n 是()A. 9 B . 10 C. 11D. 123 — 7 、、解析：.｛a n ｝的公差 d =■ = — 2,. • ｛a n ｝的通项为 a = 7 — 2(n — 2) = — 2n + 11,. • ｛a n ｝是递减4 — 2 数列，B . 32C. 60a 1 + a 152XI52a 8 x 152 =15a 8= 60.a5 + a6且a5>0>a6, a5+ a6= 0，于是S9= 9a5>0, S o= - • 10= 0, S1 = 11 a6< 0,故选 A.答案：A5. 在等比数列｛a n｝中，a1+ a n= 34, a2 • a n-1 = 64,且前n项和S= 62,则项数n等于（）-2 -C. T 5D. T 6B. 5C. 6D. 7解析：设等比数列｛a n ｝的公比为q ,由a 2a n -1 = a©= 64,又a i + a n = 34，解得a i = 2,a n = 32或a ia i 1 — qa i — a n q 2 — 32qn=32, a n = 2.当 a i = 2, a n = 32 时，S = 一-=-= 62,解得 q = 2.又 a n = ag n1 — q 1 — q 1 — q—1所以2x2 1= 2 = 32,解得n = 5.同理，当a 1= 32, a n = 2时，由S= 62,解得q =右=2 4,即n — 1= 4, n = 5.综上，项数n 等于5，故选16 2B.答案：B+ a 10）v 0,S 9a 10v 0，即该等差数列前 9项均是正数项，从第10项开始是负数项，则 一最大，故选C.a 9答案：CA. 4 6.在等差数列｛a n｝中, a 1= — 2015，其前n 项和为S n ,若誇―S= 2,则S 2016的值等于（A.— 2 015 C. 2 016 B . 2 015 D. 0解析：设数列10X9d , S o = 10a 1+ -2-d ,12X 11S 12所以石=12a + —2d 12- 9=a 1 + -^d . 10= a 1 + 尹S12 S 0 所以 S 2— S 0= d =2,所以 S 2 016 = 2 016 x a 1+2 015 X 2 016d = 0.答案：D7.设等差数列｛ a n ｝的前n 项和为 S, 且满足 S §2S 7>0, S 8V 0,则a ,-,¥中最大的项为（ ）S A.- a 7sB.-a 8a 9 a 10解析：因为｛a n ｝是等差数列，所以 =17a 9> 0, a 9> 0,S )8=IX a 1 + a 18=9( a 9&正项等比数列｛a n｝中，a2 = 8,16 a4= a©，则数列｛◎｝的前n项积T n中的最大值为（）A. T3B. T4-4 -C. T 5D. T 621 2 a 4 1解析：设正项等比数列｛a n ｝的公比为q (q >0)，贝U 16a 4 = af 5= a 2a 4= 8a 4, a 4= , q = =花，又q2 a 2 16 >0,贝y q =1a n= aq-2= 8x1 n _2= 2一2n ，贝H T n = aa 2…a n = 25+3+…+(7一2n) = 2n(6 —n)，当 n = 3 时，4诒丿n (6 — n )取得最大值9,此时T n 最大，即(T n ) max = T 3,故选A.答案：A 二、填空题a 29. (2017 •咼考北京卷 )若等差数列｛a n ｝和等比数列｛b n ｝满足a 1 = b 1 = — 1, a 4= S = 8，则匸=b 2解析：设等差数列｛a n ｝的公差为d ,等比数列｛b ｝的公比为q ,a 4 — a 1 8— — I则由 a 4= a+ 3d ,得 d =3 — = 3= 3,33b 48由 b 4= b 1q 得 q = = —=— 8,「・ q =— 2.b 1 — 1a 2 a 1 + d — 1 + 3:b 2=両=—ix -? =1.答案：110 .若等比数列｛ a n ｝的各项均为正数，且a 1o an + a 9a 12= 2e 5,则ln a 1+ ln a ?+…+ ln a 2o = _____________55解析：因为 a 1o au + a 9a 12= 2a 1o a“= 2e ，所以 a 1o au = e . 所以 In a 1+ lna 2 + …+ In a 20= ln( aa 2…a 20)= ln[(a 1a 20)•( a 2a 19) ........ ( a 10an)] = ln( aean)5=10ln( aean) = 10ln e = 50ln e = 50.答案：50小值时，S 2 =且仅当 m= n 时取等号，n = 2,「. a 2= 2X 3= 6, — S 2= 2+ 6= 8. 答案：811.等比数列｛a n ｝的首项为2,公比为3,前n 项和为S.若log 3Sm + 1=9，则丄+上取最n m 解析：由题意可得a n = 2X3n —1, S = 2二=3n — 1,所以 log 3 |^aS m + 1n + 4m- 1=log 33 = n+ 4m-1 = 9,所以 n + 4m= 10,所以1+ 4 =n m2m 172=空」当5 10 2'1S k1+n2m 17 2n+?=帀+5m +乔》和+2Xn)等差数列｛a n｝的前n项和为S n, a3= 3, S= 10,则12. (2017 •高考全国卷nk = 1-6 -C. T 5D. T 6鬥=a i + 2d = 3,解析：设等差数列｛a n ｝的公差为d ,则由4X3S 4= 4a i + —^d = 10,1111 1 11111 1 1S = S 1+ S 2+§+•••+ s n =2 1— 2+ 2-3+3 - 4+^+ n _ 市=2三、解答题13. 已知等差数列｛a n ｝中，a 2= 5，前4项和s= 28. (1)求数列｛a n ｝的通项公式；⑵若b = ( - 1)n a n ,求数列｛b n ｝的前2n 项和Tm[a 2= a 1 + d = 5, 解析:(1)设等差数列｛a n｝的公差为d，则由已知条件得S 4= 4&+宁X d = 28,a 1= 1, d = 4,• a n = a 1+ (n -1) X d = 4n — 3.⑵ 由(1)可得 b n = ( - 1)n a n = ( - 1)n (4 n -3), T 2n =- 1 + 5-9+ 13-17 +…+ (8 n -3) = 4X n = 4n .14. 已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S,且S = 9, a 1, a 3, a ?成等比数列. (1)求数列｛a n ｝的通项公式；⑵ 若金丰a 1(当n 》2时)，数列｛b n ｝满足b n = 2a n ，求数列｛b n ｝的前n 项和T n .2 2 1解析：(1) a 3 = a 1a ?，即(a + 2d ) = a(a 1 + 6d )，化简得 d =尹或 d = 0. 1 3X2 1 9当 d = ?a 1 时，S= 3a 1+ ~2~X ?a 1 = ^a 1= 9，得 a 1= 2, d = 1, • a n = a 1+ (n - 1)d = 2 + (n — 1) = n + 1,即卩 a n = n +1 ；当d = 0时，由S= 9,得a 1 = 3,即有a n = 3.⑵ 由题意可知b n = 2a n = 2n +1,b 1= 4, 一b• ｛b n ｝是以4为首项，2为公比的等比数列, • T n =养=二=2n + 2- 4.a i = 1,d = 1.n S 1 = n X 1 + n T2S T n n+1 = 21-估.nk = 1答案:2nn +1b n + 1 =2.15. 已知数列｛a n｝的前n项和为S, a1 = 2, a n M 0, a n a n+ 1= pS + 2,其中p 为常数.-8 -(1) 证明：a n + 2 —a n = p；(2) 是否存在p,使得｛a n｝为等差数列？并说明理由.解析：(1) 证明：由题设知a n a n+ 1= pS n+ 2，a n+ 1a n+ 2= pS n+ 1+ 2，两式相减得a n + 1 ( a n+ 2—a n) = pa n + 1，由于a n +1 M 0, 所以a n+2 —a n = p. (2)由题设知a i= 2, a i a2= pS+ 2,可得比=p+ 1,由(1)知a3= p+ 2. 令2a2= a1+ a3，解得p= 2，故a n+2—a n= 2,由此可得｛a2n—1｝是首项为2,公差为2的等差数列，且a2n—1= 2门，｛a2n｝是首项为3，公差为2的等差数列，且a2n= 2n +1,所以a n= n+ 1 ，a n + 1 —a n = 1 ，因此存在p= 2,使得数列｛a n｝为等差数列.。

第4讲 等差数列、等比数列学习目标【目标分解一】等差、等比数列的基本运算【目标分解二】等差、等比数列的基本性质 【目标分解三】等差、等比数列的判定与证明【课前自主复习区】■核心知识储备一1．等差数列的通项公式及前n 项和公式a n ＝ ； +=m n a a ； S n ＝ = .2．等比数列的通项公式及前n 项和公式a n ＝ ； ⋅=m n a a ； S n ＝．■核心知识储备二：1．若m ，n ，p ，q ∈N *，m ＋n ＝p ＋q ，则在等差数列中 ，在等比数列中 . 2．(1)等比数列(q ≠－1)中连续k 项的和成等比数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，其公比为 .(2)等差数列中连续k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为 .3．若A 2n －1，B 2n －1分别为等差数列{a n }，{b n }的前2n －1项的和，则a nb n ＝ .■核心知识储备三：(1)证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法①利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *)为同一常数；②利用中项性质，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． (2)证明数列{a n }是等比数列的两种基本方法①利用定义，证明a n ＋1a n (n ∈N *)为同一常数； ②利用等比中项，即证明a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)．[高考真题回访]1．(2015·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172 B ．192 C ．10 D ．122．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( )A ．5B ．7 C.9 D ．113．(2014·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1) C.n n ＋12D.n n －124．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12 D.185．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________.【课堂互动探究区】【目标分解一】等差、等比数列的基本运算【例1】(1)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝30，S 4＝120，设b n ＝1＋log 3a n ，那么数列{b n }的前15项和为( )A ．152B ．135C ．80D ．16(2)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12【我会做】(1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋3，S n 为{a n }的前n 项和，若S n ＝51，则n ＝__________.(2)(2017·东北三省四市联考)等比数列{a n }中各项均为正数，S n 是其前n 项和，且满足2S 3＝8a 1＋3a 2，a 4＝16，则S 4＝________.【我能做对】1设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．62. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为( ) A.176升 B ．72升 C.11366升 D ．10933升3.★(2016·全国Ⅰ卷)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和.【目标分解二】等差、等比数列的基本性质【例2】(2017·福州五校二模联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－7x ＋12＝0的两根，则a 1a 17a 9的值为( ）A ．2 3B ．4C ．±2 2D ．±4(2017·湘中名校联考)若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 016＋a 2 017＞0，a 2 016·a 2 017＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是( )A ．2 016B ．2 017C ．4 032D ．4 033 【我会做】(1)已知各项不为0的等差数列{a n }满足2a 2－a 27＋2a 12＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 3b 11等于( )A ．16B ．8 C.4 D ．2★(2)(2017·武汉二模)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ）A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35【目标分解三】等差、等比数列的判定与证明【例3】(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6.(1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．【我能做对】★★(2014·全国Ⅰ卷)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ； (2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．【课后巩固区】三年真题| 验收复习效果1．(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．82．(2017·全国Ⅲ卷)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．83．(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏4．(2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84★5．(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．★★6．(2016·全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.。

专题能力训练9 等差数列与等比数列(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.在等比数列{a n}中,若a12=4,a18=8,则a36为()A.32B.64C.128D.2562.已知数列{a n}的前n项和为S n,若S n=2a n-4(n∈N*),则a n=()A.2n+1B.2nC.2n-1D.2n-23.(2018届甘肃兰州一中高三8月月考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,则第2天走了()A.192里B.96里C.48里D.24里4.在正项等比数列{a n}中,a1 008·a1 009=,则lg a1+lg a2+…+lg a2 016=()A.2 015B.2 016C.-2 015D.-2 0165.已知数列{a n}的首项a1=1,前n项和为S n,且满足2a n+1+S n=2,则满足的n的最大值是()A.8B.9C.10D.116.若数列{a n}满足a1=2,a2=1,并且(n≥2),则数列{a n}的第100项为()A. B. C. D.7.已知数列{a n}是等差数列,S n为其前n项和.若正整数i,j,k,l满足i+l=j+k(i≤j≤k≤l),则()A.a i a l≤a j a kB.a i a l≥a j a kC.S i S l≤S j S kD.S i S l≥S j S k8.已知数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,a n+1·a n=2n(n∈N*),则S2 016=()A.3·21 008-3B.22 016-1C.22 009-3D.22 008-3二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=5,a5=3,则a n=,S7=.10.(2017浙江台州4月调研)已知数列{a n}的前m(m≥4)项是公差为2的等差数列,从第m-1项起,a m-1,a m,a n+1,…成公比为2的等比数列.若a1=-2,则m=,{a n}的前6项和S6=.11.在数列{a n}中,a1=2,a2=10,且a n+2=a n+1-a n(n∈N*),则a4=,数列{a n}的前2 016项和为.12.已知等差数列{a n}满足:a4>0,a5<0,则满足>2的n的集合是.13.等比数列{a n}的前n项和为S n,公比不为1.若a1=1,且对任意的n∈N*都有a n+2+a n+1-2a n=0,则S5=.14.已知a,b,c是递减的等差数列,若将其中两个数的位置互换,得到一个等比数列,则=.三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=(1)求证:数列是等比数列;(2)设S n是数列{a n}的前n项和,求满足S n>0的所有正整数n.16.(本小题满分15分)在数列{a n}中,a1=1,2a n a n+1+a n+1-a n=0(n∈N*).(1)求证:数列为等差数列,并求{a n}的通项公式;(2)若ta n+1(a n-1)+1≥0对任意n≥2的整数恒成立,求实数t的取值范围.参考答案专题能力训练9等差数列与等比数列1.B解析由等比数列的性质可知:a12,a18,a24,a30,a36构成等比数列,且=2.故a36=4×24=64.2.A解析由S n=2a n-4可得S n-1=2a n-1-4(n≥2),两式相减可得a n=2a n-2a n-1(n≥2),即a n=2a n-1(n≥2).又a1=2a1-4,a1=4,所以数列{a n}是以4为首项,2为公比的等比数列,则a n=4×2n-1=2n+1.故选A.3.B解析由题意可知,此人每天走的步数构成以为公比的等比数列,∵S6==378,∴a1=192,a2=192×=96,∴第二天走了96里.4.D解析 lg a1+lg a2+…+lg a2 016=lg a1a2…a2 016=lg(a1 008·a1 009)1 008=lg=lg(10-2)1 008=-2 016.故选D.5.B解析当n=1时,2a2+S1=2,得a2=.当n≥2时,有2a n+S n-1=2,两式相减得a n+1=a n.再考虑到a2=a1,所以数列{a n}是等比数列,故有S n=2-2·.因此原不等式可化为,化简得,得n=4,5,6,7,8,9,所以n的最大值为9,选B.6.D解析条件(n≥2),即,所以数列是等差数列.故+99×+99×=50,a100=.7.A解析可以令i=1,j=2,k=3,l=4,则a i a l-a j a k=a1a4-a2a3=a1(a1+3d)-(a1+d)(a1+2d)=-2d2≤0,故A正确,同理可以验证B,C,D选项均不正确.8.A解析∵数列{a n}满足a1=1,a n+1·a n=2n(n∈N*),∴a2·a1=2,即a2=2.当n≥2时,=2,∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为2.则S2 016=(a1+a3+…+a2 015)+(a2+a4+…+a2 016)==3·21 008-3.9.8-n28解析设等差数列{a n}的公差为d,则2d=a5-a3=-2,d=-1,所以a1=a3-2d=7,a n=a1+(n-1)d=7+(n-1)×(-1)=8-n,S7=7a1+d=7×7+21×(-1)=28.10.428解析a m-1=a1+(m-2)d=2m-6,a m=2m-4,而=2,解得m=4,所以数列{a n}的前6项依次为-2,0,2,4,8,16,所以S6=28.11.-20解析∵a1=2,a2=10,且a n+2=a n+1-a n(n∈N*),∴a3=a2-a1=10-2=8,同理可得a4=8-10=-2,a5=-10,a6=-8,a7=2,a8=10,….∴a n+6=a n.则a4=-2,数列{a n}的前2 016项和=(a1+a2+…+a6)×336=(2+10+8-2-10-8)=0.12.{5}解析已知等差数列{a n}满足a4>0,a5<0,则d<0,前4项为正数,从第5项开始为负数,由>2得>0,即>0,∴<0,∴a1+(n-2)d>0,a1+(n-1)d<0,∴解得n=5.故答案为{5}.13.11解析设等比数列{a n}的公比为q,则a n+2+a n+1-2a n=a1·q n+1+a1·q n-2a1·q n-1=0,即q2+q-2=0,解得q=-2,q=1(舍去),所以q=-2.故S5==11.14.20解析依题意得①或②或③由①得a=b=c,这与a,b,c是递减的等差数列矛盾;由②消去c整理得(a-b)(a+2b)=0.又a>b,因此有a=-2b,c=4b,故=20;由③消去a整理得(c-b)(c+2b)=0.又b>c,因此有c=-2b,a=4b,故=20.15.(1)证明=,所以数列是以a2-=-为首项,为公比的等比数列.(2)解由(1)得a2n-=-=-,则a2n=-,由a2n=a2n-1+(2n-1),得a2n-1=3a2n-3(2n-1)=--6n+,所以a2n-1+a2n=--6n+9=-2×-6n+9,S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)=-2-6(1+2+3+…+n)+9n=-2×-6×+9n=-1-3n2+6n=-3(n-1)2+2.显然,当n∈N*时,数列{S2n}单调递减;当n=1时,S2=>0,当n=2时,S4=-<0,则当n≥2时,S2n<0,S2n-1=S2n-a2n=-3n2+6n.同理可得仅当n=1时,S2n-1>0.综上,可得满足条件S n>0的n的值为1和2.16.(1)证明∵2a n a n-1+a n-a n-1=0(n≥2),∴=2(n≥2).又=1,∴数列是首项为1,公差为2的等差数列.∴=1+2(n-1)=2n-1,即a n=.(2)解∵ta n+1(a n-1)+1≥0对任意n≥2的整数恒成立,即t+1≥0恒成立.∴t≤对任意n≥2的整数恒成立.设c n=(n≥2),则=1+>1,∴当n≥2时,数列{c n}为递增数列,∴c n≥c2=.∴t的取值范围为.。

2018届高三第二轮复习——数列第1讲等差、等比考点【高 考 感 悟】从近三年高考看，高考命题热点考向可能为：1．必记公式(1)等差数列通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)等差数列前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）d2.(3)等比数列通项公式：a n a 1q n －1. (4)等比数列前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1（q ＝1）a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q （q ≠1）.(5)等差中项公式：2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． (6)等比中项公式：a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2)．(7)数列{a n }的前n 项和与通项a n 之间的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1）S n －S n －1（n ≥2）.2．重要性质(1)通项公式的推广：等差数列中，a n ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列中，a n ＝a m q n －m .(2)增减性：①等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列． ②等比数列中，若a 1＞0且q ＞1或a 1＜0且0＜q ＜1，则数列为递增数列；若a 1＞0且0＜q ＜1或a 1＜0且q ＞1，则数列为递减数列． 3．易错提醒(1)忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件． (2)漏掉等比中项：正数a ，b 的等比中项是±ab ，容易漏掉－ab .【 真 题 体 验 】1．(2015·新课标Ⅰ高考)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172B.192C ．10D ．12 2．(2015·新课标Ⅱ高考)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12 D.183．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝__________，d ＝________．4．(2016·全国卷1)已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，，. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求{}n b 的前n 项和.【考 点 突 破 】考点一、等差（比）的基本运算1．(2015·湖南高考)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．2．(2015·重庆高考)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .考点二、等差（比）的证明与判断【典例1】( 2017·全国1 )记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。

高考侧重于考查等差、等比数列的通项a n ，前n 项和S n 的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点．备考时应切实文解等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识．1．等差数列(1)定义式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)； (2)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；(3)前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －1 d2； (4)性质：①a n ＝a m ＋(n －m )d (n 、m ∈N *)；②若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 2．等比数列(1)定义式：a n ＋1a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数)；(2)通项公式：a n ＝a 1q n －1；(3)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝1，a 1 1－q n1－q q ≠1. (4)性质：①a n ＝a m q n－m(n ，m ∈N *)；②若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q (p 、q 、m 、n ∈N *)．3．复习数列专题要把握等差、等比数列两个定义，牢记通项、前n 项和四组公式，活用等差、等比数列的性质，明确数列与函数的关系，巧妙利用a n 与S n 的关系进行转化，细辨应用问题中的条件与结论是通项还是前n 项和，集中突破数列求和的五种方法(公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法).【误区警示】1．应用a n 与S n 的关系，等比数列前n 项和公式时，注意分类讨论． 2．等差、等比数列的性质可类比掌握．注意不要用混．3．讨论等差数列前n 项和的最值时，不要忽视n 为整数的条件和a n ＝0的情形．4．等比数列{a n }中，公比q ≠0，a n ≠0.考点一 等差数列的运算例、(2017·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8【变式探究】(1)(2016·高考全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97【答案】C【解析】通解：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 9＝9a 1＋9×82d ＝27a 10＝a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98，选C.优解：设等差数列{a n }的公差为d ，因为{a n }为等差数列，且S 9＝9a 5＝27，所以a 5＝3.又a 10＝8，解得5d ＝a 10－a 5＝5，所以d ＝1，所以a 100＝a 5＋95d ＝98，选C.(2)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11【答案】A【解析】通解：∵a 1＋a 3＋a 5＝a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋4d )＝3a 1＋6d ＝3， ∴a 1＋2d ＝1，∴S 5＝5a 1＋5×42d ＝5(a 1＋2d )＝5，故选A.优解：∵a 1＋a 5＝2a 3，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3， ∴a 3＝1，∴S 5＝5 a 1＋a 5 2＝5a 3＝5，故选A.【方法规律】1．通解是寻求a 1与d 的关系，然后用公式求和．优解法是利用等差中项性质转化求和公式．2．在等差数列中，当已知a 1和d 时，用S n ＝na 1＋n n －12d 求和．当已知a 1和a n或者a 1＋a n ＝a 2＋a n －1形式时，常用S n ＝ a 1＋a n n 2＝ a 2＋a n －1 n2求解．【变式探究】若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列，已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝( )A ．10B ．20C ．30D ．40考点二 等比数列的运算例2、【2017江苏，9】等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a = ▲ . 【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 【变式探究】(1)(2016·高考全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．【答案】64【解析】通解：求a 1a 2…a n 关于n 的表达式 a 2＋a 4a 1＋a 3＝ a 1＋a 3 ·q a 1＋a 3＝510，∴q ＝12∴a 1＋a 1⎝⎛⎭⎫122＝10，∴a 1＝8 ∴a 1·a 2·a 3…a n ＝a n 1·q n n －1 2＝8n ×⎝⎛⎭⎫12n n －1 2＝2－n 2＋7n 2当n ＝3或n ＝4时，－n 2＋7n2最大为6.∴a 1a 2…a n 的最大值为26＝64 优解：利用数列的单调变化设{a n }的公比为q ，由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5得a 1＝8，q ＝12，则a 2＝4，a 3＝2，a 4＝1，a 5＝12，所以a 1a 2…a n ≤a 1a 2a 3a 4＝64.(2)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12 D.18【答案】C【方法规律】1．解题关键：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．2．运用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．【变式探究】等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3【解析】选C.由题意知a 1·a 8＝a 2·a 7＝a 3·a 6＝a 4·a 5＝10，∴数列{lg a n }的前8项和等于lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 4·a 5)4＝4lg(a 4·a 5)＝4lg 10＝4.故选C.考点三 数列递推关系的应用例3、(2016·高考全国卷Ⅰ)(本小题满分12分)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式． (2)求{b n }的前n 项和．【方法规律】判断和证明数列是等差(比)数列的方法1．定义法：对于n ≥1的任意自然数，验证a n ＋1－a n ⎝⎛⎭⎫或a n ＋1a n 为与正整数n 无关的一常数．2．中项公式法：(1)若2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则{a n }为等差数列； (2)若a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则{a n }为等比数列． 【变式探究】已知等差数列{a n }的公差d ≠0，{a n }的部分项ak 1，ak 2，…，ak n 构成等比数列，若k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k n .解：设等比数列ak 1，ak 2，…，ak n 的公比为q ， 因为k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17， 所以a 1a 17＝a 25，即a 1(a 1＋16d )＝(a 1＋4d )2，化简得a 1d ＝2d 2.又d ≠0，得a 1＝2d ，所以q ＝a 5a 1＝a 1＋4d a 1＝2d ＋4d2d＝3.一方面，ak n 作为等差数列{a n }的第k n 项，有ak n ＝a 1＋(k n －1)d ＝2d ＋(k n －1)d ＝(k n ＋1)d ， 另一方面，ak n 作为等比数列的第n 项，有ak n ＝ak 1·q n －1＝a 1·3n －1＝2d ·3n －1，所以(k n ＋1)d ＝2d ·3n －1.又d ≠0，所以k n ＝2×3n －1－1.1．(2017·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】通解：选C.设{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋ a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C.优解：由S 6＝48得a 4＋a 3＝16， (a 4＋a 5)－(a 4＋a 3)＝8， ∴d ＝4，故选C.2．(2017·高考全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8【解析】选A.由已知条件可得a 1＝1，d ≠0，由a 23＝a 2a 6可得(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝－2.所以S 6＝6×1＋6×5× －2 2＝－24.故选A.3．(2017·高考全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________. 【答案】－84．(2017·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．1. 【2016高考新课标1卷】已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = （ ） （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 【答案】C 【解析】由已知,1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.2【2016高考浙江文数】如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ，1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）.若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则（ ）A ．{}n S 是等差数列B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列【答案】A3.【2016年高考北京文数】已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______..【答案】6【解析】∵{}n a 是等差数列，∴35420a a a +==，40a =，4136a a d -==-，2d =-，∴616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=，故填：6．4.【2016高考江苏卷】已知{}n a 是等差数列，{S }n 是其前n 项和.若21253,S =10a a +=-，则9a 的值是 ▲ .【答案】20.【解析】由510S =得32a =，因此2922(2d)33,23620.d d a -+-=-⇒==+⨯= 5、【2016高考新课标1卷】设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为 ．【答案】64【解析】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，由1324105a a a a +=⎧⎨+=⎩得2121(1)10(1)5a q a q q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n n n a a a a q--++++-==⨯= ，于是当3n =或4n =时，12n a a a 取得最大值6264=.6.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）记{}1,2,100U =…，.对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅,定义0TS=;若{}12,,k T t t t =…，，定义12+k T t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30TS.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C C D D S S S +≥ . 【答案】（1）13n n a -=（2）详见解析（3）详见解析②若C 是D 的子集，则22C C D C C C D S S S S S S +=+=≥ . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集.令U E C D = ð，U F D C = ð则E ≠∅，F ≠∅，E F =∅ . 于是C E C D S S S =+ ，D F C D S S S =+ ，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥. 设k 是E 中的最大数，为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠.由（2）知，1E k S a +<，于是1133l k l F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤. 又k l ≠，故1l k ≤-，从而1121131133222l l k E F l a S S a a a ----≤+++=+++=≤≤ ，故21E F S S ≥+，所以2()1C C D D C D S S S S -≥-+ ， 即21C C D D S S S +≥+ .综合①②③得，2C C D D S S S +≥ .1.【2015高考重庆，文2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6【答案】B【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=⨯-=，选B .2.【2015高考福建，文8】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D3.【2015高考北京，文6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C【解析】先分析四个答案支，A 举一反例1232,1,4a a a ==-=-，120a a +>而230+<a a ，A 错误，B 举同样反例1232,1,4a a a ==-=-，130a a +<，而120+>a a ，B 错误，下面针对C 进行研究，{}n a 是等差数列，若120a a <<，则10,a >设公差为d ，则0d >，数列各项均为正，由于22215111()(2)a a a a d a a d -=+-+22221111220a a d d a a d d =++--=>，则2113a a a >1a ⇒>C.【2015高考新课标2，文16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．【答案】1n-【2015高考广东，文10】在等差数列中，若，则= .【答案】10． 【解析】因为是等差数列，所以，即，所以，故应填入．【2015高考陕西，文13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．【答案】5【解析】设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5．【2015高考浙江，文3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ）A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D.140,0a d dS <>【答案】B.【解析】∵等差数列}{n a ，3a ，4a ，8a成等比数列，∴da d a d a d a 35)7)(2()3(11121-=⇒++=+，∴d d a a a a S 32)3(2)(211414-=++=+=，∴03521<-=d d a ，03224<-=d dS ，故选B.{}n a 2576543=++++a a a a a 82a a +{}n a 37462852a a a a a a a +=+=+=345675525a a a a a a ++++==55a =285210a a a +==10【2015高考安徽，文14】已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .【答案】21n -1. 【2014高考北京版文第5题】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】对等比数列}{n a ，若1>q ，则当01<a 时数列}{n a 是递减数列；若数列}{n a 是递增数列，则}{n a 满足01<a 且10<<q ，故当“1>q ”是”数列}{n a 为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C.【考点定位】等比数列的性质，充分条件与必要条件的判定2. 【2014高考福建卷第3题】等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D【答案】C【解析】假设公差为d ,依题意可得1323212,22d d ⨯+⨯⨯=∴=.所以62(61)212a =+-⨯=.故选C.【考点定位】等差数列的性质.3. 【2014高考江苏卷第7题】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是 .【答案】4【解析】设公比为q ，因为21a =，则由8642a a a =+得6422q q a =+，4220q q --=，解得22q =，所以4624a a q ==．【考点定位】等比数列的通项公式．4. 【2014辽宁高考文第8题】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}na a 为递减数列，则（ ）A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d > 【答案】C【考点定位】等差数列的概念、递减数列.5. 【2014重庆高考文第2题】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( )139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列【答案】D【解析】因为数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则()22852391116a a a q a q a q a ⋅=⋅⋅⋅=⋅= 所以，369,,a a a 一定成等比数列，故选D.【考点定位】等比数列的概念与通项公式、等比中项.6. 【2014天津高考文第11题】设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________．【答案】12-．【解析】依题意得2214S S S =，∴()()21112146a a a -=-，解得112a =-． 【考点定位】等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式．7. 【2014大纲高考文第10题】等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】C ．【考点定位】等差数列、等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式． 8. 【2014高考广东卷文第13题】若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= .【答案】50【解析】由题意知51011912101122a a a a a a e +==，所以51011a a e =， 因此()()()()()101055012201202191011101110a a a a a a a a a a a ee ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅===对，因此()1250122020ln ln ln ln ln 50a a a a a a e ⋅⋅⋅+=++== .【考点定位】等比数列的基本性质与对数的基本运算9. 【2014高考安徽卷文第12题】数列{}n a 是等差数列，若1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列，则q =________.【答案】1【解析】∵1351,3,5a a a +++成等比，∴2111(1)[14(1)][12(1)]a a d a d ++++=+++，令11,1a x d y +=+=，则2(4)(2)x x y x y +=+，即222444x xy x xy y +=++，∴0y =，即10d +=，∴1q =.【考点定位】等差、等比数列的性质.10. 【2014高考北京版文第12题】若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n = 时，{}n a 的前n 项和最大.【答案】8【解析】由等差数列的性质，89873a a a a =++，08>a ，又因为0107<+a a ，所以098<+a a所以09<a ，所以78S S >，98S S >，故数列}{n a 的前8项最大. 【考点定位】等差数列的性质，前n 项和的最值 11. 【2014高考大纲文第18题】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）133n a n =-；（2）()10103n nT n =-．【解析】（1）由已知可得等差数列{}n a 的公差d 为整数．由4n S S ≤可得450,0,a a ≥≤列出不等式组解得d 的范围，从而可确定整数d 的值，最后由等差数列的通项公式可求得数列{}n a 的通项公式；1030,1040d d +≥+≤，解得10532d -＃-，因此3d =-，故数列{}n a 的通项公式为133n a n =-．（2）()()11111331033103133n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，于是()12111111111137104710313331031010103n n n T b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．【考点定位】等差数列通项公式、裂项法求数列的前n 项和． 12. 【2014高考广东文第19题】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21234n n S na n n +=--，n N *∈，且315S =.（1）求1a 、2a 、3a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）13a =，25a =，37a =；（2）21n a n =+.【考点定位】数列的通项13. 【2014高考湖北文第18题】已知等差数列}{n a 满足：21=a ，且1a 、2a 、5a 成等比数列.（1）求数列}{n a 的通项公式.（2）记n S 为数列}{n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得?80060+>n S n 若存在，求n 的最小值；若不存在，说明文由.【答案】（1）2=n a 或24-=n a n . 【解析】【考点定位】等差数列、等比数列的性质、等差数列的求和公式.1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 5＝8，则S 7＝( ) A ． 28 B ．32 C ．56 D ．24 【答案】A【解析】S 7＝7×（a 1＋a 7）2＝7×（a 3＋a 5）2＝28.故选A. 2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S 4＝S 5＋S 6，则数列{a n }的公比q 的值为( ) A ．－2或1 B ．－1或2 C ．－2 D ．1【答案】C3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12【解析】由题意，不妨设a 6＝9t ，a 5＝11t ，则公差d ＝－2t ，其中t >0，因此a 10＝t ，a 11＝－t ，即当n ＝10时，S n 取得最大值．【答案】B4．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B【解析】由等比数列的性质可知a m ＋1·a m －1＝a 2m ＝2a m (m ≥2)，∴a m ＝2，即数列{a n }为常数列，a n ＝2，∴T 2m －1＝22m －1＝512＝29，即2m －1＝9，所以m ＝5.5．已知等比数列{a n }的各项都是正数，且3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7＝( )A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D【解析】∴3a 1，12a 3，2a 2成等差数列， ∴a 3＝3a 1＋2a 2，∴q 2－2q －3＝0，∴q ＝3或q ＝－1(舍去)． ∴a 8＋a 9a 6＋a 7＝a 1q 7＋a 1q 8a 1q 5＋a 1q 6＝q 2＋q 31＋q＝q 2＝32＝9. 6．各项均不为零的等差数列{a n }中，a 1＝2，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则S 2 016＝________．【答案】4 032【解析】由于a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，即a 2n －2a n ＝0，∴a n ＝2，n ≥2，又a 1＝2，∴a n ＝2，n ∈N *，故S 2 016＝4 032.7．设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．【答案】1 1218．已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n ∈N *，均有a n ，S n ，a 2n 成等差数列，则a n ＝________．【答案】n【解析】∵a n ，S n ，a 2n 成等差数列，∴2S n ＝a n ＋a 2n .当n ＝1时，2a 1＝2S 1＝a 1＋a 21.又a 1>0，∴a 1＝1.当n ≥2时，2a n ＝2(S n －S n －1)＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1，∴(a 2n －a 2n －1)－(a n ＋a n －1)＝0，∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)－(a n ＋a n －1)＝0，又a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1，∴{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，∴a n ＝n (n ∈N *)．9．已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列； (3)求数列{a n }的通项公式．(1)解：当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1， 即4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋5(a 1＋a 2)＝8(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1，整理得a 4＝4a 3－a 24，又a 2＝32，a 3＝54，11．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n （a n ＋1）2(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝1S n，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n . (1)证明： S n ＝a n （a n ＋1）2(n ∈N *)，① S n －1＝a n －1（a n －1＋1）2(n ≥2)．② ①－②得：a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －12(n ≥2)， 整理得：(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝(a n ＋a n －1)(n ≥2)． ∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n ＋a n －1≠0，。

2018年高考数学考前押题文科数学题卷2（满分150分。

考试用时120分钟。

）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

1．已知全集{}1,2,3,4U =，若，，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．2．在下列函数中，最小值为的是（ ） A ． BC ．D ． 3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示：若某高校专业对视力的要求在以上，则该班学生中能报专业的人数为（）A ．B ．C ．D ．4．函数的部分图象大致为（ ）A ．B ．21y x x=+2y =122x xy =+50A 0.9A 30252220sin 21cos xy x=+C ．D ．5．已知等差数列的前项和为，且，则数列的公差为（ ）A ．3B ．C ．D ．66．某几何体由上、下两部分组成，其三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则该几何体上部分与下部分的体积之比为（ ）A ．B ．C ．D ．7．如果函数在区间上单调递减，那么的最大值为（ ） A ．16B ．18C ．25D ．308．已知函数（），若是函数的一条对称轴，且，则所在的直线为（ ） A ．B ．C ．D ．9．在如图所示的程序框图中，若输入的，输出的，则判断框内可以填入的条件是（ ）{}n a n n S 233215S S -={}n a 4-5-13122356()()()()2128122f x m x n x m =-+-+>[]2,1--mn ()sin cos f x a x b x =+x ∈R 0x x =()f x 0tan 2x =()a b ，20x y -=20x y +=20x y -=20x y +=A ．B ．C ．D ．10．函数的图像如图所示，则的值等于（ ）A ．B ．C ．D ．111．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点，间的距离为2，动点与，，当，，不共线时，面积的最大值是（） A ．BCD 12．已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，若对任意的正实数，都有恒成立，且，则使成立的实数的集合为（ ）A ．B ． C．D ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。