1-2圆周运动

自然坐标系
在运动轨道上任一点建立正交坐标系, 在运动轨道上任一点建立正交坐标系, 其一根坐标轴沿轨道切线方向, 其一根坐标轴沿轨道切线方向,正方向为运 动的前进方向； 一根沿轨道法线方向， 动的前进方向 ； 一根沿轨道法线方向 ， 正 方向指向轨道内凹的一侧。 方向指向轨道内凹的一侧。
r en
r et
r r r r ds e v = vt et = vet = dt t
由加速度的定义有
r r a = dv dt
r r dv e + v det = dt t dt
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以圆周运动为例讨论上式中两个分项的物理意义： 以圆周运动为例讨论上式中两个分项的物理意义： 如图，质点在dt 时间内经历弧长ds， 如图，质点在 时间内经历弧长 ，对应于角位移 dθ ，切线的方向改变 θ角度。 切线的方向改变d 角度。 作出dt始末时刻的切向单位矢， 作出 始末时刻的切向单位矢， 始末时刻的切向单位矢 由矢量三角形法则可求出极限情 况下切向单位矢的增量为
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1.圆周运动：运动质点的轨迹在圆周上的运动。 1.圆周运动：运动质点的轨迹在圆周上的运动。 圆周运动
2.在圆周运动中，常见的最简单的是匀速圆周运动。质点沿圆周运 2.在圆周运动中，常见的最简单的是匀速圆周运动。 在圆周运动中 动，如果在相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀 如果在相等的时间里通过的圆弧长度相等， 速圆周运动
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圆周运动的角量描述
前述用位矢、速度、 前述用位矢、速度、加速度描 写圆周运动的方法，称线量描述法； 写圆周运动的方法，称线量描述法； 由于做圆周运动的质点与圆心的距 离不变， 离不变，因此可用一个角度来确定 其位置，称为角量描述法。 其位置，称为角量描述法。
y
B：t+t ： θ A：t ： θ
二、数量关系
v = 2πr T
T =1 f
ω = 2π T
v = rω
F =n
(注意单位)
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切向加速度和法向加速度
在一般圆周运动中，质点速度的大小和方向都在改变， 在一般圆周运动中，质点速度的大小和方向都在改变，即存在加 速度。采用自然坐标系，可以更好地理解加速度的物理意义。 速度。采用自然坐标系，可以更好地理解加速度的物理意义。
讨论下列情况时，质点各作什么运动： 例题 讨论下列情况时，质点各作什么运动： at 等于 an等于 质点做什么运动？ 等于0, 等于0, 质点做什么运动？ at 等于 an不等于 , 质点做什么运动？ 等于0, 不等于0 质点做什么运动？ at 不等于 an等于 , 质点做什么运动？ 不等于0, 等于0 质点做什么运动？ at 不等于 an不等于 , 质点做什么运动？ 不等于0, 不等于0 质点做什么运动？
2 x x0 = v0t + at / 2 2 2 v = v0 + 2a(x x0 )
线量与角量之间的关系
圆周运动既可以用速度、加速度描述， 圆周运动既可以用速度、加速度描述，也可以用角速 角加速度描述，二者应有一定的对应关系。 度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。 一质点作圆周运动： 图示 一质点作圆周运动： 时间内， 在 t 时间内 ， 质点的角位移 间的有向线段 为 θ ， 则 A 、 B间的 有向线段 R 间的 与弧将满足下面的关系 B t+t ω0+ω ω A ω0 t x
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刘雪燕 物理科学与技术学院 Email: lxy5462@
圆周运动
1.什么是圆周运动? 1.什么是圆周运动? 什么是圆周运动 2.什么是匀速圆周运动? 2.什么是匀速圆周运动? 什么是匀速圆周运动 3.怎样描述圆周运动的快慢? 3.怎样描述圆周运动的快慢? 怎样描述圆周运动的快慢 4.v.T.ω之间的关系? 4.v.T.ω之间的关系? 之间的关系
r et′ r et
o r en
r 点的切向正交。 即 et 与P点的切向正交。因此 点的切向正交 d r det dθ r r vr = en = ωen = en dt dt R
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r r det = dθen
dθ θ ds P
r r et′ det dθ r θ et
P 10
于是前面的加速度表达式可写为： 于是前面的加速度表达式可写为：
切向加速度
an θ = tan a t v y v
1
at = d v = rα dt
v a
> 0, 0 < θ < π , v 增大 2 = 0, θ = π , v ≡ 常量 at 2 < 0, π <θ <π , v 减小 2
v o a v a
θ v θ en
v et
x
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一般曲线运动（自然坐标） 一般曲线运动（自然坐标）
讨论：
(1) 角加速度α对运动的影响： 角加速度α 运动的影响： α等于零，质点作匀速圆周运动； 等于零，质点作匀速圆周运动； α不等于零但为常数，质点作匀变速圆周运动； 不等于零但为常数，质点作匀变速圆周运动； α随时间变化，质点作一般的圆周运动。 随时间变化，质点作一般的圆周运动。
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角坐标 θ ( t )
d θ (t ) 角速度 ω ( t ) = dt
速率
y
B
v = lim s = r lim θ t→0 t t→0 t
r
o
θ
A
θ
x
v = d s , v (t ) = r ω (t ) dt dω 角加速度 α = dt
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单位： 弧度/秒 角 速 度 的 单位： 弧度 秒(rads-1) ； 角加速度的单位： 弧度/平方秒 角加速度的单位： 弧度 平方秒(rad s-2) 。 平方秒
o
x
设质点在oxy平面内绕 点、沿半径为 的轨道作圆周 平面内绕o点 沿半径为R的轨道作圆周 设质点在 平面内绕 运动，如图。 轴为参考方向， 运动，如图。以ox轴为参考方向，则质点的 轴为参考方向 角位置为 角位移为 平均角速度为
θ θ
ω = θ t
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规定反时针为正
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二
圆周运动的角速度和角加速度
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匀速圆周运动的参量是描述匀速圆周运动快慢的物理 表示匀速圆周运动快慢的物理量有线速度 线速度、 量。表示匀速圆周运动快慢的物理量有线速度、角 分别用符v， ， ， ， 速度、周期和频率、转速,分别用符 速度、 周期和频率 、转速 分别用符 ，ω，T，f， n表示。 表示。 表示 线速度、角速度越大，周期越小，频率越高，表明运 线速度、角速度越大，周期越小，频率越高， 动的越快。在匀速圆周运动中，线速度、角速度、 动的越快。在匀速圆周运动中，线速度、角速度、 周期和频率的大小均是不变的。 周期和频率的大小均是不变的。
v v2
o
v et 2 v v1 v θ et1
v r
圆周运动加速度 圆周运动加速度
v a n = vω = ω r = r
2
2
v v
v v2
θ
v v v a = a tet + a n en 2 a = a t2 + a n
v v1
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v v v a = a t et + an en
Q an > 0 ∴ 0 < θ <π
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at = dv dt
an = v R
2
o r en r α et an at
P
r a
r et′
由
v a
的大小为
r dv r v2 r a = et + en dt R 2 2 2 2 2 = dv + v a = at + an dt R
an
v 1 a a的 向 它 法 方 的 角 出 α = tan t 方 由 与 线 向 夹 给 为
三 圆周运动的切向加速度和法向加速度 角加速度
v ds v v v v= et = vet = rω et dt
质点作变速率圆周运动时
v v2
v v v v dv d v e + v d et = a= dt dt t dt
at = d v = r d ω = r α dt dt
切向加速度
o
v et 2 v v1 v θ et1
r r r dv e + v2 e a= dt t R n 即圆周运动的加速度可分解为两个 正交分量： 正交分量：
at称切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢； 称切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢； an称法向加速度，其大小反映质点速度方向变化的 称法向加速度， 快慢。 快慢。 上述加速度表达式对任何平面曲线运动都适用， 上述加速度表达式对任何平面曲线运动都适用，但式 中半径R 代替。 中半径 要用曲率半径ρ 代替。
lim0 AB = lim0 AB t→ t→
→
O
θ
θ +θ
两边同除以 ，得到速度与角速度之间的关系： 两边同除以t，得到速度与角速度之间的关系：
0 2 0 0 2 2 0 0
与匀变速直线运动的几个关系式
v = v0 + at
比较知：两者数学形式完全相同,说明用角量描述 可把平面 比较知： 两者数学形式完全相同 说明用角量描述,可把平面 说明用角量描述 圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题。 圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题。
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a的方向解释
匀速圆周运动的速度方向不断改变，所以一定有加速度。 匀速圆周运动的速度方向不断改变，所以一定有加速度。质点 做匀速圆周运动时， 根据牛顿第二定律， 做匀速圆周运动时 ， 根据牛顿第二定律 ， 质点必受到向心 加速度a，方向总指向圆心，总保持与即时线速度方向垂直， 加速度 ，方向总指向圆心，总保持与即时线速度方向垂直， 因此叫向心加速度大小的计算公式为： 因此叫向心加速度大小的计算公式为：a=v2/r. 由于匀速圆周运动的v，r 大小不变， 所以向心加速度的大小 由于匀速圆周运动的 ， 大小不变， 也是不变的。 也是不变的。 匀速圆周运动的即时速度和加速度的大小虽然不变， 匀速圆周运动的即时速度和加速度的大小虽然不变，但它们的 方向却时刻在变。 因此， 匀速圆周运动实质上是非匀变速 方向却时刻在变 。 因此 ， 匀速圆周运动实质上 是非匀变速 运动或称变加速运动。 运动或称变加速运动。 大学物理 5