2016新课标三维人教B版数学必修5 3.1 不等关系与不等式
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3.1.1等差数列第一课时一、学习目标1. 学习如何利用不等式表示不等关系,利用不等式的有关基本性质研究不等关系;2.学会比较两个数或式子的大小,进行简单的证明。
二、预习案1、想一想,我们日常生活当中,存在哪些不等关系?阅读本章开始的关于恩格尔系数的相关材料,能否解决那个实际问题?2、不等关系与不等式的定义:(1)我们用数学符号_______________________连接两个数或代数式,以表示它们之间的不等关系。
含有这些不等号的式子叫做______________。
(2)我们要注意“≥”和“≤”的含义:a≥b的含义为:___________________________;a≤b的含义为:___________________________。
3、数轴上两个实数大小的比较:(1)、在数轴上,如果表示实数a和b的两个点分别为A和B,则点A和点B在数轴上的位置关系有以下三种:(1)点A和点B_____;(2)点A在点B的______;(3)点A在点B的______。
在这三种位置关系中,有且仅有一种成立,由此可得到结论:对于任意两个实数a和b,在______________________三种关系中有且仅有一种关系成立。
(2)、比较大小的依据:①a>b⇔__________; ②a<b⇔__________;③a=b⇔__________.(3)、比较大小的方法:①作差比较:作差→将差变形→判断差的正负。
②作商法:作商→变形→判断与1的大小。
三、课中案类型一不等式有关概念例1 下列各判断是否正确,说明理由。
(1);0,02≥=xx则若(2);11-≤≤xx时,当(3);11<≤xx时,当(4).21<≤xx时,当类型二作差比较大小例2比较x2-x与x-2的大小。
例3 当p,q都是正数且p+q=1时,试比较代数式(px+qy)2与px2+qy2的大小。
练习比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小.类型三作差比较的应用例4已知a、b为正实数,证明baabba+≥+2类型四 作商比较大小例 5 已知,0>>b a 试比较a b b a b a b a 与的大小关系四、课后案1、若a <0,-1<b <0,则有( ) A 、a >ab >ab 2 B 、ab 2>ab >a C 、ab >a >ab 2 D 、ab >ab 2>a2、已知0<x ,那么x x x ,2,2的大小关系是 ( )A. x x x >>22B. x x x 22>>C. x x x 22<<D. 22x x x << 3、下列不等式中,恒成立的是 ( )A.02>aB.0)1lg(2>+aC.0||>a aD.02>a 4、已知a,b ∈R,b a ≥0,0<+b a 则 ( )A.a ≤0,b<0B. a ≥0,b>0C. a<0,b<0D. a>0,b>05、设))((2222d c b a A ++=,2)(bd ac B +=,则A B6、已知a,b ∈R,且ab ≠0,则不等式 ab-a 2 b 2成立7 、比较44b a -与)(43b a a -的大小8、已知x>y ,且y ≠0,比较yx与1的大小9、比较2lg x 与2)(lg x 的大小。
不等关系与不等式的教学设计辽宁省营口市开发区熊岳高中数学组李明不等关系与不等式的教学设计一、教材分析本节的内容是继学习等量关系之后,在实际生活中存在的又一新的关系-----不等关系。
不等关系在现实世界与日常生活中大量存在,在数学研究和数学应用中与等量关系同样起着重要的作用,它是学习不等式性质及解法的基础,又是构造方程、不等式与函数的基石;因此本节具有重要的奠基作用二、教学目标分析鉴于本节的地位与作用,根据新课标准的要求及高三学生的认知水平,我将教学目标确定为以下三个方面。
(1)知识与技能:通过具体情境感受在现实世界和日常生活中的存在着大量的不等关系;理解不等式(组)的实际背景;(2)过程与方法:通过解决具体问题,学会解决比较大小的基本方法。
(3)情感与价值:通过通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用,培养严谨的思维习惯。
教学重点:比较大小的基本方法:作差法和作商法,及特值法教学难点:作商法和作差法三、学情分析本节课面对的是高中三年级的学生,学生思维活泼,积极性高,已初步形成对数学问题的合作探究能力。
在学习过程中,教师要抓住学生熟悉的心理,积极调动起学生的学习兴趣。
学生层次参次不齐,个体差异比较明显。
教师只要适当地进行引导,就会取得很好的教学效果四、教学过程由大屏幕显示不等式与不等关系考纲要求,考点分布及考情【设计意图】:让学生在学习知识之前做到心中有数(一)复习旧知(回归教材)教师提问,学生回答,大屏幕显示答案1、两个实数比较大小的依据2、不等式的性质3、不等式的常用性质【设计意图】:学生重新复习教材的内容,可以达到进一步巩固已有知识,,同时达到能熟练应用旧知识的目的(二)知识的回顾由大屏幕显示例1,教师组织学生分组讨论,回答问题例1:下列命题:①若b a bc ac >>则,22;②22,0b ab a b a <<<<则若③已知m b a ,,均为正数,并且b a <,则ba mb a >++m ④x x 432--的最大值是342- 其中正确的命题是教师给学生思考时间后回答问题,并说明理由【设计意图】:这个例子针对的是不等式的性质和常用性质的练习,让学生对不等式的性质的应用有个更进一步的认识,以及在高考中这一块知识如何命题。
《不等关系与不等式》教学设计一、教学目标1.知识目标:通过具体情景,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,会用不等式(组)表示不等关系;掌握不等式的基本性质,会利用作差法比较两数(式)大小。
2.过程与方法:根据具体问题,让学生经历从不等关系实际情境中抽象出不等式模型的过程。
感知不等关系和不等式之间的内在联系,并通过具体的操作归纳、总结已达到理解的目的。
让学生在获得数学基础知识的基础上,了解它们产生的背景、应用、使学生学会数学思考问题,解决问题。
3.情感、态度与价值观:让学生感受数学来源于生活,初步体会数学形成过程,逐步培养学生学习数学的良好品质。
二、教学重点与难点教学重点:用不等式(组)表示实际问题的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题.理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值.并会利用作差法比较两数(式)大小.教学难点:用不等式(组)正确表示出不等关系以及作差法比较大小变形方法的掌握。
三、教授类型:新授课四、教学过程(1)创设情境在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系.例如大小、长短、轻重、高矮,又如在数学上两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边等等。
设计意图:让学生感受不等关系无处不在,认识学习不等式的重要性,引入课题:不等关系与不等式(2)探究新知探究一、用不等式来表示不等关系又如:数学问题中的不等关系问题 1 设点A与平面α的距离为d,B为平面上的任意一点,则≤.||d AB问题2 要把总长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格.按生产的要求,600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢?分析(关键句): (1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm; (2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm的钢管数量的3倍;(3)截得两种钢管的数量都不能为负.探究二、利用作差法比较两数(多项式)大小(1)不等式的定义?(2)不等号的种类有哪些?(3)22≥,这样写正确吗?(“≥”的含义是什么?)(4)实数与数轴上的点有怎样的对应关系?右边的点表示的实数与左边的点表示的实数谁大?(5)数轴上任意两点A ,B 有怎样的位置关系?所对应的实数a ,b 有怎样的大小关系?(6)如何比较两数大小?(理论依据)给出不等式基本原理:000a b a ba b a ba b a b->⇔>-=⇔=-<⇔<(3)典例分析 例1:比较(3)(5)a a +-和(2)(4)a a +-的大小.变式训练:比较2x x -和2x -的大小.学生黑板展示,注意细节处理。
人教版高中必修5(B版)3.1不等关系与不等式课程设计一、课程目标1.了解不等关系的定义和性质。
2.掌握解不等式的方法。
3.理解不等式在实际问题中的应用。
4.提高思维逻辑能力和数学解决问题的能力。
二、教学重点和难点教学重点1.不等关系的理解和应用。
2.解一元一次不等式和二元一次不等式。
教学难点1.不等式的基本性质的理解。
2.不等式的解法。
三、教学内容及教法1. 不等关系内容要点:1.不等关系的定义。
2.不等式和不等式的解法。
教学方法:1.讲解+演示法2.课堂练习2. 不等式(1)解一元一次不等式内容要点:1.一元一次不等式的定义。
2.解一元一次不等式的基本方法。
3.一元一次不等式的图像解法。
教学方法:1.讲解+演示法2.课堂练习(2)解二元一次不等式内容要点:1.二元一次不等式的定义。
2.解二元一次不等式的基本方法。
3.二元一次不等式的图像解法。
教学方法:1.讲解+演示法2.课堂练习四、教学评估及考核1.教学评估利用课堂练习、作业、测验等方式对学生进行每个知识点的教学效果评估,了解学生的掌握程度。
2. 考核方式期中、期末考试,然后和平时考查成绩综合评定。
其中平时考查包括课堂表现、作业完成情况、课堂练习成绩等。
五、参考教材人教版高中必修5(B版)六、教学流程时间内容教师行为学生行为10分钟不等关系讲解讲解倾听20分钟一元一次不等式讲解讲解倾听20分钟一元一次不等式练习指导练习20分钟二元一次不等式讲解讲解倾听20分钟二元一次不等式练习指导练习10分钟汇总检查复习指导温故七、教学资源教学资源不包括图片、网址、下载链接等。
教师可使用教科书、课件、白板等。
八、教学反思本次课程围绕不等关系和不等式两个知识点展开教学。
教学初期学生对不等关系有一定的模糊认识,随着教师的讲解和示范,学生对不等关系的理解逐渐清晰。
在一元一次不等式和二元一次不等式的教学中,学生的参与度比较高,教师讲解后可以参照实例较为熟练地解题。
生活中还有很多这样的例子,比如拳头的大与小、水果的轻与重、铅笔的长与短、个子的高与矮……都体现了生活中的一种常见关系---不等关系,今天就让我们一起打开“不等”世界的大门共同领略生活中的不等关系。
分析讨论常用的不等词和不等号的对应关系
最近我遇到了一个麻烦事,你们小师妹要上小学了,为了接送孩子我准备买辆车,周末我去了一趟4S店,遇到了这么一个问题
问题2: 大众4S店统计若以每辆12.5万元的价格销售一种汽车,每月可以售出200辆。
据市场调查,若单价每降低0.1万元销售量就可能相应增加8辆,若每车定价x万元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于2500万元呢?。
不等关系与不等式[新知初探]1.不等式的概念用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式,以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式.[点睛]不等式“a≥b”的含义是“a>b或a=b”,它等价于“a不小于b”,在a>b 和a=b中只要有一个成立,a≥b就成立.2.实数大小的比较(1)数轴上的两点A,B的位置关系与其对应实数a,b的大小关系.①数轴上的任意两点中,右边点对应的实数比左边点对应的实数大.②数轴上点的位置与实数大小的关系(表示实数a和b的两个点分别为A和B),如下:(2)比较两个实数的大小3.不等式的性质(1)对称性:a>b⇔a<b.(2)传递性:a>b,b>c⇒a>c.(3)加法法则:a>b⇔a+c>b+c.推论1a+b>c⇒a>c-b;推论2a>b,c>d⇒a+c>b+d.(4)乘法法则:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc. 推论1a>b>0,c>d>0⇒ac>bd;推论2a>b>0⇒a n>b n(n∈N+,n>1);推论3a>b>0⇒na>nb(n∈N+,n>1).[点睛](1)在应用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件,不可强化或弱化成立的条件.(2)要注意“箭头”是单向的还是双向的,也就是说每条性质是否具有可逆性.[小试身手]1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2()(2)若a<b或a=b之中有一个正确,则a≤b正确()(3)若a>b,则ac>bc一定成立()(4)若a+c>b+d,则a>b,c>d()解析:(1)正确.不等式x≥2表示x>2或x=2,即x不小于2,故此说法是正确的.(2)正确.不等式a≤b表示a<b或a=b.故若a<b或a=b中有一个正确,则a≤b一定正确.(3)错误.由不等式的可乘性知,当不等式两端同乘以一个正数时,不等号方向不变,因此由a>b,则ac>bc不一定成立,故此说法是错误的.(4)错误.取a=4,c=5,b=6,d=2,满足a+c>b+d,但不满足a>b,故此说法错误.答案:(1)√(2)√(3)×(4)×2.已知a +b >0,b <0,那么a ,b ,-a ,-b 的大小关系是( ) A .a >b >-b >-a B .a >-b >-a >b C .a >-b >b >-aD .a >b >-a >-b解析:选C 法一:∵A 、B 、C 、D 四个选项中,每个选项都是唯一确定的答案,∴可用特殊值法.令a =2,b =-1,则有2>-(-1)>-1>-2, 即a >-b >b >-a .法二:∵a +b >0,b <0,∴a >-b >0,-a <b <0, ∴a >-b >0>b >-a ,即a >-b >b >-a .3.设a ,b 是非零实数,若a <b ,则下列不等式成立的是( ) A .a 2<b 2 B .ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2bD.b a <ab解析:选C 因为a <b ,故b -a >0, 所以1a 2b -1ab 2=b -a a 2b 2>0,故1a 2b >1ab 2. 4.当m >1时,m 3与m 2-m +1的大小关系为________. 解析:∵m 3-(m 2-m +1)=m 3-m 2+m -1=m 2(m -1)+(m -1) =(m -1)(m 2+1).又∵m >1,故(m -1)(m 2+1)>0. 答案:m 3>m 2-m +1[典例] (1)已知x <1,比较x 3-1与2x 2-2x 的大小; (2)已知a >0,试比较a 与1a 的大小.[解] (1)(x 3-1)-(2x 2-2x ) =(x -1)(x 2+x +1)-2x (x -1) =(x -1)(x 2-x +1)=(x -1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x -122+34. ∵x <1,∴x -1<0.又⎝⎛⎭⎫x -122+34>0,∴(x -1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x -122+34<0. ∴x 3-1<2x 2-2x .(2)因为a -1a =a 2-1a =(a -1)(a +1)a, 因为a >0,所以当a >1时,(a -1)(a +1)a >0,有a >1a ;当a =1时,(a -1)(a +1)a =0,有a =1a ; 当0<a <1时,(a -1)(a +1)a <0,有a <1a . 综上,当a >1时,a >1a ; 当a =1时,a =1a ;当0<a <1时,a <1a .1.比较x 6+1与x 4+x 2的大小,其中x ∈R. 解:(x 6+1)-(x 4+x 2) =x 6-x 4-x 2+1 =x 4(x 2-1)-(x 2-1) =(x 2-1)(x 4-1) =(x 2-1)(x 2-1)(x 2+1)=(x 2-1)2(x 2+1).故当x =±1时,x 6+1=x 4+x 2; 当x ≠±1时,x 6+1>x 4+x 2. 2.若m >2,比较m m 与2m 的大小.解:因为m m 2m =⎝⎛⎭⎫m 2m ,又因为m >2,所以m2>1,所以⎝⎛⎭⎫m 2m >⎝⎛⎭⎫m 20=1,所以m m >2m .[典例] (1)已知b <2a,3d <c ,则下列不等式一定成立的是( ) A .2a -c >b -3d B .2ac >3bd C .2a +c >b +3dD .2a +3d >b +c(2)下列说法不正确的是( ) A .若a ∈R ,则(a 2+2a -1)3>(a -2)3 B .若a ∈R ,则(a -1)4>(a -2)4 C .若0<a <b ,则⎝⎛⎫13a >⎝⎛⎫13b D .若0<a <b ,则a 3<b 3[解析] (1)由于b <2a,3d <c ,则由不等式的性质得b +3d <2a +c ,故选C.(2)对于A ,因为(a 2+2a -1)-(a -2)=a 2+a +1=⎝⎛⎭⎫a +122+34>0,所以a 2+2a -1>a -2,则(a 2+2a -1)3>(a -2)3,故A 选项说法正确;对于B ,当a =1时,(a -1)4=0,(a -2)4=1,所以(a -1)4>(a -2)4不成立;对于C 和D ,因为0<a <b ,所以由指数函数与幂函数的性质知C 、D 选项说法正确,故选B.[答案] (1)C (2)B(2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.[活学活用]1.已知a >b >c ,且a +b +c =0,则下列不等式恒成立的是( ) A .ab >bc B .ac >bc C .ab >acD .a |b |>|b |c解析:选C 因为a >b >c ,且a +b +c =0,所以a >0,c <0,所以ab >ac . 2.若a >b >0,c <d <0,e <0,求证:e (a -c )2>e(b -d )2. 证明:∵c <d <0,∴-c >-d >0.又a >b >0,∴a -c >b -d >0,则(a -c )2>(b -d )2>0,即1(a -c )2<1(b -d )2. 又e <0,∴e (a -c )2>e(b -d )2.用不等式性质求解取值范围 [典例] 已知1<a <4,2<b <8,试求2a +3b 与a -b 的取值范围. [解] ∵1<a <4,2<b <8,∴2<2a <8,6<3b <24. ∴8<2a +3b <32.∵2<b <8,∴-8<-b <-2.又∵1<a <4,∴1+(-8)<a +(-b )<4+(-2), 即-7<a -b <2.故2a +3b 的取值范围是(8,32),a -b 的取值范围是(-7,2).同向不等式具有可加性与可乘性,但是不能相减或相除,应用时,要充分利用所给条件进行适当变形来求范围,注意变形的等价性.1.在本例条件下,求ab 的取值范围. 解:∵2<b <8,∴18<1b <12,而1<a <4,∴1×18<a ·1b <4×12,即18<ab <2. 故ab 的取值范围是⎝⎛⎭⎫18,2.不等式两边同乘以一个正数,不等号方向不变,同乘以一个负数,不等号方向改变,求解中,应明确所乘数的正负.2.已知-6<a <8,2<b <3,求ab 的取值范围.解:∵-6<a <8,2<b <3. ∴13<1b <12, ①当0≤a <8时,0≤ab <4; ②当-6<a <0时,-3<ab <0. 由①②得:-3<ab <4.故ab 的取值范围为(-3,4).利用不等式性质求范围,应注意减少不等式使用次数. 3.已知-1≤a +b ≤1,1≤a -2b ≤3,求a +3b 的取值范围. 解:设a +3b =λ1(a +b )+λ2(a -2b ) =(λ1+λ2)a +(λ1-2λ2)b , 解得λ1=53,λ2=-23.又-53≤53(a +b )≤53,-2≤-23(a -2b )≤-23,所以-113≤a +3b ≤1.故a +3b 的取值范围为⎣⎡⎦⎤-113,1.层级一 学业水平达标1.李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机,他现在已存60元.计划从现在起以后每个月节省30元,直到他至少有400元.设x 个月后他至少有400元,则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是( )A .30x -60≥400B .30x +60≥400C .30x -60≤400D .30x +40≤400解析:选B x 月后他至少有400元,可表示成30x +60≥400. 2.若abcd <0,且a >0,b >c ,d <0,则( ) A .b <0,c <0 B .b >0,c >0 C .b >0,c <0D .0<c <b 或c <b <0解析:选D 由a >0,d <0,且abcd <0,知bc >0, 又∵b >c ,∴0<c <b 或c <b <0.3.已知:a ,b ,c ,d ∈R ,则下列命题中必成立的是( ) A .若a >b ,c >b ,则a >c B .若a >-b ,则c -a <c +b C .若a >b ,c <d ,则a c >bd D .若a 2>b 2,则-a <-b解析:选B 选项A ,若a =4,b =2,c =5,显然不成立,选项C 不满足倒数不等式的条件,如a >b >0,c <0<d 时,不成立;选项D 只有a >b >0时才可以.否则如a =-1,b =0时不成立,故选B.4.设α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,β∈⎣⎡⎦⎤0,π2,则2α-β3的范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0,56π B.⎝⎛⎭⎫-π6,56π C.()0,πD.⎝⎛⎭⎫-π6,π 解析:选D 0<2α<π,0≤β3≤π6,∴-π6≤-β3≤0,由同向不等式相加得到-π6<2α-β3<π.5.已知M =2x +1,N =11+x 2,则M ,N 的大小关系为( ) A .M >N B .M <N C .M =ND .不确定 解析:选A ∵2x >0,∴M =2x +1>1,而x 2+1≥1, ∴11+x 2≤1,∴M >N ,故选A. 6.已知x <1,则x 2+2与3x 的大小关系为________. 解析:(x 2+2)-3x =(x -1)(x -2), 因为x <1,所以x -1<0,x -2<0, 所以(x -1)(x -2)>0,所以x 2+2>3x . 答案:x 2+2>3x7.比较大小:a 2+b 2+c 2________2(a +b +c )-4. 解析:a 2+b 2+c 2-[2(a +b +c )-4] =a 2+b 2+c 2-2a -2b -2c +4=(a -1)2+(b -1)2+(c -1)2+1≥1>0, 故a 2+b 2+c 2>2(a +b +c )-4. 答案:>8.已知-1≤x +y ≤4,且2≤x -y ≤3,则z =2x -3y 的取值范围是________(用区间表示).解析:∵z =-12(x +y )+52(x -y ),-2≤-12(x +y )≤12,5≤52(x -y )≤152,∴3≤-12(x +y )+52(x -y )≤8,∴z 的取值范围是[3,8]. 答案:[3,8]9.若x ≠2或y ≠-1,M =x 2+y 2-4x +2y ,N =-5,试比较M 与N 的大小. 解:M -N =(x 2+y 2-4x +2y )-(-5) =(x 2-4x +4)+(y 2+2y +1) =(x -2)2+(y +1)2.因为(x -2)2≥0,(y +1)2≥0, 所以(x -2)2+(y +1)2≥0, 又因为x ≠2或y ≠-1,所以(x -2)2与(y +1)2不会同时为0. 所以(x -2)2+(y +1)2>0, 所以M >N .10.(1)若a <b <0,求证:b a <ab ; (2)已知a >b ,1a <1b ,求证:ab >0.证明:(1)由于b a -a b =b 2-a 2ab =(b +a )(b -a )ab, ∵a <b <0,∴b +a <0,b -a >0,ab >0, ∴(b +a )(b -a )ab <0,故b a <ab .(2)∵1a <1b ,∴1a -1b <0,即b -aab <0,而a >b ,∴b -a <0,∴ab >0.层级二 应试能力达标1.若x ∈R ,y ∈R ,则( ) A .x 2+y 2>2xy -1 B .x 2+y 2=2xy -1 C .x 2+y 2<2xy -1D .x 2+y 2≤2xy -1解析:选A因为x2+y2-(2xy-1)=x2-2xy+y2+1=(x-y)2+1>0,所以x2+y2>2xy -1,故选A.2.已知a1∈(0,1),a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是() A.M<N B.M>NC.M=N D.M≥N解析:选B∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴-1<a1-1<0,-1<a2-1<0,∴M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1)>0,∴M>N,故选B.3.若-1<α<β<1,则下列各式中恒成立的是()A.-2<α-β<0 B.-2<α-β<-1C.-1<α-β<0 D.-1<α-β<1解析:选A由-1<α<1,-1<β<1,得-1<-β<1,∴-2<α-β<2.又∵α<β,故知-2<α-β<0.4.已知a,b,c均为实数,①a<b<0,则a2<b2;②ab<c,则a<bc;③a>b,则c-2a<c-2b;④a>b,则1a<1b.上述说法正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:选A①特殊值法.令a=-2,b=-1,则4>1,故①错;②当b<0时,有a>bc,故②错;③当a>b时,有-2a<-2b,从而c-2a<c-2b,故③正确;④当a>0,b<0时,显然有1a>1b,故④错.综上,只有③正确,故选A.5.已知|a|<1,则11+a与1-a的大小关系为________.解析:由|a|<1,得-1<a<1. ∴1+a>0,1-a>0.即11+a1-a=11-a2.∵0<1-a2≤1,∴11-a2≥1,版权所有:中国好课堂 ∴11+a≥1-a . 答案:11+a ≥1-a 6.已知不等式:①a <0<b ;②b <a <0;③b <0<a ;④0<b <a ;⑤b <a 且ab >0;⑥a <b 且ab <0.其中能使1a <1b 成立的是________.解析:因为1a <1b ⇔b -a ab<0⇔b -a 与ab 异号,然后再逐个进行验证,可知①②④⑤⑥都能使1a <1b .答案:①②④⑤⑥7.已知a ,b ∈R ,x =a 3-b ,y =a 2b -a ,试比较x 与y 的大小.解:因为x -y =a 3-b -a 2b +a =a 2(a -b )+a -b =(a -b )(a 2+1),所以当a >b 时,x -y >0,所以x >y ;当a =b 时,x -y =0,所以x =y ;当a <b 时,x -y <0,所以x <y .8.已知:f (x )=log a x ,a >1>b >c >0,证明:b -f (c )b -c >c -f (b )a -c .证明:∵a >b >c ,∴a -c >b -c >0,∴1a -c <1b -c ,又∵f (b )=log a b ,f (c )=log a c ,a >1,∴f (b )>f (c ),又 ∵1>b >c >0,∴f (b )<0,f (c )<0,∴0<-f (b )<-f (c ),又b >c >0,∴b -f (c )>c -f (b )>0,又1b -c >1a -c >0,∴b -f (c )b -c >c -f (b )a -c .。